Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Thế Debye - Hückel trong tương tác iôn nguyên tử của Plasma loãng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ THANH THẢO THẾ DEBYE - HÜCKEL TRONG TƯƠNG TÁC IÔN NGUYÊN TỬ CỦA PLASMA LOÃNG

Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử hạt nhân

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. ĐỖ XUÂN HỘI

Thành phố Hồ Chí Minh-2010

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lí và Phòng Sau Đại Học của trường

Đại học Sư phạm TP.HCM đã cho em cơ hội tiếp nhận đề tài này và đã tạo mọi điều kiện thuận lợi

để em hoàn thành luận văn này đúng thời hạn.

Bên cạnh đó, em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Đỗ Xuân Hội đã hướng

dẫn chu đáo và tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Với sự giúp đỡ của thầy, luận

văn này đã được gợi ý, hướng dẫn thực hiện và đạt những kết quả mong muốn.

Xin chân thành cảm ơn

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

MỤC LỤC

4TLỜI CẢM ƠN4T ............................................................................................................................................... - 2 -

4TMỤC LỤC4T ..................................................................................................................................................... - 3 -

4TTÓM TẮT 4T ..................................................................................................................................................... - 5 -

4TDANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN4T .......................................................................... - 6 -

4TMỞ ĐẦU4T....................................................................................................................................................... - 7 -

4T1. Lí do chọn đề tài4T .................................................................................................................................... - 7 -

4T2. Mục đích đề tài4T ...................................................................................................................................... - 7 -

4T3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu4T .......................................................................................................... - 7 -

4T4. Phương pháp nghiên cứu4T ........................................................................................................................ - 7 -

4T5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài4T ................................................................................................ - 8 -

4TCHƯƠNG 1: TỔNG QUAN4T ........................................................................................................................ - 10 -

4T1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma4T .................................................................................................... - 10 -

4T1.1.1. Định nghĩa về plasma4T ................................................................................................................. - 10 -

4T1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma4T .................................................................... - 10 -

4T1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm4T .................................................................... - 12 -

4T1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học4T ..................................................................................................... - 12 -

4T1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm4T ............................................................................................................. - 14 -

4TCHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT4T ....................................... - 17 -

4T2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP)4T ................................................................................ - 17 -

4T2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan4T ........................................................................ - 17 -

4T2.1.2. Thế màn chắn4T ............................................................................................................................. - 19 -

4T2.1.3. Định lí Widom4T ........................................................................................................................... - 21 -

4T2.1.4. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Hypernetted Chain cho plasma một thành phần4T ..................................................................................................................................................... - 21 -

4T2.1.4.a. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo 4T ................................................................................... - 21 -

4T2.1.4.b. Phương pháp Hypernetted Chain4T ......................................................................................... - 22 -

4T2.2. Lí thuyết Debye – Hückel sử dụng cho plasma loãng4T ....................................................................... - 23 -

4T2.2.1. Phương trình Poisson – Boltzmann4T ............................................................................................. - 23 -

4T2.2.2. Thế Debye – Hückel4T ................................................................................................................... - 24 -

4T2.3. Những hạn chế của Thế Debye – Hückel4T .......................................................................................... - 27 -

4TCHƯƠNG 3: CẢI TIẾN THẾ DEBYE-HÜCKEL SỬ DỤNG CHO PLASMA LOÃNG MỘT THÀNH PHẦN4T - 30 -

4T3.1. Các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r)4T ........................................................................................... - 31 -

4T3.1. 1. Biểu thức hR0 R của đa thức thế màn chắn H(r)4T .................................................................................. - 32 -

4T3.1.1.1. Khảo sát Γ4T ........................................................................................................................... - 34 -

4T3.1.1.2. Theo nghiên cứu của L. R. Gasque et al [21]4T........................................................................ - 43 -

4T3.1.1.4. Theo nghiên cứu của H. E. DeWitt [20]4T ............................................................................... - 50 -

4T3.1.1.5. Theo hR0 R được đề nghị của các tác giả Đỗ Xuân Hội - Lý Thị Kim Thoa [6]4T ......................... - 52 -

4T3.1.1.6. Để thuận tiện trong việc thực hiện tính toán trên máy tính, ta đề nghị hệ thức hR0 R dưới đây:4T .. - 55 -

4T3.1.2. Các biểu thức hR2 R, hR3 R, hR4 R của đa thức thế màn chắn H(r)4T .............................................................. - 57 - 4T3.1.2.1. Khảo sát Γ4T ........................................................................................................................... - 58 -

4T3.1.2.2. Các biểu thức hR2 R, hR3 R, hR4 R của đa thức thế màn chắn H(r)4T ....................................................... - 63 - 4T3.2. Xác định khoảng cách giới hạn rRDHR(Γ)4T ............................................................................................. - 66 - 4TCHƯƠNG 4: XÁC ĐỊNH NGƯỠNG CỦA HIỆU ỨNG TRẬT TỰ ĐỊA PHƯƠNG Γ RCR4T ............................. - 76 -

4T4.1. Xác định biểu thức rRmaxR(Γ)4T ................................................................................................................ - 76 - 4T4.2. Biểu thức các hệ số hR2C R, hR3CR, hR4CR của đa thức thế màn chắn HRCR(r)4T ..................................................... - 78 - 4T4.3. Giá trị ngưỡng Γ RCR4T ............................................................................................................................. - 82 - 4TKẾT LUẬN4T ................................................................................................................................................. - 86 -

4TTÀI LIỆU THAM KHẢO4T............................................................................................................................ - 88 -

4TPHỤ LỤC4T .................................................................................................................................................... - 91 -

TÓM TẮT

Một trong những lĩnh vực nghiên cứu khoa học có liên quan đến vật lí nguyên tử hạt nhân là

vấn đề tương tác giữa các ion nguyên tử trong môi trường plasma. Trong môi trường plasma loãng,

tức là khi năng lượng chuyển động nhiệt có thể so sánh với tương tác tĩnh điện Coulomb của các

ion, lí thuyết Debye – Hückel được sử dụng để mô tả ảnh hưởng của môi trường xung quanh lên

tương tác giữa hai ion. Tuy nhiên, thế màn chắn được tính toán từ lí thuyết Debye - Hückel (DH)

chỉ thể hiện sự chính xác trong những điều kiện nhất định.

Luận văn này nghiên cứu tổng quát “Thế Debye - Hückel trong tương tác iôn nguyên tử của

plasma loãng”, từ đó đưa ra giới hạn áp dụng của lí thuyết Debye - Hückel và xác định giới hạn này

cho lí thuyết thông qua việc sử dụng dạng đa thức của thế màn chắn theo định lí tổng quát Widom.

Sau đó sẽ so sánh kết quả thu được với các số liệu cung cấp bởi phương pháp mô phỏng Monte

Carlo.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT Viết tắt Viết đầy đủ

1 DH Debye – Hückel

2 MC Monte Carlo

3 HNC Hypernetted Chain

4 OCP One Component Plasma

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Vật lí nguyên tử hạt nhân là một trong những ngành phát triển mạnh mẽ nhất của vật

lí. Việc nghiên cứu môi trường plasma liên quan mật thiết đến chuyên ngành vật lí nguyên tử

hạt nhân. Bởi vì plasma là trạng thái thứ tư của vật chất, chiếm tới 99% trạng thái vật chất

tồn tại trong vũ trụ. Việc tìm hiểu sâu sắc về trạng thái này sẽ rất cần thiết cho việc tạo ra

nguồn năng lượng khổng lồ phục vụ cho nhân loại từ việc điều khiển các phản ứng nhiệt

hạch.

Bên cạnh việc nâng cao sự hiểu biết về plasma, thông qua đề tài này tôi có thể nắm

vững vàng hơn các kiến thức đã học về điện học, về vật lí nguyên tử (iôn, liên kết iôn trong

nguyên tử…) và phần “ Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê” sẽ giúp ích rất nhiều cho

chuyên ngành mà tôi đang học.

Hơn nữa, thực hiện đề tài này là cơ hội để tôi thực tập sử dụng các phần mềm tin học

như Maple, Matlab, … và đồng thời có cơ hội để nghiên cứu phương pháp xử lí số liệu thực

nghiệm, vận dụng những gì đã học nhằm giải quyết các vấn đề mà đề tài đặt ra như vẽ đồ thị,

giải các phương trình toán phức tạp chỉ có thể thực hiện qua máy tính, …

2. Mục đích đề tài

Đề tài này nghiên cứu về thế Debye - Hückel (DH) trong tương tác iôn nguyên tử của

plasma loãng (là plasma trong đó năng lượng tương tác Coulomb là nhỏ so với năng lượng

chuyển động nhiệt). Đề tài này cũng chỉ ra giới hạn ứng dụng của thế Debye - Hückel trong

plasma loãng và đưa ra cách hiệu chỉnh phù hợp từ những mô hình đơn giản nhất để giải

quyết các vấn đề đặt ra. Bên cạnh đó, đề tài cũng khảo sát ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa

phương, là sự bắt đầu thiết lập những dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài này chủ yếu nghiên cứu tới plasma loãng một thành phần (One Component

Plasma – OCP) cổ điển là plasma chỉ bao gồm một loại ion duy nhất tích điện dương nằm

trong một biển electron đồng nhất tạo thành một hệ trung hòa về điện.

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu kết quả lí thuyết về thế màn chắn, định lí Widom, hàm phân bố xuyên tâm,

lí thuyết Debye – Hückel trong plasma mà tương tác ion yếu, …

Sử dụng phần mềm tin học Matlab để xử lí kết quả mô phỏng Monte Carlo (MC) và

Hypernetted Chain (HNC) kết hợp với lí thuyết để cải tiến lí thuyết Debye – Hückel cho

plasma loãng một thành phần và xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

a. Ý nghĩa khoa học

Thế Debye - Hückel (DH) đa phần được đề cập trong các tài liệu chỉ dừng lại ở cách

giải gần đúng phương trình Poisson – Boltzmann, kết quả này sẽ dẫn đến ngộ nhận thế

Debye - Hückel (DH) được áp dụng vô điều kiện với độ chính xác cao. Thực tế không hoàn

toàn như vậy. Đề tài này cho thấy khi nghiên cứu plasma loãng, thế Debye - Hückel (DH)

chỉ áp dụng được trong những điều kiện nhất định. Từ các dữ liệu mô phỏng và định lí

Widom, đề tài còn đề cập đến dạng thế màn chắn đảm bảo sự chính xác tốt nhất. Từ những

kết quả này, ta có thể xác định được sự thiết lập những dao động của hàm phân bố xuyên

tâm.

b. Ý nghĩa thực tiễn

Đề tài này có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên năm thứ tư chuyên ngành

vật lí (học môn vật lí thống kê) có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương tác hệ

nhiều hạt, ứng dụng của hàm phân bố thống kê chính tắc, phương pháp sử dụng một phần

mềm tin học để giải quyết một vấn đề cụ thể…

Từ những vấn đề mà đề tài đưa ra có thể mở ra nhiều hướng cho những ai muốn

nghiên cứu sâu về plasma: xác định dạng vạch phổ qua các kết quả thu được cho thế màn

chắn, dùng phương pháp số giải phương trình Poisson – Boltzmann để kiểm nghiệm biểu

thức thế màn chắn,…

NỘI DUNG LUẬN VĂN

Luận văn được trình bày theo cấu trúc sau:

Chương 1: Tổng quan. Chương này giới thiệu những khái niệm cơ sở về plasma và một số

đại lượng đặc trưng cho một hệ plasma như các đại lượng nhiệt động học, hàm phân bố

xuyên tâm, ....

Chương 2: Mô hình nghiên cứu và các kết quả lí thuyết liên quan. Chương này trình bày

mô hình plasma một thành phần cũng như các kết quả lí thuyết: đa thức Widom, thế Debye –

Hückel, các mô phỏng Monte Carlo và Hypernetted Chain, giới hạn áp dụng lí thuyết Debye

– Hückel (DH).

Chương 3: Cải tiến thế DH sử dụng cho plasma loãng một thành phần. Phần này bao

gồm những tính toán để có được các kết quả mới cho việc giới hạn khoảng cách áp dụng lí

thuyết DH.

Chương 4: Xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. Chương này giới thiệu

phương pháp tính toán cũng như kết quả cho việc thiết lập các dao động của hàm phân bố

xuyên tâm.

Phần cuối cùng của luận văn là kết luận chung, trình bày những kết quả thu được.

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma

1.1.1. Định nghĩa về plasma

Vào năm 1923, hai nhà vật lí người Mĩ là Laengomeare và Tolk đã dùng thuật ngữ

“plasma” để chỉ những chất khí bị ion hóa, trung hòa về điện tích và tồn tại trong các ống

phóng điện. Ở điều kiện bình thường, mọi chất khí không dẫn điện. Nhưng ở nhiệt độ khá

cao hay ở trong điện trường rất mạnh, thì tính chất của chất khí thay đổi: Nó bị ion hóa và trở

thành dẫn điện. Khi bị ion hóa các nguyên tử và các phân tử khí trung hòa về điện sẽ mất đi

một phần electron của mình và trở thành những hạt mang điện tích dương gọi là các ion.

Chất khí bị ion hóa là plasma. Như vậy, Plasma là một hỗn hợp các hạt mang điện, trong hỗn

hợp đó có giá trị tuyệt đối của điện tích dương bằng giá trị tuyệt đối của điện tích âm. Như

0 của vật chất. Nhìn chung khi ở nhiệt độ cao hơn 10000 P

PC, mọi chất đều ở trạng thái plasma.

vậy plasma là một hệ trung hòa về điện và là một vật dẫn điện tốt. Plasma là trạng thái thứ tư

Nếu mật độ các hạt trong plasma ít thì ta gọi là plasma loãng. Trong plasma loãng,

năng lượng tương tác coulomb là nhỏ so với năng lượng chuyển động nhiệt. Khi đó những

tính chất của plasma loãng gần giống với những tính chất của khí lý tưởng.

1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma

a. Sự kích thích và iôn hóa

Cơ chế của sự kích thích và ion hóa do va chạm với điện tử như sau: khi điện tử

chuyển động gần đến nguyên tử hay hạt khác, điện tử thứ nhất tương tác trực tiếp bằng điện

trường của mình với một trong những điện tử liên kết trong nguyên tử gần nó nhất. Điện tử

liên kết đó sẽ dịch chuyển đối với hạt nhân. Như vậy, điện tử thứ nhất bị tán xạ, tức là bị lệch

khỏi hướng ban đầu. Nếu lực tương tác đủ lớn và đủ lâu thì điện tử liên kết có thể bị đưa lên

mức năng lượng cao hơn hay hoàn toàn bị tách khỏi nguyên tử. Quá trình ion hóa là tách

electron ra khỏi nguyên tử hoặc phân tử khí, đây là quá trình quan trọng không thể thiếu

trong plasma. Có hai kiểu ion hóa: với plasma đậm đặc, sự ion hóa chất khí sinh ra do tác

dụng va chạm giữa các nguyên tử hoặc phân tử trung hòa với electron; với plasma quá loãng

tác dụng bức xạ sóng cực ngắn là nguyên nhân gây ra sự ion hóa. Nhưng muốn ion hóa hoàn

toàn các hạt thì bản thân chúng cần phải có năng lượng cao hơn đáng kể so với trường hợp

trên. Nhờ sự va chạm, electron có thể ion hóa nguyên tử, phân tử trung hòa hoặc nguyên tử

bị ion hóa chưa hoàn toàn. Tiết diện hiêu dụng ion hóa bằng sự va chạm của electron vào

khoảng vài trăm electron – volt.

Mặt khác, kích thích và ion hóa nguyên tử, phân tử, và ion có thể xảy ra do điện tử, ion,

nguyên tử, và phân tử. Tiết diện ion hóa và kích thích đối với chúng không giống nhau. Đối

với điện tử có thể chuyển hết phần động năng của mình cho nguyên tử, đối với ion hay

nguyên tử thì phần động năng chuyển vào thế năng do va chạm càng nhỏ khi khối lượng của

chúng càng gần nhau. Trong plasma phóng điện khí, như trong phóng điện ẩn, kích thích và

ion hóa do ion và nguyên tử không đáng kể vì ở đây áp suất tương đối thấp và không đẳng

nhiệt lớn. Năng lượng của ion và nguyên tử trong phóng điện không cao, do đó ion hóa trong

thể tích do va chạm với chúng có thể bỏ qua. Trong hồ quang áp suất lớn (áp suất vào

khoảng vài trăm torr hay lớn hơn), nhiệt độ của hạt nặng lớn đến mức có thể xảy ra ion hóa

và kích thích do nhiệt.

b. Sự kích thích và iôn hóa phân tử

Trong phân tử có hai dạng chuyển động: chuyển động của điện tử trong nguyên tử và

chuyển động của hạt nhân. Chuyển động của hạt nhân có thể là chuyển động dao động và

chuyển động quay. Tuy nhiên năng lượng phụ thuộc vào sự chuyển động của điện tử là thành

phần lớn nhất. Nếu phân tử được kích thích, điện tử được chuyển lên mức năng lượng cao

hơn, thì do sự phân bố điện tích của điện tử trong phân tử thay đổi mà đường cong thế năng

cũng biến đổi. Chuyển động dao động trong phân tử cũng tuân theo quy luật lượng tử. Khi

dao động khoảng cách của hai hạt nhân biến đổi, dẫn đến thế năng sẽ biến đổi gián đoạn.

Những phân tử có hai hạt nhân giống nhau như O R2 R, HR2 R, NR2 R… có cấu trúc đơn giản nên chúng

chỉ có chuyển động dao động đối xứng của nguyên tử dọc theo trục phân tử. Hơn nữa chúng

không có momen đipôn. Dịch chuyển đipôn giữa các mức dao động kích thích trong trạng

thái cơ bản điện tử với mức dao động là cấm, và chỉ mất đi do va chạm. Tuy nhiên tiết diện

-23

va chạm giữa các phân tử với nhau để biến năng lượng dao động lượng tử thành động năng

2 PcmP

P). Vì vậy những trạng thái này có thời gian sống rất lớn.

thường rất nhỏ (nhỏ hơn 10P

c. Ứng dụng của plasma trong thực tế

Những vấn đề trong thiên văn và địa vật lý học như việc truyền sóng điện từ qua bầu

khí quyển, động lực học của địa từ trường, sự rối loạn của vật chất bị ion hóa và từ trường

gần bề mặt Mặt trời và các vì sao, sự tán sắc và mở rộng tín hiệu khi đi qua không gian giữa

các vì sao, sự tiến hóa và cấu trúc bên trong của các thiên thể… đều có mối quan hệ gần gũi

với các vấn đề cơ bản của plasma.

Hiện nay người ta đã ứng dụng plasma để chế tạo “động cơ plasma”. Lần đầu tiên trên

thế giới các nhà bác học và kỹ sư người Nga đã sử dụng động cơ plasma vào hệ thống định

hướng các con tàu vũ trụ. Ngoài ra plasma còn là yếu tố cơ bản của “máy phát điện plasma”.

Những quá trình xảy ra trong máy phát điện plasma được mô tả bằng lý thuyết từ thủy động

lực học nên người ta gọi chúng là các máy phát điện từ thủy động lực chuyển hóa trực tiếp

nhiệt năng thành điện năng. Hơn nữa, plasma còn được nghiên cứu để khống chế nguồn năng

lượng khổng lồ từ các phản ứng tổng hợp hạt nhân. Trong tương lai các nhà khoa học hy

vọng con người có thể sẽ nhận được một nguồn năng lượng vô tận từ các phản ứng nhiệt

hạch tổng hợp có điều khiển, năng lượng này đủ dùng cho nhiều triệu năm.

1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm

1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học



β− (

+ K V

)

...

  d p d R d R

 d p 1

∫

1 N 3 h N

Hệ plasma loãng được xem như một hệ chính tắc có hàm tổng thống kê như sau :

 2 ip = ∑ 1 2 m

−

Trong đó, là động năng toàn phần của hệ, V là thế năng tương tác

(

)

 iR

∑

∫

1 2

1 −

 d r −

 R

 r

−

  d rd r   , r r

    

    

, là vectơ vị trí của ion Coulomb

 thứ i. r

là vectơ vị trí của các electron chứa trong một thể tích nguyên tố. Như vậy thế năng

tương tác trên là thế năng toàn phần bao gồm thế năng tương tác Coulomb giữa ion – ion,

electron – electron, và giữa ion – electron.

0 Như vậy, ta có thể viết : Z = ZP

0 PQ trong đó ZP

P là hàm tổng thống kê của khí lý tưởng,

khi đó ta xem các hạt không tương tác lẫn nhau, năng lượng của hệ chính là động năng

−

3 /2 N

 d p

mkT

...

)

 d p 1

∫

V 3 N h N

chuyển động nhiệt của các hạt :



β− V

 ... d R d R 1

∫

1 N V

Q là tích phân cấu hình đặc trưng cho sự tương tác Coulomb trong plasma

Theo công thức năng lượng tự do của hệ F = - kTlnZ và tính cộng tính của đại lượng

này ta phân tích năng lượng F làm hai thành phần : F = FR0 R + FRex

Trong đó, FR0 R là năng lượng tự do của khí lý tưởng

FRex R là năng lượng phát sinh từ tương tác Coulomb

1 kβ

) và Mặt khác ta thấy Q phụ thuộc vào β, tức là phụ thuộc vào nhiệt độ T (với

(

)

ρ=

mật độ ρ thông qua tham số tương liên Γ ở giới hạn nhiệt động lực học (Γ được trình bày rõ

N→ ∞ → ∞ (trong khi

Q e− =

const

N V

ở chương II), ), ta có thể viết :

Γ = ( )

exF NkT

Như vậy, , phần dư của năng lượng tự do đối với ion tính theo đơn vị

năng lượng kT, chỉ phụ thuộc vào Γ. Từ đây ta có các công thức đơn giản để tính các đại

lượng nhiệt động học của hệ :

= −

a/ Áp suất p:

Γ ( )

p 0

ρ β

∂ F ∂ V

1 + Γ 3

d Γ d

 1  

  

với

b/ Năng lượng toàn phần :

= −

Γ ( )

E 0

N 3 β 2

2 + Γ 3

d Γ d

∂  F  ∂ T T 

  

 1  

  

với

= −

− Γ

c/ Nhiệt dung đẳng tích :

Γ ( )

C = V 0

C V

C 0 V

Nk 2

∂ E ∂ T

d Γ d

 1  

  

với

Mặt khác ta cũng có một biểu thức để tính phần dư của năng lượng đối với ion tính

)

theo đơn vị năng lượng kT khi mô phỏng trên máy tính :

Γ = ( )

(

Γ + ) 1

Γ ( u Γ∫ '

− E E 0 NkT

Γ 1

với , Γ R1 R được chọn bằng đơn vị.

1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm

Sự tương tác giữa một iôn và các iôn kế cận được phản ánh qua giá trị của hàm phân

bố xuyên tâm g(r). Nếu gọi u(rRijR) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong hệ plasma có

≡

(

,...,

)

  , U U r r 1

 r

( u r ij

= ∑

N ion, thì thế năng toàn phần của hệ là :

 1r

 Nd r

 , tại vị trí Nr

 1d r

tại vị trí ,..., ion N ở trong không Xác suất để ion 1 ở trong



β− U

phụ thuộc vào vận tốc của mỗi hạt nên được tính :

...

 d r 1

 d r

 d R d R 1...

= ∫

1 Q

trong đó

 tại vị trí 1r

 1d r

 nd r

 nr

−

( ) n

β U

+ 1

(

,...,

...

 r 1

  ) r d r 1 n

 d r

 d r 1

 d r

∫

1 Q

  

  

Vậy xác suất để ion 1 ở trong ,..., ion n ở trong , tại vị trí là :

−

( ) n

β U

⇒

+ 1

,...,

)

(

...

V  d r

 r 1

 r

 d r

∫

1 Q

(1.2a)

n ( )

 d r

...

 r 1

(

,...,

Đồng thời nếu ta gọi là xác suất để có một ion nào đó (không

 nd r

 nr

  ) r d r 1 n  1r

P  1d r

tại vị trí ,..., để một ion khác ở trong , tại vị trí thì nhất thiết là ion 1) ở trong

 1d r

 2d r

có N khả năng để có ion trong , N – 1 khả năng để có ion trong , ..., và N - n + 1 khả

 Nd r

−

− + =

năng để có ion trong , tức là tất cả có :

N N (

1)(

2)...(

N n

N ! − N n

(

khả năng.

−

n ( )

β U

+ 1

 r 1

 r

(

,...,

)

 d r

...

∫

N −

! 1 N n Q

(

Khi đó

n ( )

 r 1

(

 r

,...,

)

N ! − N n

(

(1.2b)

 1r

 1d r

Nếu xác suất để có một ion của ở trong tại vị trí độc lập với xác suất để có

 2d r

 2r

một ion thứ hai ở trong tại vị trí ,...độc lập với xác suất để có một ion thứ n ở trong

 nd r

 nr

(1)

( ) n

(

,...,

...

(

....

(

 r 1

  ) r d r n 1

 d r

  ) r d r 1 1

  ) r d r n

 ρ = 

 

 

 

, tại vị trí thì :

( ) n

(1) ρ

(

,...,

)

)...

(

 r 1

(

 r g ) n

 r 1

(

 r

,...,

)

 r 1

 r

n ( )

Khi có sự tương quan giữa một ion này và một ion khác thì ta có :

( )nρ lệch khỏi giá trị của nó khi các xác

,...,

)

 1( r

 r

Trong đó , cho biết mức độ mà

suất trên độc lập nhau.

 ir

(1)

Vì mọi điểm trong thể tích V đều tương đương nhau nên

 r 1

 r

(

)

...

)

(

N V

n ( )

n ρ=

: mật độ hạt trong plasma

(

,...,

)

,...,

)

 r 1

 r

 r 1

(

 r

Khi đó ta có : . Thế (1.2a) và (1.2b) vào ta suy ra :

n ( )

n ρ

,...,

)

 r 1

(

 r

 r 1

(

 r

,...,

)

(

−

β U

+ 1

 d r

...

∫

N ! − N n )! N 1 ! − N n Q

(

(1.2c)

Qua đó ta thấy các bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là những vấn đề

liên quan tới việc mở rộng của các vạch quang phổ nhất thiết phải biết sự tương tác giữa hai

(2)

ion kế cận nhau, cách nhau một khoảng rR12 R nào đó. Lúc này theo hệ thức tổng quát (1.2c) sẽ

  ,r r P( 1

−

(2)

β U

2 ρ

  r r , 1

(

)

 d r

...

∫

N N ( Q

−

β U

g r ( )

 d r

...

), kí hiệu là g(r) gọi là hàm phân bố xuyên tâm. Ta được : xuất hiện hàm gP

∫

N N ( 2 ρ

− Q

Như vậy :

CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT

2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP)

2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan

Plasma được xem như một hỗn hợp gồm nhiều ion, electron và những hạt trung hòa

về điện. Theo quan điển nhiệt động học, có thể phân biệt plasma làm hai loại plasma cân

bằng và plasma không cân bằng. Trong hệ cô lập, khi plasma ở trang thái cân bằng với môi

trường xung quanh (như trên các vì sao) thì động năng trung bình của tất cả các hạt là bằng

nhau. Chúng đều có hàm phân bố theo vận tốc Maxwell; tức là có một nhiệt độ T giống nhau

cho tất cả các loại hạt, ta gọi đây là plasma đẳng nhiệt. Trong một đơn vị thể tích của plasma

Z n i i

n− e

∑

đẳng nhiệt, số điện tích dương luôn bằng số điện tích âm, tức là . Đây là điều

kiện trung hòa điện trong plasma. Khi đó điện tích khối hoàn toàn bằng 0 nên điện trường

0ϕ∇ = .

cũng bằng 0. Lúc này phương trình Poisson chuyển thành phương trình Laplace:

Như vậy trong plasma đẳng nhiệt các hạt mang điện mất đi do quá trình tái hợp trong thể tích

luôn luôn được bù lại do quá trình ion hóa.

Plasma một thành phần (OCP – One Component Plasma) là một hệ thống kê gồm

một loại những ion tích điện dương chuyển động trong một biển các hạt electron. Các hạt sẽ

tương tác nhau bởi lực tĩnh điện nhưng toàn bộ hệ vẫn ổn định do điều kiện trung hòa điện.

Vì vậy, chúng ta sẽ khảo sát mô hình plasma một thành phần (OCP – One Component

nằm trong môi trường Plasma) là một hệ vật lí ở nhiệt độ T gồm N ion mang điện tích Ze+

đồng nhất gồm ZN electron, là hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát một số thiên thể như bên

trong sao lùn trắng, các hành tinh nặng dạng Jupiter,…

Để đơn giản người ta đưa ra mô hình “hình cầu ion” để mô tả plasma. Mô hình này

gồm một iôn riêng biệt mang điện tích Ze và một đám mây điện tử bao quanh nó. Ta có thể

hình dung plasma dưới dạng N hình cầu iôn và mỗi hình cầu chứa Z electron để trung hòa

1/3

 =  

πρ −  4  3 

điện tích dương của ion. Từ đó ta tính được bán kính hình cầu iôn qua biểu thức:

ρ=

N V

−

Trong đó là mật độ ion của khối plasma đang xét. Như vậy mật độ của

ρ e

Ze 3

3 π a 4

a •

ρ e

Ze 3

− 3 π 4 a

Hình 1: Mô hình hình cầu ion

electron là:

(

Các plasma thường được phân loại làm plasma liên kết yếu và plasma liên kết mạnh

)Ze a

với năng lượng chuyển động nhiệt dựa vào tỷ số giữa thế năng tương tác Coulomb

Γ =

)Ze ( akT

(

trung bình kT. Tỷ số này kí hiệu là Γ, gọi là tham số tương liên của plasma:

 : năng lượng Coulomb rất lớn so

Γ  , tức là

)Ze a

+ Plasma liên kết mạnh khi

với năng lượng chuyển động nhiệt, vị trí của các ion bắt đầu có trật tự hơn, và bắt đầu xuất

hiện các cực trị của hàm phân bố xuyên tâm g(r). Khi đó trang thái plasma gần với trạng thái

-3 200), sao neutron (Γ = 10 – 10P

P), bên trong sao mộc,… Có thể tạo plasma này trong phòng

rắn. Plasma liên kết mạnh thường tồn tại trong các thiên thể, các sao lùn trắng (Γ = 10 –

(

thí nghiệm bằng các chum tia laser hay ion (Γ vào khoảng 0.5 – 10).

 : năng lượng Coulomb rất bé so

Γ  , tức là

)Ze a

+ Plasma liên kết yếu khi

với năng lượng chuyển động nhiệt, khi đó plasma xem như gần đúng với trạng thái khí lí

tưởng, được coi là plasma mà hiệu ứng trật tự địa phương chưa xuất hiện. Hàm phân bố

xuyên tâm g(r) có dáng điệu biến thiên là tăng đơn điệu theo khoảng cách liên ion. Vì thế nó

sẽ tuân theo những định luật vật lí thống kê, đặc biệt là hàm phân bố Boltzmann trong trường

lực đối xứng của hạt riêng biệt. Điều này phù hợp với lí thuyết cổ điển nên plasma liên kết

Γ =

yếu thường sử dụng lí thuyết Debye – Hückel. Một số hệ vật lí mà tham số Γ có giá trị tương

0.76

÷ 0.072 0.076

đối thấp, như trong sao Lùn nâu, ta có , bên trong Mặt Trời, , và

đặc biệt, trong những thí nghiệm tổng hợp hạt nhân bằng phương pháp hãm quán tính (ICF –

-3 plasma xuất hiện trong hiện tượng phóng điện (Γ ≈ 10P

P), trong những máy Tokamark (Γ ≈

P)…[24]. Với các hệ plasma loãng kể trên, lí thuyết Debye-Hückel được sử dụng. Tuy

-5 10P

, hay Inertial Confinement Fusion), tham số Γ có giá trị khá thấp, chỉ khoảng 0.002 0.010

nhiên khi xét ở những khoảng cách r nhỏ thì lí thuyết này bị mắc sai số lớn so với thực

nghiệm (được trình bày rõ ở phần 2.3).

Trường hợp Γ có giá trị trung gian thì tính chất của plasma là tính chất của lưu chất.

2.1.2. Thế màn chắn

Thế màn chắn (screening potential), được định nghĩa là hiệu số giữa thế năng tương

tác của hai hạt và thế của lực trung bình (potential of mean force), là một dữ liệu quan trọng

để nghiên cứu hiệu suất phản ứng hạt nhân (nuclear reaction rates), sự hình thành những

chuẩn phân tử (quasi molecules) và bề rộng vạch phổ trong những môi trường đậm đặc, đặc

biệt là trong môi trường plasma.

Để tính đến tương tác của các ion khác và cả các electron trong plasma ta dùng thế

)

(

−

V R (

)

H R (

)

màn chắn hiệu dụng:

Ze R

(

(2.1.2)

)Ze R

là thế năng tương tác Coulomb giữa hai ion cách nhau một khoảng Trong đó

)

(

→

V R (

)

R. H(R) biểu thị độ giảm của thế năng trên do môi trường bên ngoài của hai ion đang xét.

H R → : lúc này có sự che chắn không hoàn toàn.

(

)

Ze R

(

→

H R (

)

thì + Khi

V R → thì

)

(

Ze ) R

: lúc này có sự che chắn hoàn toàn. + Khi

Thế màn chắn đóng vai trò rất quan trọng trong mọi ngành vật lí khi cần tính đến tác

dụng của mật độ lên các hiện tượng vật lí. Trong môi trường plasma, thế màn chắn tăng rất

nhanh theo mật độ môi trường và có khuynh hướng làm thay đổi tính chất nhiệt động học

của hệ vật lí. Đối với plasma liên kết mạnh, hàng rào thế coulomb giữa hai ion bị giảm rất

nhanh do hiệu ứng màn chắn của môi trường chứa hạt mang điện trong plasma. Khi đó thế

màn chắn đặc trưng cho độ hạ của rào thế Coulomb giữa hai ion dẫn đến thừa số khuếch đại

A e−Γ=

h 0

H Ze

(0) 2 ) /

(

trong hiệu suất phản ứng hạt nhân , trong đó , H(0) là thế màn

chắn ở khoảng cách tính theo khoảng cách hạt nhân.

Bên cạnh đó trong vật lí thống kê, thế màn chắn cho phép ta tính các đại lượng nhiệt

động lực học phân tử như phần dư ra của nội năng, phần dư ra của năng lượng tự do so với

khí lí tưởng. Hơn nữa, thế màn chắn cũng cho phép ta thiết lập phương trình trạng thái của

plasma.

V R (

)

β =

Từ chương 1, ta có biểu thức hàm phân bố xuyên tâm:

g R (

)

e β−=

1 kT

, trong đó

(

Nếu ta biểu diễn chiều dài và năng lượng theo đơn vị của a là bán kính khối cầu ion

R a

)Ze a

V r

( )]

g r ( ) ⇔

− exp[ = −

V r ( )

g r ln ( )

, đồng thời kí hiệu , ta suy ra và

(

H r ( )

g r ln ( )

Ze ) ra (

(

⇔

H r ( )

g r ln ( )

Ze ) Γ a

(

)

⇔

( ) H r

1 Γ

Ze a

Ze ) ra  1 + r 

 ln ( ) . g r  

(

Từ (2.1.2) ta suy ra

)Ze a

, ta có: Như vậy theo quy ước thế năng được tính theo đơn vị của

H r ( )

g r ln ( )

1 Γ

1 = + r

−Γ

g r ( )

exp

H r ( )

 1 − r 

  

  

  

V r → và

( )

g r → ta nói rằng hiệu ứng màn chắn là

( )

( )H r

1 → thì r

Ta thấy khi

hoàn toàn.

2.1.3. Định lí Widom

Widom phát biểu rằng: “Trong lưu chất hay trong mạng tinh thể, thế màn chắn là

hàm chẵn theo khoảng cách giữa hai ion hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ,

được biểu thị bởi một đa thức luân phiên dấu”. Định lí này được Widom chứng minh đầu

tiên với plasma lưu chất năm 1963.[31]

−

Ta có dạng khai triển của biểu thức thế màn chắn như sau:

H r ( )

......

( 1)i

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

h r i

−∑

≥

(2.1.3)

h 0

H r lim ( ) → r

Từ biểu thức (2.1.3), ta thấy là hệ số khuếch đại khi có sự tổng hợp

hai hạt nhân nguyên tử, có liên quan đến hiệu suất phản ứng hạt nhân. Hệ số h R1 R bằng 0.25, đã

được Jancovici chứng minh chính xác năm 1977. Các hệ số còn lại sẽ được tìm dựa vào tính

chất của plasma là plasma liên kết mạnh hay plasma liên kết yếu, hay plasma lưu chất.

Trong luận văn này thì định lí Widom được áp dụng cho plasma loãng, nhằm đưa ra

một biểu thức giải tích góp phần mở rộng giới hạn áp dụng của lí thuyết Debye - Hückel.

Điều này sẽ được thể hiện rõ ở chương 3 và 4 dưới đây.

2.1.4. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Hypernetted Chain cho plasma một thành phần

2.1.4.a. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Phương pháp mô phỏng Monte Carlo đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu,

cho phép ta nhận các giá trị của hàm phân bố xuyên tâm theo bán kính g(r) và phần dư ra của

nội năng U(r) của mỗi iôn trong plasma. Mô phỏng Monte Carlo có nhiều thuận lợi hơn so

với phương pháp động học phân tử vì được thực hiện trên máy tính một cách dễ dàng hơn,

độ chính xác cao, có thể áp dụng cho tập hợp thống kê chính tắc, chính tắc lớn…còn phương

pháp động học phân tử chỉ sử dụng cho tập hợp vi chính tắc.

