zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG XYZ

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

1.327
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức dạng xyz', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG XYZ

www.VIETMATHS.com Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣ ờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ CHỨA BIỂU THỨC XYZ Bài toán: “ Chứng minh bất đẳng thức (BĐT) có chứa biểu thức xyz trong đó x, y, z là các số thực không âm, có vai trò bình đ ẳng và BĐT tương đương với ( xyz ) n P( x, y, z ) với n N * ; P( x, y, z) là đa thức” thường gây rất nhiều khó khăn cho học sinh vì việc đánh giá ( xyz ) n P( x, y, z ) là “không thuận lợ i”. Trong bài viết này, tác giả xin giớ i thiệu một s ố kĩ năng đ ể giả i bài toán dạng này. 1. Sử dụng BĐT: “Với x, y, z là các số thực không âm tùy ý, ta có ( x y z )( x z y)( y z x) xyz ” (1). Thí dụ 1. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 1 . 7 Chứng minh rằng . 0 xy yz zx 2 xyz 27 (Đề thi IMO năm 1984) Lời giải. Áp dụng (1) và giả thiết, ta có xyz . (1 2 x)(1 2 y)(1 2 z) xyz 1 2( x y z ) 4( xy yz zx) 8xyz xyz 1 Suy ra (2) xy yz zx 2 xyz 4 3 x y z 1 Mặt khác, ta có (3) xyz 3 27 7 Từ (2) và (3) suy ra xy yz zx 2 xyz . 27 Ngoài ra, từ giả thiết suy ra 0 x, y, z 1 . Do đó xy yz zx 2 xyz xy(1 z) yz(1 x) zx 0 . 2. Sử dụng tính chất: “Trong ba số x, y, z luôn tồn tại ít nhất hai s ố sao cho chúng cùng không lớn hơn a hoặc cùng không nhỏ hơn a , với a là số thực tùy ý” (4). Thí dụ 2. Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn xy yz zx xyz 4 (*). Chứng minh rằng: x y z xy yz zx . Đẳng thức xảy ra khi nào. (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 1996) Lời giải. Theo tính chất (4) và vai trò x, y, z trong bài toán bình đẳng nên x1 x1 không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hoặc . y1 y1 Khi đó, ta có (1 x)(1 y) 0 xy 1 x y Suy ra z( xy 1) z( x y) (5) xyz z xz yz xyz xy z xy yz zx Ta sẽ chứng minh: x y (6) z xyz xy z Thật vậy: (6) x y z (7) 4 xy yz zx xy z (x y)(z 1) 4 Web page VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣ ờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. Nếu x y 0 (*) trở thành 0 =4 vô lí. Do đó x y xy 0 và từ (*) ta có: 4 xy z= x y xy 4 xy Vì thế : (7) (x y )(1 ) 4 x y xy (Vì x y xy 0 ) (x y )( x y 4) 4( x y xy) 0 , đúng. 2 (x y) Từ (5) và (6) suy ra điều phải chứng minh. Trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hoặc x = y = 2, z = 0. Do đó đẳng thức xảy ra khi: x = y = z = 1 hoặc x = y = 2, z = 0 hoặc x = z = 2 , y = 0 hoặc z = y = 2 , x = 0. 3. Đánh giá rồi đặt ẩn phụ. Thí dụ 3. Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x 2 y2 z2 2. Chứng minh x y z 2 xyz . (Poland 1991 ) Lời giải. Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có ( x y).1 z(1 xy) ( x y) 2 z 2 . 1 (1 xy) 2 ( x y z xyz ) 2 ( x 2 2 xy y 2 z 2 )( x 2 y 2 2 xy 2) ( x y z xyz ) 2 2( xy 1)( x 2 y 2 2 xy 2) (8) 2 2 2 2 2 x y x y z Vì xy 1 nên 1 xy 1 . x. y 2 2 Do đó đ ặt t xy , ta có f (t ) , với ( xy 1)( x 2 y 2 (t 1)(t 2 1 t 1. 