Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Tác dụng của thế màn chắn lên hiệu suất của phản ứng áp suất hạt nhân trong Plasma

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lý Thị Kim Thoa

TÁC DỤNG CỦA THẾ MÀN CHẮN LÊN HIỆU SUẤT

CỦA PHẢN ỨNG ÁP SUẤT HẠT NHÂN TRONG PLASMA

Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử, hạt nhân và năng lượng cao

Mã số: 604405

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. ĐỖ XUÂN HỘI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học, Khoa Vật lý

trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã cho tôi có cơ hội tiếp cận những kiến thức khoa học suốt

thời gian học đại học và cao học, đồng thời đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể thực hiện luận văn

này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS. Đỗ Xuân Hội (ĐH Quốc tế, ĐHQG

TP.HCM) đã gợi ý cho đề tài luận văn này và đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn.

Nhờ Thầy mà tôi đã học được rất nhiều điều bổ ích, từ phương pháp nghiên cứu một đề tài khoa học,

phương pháp làm việc, cho đến cách trình bày một bài báo khoa học, một luận văn.

Ngoài ra, tôi cũng xin gởi lời cảm ơn thầy Lữ Thành Trung (trường ĐHSP TP.HCM) đã nhiệt

tình giúp đỡ tôi sử dụng phần mềm tin học Maple 13.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 9 năm 2010.

Lý Thị Kim Thoa

Học viên thực hiện

MỤC LỤC

2TLỜI CẢM ƠN2T ................................................................................................................................................... 2

2TMỤC LỤC2T ......................................................................................................................................................... 3

2TPhần A. Mở Đầu2T ................................................................................................................................................ 5

2T1. Lí do chọn đề tài2T ........................................................................................................................................ 5

2T2. Mục đích đề tài nghiên cứu2T ........................................................................................................................ 5

2T3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu2T .............................................................................................................. 6

2T3.1. Đối tượng nghiên cứu2T .......................................................................................................................... 6

2T3.2. Phạm vi nghiên cứu2T ............................................................................................................................. 6

2T4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu2T .................................................................................. 6

2T4.1. Ý nghĩa khoa học2T ................................................................................................................................ 6

2T4.2. Ý nghĩa thực tiễn2T ................................................................................................................................. 6

2T5. Phương pháp nghiên cứu2T ............................................................................................................................ 6

2T6. Cấu trúc luận văn2T ....................................................................................................................................... 6

2TChương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân. 2T.......................................................................................... 8

2T1.1. Cấu trúc hạt nhân2T .................................................................................................................................... 8

2T1.2. Phản ứng tổng hợp hạt nhân2T ................................................................................................................... 9

2T1.3. Mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma)2T ......................................................... 13

2T1.4. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm2T ............................................................................. 13

2T1.4.1. Thế màn chắn2T ................................................................................................................................. 13

2T1.4.2. Hàm phân bố xuyên tâm2T ................................................................................................................. 14

2T1.4.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom2T .......................................... 18

2T1.5. Hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma2T ................................................................................. 19

2TChương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc2T ........................................................................... 22

2T2.1. Các kết quả gần đây của thế màn chắn2T .................................................................................................. 22

2T2.1.1. Mô phỏng MC cho plasma2T ............................................................................................................. 22

2T2.1.2. Biểu thức của thế màn chắn2T ............................................................................................................ 23

2T2.2 Biểu thức của thế màn chắn đề nghị2T ....................................................................................................... 26

2T2.2.1 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1 R = 0.252T .................................................................................................. 26

2T2.2.2 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1 R tự do2T .................................................................................................... 29

2T2.2.3 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, hR1 R = 0.252T................................................................................................. 33

2T2.2.4 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, hR1 R tự do2T .................................................................................................. 33

2T2.3. Kết luận chương 22T ................................................................................................................................. 44

2TChương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân2T ............................................................................. 45

2T3.1. Giá trị của H(0) cổ điển2T ......................................................................................................................... 46

Pcủa các công trình gần đây2T ............................................................................... 47 2T3.1.1 Một số biểu thức hR0 RP

2T3.1.2 Biểu thức đề nghị cho hR0 R2T ................................................................................................................. 51

2T3.2. Giá trị của H(0) lượng tử2T ....................................................................................................................... 54

2T3.2.1 Tổng quát2T ........................................................................................................................................ 54

2T3.2.2 Một số công trình nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng lượng tử trong phản ứng áp suất hạt nhân2T ...... 56

2T3.2.3. Biểu thức đề nghị cho 2T

...................................................................................................... 68

h ζΓ 0 ( , )

2TKẾT LUẬN2T ..................................................................................................................................................... 76

2TPhần C. Tài liệu tham khảo 2T .............................................................................................................................. 77

Phần A. Mở Đầu

1. Lí do chọn đề tài

Plasma - hay khí ion hóa - là trạng thái thứ tư của vật chất. Phần lớn vật chất trong vũ trụ tồn tại

ở trạng thái này. Trong vật lý plasma, thế màn chắn là đại lượng được nhiều nhà khoa học quan tâm,

bởi nó là một dữ liệu quan trọng để nghiên cứu hiệu suất phản ứng tổng hợp hạt nhân, sự hình thành

những chuẩn phân tử và dạng vạch phổ trong những môi trường đậm đặc, đặc biệt là môi trường

plasma. Trong những môi trường này, thế màn chắn tăng rất nhanh theo mật độ và có khuynh hướng

làm thay đổi tính chất nhiệt động lực của hệ vật lí. Trong plasma liên kết mạnh, khi khảo sát về các

phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra bên trong sao lùn trắng, sao neutron,… hàng rào thế Coulomb giữa

hai hạt nhân giảm đáng kể do hiệu ứng màn chắn của những hạt xung quanh và do đó hiệu suất phản

ứng hạt nhân phải được nhân lên với một thừa số khuếch đại tính theo thế màn chắn ở khoảng cách rất

nhỏ.

Có nhiều kết quả đã đạt được trong những năm gần đây khi tính thế màn chắn trong plasma, đặc

biệt là các mô phỏng Monte Carlo cho ta các giá trị đủ chính xác đối với những khoảng cách khá lớn

giữa các ion. Nhưng đối với những khoảng cách nhỏ, rất quan trọng trong việc tính hiệu suất của phản

ứng hạt nhân ta không có kết quả với độ chính xác tương tự, như vậy ta phải dùng phương pháp khác

để tìm thế màn chắn này. Nếu ta xác định được thế màn chắn với khoảng cách gần bằng không thì ta

có thể đánh giá được hiệu suất của phản ứng hạt nhân. Một số công trình nghiên cứu gần đây cũng đã

cung cấp các biểu thức giải tích của thế màn chắn ở khoảng cách gần không . Với sự gợi ý của thầy TS.

Đỗ Xuân Hội, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là “Tác dụng của thế màn chắn lên hiệu suất

của phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma”.

2. Mục đích đề tài nghiên cứu

Trong phản ứng tổng hợp hạt nhân, hạt nhân phải có một năng lượng đủ lớn để thắng hàng rào

thế Coulomb giữa hai hạt nhân. Nhưng hàng rào thế Coulomb giữa hai hạt nhân sẽ giảm do ảnh hưởng

của hạt xung quanh, và giảm rất nhanh nếu mật độ môi trường lớn, do đó quá trình tổng hợp hạt nhân

diễn ra dễ dàng hơn, dẫn đến hiệu suất phản ứng tăng. Đề tài này nhằm mục đích tìm hiểu về ảnh

hưởng của những hạt xung quanh lên hiệu suất của phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma đậm đặc.

Mục tiêu cụ thể của đề tài này là xây dựng một hệ thức giải tích cho hệ số khuếch đại của hiệu suất

phản ứng áp suất hạt nhân trong môi trường plasma đậm đặc.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

- Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc.

- Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân.

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Môi trường plasma đậm đặc trong một số thiên thể như sao Lùn trắng, sao Neutron,...

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

4.1. Ý nghĩa khoa học

- Đề tài đề xuất biểu thức giải tích thế màn chắn cho môi trường plasma đậm đặc.

- Xây dựng công thức cho hệ số khuếch đại của hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân.

4.2. Ý nghĩa thực tiễn

Đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành vật lý có học các môn Vật

Lý Thống Kê hay Phản Ứng Hạt Nhân, để có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương tác

hệ nhiều hạt, ứng dụng của phân bố thống kê chính tắc, hiệu suất của phản ứng tổng hợp hạt nhân. Khi

thực hiện đề tài tôi có cơ hội tham khảo một số phần mềm tin học, học cách xử lí dữ liệu, và phương

pháp nghiên cứu khoa học.

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp lý thuyết:

- Nghiên cứu lý thuyết về thế màn chắn và định lí Widom để xây dựng biểu thức của thế màn chắn.

- Bằng cách sử dụng phần mềm tin học Maple 13 xử lí dữ liệu của mô phỏng Monte Carlo.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày theo thứ tự sau:

Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân. Mô hình khảo sát : Dành cho việc

nhắc lại các kiến thức cơ sở vế cấu trúc hạt nhân và phản ứng tổng hợp hạt nhân, trong đó có giới thiệu

về phản ứng áp suất hạt nhân. Tiếp theo ta xét mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component

Plasma) và các đại lượng có liên quan như thế màn chắn, hàm phân bố xuyên tâm, hiệu suất phản ứng

áp suất hạt nhân.

Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc : Trình bày các kết quả gần

đây của thế màn chắn cũng như biểu thức của thế màn chắn đề nghị bởi tác giả luận văn.

Chương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân : Khảo sát các biểu thức của hệ

số khuếch đại đề nghị bởi các công trình quốc tế gần đây nhất và đề nghị các công thức mới cho hệ số

này cho các mô hình OCP cổ điển cũng như lượng tử.

Nội dung của phần cuối cùng dành cho kết luận chung của luận văn.

Phần B. Nội Dung Luận Văn

Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân.

Mô hình khảo sát

1.1. Cấu trúc hạt nhân

Thí nghiệm tán xạ α trên nguyên tử của Rutherfor đã chứng tỏ sự tồn tại của hạt nhân. Nguyên

tử gồm hạt nhân ở bên trong và các electron chuyển động bên ngoài. Ở mức độ gần đúng nào đó hạt

nhân được xem như là chất điểm, khối lượng rất lớn gần như chiếm toàn bộ khối lượng nguyên tử và

=

≈

−

m

m Zm m

nt

e

nt

hn

chứa toàn bộ điện tích dương của nguyên tử.

−

27

=

kg

Hạt nhân được cấu tạo từ các nucleon. Có hai loại nucleon:

pm 1,67262.10

−

27

=

kg , không mang điện.

, mang điện tích +e.  Proton, kí hiệu p, có khối lượng

nm 1,67493.10

 Neutron, kí hiệu n, có khối lượng

Z X , trong đó A là số khối, Z là số proton, N=A-Z là số neutron.

Kí hiệu hạt nhân A

-15

Lực liên kết giữa các nucleon gọi là lực hạt nhân (là lực tương tác mạnh), có bán kính tác dụng

Pm, và không phụ thuộc vào điện tích của các nucleon. Muốn tách nucleon ra

vào khoảng 1fermi= 10P

khỏi hạt nhân, cần phải tốn năng lượng để thắng lực hạt nhân.

Z X bao giờ cũng nhỏ hơn

Các phép đo chính xác đã chứng tỏ rằng khối lượng m của hạt nhân A

∆ =

+

−

−

m [Zm (A Z)m ] m

tổng khối lượng của các nucleon tạo thành hạt nhân đó một lượng m∆ , gọi là độ hụt khối hạt nhân.

p

n

. (1.1)

2

= ∆

m.c

Theo định luật bảo toàn năng lượng và hệ thức Einstein ta có năng lượng liên kết:

lkE

. (1.2)

Năng lượng liên kết của các hạt nhân là năng lượng cần thiết để tách hạt nhân thành các nucleon

ε =

riêng biệt, nó đặc trưng cho sự bền vững của hạt nhân. Để so sánh độ bền vững của hạt nhân, người ta

lkE A

đưa ra khái niệm năng lượng liên kết riêng: , năng lượng liên kết riêng càng lớn thì càng bền

vững.

) n o e l c u n / V e M

(

A

/ k l E

Hình 1.1 Đồ thị sự phụ thuộc của năng lượng liên kết riêng theo số khối

A của hạt nhân.

1.2. Phản ứng tổng hợp hạt nhân

Phản ứng tổng hợp hạt nhân là quá trình hai hạt nhân nhẹ được tổng hợp để tạo thành một nhân

+ → +

X X

X X

mới nặng hơn, đồng thời nó giải phóng một năng lượng.

X (x ,x )X . (1.3)

1

2

4

3

1

2

3

4

hoặc

Quá trình này bị cản trở bởi lực đẩy Coulomb, vì nó có tác dụng ngăn cản hai hạt tiến đến đủ

gần để lọt vào vùng tác dụng của lực hút hạt nhân và “tổng hợp” với nhau, độ cao của hàng rào thế

Coulomb phụ thuộc vào điện tích và bán kính của hai hạt nhân tương tác. Dựa vào đồ thị sự phụ thuộc

của năng lượng liên kết riêng theo số khối A của hạt nhân ta thấy, năng lượng liên kết trung bình trên

một nucleon tăng theo số khối A trong miền A bé, nên khi tổng hợp hai hạt nhân rất nhẹ thành một hạt

( A ε ε−

)

nhân nặng hơn thì một năng lượng được giải phóng, trong đó A là số khối tổng cộng của các

hạt nhân được tổng hợp, ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân

trước phản ứng, còn ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân sau

phản ứng.

Điều kiện xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân:

15

3.10 m−

Các hạt nhân phải có động năng đủ lớn để chúng vượt hàng rào thế Coulomb và tiến lại gần

nhau với khoảng cách nhỏ hơn . Khi đó lực hạt nhân sẽ có tác dụng và phản ứng xảy ra.

V

Coulomb potential

Ecoul ~ Z1Z2 (MeV)

r

r0

nuclear well

Hình 1.2 Đồ thị hàng rào thế Coulomb.

3 định thì nồng độ plasma n (hạt/mP

P), thời gian nhốt plasma τ (s) và nhiệt độ plasma T (K) phải thoả

Năm 1957 J. D. Lawson chứng minh được rằng để đốt cháy và duy trì môi trường plasma ổn

3

21 τ ≥ n T 5.10 keV.s / m

mãn bất đẳng thức :

. (1.4)

10

Điều kiện (1.4) được gọi là tiêu chuẩn Lawson.