Yếu tố quan trọng của mô phỏng Monte Carlo là xét trong hệ vài trăm hạt là đủ. Đối

với plasma một thành phần thì phương pháp này đã mang lại nhiều tiện ích. Tuy nhiên ta

cũng cần lưu ý phương pháp Monte Carlo cho số liệu không được chính xác trong những

khoảng cách r nhỏ. Có rất nhiều tính toán mô phỏng theo phương pháp Monte Carlo do

nhiều nhà khoa học nghiên cứu từ nhiều năm qua. Nghiên cứu gần đây nhất là của DeWitt et

al đã thực hiện các mô phỏng Monte Carlo với độ chính xác rất cao khoảng phần ngàn cho

hàm phân bố xuyên tâm g(r). Trong luận văn này ta cũng sử dụng số liệu mô phỏng Monte

Carlo (MC) chủ yếu của DeWitt et al, Hansen…

2.1.4.b. Phương pháp Hypernetted Chain

Phương pháp Hypernetted Chain cho ta kết quả chính xác với các giá trị Г nhỏ đối

với hệ plasma loãng. Còn với plasma đậm đặc thì phương pháp này cho ta kết quả khá sai

−

g r ( )

exp

h r ( )

c r ( )

lệch so với mô phỏng Monte Carlo gần đây nhất. Ta có hệ thức:

Γ − +  r 

  

(2.1.4.1)

Với h(r) = g(r) -1: hàm phân bố xuyên tâm toàn phần, c(r) là hàm tương liên trực

−

tiếp. Mối liên hệ giữa h(r) và c(r) qua hệ thức Orstein – Zernike:

h r ( )

c r ( )

)

  ' d r c r

  ' ' r h r (

∫ ρ

(2.1.4.2)

Hai hệ thức (2.1.4.1) và (2.1.4.2) tạo thành hệ kín, khi đó ta sẽ thực hiện các bước

lặp.

Trong luận văn này ta cũng sử dụng số liệu mô phỏng Hypernetted Chain (HNC) chủ

yếu của Carley, Springer, ….

GHI CHÚ: Mô hình plasma hai thành phần

Ngoài plasma một thành phần ta còn có plasma hỗn hợp. Tùy theo plasma đang xét

được cấu tạo bởi một, hai hay ba loại ion mà được gọi là plasma một thành phần (One

Component Plasma – OCP) mà ta đã khảo sát ở trên, plasma hỗn hợp hai thành phần (Binary

Ionic Mixture – BIM), hay plasma hỗn hợp ba thành phần (Ternary Ionic Mixture – TIM).

Tổng quát ta sẽ có plasma hỗn hợp nhiều thành phần (Multi Ionic Mixture – MIM). Các

plasma BIM và TIM là các mô hình thực tế rất gần với cấu tạo của các sao Lùn Trắng. Phần

lớn các sao này được tạo bởi hỗn hợp carbon và oxy còn lại sau khi khí heli cháy hết, và một

số tạp chất như neon, chì. Các mô hình BIM và TIM đều được mô phỏng dựa trên các mô

phỏng Monte Carlo được thực hiện cho mô hình plasma một thành phần OCP. Trong luận

văn này ta chỉ nghiên cứu chủ yếu đến plasma loãng một thành phần.

2.2. Lí thuyết Debye – Hückel sử dụng cho plasma loãng

Lí thuyết Debye - Hückel là phát minh của hai nhà khoa học 4TPeter Debye4T và 4TErich

Hückel4T. Phương pháp này được phát triển từ năm 1923 để tính toán các giá trị nhiệt động lực

học của dung dịch điện phân mạnh như bazơ mạnh, axít mạnh… Đây là một môi trường

dung dịch ion, nếu xét về phương diện hạt tích điện thì các hệ vật lí này tương tự với môi

trường plasma. Tuy nhiên thuyết Debye – Hückel chỉ được áp dụng trong trường hợp nồng

độ dung dịch thấp (mức độ tập trung của các điện tích của hệ thấp), và không được áp dụng

khi nồng độ dung dịch điện phân lớn hơn khoảng 100mM. Vì vậy đối với môi trường

plasma, lí thuyết Debye – Hückel chỉ áp dụng cho plasma liên kết yếu (hay plasma loãng).

2.2.1. Phương trình Poisson – Boltzmann

Ta xét một iôn mang điện tích q của một hệ plasma nào đó. Chọn gốc tọa độ tại vị trí

iôn đang xét. Iôn này sẽ tương tác với các iôn khác và với các electron xung quanh bằng lực

tĩnh đện. Do đó, xung quanh iôn này sẽ hình thành một đám mây tich điện dưới dạng đối

xứng cầu. Để đơn giản ta xem như điện tích tập trung ở đám mây là phân bố liên tục, mật độ

điện tích khối là ρ(R). Gọi V(R) là thế hiệu dụng (hay thế năng trung bình) do iôn đang xét

và đám mây điện tích của nó gây ra. Như vậy để xác định được ρ(R) và V(R) ta cần thiết lập

được hai phương trình:

a. Phương trình Poisson

Phương trình này thể hiện tính chất tĩnh điện, cho ta biết mối liên hệ giữa thế năng

∆

−

và mật độ điện tích tại mỗi điểm:

V R (

)

= − π δ 4 eZ

. (0) 4

ρ (

)

[ eZ n

]

(2.2.1a)

(0)δ là hàm delta Dirac, biểu thị mật độ điện tích ngay tại iôn đang xét. N

Trong đó

→

là mật độ điện tích trung bình của các ion và ∆ là toán tử Laplace.

R → 0

 V R (

)

Ze R

 V R → )

(

Ta thấy: khi

khi R → ∞

b. Phương trình Boltzmann

Giả sử rằng nhiệt độ của plasma đủ lớn, khi đó mật độ điện tích trong plasma tuân

)

theo thông kê Boltzmann:

ρ (

)

n .exp

. ( ZeV R kT

−  

  

(2.2.1b)

k: hằng số Boltzmann.

kT: nhiệt năng trung bình.

)

∆

−

V R (

)

= − π δ 4 eZ

. (0) 4

eZn

Thay (III.1.1a) vào (III.1.1b) ta được phương trình Poisson – Boltzmann như sau:

. ( ZeV R kT

  

  

 − 1 exp  

  

(2.2.1)

2.2.2. Thế Debye – Hückel

Thế Yukawa đầu tiên được đưa vào vật lí hạt cơ bản để mô tả tương tác giữa hai

nucleon và dẫn đến việc tiên đoán sự tồn tại của các meson [33]. Tuy nhiên, cho đến nay,

khái niệm về thế tương tác dạng Yukawa đã được sử dụng rộng rãi để mô tả từ các quá trình

hóa học đến các quá trình liên quan đến vật lí thiên văn, và đặc biệt, được xem như là dạng

tổng quát hóa của thế Debye-Hückel khi ta khảo sát thế tương tác hiệu dụng giữa hai ion

cách nhau một khoảng R của một hệ plasma loãng:

∝

V α

− α Re R

, (*)

Trong đó, α là một tham số dương, đặc trưng cho tác dụng màn chắn của môi

trường lên hai ion đang xét. Dạng tương tác (*) ở trên thường được áp dụng mà không xác

định rõ các điều kiện cụ thể cho khoảng cách R cũng như giới hạn của mức độ loãng của môi

trường như đã được chỉ ra trong các công trình [3, 33]. Trong luận văn sẽ đề nghị những giới

hạn cho việc vận dụng thế Yukawa (*) cho plasma một thành phần liên quan đến khoảng

cách liên ion cũng như đến tham số tương liên. Đồng thời, với công cụ tính toán mới, tôi sẽ

đề cập đến việc xuất hiện hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma tương tác mạnh.

Cơ sở của lí thuyết Debye-Hückel bắt đầu từ phương trình Poisson-Boltzmann

R a

(2.2.1). Để có được thế Debye - Hückel ta dùng thủ thuật đổi biến và tính V(R) theo

Ze a

đơn vị của .

rV r ( )

( V R ) Ze R /

Đặt (2.2.2)

∆

V r ( )

r V r . ( )

Do tính đối xứng cầu trong plasma xung quanh iôn đang xét và V(r) chỉ phụ thuộc

[

]

2 d y r ( ) 2

1 d r dr

1 r dr

vào khoảng cách r nên

Phương trình Poisson - Boltzmann (2.2.1) cho hệ plasma OCP được diễn tả dưới

− 3 1 exp r

y r ( )

2 d y r ( ) 2 dr

Γ − r 

  

  

  

(2.2.2a) dạng cô đọng như sau:

y r lim ( ) 1 → r y r lim ( ) →∞ r

Với các điều kiện biên:

Biểu thị cho thế tương tác giữa hai iôn sẽ là thế Coulomb khi hai iôn này ở khoảng

cách rất nhỏ (không còn hiệu ứng màn chắn) và khi ở đủ xa nhau thì thế này triệt tiêu.

Γ =

( )Ze akT

Trong biểu thức (2.2.2a) thì là tham số tương liên dùng để đo lường mức

1Γ > cho plasma đậm đặc. Khi

độ của tính lưu chất trong một hệ OCP và thường quy ước

−

1 3

đó, thế năng tương tác Coulomb chiếm ưu thế so với năng lượng chuyển động nhiệt. Và

nπ

4 3

 =  

  

x Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa thừa số Boltzmann với phép tính gần đúng: eP P

là bán kính hình cầu iôn (được thể hiện ở phần 2.1) với n là mật độ iôn.

−

≈ 1 + x khi 0 < x << 1. Khi đó với khoảng cách r đủ lớn, ta có hệ thức sau:

exp

y r ( )

≈ − 1

y r ( )

Γ r

  

  

−

y r ( )

2 d y r ( ) 2 dr

Γ r

 − 1 

  

 3 1 r  

  

⇔

= Γ 3

y r ( )

. Thế vào (2.2.2a) ta được:

2 d y r ( ) 2 dr

(2.2.2b)

−

Γ 3

r ( )

A e .

B e .

−

Γ 3

Phương trình (2.2.2b) là một phương trình vi phân cấp 2. Nghiệm tổng quát có dạng:

r ( )

Với các điều kiện biên ta suy ra A = 0, B = 1. Vậy , được gọi là

nghiệm Debye-Hückel, là một trường hợp đặc biệt của thế Yukawa.

−

Từ nghiệm y RDHR ta suy ra thế trung bình:

r ( )

( ) y r r

(2.2.2c)

Khi này, hàm phân bố xuyên tâm hay hàm tương quan cặp biểu thị cho xác suất gặp

−

nhau của hai ion phụ thuộc thế trung bình V(r) theo hệ thức:

r ( )

exp

DHg

Γ − r 

  

(2.2.2d)

Đồng thời, nếu ta định nghĩa thế màn chắn như là tác dụng của môi trường ngoài lên

+ , thì trong trường hợp này, ta có:

H r ( )

V r ( )

1 r

−

tương tàc giữa hai ion thử:

r ( )

e r

(2.2.2e)

2.3. Những hạn chế của Thế Debye – Hückel

Hàm phân bố xuyên tâm gRDH R(r) ở (2.2.2d) là một hàm tăng đơn điệu theo khoảng

cách r, phù hợp với các kết quả mô phỏng Monte Carlo (MC) cho hệ plasma OCP loãng đã

thực hiện cho đến nay bởi các tác giả khác nhau. Đồng thời, ta cũng nhận xét rằng kể từ một

giá trị Γ RCR nào đó của tham số tương liên, bắt đầu xuất hiện các dao động tắt dần của hàm

g(r), dấu hiệu của hiệu ứng trật tự địa phương Γ RCR.

2.5

2

1.5 g1 g3.174802 g5 g80 g160 g20

) r ( g

1

0.5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 r

Hình 2.3.1: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ liệu Monte

Carlo của DeWitt ứng với Γ = 1, 3.174802, 5, 20, 80, 160

Theo các dữ liệu mô phỏng MC của DeWitt [20] ta thấy đồ thị hàm phân bố xuyên

tâm g(r) ứng với Γ = 1 tăng đơn điệu theo khoảng cách liên kết iôn r và không xuất hiện dao

động. Từ Γ = 3.174802 trở lên thì đồ thị g(r) bắt đầu xuất hiện dao động nhỏ, những dao

động của g(r) tăng lên theo Γ và giảm dần khi r tăng.

1 g2 g3 g4

0.8

0.6 ) r ( g

0.4

0.2

0

2.5

0.5

1

2

1.5

0 r

Hình 2.3.2: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ

liệu Monte Carlo của Hansen ứng với Γ = 2, 3, 4

Theo các dữ liệu mô phỏng MC của Hansen [24] ta thấy đồ thị hàm phân bố xuyên

tâm g(r) ứng với Γ = 2 tăng đơn điệu theo khoảng cách liên kết iôn r và không xuất hiện dao

động. Từ Γ = 3, 4 thì đồ thị g(r) bắt đầu xuất hiện dao động nhỏ.

1

0.8 g0.5 g1 g2.5 g5

0.6 ) r ( g

0.4

0.2

0

0.5

1

2

2.5

3 1.5 r

Hình III.3: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ liệu Monte Carlo của Brush ứng với Γ = 0.5, 1, 2.5, 5

Theo các dữ liệu mô phỏng của Brush ta thấy ứng với các Γ = 0.5, 1, 2.5 đồ thị hàm

phân bố xuyên tâm g(r) tăng đơn điệu theo khoảng cách liên kết iôn r và không xuất hiện dao

động, Γ = 5 thì đồ thị g(r) xuất hiện dao động nhỏ.

Γ < Γ , tức C

Như vậy, các nghiệm Debye – Hückel chỉ được chấp nhận với điều kiện

là đảm bảo cho hàm phân bố xuyên tâm g(r) không có dao động.

Mặt khác thế màn chắn HRDHR khi r nhỏ lại không đáp ứng được định lí tổng quát

−

(

≅

−

r ( )

Γ + 3

...

e r

1 r

Γ 3 ) 2

Γ 3 ) 3!

  

  

 1   

   

⇔

≅

Γ −

Widom. Vì khi khai triển Taylor của hàm H RDHR(r) quanh r = 0 ta thấy:

Γ + 3

...

( ) r

DHH

1 2

 Γ − 3 1  

  

(2.3.1)

Ta thấy hàm HRDHR(r) ở (2.3.1) vi phạm tính chẵn đối với biến r theo định lí Widom.

Như vậy, lí thuyết Debye – Hückel chỉ đúng khi được xét ở khoảng cách liên iôn r > r RDH R nào

đó đối với từng tham số tương liên Γ tương ứng.

Hơn nữa, để sử dụng được phương pháp tuyến tính hóa thừa số Boltzmann ở (2.2.2b)

 , tức là r phải lớn hơn một giá trị giới hạn rRDH R nào đó.

y r ( ) r

thì

Qua các mặt hạn chế nêu trên, ta thấy vùng áp dụng của thế Debye – Hückel là Г <

ГRC R và r > r RDHR. Vì vậy, ta cần thiết phải cải tiến lí thuyết Debye – Hückel cho phù hợp với

định lí Widom bằng cách đưa vào thế màn chắn dưới dạng đa thức bậc 8, luân phiên dấu như

−

H r ( )

h 0

h r 2

h r 3

h r 4

1 4

(r ≤ rRDHR)

−

khi r

r DH

e r

H r ( )

≤

khi r

− ( 1)

h r i

r DH

∑

 − 1   =   

Vậy thế màn chắn H(r) sau khi được cải tiến để sử dụng cho plasma loãng là:

Vấn đề này sẽ được phân tích rõ ở chương 3.

CHƯƠNG 3: CẢI TIẾN THẾ DEBYE-HÜCKEL SỬ DỤNG CHO PLASMA LOÃNG MỘT THÀNH PHẦN

Ở chương 2 ta nhận thấy rằng lí thuyết Debye – Hückel được áp dụng khi Γ < Γ RC R vì hàm g(r)

bắt đầu xuất hiện dao động ở giá trị ngưỡng trật tự địa phương Γ RCR. Hơn nữa hàm g(r) tăng đơn điệu

và tiệm cận với giá trị 1 khi r → ∞ . R RMặt khác ta thấy khi so sánh với các dữ liệu Monte Carlo, thế

màn chắn Debye - Hückel HRDH R(r) mắc một sai số rất lớn ở những khoảng cách r nhỏ, tới một khoảng

cách r > rRDH R thì lí thuyết Debye – Hückel mới được áp dụng.

1.5

Γ = 1

1

0.5 0 0

0.5

1

2

2.5

1.5 r

Hình 3.1: Đường liền nét biểu diễn HDH(r) theo công thức (2.2.2e), các

chấm tròn biểu diễn H(r) theo công thức

, với g(r)

H r ( )

g r ln ( )

1 Γ

1 = + r

theo bảng dữ liệu Monte Carlo ứng với Γ = 1 của DeWitt.

2.5

Γ = 3.174802

2

1.5

1

0.5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 Hình 3.2: Đường liền nét biểu diễn HDH(r) theo công thức (2.2.2e), các r

chấm tròn biểu diễn H(r) theo công thức

, với g(r)

H r ( )

g r ln ( )

1 Γ

1 = + r

theo bảng dữ liệu Monte Carlo ứng với Γ = 3.174802 của DeWitt.

Trái với mô phỏng MC có thể cho ta các giá trị chính xác của hàm phân bố xuyên tâm g(r)

đối với plasma đậm đặc, các mô phỏng HyperNetted Chain (HNC) tỏ ra chính xác hơn cho những hệ

Γ ≤

plasma loãng (như đã trình bày ở chương ). Qua các số liệu cho bởi dữ liệu MC và HNC đối với các

cho thấy ta có thể viết đa thức Widom (2.1.3) giới hạn ở giá trị của tham số không quá lớn :

bậc 8 với độ chính xác tương đương với độ chính xác của MC là khoảng 0.2%, tức là ta sẽ chấp nhận

−

dạng:

( ) H r

h 0

h r 2

h r 3

h r 4

h r i

−∑ ( 1)

1 4

(3a)

Vì vậy ta có thể dùng hệ thức trên để mở rộng độ chính xác của lí thuyết Debye – Hückel

r≤

cho những khoảng cách . Một lý do khác khiến ta chỉ khai triển hàm H(r) đến bậc 8 vì đối với

plasma loãng các số hạng từ bậc 10 trở lên rất bé gần như bằng không, nên xem như không ảnh

hưởng đáng kể đến hàm H(r).

−

;

r DH

e r

H r ( )

Qua các yếu tố nêu trên ta sẽ sử dụng thế màn chắn H(r) dưới dạng:

≤

− ( 1)

;

h r i

r DH

(3b)

∑

   =   

H r ( )

( 1)i

h r i

−∑

= i o

. Bên cạnh đó Trong chương này ta sẽ đi tìm biểu thức hR0 R của đa thức

H r ( )

( 1)i

còn đề cập đến những công trình h R0 R mới nhất của nhiều tác giả. Tiếp đến, ta sẽ thiết lập các biểu thức

h r i

−∑

= i o

hệ số hR2 R, hR3 R, hR4 R của đa thức . Sau đó, ta tìm biểu thức rRDH R(Γ). Cuối cùng ta sẽ đi

tìm giá trị ngưỡng trật tự địa phương Γ RCR.

3.1. Các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r)

Trong phần này, ta sẽ xác định các hệ số hRiR của đa thức Widom (3a) bằng cách xác định tạm

thời các hệ số h RiR trên qua việc tối thiểu hóa ∆g của g(r) có được từ đa thức này với các dữ liệu MC và

HNC của g(r). Một khi đã có số liệu do hR0 R ứng với mỗi Γ, ta sẽ thiết lập biểu thức giải tích cho hR0 R.

Với biểu thức h R0 R ta ta lặp lại phép tính tối thiểu ∆g để tìm lại giá trị của h R2 R, hR3 R, h R4 R. Khi đó, các biểu

thức hRiR với i ≠ 0 sẽ được đề nghị tiếp theo.

Tối thiểu hóa ∆gmin

Bảng 3.1: Sơ đồ thể hiện quá trình tìm các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r)

Số liệu h0

Biểu thức giải tích của hệ số h0

No ∆g cỡ vài phần ngàn

Yes

Số liệu h2, h3, h4

Biểu thức giải tích của các hệ số h2, h3, h4

Biểu thức thế màn chắn H(r)

∆g cỡ vài phần ngàn No

Yes Chấp nhận các biểu thức các hệ

số hi của thế màn chắn H(r)

3.1. 1. Biểu thức h0 của đa thức thế màn chắn H(r)

H r ( )

( 1)i

h r i

−∑

= i o

là một đề tài thảo luận Các số liệu liên quan đến hệ số hR0 R của đa thức

sôi nổi từ nhiều năm nay do vai trò quan trọng của hệ số này trong sự khuếch đại phản ứng áp suất

hạt nhân xảy ra ở một số thiên thể có mật độ khối lượng lớn như trong sao lùn trắng, sao neutron,...

Bằng phương pháp tối ưu hóa sự tương hợp giữa hệ thức (3a) và các dữ liệu số MC, ta có thể tìm hR0 R

trong luận văn này qua các bước sau :

Từ bảng dữ liệu theo mô phỏng Monte Carlo, ta có các giá trị r và g(r) tương ứng với từng Γ,

ta suy ra các giá trị H(r) theo công thức:

H r ( )

g r ln ( )

1 Γ

1 = + r

(3.1.1)

Với bộ số r và H(r) ta chạy chương trình Matlab tìm được biểu thức giải tích là một đa thức

−

( )H r

bậc chẵn (bậc 8) luân phiên dấu có dạng:

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

h r 4

(3.1.2)

Trong đó hR1 R = 0.25, gọi là hệ số Jancovici (đã được Jancovici tính chính xác bằng vật lý

thống kê).

Để kiểm chứng mức độ chính xác của đa thức (3.1.2), ta thế các giá trị H(r) nhận được từ

(3.1.2) vào biểu thức:

g r ( )

exp

H r

( ))

1 −Γ − ( r

  

  

(3.1.3)

Ta so sánh giá trị g(r) ở biểu thức (3.1.3) với giá trị g(r) có được từ bảng dữ liệu Monte Carlo

để tìm sai số ∆g. Trong mọi trường hợp ∆g phải luôn cỡ phần nghìn.

Ta rút ra các hR0 R từ các biểu thức giải tích (3.1.2) tương ứng với từng Γ. Từ đó ta tìm được

biểu thức hR0 R theo Γ bằng việc lập trình Matlab. Bên cạnh đó ta so sánh với các biểu thức h R0 R gần đây

nhất đã được đề nghị bởi nhiều tác giả khác nhau.

3.1.1.1. Khảo sát Γ

−

H r ( )

− 0.515 0.25

0.2645

r 0.1251

0.0196

3.1.1.1a. Khảo sát Γ = 0.1 của Carley [16]

0.55

0.5

H(r)

0.45

0.4

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2 0.35 0

r

Hình 3.1.1: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm

tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

1

0.5

0 -0.5

1.8

1.6

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4 -1 0.2

1 r

Hình 3.1.2: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 0.9‰. Vậy ứng với Γ = 0.1, ta chọn hR0 R= 0.515

−

H r ( )

0.6615 0.25

r 0.1241

0.02857

0.002212

3.1.1.1b. Khảo sát Γ = 0.2 của Carley [16]

0.7

0.6

H(r)

0.5

0.4

0

0.5

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.3: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các

chấm tròn là các giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

4

2

0 -2

2.5

2

1.5

1

0.5 -4 0

r

Hình 3.1.4: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 2.8‰. Vậy ứng với Γ = 0.2, ta chọn hR0 R= 0.6615.

−

H r ( )

− 0.8741 0.25

0.05385

r 0.005343

r 0.0001871

3.1.1.1c. Khảo sát Γ = 0.5 của Springer [30]

0.8

H(r)

0.6

0.4

0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 r

Hình 3.1.5: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm

tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

0.01

0.005

0 -0.005

1.5

2

2.5

3

3.5

1 -0.01 0

0.5 r

Hình 3.1.6. Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 8‰. Vậy ứng với Γ = 0.5, ta chọn hR0 R= 0.8741.

−

H r ( )

0.9586 0.25

r 0.04873

0.004362

r− 5 (9.363.10 )

3.1.1.1d. Khảo sát Γ = 1 của DeWitt [20]

1.2

1 H(r) 0.8

0.6

0.4 0.2 0

0.5

1

2

2.5 r 1.5

Hình 3.1.7: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các

chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte

0.01

0.005

0 -0.005

-0.01 0

0.5

1

1.5

2 r

Hình 3.1.8: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 9.1‰. Vậy ứng với Γ = 1 ta chọn hR0 R= 0.9586.

−

H r

( ) 1.057 0.25

0.03774

0.002752

r− 5 (6.88.10 )

3.1.1.1e. Khảo sát Γ = 3.174802 của DeWitt [20]

1.5

1

H(r)

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.9: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm

tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

6

4

2

0 -2

-4 0

0.5

1.5

2

1 r

Hình 3.1.10: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 5.2‰. Vậy ứng với Γ = 3.174802 ta chọn hR0 R= 1.0570.

−

H r

( ) 1.078 0.25

0.03498

0.002284

r− 5 (5.016.10 )

3.1.1.1f. Khảo sát Γ = 5 của DeWitt [20]

1.2

1

0.8

H(r)

0.6

0.4 0.2 0

0.5

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.11: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các

chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

0.01

0.005

0 -0.005

-0.01 0

0.5

1.5

2

1 r

Hình 3.1.12: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 8.1‰. Vậy ứng với Γ = 5 ta chọn hR0 R= 1.0780.

−

H r

( ) 1.092 0.25

0.03254

0.001702

r− 6 (8.5.10 )

3.1.1.1g. Khảo sát Γ = 10 của DeWitt [20]

1.2

1

0.8

H(r)

0.6

0.4

0.2

2.5

1.5

2

0.5

1 r

Hình 3.1.13: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm

tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

5

0 -5

0.5

1

2

2.5

1.5 r

Hình 3.1.14: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 7.9‰. Vậy ứng với Γ = 10 ta chọn hR0 R= 1.0920.

−

H r

( ) 1.091 0.25

r 0.03381

0.00219

r− 5 (5.349.10 )

3.1.1.1h. Khảo sát Γ = 20 của DeWitt [20]

1.2

1

0.8

H(r)

0.6

0.4

0.2

2.5

2

1.5

1

0.5 r

Hình 3.1.15: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các

chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

4

2

0 -2

-4

-6

2.5

2

1.5

1

0.5 r

Hình 3.1.16: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 4.8‰. Vậy ứng với Γ = 20 ta chọn hR0 R= 1.0910.

−

H r

( ) 1.086 0.25

0.03428

0.002284

r− 5 (5.903.10 )

3.1.1.1k. Khảo sát Γ = 40 của DeWitt [20]

1

0.8

H(r)

0.6

0.4

0.2

0.5

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.17: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm

tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

4

2

0 -2

-4

-6

0.5

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.18: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 6‰. Vậy ứng với Γ = 40 ta chọn hR0 R= 1.0860.

−

H r

( ) 1.081 0.25

0.03489

0.00238

r− 5 (6.299.10 )

3.1.1.1i. Khảo sát Γ = 80 của DeWitt [20]

1

0.8

H(r)

0.6

0.4

2.5

2

1.5

1 r

Hình 3.1.19: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm

tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

4

2

0 -2

-4

-6

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.20: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 5.8‰. Vậy ứng với Γ = 80 ta chọn hR0 R= 1.0810.

−

H r

( ) 1.075 0.25

0.03546

r 0.002461

r− 5 (6.549.10 )

3.1.1.1j. Khảo sát Γ = 160 của DeWitt [20]

0.8

0.7

H(r)

0.6

0.5

0.4 0.3 1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.21: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm

tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

6

4

2

0 -2 1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.1.22: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 5.4‰. Vậy ứng với Γ = 160 ta chọn hR0 R= 1.0750.

Tóm lại, từ các khảo sát trên các sai số ∆g khoảng vài phần ngàn (tương đương với sai số của mô

phỏng, ta có bảng số liệu của hệ số hR0 R như sau:

Bảng1: Giá trị số của hR0 R theo tham số Γ

hR0 Γ

0.1 0.5150

0.2 0.6615

0.5 0.8741

1 0.9586

3.174802 1.0570

5 1.0780

10 1.0920

20 1.0910

40 1.0860

80 1.0810

160 1.0750

1/2

3.1.1.2. Theo nghiên cứu của L. R. Gasque et al [21]

Γ << thì 1

h → Γ , L. R. Gasque et 0

Ở giới hạn chế độ nhiệt hạt nhân cổ điển tương ứng với

al đã đề nghị hệ thức:

1/2

1.0754

Gh 0

+ Γ

1.0754 3

  

  

   

1/4    

(3.1.4a)

1

0.8

0.6 -2

-1

0

3

4

5

6 0.4 -3

1 2 ln Γ

Hình 3.2.1a: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.4a)

theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1.

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0 -0.02

6

4

2

0 -2

-4

ln Γ

Hình 3.2.1b: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công

thức (3.1.4a) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

Γ ≥

, còn Ta thấy biểu thức hR0GR cho giá trị hR0 R có sai số tương đối nhỏ hơn 5.6‰ đối với các

đối với các Γ khác thì sai số là khá lớn (cỡ 8.29%). Tuy nhiên theo các tác giả, các sai số trên là chấp

nhận được nếu so sánh với sai số do phép tính thừa số vật lí thiên văn S(ε).

Dựa vào công thức (3.1.4a) của L. R. Gasque et al ta đề nghị biểu thức sau:

1/2

h 0

+ Γ

1.074 ) 0.7101

(

 

1/4  

(3.1.4b)

1

0.8

0.6 0.4 -3

-2

-1

0

2

3

4

5

6 1 ln Γ

Hình 3.2.1c: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.4b)

theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1.

0.06

0.04

0.02

0 -0.02

-0.04

-0.06 -4

-2

0

2

4

6

ln Γ

Hình 3.2.1d: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

(3.1.4b) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

Γ ≥

, Ta thấy hệ thức hR0 R đề nghị cho giá trị hR0 R có sai số tương đối nhỏ hơn 7‰ đối với các

còn đối với các Γ khác thì sai số là khá lớn (cỡ 5.63%)

3.1.1.3. Theo nghiên cứu của A. I. Chugunov [17]

1/2

= Γ

h 0

CHU

Γ B 1 + Γ

Γ B 3 + Γ

A 1 + Γ

B 2

B 4

A 2

   

 A 3  + Γ 

−

1.4515

2.7822

98.34

(3.1.5a)

A 3

A 1

A 2

A = 1

A = 2

66.07

1.7476

, , với

B = − 1

B = 2

B = 3 1.12

B = 4

1/2

, , , và

Γ (3.1.5b) đối 3

h 0

CHU

Đặc điểm của hệ thức (3.1.5a) ở trên là ta thu được dạng tiệm cận:

Γ ≤

với Γ rất bé. Các giá trị của h R0 R tương ứng với hai hệ thức trên sẽ trùng nhau (với sai số 0.3‰) kể từ

0.0032

giá trị , tức là đối với plasma cực kì loãng.

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

6

4

2 -2

-4

0 -6

0 ln Γ

Hình 3.2.2a: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5a)

theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1.

0.04

0.03

0.02

0.01

0 -0.01 -3

-2

-1

0

3

4

5

6 1 2 ln Γ

Hình 3.2.2b: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

(3.1.5b) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

Γ <

Γ ≥

, đối Ta thấy biểu thức hR0CHUR cho giá trị hR0 R có sai số tương đối nhỏ hơn 3.72% cho các

sai số nhỏ hơn 8.7‰. với

2

1.5

1

0.5

6 0 -6

2

4 -4

-2

0 ln Γ

Hình 3.2.2c: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5a) theo

lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1, đường

đứt nét biểu diễn h0 theo công thức (3.1.5b).

Dựa vào công thức (3.1.5a) của A. I. Chugunov và các giá trị số của h R0 R được cho bởi bảng I,

1/2

= Γ

ta có thể đề nghị hai hệ thức sau:

h 0

Γ B 1 + Γ

Γ B 3 + + Γ c

B 2

B 4

A 1 + + Γ A b 2

   

 A 3  + Γ 

2.776

98.34

0.665

a. (3.1.5c)

A = 1

A = 2

A = 3

1.7476

2.777

, , b = -90.51, với

B = − 1

B = 2

B = 3 1.692

B = 4

, , , c = -25.56 và

Ta có được (3.1.5c) từ việc lập trình Matlab với các số liệu đã có ở bảng 1.

1.2

1

0.8

0.6

0.4 0.2 -4

-2

0

2

4

6

ln Γ

Hình 3.2.2d: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5c)

theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1,

đường đứt nét biểu diễn h0 theo công thức (3.1.5a).

0.01

0.005

0 -0.005

-0.01

-0.015 -3

-2

-1

0

2

3

4

5

6 1 ln Γ

Hình 3.2.2e: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

(3.1.5c) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

−

Ta nhận thấy với các hệ số được hiệu chỉnh ở trên, ta có sai số giữa hệ thức (1.5c) và số liệu hR0 R

A 3

A 1

A 2

1/2

+ Γ

không được nghiệm đúng. ở bảng 1 tốt hơn khoảng 1.2% nhưng hệ thức:

ln(1

)

[

]

h 0

a i

Γ 3 + Γ ∑ + 1

= 1

(3.1.5d) b.

Với các hệ số được cho bởi bảng dưới đây:

a1 0.03198 a2 0.2323 a4 0.01171 a5 -0.000579 a3 -0.08435

1

0.8 0 h

0.6

0.4

0.2

2

4

6 0 -6

-4

-2

0 ln Γ

Hình 3.2.2f: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5d) theo

lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1, đường đứt

nét biểu diễn h0 theo công thức (3.1.5a).

0.02

0.015

0.01

0.005

0 -0.005

-0.01

-0.015 -3

-2

-1

0

2

3

4

5

6 1 ln Γ

Hình 3.2.2g: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công

thức (3.1.5d) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

Γ <

Γ ≥

Ta nhận thấy sai số giữa hệ thức được đề nghị (3.1.5d) và số liệu h R0 R ở bảng 1 tốt hơn khoảng

Γ << thì 1

1/2 Γ . 3

h = 0

1.57% cho các , và sai số nhỏ hơn 3.2‰ đối với . Đồng thời thỏa mãn điều kiện khi

Mặt khác theo công trình nghiên cứu của tác giả Đỗ Xuân Hội, biểu thức h R0 R được thể hiện như

h 0

Γ 3 + Γ Γ k ( )

Γ = ( ) 1.75424 0.424395

2 arctan(1.60269 )

(3.1.5e)

x x

10 2

Trong đó

1

0.8 0 h

0.6

0.4

0.2 0 -6

-4

-2

2

4

6 0 ln Γ

Hình 3.2.2h: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5e) theo

lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1, đường

đứt nét biểu diễn h0 theo công thức (3.1.5d).

Γ ≤

Ta thấy từ hai đường biểu diễn gần như trùng nhau.

−

3.1.1.4. Theo nghiên cứu của H. E. DeWitt [20]

)

DWS

h 0

h lm 0 (

Φ 100

−

Γ +

(3.1.6a)

(

) 1.056299

0.274823ln

1.084319

(

)

h lm = 0

1.039957 0.676936 Γ

1 Γ

Φ =

Γ +

2.71ln

4.8

−

Γ +

−

1.056299

0.274823ln

1.084319

0.0271ln

0.048

(

)

(

h 0

DWS

1.039957 0.676936 Γ

1 Γ

Trong đó

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

6

4

2

0 -2

0.4 -4

ln Γ

Hình 3.2.3a: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.6a)

theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1.

-3

x 10

20

15

10

5

0 -5

6

5

4

3

2

1

0 -1

ln Γ

Hình 3.2.3b: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

1Γ < ,

(3.1.6a) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

1Γ ≥ sai số nhỏ hơn 8.5‰.

Ta thấy sai số giữa biểu thức hR0DWSR (3.1.6a) và số liệu ở bảng 1 tương đối lớn cho các

đối với

−

Γ +

−

Dựa vào công thức (3.1.6a) của H. E. DeWitt ta đề nghị biểu thức sau:

1.078

0.274823ln

1.084319

0.1773ln

0.6445

(

)

(

h = 0

0.3348 0.676936 Γ

1 Γ

(3.1.6b)

Ta có được (3.1.6b) từ việc lập trình Matlab với các số liệu đã có ở bảng 1.

1

0.8

0.6

6

4

2

0 -2

0.4 -4

ln Γ

Hình 3.2.3c: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.6b) theo

lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1.

0.02

0.01

0 -0.01

-3

-2

-1

0

2

3

4

5

6 1 ln Γ

Hình 3.2.3d: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

(3.1.6b) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

Ta thấy sai số giữa hệ thức hR0 R ở (3.1.6b) và số liệu ở bảng 1 nhỏ hơn 1.48% .

3.1.1.5. Theo h0 được đề nghị của các tác giả Đỗ Xuân Hội - Lý Thị Kim Thoa [6]

Dựa trên nghiên cứu của De Witt, các tác giả Đỗ Xuân Hội - Lý Thị Kim Thoa đã đề nghị một

−

ằng c hệ thức hR0 R cho Γ ≥ 5, b

)

h 0

h lm 0 (

Φ 100

(3.1.7a)

Trong đó:

−

Γ +

(

) 1.056299

0.274823ln

1.084319

(

)

h lm = 0

1.039957 0.676936 Γ

1 Γ

Φ =

(ln )k Γ

∑

−

Các hệ số aRk R trong hàm Φ được cho bởi bảng dưới đây :

a1 0.69922 a2 2.80549 a4 0.43372 a0 6.69370 a5 0.03298 a3 1.95369

6

5

4

3

2

ln Γ

1 h0 0 -4

-2

0

2

4

6 Hình 3.2.4a: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.7a) theo

lnΓ, các chấm tròn là các giá trị h0 theo các số liệu ở bảng 1.

6

4

2

0 -2

-3

-2

-1

0

3

4

5

6 1 2 ln Γ

Hình 3.2.4b: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

(3.1.7a) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

1Γ < ,

Ta thấy sai số giữa biểu thức hR0Thoa R (3.1.7a) và số liệu ở bảng 1 tương đối lớn cho các

1Γ ≥ sai số nhỏ hơn 1.95%.

đối với

−

)

Dựa vào công thức (3.1.6a) của De Witt ta cũng đề nghị biểu thức tương tự sau:

h 0

h lm 0 (

Φ 100

Γ +

−

) 1.056299

0.274823ln

1.084319

(3.1.7b)

)

(

h lm ( 0

1.039957 0.676936 Γ

1 Γ

Φ =

a (ln ) Γ k

∑

Trong đó:

Các

hệ số a0 4.976 a1 4.802 a2 2.026 a4 -0.181 a5 0.06925 a3 -1.196 aRk R

được cho bởi bảng dưới đây :

1.2

1

0.8

0.6 0.4 -3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

6

ln Γ

Hình 3.2.4c: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.7b)

theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1.

-3

x 10

5

0 -5 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

ln Γ

Hình 3.2.4d: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

(3.1.7b) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

Ta thấy sai số giữa biểu thức hR0 R ở (3.1.7b) và số liệu ở bảng 1 nhỏ hơn 3.6‰.

3.1.1.6. Để thuận tiện trong việc thực hiện tính toán trên máy tính, ta đề nghị hệ thức h0 dưới đây:

(ln )k Γ

h 0

b k

∑

(3.1.8)

Các hệ số bRk RR R cho bởi bảng sau:

-5

bR1 bR2 bR3 bR4 bR5 0b

0.9485 0.1269 -0.03277 0.0006258 0.0006855 -6.6224.10P

1.2

1

0.8

0.6 0.4 -3

-2

-1

0

2

3

4

5

6 1 ln Γ

Hình 3.2.5a: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.8)

theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1.

0.01

0 -0.01

-2

-0.02 -3

-1

0

1

2

3

4

5

6

ln Γ

Hình 3.2.5b: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức

(3.1.8) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1.

Ta thấy biểu thức hR0 R đề nghị ở (3.1.8) cho giá trị hR0 R có sai số tương đối nhỏ hơn 1.47% so với số

liệu ở bảng 1.

*Kết luận: Qua phần 3.1 nêu trên ta chọn biểu thức h R0 R (3.1.5d) do sự tương thích với hệ thức của

Γ << ), đồng thời có sai số so với bảng I nhỏ hơn. Bên cạnh đó luận văn này lấy số liệu

1/2 Γ ( 3

h = 0

A. I. Chugunov (3.1.5a) áp dụng cho môi trường plasma loãng một thành phần, và thỏa mãn điều kiện

Monte Carlo của Dewitt 96 để đưa ra biểu thức đề nghị (3.1.5d), trong khi đó kết quả của A. I.

Chugunov và H. E. DeWitt dựa trên số liệu Monte Carlo của Dewitt 99. Mặc dù hR0 R được đề nghị theo

nghiên cứu của H. E. DeWitt cho kết quả sai số tốt hơn nhưng hệ thức hR0 R của H. E. DeWitt lại áp

dụng phần lớn cho môi trường plasma đậm đặc hai thành phần. Như vậy ta sẽ lựa chọn hệ thức hR0 R đề

nghị (3.1.5d) để phù hợp với dữ liệu MC đang sử dụng và các điều kiện cần thiết của hệ plasma loãng

một thành phần theo A. I. Chugunov. Khi đó, ta được bảng số liệu sau:

Bảng 2: Các số liệu của hệ số hR0

hR0 Γ

0.1 0.5030

0.2 0.6586

0.5 0.8623

0.9743 1

1.0363 2

3.174802 1.0586

1.0735 5

1.0888 10

1.0940 20

1.0882 40

1.0782 80

160 1.0757

3.1.2. Các biểu thức h2, h3, h4 của đa thức thế màn chắn H(r)

Đồng thời với hR0 R, phương pháp trên cũng cho ta kết quả số cho các hệ số còn lại hR2 R, hR3 R, và hR4 R của

đa thức thế màn chắn H(r) (3a)

Để kiểm chứng mức độ chính xác của đa thức H(r) vừa tìm được ứng với từng Γ, ta thế các giá trị

g r ( )

exp

H r

( ))

1 −Γ − ( r

  

  

H(r) này vào biểu thức: (3.2a)

Ta so sánh giá trị g(r) ở biểu thức (3.2a) với giá trị g(r) có được từ bảng dữ liệu Monte Carlo để

tìm sai số ∆g. Trong mọi trường hợp ∆g phải luôn cỡ phần nghìn.

Từ các giá trị hR2 R, hR3 R, và hR4 R có được ứng với từng Γ, ta lập bảng số liệu và thiết lập các biểu thức

giải tích tổng quát cho hR2 R, hR3 R, và hR4 R dưới dạng :

Γ (ln )

h i

b k

∑

; i = 2, 3, 4

3.1.2.1. Khảo sát Γ

−

H r ( )

0.503015769010927 0.25

0.285915060438606

a. Đối với Γ = 0.1 của Carley [16]

−

0.155198109701399

0.029888282893724

(3.2.1a)

0.8

Γ = 0.1

0.6

0.4 ) r ( H

0.2

0

0.5

1.5

2 1 r

Hình 3.3.1: Đường liền nét biểu diễn H(r) ở công thức (3.2.1a), các chấm tròn là các giá trị H(r) theo số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

2

Γ = 0. 1

1

0 ) r ( g - C M

) r ( g

-1

-2 0

0.5

1

1.5 r

Hình 3.3.2: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 1.8‰ trong khoảng r < 1.5

−

H r ( )

0.658551399742624 0.25

b. Đối với Γ = 0.2 của Carley [16]

0.184492331076672 6

−

0.077715900074554

0.012241461112476

(3.2.1b)

1

Γ = 0.2

0.8

0.6 ) r ( H

0.4

0.2 0 0

0.5

1.5

2 1 r

Hình 3.3.3: Đường liền nét biểu diễn H(r) ở công thức (3.2.1b),

các chấm tròn là các giá trị H(r) theo số liệu Monte Carlo.

-4

x 10

20

Γ = 0. 2

15

10 ) r ( g - C M

5 ) r ( g

0

0.5

1

1.5 r

Hình 3.3.4: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 1.8‰ trong khoảng r < 1.5.

−

H r ( )

0.862341373428701 0.25

c. Đối với Γ = 0.5 của Springer [30]

0.074081485695092 6

−

0.012769012829292

0.000884383965232

(3.2.1c)

Γ = 0. 5

1

0.8

0.6 ) r ( H

0.4

0.2 0 0

0.5

1

2

2.5

3 1.5 r

Hình 3.3.5: Đường liền nét biểu diễn H(r) ở công thức (3.2.1c),

các chấm tròn là các giá trị H(r) theo số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

6

Γ = 0. 5

4 ) r ( g - C M

2 ) r ( g

0 0

0.5

1.5

2 1 r

Hình 3.3.6: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 5‰ trong khoảng r < 2.2

−

H r ( )

0.974321293799084 0.25

d. Đối với Γ = 1 của DeWitt [20]

0.051772798477136 6

−

r 0.006294988481791

0.000330087506749

(3.2.1.d)

1.5

Γ = 1

1 ) r ( H

0.5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 r

Hình 3.3.7: Đường liền nét biểu diễn H(r) ở công thức (3.2.1d),

các chấm tròn là các giá trị H(r) theo số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

Γ = 1

5 ) r ( g - C M

0 ) r ( g

-5

0

0.5

1

1.5

2 r

Hình 3.3.8: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 7.7‰ trong khoảng r < 2.2

−

H r

( ) 1.036290604574693 0.25

e. Đối với Γ = 2 của Hansen [24]

0.040240623194478 6

−

0.003260542637896

0.000096930800218

(3.2.1e)

1.5

Γ = 2

1 ) r ( H

0.5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.3.9: Đường liền nét biểu diễn H(r) ở công thức (3.2.1e),

các chấm tròn là các giá trị H(r) theo số liệu Monte Carlo.

-3

x 10

Γ = 2

6

4

2 ) r ( g - C M

0 ) r ( g

-2

-4

0

0.5

1.5

2

1 r

Hình 3.3.10: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 6.4‰ trong khoảng r < 2.2

−

H r

( ) 1.058561778870926 0.25

f. Đối với Γ = 3.174802 của DeWitt [20]

0.035570374493529 6

−

0.002016639102562

0.000001542697782

(3.2.1f)

1.5

Γ = 3.174802

1 ) r ( H

0.5

3 0 0

0.5

1

2

2.5 1.5 r

Hình 3.3.11: Đường liền nét biểu diễn H(r) ở công thức

(3.2.1e), các chấm tròn là các giá trị H(r) theo số liệu Monte

-3

x 10

5

Γ = 3. 174802

0 -5

) r ( g - C M

-10

) r ( g

-15

0

0.5

1.5

2

1 r

Hình 3.3.12: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g.

Ta thấy ∆g cỡ 1.5% trong khoảng r < 2.2

Qua các đồ thị trên ta thấy đa thức thế màn chắn H(r) mà ta đề nghị cho từng Γ rất phù hợp với

số liệu theo mô phỏng Monte Carlo và HyperNetted Chain ở những khoảng cách nhỏ khi r nhỏ hơn

một giá trị nào đó (sai số ∆g cỡ phần ngàn tương đương với sai số phạm phải do chính các mô phỏng

này), giá trị này là r RDH R sẽ được trình bày rõ ở phần 3.2. Điều này thể độ chính xác của hệ thức thế

màn chắn mà ta đã đề nghị cải tiến lý thuyết Debye Hückel cho plasma loãng một thành phần (3b).

3.1.2.2. Các biểu thức h2, h3, h4 của đa thức thế màn chắn H(r)

Từ việc khảo sát các tham số tương liên Γ ở (3.1.2.1), ta rút ra các giá trị hR2 R, hR3 R và hR4 R trong biểu

thức giải tích thế màn chắn H(r) ứng với từ Γ. Ta được bảng số liệu sau:

Bảng 3: Giá trị số của các hệ số hR2 R, hR3 R, hR4 R trong đa thức Widom

0.155198

0.0298883

hR2 hR3 hR4 Γ

0.077716

0.0122415

0.1 0.285915

0.0127690

0.00088438

0.2 0.184492

0.0062949

0.00033008

0.5 0.074081

0.0032605

0.00009693

1 0.051772

0.0020166

0.00000154

2 0.040241

3.174802 0.035570

Các giá trị số của các hệ số trên có thể tìm lại với biểu thức giải tích tổng quát dưới dạng:

(ln )k Γ

h i

b k

∑

với i = 2, 3, 4.

Với bRk R là các giá trị cho bởi bảng 2.3 sau:

Bảng 2.3: Các hệ số của các biểu thức giải tích hR2 R, hR3 R, hR4

h2 h3 h4

0.05177 0.006295 0.0003301 b0

-0.01518 -0.0004388 0.0005552 b1

0.007324 0.0004114 -0.0002833 b2

-0.02167 -0.01502 -0.002602 b3

0.008098 0.006594 0.001285 b4

0.005127 0.003445 0.0005493 b5

0.2

0.1

1.5

1

0.5

0 -1

-1.5

-2

0 -2.5

-0.5 ln Γ

Hình 3.4.1: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h2 theo lnΓ của

thế màn chắn H(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể

hiện các giá trị của hệ số theo số liệu ở bảng 3.

0.15

0.1

0.05

0 -2

-1.5

-1

0

0.5

1

1.5 -2.5

-0.5 ln Γ

Hình 3.4.2: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h3 theo lnΓ của thế

màn chắn H(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các

giá trị của hệ số này theo số liệu ở bảng 3.

0.03

0.02

0.01 0 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ln Γ

Hình 3.4.3: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h4 theo lnΓ của

thế màn chắn H(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể

hiện các giá trị của hệ số này theo số liệu ở bảng 3.

Qua khảo sát sự biến thiên của các hệ số hi trên theo tham số Γ ta thấy dáng điệu của đại lượng

này là giảm đều, không cho thấy có điểm bất thường nào khi Γ thay đổi.

1/2

+ Γ

ln(1

)

[

]

h 0

a i

Γ 3 + Γ ∑ + 1

= 1

* Như vậy ta lựa chọn các biểu thức hi (với i = 0, 2, 3, 4) của đa thức thế màn chắn H(r) như sau:

Với các hệ số ai được cho bởi bảng dưới đây:

a1 0.03198 a2 0.2323 a4 0.01171 a5 -0.000579 a3 -0.08435

(ln )k Γ

h i

b k

∑

, i = 2, 3, 4. trong đó các hệ Các biểu thức giải tích của h2, h3, h4 được cho bởi

số bk được cho bởi bảng 2.3.

3.2. Xác định khoảng cách giới hạn rDH(Γ)

−

Với mỗi Γ ta sẽ tìm được thế Debye – Hückel tương ứng:

r ( )

e r

(3.2a)

Như phần đầu ta đã biết thế màn chắn Debye - Hückel HDH(r) chỉ được áp dụng ở khoảng cách r

−

;

r DH

e r

( ) H r

> rDH. Vì vậy để nâng cao độ chính xác của lý thuyết Debye – Hückel ta sử dụng hệ thức sau:

≤

− ( 1)

;

h r i

r DH

(3.2b)

∑

   =   

Một khi đã xác định rằng thế Debye-Hückel chỉ được sử dụng kể từ một khoảng cách rDH nào đó

−

r DH

−

H r ( )

+ (3.2c)

h r 4

h r 3

h r 2

h r 1

h 0

8 DH

6 DH

4 DH

2 DH

= r r

e r DH

đối với mỗi giá trị của tham số Γ, ta sẽ sử dụng điều kiện liên tục (3.2b) cho các hàm số, cụ thể là:

để tìm được rDH cho mỗi Γ. Do thế Debye – Hückel chỉ có đối với plasma loãng nên ta sẽ tìm rDH cho

2Γ ≤ . Thông qua đó ta lập bảng số liệu rDH theo Γ và sử dụng chương trình Matlab để tìm

những

biểu thức rDH(Γ).

2Γ ≤ cho ta kết quả như sau:

Khảo sát những

0.7

Γ = 0.1

0.6

0.5 ) r ( H

0.4

0.3 1.29072

0.2 0

0.5

1

1.5

2

2.5 r

Hình 3.5.1a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.29072, thế

Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom

(đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị HyperNetted Chain.

0.405

Γ = 0.1

0.4

0.395 ) r ( H

0.39

1.35 1.29072 1.3

1.25

1.2 r

Hình 3.5.1b : Tại điểm có hoành độ 1.29072, hai đường biểu

diễn cắt nhau và có cùng độ dốc.

Γ =

1.29072

0.1

: Ta thấy kể từ những điểm có , hệ thức có dạng (3.2a) mới Đối với

1.29072

tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể

DHr

từ giá trị về phía nhỏ hơn, thế DH không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng màn chắn.

0.8

Γ = 0.2

0.7

0.6 ) r ( H

0.5

0.4 1.40899

2.5

2

1.5

1

0.5 0.3 0

r

Hình 3.5.2a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.40899, thế Debye

Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền nét).

Các chấm tròn là các giá trị HyperNetted Chain.

Γ = 0.2

0.475 ) r ( H

0.47

0.465

1.36

1.38 1.40899 1.42

1.4 r

Hình 3.5.2b : Tại điểm có hoành độ 1.40899, hai đường biểu diễn

cắt nhau và có cùng độ dốc.

Γ =

1.40899

0.2

Đối với : Ta thấy kể từ những điểm có , hệ thức có dạng (3.2a) mới

1.40899

tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể

DHr

từ giá trị về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng

Γ = 0.5

màn chắn.

1

0.8 ) r ( H

0.6

0.4

0

0.5

2

1.5

3

3.5 2.01509 2.5

2 r

Hình 3.5.3a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.01509, thế

Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom

(đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị HyperNetted Chain.

0.5

Γ = 0.5

0.48

0.46 ) r ( H

0.44 2.01509

0.42

1.9

2

2.1

2.2 r

Hình 3.5.3b : Tại điểm có hoành độ 2.01509, hai đường

biểu diễn cắt nhau và có cùng độ dốc.

Γ =

2.01509

0.5

Đối với : Ta thấy kể từ những điểm có , hệ thức có dạng (3.2a) mới

2.01509

tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể

DHr

từ giá trị về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng

màn chắn.

1.5

Γ = 1

1 ) r ( H

0.5

1

1.5 0 0

3 2.09863 2.5

2

3.5 r

Hình 3.5.4a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.09863, thế Debye

Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền

nét). Các chấm tròn là các giá trị Monte Carlo.

0.55

Γ = 1

0.5 ) r ( H

0.45

0.4 2.09863 2.2

2

1.8 r

Hình 3.5.4b : Tại điểm có hoành độ 2.09863, hai đường biểu

diễn cắt nhau và có cùng độ dốc.

2.09863

1Γ = : Ta thấy kể từ những điểm có

Đối với , hệ thức có dạng (3.2a) mới tương

2.09863

thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể từ giá

DHr

về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng màn trị

chắn.

2.5

Γ = 2

2

1.5 ) r ( H

1

0.5 0 0

0.5

1

1.5 2.12295 2.5

2 r

Hình 3.5.5a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.12295, thế

Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom

(đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị Monte Carlo.

Γ = 2

0.472

0.47 ) r ( H

0.468

0.466

0.464

0.462

2.15

2.1

2.11

2.12

2.14 2.12295 2.13

r

Hình 3.5.5b : Tại điểm có hoành độ 2.12295, hai đường

biểu diễn cắt nhau và có cùng độ dốc.

2.12295

2Γ = : Ta thấy kể từ những điểm có

Đối với , hệ thức có dạng (3.2a) mới

2.12295

tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể

DHr

từ giá trị về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng

màn chắn.

Kết quả chung của rDH cho mỗi giá trị của Γ được trình bày trong bảng 4. Bảng này cho ta thấy

rõ giới hạn áp dụng của thế dạng Yukawa cho plasma loãng.

