intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giải phương trình Đại số có dạng đặc biệt nhờ phương pháp lượng giác hóa

Chia sẻ: Mỹ Mỹ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
170
lượt xem 16
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không. Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Giải phương trình Đại số có dạng đặc biệt nhờ phương pháp lượng giác hóa để tìm ra cho mình phương pháp giải nhanh nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải phương trình Đại số có dạng đặc biệt nhờ phương pháp lượng giác hóa

  1. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của  bài toán (thường thông qua phương pháp  ẩn phụ) để  thu được những phương trình đơn giản hơn hay   không!Trong một số  trường hợp ta có thể  chuyển phương trình đại số   thành phương trình lượng giác  thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của  chúng.  I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ CÁCH CHỌN ẨN PHỤ a2 − x2 π π x = a sin t ; − t    hoặc  x = a cos t ;0 t π 2 2 x2 − a2 a �π π � a π x= − ; �\ { 0} hoặc  x = ; t �� ;t [ 0; π ] \ � �� � sin t � 2 2� cos t �2 a2 + x2 π π x = a tan t ; − < t < ;  hoặc  x = a cot gt ;0 < t < π ; 2 2 2 2 �ax � �bx � c.sin t � �+ � �= 1 x= �c � �c � a ; ∀t [ 0 ; 2π ] c.cos t y= a 4 x3 − 3x x = cos t ; 0 t π (giống  4 cos3 t − 3cos t cos3t ) 2 x2 −1 x = cos t ; 0 t π (giống   2 cos 2 t − 1 cos2t ) 2x 2 tan t −π π  (giống  tan 2t  ) x = tan t ;
  2. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ + ĐK :  1 x 1 ẩn phụ  x cos  với  0 .  + Khi đó  1 − x = sin ϕ   ;  sin ϕ �0 � sin ϕ = sin ϕ 2 + Ta có phương trình :  cos3ϕ + sin 3 ϕ = 2 sin ϕ.cosϕ     � ( sin ϕ + cosϕ ) ( 1 − sin ϕ .cosϕ ) = 2 sin ϕ.cosϕ � π� + Đặt   u = sin ϕ + cosϕ = 2 sin � ϕ+ � � 4� π π 5π 2 � π� + Vì :  0 �ϕ+� π−�� + ϕ �� ϕ sin � � 1   � −1 �u � 2 4 4 4 2 � 4� + Thu gọn phương trình theo ẩn u ta được :  (u − 2)(u 2 + 2 2u + 1) = 0  (*) + PT (*) có các nghiệm là :  u = 2 ; u = − 2 + 1 ; u = − 2 − 1 < − 2   (loại) π 2 + Với  u = 2 � ϕ = + k 2π (k �Z ) � x = 4 2 u −1 2 +Vơi  u = sin ϕ + cosϕ =1­ 2 � sin ϕ .cosϕ = = 1− 2 2   Vậy  sin ϕ , cosϕ   là nghiệm PT :  t 2 − (1 − 2)t + 1 − 2 = 0 � t = − 2 + 1 ( 2 − 1)(3 + 2) 2 + Vì  sin ϕ �0 � cosϕ = ­ 2 + 1 − ( 2 − 1)(3 + 2) = x 2  và   x = ­ 2 + 1 − ( 2 − 1)(3 + 2) 2   Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là :  x = 2 2 x x 1 + a2 � � � 1 − a2 � Ví dụ 2: Giải phương trình :  � − � � �= 1  với tham số  a ( 0;1) � 2a � � 2a � x x x x 1 + a2 � � � 1 − a2 � 1 + a2 � � � 1 − a2 �  Giải :  � − � � �= 1 � = � � �+ 1 � 2a � � 2a � � 2a � � 2a � x x x 1 + a2 � � 1 − a2 � � 2a � � + Chia cả hai vế của phương trình cho  � �, ta được :  1 = � 2 �+ � 2 �.  � 2a � 1+ a � � � 1+ a � �π� ϕ + Vì  a ( 0;1)  nên tồn tại góc  ϕ 0; � để cho  tan = a . � � 2� 2 x x � ϕ � � ϕ � �2 tan 2 � � 1 − tan 2 � 2 �� 1 = ( sin ϕ ) + ( cos ϕ ) x x + Thu được phương trình :  1 = � �+ � 1 + tan ϕ � �1 + tan ϕ � 2 2 � � � � � + Hàm số  y = ( sin ϕ ) + ( cos ϕ )   là hàm nghịch biến và ta có : x x      f (2) = ( sin ϕ ) + ( cos ϕ ) = 1 .  2 2 + Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.                                                                                      2                                                    Nguyễn Công Mậu
