ƯỢ
PH
NG GIÁC HÓA M T S PH
NG PHÁP L ƯƠ
NG TRÌNH Đ I S Ạ
Ạ Ố Ặ
Ạ Ố
Ệ
ƯƠ Ả GI I PH
Ộ Ố ƯƠ NG TRÌNH Đ I S CÓ D NG Đ C BI T Ờ ƯƠ
ƯỢ
NG GIÁC HÓA
NG PHÁP L
NH PH
ặ ươ ể Khi g p các ph ườ ổ ơ ượ ươ ng pháp n ph ) đ thu đ ươ ượ ữ c nh ng ph ạ ố ng trình đ i s thành ph ả ng trình l ươ ứ ẩ ể ể ề ặ
ạ ố ạ ố ấ ả ứ ủ ng trình đ i s đ i s r t khó gi i, khi đó chúng ta xem có th thay đ i hình th c c a ụ ể ẩ ươ ơ ng thông qua ph bài toán (th ng trình đ n gi n h n hay ể ợ ộ ố ườ không!Trong m t s tr ng h p ta có th chuy n ph ng giác ị ủ ứ ệ ủ ặ ệ ấ thông qua các d u hi u đ c bi t c a các bi u th c ch a n có m t trong PT và thông qua mi n giá tr c a chúng.
Ứ Ể ƯỜ I CÁC BI U TH C TH NG Đ ƯỢ ƯỢ C L NG GIÁC HÓA
Ứ Ạ Ố Ể Ọ Ẩ Ụ BI U TH C Đ I S
2
2
2
2
a
CÁCH CH N N PH p p = p (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) a x- x a t t cos ;0 x a t t sin ; ho c ặ 2 2
[
]
=
x
;
t
cos
a x a- (cid:0) = ho c ặ t t 0; \ x ; p p� -�� ; 2 2 � p p � � � � 2 � t sin
2
2
2
2
p � { } \ 0 � � p = p = - a x+ x a gt < < t cot ;0 ; x a t tan ; ; ho c ặ < < t 2 2
t
c
=(cid:0) x
[
]
t
;
p 0 ; 2
t
c
(cid:0) = y
(cid:0) = 1 bx c (cid:0) ax � � � �+ � � � � c � � � � " (cid:0) (cid:0)
.sin a .cos a
(cid:0) (cid:0)
34 x 3 t
= p (cid:0) (cid:0) - x t t cos ; 0 x 3 (cid:0) - (gi ng ố ) c os3t t 4 cos 3cos
c os2t
= p (cid:0) (cid:0) x t t cos ; 0 x - 22 2 (cid:0) ố (gi ng ) 1 1t - 2 cos
2
p - = (cid:0) x t p < < t t tan 2 tan ; (gi ng ố ) t 2 - x 2 x- t 1 2 tan 1 tan 2 2
2
p - = (cid:0) si x t p < < t t n 2 tan ; (gi ng ố ) t 2 x 2 x+ t 1 2 tan + 1 tan 2 2
3
32
(cid:0)2
II CÁC VÍ D :Ụ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình : x x x x 1 12
Gi i :ả
ễ
ậ
1 Nguy n Công M u
Ạ Ố
NG TRÌNH Đ I S
NG GIÁC HÓA M T S PH (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ƯỢ cos
(cid:0)0 + ĐK :
Ộ Ố ƯƠ .
PH x
1
j=
ƯƠ 1 = 2
NG PHÁP L (cid:0)x ụ ẩ n ph j j
- v i ớ j sin � � 0 sin + Khi đó x 1 sin
; sin + j 3 = j c
ươ + c os j j j 2 sin . os j j - + Ta có ph ( j ng trình : ) ( j 3 sin ) = � c sin j c os 1 sin . os 2 sin . os
= j + u sin j c os = 2 sin + Đ t ặ c p j � � + � � 4 � � p p j + - p + Vì : 0 1 u -� � � 1 2 5 4
- ươ ọ p + (cid:0) j � � �� �� 4 4 ng trình theo n u ta đ + Thu g n ph (*) u p j � � sin � � 4 � � + 2 u 2)( ( 1) 0
2u 2
ẩ = 2 2 ượ c : = - + PT (*) có các nghi m là : (lo i)ạ u u = - u 2 ; + 2 1 ; + = u 2 2 - < - 2 1 2 ệ p = j = + � u � k Z 2 p k 2 ( ) + V i ớ x =� 4 - 2 2 1 = j + j +V i ơ � u sin j c os =1 2 j c sin . os = = - 1 2
2
- - + (cid:0) 2 1 + ( 2 1)(3 2) j = - - j V y ậ sin , osc ệ là nghi m PT : =� t t (1 + - t 2) 1 2 0 2
- + - 2 1 + ( 2 1)(3 2) j = + Vì x sin � � 0 j c os = 2
x
2
2
- + - 2 1 + ( 2 1)(3 2) = ệ ậ V y PT đã cho có 2 nghi m là : và x = x 2 2 2
(
)0;1
x � � � � 1 = � � � � � � � �
x
x
2
2
2
2
+ - 1 - a (cid:0) ả ươ ớ 1 Ví d 2ụ : Gi i ph ng trình : ố v i tham s a a a a 2 2
x � � � � 1 = (cid:0) 1 � � � � � � � �
x � � � � 1 = � � � � � � � �
x
x
2
2
+ + - - 1 1 + - 1 Gi i :ả a a a a a a a a 2 2 2 2
2
2
x � �- a a 1 2 � � + � � . � �+ + a a 1 1 � � � �
= ế ủ ả ươ ượ + Chia c hai v c a ph ng trình cho , ta đ c : 1 � �+ a 1 � � a 2 � �
(
)0;1
j (cid:0) a (cid:0) ồ ạ ể tan + Vì nên t n t i góc đ cho = . a
2
x
x
(
)
(
)
2
x � � � � �
x � � � � �
x
)
(
)
(
2
2
p j � � 0; � � 2 � � j 2 j - 2 tan = j + ượ ươ � + Thu đ c ph ng trình : 1 1 sin j cos 2 j 2 2 j + 1 tan � 1 tan � + � � � � � = � + 1 tan � � x = j + ế ị y là hàm ngh ch bi n và ta có :
(
= j + + Hàm s ố ( sin ) j cos ) f (2) sin j cos = . 1
ấ ủ ậ ươ ệ + V y x = 2 là nghi m duy nh t c a ph ng trình.