PK thì xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân. Tuy

PK, do đó, phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy

7 nhiên, trong thực tế nhiệt độ Mặt Trời chỉ vào khoảng T=10P

Theo (1.4), nhiệt độ Mặt Trời vào khoảng T=10P

10

-3

Pg cmP

P) hay sao

ra phải dưới điều kiện có hiệu ứng đường ngầm lượng tử.

13

-3

Trong những thiên thể có mật độ vật chất cao như sao lùn trắng (khoảng 10P

Pg cmP

P) thì phản ứng tổng hợp hạt nhân đóng vai trò quan trọng. Theo Salpeter và

neutron (khoảng 10P

Van Horn [24] và Chugunov et al [9], các phản ứng này có thể xảy ra dưới năm chế độ khác nhau, tùy

theo sự phụ thuộc vào nhiệt độ hay vào mật độ của plasma nhiều hay ít: Ở nhiệt độ đủ cao để plasma

trở nên rất loãng, tốc độ phản ứng hạt nhân phụ thuộc chủ yếu vào nhiệt độ và loại phản ứng này được

gọi là phản ứng nhiệt hạt nhân với màn chắn yếu. Phản ứng nhiệt hạt nhân với thế màn chắn mạnh xảy

ra trong plasma đậm đặc hơn, tức là mức độ liên kết do thế Coulomb quan trọng hơn là chuyển động

nhiệt của các ion. Hai loại phản ứng trên thường được gọi vắn tắt là phản ứng nhiệt hạt nhân

(thermonuclear reactions). Khi mật độ vật chất rất lớn, tốc độ phản ứng sẽ ngày càng ít phụ thuộc vào

nhiệt độ, và hệ quả là ngay ở trong plasma có nhiệt độ rất thấp, phản ứng này vẫn có thể xảy ra. Các

phản ứng dạng này, chỉ xuất hiện ở những điều kiện cực điểm về mật độ hạt, hay mật độ khối lượng,

của môi trường plasma, được gọi là phản ứng áp suất hạt nhân (pycnonuclear reactions). Ngoài ra, còn

tồn tại những phản ứng ở dạng trung gian, là những phản ứng áp suất hạt nhân nhưng tốc độ phản ứng

phải được tăng cường do nhiệt độ.

Ta có thể thấy rõ ảnh hưởng của mật độ vật chất cũng như của nhiệt độ lên tốc độ phản ứng hạt

11

12

3

−

nhân trên đồ thị Hình 1.3 của công trình [8]: Đối với phản ứng tổng hợp hai hạt nhân 20Ne và 24Mg

10

10 g cm−

của mật độ khối lượng, tốc độ xảy ra trong một số thiên thể, kể từ các giá trị khoảng

phản ứng hầu như rất ít phụ thuộc vào nhiệt độ. Theo M. Beard and M. Wiescher [7], trên đồ thị Hình

1.4, ta thấy kể từ một giá trị mật độ khối lượng ρ nào đó, tốc độ phản ứng tổng hợp là hàm tăng rất

nhanh theo ρ.

Hình 1.3 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ

thuộc vào mật độ khối lượng và nhiệt độ T [8].

Hình 1.4 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ thuộc vào

mật độ khối lượng ρ [7].

3 P g/cmP

P. Trong phòng thí nghiệm, để thực hiện phản ứng áp suất hạt nhân người ta nhốt

9 khoảng 10P

Như vậy, phản ứng áp suất hạt nhân là phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra ở mật độ lớn vào

plasma dựa trên tính quán tính của các hạt ion dưới tác dụng của tia laser hay chùm tia ion nặng, chẳng

hạn như, người ta tạo nên các viên nhiên liệu rất nhỏ chứa hỗn hợp deuterium-tritium rồi bắn từng viên

-11

-9 P s đến 10P

P s. Khi đó hỗn hợp deuterium-tritium nhận được

vào buồng chân không, khi viên này đạt đến tâm bình chân không, chiếu chùm tia laser hay chùm ion

-9

nặng vào viên đó trong thời gian cỡ 10P

P s, nó bị

8 nén lại với nồng độ tăng lên cỡ 1000 lần và nóng đến khoảng 10P

P K, phản ứng tổng hợp xảy ra trước

năng lượng với mật độ rất lớn trong thời gian cực ngắn, cỡ hàng chục megajoules trong 10 P

khi các ion kịp chuyển động dịch ra xa nhau do quán tính của chúng lớn, sự giữ bằng quán tính sẽ làm

việc với mật độ hạt lớn và trong thời gian ngắn. Trong vật lí thiên văn, phản ứng áp suất hạt nhân giữa

C-C, C-O, O-O xảy ra ở bên trong của sao lùn trắng, sao neutron,…

Hình 1.5 Phản ứng áp suất hạt

nhân thực hiện trong phòng thí

nghiệm dùng phương pháp

hãm quán tính.

Hình 1.6 Quá trình phản ứng

xảy ra ở lớp vỏ của sao neuron.

1.3. Mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma)

Để khảo sát tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân, người ta thường sử dụng mô hình đơn giản

, nhất, là mô hình plasma một thành phần, đó là một hệ thống kê gồm N những ion tích điện dương Ze+

chuyển động trong một “biển” đồng nhất NZ electron mang điện tích e− có tác dụng trung hòa điện, hệ

12

12

PC + P

PC , mô hình thích hợp là mô hình OCP.

này có nhiệt độ T và thể tích V của bình chứa. Ví dụ, trong phản ứng đốt cháy carbon xảy ra ở sao Lùn

trắng: P

Γ =

, (1.5)

)2 ( Ze akT

Khi đó, tất cả các đại lượng Nhiệt Động Lực có thể được tính theo tham số tương liên Γ :

a

 =  

1/ 3  3  π n 4

trong đó, a là bán kính khối cầu ion, được tính theo mật độ hạt n: .

)2

(

Ta nhận thấy rằng tham số Γ này thể hiện mối quan hệ giữa năng lượng tương tác Coulomb

Ze a

và năng lượng chuyển động nhiệt trung bình kT. Như vậy, tính chất của trung bình giữa hai ion

plasma phụ thuộc vào độ lớn của tham số tương liên Γ: khi chuyển động nhiệt chiếm ưu thế, môi

trường plasma sẽ ở trạng thái lưu chất và ngược lại, nếu tương tác Coulomb chiếm ưu thế, ta sẽ có

172

plasma kết tinh. Giá trị ngưỡng của Γ, tại đó có sự chuyển pha từ lưu chất sang tinh thể lập phương tâm

mΓ =

[16].

khối (bcc) được đánh giá vào cỡ :  Γ < 1 : plasma loãng (bên trong Mặt Trời, ICF – hãm quán tính).  Γ ≥ 1 : plasma đậm đặc (ruột sao Lùn trắng, vỏ sao Neutron: Γ = 10÷100).

1.4. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm

1.4.1. Thế màn chắn

Đối với hệ nhiều hạt, để tính thế năng tương tác hiệu dụng giữa hai ion nào đó của hệ, ta phải

tính đến tác dụng của môi trường xung quanh, tác dụng này được đặc trưng bởi một đại lượng gọi là

thế màn chắn, kí hiệu H(R) với R là khoảng cách liên ion. Hai ion này sẽ chuyển động trong trường thế

)2

(

=

−

U R (

)

H R (

)

hiệu dụng:

Ze R

)2

(

=

r

, (1.6)

Ze a

R a

và , hoặc nếu tính theo đơn vị

U r ( )

H r ( )

1 = − r

ta viết : . (1.7)

1.4.2. Hàm phân bố xuyên tâm

Xác suất tương tác (contact probability) giữa hai ion cho bởi hàm phân bố xuyên tâm, được định

nghĩa như sau :

Nếu gọi u(rRijR) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong N ion của plasma, thế năng toàn

N

≡

phần của hệ là:

   U U(r , r ,..., r ) n 1 2

u(r ) ij

= ∑

<

i

j

(1.8)

 , ion 2 trong

 ,…,

 tại vị trí 1r 1dr

 tại vị trí 2r 2dr

Xác suất tìm thấy ion 1 trong thể tích nguyên tố

 không phụ thuộc vận tốc mỗi hạt là:

 tại vị trí Nr Ndr

β

−

exp

...

ion N ở trong

]

[

   U dr dr dr N 1 2

1 Q

=

−

β

Q

exp

...

(1.9)

]

[

   U dr dr dr N 1 2

∫

V

 , hạt 2 trong

với Q là tích phân cấu hình (tích phân trạng thái):

 tại vị trí 2dr

 tại vị trí 1r 1dr

 là:

 ,…hạt n trong 2r

 tại vị trí nr ndr

n

=

−

β

,...,

...

exp

...

P

( ) (

)

[

 r 1

+ 1

   r dr dr 1 n n

 ] U dr n

 dr N

  ... dr dr 1 n

∫

1 Q

V

  

  

n

⇒

=

−

β

,...,

exp

...

P

Xác suất để ion 1 được tìm thấy trong thể tích nguyên tố

( ) (

)

[

 r 1

+ 1

 r n

 ] U dr n

 dr N

∫

1 Q

V

n

,...,

...

(1.10)

)

ρ  ( ) ( r 1

   r dr dr 1 n n

 , ion khác thứ hai trong

Ta gọi

 tại vị trí 2r 2dr

 .

là xác suất để có một ion nào đó (không nhất thiết là ion 1) được tìm  …ion khác thứ n  tại vị trí 1r 1dr

n

ρ

=

−

β

×

,...,

...

exp

...

( ) (

)

[

 r 1

+ 1

   r dr dr 1 n n

 ] U dr n

 dr N

  ... dr dr 1 n

∫

(

)!

! N − N n

1 Q

V

  

  

n

n

ρ

=

,...,

P

,...,

trong thấy trong thể tích nguyên tố  tại vị trí nr ndr

( ) (

)

( ) (

)

 r 1

 r 1

 r n

 r n

(

1

. (1.11)

N ! − N n )! ρ  ( ) (

1

 trong thể tích V tương đương nhau (

Từ định nghĩa trên thì

ρ  ( ) (

) r dr 1 1

 ) r dr 1 1  và vì mọi điểm 1r 1dr

thể tích nguyên tố là xác suất để một trong những ion của hệ được tìm thấy trong  độc lập với 1r  )

nên:

( ) 1 ρ

( ) 1 ρ

=

=

=

ρ

 dr 1

∫

1 V

N V

V

2

. (1.12)

ρ   ( ) (

  ) ,r r dr dr 1 2 1

2

 và một ion khác ở trong 1dr

 , và 2dr

Ta chú ý rằng là xác suất để một ion ở trong

( )2ρ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách rR12 R giữa hai ion nên:

2

2

ρ

ρ=

( ) (

)

( ) (

)

  ,r r 1 2

r 12

2

2

ρ

=

−

do

( ) (

( ) (

)

( N N

) 1

    ) r r dr dr , 1 2 1 2

r 12

 dr 12

∫

V

∫ ρ= V

. (1.13) và

 , idr

Vì sự phân bố các ion trong plasma là hoàn toàn ngẫu nhiên, xác suất để ion thứ i nằm trong

n

( ) n

=

=

...

,...,

...

P

P

 và

( ) (

)

 r 1

  r dr dr n n 1

1 n V

  dr dr 2 1 V V

 dr n V

i=1,2,3,…,n là:

( ) n

=

=

ρ

n ρ

nên (1.11) trở thành:

n

! −

N N N n

(

)!

1

. (1.14)

)!  là xác suất để một ion của hệ được tìm thấy trong thể tích nguyên tố

1 ! N n − ( V N n ρ  ( ) (

) r dr 1 1

 . Nếu xác suất này độc lập với xác suất tìm thấy ion thứ hai trong thể tích nguyên tố

 tại 1dr  tại vị trí 2dr  , một  thì ta có xác suất để 1 ion ở trong 1dr

Ta thấy

vị trí 1r  ,…, với xác suất tìm thấy ion thứ n trong 2r

 ,…, một ion khác thứ n ở trong 2dr

 tại vị trí nr ndr  là: ndr

n

1

1

1

ρ

ρ

ρ

ρ

,...,

...

...

ion khác ở trong

( ) (

)

( ) (

( ) (

( ) (

 r 1

  ) r dr 1 1

  ) r dr 2 2

   r dr dr 1 n n

  ) r dr n n

 = 

   

 

 

 

(1.15)

n

g

Ngược lại khi có sự tương quan giữa 1 ion này và một ion khác tức là n xác suất trên không độc

( )nρ lệch khỏi giá trị

( ) (

)

 1,..., r

 r n

1

( )ng

lập với nhau, vậy ta sẽ đưa vào hàm vì hàm này cho biết mức độ mà

ρ  ( ) (

 ) r dr i i

1

1

1

n

n

ρ

ρ

ρ

ρ

,...,

...

,...,

của nó khi các xác suất độc lập với nhau. Hàm được định nghĩa như sau:

)

( ) (

( ) (

)

( ) (

( ) (

( ) (

 r 1

 ) r g n

 r 2

 r 1

 r 1

 r n

 ) ) = r n  trong thể tích V đều tương đương nhau trong plasma lưu chất, tức là:

1

1

1

ρ

ρ

=

ρ

=

ρ

= = ...

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

 r n

(1.16)

 r 2

Mọi điểm ir  r 1

n

n

ρ

n ρ=

g

,...,

,...,

(1.16) được viết lại:

( ) (

)

( ) (

)

 r 1

 r 1

 r n

 r n

ρ=

(1.17)

N V

(n)

(n)

P và gP

P như sau:

với là mật độ ion trong plasma.

Từ (1.11) và (1.17) ta rút ra mối quan hệ giữa PP

n

n

n ρ

=

g

,...,

P

,...,

( ) (

)

( ) (

)

 r 1

 r 1

 r n

 r n

N ! − N n

(

)!

(n)

(1.18)

P từ (1.10) ta có:

exp

...

 dr n

 dr N

+ 1

∫

 − 

n

V

=

n ρ

,...,

g

thế kết quả của PP

( ) (

)

 r 1

 r n

(

)!