  3. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ví dụ 3:  Giải phương trình : Giải : 1 1 x2 1 x3 1 x3 2 1 x2 + ĐK :  1 x 1 ẩn phụ  x cos  với  0 + Khi đó  1 − x 2 = sin ϕ   ;  sin ϕ �0 � sin ϕ = sin ϕ � �= 2 + sin ϕ + Phương trình đã cho có dạng lượng giác là :  1 + sin ϕ � ( 1 − cosϕ ) − ( 1 + cosϕ ) 3 3 �   (1) � � ϕ 2 ϕ� ϕ ϕ ϕ ϕ + Vì  1 + sin ϕ = � �sin + cos � = sin + cos   (do  0  nên  sin 0 & cos 0) � 2 2� 2 2 2 2 � 2ϕ ϕ� + Biến đổi (1) được :  2 � sin − cos 2 � ( 2 + sin ϕ ) = 2 + sin ϕ � − 2cosϕ =1 � cosϕ =­ 1 = − 2 � 2 2� 2 2 2   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  x = cosϕ = ­ 2 Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :                                ( 4m − 3) x + 3 + ( 3m − 4 ) 1 − x + m − 1 = 0            (1) Giải : Điều kiện :  −3 x 1. 3 x + 3 + 4 1− x +1 +  (1) � m =                              4 x + 3 + 3 1− x +1 2 2 � x + 3 � � 1− x � �π� ( ) +( ) 2 2 x+3 1− x =4��  ∃ ϕ �+ � �= 1   + Vì :  0;   sao cho : � 2 � � � � � 2� � � � 2 � � 2t 1− t2 ϕ     x + 3 = 2sin ϕ = 2   và  1 − x = 2 cos ϕ = 2   với  t = tan ; t [ 0;1] 1+ t 2 1+ t 2 2 3 x + 3 + 4 1− x +1 −7t 2 + 12t + 9      m = �m= 4 x + 3 + 3 1− x +1 −5t 2 + 16t + 7 −7t 2 + 12t + 9 + Xét hàm số :  f (t ) = ; t [ 0;1] −5t 2 + 16t + 7 −52t 2 − 8t − 60                       f '(t ) = < 0, ∀t [ 0;1] ( ) 2 − 5t 2 + 16t + 7 9 7 +  f (t )  nghịch biến trên đoạn   [ 0;1]  và   f (0) = ; f (1) =    7 9 7 9 + Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm trên đoạn  [ 0;1]  khi và chỉ khi :   m 9 7 Ví dụ 5  :  Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :  x + 1 − x = m     (1)             Giải : ĐK : 0 x 1 Phương trình (1) có nghiệm khi m>0 ( x) +( ) 2 2 (Nhận xét :   1− x = 1  để đặt ẩn phụ)                                                                                        3                                                    Nguyễn Công Mậu
  4. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ x = sin t; �π� + Đặt     với      t 0;    � 1 − x = cos t � 2� � � π� � π� m  + (1)  � sin t + cos t = m � 2 cos � t − �= m � cos � t − �= . � 4� � 4� 2 + Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :   − 2 m 2 + Do điều kiện m>0 ta có :  0 m 2 Ví dụ 6 : Trên đoạn   [ 0;1]   phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :                                         8 x ( 1 − 2 x ) ( 8x − 8 x 2 + 1) = 1    2 4  Giải :  �π� + Vì  x [ 0;1]  nên tồn tại góc  α 0; �  sao cho  x = sin α � 2� � + Ta có ph. trình:  8sin α ( 1 − 2sin α ) ( 8sin α − 8sin α + 1) = 1 � 8sin α .cos 2α .cos 4α = 1 (*) 2 4 2 + Nhận thấy  cos α = 0  không là nghiệm của phương trình (*)nên nhân hai vế của phương trình cho    �π�     cos α �0 � α � 0;  ta được :   � 2� �π �    8sin α .cos α cos 2α .cos 4α = cos α � sin 8α = cos α � sin 8α = sin � − α � �2 � π π k 2π 8α = − α + k 2π α= + 2 18 9              ;   k , m Z �π � π m2π 8α = π − � − α �+ m2π α= + �2 � 14 7 �π� π 5π π 5π + Vì  α 0;  suy ra các nghiệm :  x = sin ; x = sin  ; x = sin  ; x = sin � 2� 18 18 14 14 Ví dụ 7 : Cho hai phương trình : π ( 3+ 2 2) = ( ) ( ) x x x 2 − 1 + 3   (1)    và          (2) 2 + 1 = 2 cos 9  Giả sử x là nghiệm của ph.trình (1). Ch. minh rằng, khi đó x cũng là nghiệm của phương trình   (2) .  