2 xy 2) 2t 2) Dễ dàng chứng minh được max f (t ) 2. [ 1;1] 2 2 Suy ra ( xy 1)( x y 2 xy 2) 2 (9) Từ (8) và (9) suy ra ( x y z xyz ) 2 4 . Vậy x y z xyz 2 hay ta có điều phải chứng minh. 4. Đặt ẩn phụ S x y z; P xy yz zx; Q xyz . Thí dụ 4. Cho ba số thực không âm x, y, z . Chứng minh rằng (x2 2)( y 2 2)( z 2 (10) 2) 9( xy yz zx ) (Asian Pacific Math 2004) Lời giải. Ta có x2 y2 z2 2( x 2 y2 z 2 ) 4( x 2 y2 z2) 8 (11) (10 ) 9( xy yz zx ) Đặt S xyz , ta có BĐT (11) trở thành x y z; P xy yz zx; Q Q2 2( P 2 2SQ) 4( S 2 2 P) 8 9P 2 S 10 2 8 35 2 2 (12) Q P 3SQ P3 S 3P 0 3 9 9 9 Web page VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣ ờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. Dễ dàng chứng minh được P 2 3SQ, S 2 3P s uy ra (12) đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Vận dụng các phương pháp trên Thí dụ 5. Cho x, y, z là các s ố thực không âm thỏa mãn x 3 y 3 z 3 3 . Chứng minh rằng xy yz zx xyz 2 . Lời giải 1. Áp d ụng (1) và giả thiết, ta có (x y z )(x z y)( y z x) xyz 3 3 3 2 2 y2z yz 2 zx 2 z2x x y z 3xyz xy xy (x2 y xy 2 1) ( y 2 z yz 2 1) ( zx 2 z 2 x 1) 3xyz 6 Mà ( x 2 y xy 2 1) ( y 2 z yz 2 1) ( zx 2 z 2 x 1) 33 x 3 y 3 33 y 3 z 3 33 z 3 x 3 Suy ra 3xyz 6 3( xy yz zx) Vậy ta có điều phải chứng minh. Lời giải 2. Theo tính chất (4) và vai trò x, y, z trong bài toán bình đẳng nên x1 x1 không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hoặc . y1 y1 Khi đó, ta có (1 x)(1 y) 0 x y xy 1 Suy ra z( x y xy) z xy yz zx xyz xy z (13) Mặt khác, ta có x3 y3 1 z3 1 1 3 3 3 3 . 3 xy x . y .1 ;z z .1.1 3 3 x3 y3 z3 3 Suy ra xy z (14) 2 3 Từ (13) và (14) suy ra điều phải chứng minh. Lời giải 3. Vì vai trò c ủa x, y, z trong bài toán bình đ ẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả s ử z min x; y; z . Khi đó: 3 x 3 y 3 z 3 3z 3 (Vì x, y, z 0 ) z 3 1 0 z 1; xy yz zx xyz xy(1 z ) z ( y x) . Mà x3 y3 1 x3 1 1 y3 1 1 x 3 . y 3 .1 x 3 .1.1 y 3 .1.1 3 3 3 xy ;x ;y . 3 3 3 Suy ra (x3 y 3 1)(1 z ) x3 y3 (4 z 3 )(1 z ) z (7 z 3 ) 2 2 xy yz zx xyz z 3 3 3 3 3 z3 3z 4 Do đó xy yz zx xyz (15) 3 z3 3z 4 Đặt f ( z ) , với 0 z 1 3 Web page VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣ ờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. Dễ dàng chứng minh được max f ( z ) 2 . [ 0;1] Suy ra : với 0 z 1 ta có f ( z ) 2 (16) Từ (15) và (16) suy ra điều phải chứng minh. Lời giải 4. Ta có x 3 y 3 z 3 3xyz ( x y z )( x 2 y 2 z 2 xy yz zx ) (17). Đặt S x y z; P xy yz zx; Q xyz , từ (17) và giả thiết ta có 3 3Q S ( S 2 3P) (18) x3 1 1 y3 1 1 z3 1 1 x 3 .1.1 y 3 .1.1 z 3 .1.1 3 3 Mà 3 x y z 3 3 3 x3 y3 z3 6 (19) S 3 3 Từ (18) và (19) suy ra 3( S 2 (Vì S 2 3P ) 3 3Q 3P ) S2 (20) PQ 2P 1 Mặt khác , ta có S2 x2 y2 z2 x 3 .x 3 .1 y 3 . y 3 .1 z 3 .z 3 .1 3 3 3 2P x3 x3 1 y3 y3 1 z3 z3 1 3 3 3 Suy ra: ( 21) S2 2P 3 Từ (20) và (21) suy ra điều phải chứng minh. Các bài tập tự luyện 1. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 1 . Chứng minh rằng 4( xy yz zx) 9 xyz 1 . 2. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x 2 y 2 z 2 3 . Chứng minh rằng xy yz zx xyz 2 . 3. Cho ba số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 2abc 3 (1 a)(1 b)(1 c) . (Marian Tetiva, Mircea Lascu, Gabriel Dospinescu) 4. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2 1 a3 b3 c3 . 3abc 9 4 (Bài T5 / 353 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 3 năm 2007) 5. Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 xyz 4 thì ta có 0 xy yz zx xyz 2 . (Đề thi USAMO-2001) 6. Cho x, y, z (0;1) , thoả mãn xyz (1 x)(1 y)(1 z ) . Web page VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣ ờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. 3 Chứng minh rằng: x 2 . y2 z2 4 7. Cho ba số thực bất kì x, y, z . Chứng minh r ằng z 1) . (x2 3)( y 2 3)( z 2 3) 4( x y (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ) 8. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn xyz 1 . Chứng minh rằng x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 3 2( x y z ) . Web page VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.