MÔ HÌNH LOGISTIC TRONG XẾP HẠNG RỦI RO TÍN DỤNG
Mô hình Logistic (Maddala[1], 1984) là mô hình định lượng trong đó
biến phụ thuộc là biến giả, chỉ nhận 2 giá trị là 0 hoặc 1. Mô hình này được
ứng dụng rộng rãi trong phân tích kinh tế nói chung và rủi ro tín dụng nói
riêng. Cụ thể hơn, mô hình này có thể giúp Ngân hàng xác định khả năng
khách hàng sẽ có rủi ro tín dụng (biến phụ thuộc) trên cơ sở sử dụng các nhân
tố có ảnh hưởng đến khách hàng (biến độc lập).
Trong mô hình này, cấu trúc dữ liệu như sau:
Cấu trúc dữ liệu các biến trong mô hình Logistic
Nguồn: Maddala (1984)
Y đóng vai trò là biến phụ thuộc và là biến nhị phân, chỉ có thể nhận hai
giá trị là 0 hoặc 1, cụ thể là:
+ Xi là biến độc lập, thể hiện các nhân tố ảnh hưởng đến khách hàng, ví dụ
như giới tính, thu thập, tình trạng nhà,… đối với khách hàng cá nhân, hoặc
ROE, ROA, vốn chủ sở hữu,… đối với khách hàng doanh nghiệp.
+ Y^ là giá trị ước lượng của Y, thu được khi hồi quy Y theo các biến độc
lập . Một điều cần lưu ý là giá trị của chưa chắc đã thỏa mãn điều kiện do là
giá trị ước lượng phụ thuộc vào các biến độc lập.
Khi đó, xác suất một khách hàng trả được nợ (tức là xác suất Y = 1) được
tính theo công thức sau, trong đó e là hằng số Euler (xấp xỉ 2,718) :
Như vậy, với các nhân tố có ảnh hưởng tới khách hàng được xác định
trước (qua tờ kê khai của khách hàng, báo cáo tài chính,…) chúng ta có thể
xác định được xác suất khách hàng đó trả được nợ. Với xác suất trả được nợ
càng cao thì khách hàng đó càng ít có rủi ro tín dụng và ngược lại. Dựa vào
bảng dự báo xác suất của khách hàng, đối chiếu với thực tế trả nợ, Ngân
hàng có thể xây dựng các mức xếp hạng rủi ro tín dụng phù hợp.
Một ví dụ đơn giản như sau: một Ngân hàng dựa trên bộ số liệu và
lịch sử tín dụng của khách hàng, đã hồi quy được một mô hình để ước lượng
khả năng trả nợ của khách hàng cá nhân như sau:
Trong đó X1 là thu nhập trung bình 1 tháng (đv: triệu đồng) của
khách hàng, X2 là biến giả đặc trưng cho trình độ học vấn khách hàng, giá trị
này bằng 1 nếu khách hàng có trình độ đại học trở lên, bằng 0 nếu khách
hàng có trình độ dưới đại học. X3 là số người phụ thuộc trong gia đình. Giả
sử có 1 khách hàng cá nhân tới vay vốn, có thu nhập trung bình 1 tháng là 12
triệu đồng; trình độ Đại học và trong gia đình có 2 người phụ thuộc; khi đó
căn cứ vào mô hình trên chúng ta tính được giá trị . Từ đó chúng ta tính được
xác suất khách hàng này trả được nợ là:
Như vậy xác suất khách hàng này trả được nợ là 0,711; căn cứ vào các
mức xếp hạng mà ngân hàng đã xây dựng để xếp khoản vay của khách hàng
vào mức phù hợp. Ví dụ ngân hàng xếp những khách hàng có mức xác suất
trả được nợ trên 0,8 là hạng AAA, trên 0,7 đến dưới 0,8 là AA, … như vậy
khách hàng trên được xếp vào hạng AA.
Phương pháp ước lượng
Như đã đề cập ở mục trên, phương trình tính xác suất khách hàng trả
được nợ:
Trong đó, ký hiệu hàm ; Như vậy để tính xác suất trả được nợ của
khách hàng, chúng ta tính các giá trị ước lượng của Y là , để làm được điều
này chúng ta cần tình toán các giá trị . Trong mục này tác giả đề cập đến
phương pháp ước lượng các hệ sốbeta , cụ thể như sau:
Hàm xác suất trên được gọi là hàm phân bố logistic. Trong hàm
logistic này khi nhận các giá trị từ -∞ đến +∞ thì p_i nhận giá trị từ 0 đến
1. Do là phi tuyến đối với X và các tham số , vì vậy chúng ta không thể áp
dụng trực tiếp phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) để ước lượng,
người ta dùng ước lượng hợp ý tối đa (maximum likelihood) để ước lượng β.
Do Y chỉ nhận một trong hai giá trị 0 – 1, do vậy Y có phân bố nhị thức nên
hàm hợp lý [2] với mẫu kích thước n có dạng sau:
Chúng ta cần ước lượng hợp lý tối đa [3] của β . Để làm được điều này
chúng ta lấy logarit cơ số tự nhiên hàm hợp lý, sau đó cho các đạo hàm riêng
ứng với các βi bằng 0, thu được 1 hệ phương trình. Sau đó chúng ta sử dụng
phương pháp Newton-Raphson để giải hệ phương trình trên và thu được 1
công thức của β . Cuối cùng chúng ta sử dụng quá trình lặp để ước lượng hệ
số β . [4]
Ngày nay, phương pháp ước lượng các hệ số đã được tự động hóa dựa
trên một số phần mềm kinh tế lượng như Eviews, R, Stata, SPSS, … Trong
nghiên cứu thực nghiệm, người ta có thể tìm cách bỏ đi một số biến mà vai
trò giải thích cho biến Y không đủ lớn (hệ số không có ý nghĩa thống kê),
nhằm tránh hiện tượng các biến độc lập có tương quan lẫn nhau làm sai lệch
kết quả của mô hình.
Kiểm định mô hình
Khi chúng ta đã ước lượng được các hệ số β , lúc này trước khi tiến
hành dự báo xác suất khả năng trả nợ của khách hàng, điều cần thiết là chúng
ta tiến hành một số kiểm định để xem xét mô hình hồi quy đó đã hợp lý chưa,
liệu có tồn tại khuyết tật nào của mô hình không. Để giải quyết vấn đề này
chúng ta tiến hành một số kiểm định như sau:
Ø Kiểm định tính ngẫu nhiên của phần dư
Các sai số thu được từ mô hình ước lượng so với giá trị thực tế là Y phải là
sai số ngẫu nhiên. Để kiểm định tính ngẫu nhiên của các sai số này, người ta
có thể sử dụng kiểm định Dickey-Fuller hoặc kiểm định Philip-Perron.
Ø Kiểm định tính định dạng đúng của mô hình
Mô hình hợp lý là mô hình được định dạng đúng, việc định dạng sai mô hình
có thể dẫn đến các kết quả sai lệch và làm kết quả dự báo bị méo mó. Để
kiểm định xem mô hình được định dạng đúng hay chưa, người ta sử dụng
thống kê Hosmer-Lemeshow.
Nêu mô hình có các phần dư là sai số ngẫu nhiên và được định dạng đúng thì
mô hình được coi là phù hợp, có thể sử dụng để dự báo. Ngược lại, nếu
không thỏa mãn 2 điều kiện trên chúng ta cần hồi quy lại mô hình với các