Giải :  +  ( 3 + 2 2 ) = ( ) ( ) x x 2x 1 2 −1 + 3 � 2 +1 = +3 ( ) x 2 +1 1 1 ( ) x 2 + 1 = 2t    với t > 0. Khi đó phương trình (1) trở thành : 4t = + 3 � 4t 3 − 3t =  .  2 + Đặt    2t 2 + Xét  t �( −1;1)  , đặt  t = cos α , α ( 0; π )  ta được                                                                                        4                                                    Nguyễn Công Mậu
  5. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1 1 π k 2π 4 cos3 α − 3cos α = � cos 3α = � α = � + 2 2 9 3 �π 5π 7π � π 5π 7π + Vì  α ( 0; π )  nên   α � ; ; � suy ra  t1 = cos ; t2 = cos ; t3 = cos �9 9 9 9 9 9 5π +Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm  t �( −1;1) . Mặt hác t2 = cos < 0  9 7π π π ( ) x và  t3 = cos < 0  do đó nghiệm của phương trình (1) là :  t1 = cos    2 + 1 = 2 cos . 9 9 9 + Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2)  x Ví dụ 8 : Giải phương trình : x + =2 2  x2 −1 1 π  Giải: Điều kiện:    x > 1  . Đặt  x = ; α (0; );   Thu được PT mới có dạng LG như sau :     cos α 2 1 1 + = 2 2 � sin α + cos α = 2 2 sin α cos α   cos α sin α � π�  + Đặt :   t = sin α + cos α = 2 cos �α − �  � 4� t 2 −1 + ĐK :  1 t 2;    � sin α .cos α = 2 t= 2 + Ta có PT :  t = 2t − t − 2 2 2t − t − 2 = 0 �� −1 2 t = 2  t= 2 π �π� +   t = 2 � α = 0; � x = 2.   �� � 4 � 2� Ví dụ 9  :  Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :  x + 1 − x = m     (1)             Giải : ĐK : 0 x 1 Phương trình (1) có nghiệm khi m>0 ( x) +( ) 2 2 (Nhận xét :   1− x = 1  để đặt ẩn phụ)   x = sin t; �π� + Đặt     với      t 0;    � 1 − x = cos t � 2� � � π� � π� m  + (1)  � sin t + cos t = m � 2 cos � t − �= m � cos � t − �= . � 4� � 4� 2 + Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :   − 2 m 2 + Do điều kiện m>0 ta có :  0 m 2                                                                                      5                                                    Nguyễn Công Mậu
  6. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ x Ví dụ 10 : Giải phương trình : x + =2 2  x −1 2 1 π  Giải: Điều kiện:    x > 1  . Đặt  x = ; α (0; );   Thu được PT mới có dạng LG như sau :     cos α 2 1 1 + = 2 2 � sin α + cos α = 2 2 sin α cos α   cos α sin α � π�  + Đặt :   t = sin α + cos α = 2 cos �α − �  � 4� t 2 −1 + ĐK :  1 t 2;    � sin α .cos α = 2 t= 2 + Ta có PT :  t = 2t − t − 2 2 2t − t − 2 = 0 �� −1 2 t = 2  t= 2 π �π� +   t = 2 � α = 0; � x = 2.   �� � 4 � 2� Ví dụ 11: Cho phương trình : 1 + x + 8 − x + (1 + x)(8 − x) = m (1) a) Giải PT (1) khi m= 3 b) Tìm m để PT (1)   có nghiệm.  