Bảng 4 : Các giá trị số của điểm nối rDH giữa thế Debye-Hückel và đa thức Widom.

rDH Γ

0.1 1.29072

0.2 1.40899

0.5 2.01509

1 2.09863

2 2.12295

Γ +

1.69 0.3059arctan(3.394ln

4.156)

Các giá trị số ở bảng 4 được biểu diễn bởi hệ thức giải tích:

DHr

(3.2d)

Để thấy rõ thêm tầm ảnh hưởng của đa thức Widom lên thế màn chắn, ta có thể quan sát hình

3.5.6a đường biểu diễn sự biến thiên của rDH theo Γ như công thức (3.2d). Ta thấy giá trị của rDH tăng

theo Γ chứng tỏ rằng thế Yukawa chỉ thể hiện chính xác tác dụng màn chắn đối với plasma loãng và

ngay cả khi này thì thế Yukawa cũng chỉ được áp dụng đối với khoảng cách r đủ lớn.

2.2

2

1.8 H D r

1.6

1.4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Γ Γ

Hình 3.5.6a: Sự biến thiên của rDH theo Γ. Ta thấy thế Yukawa

giảm dần ảnh hưởng khi plasma càng đậm đặc.

-3

x 10

1

0.5

0 -0.5

-1 0

0.5

1.5

2 1 Γ

Hình 3.5.6b: Đồ thị thể hiện sai số giữa hệ thức (3.2d) với

số liệu ở bảng 4.

Ta thấy sai số ở đây nhỏ hơn 0.7‰.

Theo nghiên cứu của tác giả Đỗ Xuân Hội đã được đề nghị ở [3]

1.62540 0.34536arctan 3.04030ln

DHr

Γ 0.25412

  

  

  

  

(3.2e)

2.2

2

1.8 H D r

1.6

1.4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 Hình 3.5.6c: Đường liền nét biểu diễn rDH ở công thức (3.2e), các

chấm tròn là các giá trị rDH theo số liệu ở bảng 4.

Γ =

Hệ thức (3.2d) ở trên có dạng đơn giản, dễ vận dụng hơn hệ thức tính rDH đề nghị trong (3.2e),

0.1

trong khi sai số giữa hai công thức tối đa chỉ là khoảng 9% cho giá trị .

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

1.5

2

0

0.5 1 Γ

Hình 3.5.6d: Đồ thị biểu diễn sai số giữa biểu thức đề nghị

rDH ở (3.2d) với hệ thức (3.2e)

2.2

2

1.8 H D r

1.6

1.4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 Hình 3.6e: Đường liền nét biểu diễn hệ thức rDH đề nghị, đường

đứt nét biểu diễn hệ thức rDH theo tác giả Đỗ Xuân Hội. Các chấm

tròn là các giá trị rDH theo số liệu ở bảng 4.

Cần chú ý rằng ngoài điều kiện (3.2c) thể hiện sự liên tục về biên độ, ta cũng cần kiểm nghiệm

lại tính liên tục về độ dốc của hai hàm số cũng như sự bảo đảm hai hàm số có cùng bề lõm tại điểm

−

r DH

−

H r ( )

7 DH

5 DH

3 DH

h r 4

h r 3

h r 2

h r 1

= r r

Γ 3 e r DH

2 r DH

−

r DH

−

2 3

Γ 3

= −

−

H r ( )

6 DH

4 DH

2 DH

h r 4

h r 3

h r 2

h 1

= r r

Γ e 2 r DH

e r DH

3 r DH

 ∂  ∂ r  ∂  ∂ r

nối rDH, cụ thể là:

-11

P, coi như gần bằng không).

Sau khi tính toán bằng chương trình Matlab ta thấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hai hàm này

tại điểm rDH ứng với từng Γ ở bảng 4 là bằng nhau (với sai số khoảng 10P

Điều này thể hiện sự đúng đắn của hệ thức (3.2b) mà ta đã đề nghị để hiệu chỉnh lí thuyết Debye –

Hückel cho plasma loãng.

Γ +

1.69 0.3059arctan(3.394ln

4.156)

Như vậy, lí thuyết DH chỉ đúng ở khoảng cách khi r > rDH, với rDH được cho bởi hệ thức:

DHr

CHƯƠNG 4: XÁC ĐỊNH NGƯỠNG CỦA HIỆU ỨNG TRẬT TỰ ĐỊA PHƯƠNG ΓC

4.1. Xác định biểu thức rmax(Γ)

4.2. Các hệ số của đa thức thế màn chắn HC(r)

4.3. Giá trị ngưỡng ΓC

Ta đã biết ΓC là giá trị giới hạn của tham số tương quan mà kể từ đó hàm phân bố xuyên tâm bắt

đầu chuyển dáng điệu biến thiên từ hàm tăng đơn điệu sang dao động tắt dần theo khoảng cách liên

iôn r. Giá trị ngưỡng ΓC đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu bằng nhiều cách khác nhau. Hansen dựa

trên việc nghiên cứu các dữ liệu Monte Carlo tìm ra ΓC trong khoảng [2, 3]. Rio và De Witt đã nghiên

cứu tìm ra ΓC = 1.8206. Choquard và Sari đã dựa trên tính toán theo phương pháp HyperNette Chain

và đưa ra kết luận ΓC ≈ 0.99. Tác giả Đỗ Xuân Hội đã đề nghị giá trị ΓC = 1.75 [3]. Như vậy ΓC vẫn

Pcủa trật tự địa phương.

nào đó mà thôi. Dưới đây là một cách để đề nghị cho giá trị ngưỡng ΓCP

Để tìm giá trị ngưỡng ΓCP

Pcủa trật tự địa phương, trước tiên ta sẽ tìm biểu thức rmax là giá trị tại đó

còn là vấn đề để nghiên cứu, chưa tìm ra giá trị duy nhất mà chỉ dự đoán ΓC đúng trong môt khoảng

hàm g(r) có cực đại đầu tiên. Kế đến bằng cách dùng tính liên tục của HC(r) tại điểm tiếp nối rmaxC ta

tìm biểu thức các hệ số h2C, h3C, h4C của thế màn chắn HC(r) khi Γ tiến tới ΓC. Cuối cùng ta kết hợp đồ

thị để tìm ΓC từ các điểm tiếp nối của các đồ thị h2 và h2C, h3 và h3C, h4 và h4C.

4.1. Xác định biểu thức rmax(Γ)

Ta tìm giá trị rmax tương ứng với điểm gmax của từng Γ trong bảng dữ liệu Monte Carlo. gmax là giá

trị của điểm cực đại đầu tiên khi đồ thị g(r) bắt đầu có dao động. Từ đó ta lựa chọn các giá trị phù hợp

Bảng 5: Các giá trị rmax theo Γ

và đưa ra bảng số liệu sau:

rmax Γ

3.174802 1.9297

5.0 1.7539

10 1.6837

Quan sát các số liệu ở bảng 5, ta thấy rmax giảm dần theo Γ.

−

Γ +

2.84 1.076ln

0.2491(ln )

r max

Γ (4.1a)

Ta đề nghị biểu thức rmax như sau:

3

2.5

rmax

2

1.5

10

8

6

4

2 Hình 4.1.1: Đường liền nét biểu diễn rmax ở công thức (4.1a), các

chấm tròn là các giá trị rDH theo số liệu ở bảng 5.

-8

x 10

0 -2

-4

-6

-8 3

4

5

6

7

9

8

10

nghị rmax ở (4.1a) với số liệu ở bảng 5

Γ Hình 4.1.2: Đồ thị biểu diễn sai số giữa biểu thức đề

−

Theo nghiên cứu của tác giả Đỗ Xuân Hội được đề nghị ở [3]

2.31382 0.794931ln

0.248395 ln

r max

Γ 1.75

  

  

  

  

  

  

(4.1b)

3

2.5

rmax

2

1.5

2

4

6

8

10 Hình 4.1.3: Đường liền nét biểu diễn rmax ở công thức (4.1b),

các chấm tròn là các giá trị rmax theo số liệu ở bảng 5.

-3

x 10

1.3

1.2

1.1

1

0.9

0.8

10

9

8

7

6

5

4

3

Hình 4.1.4: Đồ thị biểu diễn sai số giữa biểu thức rmax ở

(4.1b) của tác giả Đỗ Xuân Hội với số liệu ở bảng 5.

Ta thấy sai số tương đối nhỏ hơn 6% .

Như vậy, sai số của biểu thức rmax đề nghị tốt hơn, cho giá trị rmax có sai số rất bé gần bằng

không.

4.2. Biểu thức các hệ số h2C, h3C, h4C của đa thức thế màn chắn HC(r)

Khi Γ tiến tới ΓC thì g(r) tiến tới gC, rmax tiến tới rmaxC. Từ các dữ liệu Monte Carlo và

HyperNetted Chain cho thấy gC ≡ 1, tức có sự che chắn hoàn toàn tại một giá trị rmacC. Như vậy ta sẽ

sử dụng hệ thức dưới đây để xác định biểu thức các hệ số h2C, h3C, h4C của đa thức thế màn chắn tại

( ) H r C

Γ→Γ

≥

;

r max

1 r

( ) H r C

− ( 1)

;

h r iC

r max

: giá trị ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương khi lim ( ) H r

∑

  =   

Ta cũng sử dụng các điều kiện liên tục cho biên độ, đạo hàm bậc nhất và bậc hai cho HC(r) tại

−

( ) H r

2 h r 1 max

h 0

h r 4 max C

h r 3 max C

h r 2 max C

= r r

max

r max

= −

−

( ) H r

2 max

h r 1 max

h r 4 max C

h r 3 max C

h r C

= r r

max

C 1 2 r max

−

( ) H r

h 1

h r 4 max C

h r 3 max C

h r 2 max C

= r r

max

2 3 r max

    ∂  ∂ r  ∂  ∂ r

điểm tiếp xúc rmaxC(Γ), ta được:

Giải hệ 3 phương trình trên với 3 ẩn h2C, h3C, h4C; ta sẽ tìm được giá trị của h2C, h3C, h4C phụ

3 h r 1 max

h r 0 max

h 2

− 48 5 8 r max

3 h r 1 max

h r 0 max

h 3

thuộc vào h0, h1, rmaxC như sau:

− 4

32 7 r max

3 h r 1 max

h r 0 max

h 4

− 24 9 8 r max

(4.2)

Với h0 được tính theo công thức (1.5d), h1=0.25, rmaxC được tính theo công thức (4.1a), ta thế vào

hệ (4.2) được bảng số liệu sau:

Bảng 6: Các giá trị của các hệ số h2C, h3C, h4C theo Γ

-3

h2C h3C h4C

2 0.0423 0.0040 0.1605.10P

-3

3.174802 0.0377 0.0030 0.1172.10P

-3

4 0.0371 0.0034 0.2338.10P

(ln )k Γ

Như vậy với thế màn chắn HC(r) thì các biểu thức giải tích của các hệ số h2C, h3C, h4C có thể

h iC

a k

∑

được viết dưới dạng: với i = 2, 3, 4.

Với ak là các giá trị cho bởi bảng sau:

Bảng 3.2: Các hệ số ak của các biều thức giải tích h2C, h3C, h4C

h2C h3C h4C

0.05784 0.01007 0.000917 a0

-0.03 -0.01282 -0.00169 a1

0.01086 0.005792 0.0008636 a2

0.2

0.15

0.1

h2C

0.05

2 -3

-2

-1

0

1

ln Γ

Hình 4.2.1: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h2C, theo lnΓ của thế

màn chắn HC(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các

giá trị của hệ số theo số liệu ở bảng 6.

0.08

0.06

h3C

0.04

0.02

2

1

0 -1

-2

0 -3

ln Γ

Hình 4.2.2: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h3C, theo lnΓ của thế

màn chắn HC(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các

giá trị của hệ số theo số liệu ở bảng VI.

-3

x 10

10

h4C

5

0 -3

-2

-1

0

1

2

ln Γ

Hình 4.2.3: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h4C, theo lnΓ của thế

màn chắn HC(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các

2 So sánh đồ thị biểu diễn các hệ thức 10P

2 Ph2 và 10P

3 3 Ph3 và 10P Ph2C, 10P

4 Ph3C, 10P

4 Ph4 và 10P

Ph4C với các hệ

4.3. Giá trị ngưỡng ΓC

số được đề nghị tương ứng ở bảng 2.3 và bảng 3.2.

6 h3

5 h2

4

3 h4

2

1 h0

0.7

0.65

0.6

0.55

0.5 0 0.45

ln Γ

Hình 4.3.1: Đồ thị thể hiện các hệ số của đa thức xấp xỉ của thế

màn chắn quanh giá trị ngưỡng ΓC. Đường liền nét biểu diễn đồ thị

các hệ số của thế màn chắn H(r). Đường đứt nét biểu diễn đồ thị

các hệ số của thế màn chắn HC(r).

Ta thấy hai đường biểu diễn h2 và h2C rất gần nhau và sự chênh lệch giữa hai đường biểu diễn h3

và h3C khá nhỏ cỡ phần nghìn trong khoảng lnΓ từ 0.45 đến 0.7. Mặt khác ta thấy chỉ có hai đường

biểu diễn h4 và h4C giao nhau, nên ta sẽ chọn điểm tiếp nối này làm ΓC, khi đó các hệ số của đa thức

thế màn chắn H(r) sẽ xấp xỉ các hệ số của đa thức thế màn chắn HC(r). Bằng thủ thuật đồ thị ta tìm

được hoành độ của điểm giao nhau này là 0.58814 tương ứng với ΓC = 1.8006. Ta nhận thấy giá trị

ngưỡng trật tự địa phương vừa đề nghị rất gần với kết quả của Rio và De Witt đã nghiên cứu là ΓC =

1.8206.

2.2185

2.218 2.2175

2.217 2.2165

0.5881

0.58815

0.5882

0.58825

0.5883

ln Γ

Hình 4.3.4: Đồ thị thể hiện sự chênh lệch giữa 104h4 và 104h4C. Đường liền nét biểu diễn 104h4, đường đứt nét biểu diễn 104h4C.

Thật vậy khi Γ = 1.8006 thì h2 = 0.043955, h2C = 0.042298, sai số giữa h2 và h2C là 1.66‰; h3 =

P), gần bằng không. Kết quả, ta thu được:

-8 số giữa h4 và h4C là rất bé (10P

0.0045353, h3C = 0.0041555, sai số giữa h3 và h3C là 0.38‰; h4 = 0.00022177, h4C = 0.00022178, sai

Bảng 7: Các số liệu liên quan đến ngưỡng ΓC

1.8006 ΓC

2.29334 rmaxC

1.029561 h0C

0.25 h1C

0.042298 h2C

0.0041555 h3C

H(r)

0.00022178 h4C

1

0.8

0.6

2.5

2

0.5

1

1.5 0.4 0

Hình 4.3.5: thể hiện đồ thị của thế màn chắn so sánh giữa số liệu Monte

Carlo với Γ = 1 (biểu diễn bởi ***); Γ = 2 (biểu diễn bởi các chấm tròn)

và giá trị ngưỡng ΓC = 1.8006 (biểu diễn bởi đường liền nét).

Trong hình 4.3.5 thế màn chắn H(r) của ΓC = 1.8006 được tính theo đa thức giải tích với các hệ

số cho bởi bảng (2.3) mà ta đã đề nghị để hiệu chỉnh lý thuyết Debye – Hückel cho plasma liên kết

yếu; đối với Γ = 1 và Γ = 2 ta sử dụng số liệu Monte Carlo được cho bởi De Witt và Hansen.

1

0.8

0.6

g(r)

0.4

0.2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 Hình 4.3.6: Thể hiện đồ thị của hàm phân bố xuyên tâm g(r) so sánh giữa số

liệu Monte Carlo với Γ = 1 (biểu diễn bởi ***); Γ = 2 (biểu diễn bởi các

chấm tròn) và giá trị ngưỡng ΓC = 1.8006 (biểu diễn bởi đường liền nét).

exp

( ))

Trong hình 4.3.6 hàm phân bố xuyên tâm của ΓC = 1.8006 được tính theo công thức

( ) g r C

H r C

1 −Γ − ( r

  

  

sau khi ta có được HC(r); đối với Γ = 1 và Γ = 2 ta sử dụng số liệu

Monte Carlo được cho bởi De Witt và Hansen.

Qua các đồ thị hình 4.3.5 và hình 4.3.6 ta thấy dạng thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm

ứng với ΓC tương đối phù hợp với các số liệu Monte Carlo của các Γ lân cận ΓC. Hơn nữa, ở phần

3.1.2.1 ta thấy đối với Γ = 0.1 thì ∆g cỡ 1.8‰, Γ = 0.2 thì ∆g cỡ 1.8‰, Γ = 0.5 thì ∆g cỡ 5‰, Γ = 1

thì ∆g cỡ 7.7‰, Γ = 2 thì ∆g cỡ 6.4‰, Γ = 3.17 thì ∆g cỡ 1.6%. Vậy với những Γ nhỏ lân cận giá trị

ngưỡng ΓC thì sai số ∆g khá nhỏ có thể chấp nhận được, với những Γ lớn hơn giá trị ngưỡng ΓC như

Γ = 3.17 thì sai số ∆g khá lớn, điều này chứng tỏ độ chính xác của hệ thức (3.3b) tổng quát mà ta đã

đề nghị để hiệu chỉnh lý thuyết Debye – Hückel cho plasma loãng.

2

Γ=1. 8006

Γ=3. 174802

Γ=20

1.5

Γ=80

Γ=0. 2

1 ) r ( g

0.5 2.29334

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 r

Hình 4.3.7: Đồ thị thể hiện sự biến thiên của hàm phân bố

xuyên tâm với các giá trị khác nhau của tham số tương liên

quanh giá trị ngưỡng trật tự địa phương ΓC =1.8006. Như vậy, từ giá trị giới hạn của tham số tương quan ΓC = 1.8006 thì hàm phân bố xuyên tâm

bắt đầu chuyển dáng điệu biến thiên từ hàm tăng đơn điệu sang dao động tắt dần theo khoảng cách

liên iôn r.

KẾT LUẬN

Đối với plasma loãng một thành phần, thế Debye-Hückel (D-H), một dạng đặc biệt của thế

Yukawa, được suy ra từ phương trình Poisson-Boltzmann tổng quát, thường được sử dụng rộng rãi để

mô tả tác dụng màn chắn của môi trường xung quanh lên tương tác giữa hai ion nào đó của hệ, lại

chứng tỏ có những giới hạn không thể không hiệu chính để có những lời giải chính xác cho các vấn

đề liên quan. Các giới hạn này bao gồm: Bắt đầu từ một khoảng cách nhỏ hơn một giá trị nào đó, thế

D-H không còn chính xác mà ta phải sử dụng một dạng khác của thế tương tác. Giới hạn trên của lí

thuyết D-H dẫn đến một vấn đề hệ trọng khác; ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. Đó là sự thiết

lập các dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm kể từ một mức độ đậm đặc nào đó của hệ

plasma.

Mục đích của luận văn này là giải quyết những vấn đề trên nhằm có một lý thuyết hoàn chỉnh có

thể vận dụng cho hệ plasma loãng một thành phần (OCP).

Tham khảo những kết quả liên quan đến lý thuyết xây dựng cho hệ lưu chất ion hóa cũng như

những kết quả mô phỏng MC và HNC được xem như là chính xác nhất cho đến nay ở mức độ quốc

tế, với sự hỗ trợ của phần mềm tin học Matlab, tác giả luận văn đã đạt được những kết quả quan

trọng:

- Xác định các giá trị của khoảng cách liên ion kể từ đó ta có có thể vận dụng thế D-H đối với

mỗi mức độ đậm đặc của hệ plasma đồng thời, đề nghị các biểu thức của thế màn chắn thay

thế cho thế D-H ở những khoảng cách nhỏ, đó là các đa thức Widom bậc chẵn, luân phiên

dấu, với các hệ số được cho trong các bảng. Các giá trị của khoảng cách giới hạn trên cũng

như các hệ số của đa thức Widom cũng được trình bày dưới dạng các biểu thức giải tích,

thuận tiện cho việc vận dụng trên máy tính cho những áp dụng rộng rãi hơn, như tính hiệu

suất của phản ứng tổng hợp hạt nhân chẳng hạn. Các kết quả thu được ở trên là nội dung của

một bài báo khoa học đã gửi đăng.

- Sử dụng tính liên tục giữa thế D-H và thế Widom, tác giả đã tính toán và đề nghị giá trị

chính xác cho ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương, đó là ΓC = 1.8006. Giá trị này rất gần

với một số kết quả cho bởi một số công trình khác.

Những vấn đề đã được giải quyết trong luận văn này hoàn toàn tương thích với đề cương của

luận văn có được từ đầu, đồng thời cũng gợi ý cho một số đề tài nghiên cứu thú vị khác. Ví dụ như kể

từ giá trị nào của tham số tương liên Γ, ta không cần sử dụng thế D-H mà chỉ đa thức Widom cũng đủ

để mô tả tác dụng màn chắn của các ion lân cận? Hoặc câu hỏi liệu các biểu thức cho khoảng cách

giới hạn áp dụng của lý thuyết D-H và độ lớn giới hạn ΓC có được từ luận văn này có còn giá trị đối

với hệ plasma hai thành phần hay plasma nhiều thành phần?

Các câu hỏi còn để ngỏ ở trên sẽ có thể được thực hiện như là phần tiếp tục mở rộng của luận

văn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đỗ Xuân Hội, Thế màn chắn trong plasma với tham số tương liên Г ∈ [5, 160], Tạp chí khoa học

– Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, số 28, 55-66 (12/2001).

2. Đỗ Xuân Hội, Lý thuyết Debye - Hückel cải tiến áp dụng cho plasma liên kết yếu, Tạp chí khoa

học – Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, tập 30, số 2/2002, 92-100 (07/2002).

3. Đỗ Xuân Hội, Lý thuyết Debye-Hückel cho plasma liên kết yếu, 7TTạp chí khoa học Tự nhiên, ĐHSP

TP.HCM, 30, tr. 92-100 7T (2002),

4. Đỗ Xuân Hội, Nguyễn Lâm Duy, Nguyễn Trọng Khoa, Ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương

trong plasma liên kết yếu, Tạp chí khoa học – Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, tập 30,

số 1/2003, 92-100 (10/2003).

5. Đỗ Xuân Hội, Thế màn chắn trong plasma OCP bắt đầu kết tinh và cho plasma BIM carbon-oxy,

Tạp chí khoa học – Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, số 2/2004.

6. Đỗ Xuân Hội, Lý Thị Kim Thoa, Khuếch đại của tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân trong môi

trường plasma OCP đậm đặc, Tạp chí khoa học Tự nhiên ĐHSP TP HCM, 7T 21 (55), tr. 69-797T (2010).

7. Đỗ Xuân Hội, Vật lý thống kê và nhiệt động lực thống kê, khoa Vật lý, trường ĐH Sư Phạm TP

HCM, 2003.

8. Đỗ Xuân Hội, cộng tác viên Đinh Thị Hạnh, Quan hệ giữa trật tự địa phương và thế màn chắn

trong plasma (Relationship between short range order and screening potential in plasma), đề tài

nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp bộ, trường ĐHSP TP. HCM.

9. Đỗ Xuân Hội, Lý Thị Kim Thoa (2010), “Khuếch đại của tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân

trong môi trường plasma OCP đậm đặc”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên ĐHSP TP HCM, 7T 21 (55), tr.

69-79.

10. Nguyễn Lâm Duy, Hàm phân bố xuyên tâm trong plasma lưu chất, luận văn tốt nghiệp đại học,

khoa vật lý trường ĐHSP TP. HCM (07/2002).

11. Nguyễn Trọng Khoa, Khảo sát ngưỡng trật tự địa phương trong plasma loãng một thành phần,

luận văn tốt nghiệp đại học, khoa vật lý trường ĐHSP TP. HCM (07/2003).

12. Trương Tinh Hà, Lý thuyết Debye - Hückel sử dụng cho plasma loãng một thành phần, luận văn

tốt nghiệp đại học, khoa vật lý trường ĐHSP TP. HCM (07/2001).

13. Nguyễn Hữu Chí, Vật lý Plasma (khí iôn hóa), tủ sách ĐH KHTN, 1998.

14. A. Alastuey and B. Jancovici, “Nuclear reaction rate enhancement in dense stellar matter”,

University Paris-sud, Orsay, France, received 1978 March 27, accepted 1978 June 14.

15. B. Widom, “Some Topics in the Theory of Fluids”, J. Chem. Phys. 39, 2808 (1963)

16. Carley D. D. (1965), “Recent Studies of the Classical Electron Gas”, J. Chem. Phys. 43, pp.

3489-3497.

17. Chugunov A. I., DeWitt H. E., Yakovlev D. G. (2007), “Coulomb tunneling for fusion reactions

in dense matter: Path integral Monte Carlo versus mean field”, Phys. Rev. D, 76(2), pp. 025028-1-

025028-13.

18. Chugunov A.I., DeWitt H.E. (2009), “Nuclear fusion reaction rates for strongly coupled ionic

mixtures”, Phys. Rev. C, 80(1), pp.014611-1- 014611-12.

19. De Witt H. E., Graboske H. C., and Cooper M. S. (1973), “Screening Factors for Nuclear

Reactions. I. General Theory”, Astrophys. J. 181, 439.

20. DeWitt H. E., Slattery W., and Chabrier G., (1996), “Numerical simulation of strongly coupled

binary ionic plasmas”, Physica B, 228(1-2), pp. 21-26.

21. Gasques L. R., Afanasjev A. V., Aguilera E. F., Beard M., Chamon L. C., Ring P., Wiescher M.,

and Yakovlev D. G. (2005), “Nuclear fusion in dense matter: Reaction rate and carbon burning”,

Phys. Rev. C, 72(2), pp. 025806-1-025806-14.

22. G. Gervino – A. Lavagno – P. Quarati, “Quantum Uncertainty in weakly non-ideal Astrophysical

plasma”, Brazilian Journal of Physics, vol. 35, no. 2B, June, 2005.

23. Gilles Chabrier and Alexander Y. Potekhin, “Equation of state of fully ionized electron-ion

plasma”, Phys. Rev. E, 58, 4941 (1998).

24. Hansen J. P. (1973), “Statistical Mechanics of Dense Ionized Matter. I. Equilibrium Properties of

the Classical One-Component Plasma”, Phys. Rev. A 8, pp. 3096–3109.

25. Ichimaru S. (1993), “Nuclear fusion in dense plasmas”, Rev. Mod. Phys. 65255, pp. 255–299.

26. Jancovici B. (1977), “Pair correlation function in a dense plasma and pycnonuclear reactions in

stars”, J. Stat. Phys., 17(5), pp. 357-370.

27. M. Caillol and D. Gilles, “Monte Carlo simulation of the screening potential of the Yukawa one-

component plasma”, J. Phys. A. Math. Gen, 6243 – 6249 (6 June, 2003).

28. Potekhin Alexander Y. and Chabrier Gilles (2009), “Equation of state of classical Coulomb

plasma mixtures”, Phys. Rev. E 79, pp. 016411-1-016411-6.

29. Salpeter E. E. and Van Horn H. M. (1969), “Nuclear Reaction Rates at High Densities”,

Astrophys. J. 155, 183 (1969),

30. Springer J. F., Pokrant M. A., and Stevens F. A. (1973), “Integral equation solutions for the

classical electron gas “, J. Chem. Phys., 58, pp. 4863-4868.

31. Widom B. (1963), “Some Topics in the Theory of Fluids”, J. Chem. Phys., 39(11), pp. 2808-

2812.

32. Xuan Hoi Do (1999), Thèse de Doctorat de l’Université Paris 6 –Pierre et Marie Curie, Paris

(Pháp).

33. Yukawa H. (1935), “On the Interaction of Elementary Particles”, Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 17

48.

PHỤ LỤC

Bài báo gửi đăng trên Tạp chí Khoa học Tự nhiên,

trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

(Ngày gửi 18/09/2010)

ĐỖ XUÂN HỘI*, NGUYỄN THỊ THANH THẢO**

GIỚI HẠN ÁP DỤNG CỦA THẾ YUKAWA CHO PLASMA OCP LƯU CHẤT

TÓM TẮT

Thế Debye-Hückel, một dạng đặc biệt của thế tổng quát Yukawa, thường được sử dụng cho plasma

loãng mà không được biện minh đầy đủ. Trong công trình này, sau khi giới thiệu ngắn gọn phương trình

Poisson – Boltzmann áp dụng cho plasma một thành phần (OCP), chúng tôi xử lí chi tiết các dữ liệu số liên

quan đến hàm phân bố xuyên tâm cho bởi các mô phỏng Monte Carlo và HyperNetted Chain cho loại plasma

này, đặc biệt là các plasma liên kết yếu. Dựa trên một vài kết quả mới nhất cho thế màn chắn ở khoảng cách

liên hạt nhân gần bằng không, chúng tôi đề nghị các công thức tính thế màn chắn này bằng cách phối hợp thế

Yukawa cho khoảng cách lớn hơn một giới hạn gọi là khoảng cách Debye-Hückel, và khai triển Widom cho

khoảng cách nhỏ hơn. Bằng cách này, chúng tôi cũng đã chỉ ra những giới hạn áp dụng của thế Yukawa cho

plasma OCP.

ABSTRACT

Limits of application of Yukawa potential to fluid OCP plasmas

Debye-Hückel potential, a special form of more general Yukawa potential, is often used for dilute

plasmas without any justifications. In this work, after a brief introduction to the Poisson – Boltzmann

equation applied to the one-component-plasmas (OCP), we carry out a careful treatment of the numerical

data concerning the radial distribution function given by the Monte Carlo and the HyperNetted Chain

simulations for this kind of plasmas, especially for the weakly correlated ones. Based on some newest results

for the screening potential at the near zero internuclear distance, we propose the formulae for this potential

by combining the Yukawa form for some distance greater than a limit, called Debye-Hückel distance, and the

Widom expansion for lesser one, indicating at the same time the limits of application of Yukawa potential to

plasmas OCP.

1. Mở đầu

Thế Yukawa đầu tiên được đưa vào vật lí hạt cơ bản để mô tả tương tác giữa hai nucleon và

dẫn đến việc tiên đoán sự tồn tại của các meson [16]. Tuy nhiên, cho đến nay, khái niệm về thế tương

tác dạng Yukawa đã được sử dụng rộng rãi để mô tả từ các quá trình hóa học đến các quá trình liên

quan đến vật lí thiên văn, và đặc biệt, được xem như là dạng tổng quát hóa của thế Debye-Hückel khi

∝

ta khảo sát thế tương tác hiệu dụng giữa hai ion cách nhau một khoảng R của một hệ plasma loãng:

V α

− α Re R

, (1)

trong đó, α là một tham số dương, đặc trưng cho tác dụng màn chắn của môi trường lên hai ion đang

xét. Dạng tương tác (1) ở trên thường được áp dụng mà không xác định rõ các điều kiện cụ thể cho

khoảng cách R cũng như giới hạn của mức độ loãng của môi trường, như đã được chỉ ra trong các

công trình [5, 15]. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề nghị những giới hạn cho việc vận dụng thế

Yukawa (1) cho plasma một thành phần liên quan đến khoảng cách liên ion cũng như đến tham số

tương liên. Đồng thời, với công cụ tính toán mới, chúng tôi cũng sẽ đề cập đến việc xuất hiện hiệu

ứng trật tự địa phương trong plasma tương tác mạnh.

Nội dung của bài báo sẽ được trình bày theo thứ tự sau: Đầu tiên, mô hình khảo sát và cơ sở của

lí thuyết Debye-Hückel bắt đầu từ phương trình Poisson-Boltzmann cũng như các tiêu chí cho việc sử

dụng lí thuyết trên được nhắc lại ngắn gọn. Tiếp theo, chúng tôi sẽ đề cập đến những công trình mới

nhất ở mức độ quốc tế có liên quan đến vấn đề khảo sát của bài báo và sẽ đưa ra một số nhận xét hữu

ích cho các bước tính toán của công trình này. Phần tiếp của bài báo sẽ tập trung vào việc giới thiệu

các phương pháp sử dụng, các kết quả mới cho việc khảo sát hệ plasma loãng và hệ plasma đậm đặc.

Phần kết luận của bài báo sẽ dành cho các nhận xét và các đề nghị.

2. Thế Yukawa và hàm phân bố xuyên tâm cho plasma loãng OCP

Trong giới hạn của bài báo này, chúng ta khảo sát mô hình plasma một thành phần (OCP – One

nằm trong môi trường Component Plasma), là hệ vật lí ở nhiệt độ T gồm N ion mang điện tích Ze+

đồng nhất gồm ZN electron, là hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát một số thiên thể như bên trong sao

lùn trắng, các hành tinh nặng dạng Jupiter,…[9]. Ta có thể xem OCP như gồm N khối cầu có tâm là

1/3

một ion và chứa Z electron có tác dụng trung hòa điện. Bán kính khối cầu ion này được tính:

 =  

π −  4 n  3 

Γ =

, với n là mật độ ion. Để đo lường mức độ của tính lưu chất trong một hệ OCP, người ta

1Γ > cho plasma đậm đặc; khi đó, thế

)2 ( Ze akT

và thường quy ước sử dụng tham số tương liên:

Γ =

năng tương tác Coulomb chiếm ưu thế so với năng lượng chuyển động nhiệt. Đối với một số hệ vật lí,

0.76

Γ =

tham số này có giá trị tương đối thấp, như trong sao Lùn nâu, ta có , bên trong Mặt Trời,

÷ 0.072 0.076

, và đặc biệt, trong những thí nghiệm tổng hợp hạt nhân bằng phương pháp hãm

quán tính (ICF – Inertial Confinement Fusion), tham số Γ có giá trị khá thấp, chỉ khoảng

÷ 0.002 0.010

,… [9]. Với các hệ plasma loãng kể trên, lí thuyết Debye-Hückel được sử dụng. Ta

≡

trình bày tóm tắt cơ sở của lí thuyết này trong phần dưới đây:

rV r ( )

( V R ) Ze R /

R a

Nếu đặt là khoảng cách rút gọn và là thế trung bình V(r) tính theo

Ze R

đơn vị , phương trình Poisson-Boltzmann cho hệ plasma OCP được diễn tả dưới dạng cô đọng [5]:

− 3 1 exp r

2 d y r ( ) 2 dr

( ) y r r

 −Γ 

  

  

  

= , biểu thị cho thế tương tác giữa hai ion sẽ là

→∞

y r lim ( ) 1 → r

= và lim ( ) y r r

với các điều kiện giới hạn:

thế Coulomb khi hai ion này ở khoảng cách rất nhỏ (không còn hiệu ứng màn chắn) và khi ở đủ xa

nhau thì thế này triệt tiêu.

≈ + để có: x

= Γ 3

y r ( )

Ở khoảng cách r đủ lớn, ta có thể sử dụng hệ thức gần đúng:

2 d y r ( ) 2 dr

(2)

Nghiệm thỏa các điều kiện của phương trình vi phân trên có dạng:

e−

DHy

, (3)

được gọi là nghiệm Debye-Hückel, là một trường hợp đặc biệt của thế Yukawa (1).

Khi này, hàm phân bố xuyên tâm (radial distribution function) hay hàm tương quan cặp (pair

correlation function) biểu thị cho xác suất gặp nhau của hai ion phụ thuộc thế trung bình V(r) theo hệ

−

V r kT ( )/

thức:

r ( )

exp

 −Γ  

   

. (4)

Đồng thời, nếu định nghĩa thế màn chắn (screening potential) như là tác dụng của môi trường

+ , thì trong trường hợp này, ta có:

H r ( )

V r ( )

1 r

−

ngoài lên tương tác giữa hai ion thử:

r ( )

e r

. (5)

Như vậy, hàm gDH(r) là hàm tăng đơn điệu theo khoảng cách r, phù hợp với các kết quả mô

phỏng Monte Carlo (MC) cho hệ plasma OCP loãng đã thực hiện cho đến nay bởi các tác giả khác

nhau. Đồng thời, ta cũng nhận xét rằng kể từ một giá trị ΓC nào đó của tham số tương liên, bắt đầu

xuất hiện các dao động tắt dần của hàm g(r), dấu hiệu của hiệu ứng trật tự địa phương.

3. Các điều kiện cho việc vận dụng thế Yukawa vào hệ OCP loãng

Ta nhận xét rằng để có được phương trình (2), điều kiện tuyến tính hóa phải được thỏa, tức là

−

≈

khoảng cách r phải lớn hơn một giá trị rDH nào đó đối với mỗi giá trị của tham số Γ. Theo [5], ta có

< để đánh giá việc tuyến tính hóa này. Đồng thời, đối với

Γ y r 2

e 2

thể sử dụng tiêu chuẩn

r≤

2 phải có dạng đa thức bậc chẵn, luân phiên dấu, với hệ số của rP

h = như đã được chứng minh

P bằng 1

1 4

mỗi giá trị Γ, khi , thế trung bình V(r) phải có giá trị sao cho thế màn chắn H(r) tương ứng

−

chặt chẽ bằng lí thuyết [10, 14]:

H r ( )

+ ...

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

(6)

Ta thấy ngay rằng các hàm (5) và (6) phải thỏa các điều kiện liên tục tại điểm rDH cho mỗi giá

−

khi r

r DH

e r

trị Γ, cụ thể là:

H r ( )

≤

− ( 1)

khi r

h r i

r DH

∑

 − 1   =   

(7)

4. Xác định các hệ số hi của đa thức Widom

Các số liệu liên quan đến hệ số h0 của đa thức (6) là một đề tài thảo luận sôi nổi từ nhiều năm

nay do vai trò quan trọng của hệ số này trong sự khuếch đại phản ứng áp suất hạt nhân (pycnonuclear

reaction) xảy ra ở một số thiên thể có mật độ khối lượng lớn như trong sao lùn trắng, sao neutron,…

(Xem, ví dụ như [3, 9, và 12]). Các mô phỏng MC thực hiện gần đây nhất bởi A. I. Chugunov et al

1/2

= Γ

[2] cung cấp các giá trị của h0 dưới dạng giải tích:

h 0

CHU

Γ B 1 + Γ

Γ B 3 + Γ

A 1 + Γ

B 2

B 4

A 2

   

 A 3  + Γ 

(8)

−

với:

2,7822

98,34

1, 4515

A 3

A 1

A 2

A = 1

A = 2

, , ,

66,07

1,7476

B = − 1

B = 2

B = 3 1,12

B = 4

1/2

, , , và .

