Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
Nguồn: /thunhan.wordpress.com
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):
1.1 Định nghĩa 1:
Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma
trận vuông A cấp n
Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:
Ma trận đơn vị cấp n
Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:
Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’
và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I
Vậy: I = I’
1.2 Định nghĩa 2:
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại
một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.
Như vậy: A.A-1= A-1.A= In
1.3 Nhận xét:
1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận
nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C
2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1
3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại,
có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.
Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch
trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại
ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả
nghịch trái và khả nghịch phải.
4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.
5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).
1.4 Các ví dụ:
Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:
Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch
đảo của A
Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:
Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1
dòng không (hoặc cột không) đều không khả nghịch.
2. Tính chất:
1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1
2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T
(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)
3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:
3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp
dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng
(cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.
3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó
lại là một ma trận sơ cấp dòng.
Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm:
Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0
Ma trận sơ cấp dạng 1
Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j
Ma trận sơ cấp dạng 2
Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j
Ma trận sơ cấp dạng 3
3.3 Định lý:
Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương
đương:
1. A khả nghịch
2. In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột)
3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp
(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)
3.4 Hệ quả:
Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương
đương:
1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là In
2. Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp
dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến In thành
nghịch đảo của ma trận A.
4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:
Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông
cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta
thực hiện các bước sau đây
Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào
bên phải ma trận A
Lập ma trận chi khối cấp n x 2n
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A' | B ], trong
đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.
- Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B
- Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện
ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về
dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.
Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:
Từ đó suy ra
Giải:
Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:
Từ ta có: . Do đó: