zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Một số bài tập dãy số - số học trong đề thi học sinh giỏi (ThS Trần Quốc Dũng)

Chia sẻ: Ta La Ta | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Báo xấu

648
lượt xem 135
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dãy số và số học là các phần không thể thiếu trong các đề thi học sinh giỏi. Đây là bài viết tổng hợp lại một số đề thi về dãy số và số học của các tỉnh trong thời gian qua của Ths Trần Quốc Dũng biên soạn, mời các bạn tham khảo. Chúc các bạn thi tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài tập dãy số - số học trong đề thi học sinh giỏi (ThS Trần Quốc Dũng)

www.VNMATH.com MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Biên soạn: Th.S Trần Quốc Dũng D l ! 1. TÂY NINH 2011-2012 1) CMR dãy un có giới hạn hữu hạn. n 1 T 2) Đặt Tn . Tính lim n . k 0 uk n 2 1) CMR dãy un có giới hạn hữu hạn: n 1 T 2) Đặt Tn . Tính lim n : k 0 uk n 2 1
www.VNMATH.com 2. TÂY NINH 2006-2007 3 4 2006 Tìm phần nguyên của số A 2 3 4 ... 2006 2 3 2005 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số gồm n số 1 và số 1 , ta có: n 1 1 1 1  ...1 1   1 n 1 n 1 1 , ở đây dấu “=” không thể xảy ra vì 1 1 . n n n n Từ đó, ta có:  n   1 1 1 ... 1 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 1 1 n n 1 n n 1 n n 1 Từ đó suy ra: 1 1 2 1 1 2 3 1 1 1 3 1 2 2 3 ............................ 2006 1 1 1 2006 1 2005 2005 2006 1 Cộng vế theo vế ta suy ra 2005 A 2006 2006 . Vậy A 2005 . 2006 3. TÂY NINH 2004-2005 u1 1, u2 2 Cho dãy số un xác định bởi un 2 2un 1 un n 1 1) Tìm số hạng tổng quát u n u 2) Cho a lim n 1 . Tính a. un n n 1) Xét phương trình đặc trưng x 2 2 x 1 0 x 1 2 un C1 1 2 C2 1 2 1 A1 2 B 1 2 1 A u1 1 2 2 1 n n Do nên 2 2 un 1 2 1 2 u2 2 A1 2 B 1 2 2 1 2 2 B 2 2 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 u 2) a lim n 1 lim 2 2 lim n n un 1 n n 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
www.VNMATH.com n 1 n 1 1 2 1 2 1 1 2 lim n 1 2 n 1 2 1 2 1 1 2 2004 1 1) Cho 2004 số nguyên dương u1 , u2 ,..., u2004 thỏa mãn 2 2004. Chứng minh rằng có ít nhất hai số k 1 uk bằng nhau. 2004 2004 2) Tìm 2004 số thực u1 , u2 ,..., u2004 thuộc 1, 2 thỏa uk 2025 sao cho 3 uk 2025 đạt giá trị lớn nhất. k 1 k 1 1) Giả sử không có hai số nào bằng nhau, lúc đó ta có thể giả sử rằng 1 u1 u2 ... u2004 uk k. 2004 2004 2004 2004 2004 2004 1 1 2 2 k k 1 2 2 k k 1 k 1 uk k 1 k k 1 2 k k 1 k k 1 k 1 k k 1 k k 1 k 1 2004 1 21 0 2 1 3 2 ... 2004 2003 2 2004 2 2004 . k 1 uk Điều này trái với giả thiết, suy ra đpcm. 3 2) Ta có: 1 uk 2 uk 1 uk 2 uk 3 0 uk 7uk 6 2004 2004 2004 3 uk 7 uk 6 1 7.2025 6. 1 1 1  ...  2151 . k 1 k 1 k 1 2004 Dấu “=” xảy ra uk 1 uk 2 . Gọi m là số uk 1 , suy ra số uk 2 là 2004 – m. Từ đó, ta có: m.1 + (2004 – m ).2 = 2025, suy ra m = 1983 Vậy có 1983 số 1 và 21 số 2 thỏa mãn đề bài. 4. TÂY NINH 2000-2001 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y sao cho y 1 chia hết cho x và x 1 chia hết cho y. Từ điều kiện đề bài ta có: x 1 y; y 1 x x 1 y x 1 y x 1 y x y x 1 (do x, y là các số tự nhiên). Ta xét 3 trường hợp sau: TH1: Nếu y x 1 thì y là ước của x – 1 và x + 1, suy ra y là ước của x – 1 – (x + 1) = - 2, suy ra y 1 y 2. + Với y = 1 thì x = 2 (thỏa mãn) + Với y = 2 thì x = 3(thỏa mãn) TH2: y = x thì y là ước của x và x + 1, suy ra y là ước của x + 1 – x = 1, suy ra y = 1, lúc đó x = 1 (thỏa mãn) TH3: y = x + 1 thì x là ước của x + 2 suy ra x là ước của 2, suy ra x = 1 hoặc x = 2. + Nếu x = 1 thì y = 2 (thỏa mãn) + Nếu x = 2 thì y = 3 (thỏa mãn). Vậy ta có 5 cặp số phải tìm là: (1,1), (1, 2), (2,3), (2,1), (3,2). 5. CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VÒNG TRƯỜNG_CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA_TÂY NINH 2011-2012 3
