Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức" có nội udng trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: bất đẳng thức cosi, bất đẳng thức bunhia, phương pháp biến đổi tương đương, đồng thời cung cấp các bài tập để các em ôn tập và củng cố kiến thức môn học. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .............................................................................................................................. 2 DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH ........................................................................................................... 2 DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP. ................................................ 3 DẠNG 3: QUA MỘT BƢỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .............................. 4 DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI ............................................................................................................................... 7 DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP ........................................................................ 7 DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ............................................................... 10 DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN.................................................................................................... 13 II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ................................................................................................................... 15 III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ................................................................................... 18 DẠNG 1: ĐƢA VỀ BÌNH PHƢƠNG ............................................................................................................ 18 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT .................................................... 20 DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca .......................................................................................................................... 22 DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH KHÔNG ÂM..................................................................................................................................................... 22 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1 ............................................ 25 DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU ...................................................................................... 27 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ................................................................................. 75 I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI....................................................................................................................... 75 II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ............................................................................................................... 77 III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ................................................................................... 77 1
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1. Dạng hai số không âm x, y  Dạng tổng sang tích: x  y  2 xy . x y  x y 2  Dạng tích sang tổng: xy  hay xy    . 2  2  x2  y 2  Dạng lũy thừa: x 2  y 2  2 xy hay xy  . 2 Dấu "  " xảy ra  x  y . x2  1  Dạng đặc biệt: x  x.1  . 2 2. Dạng ba số không âm x, y, z  Dạng tổng sang tích: x  y  z  3 3 xyz . x yz  x yz 3  Dạng tích sang tổng: 3 xyz  hay xyz    . 3  3  x3  y 3  z 3  Dạng lũy thừa: x3  y3  z 3  3xyz hay xyz  . 3 Dấu "  " xảy ra  x  y  z . x3  1  1  Dạng đặc biệt: x  x.1.1  . 3 3. Dạng tổng quát với n số không âm x1 , x2 ,..., xn  Dạng tổng sang tích: x1  x2  ...  xn  n n x1 x2 ...xn . x  x  ...  xn  x  x  ...  xn  n  Dạng tích sang tổng: x1 x2 ...xn  1 2 n hay x1 x2 ...xn   1 2  . n  n  x  x2  ...  xn n n n  Dạng lũy thừa: x1n  x2n  ...  xnn  x1 x2 ...xn hay x1 x2 ...xn  1 . n Dấu "  " xảy ra  x1  x2  ...  xn . xn  n  1  Dạng đặc biệt: x  x.1.1...1  . n 1 n 4. Bất đẳng thức trung gian 1 1 4    x  0, y  0 . Dấu "  " xảy ra  x  y . x y x y 1 1 1 9     x  0, y  0, z  0 . Dấu "  " xảy ra  x  y  z . x y z x yz DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH 1 Ví dụ 1. Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  8 x 2  4 x   15 . 4 x2 Lời giải 2
 1  Có T   4 x 2  4 x  1   4 x 2  2   14  4x   1  1   2 x  1   4 x 2  2   14  0  2 4 x 2 . 2  14  16 2  4x  4x 1 Vậy MinT  16 khi x  2 1 Ví dụ 2. Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  4 x 2  3x   2011 . 4x Lời giải 1 Có M  4 x 2  4 x  1  x   2010 4x  1  1   2 x  1   x    2010  0  2 x.  2010  2011 . 2  4x  4x 1 Vậy MinM  2011 khi x  2 x2  y 2 Ví dụ 2. Cho x  y  0 và xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H  . x y Lời giải x  y  2 xy  2 xy  x  y   4 2 2 2 Có H   x y x y 4 4   x  y  2  x  y .  4. x y x y  4  x  y  x  y  2 y  2  x x  3 1 Vậy Min H  4 khi  x y    2  .  xy  2  xy  2  x  2 x  2  0   y  3  1  DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP. Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh : a b  1  b a  1  ab Lời giải 1  (b  1) b ab Có b  1  1.(b  1)    a b 1  ; 2 2 2 ab ab ab V| tƣơng tự: b a  1   a b 1  b a 1    ab  đpcm 2 2 2 Dấu ‘=” xảy ra khi a = b = 2 11abc Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ 1. Chứng minh: ab c  1  bc a  9  ca b  4  12 Lời giải: Có: 3
bc ca ab c  1  bc a  9  ca b  4  ab (c  1).1  . (a  9).9  . (b  4).4 3 2 (c  1)  1 bc (a  9)  9 ca (b  4)  4 11abc  ab.  .  .  2 3 2 2 2 12 Dấu “=” xảy ra khi a = 18, b = 8, c = 2 Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ 2. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: M = a b(a  2b)  b a(b  2a) Lời giải Xét: 3b  (a  2b) 3a  (b  2a) a 2  b 2 M . 3  a. 3b(a  2b)  b 3a(b  2a)  a.  b.   5ab 2 2 2 a 2  b2 a 2  b2   5. 6 M 2 3 2 2 Vậy MaxM = 2 3 khi a = b = 1 Ví dụ 4. Cho x  0 , y  0 và x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 14 x  10 y   y 14 y  10 x  Lời giải Xét: P. 24  24 x 14 x  10 y   24 y 14 y  10 x  24 x  14 x  10 y  24 y  14 y  10 x     24  x.1  y.1 2 2  x2  1 y 2  1   x2  y 2  1  48  24     24    48  P   P4 6.  