intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Một số ứng dụng bất đẳng thức Cô Si

Chia sẻ: Hồ Dũng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
178
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Một số ứng dụng bất đẳng thức Cô Si. Tài liệu gửi đến các bạn các kiến thức: Chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng bất đẳng thức Cô Si để tìm cực trị. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tham khảo bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số ứng dụng bất đẳng thức Cô Si

  1. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. Mét Sè øNG DôNG CñA BÊT §¼NG THøC C¤ SI øNG DôNG 1: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi to¸n sè 1. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng 1 1 1� ( a + b + c) � � + + � 9. �a b c � *Ph©n tÝch: VÕ tr¸i chøa a, b, c > 0 vµ c¸c nghÞch ®¶o cña chóng. V× vËy ta nghÜ ®Õn viÖc dïng bÊt ®¼ng thøc C«si. Lêi gi¶i: C¸ch 1: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho c¸c bé sè a, b, c vµ 1 1 1 , , a b c ta cã: a + b + c 3 3 abc 1 1 1 1 + + 33 a b c abc Nh©n tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc: 1 1 1� ( a + b + c) � �+ + �9 (®pcm). �a b c � C¸ch 2: 1 1 1� �b a � �c a � �b c � ( a + b + c) � � + + �= 3 + � + �+ � + �+ � + � 3 + 2 + 2 + 2 = 9 �a b c � �a b � �a c � �c b � DÊu "=" x¶y ra � a = b = c Bµi to¸n sè 1.1 Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc: a b c a. + + 3 (a, b, c > 0) b c a b. a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca Bµi to¸n sè 1.2 Chøng minh r»ng: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  2. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. x2 + 2 a. 2 ∀x R x +1 2 ¸p dông B§T C«si cho 2 sè x2 +1 vµ 1. x+8 b. 6 ∀x > 1. x −1 ¸p dông B§T C«si cho 2 sè x - 1 vµ 9. c. ( a + b ) ( ab + 1) 4ab ∀a, b 0 ¸p dông B§T C«si ta cã a + b 2 ab ab + 1 2 ab Nh©n tõng vÕ cña 2 B§T trªn ta suy ®îc ®pcm. Bµi to¸n sè 1.3 Chøng minh r»ng: a. ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8abc ∀a, b, c 0 b. a ( 1 + b ) + b ( 1 + c ) + c ( 1 + a ) 6abc 2 2 2 2 2 2 ¸p dông B§T C«si cho 6 sè a 2 , a 2b 2 , b 2 , b2c 2 , c 2 , c 2 a 2 . Bµi to¸n sè 1.4 a. n sè d¬ng a1, a2, ..., an. Chøng minh r»ng: n n a1a2 ...an 1 1 1 + +L + a1 a2 an b.NÕu a1, a2,...., an d¬ng vµ a1a2...an = 1 th× a1+ a2 +...+ an n ¸p dông B§T C«si cho n sè d¬ng trªn) Bµi to¸n sè 2. Chøng minh bÊt ®¼ng Netbit a b c 3 + + ∀a, b, c > 0. b+c a+c a+b 2 Gi¶i. §Æt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi ®ã x, y, z > 0 vµ y+z−x x+ z− y x+ y−z a= ,b = ,c = 2 2 2 Ta cã: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  3. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. a b c 1 �y + z − x x + z − y x + y − z � + + = � + + � b+c a +c a +b 2� 2 2 2 � 1 �x y x z y z �1 3 = � + + + + + − 3 � ( 2 + 2 + 2 − 3) = . 