Γ đối với Γ rất bé. 3

h 0

CHU

Đặc điểm của hệ thức (8) ở trên là ta thu được dạng tiệm cận:

Γ ≤

Các giá trị của h0 tương ứng với hai hệ thức trên sẽ trùng nhau (với sai số 0.3‰) kể từ giá trị

0.0032

, tức là đối với plasma cực kì loãng.

Trái với mô phỏng MC có thể cho ta các giá trị chính xác của hàm phân bố xuyên tâm g(r) đối

với plasma đậm đặc, các mô phỏng HyperNetted Chain (HNC) tỏ ra chính xác hơn cho những hệ

Γ ≤

plasma loãng [11]. Một khảo sát chi tiết các dữ liệu cho bởi dữ liệu MC và HNC [1, 4, và 13] đối với

các giá trị của tham số không quá lớn : cho thấy ta có thể viết đa thức Widom (6) giới hạn ở

bậc 8 với độ chính xác tương đương với độ chính xác của MC là khoảng 0.2%, tức là ta sẽ chấp nhận

−

dạng:

( ) H r

h 0

h r 2

h r 3

h r 4

h r i

−∑ ( 1)

1 4

(9) .

Bằng phương pháp tối ưu hóa sự tương hợp giữa hệ thức (9) và các dữ liệu số MC cung cấp

bởi các công trình trên [1, 4, và 13], ta thu được các giá trị của hệ số hi trong (9). Đặc biệt, các giá trị

+ Γ

số của h0 được cho trong cột thứ ba của bảng B.1 và có thể được biểu thị bởi hệ thức giải tích sau :

)

h 0

a i

Γ 3 + Γ ∑ i + ln (1

= 1

(10)

với các hệ số ai được tính:

0,084350

0,031980

0, 232300

a = − 3

a = 1

a = 2

; ; ;

0,011710

0,000579

a = 4

a = − 5

; .

Sai số giữa hai hệ thức (8) và (10) được trình bày trong bảng B.1. Nhận xét rằng cả hai hệ thức

Γ 3

h 0

lim Γ→ 0

trên đều cho ta: như có thể thấy trên hình H.2.

Bảng B.1. Giá trị số của h0 theo tham số Γ. Các giá trị của h0 có được trực tiếp từ việc tối ưu hóa

sự tương hợp giữa (6) và dữ liệu MC và được tính từ (9) được cho trong các cột thứ hai và thứ b. Ở cột thứ tư

là giá trị của h0 tính theo Chugunov et al.

(3) - (2)

(4) – (2)

(3) – (4)

h0MC

h0CHU

(2)

(4)

(3)

0,5150

0,5030

0,5050

-0,0120

-0,0100

-0,0020

0,1

0,6615

0,6589

0,6645

-0,0029

0,0030

-0,0059

0,2

0,8741

0,8623

0,8776

-0,0118

0,0035

-0,0152

0,5

0,9586

0,9743

0,9958

0,0157

0,0372

-0,0215

1

1,0570

1,0586

1,0788

0,0016

0,0218

-0,0201

3,1748

1,0780

1,0735

1,0922

-0,0045

0,0142

-0,0187

5

1,0920

1,0888

1,1007

-0,0032

0,0087

-0,0119

10

1,0910

1,0940

1,0950

0,0030

0,0040

-0,0010

20

1,0860

1,0882

1,0878

0,0022

0,0018

0,0004

40

1,0810

1,0782

1,0804

-0,0028

-0,0006

-0,0022

80

1,0750

1,0757

1,0737

0,0007

-0,0013

0,0020

160 1.1 2

1 1.5 0.9

o 0 h h

0 0 h h

0.8 1 0.7

0.6 0.5

5

6 -2

-1

0

1

3

4 0.5 -3

0 -4

-3

-2

0

1

2

lnG

2 lnr lnΓ -1 lnΓ

H.1. Đường liền nét biểu diễn hệ thức (10) so sánh với đường đứt H.2. Đường liền nét biểu diễn hệ thức (10). Các chấm tròn là giá

nét biểu diễn (8). Các chấm tròn là giá trị có được trực tiếp từ trị MC ở cột thứ hai của bảng B.1. Đường đứt nét thể hiện giá trị

quá trình tối ưu hóa sự tương hợp giữa (7) và các dữ liệu MC. tiệm cận 3Γ .

Chú ý rằng trong [6], một hệ thức tính h0 cũng đã được đề nghị cho plasma đậm đặc. Tuy

nhiên, ở đây, hệ thức (10) thỏa các điều kiện đặc biệt cho plasma loãng mà ta sẽ cần để khảo sát việc

sử dụng thế dạng Yukawa cho plasma loại này.

Đồng thời với h0, phương pháp trên cũng cho ta kết quả số cho các hệ số còn lại h2, h3, và h4

như được trình bày ở bảng B.2.

Bảng B.2. Giá trị số của các hệ số trong đa thức Widom (9)

0,155198

0,0298883

h2 h3 h4 Γ

0,077716

0,0122415

0,285915 0,1

0,0127690

0,00088438

0,184492 0,2

0,0062949

0,00033008

0,074081 0,5

0,0032605

0,00009693

0,051772 1

0,040241 2

0,0020166

0,00000154

0,035570 3,174802

Các giá trị số của các hệ số trên có thể tìm lại với biểu thức giải tích tổng quát :

Γ (ln )

h i

b k

∑

; i = 2, 3, 4 (11)

với bk là các giá trị cho bởi bảng B.3. Khảo sát sự biến thiên của các hệ số hi trên theo tham số Γ cho

thấy dáng điệu của đại lượng trên là giảm đều, không cho thấy có điểm bất thường nào khi Γ thay đổi.

Bảng B.3. Các hệ số trong công thức (11) tính hi.

h2 h3 h4

0,05177 0,006295 0,0003301 b0

-0,01518 -0,0004388 0,0005552 b1

0,007324 0,0004114 -0,0002833 b2

-0,02167 -0,01502 -0,002602 b3

0,008098 0,006594 0,001285 b4

0,005127 0,003445 0,0005493 b5

Với các giá trị số cho bởi các công thức (10) và (11), ta tính được hàm (9) của thế màn chắn và

từ đó, tính lại được hàm phân bố xuyên tâm g(r) cho mỗi giá trị của tham số Γ. Kết quả so sánh với

các dữ liệu số MC và HNC được trình bày trên hình H.3 cho một số giá trị của Γ. Số liệu liên quan

2Γ = được trích ra từ [8]. Nhận xét rằng sai số giữa các biểu thức giải tích đề nghị và các

đến giá trị

số liệu có do mô phỏng chỉ vào khoảng vài phần ngàn, tương đương với sai số phạm phải do chính

các mô phỏng này như có thể thấy trên hình H.3.

-4

-3

x 10

20

2

Γ = 0. 2

Γ = 0. 1

15

1

10

0 ) r ( g - C M

5 C N H g - g

) r ( g

C N H g - g

) r ( g

-1

0 -3

1

1.5

0.5

1

1.5 r

-2 0 x 10

0 x 10

-3

6

Γ = 0.5

Γ = 1

5

4 ) r ( g - C M

C M g - g

) r ( g

0

2 C N H g - g

) r ( g

0.5 0 0

1

1.5

2

0.5

1

1.5 -5 0

r

-3

x 10

Γ = 2

5

Γ = 3. 174802

5

0 ) r ( g - C M

-5

) r ( g - C C M M ) g r - ( g g

C M g - g

0 ) r ( g

-10

-15

0

0.5

1

1.5

2

1.5

1

0.5 -5 0

r

H.3 Sai số g(r)-gMC(r) hoặc g(r)-gHNC(r) giữa biểu thức hàm phân bố xuyên tâm g(r) suy ra từ (10) và

(11) với các số liệu MC hoặc HNC cho mỗi giá trị của Γ.

5. Giới hạn rDH cho mỗi giá trị của tham số tương liên

Một khi đã xác định rằng thế Debye-Hückel chỉ được sử dụng kể từ một khoảng cách rDH nào

đó đối với mỗi giá trị của tham số Γ, ta sẽ sử dụng điều kiện liên tục (7) cho biên độ các hàm số, cụ

−

r DH

−

H r ( )

8 DH

6 DH

4 DH

2 DH

h r 4

h r 3

h r 2

h r 1

h 0

thể là:

= r r

e r DH

Γ =

(12)

0,5

2,01509

: Ta thấy kể để tìm được rDH cho mỗi Γ. Một ví dụ được cho trên hình H.4a và H.4b đối với

2,01509

, hệ thức có dạng (5) mới tương thích với các số liệu của thế từ những điểm có

DHr

màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể từ giá trị về phía

Γ = 0.5

nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng màn chắn.

1

0.8

0.6

0.4

0

0.5

1

1.5

2 2.01509 2.5

3

3.5 H.4a. Kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2,01509,

thế Debye-Hückel (đường đứt nét) phải được thay

bằng đa thức Widom (đường liền nét). Các chấm

tròn là các giá trị HNC.

0.5

Γ = 0.5

0.48

0.46

0.44 2.01509

0.42

1.9

2

2.1

2.2 H.4b. Tại điểm có hoành độ bằng 2,01509, hai

đường biểu diễn của H(r) và HDH(r)cắt nhau

và hầu như có cùng độ dốc.

Kết quả chung của rDH cho mỗi giá trị của Γ được trình bày trong bảng B.4. Bảng này cho ta

thấy rõ giới hạn áp dụng của thế dạng Yukawa cho plasma loãng.

Bảng B.4. Các giá trị số của điểm nối rDH giữa thế Debye-Hückel và đa thức Widom.

rDH Γ

1,29072 0,1

1,40899 0,2

2,01509 0,5

2,09863 1

2,12295 2

Γ +

1,69 0,3059arctan(3,394ln

4,156)

Các giá trị số ở bảng B.4 được biểu diễn bởi hệ thức giải tích:

DHr

. (13)

Để thấy rõ thêm tầm ảnh hưởng của đa thức Widom lên thế màn chắn, ta có thể quan sát trên

hình H.5 đường biểu diễn sự biến thiên của rDH theo Γ như công thức (13): Giá trị của rDH tăng theo Γ

chứng tỏ rằng thế Yukawa chỉ thể hiện chính xác tác dụng màn chắn đối với plasma loãng và ngay cả

khi này thì thế Yukawa cũng chỉ được áp dụng đối với khoảng cách r đủ lớn.

Γ =

Hệ thức (13) ở trên có dạng đơn giản, dễ vận dụng hơn hệ thức tính rDH đề nghị trong [5],

0,1

. trong khi sai số giữa hai công thức tối đa chỉ là khoảng 9% cho giá trị

2.2

2

1.8 HH

Cần chú ý rằng ngoài điều kiện (12) thể hiện sự liên tục về biên độ, ta cũng cần kiểm nghiệm

lại tính liên tục về độ dốc của hai hàm số (5) và (9) cũng như bảo đảm hai hàm số trên có cùng bề lõm

−

r DH

−

H r ( )

7 DH

5 DH

3 DH

h r 4

h r 3

h r 2

h r 1

= r r

Γ e 3 r DH

2 r DH

−

r DH

−

2 3

Γ 3

= −

−

H r ( )

6 DH

4 DH

2 DH

h r 4

h r 3

h r 2

h 1

= r r

Γ e 2 r DH

e r DH

3 r DH

 ∂  ∂ r  ∂  ∂ r

tại điểm nối rDH, tức là:

Các tính toán cụ thể cho thấy các đạo hàm bậc nhất và bậc hai cho mỗi giá trị của Γ của hai

10−

đều có giá trị như nhau với sai số rất bé (sai số cực đại là khoảng hàm (5) và (9) trên tại điểm

). Điều này khẳng định sự chính xác của các số liệu tính rHD ở bảng B.4 cũng như hệ thức (13).

6. Kết luận

Trong công trình này, chúng tôi khảo sát chi tiết thế Debye-Hückel, một trường hợp đặc biệt

của thế Yukawa, sử dụng cho hệ plasma OCP loãng và từ đó, nêu ra các điều kiện áp dụng cho lí

thuyết này. Sau khi tham khảo chi tiết các dữ liệu số MC và HNC cùng với một số bài báo gần đây

nhất, chúng tôi thực hiện các phép tính số và đề nghị biểu thức (13) cho giới hạn áp dụng của thế

Debye-Hückel, chỉ rõ rằng đối với mỗi giá trị của tham số tương liên, ở những khoảng cách liên ion

nhỏ hơn các giới hạn trên, thế Debye-Hückel phải được thay thế bằng đa thức Widom bậc tám (9) với

các hệ số cũng được xác định bởi các công thức giải tích (10) và (11). Kết quả thu được từ các hệ

thức đề nghị cũng đã được tính toán để so sánh với dữ liệu số của hàm phân bố xuyên tâm g(r); độ

lệch giữa hai giá trị là đáp ứng được độ chính xác yêu cầu.

Trong những công trình tiếp theo, chúng tôi sẽ đặc biệt chú trọng đến vấn đề hiệu ứng trật tự

địa phương, tức là các dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma OCP, đã được thiết

lập như thế nào và kể từ giá trị nào của tham số Γ, hiệu ứng này bắt đầu xuất hiện. Đồng thời, vấn đề

thế dạng Yukawa có thể được áp dụng một cách đúng đắn để mô tả hiệu ứng màn chắn trong plasma

kể từ giá trị nào của tham số Γ trên cũng sẽ được quan tâm.

Tài liệu tham khảo

1. Carley D. D. (1965), “Recent Studies of the Classical Electron Gas”, J. Chem. Phys. 43, pp. 3489-

3497.

2. Chugunov A. I., DeWitt H. E., Yakovlev D. G. (2007), “Coulomb tunneling for fusion reactions in

dense matter: Path integral Monte Carlo versus mean field”, Phys. Rev. D, 76(2), pp. 025028-1-

025028-13.

3. De Witt H. E., Graboske H. C., and Cooper M. S. (1973), “Screening Factors for Nuclear

Reactions. I. General Theory”, Astrophys. J. 181, 439.

4. DeWitt H. E., Slattery W., and Chabrier G., (1996), “Numerical simulation of strongly coupled

binary ionic plasmas”, Physica B, 228(1-2), pp. 21-26.

5. Đỗ Xuân Hội (2002), “Lý thuyết Debye-Hückel cho plasma liên kết yếu”, 7TTạp chí Khoa học Tự

nhiên, ĐHSP TP.HCM, 30, tr. 92-100.

6. Đỗ Xuân Hội, Lý Thị Kim Thoa (2010), “Khuếch đại của tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân trong

môi trường plasma OCP đậm đặc”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên ĐHSP TP HCM, 7T 21 (55), tr. 69-79.

7. Gasques L. R., Afanasjev A. V., Aguilera E. F., Beard M., Chamon L. C., Ring P., Wiescher M.,

and Yakovlev D. G. (2005), “Nuclear fusion in dense matter: Reaction rate and carbon burning”,

Phys. Rev. C, 72(2), pp. 025806-1-025806-14.

8. Hansen J. P. (1973), “Statistical Mechanics of Dense Ionized Matter. I. Equilibrium Properties of

the Classical One-Component Plasma”, Phys. Rev. A 8, pp. 3096–3109.

9. Ichimaru S. (1993), “Nuclear fusion in dense plasmas”, Rev. Mod. Phys. 65255, pp. 255–299.

10. Jancovici B. (1977), “Pair correlation function in a dense plasma and pycnonuclear reactions in

stars”, J. Stat. Phys., 17(5), pp. 357-370.

11. Potekhin Alexander Y. and Chabrier Gilles (2009), “Equation of state of classical Coulomb

plasma mixtures”, Phys. Rev. E 79, pp. 016411-1-016411-6.

12. Salpeter E. E. and Van Horn H. M. (1969), “Nuclear Reaction Rates at High Densities”,

Astrophys. J. 155, 183 (1969), Chugunov A.I., DeWitt H.E. (2009), “Nuclear fusion reaction rates for

strongly coupled ionic mixtures”, Phys. Rev. C, 80(1), pp.014611-1- 014611-12.

13. Springer J. F., Pokrant M. A., and Stevens F. A. (1973), “Integral equation solutions for the

classical electron gas “, J. Chem. Phys., 58, pp. 4863-4868.

14. Widom B. (1963), “Some Topics in the Theory of Fluids”, J. Chem. Phys., 39(11), pp. 2808-

2812.

15. Xuan Hoi Do (1999), Thèse de Doctorat de l’Université Paris 6 –Pierre et Marie Curie, Paris

(Pháp).

16. Yukawa H. (1935), “On the Interaction of Elementary Particles”, Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 17

48.

Các tác giả bài báo:

* Đỗ Xuân Hội, Tiến sĩ, Trường Đại học Quốc tế (ĐHQG TP. HCM)

PNguyễn Thị Thanh Thảo, Cử nhân, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai)

Tel : 0918220217, email : 4TUxuanhoido@yahoo.comU4T

Tel : 01654817684, email : 4TUdongthaoly@gmail.comU4T

Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Thế Debye - Hückel trong tương tác iôn nguyên tử của Plasma loãng

Chủ đề:

Vật lý plasma vũ trụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ THANH THẢO THẾ DEBYE - HÜCKEL TRONG TƯƠNG TÁC IÔN NGUYÊN TỬ CỦA PLASMA LOÃNG

Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử hạt nhân

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành phố Hồ Chí Minh-2010

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

TÓM TẮT

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG LUẬN VĂN

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT

2.5

2

1.5

g1 g3.174802 g5 g80 g160 g20

) r ( g

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

r

Hình 2.3.1: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ liệu Monte

1

g2 g3 g4

0.8

0.6

) r ( g

0.4

0.2

0

2.5

0.5

1

2

1.5

0

r

Hình 2.3.2: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ

1

0.8

g0.5 g1 g2.5 g5

0.6

) r ( g

0.4

0.2

0

0

0.5

1

2

2.5

3

1.5 r

Hình III.3: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ liệu Monte Carlo của Brush ứng với Γ = 0.5, 1, 2.5, 5

CHƯƠNG 3: CẢI TIẾN THẾ DEBYE-HÜCKEL SỬ DỤNG CHO PLASMA LOÃNG MỘT THÀNH PHẦN

1.5

1

0.5

0 0

0.5

1

2

2.5

1.5

r

Hình 3.1: Đường liền nét biểu diễn HDH(r) theo công thức (2.2.2e), các

2.5

2