2 2   2  24 Vậy MaxP  4 6 khi x  y  1 . Ví dụ 5. Cho x  0 , y  0 và xy  x  y   x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  y . Lời giải Từ xy  x  y   x  y  x  y 1  4 xy    x  y   x  y 2 2 1 và x  y  xy  x  y   4 xy  x  y    2 2 2 2 2 4   x  y  4 x  y  0  x  y  4 . 2  x  y   4 xy   x  y   8 xy   xy  2 2 2 Dấu "=" xảy ra khi    x  y  4  x  y  4  x  y  4  x , y là hai nghiệm phƣơng trình t 2  4t  2  0  t  2  2 . Do x  y  x  2  2 , y  2  2 . Vậy MinP  4 khi x  2  2 , y  2  2 . DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Ví dụ 1. Cho a , b , c  0 và ab  bc  ac  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 4
a b c P   . a2  1 b2  1 c2  1 Lời giải Thay 1  ab  bc  ac , ta đƣợc: a b c P   a 2  ab  bc  ac b2  ab  bc  ac c 2  ab  bc  ac a b c     a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b  a a b b c c  .  .  . ab ac ba bc ca c b a a b b c c     ab ac  ba bc  ca cb 2 2 2  a b   a c   b c         ab ab  ac ac  bc bc  3   2 2 3 1 Vậy MaxP  khi a  b  c  . 2 3 Ví dụ 2. Cho các số dƣơng a , b , c thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh: ab bc ca 3    c  ab a  bc b  ca 2 Lời giải ab bc ca ab bc ca Ta có      c  ab a  bc b  ca c.1  ab a.1  bc b.1  ca ab bc ca    c  a  b  c   ab a  a  b  c   bc b  a  b  c   ca ab bc ac     a  c  b  c   a  b  a  c   b  c b  a  a b b c c a  .  .  . ac cb a b a c bc ba 1  a b   b c   c a  3          ( đpcm). 2  c  a c  b   a  b a  c   b  c a  b   2 Ví dụ 3. Cho a  0 , b  0 , c  0 và ab  bc  ac  3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của a2 b2 c2 P   . c  c 2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2  Lời giải 2 2 2 a b c Có P    c  c 2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2  5
a 2  c 2  c 2 b2  a 2  a 2 c 2  b2  b2    c  c 2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2  1 c  1 a  1 b    2  2    2   2 2 2    c c a   a a b  b b c  1 c  1 a  1 b           c 2 c a  a 2 a b  b 2 b c  2 2 2 2 2 2  1 1   1 1   1 1  1  1 1 1  ab  bc  ac 3                .  c 2a   a 2b   b 2c  2  a b c  2abc 2 3 Vậy MinP  khi a  b  c  1 . 2 Ví dụ 4. Cho a  0 , b  0 , c  0 và a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c T   . 1  9b 1  9c 1  9a 2 2 2 Lời giải a 1  9b2   9ab2 b 1  9c 2   9bc 2 c 1  9a 2   9ca 2 Có T    1  9b2 1  9c 2 1  9a 2  9ab2   9bc 2   9ca 2   a   2   b   2   c  2   1  9b   1  9c   1  9a   9ab2   9bc 2   9ca 2   a    b    c    2 1.9b2   2 1.9c 2   2 1.9a 2  3 1 1  a  b  c   ab  bc  ac   a  b  c   a  b  c    do a  b  c  1 . 2 2 2 2 1 1 Vậy MinT  khi a  b  c  . 2 3 1 1 1 1 Ví dụ 5. Cho a , b , c  0 và    2 . Chứng minh: abc  . 1 a 1 b 1 c 8 Lời giải 1 1 1 Có   2 1 a 1 b 1 c 1  1   1  b c cos i b c bc   1     1     2 . 2 . 1 a  1 b   1 c  1 b 1 c 1 b 1 c 1  b 1  c  1 ac 1 ab Tƣơng tự: 2 ; 2 . 1 b 1  a 1  c  1  c 1  a 1  b  Nhân các bất đẳng thức dƣơng, cùng chiều ta đƣợc: 1 8abc 1  hay abc  (đpcm). 1  a 1  b 1  c  1  a 1  b 1  c  8 6
DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI 1 1 1 Tách x  y  z   x  y    y  z    z  x  . 2 2 2 xyz  xy . yz . zx x, y, z  0 . Ví dụ 1. Cho a  0 , b  0 , c  0 và a 2  b2  c2  1 . Chứng minh: ab bc ac bc ca ab a)    abc ; b)    3. c a b a b c Lời giải ab bc ac 1  bc ca  1  ca ab  1  ab bc  a) Có             c a b 2 a b  2 b c  2 c a  1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc  .2 .  . .  . .  a  b  c (đpcm). 2 a b 2 b c 2 c a 2  bc ca ab  b c c a a b 2 2 2 2 2 2 b) Xét      2  2  2  2  a 2  b2  c 2   a b c  a b c 1  b 2 c 2 c 2 a 2  1  c 2 a 2 a 2b 2  1  a 2b 2 b 2 c 2    2  2   2  2   2  2 2 2 a b  2 b c  2 c a  1 b2c 2 c 2 a 2 1 c 2 a 2 a 2b 2 1 a 2b 2 b 2 c 2  .2 .  .2 .  .2 . 2 a 2 b2 2 b2 c 2 2 c2 a2 bc ac ab  a2  b2  c2  2  3 , do đó    3 (đpcm). a b 2 Ví dụ 2. Cho a, b, c l| độ d|i ba cạnh của ABC . Chứng minh (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc . Lời giải Vì a, b, c l| độ d|i ba cạnh của ABC nên a  b  c  0, b  c  a  0,c  a  b  0 . (a  b  c)  (b  c  a) Có 0  (a  b  c)(b  c  a)  b; 2 (b  c  a)  (c  a  b) 0  (b  c  a)(c  a  b)   c; 2 (c  a  b)  (a  b  c) 0  (c  a  b)(a  b  c)  a; 2 Nh}n ba đẳng thức dƣơng cùng chiều ta đƣợc (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc (điều phải chứng minh). DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến. Bước 2: Kẻ bảng xác định số nào sẽ đi với nhau. Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cô-si. 5 Ví dụ 1. Cho a  2 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a  . a Lời giải Phân tích bài toán 7
a 2 3 4 13 23 37 P  6,5  7, 7  9, 25 2 3 4 13 Từ bảng thứ nhất dự đo{n min P   a  2. 2 1 a a 1 a2 2 2 1 a 5 5a Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với . a 4 a 4 Trình bày lời giải  5 5a  3a 5 5a 3a 3a 3.2 13 Có P      2    5  5  ( do a  2) . a 4  4 a 4 4 4 4 2  5 5a 13   Vậy min P  khi  a 4  a  2 (thỏa mãn). 2  a  2 6 24 Ví dụ 2. Cho x  0, y  0 và x  y  6 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y   . x y Lời giải Phân tích bài toán ( x ; y) (1 ; 5) (2 ; 4) (3 ; 3) (4 ; 2) (5 ; 1) 84 39 156 F  16,8 15 16  19,5  31, 2 5 2 5 Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n min F  15 khi x  2, y  4 . 1 1 x y x y 1 1 x  2, y  4 2 4 2 4 1 x 6 6 x 3x 1 y 24 Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với  ; sẽ đi với nên sẽ đi với x 4 x 4 2 y 16 y 24 y 3 y  . 16 4 Trình bày lời giải Có  6 3x   24 3 y   x y  F         x 2   y 2  2 2 6 3x 24 3 y 1 1 2  2   ( x  y )  18  ( x  y ) x 2 y 2 2 2 1  18   6  15 (do x  y  6). 2 8
6 3x 24 3 y x  2 Vậy min F  15 khi  ;  ;x y  6   (thỏa mãn). x 2 y 2 y  4 28 1 Ví dụ 3. Cho x  0, y  0 và x  y  3 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x 2  y 2   . x y Lời giải Phân tích bài toán  x; y  1; 2   2;1 69 P  34,5 24 2 Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n min P  24 khi x  2, y  1 . 1 1 x y x y 1 x  2, y  1 2 1 1 2 1 x 28 28 x 1 Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với  7x ; se đi với y . x 4 x 4 y Trình bày lời giải Có  28  1  P    7 x     y   2x2  y 2  7 x  y  x  y   28  1     7 x     y   2( x  2) 2  ( y  1) 2  ( x  y )  9  x  y  28 1 2  7x  2  y  0  0  3  9  24. x y 28 1 Vậy min P  24 khi  7 x;  y; x  2  0; y  1  0; x  y  3  x  2, y  1 . x y Ví dụ 4. Cho 2  x  3, 4  y  6, 4  z  6 và x  y  z  12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xyz . Lời giải Nhận xét: Do y và z vai trò nhƣ nhau nên sử dụng bất đẳng thức Cô-si đối với tích yz , ta đƣợc  yz 1 2 P  x( yz )  x    x(12  x)(12  x) .  2  4 Đến đ}y ta kẻ bảng để dự đo{n gi{ trị lớn nhất của P x 2 3 243 P 50  60, 75 4 243 Từ bảng thứ nhất dự đo{n max P  khi x  3 . 4 x 12  x x3 3 9 Từ bảng thứ hai, ta suy ra 3x sẽ đi với 12  x nên ta biến đổi 9
1  x  24  1  3  24  243 3 3 1 P  [(3x)(12  x)(12  x)]        . 12 12  3  12  3  4 243 9 Vậy max P  khi x  3, y  z  . 4 2 DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ  Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ.  Một số bất đẳng thức trung gian thƣờng dùng:  Với mọi a, b thì 2  a 2  b2   (a  b)2  4ab . Dấu bằng xảy ra khi a  b .  Với mọi a, b, c thì 3  a 2  b2  c 2   (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) . Dấu bằng xảy ra khi a  b  c . a 2  b2  a  b  a 3  b3  a  b  2 3  Với mọi a, b thì   a, b;   a  b  0 . Dấu bằng xảy ra khi a  b . 2  2  2  2  1 1 4    a  0, b  0 . Dấu bằng xảy ra khi a  b . a b ab 1 1 1 9     a  0, b  0, c  0 . Dấu bằng xảy ra khi a  b  c . a b c a bc x 8 x 2y Ví dụ 1. Cho x  0, y  0 và   2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K   . 2 y y x Lời giải x x 8 x 8 x x 1 1 Đặt a , do 2 2 . 4 0 a y 2 y 2 y y y 4 4 2 2 2 K a 32a 31a 2 .32a 31a a a a Có 1 33 1 16 31a 16 31. do 0 a 4 4 4 33 1 Vậy MinK khi a hay x 2, y 8. 4 4 2 x y 1 xy x y Ví dụ 2. Cho x 0, y 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 xy x y x y 1 2 x y 1 xy x y 1 Đặt a 2 xy x y x y 1 a 2 2 Do m n p 3(mn np pm) x y 1 3 xy x y a 3 10 Vậy MinA khi a 3 x y 1. 3 x2 y2 xy Ví dụ 3. Cho x 0, y 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A xy x y Lời giải 10
2 2 2 x y 2 xy xy x y xy x y xy Có A 2 2 xy x y xy x y xy x y x y x y Đặt t , do x y 2 xy 2 t 2 xy xy 1 t2 1 7 2 Cos i t2 1 7 2 Ta đƣợc A t2 2 t 2 2 . t 2 t 8 t 8 8 t 8 t 7 2 2 7 2 5 t 2 .2 2 (do t 2 ). 2 8 2 8 2 5 Vậy MinA khi t 2 x y . 2 Ví dụ 4. Cho a 0, b 0, c 0 thỏa mãn b2 c2 a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 1 P 2 b c2 a2 2 a b c2 Lời giải 2 1 2 1 1 2bc 2a bc a2 Có P b c2 a2 2 a2 b2 c2 a2 bc a2 bc a 2 b2 c 2 2bc Dặt t 2 ta đƣợc bc bc bc 1 t 1 3t t 1 3t 3t 3.2 P 2 t 2 22 . 21 21 5 (do t 2 ). t 4 t 4 4 t 4 4 4 b c a Vậy MinP 5 khi 2 2 2 b c b c a 2 1 1 Ví dụ 5. Cho x 0, y 0 và x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 1 x2 y 2 x y Lời giải 1 1 1 Có P 2 . . 1 x2 y 2 2 xy x y x. y 2 x y 1 1 Đặt a xy , do xy 0 a , ta đƣợc 2 4 4 1 1 1 1 1 P 2 a 2 16a 15a 2 2 .16a 15a 2 8 15a 2. 8 15. 17 do 0 a a a a 4 4 1 1 MinP 17 khi a hay x y 4 2 1 1 Ví dụ 6: Cho x 0, y 0 và x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 2 4 xy . x y xy Lời giải 11
1 1 1 1 1 4 Có P 2 2 4 xy . Sử dụng a, b 0 , ta đƣợc x y 2 xy 2 xy a b a b 1 1 4 4 4 1 2 2 2 4(do 0 x y 1) . Suy ra P 4 4 xy . x y 2 xy x y2 2 xy (x y) 2 12 2 xy 2 x y 1 1 Đặt a = xy, do xy 0 a ta đƣợc 2 4 4 1 1 1 1 1 P 4 4a 4 8a 4a 4 2 .8a 4a 8 4a 8 4. 7 (do 0 a ) 2a 2a 2a 4 4 1 MinP 7 khi x y 2 2 2 1 1 Ví dụ 7: Cho x,y >0 và x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x y x y Lời giải 2 2 2 a b a b 1 1 4 Cách 1: Sử dụng a, b và a, b 0. 2 c a b a b 2 2 2 1 1 1 1 x y x y 2 x y x y 1 4 ta đƣợc K 2. 2. x y 2 2 2 x y Đặt a x y , điều kiện 0 a 1, ta đƣợc: 2 2 2 1 4 1 1 3 1 1 3 K a a 2 a. 2 a 2 a a 2 a a 2 2 1 3 1 3 25 25 1 2 . 2 (do 0 a 1 ). Vậy, MinK khi x y . 2 a 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Cách 2: K x y x2 y2 4 2. xy 4. x y x2 y2 xy 2 x y 1 1 Đặt a xy, do xy 0 a . Ta đƣợc: 2 4 4 1 15 1 15 25 1 25 1 K 2. 4 2. 4 do 0 a . Vậy, MinK khi x y . 2 4a 2 1 2 4 2 2 4. 4 3 3 1 1 Ví dụ 8: Cho x 0, y 0 và x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 1 x 1 y x y Lời giải a b  ab  3 3 3 1 1 4 Sử dụng   a  b  0 và +  a  b  0 , ta đƣợc 2  2  a b ab 12