www.VNMATH.com 6. QUẢNG BÌNH 2010-2011 4
www.VNMATH.com 7. QUẢNG BÌNH 2011-2012 5
www.VNMATH.com 8. BÌNH ĐỊNH 2010-2011 9. HÀ TĨNH 2010-2011 +)TH2: Nếu x0 1, 6
www.VNMATH.com 10. BÌNH ĐỊNH 2011-2012 7
www.VNMATH.com 11. KIÊN GIANG 2009-2010 Tính lim un . 12. ĐẮC LẮC 2011-2012 (m + 2010)! Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng là một số nguyên. m!2011! Ta có: 2010 (m 2010)! 2011 (m 2011)! 2011 2011 Cm+2010 . = .Cm 2011 m!2010! m 2011 m !2011! m 2011 2010 2011 2010 2010 2011 Suy ra: (m+ 2011)Cm+2010 = 2011.Cm 2011 , tức là: (m+ 2011)Cm+2010 chia hết cho 2011 (do Cm+2010 ; Cm 2011 là các số tự nhiên) Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + 2011, 2011)= 1 (m + 2010)! Vậy Cm+2010  2011 hay 2010 là số nguyên. m!2011! 13. BÌNH PHƯỚC 2008-2009 8
www.VNMATH.com 14. LONG AN 2011-2012 Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 3un 2 2 với mọi n 1 . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số un . b) Tính tổng S u12 u2 u32 ... u2011 . 2 2 a) Dễ thấy un 0, n N* 2 2 2 Từ un 1 3un 2 un 1 3un 2 . Đặt vn 2 u n thì có: vn 1 3vn 2 vn 1 1 3 vn 1 Đặt xn vn 1 thì ta có: xn 1 3 xn . Từ đây suy ra xn là cấp số nhân với x1 2 , công bội là 3. Nên: xn 2.3n 1 vn 2.3n 1 1 un 2.3n 1 1. 0 1 2 2010 0 1 2 2010 2 32011 1 b) S 2.3 2.3 2.3 ... 2.3 2011 2 3 3 3 ... 3 2011 2011 3 1 32011 2012 . 15. ĐỒNG THÁP 2009-2010 9
www.VNMATH.com 16. ĐỒNG THÁP 2011-2012 10
www.VNMATH.com 17. NINH BÌNH 2009-2010 18. TP. HCM 2011-2012 11
www.VNMATH.com 12
www.VNMATH.com 19. LẠNG SƠN 2011-2012 13
www.VNMATH.com 20. VĨNH LONG 2009-2010 x0 101 Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi xn 1 7 xn 7 n 1 Cách 1: Dùng phương pháp sai phân. Cách 2: Đặt xn yn 7 n ta thu được hệ thức truy hồi đối với dãy số yn x0 y0 70 y0 101 yn 1 7 n 1 7 yn 7 n 7 n 1 yn 1 yn 1 Ta thấy yn là cấp số cộng với số hạng đầu y0 101 và công sai d 1 . Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng yn , ta có: yn y0 nd 101 n xn 101 n 7n . Theo Viét, ta có: a b 1, ab 1. Đặt Rn a b a n n n 2 b , n * . Ta chứng minh Rn là số nguyên chia hết cho 5 bằng quy nạp. n 2 3 -Với n = 1, ta có R1 a b a b 3ab a b 5 R1 là số nguyên chia hết cho 5. - Giả sử Rk là số nguyên chia hết cho 5, ta có: Rk 1 ak 1 bk 1 ak 3 bk 3 ak bk a b ab a k 1 bk 1 ak 2 bk 2 a b ab a k 1 bk 1 Rk Rk 1 Theo giả thiết quy nạp Rk , Rk 1 chia hết cho 5 nên Rk 1 chia hết cho 5. Vậy Rn là số nguyên chia hết cho 5, n  . * Do đó, Rn a 2007 b 2007 a 2009 b 2009 là số nguyên chia hết cho 5. 21. ĐỒNG NAI 2009-2010 14
www.VNMATH.com 22. OLYMPIC ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TẠI SÓC TRĂNG 15
www.VNMATH.com 23. VÒNG QUỐC GIA 2011-2012 24. VÒNG QUỐC GIA 2010-2011 16
www.VNMATH.com 25. DÃY SỐ CÓ TÍNH CHẤT SỐ HỌC_VÒNG QUỐC GIA 2011-2012 17
www.VNMATH.com 18
www.VNMATH.com 26. TOÀN QUỐC 2009-2010 27. TP. HCM 2005-2006 28. TP. HCM 2004-2005 19
www.VNMATH.com 29. TP. HCM 2003-2004 (Giống đề thi HSG BÌNH PHƯỚC 2008-2009) 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.