 U  kT  Q

! N − N n

. (1.19)

Bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là vấn đề liên quan tới việc mở rộng các vạch

quang phổ, đều cần nghiên cứu việc có hay không sự tương tác giữa các ion với các ion lân cận gần

2

P

 , xác suất này là

nhất. Hay nói cách khác, cần biết xác suất để hai ion, ký hiệu 1 và 2, có điện tích Z, cách nhau khoảng

( ) (

)

  r r 2, 1

. rR12 R bất chấp sự có mặt của các ion ở các vị trí ir

exp

  ... dr dr 3 N

∫

 − 

  

2

V

=

2 ρ

g

Từ (1.19) ta có:

( ) (

)

  , r r 1 2

N −

! 2)!

(

N

U kT Q

. (1.20)

−

1)

=

2 ρ

exp

Cuối cùng ta thu được hàm phân bố xuyên tâm:

)

( g r 12

  dr dr ... N 3

∫

N N ( Q

U kT

 − 

  

V

(1.21)

2

=

exp

 . (1.22)

)

( g r 12

 dr dr ... N 3

∫

V Q

U kT

 − 

  

V

3

−

với N đủ lớn.

g(r 2

 r )d r / V ta có được: 1

2

−β

12u

−

Bằng cách chuẩn hoá xác suất

 g(r 2

 = r ) e 1

(1.23)

Sự hiểu biết giá trị hàm phân bố xuyên tâm đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát thống kê

của plasma, vì một phần là hàm này (cùng với trung bình phần dư của năng lượng tự do) là đại lượng

được tính toán trực tiếp từ phương pháp Monte-Carlo và trong vật lý lưu chất, g(r) có thể đo trực tiếp từ

những thí nghiệm tán xạ neutron, các tính chất nhiệt động lực đều có thể tính được từ những tích phân

tính trên hàm g(r) này.

Hình 1.7 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm của lưu chất

Ar từ kết quả tán xạ neutron [6].

Dựa vào Hình 1.7, ta có thể thấy tính chất phân bố các hạt qua sự biến thiên của hàm phân bố xuyên

tâm g(r) theo r thu được từ kết quả của thí nghiệm tán xạ neutron trên Argon ở thể lỏng, các cực trị

nhọn chỉ ra vị trí của các hạt kế cận. Các mô phỏng Monte Carlo (MC) gần đây đối với mô hình plasma

OCP cũng cho những kết quả tương tự, có thể thấy trên Hình 1.8, qua đây ta cũng nhận thấy rằng hàm

phân bố xuyên tâm g(r) giảm nhanh theo r và tăng theo Г của biên độ cực đại đầu tiên, điều này có ý

nghĩa rằng đối với những plasma có tham số tương liên lớn, sự ổn định của các vị trí của các ion kế cận

càng lớn, plasma có tính chất gần vật rắn hơn.

Hình 1.8. Đồ thị dao động của g(r) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 cho bởi

mô phỏng MC [11], đường liền nét ứng với Γ = 1.

1.4.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom

Khi tính đến ảnh hưởng môi trường xung quanh trong plasma ta phải thay thế u R12 R trong biểu

)2

(

=

−

U R (

)

H R (

)

thức (1.23) bằng thế năng hiệu dụng

Ze R

βU R ( -

)

g R

( ) = e

(1.24)

khi đó (1.23) trở thành: . (1.25)

=

−Γ

g r ( )

exp

H r ( )

Hay ta có thể viết liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm như sau:

 1 − r 

  

  

  

(1.26)

H r ( )

ln ( ) g r Γ

1 = + r

. (1.27) suy ra:

Vào năm 1963, Widom đã xác định dạng của thế màn chắn trong lưu chất, được gọi là định lí

Widom [25]:

“Trong lưu chất hay trong tinh thể, thế màn chắn là hàm chẵn, theo khoảng cách giữa hai ion

hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ, được biểu thị bởi một đa thức luân phiên đổi dấu”.

i

i

2

4

2

=

−

+

H r ( )

...

Dạng triển khai của thế màn chắn theo định lý Widom:

) ( − + − 1

h r i

h 0

h r 1

h r 2

i

i

2

=

(1.28)

( ) H r

h r i

) ( −∑ 1

≥

0

i

. (1.29) hay

=

Các hệ số hRiR có vài đặc điểm sau:

( ) H r

h 0

lim → 0 r

là số khuếch đại của phản ứng tổng hợp hai hạt nhân. 

 Hệ số hR1 R đã được Jancovici dùng vật lý thống kê xác định giá trị chính xác và được đặt tên là hệ số

Jancovici với hR1 R = 0.25, [19].

 Các hệ số còn lại phụ thuộc vào plasma là liên kết mạnh hay liên kết yếu, tức là ở trạng thái tinh thể

hay lưu chất.

Các đặc điểm trên giúp ích cho ta rất nhiều trong việc tìm lại dạng khai triển của thế màn chắn

khi so sánh với các số liệu thực nghiệm Monte-Carlo.

1.5. Hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma

Nguồn năng lượng chính được bức xạ từ các sao trong vũ trụ có nguồn gốc là phản ứng tổng hợp

hạt nhân. Các phản ứng này ảnh hưởng đến quá trình tiến hóa của những thiên thể tạo bởi plasma có

mật độ khối lượng cao như sao Lùn trắng hoặc sao Neutron. Trong plasma, các hạt nhân có thể vượt

3 phản ứng hạt nhân (số phản ứng /cmP

P/s) giữa hạt nhân i và j được tính bởi hệ thức tổng quát:

=

.

(1.30)

) 2

)

(

)

( R E ij

n n S E i j ij

( rψ ij N



B 2 r ij ( π δ + 1 ij

qua hàng rào thế Coulomb do hiệu ứng đường ngầm lượng tử để gây ra phản ứng tổng hợp. Hiệu suất

)

jn là mật độ hạt

in và

2

=

B r ij

2

 Z Z e i

j

µ 2 ij

(

)

ijS E : thừa số vật lí thiên văn

)

( Nrψ

ij

là hàm sóng tán xạ ( Nr bán kính xảy ra phản ứng hạt nhân), được mô tả bởi phương

Trong đó :

trình Schrodinger:

2

2

−

+

−

=

0

.

(1.31)

( ) r

( ) W r ij

ψ ij

2

d dr

 µ 2 ij

   

 E r   

2

2

=

g

(0)

(1.32)

(

)

( ) 0

ψ ij

r N

ψ= ij

Vì phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra với khoảng cách gần bằng 0, nên

=

,

(1.33)

)

)

(0)

R E ( ij

n n S E g ( i ij

j

ij

(1

B r 2 ij δ π + )  ij

là hàm phân bố xuyên tâm hay xác suất gặp nhau của hai hạt nhân. Vậy, ta có:

U

12

g

e β−=

(0)

,

với:

12U là thế năng hiệu dụng.

trong đó

2

(

=

−

=

Khi không có tác dụng của thế màn chắn:

exp(

)

U

cg r ( )

12

)Ze R

Γ r

(1.34) , .

=

.

(1.35)

)

(0)

)

n n S E g ( i ij

j

c

T R E ( ij

(1

B r 2 ij δ π + )  ij

Vậy, hiệu suất của phản ứng hạt nhân được viết:

2

)

(

=

−

U

H R (

)

,

12

Ze R

=

−Γ

−

=

Γ

exp

( ) exp

( ) g r

( ) H r

( ) H r

; (1.36)

[

]

g r c

1 r

  

  

  

  

Vậy,

=

Γ

.

(1.37)

)

)

(0) exp[

H

(0)]

R E ( ij

n n S E g ( i ij

j

c

(1

B 2 r ij δ π + )  ij

Khi có tác dụng của thế màn chắn:

=

(1.38)

)

( ) R E f

( R E ij

T ij

Do đó , ta có thể viết:

=

Γ

với:

f

exp[

H

(0)]

(1.39)

được gọi là hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân.

Như vậy việc tính H(0) là một vấn đề quan trọng trong việc xác định hiệu suất của phản ứng hạt

9

3

ρ=

nhân, và sẽ được khảo sát ở chương 2 và chương 3. Bảng 1 là tốc độ phản ứng và hệ số khuếch đại

4.10

/g cm

8

=

trong các phản ứng C-C, C-O, O-O trong sao Lùn trắng có mật độ khối lượng , nhiệt

T 10 K

18.69

. độ

-1 PsP

P)

Phản ứng Γ f -3 R (cmP 28.44 40.96 C-C 56.6 23.49 10 10− C-O 71.9 29.95 10 10− O-O 91.5 38.34 10 10−

Bảng 1 Giá trị tốc độ phản ứng và hệ số khuếch đại của các phản ứng trong sao lùn trắng [18].

Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc

Vì các mô phỏng Monte Carlo (MC) không cho giá trị chính xác của thế màn ở khoảng cách liên

hạt nhân quá nhỏ, nên ta phải sử dụng các tính toán lý thuyết và các số liệu MC để thu được hệ số

khuếch đại này. Bố cục chương 2 gồm các phần sau :

Phần 2.1: Dành cho việc tham khảo một số công trình mới nhất liên quan H(r).

Phần 2.2: Các tính toán thực hiện bởi tác giả luận văn, để có được biểu thức H(r) phù hợp với

các số liệu MC chính xác nhất.

2.1. Các kết quả gần đây của thế màn chắn

2.1.1. Mô phỏng MC cho plasma

Sau đây là một số công trình thực hiện mô phỏng MC cho plasma một hay nhiều thành phần, sử

dụng phép tính cổ điển hoặc lượng tử:

• S. G. Brush, H. L. Sahlin, and E. Teller (1966). • J. P. Hansen (1973). • G. S. Stringfellow, H. E. DeWitt, and W. L. Slattery (1990).

• S. Ogata, H. Iyetomi, and S. Ichimaru (1991).

• H. E. DeWitt, W. L. Slattery, and G. Chabrier (1996).

• H. E. DeWitt and W. Slattery (1998).

• L. R. Gasques et al (2005).

• B. Militzer, E. L. Pollock (2005), sử dụng phương pháp tích phân lộ trình (path integral Mone

Carlo- PIMC).

• A.I. Chugunov, H.E. DeWitt (2009), cho plasma hỗn hợp hai thành phần (binary ionic

mixtures - BIM).

Các mô phỏng MC gần đây đối với mô hình plasma OCP cho những kết quả với độ chính xác

r

v

∈

Γ ∈

rất cao. Như là hàm phân bố bán kính g (r) có những giá trị với độ chính xác vào khoảng 0.2% cho

à

[ . , 1 2 72

]

[ 1,160

]

trong [11], Hình 1.8. Như vậy ta có thể thu thập dữ liệu cho hàm phân bố

H r ( )

ln ( ) g r Γ

1 = + r

bán kính g(r) từ các mô phỏng MC và suy ra giá trị cho thế màn chắn H(r) từ hệ thức (1.27):

H(r)

Γ =

Hình 2.1 Đồ thị thế màn chắn được suy ra từ hệ thức (1.27) và g(r)

80

cung cấp bởi mô phỏng Monte Carlo của công trình [11], với .

2.1.2. Biểu thức của thế màn chắn

-7 Đối với plasma ở trạng thái kết tinh, biểu thức thế màn chắn với độ chính xác cao (1,5.10 P

P) đã

Dựa vào các mô phỏng MC trên, một số tác giả đã tính được hàm H(r) như sau:

2

4

6

H (η) = (

1/3 )

(1.391160 - 0.258399η - 0.162060η + 0.034887η

R

được đề nghị [5], [14]:

1 π 3

10

8 - 0.005789η + 0.000210η )

(2.1)

η

R d

=

, và d là khoảng cách của hai ion gần nhất ở trạng thái cân bằng. Đối với tinh thể bcc, với =

d

1.7589

a

.

Hệ thức giải tích (2.1) bao hàm tính đối xứng của thế màn chắn đối với khoảng cách hai ion,

tính chất đã được chứng minh cho lưu chất [25], điều này đã cho phép sử dụng tính liên tục của thế

màn chắn để tiếp tục khảo sát biểu thức giải tích của thế này đối với plasma có tham số tương liên Γ

Γ =

172

<172 [15].

có xảy ra sự chuyển pha lỏng-tinh thể theo tính toán của D. H. E. Đặc biệt là tại giá trị m

Dubin, H. Nagara, Y. Nagara, và T. Nakamura [16].

2

4

H r

r

r

+

−

∈

r − 1.0521 0.25

r 0.04392

6 0.004269 ,

[0.0,2.0]

Biểu thức thế màn chắn được đề nghị bởi [14]:

( ) =

(2.2)

Trong biểu thức (2.2), thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên dấu, phù hợp

với định lý Widom cho lưu chất và rất chính xác so với kết quả thực nghiệm MC [22].

2 Hệ số của rP

P có giá trị chính xác -0.25, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính lý

< Γ <

160

thuyết [19].

, cũng được đề nghị bởi Biểu thức thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 5

6

i

i

2

=

công trình [1] gần đây:

( ) H r

h r i

( ) −∑ 1

=

i

0

5

k

i

=

Γ

(2.3.1)

10

ln

a

(

)

h i

k

∑

=

k

0

(2.3.2) với các hệ số hRiR tính theo :

hệ số aRk R được cho ở Bảng 2.1.

ka của hệ thức (2.3.2).

Bảng 2.1 Hệ số

hR4 -3.97 3.66

hR6 -0.811 -0.413 1.28 -0.591 0.104

hR0 hR2 0.939 5.23 0.15 -1.92 -0.0521 0.748 -0.123 0.00723 -0.000295 0.00714 -9.84E-06 4.63E-05 hR3 3.85 -2.2 1.34 -0.349 0.0399 -0.0016 hR5 -5.91 4.69 -0.0349 0.0182 -0.606 -0.407 0.0917 0.142 -0.00604 -0.00983 -0.00646 aR0 aR1 aR2 aR3 aR4 aR5

ih của hệ thức (2.3.1).

hR6

hR5

hR4

0.0000094

Г 5 10 20 40 80 160

hR0 1.07416 1.08816 1.08967 1.08548 1.07993 1.07469

hR2 0.0361264 0.0347595 0.0346911 0.0350416 0.0353654 0.0356602

hR3 0.00257 0.000068584 1.27876E-14 8.30579E-16 0.00263 0.00014923 0.00000031 0.0027 0.000166661 1.08262E-05 3.6812E-07 0.0027 0.000147507 8.2664E-06 2.8042E-07 0.00264 0.000119066 5.4317E-06 0.000000195 0.002586 0.000097705 3.8685E-06 0.000000178

Bảng 2.2 Hệ số

Bảng 2.2 là bảng giá trị h RiR được tìm bằng cách tối thiểu hóa độ lệch các dữ liệu MC tương ứng

với một vài giá trị Γ của công trình [1]. Thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên

dấu, phù hợp với định lý Widom, hR1 R = 0.25 với mọi Г, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng

−

3

−

<

g(r) g

(r)

2.10 , và ở những khoảng cách lân cận không, các mô phỏng MC không thể cho các

MC

tính toán lý thuyết. Dựa vào đồ thị sai số Hình 2.2.1 và Hình 2.2.2, ta có thể nhận xét rằng

giá trị của g(r).

Γ =5

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Γ =10

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Γ =20

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Γ =40

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Γ =80

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Hình 2.2.1 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 5, 10, 20 , g(r) từ công trình [1] so với gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

2.2 Biểu thức của thế màn chắn đề nghị

Γ =

172

Theo như trình bày ở phần 2.1.2, ta thấy [5],[14] chỉ cho ta biểu thức của thế màn chắn đối với

< Γ <

160

, và kết quả plasma ở trạng thái kết tinh, [14] cho thế màn chắn H(r) tương ứng với giá trị m

công trình [1], là cho ta hàm H(r) cho plasma có tham số tương liên 5 , với độ chính xác cao,

nhỏ hơn 0.2%. Nhưng ở hệ thức (2.3.1), giá trị của hệ số hR0 R lại mắc phải sai số lớn so với MC chính

xác nhất hiện nay. Vì vậy mà ta cần phải tìm hàm H(r) chính xác hơn.

Trong phần sau, tôi sử dụng phần mềm Maple 13 để tính các hệ số của H(r) nhằm có biểu thức

tương thích với những kết quả MC mới nhất. Biểu thức của H(r) được thử nghiệm với các đa thức bậc

khác nhau, và với hệ số hR1 R thả tự do để có thể kiểm chứng tính toán của Jancovici [19].

2.2.1 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 = 0.25

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1 R = 0.25 cho

trước để phù hợp với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính toán lý thuyết với H(r) được suy ra từ

H r ( )

ln ( ) g r Γ

1 = + r

hệ thức : , hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có

2

4

6

8

=

+

+

+

+

( )H r

dạng sau :

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

h r 4

, với h R1 R= 0.25 ( 2.4)

2

6

4

H r

( ) = 1.075865221- 0.25r + 0.03581061337r - 0.002519919466r +

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 5

8

0.00006740631855r

( 2.4.1)

2

4

6

−

=

+

−

+

H r

( ) 1.089345045 0.25

0.03397286786

r

r 0.002192527053

r 8

0.00005173009718

r

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 10

( 2.4.2)

2

4

6

=

−

+

−

+

H r

( ) 1.090837007 0.25

r 0.03370561141

r 0.002159756641

r 8

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 20

0.00005133438387

r

( 2.4.3)

2

4

6

−

=

+

−

+

H r

( ) 1.086503803 0.25

r

0.03420728534

r

0.002260500675

r

8

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 40

r 0.00005712093951

( 2.4.4)

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 80

4

6

2

−

=

+

−

+

H r

( ) 1.080546322 0.25

0.03488110832

r

0.002377716935

r

r 8

0.00006275077446

r

( 2.4.5)

2

4

6

=

−

+

−

+

H r

( ) 1.074808268 0.25

0.03552535180

r

r 0.002482774951

r 8

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 160

r 0.00006731415283

( 2.4.6)

Hình 2.3, Hình 2.4, Hình 2.5, Hình 2.6, Hình 2.7, Hình 2.8 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố

xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế màn chắn H(r) từ (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.4.4),

(2.4.5) (2.4.6) với gRMC R(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy :

 Với Γ = 5 , Hình 2.3, sai số giữa g(r) với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.5% tại

r =

1.25

r =

2.1

và 0.45% tại và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.0.

 Với Γ = 10 , Hình 2.4, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.4% tại

r =

2.3

r =

2.75

và và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.1.

 Với Γ = 20 , Hình 2.5, sai số giữa g(r) với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.3% tại

r =

1.25

r =

1.6

và 0.4% tại và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.75 đến 1.1 và 1.75 đến 2.75.

 Với Γ = 40 , Hình 2.6, sai số giữa g(r) với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.9% tại

r =

1.7

r =

2.25

và 0.4% và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1 đến 1.25.

 Với Γ = 80 , Hình 2.7, sai số giữa g(r) với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.8% tại

r =

1.7

và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.2 đến 1.55 và 1.8 đến 2.75.

 Với Γ = 160 , Hình 2.8, sai số giữa g(r) với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 1.5% tại

r =

1.7

r =

2.4

và 0.4% và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.5.

Vậy với đa thức H(r) có dạng như (2.4), sai số nhỏ nhất đối với Γ = 10 , Γ = 20 vào khoảng

0.4%, sai số lớn nhất đối với Γ = 160 vào khoảng 1.5%, và sai số 0.2% đối với khoảng cách nhỏ.

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.5. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 20 , g(r) được suy Hình 2.3. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , g(r) được

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.6. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 40 , g (r) được suy

Hình 2.4. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 10 , g(r) được

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.7. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 80 , g(r) được

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.8. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 160 , g(r)

được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Bảng 2.3 Bảng giá trị hRiR của hệ thức (2.4) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 , hR1 R=0.25

2

3

4

hR0

10 h

10 h

10 h

2

3

4

Γ 5 1.0758652 3.581061337 2.519919466 0.674063185 10 1.0893450 3.397286786 2.192527053 0.517300971 20 1.0908370 3.370561141 2.159756641 0.513343838 40 1.0865038 3.420728534 2.260500675 0.571209395 80 1.0805463 3.488110832 2.377716935 0.627507744 160 1.0748082 3.552535180 2.482774951 0.673141528

với mọi Γ .

2.2.2 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 tự do

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1 R thả tự do, H(r)

H r ( )

ln ( ) g r Γ

1 = + r

được suy ra từ hệ thức : , hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC

2

4

6

8

=

+

+

+

+

[11]. Đa thức có dạng sau :

( )H r

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

h r 4

(2.5)

2

4

=

−

H r

( ) 1.080492321 0.2584064256

r

r

6

8

−

+

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 5

0.003126772967

r

+ 0.00009934581116

0.03958462077 r

(2.5.1)

2

4

−

=

H r

( ) 1.091833268 0.2538962047

r

r

6

−

+

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 10

0.002450038085

r

+ 0.0006503161505

0.03562385622 8 r

(2.5.2)

2

4

=

−

H r

0.03418460896

r

r

8

6

+

−

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 20

( ) 1.091720437 0.2512045568 0.002231832400

+ 0.00005497304472

r

r

(2.5.3)

2

4

=

−

H r

r ( ) 1.086022161 0.2494218933

0.03399242356

r

6

8

−

+

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 40

0.002229465799

r

+ 0.00005559610814

r

(2.5.4)

2

4

=

−

H r

r ( ) 1.080301651 0.2497458993

0.03479459382

r

6

8

−

+

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 80

r 0.002365914313

+ 0.00006219339389

r

(2.5.5)

2

4

−

=

H r

( ) 1.076283317 0.2514145049

r

r

6

8

−

+

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 160

0.002542817127

r

+ 0.00007007523408

0.03598199186 r

(2.5.6)

Hình 2.9, Hình 2.10, Hình 2.11, Hình 2.12, Hình 2.13, Hình 2.14 là đồ thị sai số giữa hàm phân

bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), thế màn chắn H(r) từ (2.5.1), (2.5.2), (2.5.3), (2.5.4),

(2.5.5), (2.5.6), với gRMCR(r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy :

 Với Γ = 5 , Hình 2.9, sai số giữa g(r) với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.3% tại

r =

1.5

, sai số vào khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.3 và 1.55 đến 2.75.

 Với Γ = 10 , Hình 2.10, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.32% tại

r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.3.

2

r =

1.5

và 0.25%

 Với Γ = 20 , Hình 2.11, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.6% tại

r =

1.7

r =

2.4

và 0.35% và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.75 đến 1.35.

 Với Γ = 40 , Hình 2.12, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.65% tại

r =

1.7

và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1 đến 1.5.

 Với Γ = 80 , Hình 2.13, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.58% tại

r =

1.7

và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.4 và 1.9 đến 2.75.

 Với Γ = 160 , Hình 2.14, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.7% tại

r =

1.7

và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.5 và 1.9 đến 2.75.

Vậy với đa thức H(r) có dạng như (2.5), sai số nhỏ nhất đối với Γ = 5 , Γ = 10 vào khoảng

0.3%, sai số lớn nhất đối với Γ = 160 vào khoảng 0.7%, và sai số 0.2% đối với khoảng cách nhỏ.

3

2

4

hR0

10hR1

10 h

10 h

10 h

3

4

Γ 2 5 1.0804923 2.5840642 3.9584621 3.1267730 0.9934581 10 1.0918333 2.5389620 3.5623856 2.4500381 0.6503162 20 1.0917204 2.5120455 3.4184609 2.2318324 0.5497304 40 1.0860222 2.4942189 3.3992424 2.2294658 0.5559611 80 1.0803017 2.4974590 3.4794594 2.3659143 0.6219339 160 1.0762833 2.5141450 3.5981992 2.5428171 0.7007523

Bảng 2.4 Bảng giá trị hRiR của hệ thức (2.5) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 .

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Hình 2.9. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , g(r) được suy

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

ra từ (1.26) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.10. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 10 , g(r) được

) ) r ( C M g - ) r ( g ( 3 0 1

suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.11. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 20 , g(r) được

suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Hình 2.12. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 40 , g (r)

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.13. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 80 , g(r)

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.14. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 160 , g(r)

được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11].

2.2.3 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 = 0.25

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 12, hR1 R = 0.25 cho

trước để phù hợp với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính toán lý thuyết với H(r) được suy ra từ

H r ( )

g r ln ( ) Γ

1 = + r

, hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có hệ thức :

2

4

6

8

10

12

=

+

+

+

+

+

+

( )H r

dạng sau :

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

h r 4

h r 5

h r 6

, với h R1 R= 0.25 (2.6)

Phần mềm Maple không cho đa thức luân phiên dấu.

2.2.4 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 tự do

Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 12,

H r ( )

ln ( ) g r Γ

1 = + r

, hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu với H(r) được suy ra từ hệ thức :

2

4

6

8

10

12

=

+

+

+

+

+

+

MC [11]. Đa thức có dạng sau :

( )H r

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

h r 4

h r 5

h r 6

, (2.7)

2

4

6

=

−

+

−

+

H r

r ( ) 1.08391437 0.26946603

r

8

10

0.00607427 12

−

0.04977341 r +

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 5

0.00083242

0.00006474

0.00000219

r

r

r

(2.7.1)

Hình 2.18 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế

màn chắn H(r) từ (2.7.1) với gRMC R(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 5 sai số giữa g(r) với

r =

1.75

r =

1.2

, và sai số nhỏ khoảng 0.15% tại r từ gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.24% tại

0.5 đến 1.1.

H(r)

Hình 2.15 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 5 , đường liền

nét cho bởi hệ thức (2.7.1), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

) ) r ( C M H

- ) r (

H

(

3 0 1

Hình 2.16 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , H(r) là hệ

thức (2.7.1) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô

phỏng MC [11].

Hình 2.17 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 5 ,

đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.1), chấm

tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

) ) r ( C M g - ) r ( g ( 3 0 1

Hình 2.18 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , g(r) được suy

ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.1) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11].

2

4

6

=

−

+

−

+

H r

( ) 1.09623968 0.26690265

r

0.00794404

r

r

12

8

10

0.04825305 +

−

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 10

0.00000497

r

0.00124757

r

0.00012324

r

(2.7.2)

Hình 2.22 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), thế

màn chắn H(r) từ (2.7.2) với gRMC R(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 160 sai số giữa g(r)

r =

1.7

và sai số nhỏ khoảng 0.01% tại r từ 0.5 với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.14% tại

đến 1.1.

) r ( H

Hình 2.19. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 10 đường liền

nét cho bởi hệ thức (2.7.2), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

) ) r ( C M H

- ) r (

H

(

3 0 1

Hình 2.20. Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 10 ,

H(r) là hệ thức (2.7.2) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm

g(r) cho bởi mô phỏng MC [11].

Γ = 10 , đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức

Hình 2.21 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

(2.7.2), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.22 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 10 , g(r)

được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.2) và gMC (r) cho bởi mô

phỏng MC [11].

2

4

6

−

=

+

−

+

0.00504209

H r

( ) 1.09624268 0.26136473 r

r

r

8

10

12

−

0.04206459 +

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 20

0.00055762

r

r 0.00004383

0.00000148

r

(2.7.3)

Hình 2.26 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế

màn chắn H(r) từ (2.7.3) với gRMC R(r) R R cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 160 sai số giữa g(r)

r =

1.5

r =

1.8

, và sai số nhỏ khoảng 0.05% tại r với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.26% tại

từ 0.75 đến 1.3.

) r ( H

Hình 2.23 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 20 đường liền

) ) r ( C M H

- ) r (

H

(

3 0 1

nét cho bởi hệ thức (2.7.3), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.24 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 20 , H(r)

là hệ thức (2.7.3) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r)

cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.25 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 20 đường

liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.3), chấm tròn cho bởi

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

mô phỏng MC [11].

Hình 2.26 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 20 , g(r)

được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.3) và gMC (r) cho bởi mô

phỏng MC [11].

2

4

6

−

=

+

−

+

H r

( ) 1.09010925 0.25710546

r

r

8

10

0.00392422 12

−

0.03922861 r +

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 40

0.00033656

r

r 0.00002303

0.00000074

r

(2.7.4)

Hình 2.30 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), thế

màn chắn H(r) từ (2.7.4) với gRMCR(r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 160 sai số giữa g(r)

r =

1.55

và sai số nhỏ khoảng 0.02% tại r từ 0.8 với gRMC R(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.27% tại

đến 1.4.

) r (

H

Hình 2.27 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 40 , đường liền

) ) r ( C M H

- ) r (

H

(

3 0 1

nét cho bởi hệ thức (2.7.4), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.28 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 40 , H(r) là hệ

thức (2.7.4) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô

phỏng MC [11].

Hình 2.29 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 40

đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.4), chấm tròn

cho bởi mô phỏng MC [11].

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

Hình 2.30 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 40 , g(r) được

suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.4) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11].

2

4

6

−

=

+

−

+

H r

r ( ) 1.08282686 0.25378621

0.00309872

r

8

10

12

−

0.03724963 r +

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 80

0.00017686

r

r 0.00000901

0.00000028

r

(2.7.5)

Hình 2.34 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế

màn chắn H(r) từ (2.7.5) với gRMC R(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 80 sai số giữa g(r) với

r =

1.65

và sai số nhỏ khoảng 0.1% tại r từ 1.1 đến 1.5. gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.4% tại

) r ( H

Hình 2.31 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 80 , đường liền

nét cho bởi hệ thức (2.7.5), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

) ) r ( C M H

- ) r (

H

(

3 0 1

Hình 2.32 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 80 , H(r)

là hệ thức (2.7.5) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r)

cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.33 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 80 ,

đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.5), chấm tròn

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.34 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 80 , g(r) được suy

ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.5) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11].

2

4

6

−

=

+

−

+

H r

r ( ) 1.07707476 0.25259073

r

r

8

10

0.00273802 12

−

0.03666006 +

 Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 160

0.00009988

r

0.00000230

r

0.00000007

r

(2.7.6)

Hình 2.38 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế

màn chắn H(r) từ (2.7.6) với gRMCR(r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 160 sai số giữa g(r)

r =

1.7

và sai số nhỏ khoảng 0.1% tại r từ 1.3 đến với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.67% tại

1.45.

) r ( H

Hình 2.35 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 160 , đường liền

) ) r ( C M H

- ) r (

H

(

3 0 1

nét cho bởi hệ thức (2.7.6), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.36 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 160 , H(r)

là hệ thức (2.7.6) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r)

cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.37 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 160 ,

đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.6), chấm tròn

) ) r ( C M g - ) r ( g (

3 0 1

cho bởi mô phỏng MC [11].

Hình 2.38 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 160 , g(r)

được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.6) và gMC (r) cho bởi mô phỏng

MC [11].

Sai số nhỏ nhất đối với Γ = 10 , Γ = 40 vào khoảng 0.25%.

Sai số lớn nhất đối với Γ = 160 vào khoảng 0.65%.

4

2

3

5

6

hR0

10 h

110h

3

2

6

5

4

10 h 6.4736

4.3830 2.3034 0.9014 0.2307

Γ 10 h 10 h 10 h 5 2.1851 1.0839144 2.6946603 4.977341 7.074274 8.3242 10 1.0962397 2.6690265 4.825305 7.944035 12.4757 12.3240 4.9656 20 1.4823 1.0962429 2.6136472 4.206459 5.042091 5.5762 40 0.7398 1.0901093 2.5710547 3.922861 3.924224 3.3656 80 0.2807 1.0828269 2.5378621 3.724963 3.098720 1.7686 160 1.0770747 2.5259074 3.666006 2.738017 0.9989 0.0711

Bảng 2.5 Bảng giá trị hRiR của hệ thức (2.7) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 .

2.3. Kết luận chương 2

Với đa thức (2.4), thì phần mềm Maple cho các hàm thế màn chắn H (r) theo khoảng cách liên

ion r là các đa thức bậc chẵn, luân phiên dấu phù hợp với định lí Windom [2], nhưng sai số tương đối

lớn, sai số nhỏ nhất đối với Γ = 10 , Γ = 20 vào khoảng 0.4%, sai số lớn nhất đối với Γ = 160 vào

khoảng 1.5%. Với đa thức có dạng (2.5), tức là lúc này h R1 R được thả tự do, thì phần mềm Maple cho các

hàm thế màn chắn H (r) theo khoảng cách liên ion r là các đa thức bậc chẵn, luân phiên dấu phù hợp

với định lí Windom [25], và giá trị của hR1 R ≈ 0.25, như đã chứng minh bởi Jancovici [19], sai số nhỏ

nhất đối với Γ = 5 , Γ = 10 vào khoảng 0.3%, sai số lớn nhất đối với Γ = 160 vào khoảng 0.7%.

Các giá trị của hệ số hR1 R cho bởi hệ thức (2.5)

5

10

20

40

80

160

Γ

R Rh R1 2.5840642 2.5389620 2.5120455 2.4942189 2.4974590 2.5141450

Với đa thức (2.7) , tức là lúc này hR1 Rcũng được thả tự do, thì phần mềm Maple cho các hàm thế

màn chắn H (r) theo khoảng cách liên ion r là các đa thức bậc chẵn , luân phiên dấu phù hợp với định lí

Windom [25], và đồng thời giá trị của hR1 R ≈ 0.25 .

Các giá trị của hệ số hR1 R cho bởi hệ thức (2.7).

5

10

20

40

80

160

Γ

R Rh R1 2.6946603 2.6690265 2.6136472 2.5710547 2.5378621 2.5259074

Γ =

Γ =

5, 10, 20, 40, 80

160

sai số nhỏ 0.3%, sai số lớn Đa thức (2.7), thế màn chắn cho

0.65%, và các hệ số hR0 R lại tương đối chính xác so với hR0MC99 R của công trình [13], sẽ được trình bày ở

phần 3.1.

Với các nhận xét trên, ta sẽ chấp nhận hệ thức (2.7) cho thế màn chắn là đa thức bậc chẳn, luân

phiên dấu, và có các hRiR được cho trong Bảng 2.5.

Chương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân

=

Γ

Theo như trình bày ở phần 1.5 về hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma, ta thấy hệ

f

exp[

H

(0)]

, nên điều quan trọng là ta phải tính được H(0). Theo số khuếch đại được định nghĩa :

i

i

2

4

2

=

−

+

...

( ) H r

đa thức Widom :

) ( − + − 1

h r i

h 0

h r 1

h r 2

,

H(0) chính là hệ số hR0 R.

Ở chương 2, khi tính H(r) ta đã thu được các giá trị của hR0 R, các giá trị này tương đối phù hợp với

các mô phỏng MC chính xác nhất cho tới nay, chúng ta có thể tham khảo Bảng 3.1.

h0MC96

h0MC99 [13]

Γ

1.0962

1.0994

Bảng 3.1 So sánh các giá trị hR0 R cho ở chương 2 và [13].

10

1.0962

1.0953

20

1.0901

1.0879

40

1.0828

1.0803

80

1.0770

1.0737

160

) 9 9 C M 0 h - 6 9 C M 0 h (

3 0 1

Hình 3.1 Đồ thị sai số giữa h0MC96 với h0MC99 cho bởi công trình [13].

Ở Bảng 3.1 các giá trị của h R0MC96 R ở cột thứ hai được chúng tôi suy ra bằng phương pháp xấp xỉ

trực tiếp từ các dữ liệu cho hàm phân bố xuyên tâm g(r), đã khảo sát ở chương 2, còn cột thứ ba là giá

3

Γ =

Γ =

10

160

3.3 10−×

trị hR0 R được cung cấp bởi [13], các giá trị này được xem là chính xác nhất cho đến nay. Ta có thể nhận

tương ứng với và như có thể thấy ở thấy các giá trị này có độ lệch lớn nhất là

Hình 3.1.

Trong Bảng 3.1 chỉ cho giá trị hệ số h R0 R của một vài giá trị Γ , do đó mục đích của chương này là

tìm một biểu thức cho hR0 R với mọi giá trị Γ . Để tính hệ số này, ta có thể sử dụng mô hình gần đúng cổ

điển, được trình bày trong phần 3.1 sau đây. Để có những kết quả chính xác hơn, ta phải xét đến hiệu

ứng lượng tử, được khảo sát ở phần 3.2 tiếp theo.

3.1. Giá trị của H(0) cổ điển

Ở phép tính gần đúng đầu tiên ta có thể dùng mô hình cổ điển, trong đó hai hạt nhân tương tác

được xem như các hạt cổ điển, các số liệu MC sử dụng trong phần này được thu thập bởi mô hình cổ

điển trên. Để tính các giá trị của hệ số hR0 R này tương ứng với các tham số tương liên khác nhau, ta có thể

sử dụng một trong hai phương pháp:

( )g r từ các mô phỏng MC và suy ra giá trị cho thế

Phương pháp 1:

H r ( )

Thu thập dữ liệu cho hàm phân bố xuyên tâm

( )H r từ hệ thức:

ln ( ) g r Γ

1 = + r

( )H r dưới dạng đa thức

màn chắn .

Mặt khác, tính đối xứng của bài toán cho phép ta viết thế màn chắn

2

4

6

=

−

+

−

H r ( )

+ , ...

h 0

h r 1

h r 2

h r 3

h =

0.25

Widom có bậc chẵn, luân phiên dấu [25]:

[19]. trong đó, hệ số Jancovici hR1 R đã được chứng minh có giá trị chính xác: 1

( )g r ở các khoảng cách liên ion quá

Vì các mô phỏng MC không thể cho được các giá trị của

nhỏ nên ta bắt buộc phải sử dụng các phép tính ngoại suy để có được các biểu thức của hR0 R tương ứng

với các giá trị khác nhau của tham số Γ.

Phương pháp 2:

2N − ion và một phân tử lưỡng nguyên tử tạo bởi hai ion gần nhau đến một

Cách tiếp cận khác để tính được các giá trị của hệ số hR0 R là sử dụng các hàm nhiệt động lực: Hệ

plasma được xem như gồm

khoảng cách nào đó. Ta có thể chứng minh rằng hR0 R là hiệu số giữa năng lượng tự do của hệ plasma

/ 5 3

Γ

=

−

2

(

)

(

2

)

f

f

Γ , với kí hiệu

f Γ là năng lượng tự do của từng ion theo đơn vị của kT, và số ( )

h 0

trước và sau phản ứng. Sử dụng quy tắc hỗn hợp tuyến tính (linear mixing rule), ta có được:

5/32 Γ tương ứng với tham số tương liên của hệ lưỡng nguyên tử [15]. Do giá trị của năng lượng tự

hạng

f Γ được cung cấp trực tiếp từ các mô phỏng MC, ta có thể suy ra các hệ số h R0 R. Sự tương đồng ( )

do

giữa các kết quả thu được cho hR0 R từ hai phương pháp trên đã được phân tích trong một công trình gần

đây [12].

của các công trình gần đây

3.1.1 Một số biểu thức h0

Trong phần này, tôi trình bày một số biểu thức hR0 R của các công trình mới nhất:

5 10 cấu hình cho 1000 ion với cách tiếp cận nhiệt động lực ở trên để

Để có được hệ số hR0 R cho plasma lưu chất loãng, các tác giả H. DeWitt và W. Slattery [12] đã sử

dụng các mô phỏng MC với × 8

Φ

=

−

)

( lm

thu được biểu thức:

DWS

DWS

h 0

h 0

DWS Γ

100

(3.1.1)

=

+

Γ +

−

) 1.056349

0.274823ln

1.084312

( lm

với:

)

(

h 0

DWS

1.020822 0.676936 Γ

1 Γ

Φ

=

Γ +

2.7 ln

4.8

, (3.1.2)

DWS

)

lm xuất phát từ kết quả của quy tắc xấp xỉ hỗn hợp (

. (3.1.3)

h 0

DWS

Trong công thức (3.1.2), các hàm

tuyến tính đã trình bày ở trên và hàm Φ DWS là kết quả của hiệu chính từ phép tính cho plasma nhiều

thành phần. Các hệ thức xấp xỉ (3.1.1, 3.1.2, và 3.1.3) ở trên tương đối phù hợp với các dữ liệu thu

]20,1[∈Γ

được từ các mô phỏng MC với phương pháp

. hỗn hợp tuyến tính thực hiện bởi chính các tác giả này, nhưng chỉ trong khoảng

h0

Hình 3.2 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.1.1),

chấm tròn là h0MC99.

Một hệ thức tương tự với (3.1.1, 3.1.2, và 3.1.3) cũng đã được các tác giả trên nêu ra trong một

=

+

−

Γ +

Γ +

−

công trình khác [13] :

1.056299

0.274823ln

1.084319

0.0271ln

0.048

(

)

)

(

h 0

DWS

1.039957 0.676936 Γ

1 Γ

1 Γ

,

(3.1.4)

và cũng cho kết quả có sai số lớn nhất vào khoảng 0.7% khi so sánh với các dữ liệu MC cung cấp bởi

chính công trình này, Hình 3.7.

Đây là các giá trị hR0 RR Rcho bởi công trình [13], từ giữ liệu MC và được xem là đúng nhất cho đến

hiện nay.

10 20 40 80 160 Γ

hR0MC99 R [13]R 1.0994 1.0953 1.0879 1.0803 1.0737

h0

Hình 3.3 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.1.4),

1/ 2

chấm tròn là h0MC99.

3

=

1

Nhằm mục đích có được đồng thời kết quả

Γ << theo [23] và quy luật

const

0h

h → Γ ở giới hạn của chế độ nhiệt hạt nhân cổ 0 1>Γ  ), L. R.

điển tương ứng với đối với lưu chất Coulomb (

1/ 2

Γ

1.0754

=

.

Gasque et al đã đề nghị [17] :

Gh 0

4

2

+ Γ

1.0754 3

  

  

   

1/ 4    

(3.2)

h0

Hình 3.4 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.2), chấm

tròn là h0MC99.

trong các sao, trên cơ Gần đây hơn, khi quan tâm đến sự tổng hợp của các hạt nhân 12C và O16

sở kết hợp phương pháp gần đúng WKB cho hiệu ứng đường ngầm lượng tử xuyên qua hàng rào thế

Coulomb tạo bởi hai hạt nhân tương tác và phương pháp thế của trường trung bình tĩnh (static mean

field potential) do các ion lân cận, các tác giả A. I. Chugunov và H. E. DeWitt đã thực hiện 129 mô

phỏng MC để thu được các dữ liệu cho plasma BIM được xem như chính xác nhất cho đến nay [10].