2 �y x z x z x � 2 2 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x= y= z. C¸ch kh¸c: a b c 1 �x + y + z x + y + z x + y + z � + + = � + + − 6� b + c a + c a +b 2� x y z � 1� �1 1 1 � � 1 3 = � ( x + y + z ) � + + �− 6� ( 9 − 6 ) = 2� �x y z � � 2 2 Khai th¸c bµi to¸n: B»ng c¸ch t¬ng tù, ta cã thÓ chøng minh ®îc c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: víi a, b, c d¬ng ta cã: 2 2 2 9 1. b c c a a b a b c a2 b2 c2 a b c 2. b c c a a b 2 1 1 4 Bµi to¸n sè 2.2. Cho x, y > 0. Chøng minh r»ng (1) x y x y Ph©n tÝch: Do x, y > 0 nªn B§T (1) cã thÓ suy ra tõ B§T C«si hoÆc xÐt hiÖu. Gi¶i C¸ch 1: Sö dông B§T C«sic cho 2 sè d¬ng x, y: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  4. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. x y 2 xy 2 x y 4 xy x y 4 xy x y 1 1 4 x y x y C¸ch 2. XÐt hiÖu cña 2 vÕ: 2 1 1 4 yx y xx y 4 xy x y 1 0 0 0 (2) x y x y xy x y xy x y Do x > 0, y > 0 nªn B§T (2) lu«n ®óng. VËy (1) lu«n ®óng. (®pcm) Khai th¸c bµi to¸n: Ta thÊy B§T trªn cã liªn quan ®Õn viÖc céng mÉu nªn cã thÓ sö dông ®Ó chøng minh B§T sau: Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, chøng minh r»ng: 1 1 1 1 1 1 a b c 2 trong ®ã p p a p b p c a b c 2 Bµi tËp t¬ng tù: Bµi 1. Chøng minh r»ng: a2 b2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 c2 3 a b c b a c a b c Bµi 2. Cho a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh r»ng: a4 b4 c4 d2 a b c d a b a2 b2 b c b2 c2 c d c2 d 2 d a d 2 a2 4 Bµi 3. Cho 0 a, b, c 1 . Chøng minh r»ng: a2 b2 c2 1 a 2b b 2 c c 2 a Bµi 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chøng minh: a b c 1 1 1 2 bc ac ab a b c NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  5. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. Bµi 5. Cho x, y, z > 0. Chøng minh r»ng: x2 y z x y z 4 Bµi 6. Cho a, b > 0. Chøng minh r»ng: a b a b b a Bµi 7. Cho x, y > 0. Chøng minh r»ng: x3 2x y x 2 xy y 2 3 Bµi 8. Cho x, y ≠ 0. Chøng minh r»ng: 4 4 x6 y6 x y y2 x2 Bµi 9. Cho a, b > 0. Chøng minh r»ng: 2 ab 4 ab a b ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ®Ó chøng minh B§T trong tam gi¸c Bµi to¸n sè 3. Cho a, b, c lµ ®é dµi c¹nh cña mét tam gi¸c. a b c Chøng minh r»ng: 3. b c a a c b a b c Gi¶i: C¸ch 1. ®Æt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c. x y x z y z Khi ®ã x, y, z > 0 vµ a ,b ,c . 2 2 2 VÕ tr¸i: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  6. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. a b c 1 x y y z z x b c a a c b a b c 2 z x y 1 x y x z y z 1 2 2 2 3 2 y x z x z y 2 DÊu b»ng x¶y ra x y 2 y x x z 2 x y z a b c. z x y z 2 z y C¸ch 2. NhËn xÐt: Do a, b, c, lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > 0 ¸p dông B§T C«si cho c¸c cÆp sè d¬ng: a b c a c b a b c a c b a 2 a c b b c a c b c a (a b c) b NhËn thÊy c¸c vÕ cña B§T trªn lµ c¸c sè d¬ng vµ 3 B§T nµy cïng chiÒu, nh©n tõng vÕ cña chóng ta ®îc: a b c a c b b c a abc. Ta cã: a b c abc 33 b c a a c b a b c b c a a c b a b c abc 33 3 abc NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  7. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. Bµi tËp 3.1. Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c ABC, a b c. 2 Chøng minh r»ng: a b c 9bc. (*) Gi¶i 2 2 2 V× a b a b c b b c 2b c . 2 ®Ó chøng minh (*) ta cÇn chøng minh: 2b c 9bc. (1) ThËt vËy: 2 2b c 9bc 4b 2 4bc c 2 9bc 4b 2 4bc c 2 bc 2 2b c bc Ta cã: 0 2b c 2b b b 2 2b c bc (®pcm) 0 2b c 2c c c Bµi tËp 3.2. Chøng minh r»ng a b c 2.3 4 (*) 3 b2 c2 3 c2 a2 3 a2 b2 Trong ®ã a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c. Gi¶i Ta cã 1 2 b3 c3 b c 4 ThËt vËy: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  8. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. 1 4 b3 c3 b3 c3 3b 2 c 3bc 2 b3 c3 b2c bc 2 0 b2 b c c2 b c 0 b c b2 c2 0 2 b c b c 0 Lu«n ®óng suy ra (1) ®óng 1 2 T¬ng tù: a3 c3 a c 4 1 2 a3 b3 a b 4 Do ®ã: a b c 3 a b c 4 (3) 3 b 2 c 2 3 c 2 a 2 3 a 2 b 2 b c a c a b Mµ: a b c 2a 2b 2c b c a c a b 2(b c) 2(a c) 2(a b) 2a 2b 2c (4) 2 b a c a b c a b c a b c Do: b c a a c b Tõ (3) vµ (4) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. C¸c bµi tËp kh¸c: Bµi tËp 3.3 Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c vµ cã chu vi lµ 2. Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. Bµi tËp 3.4 Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c. Chøng minh r»ng: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  9. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. a 2 b c a b 2 a c b c 2 a b c 3abc Bµi tËp 3.5 Gi¶ sö a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c. 3 3 1 1 1 a b c Chøng minh r»ng: a b 3c 3 6 a 3b 3c 3 abc Bµi tËp 3.6 Gi¶ sö a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c. 1 1 1 3a b b c c a Chøng minh r»ng a b c 9 a b c abc Bµi tËp 3.7. Cho a, b, c, d > 0 vµ a + b + c + d = 1 Chøng minh r»ng: a b c b c d b d a c d a 2 3 øNG DôNG 2: øng dông bÊt ®¼ng thøc C«si ®Ó t×m cùc trÞ * Víi a 0, b 0 ta cã a + b 2 ab , dÊu “=” x¶y ra a=b * Víi n sè kh«ng ©m: a1 , a2 , …, an ta cã: a1 + a2 + ... + an n n a1a2 ...an DÊu “=” x¶y ra a1 = … = a n * Tõ B§T trªn ta suy ra: + NÕu a.b = k (const) th× min(a + b) = 2 k a=b k2 + NÕu a + b = k (const) th× max(a.b) = a=b 4 * Më réng ®èi víi n sè kh«ng ©m: + NÕu a1.a2…an = k (const) th× min(a1 + a2 + … + an) = n n k a1 = a 2 = … = a n n �k � + NÕu a1 + a2 + …+ an = k (const) th× max(a1.a2…an) = � � �n � a1 = a 2 = … = a n 1 1 1 VÝ dô: Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: + = x y 2 T×m GTNN cña A = x+ y NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  10. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. Bµi lµm: 1 1 V× x > 0, y > 0 nªn > 0, > 0, x > 0, y > 0 . Ta cã: x y 1 1 Cs 1� 1 1� 1 1 . � � + x y 2�x y� xy 4 xy 4 A= x+ y 2 x+ y 2 4 =4 VËy min A = 4 x=y=4 NhËn xÐt: Trong vÝ dô trªn ta ®· sö dông B§T C«si theo 2 chiÒu ngîc nhau: a+b 1 1 1 + Dïng ab ®Ó dïng ®iÒu kiÖn tæng + = tõ ®ã ®îc 2 x y 2 xy 4 + Dïng a + b 2 ab “lµm gi¶m” tæng x + y ®Ó dïng kÕt qu¶ xy 4 Kh«ng ph¶i lóc nµo ta còng cã thÓ dïng trùc tiÕp B§T C«si ®èi víi c¸c sè trong ®Ò bµi. Ta cã mét sè biÖn ph¸p biÕn ®æi mét biÓu thøc ®Ó cã thÓ vËn dông B§T C«si råi t×m cùc trÞ cña nã: * C¸ch 1: §Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ta t×m cùc trÞ cña b×nh ph¬ng biÓu thøc ®ã. VÝ dô: T×m GTNN cña A = 3x − 5 + 7 − 3x Bµi gi¶i 5 7 §iÒu kiÖn: x 3 3 Ta cã: A2 = ( 3x – 5 ) + ( 7 – 3x ) + 2 ( 3x − 5) ( 7 − 3x ) A2 ( 3x – 5 + 7 – 3x ) + 2 = 4 NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  11. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. DÊu “=” x¶y ra 3x – 5 = 7 – 3x x=2 2 VËy max A = 4 max A = 2 x=2 Ta thÊy A ®îc cho díi d¹ng tæng cña 2 c¨n thøc. Hai biÓu thøc lÊy c¨n cã tæng kh«ng ®æi (b»ng 2). V× v©y, nÕu b×nh ph¬ng A sÏ xuÊt hiÖn h¹ng tö lµ 2 lÇn tÝch cña 2 c¨n thøc. §Õn ®©y cã thÓ vËn dông B§T C«si 2 ab a+b * C¸ch 2: Nh©n vµ chia biÓu thøc víi cïng mét sè kh¸c 0 x −9 VÝ dô: T×m GTLN cña A = 5x Bµi gi¶i: §iÒu kiÖn: x 9. Ta cã: x−9 1 �x − 9 � .3 � + 3� x − 9 + 9 x−9 3 2� 3 �= 3 1 A= = = 5x 5x 5x 10 x 30 x −9 DÊu “=” x¶y ra � = 3 � x = 18 3 1 VËy max A = � x = 18 30 x −9 Trong c¸ch gi¶i trªn, x – 9 ®îc biÓu diÔn thµnh .3 khi vËn 3 x −9 1 dông B§T C«si tÝch nµy trë thµnh nöa tæng: + 3 = x cã d¹ng 3 3 kx cã thÓ rót gän cho x ë mÉu. ( sè 3 ®îc t×m b»ng c¸ch lÊy 9, sè 9 cã trong ®Ò bµi) * C¸ch 3: BiÕn ®æi biÓu thøc ®· cho thµnh tæng cña c¸c biÓu thøc sao cho tÝch cña chóng lµ mét h»ng sè. VÝ dô 1: ( T¸ch mét h¹ng tö thµnh tæng cña nhiÒu h¹ng tö b»ng nhau) NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  12. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. 3x 4 + 16 Cho x > 0, t×m GTNN cña A = x3 Bµi gi¶i 3x 4 + 16 16 16 16 A= 3 = 3x + 3 = x + x + x + 3 4 4 x.x.x. x x x x3 16 A 4.2 = 8 ( dÊu “=” x¶y ra � x = � x=2) x3 VËy min A = 8 khi x = 2 VÝ dô 2: (T¸ch mét h¹ng tö chøa biÕn thµnh tæng cña mét h»ng sè víi mét h¹ng tö chøa biÕn sao cho h¹ng tö nµy lµ nghÞch ®¶o cña mét h¹ng tö kh¸c cã trong biÓu thøc ®· cho) 9x 2 Cho 0 < x < 2, t×m GTNN cña A = + 2− x x Bµi gi¶i 9x 2− x 9x 2 − x A= + +1 2 . +1 = 2 9 +1 = 7 2− x x 2− x x 9x 2− x 1 DÊu “=” x¶y ra � = �x= 2− x x 2 1 VËy min A = 7 �x = 2 2 2− x Trong c¸ch gi¶i trªn ta ®· t¸ch thµnh tæng + 1 . H¹ng tö x x 2− x x nghÞch ®¶o víi nªn khi vËn dông B§T C«si ta ®îc tÝch x 2− x cña chóng lµ mét h»ng sè. * C¸ch 4: Thªm mét h¹ng tö vµo biÓu thøc ®· cho VÝ dô: Cho x, y, z > 0 tho¶ m·n: x + y + z = 2 x2 y2 z2 T×m GTNN cña P = + + y+z z+x x+ y NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  13. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. Bµi gi¶i V× x, y, z > 0 ta cã: x2 y+z ¸p dông B§T C«si ®èi víi 2 sè d¬ng vµ ta ®îc: y+z 4 x2 y+z x2 y + z x + 2 . = 2. = x (1) . T¬ng tù ta cã: y+z 4 y+z 4 2 y2 x+ z + y (2) x+z 4 z 2 x+ y + z (3) x+ y 4 Céng (1) + (2) + (3) ta ®îc: � x2 y2 z2 � x + y + x � + + �+ x+ y+z �y + z z + x x + y � 2 x+ y+ z P= ( x xy − z ) + + 1 2 2 DÊu “=” x¶y ra � x = y = z = 3 2 VËy min P = 1 � x = y = z = 3 y+z x2 NhËn xÐt: Ta ®· thªm vµo h¹ng tö thø nhÊt cã trong 4 y+z ®Ò bµi, ®Ó khi vËn dông B§T C«si cã thÓ khö ®îc (y + z). Còng nh vËy ®èi víi 2 h¹ng tö cßn l¹i cña ®Ò bµi. DÊu ®¼ng thøc x¶y 2 ra ®ång thêi trong (1), (2), (3) � x = y = z = 3 x2 y2 z2 NÕu ta lÇn lît thªm (y + z), (x + z), (x + y) vµo ; ; th× y+ z x+ z x+ y ta còng khö ®îc (y + z), (x + z), (x + y) nhng ®iÒu quan träng lµ kh«ng t×m ®îc c¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ®Ó dÊu cña c¸c ®¼ng thøc ®ång thêi x¶y ra, do ®ã kh«ng t×m ®îc GTNN cña P. NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  14. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. ¸p dông c¸c c¸ch trªn cïng víi viÖc sö dông B§T C«si ta cã c¸c vÝ dô kh¸c nh sau: VD 1: Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n: a + b + c = 1 � 1�� 1�� 1� 1+ � T×m GTLN cña P = � 1+ � � 1+ � � a b c � � � � � � 3 1 1 Ph©n tÝch: a, b, c > 0 ۳ abc 3 3 3 abc Do ®ã cã thÓ khai triÓn P råi íc lîng theo B§T C«si Bµi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 C¸ch 1: P = 1 + + + + + + + a b c ab bc ac abc ¸p dông B§T C«si cho 3 sè d¬ng ta cã: 1 a + b+ �۳ c 3 3 abc 1 3 3 abc abc 33 (1) 1 ۳ 33 = 27 abc MÆt kh¸c: 2 1 1 1 �1 � + + 3 3 � � 33 = 27 ab ac bc �abc � (2) 1 1 1 1 + + 33 32 a b c abc (1) + (2) ta cã: P 1 + 32 + 27 + 27 = 64 . VËy min P = 64 C¸ch 2: a +1 b +1 c +1 1 P= . . = . ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) a b c abc 1 P= ( a + a + b + c) ( b + a + b + c) ( c + a + b + c) abc 43 4 4 4 4 P a b c = 43 = 64 abc Tæng qu¸t: cho S = a + b + c NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  15. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. � 1�� 1�� 1� 1+ � t×m GTLN cña P = � 1+ � � 1+ � � a b � c � � � � � x −1 y−2 VD 2: T×m GTLN cña B = + x y Bµi gi¶i x −1 1.( x − 1) 1+ x −1 1 = = x x x 2 y−2 2. ( y − 2 ) 2+ y−2 1 2 = = = y y y 2 2 4 1 2 2+ 2 �x − 1 = 1 �x = 2 max B = + = �� � � 2 4 4 �y − 2 = 2 �y = 4 VD 3: Cho 2 sè d¬ng x, y cã x + y = 1 � 1 �� 1 � 1− T×m GTNN cña B = � � 2 � 1− 2 � � x �� y � Bµi gi¶i � 1 � � 1 � 2 1− Ta cã: B = � 2 � �1− 2 �=1+ � x � � y � xy CS 2 1 ( x y) 2 4 xy 8 B+ 9 = xy 1 VËy min B = 9 � x = y = 2 1 1 1 VD 4: Cho x, y, z > 0 tho¶ m·n: 1 + x + 1 + y + 1 + z 2 T×m GTNN cña P = xyz Bµi gi¶i 1 � 1 �� 1 � y z yz Ta cã: 1− � �+ � 1− �= + 2 1+ x � 1+ y � � 1+ z � 1+ y 1+ z (1+ y) (1+ z) NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  16. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. 1 zx 2 1+ y ( 1+ x) ( 1+ z) 1 T¬ng tù: 1 xy � P = xyz � 2 8 1+ z ( 1+ x) ( 1+ y) 1 1 VËy max P = �x= y=z= 8 2 VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + 6 |x| + 1 TÝnh gi¸ trÞ cña M biÕt x, y lµ 2 sè tho¶ m·n x.y = 1 vµ biÓu thøc |x + y| ®¹t GTNN. Bµi gi¶i: CS Ta cã: ( x + y ) 2 4 xy = 4 � x + y �2 xy = 1 Min |x + y| = 2 khi x = y, khi ®ã x+ y =2 Khi x = y = 1 hoÆc x = y = - 1 + Khi x = y = 1 th× M = 9 + Khi x = y = - 1 th× M = 17 VD 6: Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m a1, …, a5 tho¶ m·n: a1 + … + a5 =1 T×m GTLN cña A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Bµi gi¶i Ta cã: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 (a1 + a3 + a5)(a2 + a4) NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  17. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. ( a1 + a3 + a5 ) ( a2 + a4 ) ( a1 + a3 + a5 ) ( a2 + a4 ) 2 2 �1 � + � � ( a+1 a+3 a5 ) ( a2 a4 ) �2 � 1 A 4 1 1 1 a1 = a2 = VËy max A = � a1 + a3 + a5 = a2 + a4 = � 2 4 2 a3 = a4 = a5 = 0 VD 7: Cho a, b > 0. T×m GTNN cña A = ( x + a) ( x + b) ( x > 0) x Bµi gi¶i A= ( x + a) ( x + b) = x 2 + ax + bx + ab = a +b + x + ab x x x + +A=�a + b+ 2 ab min A a b 2 ab . ab DÊu “=” x¶y ra � x = � x = ab x 2 1 VD 8: T×m GTNN cña hµm y = + víi 0 < x < 1 1− x x Bµi gi¶i 2 1 2 −2 x +2 x 1 −x +x + = + Ta cã: y = 1 −x x 1 −x x ( 0 < x < 1) 2x 1 − x 2x 1− x = 3+ + 3+ 2 . = 3+ 2 2 1− x x 1− x x 2x 1− x DÊu “=” x¶y ra � = � x = 2 −1 1− x x VD 9: Cho a, b > 0 cho tríc. NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  18. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. a b C¸c sè x, y > 0 thay ®æi sao cho + =1 x y T×m x, y ®Ó S = x + y ®¹t GTNN. T×m min S theo a, b. Bµi gi¶i a b �a b � bx y + = 1 � S = ( x + y ) � + �= a + b + + Ta cã: x y �x y � y x bx ay S+ ab + =2 . +a b 2 ab y x ay bx � min S = a + b + 2 ab � = x y a b x = a + ab Mµ + =1 x y y = b + ab 4 x 4 + 16 x3 + 56 x 2 + 80 x + 356 VD 10: T×m GTNN cña P = x2 + 2 x + 5 Bµi gi¶i 4 x 4 + 16 x3 + 56 x 2 + 80 x + 356 Ta cã: P = x2 + 2 x + 5 256 CS = 4 ( x + 2 x + 5) + 2 2 64 x + 2x + 5 Suy ra min P = 64 x = 1 hoÆc x = - 3 Bµi tËp t¬ng tù BT 1: Cho x, y > 0 tho¶ m·n x. y = 1. T×m GTLN cña A = x y + 2 x +y 4 2 x + y4 BT 2: T×m GTLN cña c¸c biÓu thøc sau: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  19. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. A = x 1 − x2 yz x −1 + xz y − 2 + xy z − 3 B= xyz x 2 +1 C= ; ( x 0) x +2 −8 D= 2 3x + 2 x 2 −1 E= 2 x +1 x 2 − x +1 F= 2 ; ( x 0) x + x +1 x 2 − x +1 G= 2 x − 2 x +1 x 2 ( H= ; x 0) ( x + 2000 ) 1 1 1 BT 3: Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n + + = 2 . T×m GTLN 1+ a 1+ b 1+ c cña biÓu thøc Q = abc. BT 4: Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y = 1. T×m GTNN cña biÓu thøc � 1� � 1� 1+ � P= � 1+ � � x� �y � � BT 5: T×m GTNN cña c¸c biÓu thøc sau: NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
  20. Mét sè øng dông cña bÊt ®¼ng thøc C«si. x2 + 4x + 4 A= ; ( x > 0) x x2 B= ; ( x > 1) x −1 x2 + x + 2 C= x2 + x + 1 � 1� D = (1+ x) � 1+ � ; ( x > 0) � x� 2 �x 2 � E = ( x + 1) + � + 2 �; ( x −1) 2 �x + 1 � x 5 F= + ; x ( 0,1) 1− x x x 2 G= + ; ( x > 1) 2 x −1 BT 6: Cho x, y > 0 th¶o m·n x 2 + y 2 = 4 . T×m GTNN cña biÓu thøc 2 2 � 1� � 1� E = �x + �+ �y + � � y� � x� BT 7: T×m GTLN vµ GTNN cña A = 3 + x + 6 − x ; ( −3 x 6 ) x, y −1 BT 8: T×m GTLN cña A = x + 1 + y + 1 biÕt x+ y =2 BT 9: Cho a, b > 0 tho¶ m·n a. b = 216 T×m GTNN cña S = 6a + 4b 1 BT 10: Cho a, b > 0 tho¶ m·n a + 1. b a b T×m GTNN cña A = + b a a 3 BT 11: Cho a, b > 0 tho¶ m·n . ab 6 T×m GTNN cña S = a 2 + b 2 NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2