3 1  1 3  3  1 1 1  x    1  y    1 x  x 1 y  y   x  y S  2.  2  2  2      Đặt a  x  y , điều kiện 0  a  1, ta đƣợc 3 1 1 3 1 3 4 1  1  3 3 3 3 1 3 1 3  343 S   2  a    2   a       2  2 a.     4     4    4 a 4  a  a 4 a a 4 a  4 1 4 343 1 Vậy MinS  khi x  y  4 2 DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN 2 4 Ví dụ 1. Cho x, y  0 và 2 x2  2 xy  y 2  2 x  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    2x  3y . x y Lời giải Có 2 x  2 xy  y 2 x  8  x  2 xy  y  x  2 x  1  9 2 2 2 2 2   x  y    x  1  9 , mà  x  y    x  y    x  1   x  y   9  0  x  y  3 2 2 2 2 2 2 2  4  2 4 Có P    2 x     y   4 x  4 y  2 .2 x  2 . y  4( x  y) x  y  x y  8  4( x  y)  8  4.3  4 (do 0  x  y  3 ). Vậy MinP  4 khi x  1, y  2 . Ví dụ 2: Cho a 0, b 0, c 0 thỏa mãn 2 b2 bc c2 3 3 a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 thức T a b c a b c Lời giải 2 2 2 2 2 Có 2 b bc c 33 a 3a 2b 2bc 2c 2 9 3a2 2b2 2bc 2ab 2ac 2c2 2ab 2ac 9 a2 b2 c 2 2ab 2bc 2ca a 2 b2 2ab a2 c2 2ac 9 2 2 2 2 a b c a b a c 9 a b c 9 0 a b c 3 1 1 1 9 18 Sử dụng ta đƣợc T a b c a b c a b c a b c Đặt x a b c, 0 x 3 , ta đƣợc 18 18 18 T x 2x x 2 .2 x x 12 x 12 3 9 (do 0 x 3) x x x Vậy MinT 9 khi x 3 hay a b c 1 Ví dụ 3: Cho a 0, b 0 và a3 b3 6ab 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 3 P 2 2 ab a b ab Lời giải 13
Có a3 b3 6ab 8 a3 b3 3a2b 3ab2 3a2b 3ab2 6ab 8 3 3 a b 3ab a b 2 8 a b 23 3ab a b 2 0 2 a b 2 a b 2 a b 4 3ab a b 2 0 a b 2 a2 b2 ab 2a 2b 4 0 a b 2 2a 2 2b2 2ab 4a 4b 8 0 2 2 2 a b 2 a b a 2 b 2 0 0 a b 2 1 5 1 Có P 2 ab 2 a b 2ab 2ab 1 1 4 Sử dụng x, y 0 , ta đƣợc: x y x y 1 1 1 4 4 2 2 2 2 2 1 (do 0 a b 2) a b 2ab a 2ab b a b 22 5 Suy ra P 1 ab 2ab 2 a b 22 Đặt x ab , do ab 1 0 x 1 , ta đƣợc: 2 2 5 5 5 x 3x P 1 x 1 2x 2x 2 2 5 5 x 3x 3x 3.1 9 1 2 . 6 6 (do 0 x 1 ) 2x 2 2 2 2 2 9 Vậy MinP khi a b 1 2 Ví dụ 4: Cho a 0, b 0 và a 2 b2 a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2020 P a 4 b4 2 a b Lời giải 2 2 2 x y x y Sử dụng , ta đƣợc 2 2 2 2 2 2 a2 b2 a b a b a b a b a b 2. 2 1 0 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2 b2 2020 a2 b2 2020 a b 2020 P 2. 2 2 2 2 2 a b 2 a b 2 a b 2 Đặt x a b , ), 0 x 4 , ta đƣợc: x 2020 x 8 2012 x 8 2012 P 2 . 2 x 2 x x 2 x x 14
2012 2012 4 4 50 (do 0 x 4) x 4 Vậy MinP 507 khi x 4 hay a b 1 x2 y2 Ví dụ 5: Cho x 0, y 0 và x 1 y 1 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y x Lời giải Có x 1 y 1 4 xy x y 3 3 xy x.1 y.1 x y x 1 y 1 Mà xy x.1 y.1 x y 1 , suy ra x y 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 Có P y x x y y x y x x2 y2 2 .y 2 .x x y x y 2 y x Vậy MinP 2 khi x y 1 II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 1. Dạng bộ hai số a; b và x; y bất kỳ 2  ax by a2 b2 x 2 y2 x y Dấu " " xảy ra a b 2 2  Đặc biệt x y 1.x 1. y 12 12 x 2 y2 2. Dạng bộ ba số a; b; c và x; y; z bất kì 2  ax by cz a2 b2 c 2 x2 y2 z2 x y z Dấu " " xảy ra a b c 2 2  Đặc biệt x y z 1.x 1. y 1.z 12 12 12 x 2 y2 z2 3. Dạng tổng quát bộ n số a1; a2 ; ; an và x1; x2 ; ; xn 2  a1 x1 a2 x2 an xn a12 a22 an2 x12 x22 xn2 x1 x2 xn Dấu " " xảy ra a1 a2 an Quy ƣớc trong dấu " " xảy ra, nếu mẫu nào bằng 0 thì tử tƣơng ứng bằng 0. Ví dụ 1. Cho 4x + 9y = 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 9y2 Lời giải 15