Trường hợp plasma OCP được suy ra từ hệ thức tổng quát, cho thấy ở vùng giá trị của tham số tương

liên mà ta quan tâm trong khuôn khổ của luận văn này, kết quả thu được là hoàn toàn tương thích với

thông báo trước đó thực hiện riêng biệt cho plasma OCP [9], hoặc với kết quả có được từ các mô phỏng

Monte Carlo sử dụng tích phân lộ trình (PIMC - Path Integral Monte Carlo) do Militzer và Pollock thực

1/ 2

= Γ

+

+

+

(3.3)

h 0

CHU

2

Γ B 1 + Γ

Γ B 3 + Γ

A 1 + Γ

1

B 2

B 4

A 2

   

 A 3  + Γ 

hiện [21]. Theo [9], sự phụ thuộc của hệ số hR0 R vào độ lớn của tham số tương liên được cho bởi:

=

−

=

3

/

1.4515

2.7822

98.34

1.7476

66.07

65

với:

A 3

A 1

A 2

A = 1

A = 2

B = − 1

B = 2

B = 3 1.12

B = 4

, , , , , , và .

1/2

Γ

1

3=

Đặc điểm của hệ thức (3.3), tương tự như trong [17], là ta có thể suy ra giá trị của hR0 R tiệm cận

Γ << ).

CHU

h 0

với lí thuyết Debye-Hückel vận dụng cho plasma liên kết loãng: (

h0

Hình 3.5 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.3),

) 9 9 C M 0 h - S W D 0 h (

3 0 1

chấm tròn là h0MC99.

) 9 9 C M 0 h - S W D 0 h (

3 0 1

Hình 3.6 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.1.1) với h0MC99 cho bởi công trình [13].

) 9 9 C M 0 h - G 0 h (

3 0 1

Hình 3.7 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.1.4) với h0MC99 cho bởi công trình [13].

Hình 3.8 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.2) với h0MC99 cho bởi công trình [13].

) 9 9 C M 0 h - U H C 0 h (

3 0 1

Hình 3.9 Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.3) với h0MC99 cho bởi công trình [13].

Dựa vào đồ thị sai số Hình 3.6 và Hình 3.7 ta thấy hệ thức (3.1.1) và (3.1.4) cho giá trị hR0 R có sai

20 , và sai số vào khoảng 0,3% đối với Γ = →40

160 . Hình 3.8, hệ thức (3.2)

Γ ≥

80

số lớn đối với Γ = →1

, còn đối với các giá trị khác của Γ, sai số là khá chỉ cho giá trị tương đối chính xác của hR0 R với

đáng kể. Tuy nhiên theo các tác giả, các sai số trên là chấp nhận được nếu so sánh với sai số do phép

tính thừa số vật lí thiên văn S(ε).

Γ ≥

10

Khảo sát sự tương hợp giữa hệ thức (3.3) ở trên với các dữ liệu MC của H. DeWitt và W.

, (Hình 3.9), hoàn toàn Slattery [13], ta thấv sai số của hR0 R là khoảng 0.13% cho các giá trị của

chấp nhận được khi so sánh với sai số của mô phỏng MC. Trên cơ sở đó, ta có thể xem như hệ thức

(3.3) cho ta các giá trị của hR0 R tương ứng với mọi giá trị của tham số Γ.

3.1.2 Biểu thức đề nghị cho h0

Trong luận văn này, chúng ta sẽ chấp nhận các giá trị số của hệ số h R0 R cho bởi [13], tức là các giá

trị ở cột thứ ba của Bảng 3.1, do sự tương thích giữa các số liệu này với hệ thức (3.3) như đã trình bày

ở trên, tức là kết quả chính xác nhất hiện nay. Nội dung phần này của luận văn cũng đã được trình bày

tóm tắt trong một bài báo đã đăng [3].

Để thấy rõ mối quan hệ trong việc tính toán hệ số khuếch đại phản ứng hạt nhân trong trường

hợp tổng quát cho plasma nhiều thành phần (MCP - Multicomponent Plasmas) và plasma OCP, đồng

thời, để có sự tương thích với phương pháp sử dụng quy tắc hỗn hợp tuyến tính, chúng tôi đề nghị hệ

=

−

thức sau cho hR0 R :

)

h 0

h lm 0 (

Γ

Φ 100

(3.4.1)

trong đó:

+

−

Γ +

(

) 1.056299

0.274823ln

1.084319

(

)

h lm = 0

1.039957 0.676936 Γ

1 Γ

(3.4.2)

5

k

Φ =

và:

a (ln ) Γ k

(3.4.3)

∑

k

=

0

−

−

−

Các hệ số aRk R được cho bởi Bảng 3.2 dưới đây :

Bảng 3.2 Các hệ số của công thức (3.4.3). aR2 2.80549

aR0 6.69370

aR1 0.69922

aR3 1.95369

aR4 0.43372

h0

aR5 0.03298

Hình 3.10 Đồ thị h0, đường liền nét là hệ thức (3.4.1),

chấm tròn là h0MC99.

1Γ ≥ , là nội dung quan trong của luận văn này. Giá trị cực đại

Như có thể thấy được trên Hình 3.10, các hệ thức xấp xỉ (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3) ưu tiên cho vùng

Γ =

9.6

plasma đậm đặc, có tham số tương liên

. của hệ số hR0 R là vào khoảng 1.0994 tương ứng với

Γ =

10

Trên Hình 3.7, ta thấy sai số phạm phải giữa hệ thức (3.1.4) và các dữ liệu MC [13] lớn nhất

tương ứng với và giảm dần khi Γ tăng, trong khi theo tính toán của chúng tôi, sai số giữa các hệ

thức đề nghị (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3) và cũng với các dữ liệu MC này là bằng không. Đồng thời, cũng

cần chú ý rằng, theo (3.4.3), dáng điệu biến thiên của hàm Φ lệch khá xa khỏi dạng tuyến tính (3.1.3)

đề nghị bởi [12].

Các giá trị của hR0 R tương ứng với một số giá trị của tham số Γ được trình bày trên Bảng 3.4: Ở

cột thứ hai, ta có các giá trị cho bởi mô phỏng MC từ công trình [13], trong khi ở các cột thứ ba, thứ tư,

và thứ năm lần lượt là các giá trị có được từ các hệ thức (3.1.4), (3.2), và (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3). Ở cột

thứ sáu, ta có các giá trị của hR0 R từ công thức xấp xỉ đơn giản sau đây, được thiết lập nhằm mục đích tạo

nên sự tương thích với công thức tính thế màn chắn đã thu được trong [1], và cũng để thuận tiện trong

5

k

=

,

(3.5)

b (ln ) Γ k

h 0

∑

k

=

0

việc thực hiện chương trình trên máy tính:

với các hệ số bRk R cho bởi Bảng 3.3.

bR0

bR1

bR2

bR3

−

bR4 0.0025140

0.9450000 0.1993204

.−0 0959109 0.0218715

Bảng 3.3 Các hệ số của công thức (3.5).

Bảng 3.4 Các giá trị của hệ số h0 trích từ [13, 17], hệ thức (3.1.4) và từ

công trình này.

bR5 0.0001177

hR0MC99 R [13]

hR0GR (3.2)

hR0 R (3.4.1)

hR0 R (3.5)

Γ

hR0DWS R (3.1.4) 0.9639 1.0924 1.0913 1.0858 1.0792 1.0731

1.0388 1.0750 1.0753 1.0754 1.0754 1.0754

0.9450 1.0994 1.0953 1.0879 1.0803 1.0737

0.9450 1.0994 1.0953 1.0879 1.0803 1.0737

0.9450 1.0994 1.0953 1.0879 1.0803 1.0737

1 10 20 40 80 160

h0

Hình 3.11. Đồ thị h0 cho bởi hệ thức (3.5).

Tương tự như với các hệ thức (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3), sai số giữa (3.5) và các dữ liệu MC cho

bởi công trình [13] là rất nhỏ như ta có thể nhận xét ở Bảng 3.4.

h0

Hình 3.12. Biến thiên của h0 theo lnΓ. Chấm tròn là dữ liệu MC [13]. Đường

liền nét là hệ thức đề nghị (3.4.1, 3.4.2, và 3.4.3). Đường đứt nét là hệ thức

(3.1.4) từ [13], và đường gạch chấm là hệ thức (3.2) từ [17].

3.2. Giá trị của H(0) lượng tử

Vì một số phản ứng áp suất hạt nhân có thể xảy ra trong điều kiện nhiệt độ thấp, nên tác dụng

lượng tử trở nên quan trọng. Ở phần 3.1 trên ta đã sử dụng mô hình cổ điển, vậy, để có kết quả chính

xác hơn ta cần phải hiệu chỉnh hệ số H(0), tức là phải để ý đến hiệu ứng lượng tử của hai hạt nhân

tương tác.

Trong phần này, ta sẽ trình bày các khái niệm tổng quát trước khi phân tích các kết quả liên

quan. Cuối cùng là phần dành cho các kết quả thu được trong luận văn này.

λ=

3.2.1 Tổng quát

h p

2

2

ε

=

=

, với p là độ lớn xung lượng Trong cơ học sóng, ta có hệ thức tính bước sóng de Broglie:

p m 2

h 2 λ m

2

ε π=

của hạt có khối lượng m, liên quan đến năng lượng ε qua: . Do năng lượng chuyển

kT

động nhiệt của hạt được tính vào khoảng: (k: hằng số Boltzmann, T: nhiệt độ), ta định nghĩa

=

bước sóng nhiệt de Broglie như sau:

λ d

h π 2 mkT

. (3.6)

dλ là đại lượng này biểu thị cho khoảng cách kể

Ý nghĩa vật lí của bước sóng nhiệt de Broglie

từ đó, hiệu ứng lượng tử trở nên không thể thiếu được nếu ta muốn các kết quả tính được có độ chính

xác cao hơn đối với các tính toán áp dụng mô hình gần đúng cổ điển [2]. Cụ thể hơn, mô hình cổ điển

dλ . Nhưng nếu khoảng cách này bắt đầu gần hoặc

sẽ có hiệu lực nếu khoảng cách giữa hai ion lớn hơn

dλ , tính sóng của các hạt phải được chú ý để có các kết quả gần với thực tại hơn.

nhỏ hơn

Ta đã biết rằng đối với plasma OCP cổ điển, chỉ cần một tham số Γ để mô tả tính chất vật lí của

plasma. Tuy nhiên, trong thực tế, khi hai hạt nhân thực hiện phản ứng tổng hợp thì theo quan điểm

lượng tử, quá trình tương tác đường ngầm của một cặp hạt bắt đầu xảy ra trong khi mỗi hạt thực hiện

những biến động (fluctuations) về vị trí trong một khối cầu có bán kính vào cỡ bước sóng nhiệt de

Broglie. Khi này, cả nhiệt độ và mật độ vật chất đều phải được tính đến và nhất thiết phải đưa vào tham

=

η

số lượng tử đặc trưng cho tính sóng của hai hạt nhân tham gia phản ứng:

Γ sr

=

, (3.7)

r s

a a

B

trong đó, là khoảng cách tương đối giữa hai ion tương tác tính theo đơn vị aRB R(bán kính Borh

cho ion). Khi rRsR càng nhỏ, khả năng bao phủ nhau của hai hạt nhân càng lớn và như vậy hiệu ứng lượng

tử càng trở nên quan trọng.

dλ , ta có thể viết lại :

η π=

Mặt khác, với định nghĩa của bước sóng nhiệt de Broglie

2

2 λ d 2 a

. (3.8)

Hệ thức trên cho thấy tham số η có thể biểu thị cho tầm quan trọng của hiệu ứng lượng tử: Nếu

giá trị của η càng lớn, tính chất lượng tử của quá trình tương tác càng trở nên đáng chú ý hơn.

1 3

1 3

ζ

=

=

Γ

Ngoài ra, một số tác giả cũng sử dụng tham số ζ được định nghĩa:

4 2 π

  

 η  

  

Γ 2 4  2 π sr 

. (3.9)

để thuận tiện cho việc tính toán.

Đối với bức tranh lượng tử, hai hạt nhân thực hiện phản ứng tổng hợp khi hai hàm sóng tương

ứng với hai hạt nhân bắt đầu bao phủ nhau. Ta có thể minh họa hình ảnh của quá trình tổng hợp của hai

hạt nhân theo quan điểm sóng như trên Hình 3.13.

a

a

+Ze

+Ze

Hình 3.13 Hai bó sóng tương ứng với hai hạt

nhân bắt đầu thâm nhập nhau để bắt đầu cho

một phản ứng tổng hợp.

3.2.2 Một số công trình nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng lượng tử trong phản ứng áp suất hạt nhân

Ngay từ năm 1977, Alastuey và Jancovici [4] đã có những kết quả từ tính toán lí thuyết cho hiệu

suất phản ứng tổng hợp hạt nhân trong điều kiện mật độ cao dưới tác dụng lượng tử. Các mô phỏng cho

bài toán này sử dụng tích phân lộ trình MC (PIMC - Path Integral MC) đã thực hiện đầu tiên bởi Ogata

[22]. Kết quả gần nhất trong lĩnh vực liên quan đến vấn đề này là mô phỏng PIMC của Militzer và

Pollock (2004) [20] cũng như các hệ thức liên quan được trình bày bởi Chugunov et al [9].

Đây là kết quả từ các mô phỏng Monte Carlo sử dụng tích phân lộ trình (PIMC - Path Integral

Monte Carlo) do Militzer và Pollock thực hiện [20] :

-ln[g(0)]

P(0)

h(0)

rRs

h

G

0.87(4) 0.95(3) 1.01(3) 1.03(2) 1.02(3) 0.91(4) 0.82(2) 0.92(3) 0.97(3) 0.98(2) 0.957(3) 0.83(4) 0.71(4) 0.773(14) 0.869(19) 0.92(2) 0.93(2) 0.869(14) 0.734(16) 0.61(2)

0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

0.5 1 2 5 10 40 0.5 1 2 5 10 40 100 0.5 1 2 5 10 40 100 0.5 1 2 5 10 40 200 0.5 1 2 5 10 40 100

b 2.5 10 40 250 1000 16000 1 4 16 100 400 6400 40000 0.5 2 8 50 200 3200 20000 0.25 1 4 25 100 1600 40000 0.125 0.5 2 12.5 50 800 5000

5 10 20 50 100 400 2 4 8 20 40 160 400 1 2 4 10 20 80 200 0.5 1 2 5 10 40 200 0.25 0.5 1 2.5 5 20 50

2.205(18) 4.06(3) 7.22(6) 14.61(12) 23.6(3) 57.4(14) 1.292(12) 2.37(3) 4.25(5) 8.59(12) 14.33(3) 34.3(16) 59(4) 0.831(7) 1.504(19) 2.68(5) 5.53(12) 9.32(14) 23.1(6) 40(2) 0.514(4) 0.917(11) 1.60(3) 3.29(11) 5.53(19) 14.8(6) 41(3) 0.3083(9) 0.536(5) 0.923(14) 1.86(6) 3.19(16) 9.1(5) 17(8)

2.638 5.014 9.243 19.77 33.79 93.61 1.707 3.289 6.192 13.5 23.9 67.32 129.5 1.218 2.373 4.53 10.17 18.01 52.45 101.3 0.8683 0.708(9) 0.787(11) 1.704 0.844(14) 3.289 0.85(2) 7.54 0.797(19) 13.5 0.637(15) 40.31 129.5 0.442(14) 0.6175 0.6184(18) 1.218 2.373 5.545 10.17 30.92 61.34

0.682(5) 0.725(7) 0.737(13) 0.698(16) 0.546(12) 0.443(8)

Bảng 3.5 Bảng giá trị cho bởi mô phỏng Monte Carlo PIMC [20].

