1
MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Biên soạn: Th.S Trần Quốc Dũng
D l
!
1. TÂY NINH 2011-2012
1) CMR dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn.
2) Đặt
0
1
n
n
kk
Tu
. Tính
lim 2
n
T
n
.
1) CMR dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn:
2) Đặt
0
1
n
n
kk
Tu
. Tính
lim 2
n
T
n
:
w w w .VNM ATH.com
2
2. TÂY NINH 2006-2007
Tìm phần nguyên của số
32006
4
3 4 2006
2 ...
2 3 2005
A
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số gồm n số 1 và số
1
1n
, ta có:
, ở đây dấu “=” không thể xảy ra vì
1
11
n
.
Từ đó, ta có:
1
1
1 1 ... 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
nnn
n n n n n n
Từ đó suy ra:
3
2006
1
1 2 1 1 2
3 1 1
11
2 2 3
............................
2006 1 1
11
2005 2005 2006
Cộng vế theo vế ta suy ra
1
2005 2006 2006
2006
A
. Vậy
2005A
.
3. TÂY NINH 2004-2005
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
12
21
1, 2
21
n n n
uu
u u u n
1) Tìm số hạng tổng quát
n
u
2) Cho
1
lim .
n
n
u
au
Tính a.
1) Xét phương trình đặc trưng
2
12
2 1 0 1 2 1 2 1 2
nn
n
x x x u C C
Do
1
2
1
2
u
u
nên
22
1
1 2 1 2 1 22
1
1 2 1 2 2 22
A
AB
AB B
11 2 1 2
22
nn
n
u
2)
11 11
1
11 2 1 2 1 2 1 2
22
lim lim lim
11 2 1 2
1 2 1 2
22
nn nn
n
nn
nn
n
u
au
w w w .VNM ATH.com
3
1
112
1 2 1 12
lim 1 2
12
1 2 1 12
n
n
n
n
1) Cho 2004 số nguyên dương
1 2 2004
, ,...,u u u
thỏa mãn
2004
1
12 2004.
kk
u
Chứng minh rằng có ít nhất hai số
bằng nhau.
2) Tìm 2004 số thực
1 2 2004
, ,...,u u u
thuộc
1,2
thỏa
2004
1
2025
k
k
u
sao cho
2004 3
1
2025
k
k
u
đạt giá trị lớn nhất.
1) Giả sử không có hai số nào bằng nhau, lúc đó ta có thể giả sử rằng
1 2 2004
1 ... k
u u u u k
.
2004 2004 2004 2004 2004 2004
1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 1
2 2 1
21
11k k k k k k
k
kk kk
u k k k k k k k k
2004
1
1
2 1 0 2 1 3 2 ... 2004 2003 2 2004 2 2004
kk
u
.
Điều này trái với giả thiết, suy ra đpcm.
2) Ta có:
3
1 2 1 2 3 0 7 6
k k k k k k
u u u u u u
2004 2004 2004
3
1 1 1 2004
7 6 1 7.2025 6. 1 1 ... 1 2151
kk
k k k
uu
.
Dấu “=” xảy ra
12
kk
uu
. Gọi m là số
1
k
u
, suy ra số
2
k
u
là 2004 – m. Từ đó, ta có:
m.1 + (2004 – m ).2 = 2025, suy ra m = 1983
Vậy có 1983 số 1 và 21 số 2 thỏa mãn đề bài.
4. TÂY NINH 2000-2001
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
,xy
sao cho
1y
chia hết cho
x
và
1x
chia hết cho y.
Từ điều kiện đề bài ta có:
1 ; 1 1 1 1 1x y y x x y x y x y x y x
(do x, y là các số tự
nhiên). Ta xét 3 trường hợp sau:
TH1: Nếu
1yx
thì
y
là ước của x – 1 và x + 1, suy ra y là ước của x – 1 – (x + 1) = - 2, suy ra
12yy
.
+ Với y = 1 thì x = 2 (thỏa mãn)
+ Với y = 2 thì x = 3(thỏa mãn)
TH2: y = x thì y là ước của x và x + 1, suy ra y là ước của x + 1 – x = 1, suy ra y = 1, lúc đó x = 1 (thỏa mãn)
TH3: y = x + 1 thì x là ước của x + 2 suy ra x là ước của 2, suy ra x = 1 hoặc x = 2.
+ Nếu x = 1 thì y = 2 (thỏa mãn)
+ Nếu x = 2 thì y = 3 (thỏa mãn).
Vậy ta có 5 cặp số phải tìm là: (1,1), (1, 2), (2,3), (2,1), (3,2).
5. CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VÒNG TRƯỜNG_CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA_TÂY NINH 2011-2012
w w w .VNM ATH.com
4
6. QUẢNG BÌNH 2010-2011
w w w .VNM ATH.com
5
7. QUẢNG BÌNH 2011-2012
w w w .VNM ATH.com