Bunhia Có 13 = (4x + 9y) = (2.2x + 3.3y)  (22 + 32)(4x2 + 9y2) = 13A  A  13 2 2 2 Ví dụ 2. Cho 4x + 3y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 3y2 Lời giải Bunhia 1 Có 12 = (4x + 3y)2 = (2.2x + 3 . 3 y)2  (4 + 3)(4x2 + 3y2) = 7A  A  7  2x 3x 1  = 1 Vậy MinA = khi  3y 3 x=y= 7 4x + 3y = 1 7  Ví dụ 3. Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 v| x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 + z2 Lời giải Bunhia 4 Có 22 = (1.x + 1.y + 1.z)2  (12 + 12 + 12)( x2 + y2 + z2) = 3A  A  3 x y z 4  =  2 Vậy MinA = khi  1 1 1 x=y= 3  3 x + y + z = 2 6 Ví dụ 4. Cho 3x2 + 2y2 = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y 35 Lời giải 2  2 3  Có S2 = (2x + 3y)2 =  . 3x + . 2y   3 2  Bunhia 4 9  +   3x +2y  =  3x 2 +2y 2   35 35 6  2 2 . =1  S  1 3 2 6 6 35  3x 2y  4y  4  2 = 3  3x 2y  x= x =   =  9  35 Vậy MaxS = 1   2 3    3 2   8y y = 9  2x + 3y = 1  + 3y = 1  2x + 3y = 1 9  35 1 Ví dụ 5. Cho 4a2 + 25b2 ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 6a – 5b 10 Lời giải Có H = (6a – 5b) = (3.2a + (–1) .5b) 2 2 2 Bunhia 1  (9 + 1)(4a2 + 25b2) = 10(4a2 + 25b2) ≤ 10. =1  H≤1 10 16
 3  2a 5b  a=  = 2a + 15b = 0  20 Vậy MaxH = 1  3 -1    18a - 15b = 3 b = - 1 6a - 5b = 1   50 3 Ví dụ 6. Cho x2 + y2 + z2 = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z 4 Lời giải Bunhia 3 19 3 Có P2 = (1.x + 1.y + 1.z)2  (12+ + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) = 3. =  P≤ 4 4 2 x y z  1 =  3 Vậy MaxP = khi  1 1 x=y=z= 1 2 x + y + z = 3 2  2 Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x - 1 + 3 - x khi 1 ≤ x ≤ 3 Lời giải  Có P2 = 1. x - 1 + 1. 3 - x  2 Bunhia  1 2  12   x-1 + 3-x 2 2  =4  P≤2 x 1 3 x Vậy MaxP = 2 khi   x = 2 (thỏa mãn) 1 1 Ví dụ 8. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 3. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức K = 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5 Lời giải   2 Có K2 = 1. 4a + 5 + 1. 4b + 5 + 1. 4c + 5 Bunhia  (12+ + 12 + 12)( 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5) = 3[4(a + b + c) + 15] = 3(4.3 + 15) = 81  K ≤ 9  4a + 5 4b + 5 4c + 5  = = Vậy MaxK = 9 khi  1 1 1  a=b=c=1 a + b + c = 3  Ví dụ 9. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 1. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức P= b+c + c+a + a+b Lời giải   2 Có P2 = 1. b + c + 1. c + a + 1. a + b   Bunhia  2 2 2 (12+ + 12 + 12) b+c + c+a + a+b = 6 (a +b + c) = 6  P  6 17