0η=

0.1η=

0.25

η=

0.5η=

1η=

2η=

H(0)

Hình 3.14 Đồ thị H(0) cho bởi mô phỏng Monte Carlo sử

dụng tích phân lộ trình do Militzer và Pollock thực hiện [20].

Dựa vào đồ thị H(0) Hình 3.14 cho thấy khi η càng lớn thì giá trị H(0) càng giảm.

Sau đây là kết quả cho H(0) của một số tác giả :

=

Γ +

Γ −

−

1 Γ − 4

Biểu thức H(0) được đề nghị bởi Jancovici [4],

Γ ( ,

ζ )

(1.0531

2.2931

0.5551ln

2.35)

(

2 ζ )

JANh

0

1 Γ

5 32

(3.10)

Γ +

Γ −

1 Γ − 4

trong đó :

Γ = ( )

(1.0531

2.2931

0.5551ln

2.35)

0

JANh

1 Γ

= −

là phần cổ điển.

Γ ( ,

ζ )

(

2 ζ )

′ JANh 0

5 32

≤ Γ ≤

là phần lượng tử.

1ζ ≤ .

155

và với 1

Γ =

Hình 3.15 là đồ thị sai số giữa phần cổ điển của biểu thức (3.10) và hR0MC99 Rcủa công trình [13],

160

sai số lớn nhất vào khoảng 0.2% tại .

) 9 9 C M 0 h - N A J 0 h (

3 0 1

Γ [4] và h0MC99 của công trình [13]. ( )

JANh

0

Γ =

Hình 3.15 Đồ thị sai số giữa Hình 3.17 là đồ thị sai số giữa biểu thức (3.10) và H(0)R Rcủa công trình [20] :

0.1η=

40

η=

Γ =

sai số lớn nhất vào khoảng 3.85% tại .  Với

0.25

100

Γ =

 Với sai số lớn nhất vào khoảng 36% tại .

0.5η=

100

Γ =

sai số lớn nhất vào khoảng 70% tại .  Với

1η= sai số lớn nhất vào khoảng 55 % tại

40

Γ =

 Với .

2η= sai số lớn nhất vào khoảng 230% tại

100

.  Với

Như vậy, ta thấy công thức (3.10) có sai số tăng theo Γ .

) 0 ( H

) 0 ( H

η= 0.1

η= 0.25

) 0 ( H

) 0 ( H

η= 1

η= 0.5

) 0 ( H

η= 2

ζΓ ( , )

JANh

0

Hình 3.16 Đồ thị của biểu thức (3.10). Đường liền nét

là hệ thức (3.10), chấm tròn là giá trị cho bởi [20].

η= 0.25

η= 0.1

) N A J 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) N A J 0 h - M 0 h ( 0 0 1

η= 1

η= 0.5

) N A J 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) N A J 0 h - M 0 h ( 0 0 1

η= 2

) N A J 0 h - M 0 h ( 0 0 1

ζΓ ( , )

JANh

0

Hình 3.17 Đồ thị sai số giữa của biểu thức (3.10) với H(0) cho

bởi công trình [20].

=

Theo Ogata [22], biểu thức hR0 R:

Γ ( ,

ζ )

Γ + ( )

Γ ( ,

ζ )

OGA

OGA

OGA

h 0

h 0

′ h 0

(3.11)

Γ là phần cổ điển.

− Γ = ( ) 1.132 0.0094ln

h 0

OGA

trong đó :

= −

−

−

+

+

ζ

2 ζ

3 ζ

3 ζ

Γ ( ,

ζ )

(

2 ζ )

(1 0.0348

0.1388

0.0222

) 0.0015

OGA

′ h 0

5 32

≤ Γ ≤

≤ .

là phần lượng tử.

2ζ≤

155

và 0 với 1

Γ =

Hình 3.18 là đồ thị sai số giữa phần cổ điển của biểu thức (3.11) và h R0MC99 Rcủa công trình [13],

10

) 9 9 C M 0 h - A G O 0 h (

3 0 1

sai số tương đối lớn, sai số lớn nhất vào khoảng 1.1% tại .

Hình 3.18 Đồ thị sai số giữa h0 cổ điển của hệ thức (3.11)

và h0MC99 của công trình [13].

Hình 3.20 là đồ thị sai số giữa biểu thức (3.11) và H(0)R Rcủa công trình [20] :

2Γ = .

0.1η=

η=

 Với sai số lớn nhất vào khoảng 9% tại

2Γ = .

0.25

Γ =

100

sai số lớn nhất vào khoảng 10.5% tại  Với

2Γ = .

0.5η=

 Với sai số lớn nhất vào khoảng 13.5% tại và 13% tại

2Γ = .

1η= sai số lớn nhất vào khoảng 16.5 % tại

Γ =

 Với

2Γ = .

2η= sai số lớn nhất vào khoảng 63% tại

100

 Với và 24% tại

Hệ thức (3.11) có sai số lớn đối với Γ nhỏ.

0 h

0 h

η= 0.1

η= 0.25

η= 1

0 h

0 h

η= 0.5

0 h

η= 2

ζΓ ( , )

OGA

h 0

Hình 3.19 Đồ thị của biểu thức (3.11). Đường liền nét

là hệ thức (3.11), chấm tròn là giá trị cho bởi [20].

η= 0.25

η= 0.1

) A G O 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) A G O 0 h - M 0 h ( 0 0 1

η=1

η= 0.5

) A G O 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) A G O 0 h - M 0 h ( 0 0 1

η= 2

) A G O 0 h - M 0 h ( 0 0 1

ζΓ ( , )

h 0

OGA

Hình 3.20 Đồ thị sai số giữa của biểu thức (3.11) với

H(0) cho bởi công trình [20].

=

=

Γ

(3.12)

Γ ( ,

ζ )

Γ + ( )

Γ ( ,

ζ )

(

ζ ', )

h 0

CHU

h 0

CHU

′ h 0

CHU

h 0

CHU

1/ 2

+

+

+

Γ = Γ ( )

h 0

CHU

2

Γ B 1 + Γ

Γ B 3 + Γ

A 1 + Γ

1

B 2

B 4

A 2

   

 A 3  + Γ 

=

−

=

Biểu thức hR0 R được đề nghị bởi Chugonov [9],

3

/

1.4515

2.7822

98.34

1.7476

66.07

A 3

A 1

A 2

A = 1

A = 2

B = − 1

B = 2

B = 3 1.12

với: , , , , , , và

65

B = 4

Γ = '

+

+

+

Γ

ζ

(1 0.022

− (0.41 0.6 /

+ (0.06 2.2 /

ζ )

3 1/ 3 )

Γ 2 Γ ζ )

.

1/ 2

+

+

+

Γ = Γ ( )

trong đó :

CHU

h 0

2

Γ B 1 + Γ

Γ B 3 + Γ

A 1 + Γ

1

B 2

B 4

A 2

   

 A 3  + Γ 

Γ ( ,

ζ )

là phần lượng tử.

CHU

′ h 0

≤ Γ ≤

≤ .

là phần cổ điển.

2ζ≤

155

và 0 với 1

Γ =

10

Hình 3.21 là đồ thị sai số giữa phần cổ điển của biểu thức (3.12) và dữ liệu MC của H. DeWitt

≤ Γ ≤

, sai số khoảng 0.03% và W. Slattery của công trình [13], sai số lớn nhất vào khoảng 0.13% tại

160

) 9 9 C M 0 h - U H C 0 h (

3 0 1

. trong khoảng 20

Hình 3.21. Đồ thị sai số giữa hệ thức (3.12) với h0MC99 cho bởi công trình [13].

Γ =

Γ =

Hình 3.23 là đồ thị sai số giữa biểu thức (3.12) và H(0)R Rcủa công trình [20] :

0.1η=

10

40

η=

Γ =

sai số lớn nhất vào khoảng 1.7% tại và sai số khoảng 1% .  Với

0.25

5Γ = và sai số khoảng 1.6%

100

Γ =

 Với sai số lớn nhất vào khoảng 2.8% tại .

0.5η=

5Γ = và sai số khoảng 0.5%

100

 Với sai số lớn nhất vào khoảng 4% tại .

Γ =

1η= sai số lớn nhất vào khoảng 5.3% tại

5Γ = và sai số khoảng 1.5%

40

Γ =

 Với .

2η= sai số lớn nhất vào khoảng 4.6% tại

5Γ = và 4.5% tại

10

≤ Γ ≤

 Với và sai số khoảng 2%

40

100

.

5Γ = , và sai số nhỏ đối với Γ lớn.

0 h

η=

0.1η=

0.25

0 h

0 h

1η=

0 h

0.5η=

0 h

2η=

Như vậy, (3.12) có sai số lớn đối với

ζΓ ( , )

CHUh

0

Hình 3.22 Đồ thị của biểu thức (3.12). Đường liền

nét là hệ thức (3.12), chấm tròn là giá trị cho bởi [20].

η= 0.1

η= 0.25

) U H C 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) U H C 0 h - M 0 h ( 0 0 1

η= 0.5

η= 1

) U H C 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) U H C 0 h - M 0 h ( 0 0 1

η= 2

) U H C 0 h - M 0 h ( 0 0 1

ζΓ ( , )

CHUh

0

Hình 3.23 Đồ thị sai số giữa của biểu thức (3.12) với

H(0) cho bởi công trình [20].

h ζΓ 0 ( , )

3.2.3. Biểu thức đề nghị cho

Từ kết quả phân tích sai số giữa hệ thức (3.10), (3.11) với Bảng 3.5 ta thấy sai số tương đối lớn.

Sai số giữa hệ thức (3.128) với Bảng 3.5 có phần nhỏ hơn (3.10) và (3.11), nhưng cũng vào khoảng 4

đến 5%. Mặt khác, hệ thức (3.12) ở trên có thể gây bất lợi về mặt thời gian khi sử dụng cho các chương

trình trên máy tính.

Trong phần 3.2.3 này, tôi sẽ đề nghị một biểu thức khác cho H(0) tiện lợi hơn đồng thời tương

thích với các kết quả thực nghiệm.

Từ kết quả mô phỏng MC sử dụng tích phân lộ trình [20], và dùng phần mềm Maple để tối ưu

hoá sai số, đồng thời cũng để ý đến kết quả mô phỏng MC cổ điển phần (3.1.2), tôi đề nghị một đa thức

h ζΓ 0 ( , )

=

+

khi tính đến hiệu ứng lượng tử như sau :

Γ ( ,

ζ )

Γ + ( )

Γ ( ,

ζ )

h 0

h 0

′ h 0

′′ ζ ( h ) 0

2

3

+

+

Γ

0.0218715(ln( ))

(3.13)

0

Γ 5

4

Γ

Γ

1/ 2

- 0.002514(ln( )) =

Γ 0.954 0.1993204ln( ) - 0.0959109(ln( )) + 0.0001177(ln( )) Γ ζ 0.02943480642ln( )

= −

+

−

2 ζ

3 ζ

0.06580421288

0.08680626244

0.009433827967

trong đó : h Γ = ( )

4 ζ là phần lượng tử.

′ Γ h ζ 0 ( , ) ′′ h ζ 0 ( ) h Γ là phần cổ điển, 0 ( )

h ζ′′ Γ 0 ( , )

− ζ 0.2328305658 h ζ′ Γ ) 0 ( ,

là phần tương tác giữa cổ điển và lượng tử,

Phần cổ điển của biểu thức (3.13) và hR0MC99 Rcủa công trình [13], sai số gần bằng 0.

Γ =

Hình 3.27 là đồ thị sai số giữa biểu thức (3.13) và H(0)R Rcủa công trình [20], ta nhận thấy :

2Γ = , và sai số khoảng 2% tại

0.1η=

40

η=

sai số lớn nhất vào khoảng 1.8% tại  Với

2Γ =

0.25

Γ =

 Với sai số lớn nhất vào khoảng 1.2% tại

0.5η=

100

sai số lớn nhất vào khoảng 2% tại  Với

2Γ =

1η= sai số lớn nhất vào khoảng 1.8 % tại

 Với

2Γ =

2η= sai số lớn nhất vào khoảng 6.5 % tại

 Với

Như vậy sai số giữa biểu thức (3.13) và H(0)R Rcủa công trình [20], nhỏ hơn 2% đối với tất cả Γ ,

2Γ = sai số vào khoảng 6.5%, và (3.13) có sai số lớn nhất đối với Γ nhỏ.

2η= ,

ngoại trừ trường hợp

) 0 ( H

) 0 ( H

0.25

0.1η=

η=

) 0 ( H

) 0 ( H

) 0 ( H

0.5η=

1η=

Hình 3.25 Đồ thị của biểu

h ζΓ . 0 ( , ) h ζΓ Hình 3.24 Đồ thị 0 ( , )

0.1η=

η=

, đường chấm-chấm

là hệ thức (3.13) tương ứng với , đường đứt nét là hệ thức (3.13) Đường liền nét là hệ thức (3.13), tương ứng với thức (3.13). Đường liền nét là hệ thức 0.25 (3.13), chấm tròn là giá trị cho bởi

) 0 ( , đường gạch-chấm là hệ thức (3.13) tương ứng với H

0.5η=

2η=

1η= , đường chấm- dài là hệ thức (3.13) tương ứng với

2η= , chấm- tròn-

tương ứng với [20].

0.1η=

η=

, chấm- sao là giá trị trắng là giá trị h(0) cho bởi [20] tương ứng

0.25

H(0) cho bởi [20] tương ứng , chấm- gạch chéo là giá trị H(0) cho

0.5η=

, chấm- vuông là giá trị H(0) cho bởi [20] tương bởi [20] tương ứng

1η= , chấm – tròn - đen là giá trị H(0) cho bởi [20] tương ứng

2η= .

ứng

) 0 ( H

ζΓ ( , )

h ζΓ 0 ( , )

CHUh

0

Hình 3.26 Đồ thị và .

η=

Đường liền nét là hệ thức (3.13), đường đứt nét là hệ thức (3.12), màu xanh

0.1η=

0.25

dương tương ứng với , màu đen tương ứng với , màu xanh

0.5η=

1η= , màu nâu tương ứng

, màu đỏ tương ứng với lá tương ứng với

2η= . Chấm - tròn - đen là giá trị H(0) cho bởi [20] tương ứng

0.1η=

η=

với ,

0.25

, Chấm - vuông Chấm - tròn là giá trị H(0) cho bởi [20] tương ứng

0.5η=

là giá trị H(0) cho bởi [20] tương ứng , Chấm - gạch chéo là giá trị

1η= , Chấm - sao là giá trị H(0) cho bởi [20]

H(0) cho bởi [20] tương ứng

2η= .

tương ứng

0.1η=

0.25

η=

) 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) 0 h - M 0 h ( 0 0 1

1η=

0.5η=

) 0 h - M 0 h ( 0 0 1

) 0 h - M 0 h ( 0 0 1

Hình 3.27 Đồ thị sai số giữa

h ζΓ 0 ( , )

của biểu thức (3.13)

2η=

với H(0) cho bởi công trình

) 0 h - M 0 h ( 0 0 1

[20] .

H(0)

ζΓ ( , )

JANh

0

Hình 3.28 Đồ thị của biểu thức (3.10). Chấm tròn đen

là giá trị cho bởi [20].

H(0)

ζΓ ( , )

h 0

OGA

Hình 3.29 Đồ thị của biểu thức (3.11). Chấm tròn

là giá trị cho bởi [20].

H(0)

h ζΓ 0 ( , )

Hình 3.31 Đồ thị của biểu thức (3.13). Chấm tròn là

giá trị cho bởi [20].

Nhận xét: Như vậy, theo kết quả của Ogata [22], khi tính đến tác dụng lượng tử, hệ số khuếch

đại phản ứng áp suất hạt nhân tăng lên so với trường hợp cổ điển. Trong khi các mô phỏng PIMC mới

nhất thực hiện bởi Militzer và Pollock lại cho kết quả ngược lại: hiệu ứng lượng tử, đặc trưng bởi tham

số η (hoặc ζ), lại có khuynh hướng làm giảm giá trị H(0). Điều này có thể được giải thích một cách

trực quan là do khi giá trị của η tăng thì các ion lân cận với cặp hạt nhân của phản ứng, ở vị trí cách các

hạt nhân này một khoảng gần bằng bán kính khối cầu ion a, bắt đầu nằm trong bước sóng nhiệt de

Broglie, tương tác đẩy Coulomb giữa hai hạt nhân của phản ứng như vậy bị giảm đi và dẫn đến kết quả

là thế màn chắn do tác dụng của môi trường xung quanh cũng giảm theo so với thế màn chắn tính theo

mô hình plasma OCP cổ điển.

3.3. Kết luận chương 3

Tóm lại, trong chương 3 này, đối với mô hình plasma OCP cổ điển, tác giả luận văn đề nghị các

=

−

)

h 0

h lm 0 (

Γ

Φ 100

biểu thức :

+

−

Γ +

(

) 1.056299

0.274823ln

1.084319

)

(

h lm = 0

1.039957 0.676936 Γ

1 Γ

5

k

Φ =

trong đó:

a (ln ) Γ k

và:

∑

k

=

0

−

−

−

aR0 6.69370

aR1 0.69922

với aRk R:

aR3 1.95369

aR4 0.43372

aR5 0.03298

5

k

=

aR2 2.80549

với bRk RR R được tính.

b (ln ) Γ k

h 0

∑

k

=

0

bR0

bR1

bR2

bR3

−

0.9450000 0.1993204

.−0 0959109 0.0218715

bR4 0.0025140

bR5 0.0001177

Hoặc :

Để có độ

=

+

Γ ( ,

ζ )

Γ + ( )

Γ ( ,

ζ )

h 0

h 0

′ h 0

′′ ζ ( h ) 0

chính xác cao hơn, ta phải để ý đến lượng tử. Khi này :

2

3

+

+

Γ

h Γ = ( )

0.0218715(ln( ))

0

Γ 5

4

Γ

Γ

Γ 0.954 0.1993204ln( ) - 0.0959109(ln( )) + 0.0001177(ln( ))

1/ 2

- 0.002514(ln( )) =

ζ

Γ 0.02943480642ln( )

′ Γ h ζ 0 ( , )

trong đó :

= −

−

+

−

ζ

2 ζ

3 ζ

4 ζ

0.06580421288

0.2328305658

0.08680626244

0.009433827967

′′ h ζ 0 ( )

P lần đối với trường hợp C-C,

2 thấy trên Bảng 3.6, hệ số khuếch đại của luận văn này lớn hơn khoảng 10P

5 và khoảng 10P

P lần đối với trường hợp O-O.

So sánh với công trình [18] của Ichimaru cho mô hình cổ điển của các phản ứng tổng hợp C-C, O-O, ta

Bảng 3.6 Các giá trị tốc độ phản ứng và hệ số khuếch đại của các phản ứng trong sao lùn trắng

theo [18] và theo luận văn này.

13

4 3.7; trong phản ứng C-C, các hệ số này giảm 10P

P lần đối với

Nếu tính đến hiệu ứng lượng tử, các hệ số khuếch đại được hiệu chỉnh như có thể thấy trên Bảng

P lần đối với η = 2, còn

0.1η=

25

9 trong phản ứng O-O, hệ số này giảm 10P

P lần đối với η = 0.1, giảm 10P

P lần đối với η = 2.

, giảm 10P

18.69

40.96

P)

16.18

36.3

-3 -1 PsP RRICHI R(cmP -1 -3 P) PsP R (cmP

Phản ứng Γ fRICHI f

C-C 56.6 23.49 10 2610 10− 10− O-O 91.5 38.34 10 4310 10− 10−

Bảng 3.7 Các giá trị hệ số khuếch đại của các phản ứng trong sao lùn trắng theo luận văn này.

fRLT Phản ứng Γ f η = 0.1 η =2 C-C 56.6 2610 2210 1310 O-O 91.5 4310 3410 1810

KẾT LUẬN

Các phản ứng tổng hợp hạt nhân có thể xảy ra trong điều kiện nhiệt độ cao mà ta thường gọi là

phản ứng nhiệt hạt nhân (thermonuclear reaction). Tuy nhiên các phản ứng tổng hợp này cũng được

thực hiện trong những môi trường đậm đặc như ở một số thiên thể (sao Lùn trắng, sao neutron). Khi

này, điều kiện nhiệt độ cao không còn đóng vai trò quan trọng nữa do tác dụng màn chắn của hệ nhiều

=

Γ

hạt. Khi có tác dụng của thế màn chắn, tốc độ phản ứng hạt nhân được nhân lên với thừa số khuếch

f

exp[

H

(0)]

đại : , trong đó H(0) là thế màn chắn với khoảng cách liên hạt nhân gần bằng không. Vì

vậy, việc tính giá trị của H(0) là một vấn đề quan trọng trong việc xác định hiệu suất của phản ứng tổng

( )g r từ các mô

hợp hạt nhân. Để tìm hệ số này ta có thể thu thập dữ liệu cho hàm phân bố xuyên tâm

H r ( )

( )H r từ hệ thức:

g r ln ( ) Γ

1 = + r

phỏng MC và suy ra giá trị cho thế màn chắn . Tuy nhiên các mô

phỏng MC không cho ta số liệu chính xác của g(r) ở khoảng cách gần bằng không, nên ta phải dùng

phép toán ngoại suy để thu được H(0).

Kết quả của luận văn được tóm tắt như sau :

Bằng phương pháp tối thiểu hoá độ lệch giữa g(r) và số liệu MC gRMC R(r) cung cấp bởi một số tác

giả, tôi đã tìm được các đa thức Widom và đồng thời các số liệu H(0) tương ứng cho một số giá trị cụ

thể của Γ : 5, 10, 20, 40, 80, 160.

Tiếp theo, với các số liệu MC cũng như MC sử dụng tích phân lộ trình, tôi đã khảo sát và đề

nghị ba biểu thức của hệ số khuếch đại H(0) cho mọi giá trị Γ liên tục cho mô hình plasma OCP cổ

điển và cho mô hình OCP tính đến hiệu ứng lượng tử. Đặc điểm của các hệ thức này là bảo đảm được

tính liên tục giữa plasma một thành phần OCP và plasma hai thành phần BIM và đồng thời, tính liên

tục giữa mô hình cổ điển và mô hình lượng tử. Các biểu thức trên cũng đã được so sánh với các kết quả

hiện nay có được ở mức độ quốc tế. Mức độ chính xác giữa các biểu thức đề nghị và các kết quả trên là

chấp nhận được.

Những vấn đề có thể đặt ra như phần tiếp tục mở rộng của luận văn là : Tính toán các hệ số

khuếch đại của phản ứng tổng hợp hạt nhân cho các trường hợp cổ điển và lượng tử của các mô hình

plasma hai thành phần (BIM-Binary Ionic Mixture) hoặc plasma nhiều thành phần (MIM-Multi Ionic

Mixture), ảnh hưởng của hiện tượng phân cực electron lên hiệu suất phản ứng, cũng như khảo sát hệ số

khuếch đại của hiệu suất phản ứng tổng hợp trong plasma cực kì đậm đặc (tinh thể),...

Phần C. Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

1. Đỗ Xuân Hội, (2002), Thế màn chắn trong plasma với tham số tương liên Γ∈[5, 160], Tạp chí Khoa

học Tự nhiên, ĐHSP TP.HCM, 4T 28, 55-66.

2. Đỗ Xuân Hội, (2005), Vật lý thống kê và Nhiệt động lực thống kê, ĐHSP TP. HCM.

3. Đỗ Xuân Hội, Lý Thị Kim Thoa, (2010), Khuếch đại của tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân trong

môi trường plasma OCP đậm đặc, Tạp chí Khoa học Tự nhiên và công nghệ, 4T 21, 55-66.

Tiếng Anh

4. Alastuey A. and Jancovici B., (1978), Nuclear reaction rate enhancement in dense stellar

matter, Astrophys. J. 226, 1034.

5. Amari M., (1996), Luận án tiến sĩ Đại Học Paris VI, Pháp.

6. Andrew R.Leach. 0TMolecular Modelling: Principles and Application0T. Prentice Hall, 2 edition, 2001.

7. Beard M. and Wiescher M., (2003), The fate of matter on accreting neutron stars, Revista Mexicana

de Física 49 Supplemento 4, 139–144.

8. Beard M., Afanasjev A. V., Chamon L. C., Gasques L. R., Wiescher M., and Yakovlev D. G.,

(2010), Astrophysical S-factors for fusion reactions involving C, O, Ne and Mg isotopes.

9. Chugunov A. I., DeWitt H. E., Yakovlev D. G., (2007), Coulomb tunneling for fusion reactions in

dense matter: Path integral Monte Carlo versus mean field, Phys. Rev. D, 76, 025028.

10. Chugunov A. I., DeWitt H. E., (2009), Nuclear fusion reaction rates for strong ly coupled ionic

mixtures, Phys. Rev. C, 80, 014611.

11. DeWitt H., Slattery W., and Chabrier G., (1996), Numerical simulation of strongly coupled binary

ionic plasmas, Physica B, 228, 21.

12. DeWitt H. and Slattery W., (1998), Screening Enhancement of Thermonuclear Reactions in High

Density Stars, PNP-9 Workshop, Rostok Germany.

13. DeWitt H. and Slattery W., (1999), Screening Enhancement of Thermonuclear Reactions in High

Density Stars, Contrib. Plasma Phys., 39, 97.

14. Do X.H., Amari M., Butaux J., and Nguyen H., (1998), Screening potential in lattices and high

density plasmas, Phys. Rev.E 57, 4627.

15. Do Xuan Hoi, (1999), Thèse de Doctorat de l’Université Paris 6 –Pierre et Marie Curie, 10.

16. Dubin D. H. E., (1990), First-order anharmonic correction to the free energy of a Coulomb crystal

in periodic boundary conditions, Phys. Rev. A 42,4972 ; H. Nagara, Y. Nagara, và T. Nakamura

(1987), Melting of the Wigner crystal at finite tenperature, Phys. Rev. A 36, 1859.

17. Gasques L. R., Afanasjev A. V., Aguilera E. F., Beard M., Chamon L. C., Ring P., Wiescher M.,

and Yakovlev D. G., (2005), Nuclear fusion in dense matter: Reaction rate and carbon burning,

Phys. Rev. C, 72, 025806.

18. Ichimaru Setsuo, ( 1993), Nuclear fusion in dense plasmas, Department of Physics, University of

Tokyo, Bunkyo, Tokyo 113, Japan.

19. Jancovici B., (1977), Pair Correlation Function in a Dense Plasma and Pycnonuclear Reactions in

Stars, J. Stat. Phys.17,357.

20. Militzer B., Pollock E. L., (2004), Equilibrum contact probabilities in dense plasma, Phys. Rev. B,

71, 134303.

21. Militzer B., Pollock E. L., (2005), Dense plasma effects on nuclear reaction rates, Phys. Rev. B,

71, 134303.

22. Ogata S., Iyetomi H., and Ichimaru S., (1991), Nuclear reaction rates in dense carbon-oxygen

mixtures, Astrophys. J., 372, 259.

23. Salpeter E. E., (1954), Electron Screening and Thermonuclear Reactions, Australian J. Phys., 7,

373.

24. Salpeter E. E. and Van Horn H. M., (1969), Nuclear reaction rates at high density, Astrophys. J.

155, 183.

25. Widom B., (1963), Some Topics in the Theory of Fluids, J. Chem. Phys., 39, 2808.

PHỤ LỤC

Bài báo đã đăng [3].