Giải : 3 sin t = 1 + x �π� + Với điều kiện:  x �[ −1;8] , ta đặt :      ;   t 0; � 3 cos t = 8 − x � 2� �   a)  m = 3 ta có PT :  3sint+3cost+9sint.cost = 3  sint+cost+3sint.cost  = 1    (2) � π� + Đặt :  u = sin t + cos t = 2 sin � t+ � ;   ĐK : 1 u 2 � 4� u =1 � 3u + 2u − 5 = 0 � 2 −5       u=    3 � u = 1 � x = −1 �x = 8 3� 2 1 − x2 Ví dụ 12:  Giải phương trình sau :  1 + 1 − x 2 � ( 1 + x ) − ( ) � 3 1 − x = + � � � 3 3 Giải: + Điều kiện : x 1 + Với  x �[ −1;0] :   thì  ( 1+ x) ( 1− x) 3 3 − 0  (ptvn) �π� +  x [0;1]   ta đặt :  x = cos t , t 0; � . Khi đó phương trình trở thành:  � 2� �                                                                                      6                                                    Nguyễn Công Mậu
  7. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ � 1 � 1 1 1+     2 6 cos x � sin t �= 2 + sin t � cos t =   vậy phương trình có nghiệm :  x = � 2 � 6 6                                                   Ví dụ 13:  Giải phương trình sau:   3 6 x + 1 = 2 x Giải:  1 + Lập phương 2 vế ta được: 8 x 3 − 6 x = 1 � 4 x 3 − 3 x = 2 π 5π 7π � + Xét :  x 1 , đặt  x = cos t , t [ 0;π ] . Khi đó ta được   S = � cos � ;cos ;cos � mà phương  � 9 9 9 trình    bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. � � 1 1+ Ví dụ 14:  Giải phương trình  x 2 � �=1 � x 2 − 1 � 1 �π π � Giải: đk:  x > 1 , ta có thể đặt  x = , t �� − ; � sin t �2 2� cos t = 0 1 + Khi đó ptt:  ( 1 + cot t ) = 1 1 sin 2 t sin 2t = − 2 + Phương trình có nghiệm :  x = − 2 3 + 1 ( ) x 2 + 1 ( x + 1) 2 2 Ví dụ 15: .Giải phương trình :  x + 1 = 2 + 2x 2x ( 1 − x2 ) Giải: đk   x 0, x 1 �π π � + Ta có thể đặt :  x = tan t , t ��− ; � �2 2� + Khi đó ta có phương trình: 2sin t cos 2t + cos 2t − 1 = 0 � sin t ( 1 − sin t − 2sin t ) = 0 2 1 + Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm  x = 3 Sau đây là xét mở rộng thêm ví dụ về lượng giác hóa để giải hệ phương trình : 2x x2 y y Ví dụ 16:  Xác định bộ 3 hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ pt:   2 y y2z z 2z z2x x Hướng dẫn: + ( 0,0,0 ) là một nghiệm của hệ ; nhận xét  x, y , z 1                                                                                      7                                                    Nguyễn Công Mậu
  8. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 2x y 1 x2 2y               Hệ tương đương với  z 1 y2 2z x 1 z2 2 tan +  Sự có mặt các vế phải của các pt   liên hệ đến công thức lượng giác  tan 2  đặt   1 tan 2 x 1 k      x tan 4 2 y tan 2 n   z tan 4 tan tan 8 đk n Z / tan 1 7 x tan 8 n n2 n4  Ngiệm của hệ là  x tan ,y tan ,z tan 7 7 7 1 1 1 3 x 4 y 5 z Ví dụ 17:  Giải hệ phương trình:  x y z xy yz zx 1 Hướng dẫn: x, y , z 0 +  Lưu ý :  và nếu x,y,z là 1 nghiệm thì (­x,­y,­z) cũng là nghiệm (do t/c đối xứng ) x, y, z cùng d  xét x, y, z > 0 1 1 1 1 +  Sự xuất hiện các biểu thức  x ,y ,z dạng chung là  u ẩn phụ :    x y z u          x tan , y tan , z tan , đk : 0 , , 2 +  Sử dụng định lý hàm số sin   Ví dụ 18:  Tìm giá trị của tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm : 1 x2 y 0               y mx 3m m 2 Hướng dẫn: y sin + Đk :  x 1 đặt  x = cos   hệ pht :  sin m cos 2 3 m (*) + Đk hệ đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm t/m đkiện sin  > 0 III BÀI TẬP  4 2 8 x(1 2 x )(8 x 8x 1) 1 2   Bài 1 :  Giải phương trình :   1 2 x 1 x 1 2x 2 2 + ĐK:  1 x 1 ẩn phụ  x cos y,0                                                                                      8                                                    Nguyễn Công Mậu