 a+b b+c c+a  = = 1 Vậy MaxP = 6 khi  1 1 1  a=b=c= a + b + c = 1 3  Ví dụ 10. Cho a, b, c ≥ 0 v| a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a+b b+c c+a M= + + 2 2 2 Lời giải    = 1.  1 +1   a+b  =2  a+b  2 2 Bunhia  a+ b a +1. b  2 2    c  = 1. c 1 +1   b+c  =2  b+c  2 2 Bunhia Ta có  b+ b +1.  2 2    c+ a  = 1. a 1 +1   c+a  =2  c+a  2 2 Bunhia c +1.  2 2   Suy ra a+ b  2(a+b), b + c  2(b+c), c+ a  2(c+a) 2  a + b+ c   2  a+b + b+c + c+a  a+b b+c c+a  a + b+ c  + + hay M ≥ 3 2 2 2 Vậy MinM = 3 khi a = b = c = 1 III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG  A2 ± m ≥ 0 ± m ; - A2 ± m ≤ 0 ± m Dấu “=” xảy ra khi A = 0.  A2 + B2 ± m ≥ 0 + 0 ± m; - A2 - B2 ± m ≤ 0 + 0 ± m Dấu “=” xảy ra khi A = 0, B = 0. Ví dụ 1. Cho x ≥ - 2; y ≥ 1. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y - 2 x + 2 - 4 y - 1 + 24 . Lời giải    y - 1 - 4 y - 1  4 + 18 Có A = x + 2 - 2 x + 2  1 + =  x + 2 - 1 +  y - 1 - 2  +18  0 + 0 + 18 = 18 2 2   x + 2 = 1  x = -1 Vậy MinA = 18 khi   ( thỏa mãn)   y - 1 = 2  y = 5 1 Ví dụ 2. Cho x ≥ - . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 5x - 6 2x + 7 - 4 3x + 1 + 2 . 3 18
Lời giải  Có E = 2x + 7 - 6 2x + 7  9 +   3x + 1 - 4 3x + 1  4 - 19 =  2x + 7 - 3 +  3x + 1 - 2  - 19  0 + 0 - 19 = - 19 2 2   2x + 7 = 3 2x + 7 = 9 Vậy MinA = - 19 khi    x = 1 ( thỏa mãn)   3x + 1 = 2 3x + 1 = 4 Ví dụ 3. Cho x  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x  x  1  3 x  7  28. Lời giải Xét 2T = 2 x  2 x  1  6 x  7  56     x  1  2 x  1  1  x  7  6 x  7  9  40      2 2 x 1 1  x  7  3  40  0  0  40  40  T  20   x 1  1  x 1  1 Vậy Min T  20 khi    x  2 (thỏa mãn)   x  7  3  x  7  9 Ví dụ 4. Cho x  15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x2  x  x 2  15  x  3  x 2  15  x  3  38. Lời giải Xét 2F  2 x 2  2 x  2 x 2  15  x  3  2 x 2  15  x  3  76   x 2  15  x  3  2 x 2     15   x  3  x 2  15  2 x 2  15  1  x  3  2 x  3  1        2 2 2  x 2  15  x  3  x 2  15  1  x  3  1  42  0  0  42  42  F  21 Vậy Min F  21 khi x2  15  x  3  1  x  4 (thỏa mãn) Ví dụ 5. Cho a  0, b  0,c  0 và a  b  c  6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T= a 2  4ab  b2  b2  4ab  c2  c 2  4ca  a 2 . Lời giải Chú ý: Với x  0, y  0, ta có 6 x  y  2 x  y 6 x  y 2 2 2 x  4 xy  y  2 2  4 4  x 2  4 xy  y 2   x  y 6 . 2 Vận dụng vào bài toán, ta có T  a  b 6  b  c  6  c  a 6  a  b  c 6  6 6 2 2 2 19
Vậy MaxT  6 6 khi a = b = c =2. Ví dụ 6. Cho a  0, b  0,c  0 , x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S= x2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  z 2 . Lời giải Chú ý: Với x  0, y  0, ta có  a  b  3 a  b a  b 2 2 2 a  ab  b 2 2   4 4 ab  a 2  ab  b 2  2 x y yz zx Vận dụng vào bài toán, ta có S    x  y  z  1. 2 2 2 1 Vậy MinS  1 khi x  y  z  . 3 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT  m  x  n   x  m  x  n   0.  m x n  x m   x  n  0. Ví dụ 1.Cho 2  a, b, c  3 và a 2  b2  c2  22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  a  b  c. Lời giải Vì 2  a  3 nên a  2  0, a  3  0. Suy ra  a  2 a  3  0  a 2  a  6  0  a  a 2  6. Tƣơng tự, ta cũng tìm đƣợc b  b2  6, c  c2  6 Do đó M  a  b  c  a 2  b2  c2  18  22  18  4. a  2, a  3 b  2, b  3  a  b  3, c  2  Vậy MinM =4 khi    a  c  3, b  2  c   2, c  3 b  c  3, a  2  a  b  c  4 Ví dụ 2.Cho x  0, y  0, z  0 thỏa mãn x  y  z  6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2  z 2 . Lời giải  Tìm MinA Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)  12  12  12  x2  y 2  z 2   3 A  A  12. Bunhia Có 62  1.x  1. y  1.z  2 x y z    Vậy MinA = 12 khi  1 1 1  x  y  z  2.  x  y  z  6 Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đo{n min đạt tại x=y=z=2) 20