  9. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Bài 2 : Giải  phương trình sau :           x 3 + (1 − x 2 )3 = x 2(1 − x 2 )     (  HDẫn : Đặt  x = cos α ;α [ 0;π ] ) Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm : 1 1           + x = m     (  H.Dẫn : Đặt  x = cos α ; α ( 0; π ) ) 1 − x2 Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số   a , ( a > 0 )                2 x + a 2 − 4 x = a                    (HDẫn : Lấy ĐK, sau đó đặt  2 x = a cos α ) Bài 5 :  Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :  4 x 3 − 3x = 1 − x 2 ; �−π π �                                                               ( HD: Đk:   x �[ −1;1] ; Đặt : x = cos t ; t � ;  ;) �2 2 ��  Bài 6:  Giải  phương trình sau :   x = 2 + 2 − 2 + x      (  Đặt   x = 2 cos α ; α [ 0; π ]  ) 5 �−π π �  Bài 7:   Giải phương trình : x + 1 = + x             (   Đặt :  x = tan α ; α 2 � ; � ;) 2 x +1 2 �2 2 �  Bài  8 : Tìm m để PT sau có nghiệm :  (4m − 3) x + 3 + (3m − 4) 1 − x + m − 1 = 0    Bài  9 : Cho đường tròn có phương trình:  (C):     ( x − 1) + ( y − 2 ) = 2 2 2               Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) sao cho  (x0+y0)  nhỏ nhất. x −1 2 2 = sin α ; �x − 1 � �y − 2 � 2 HD :  (1) � � �+ � �= 1        đặt     :   y − 2   � 2 � � 2 � = cos α 2 Bài 10 : Cho phương trình :  x 3 − 3 x + 1 = 0                              Chứng minh rằng phương trình  có ba nghiệm  x1 ; x2 ; x3  và thỏa điều kiện:  x12 = 2 + x2 ; x22 = 2 + x3  Bài 11 : Giải  phương trình :     x x 1 + a2 � � � 1 − a2 �               � − � � �= 1  với tham số  a ( 0;1) � 2a � � 2a � 2 �π�   Bài 12:  Giải phương trình : 1 + x(1 − x) = x + 1 − x      (  Đặt   x = cos 2 α ; α 0; ; ) � 3 � 2� � 2 x = y − yx 2   Bài  13 : Giải các hệ phương trình sau :   2 y = z − zy    2 2 z = x − xz 2 �−π π�  HD : Rút x; y; z  và đặt  x = tan α ; � < α < � �2 2� x2 + y2 = 1   Bài  14 : Giải các hệ phương trình sau :   3      ( x − y )(1 + 4 xy ) = 2                                                                                      9                                                    Nguyễn Công Mậu
  10. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ  HD : Đăt  x = sin α ; y = cos α ; α [ 0; 2π ]  . Bài 15:  Giải các phương trình sau :  1− 2x 1 + 2x 1 + 2cos x 1) 1 − 2 x + 1 + 2 x = +               HD:  vì tan x =  nên đặt  x=cost 1 + 2x 1 − 2x 1 − 2cos x ( ) 2) 1 + 1 − x 2 = x 1 + 2 1 − x 2                             ĐS:  x = 1 2       3)   x − 3 x = x + 2                                                     HD: chứng minh  x > 2   vô nghiệm  3 ­­­­­­­­­­­­­­­Tạm dừng­­­­­­­­­­­                                                                                      10                                                    Nguyễn Công Mậu
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0