ễ
ậ
2 Nguy n Công M u
ƯƠ
ƯỢ
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
PH
NG PHÁP L
NG GIÁC HÓA M T S PH
NG TRÌNH Đ I S
ả ươ i ph ng trình :
2
3
2
3
x
1
Ví d 3:ụ Gi Gi i :ả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 1 1 2 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos (cid:0)0 ẩ + ĐK :
1 = 2
3
x (cid:0)x j j= ụ n ph j - � � 0 v i ớ j sin sin + Khi đó ; sin x 1 sin
(
)
)
( + 1
j - - + 1 sin 1 j c os j 2 sin j c os ươ ạ ượ + Ph ng trình đã cho có d ng l ng giác là : (1) � � �
2 � � �
2
) = +
j j (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) j = + = j + (cid:0)0 � 3 = + � � j c 0 & os 0 + Vì (do nên sin ) + 1 sin j c os j sin c os 2 2 2 2 2 � sin � � 2 j j - = - -� j c j 2 c os + 2 sin j 2 sin 2 os =1 ế ổ ượ � + Bi n đ i (1) đ c : c j os = 2 2 � 2 sin � � � ( � � 2 2 1 2
= ươ ệ ậ V y ph ng trình đã cho có nghi m là : x c j os = 2 2
ị ủ ệ
)
)
- - ể ươ ( m ng trình sau có nghi m : - + - = x m Ví d 4ụ : Đ nh giá tr c a m đ ph + + x 3 4 3 1 0 m 3 4 1 (1)
1x
- (cid:0) (cid:0) ệ Gi
2
+ =� m (1) ị ( ề i :ả Đi u ki n : 3 + + + + x x . - + x - + x 1 1
2 =
+ - x 3 (cid:0) + + -
(
2 � � + � � � � � �
2 � = � � � 2
[
] 0;1
2
2
3 4 ) 3 4 1 3 3 1 ) + Vì : ( (cid:0) $ sao cho : x x 3 1 4 1 p j � � 0; � �� � 2 x 2 1 2 � � � � � j - = j = (cid:0) j = t t x tan ; + = 3 2sin 2 v i ớ và - = x 2 1 2 cos + 2 t t 1 1
- = m =� m + 2 - + + + + + 2 t 7 t 5 + t 12 + t 16 9 7 x x t 2 + t 1 - + x - + x 3 4 3 4 1 3 3 1
[
] 0;1
2
- = (cid:0) + Xét hàm s : ố f t t ( ) ; 1 1 + 2 + 2 -
[
] 0;1
(
- - - = (cid:0) f t t '( ) < " 0, t 7 t 5 t 52 + 2 - 9 7 60 ) 2 t 5 + t 12 + t 16 t 8 + t 16 7
]0;1 và
(cid:0) = f t ( ) ị ế f f (0) (1) ; + ạ [ ngh ch bi n trên đo n 9 7
]0;1 khi và ch khi :
(cid:0) ệ ệ ậ ỉ m(cid:0) 7 = 9 ạ [ ỉ + V y (1) có nghi m khi và ch khi (2) có nghi m trên đo n 7 9 9 7
+ - = ể ươ ị ủ ệ Ví d 5ụ : Tìm giá tr c a m đ ph ng trình sau có nghi m : (1) x x m 1
(cid:0) 1x(cid:0) Gi
2
2 =
i :ả ĐK : 0 ươ ệ Ph
+ - ậ ể ặ ẩ ụ ng trình (1) có nghi m khi m>0 (
(
)
)
(Nh n xét : đ đ t n ph ) x x 1 1
ễ
ậ
3 Nguy n Công M u
ƯƠ
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
PH
NG PHÁP L
NG GIÁC HÓA M T S PH
NG TRÌNH Đ I S
(cid:0) = (cid:0) t sin ; (cid:0) (cid:0) t + Đ t ặ ớ v i (cid:0)
ƯỢ p� � 0; � �� � 2
(cid:0) x - = x t 1 cos
m + - � � t = t m m sin cos 2 cos cos + (1) . p� � = t � � 4 � � p� �- = � � � t 4 � � 2
- (cid:0) (cid:0) ươ ệ ỉ + Ph ng trình có nghi m khi và ch khi : m 2 2
(cid:0) ề ệ + Do đi u ki n m>0 ta có : (cid:0) m 0 2
2
4
ươ ệ Ví d 6ụ : Trên đo n ạ [
) (
]0;1 ph ( 8 1 2
- - x x x ng trình sau có bao nhiêu nghi m : ) + = 2 x 1 8 1 8
Gi iả :
[
]0;1
4
(cid:0) = a x (cid:0) ồ ạ + Vì nên t n t i góc sao cho x sin
(
) = 1
a + 2 - - a a = 1 p a � � 0; � �� � 2 ) ( a 8sin a 2 1 2sin a 8sin � (*) + Ta có ph. trình: a 8sin .cos 2 .cos 4 1
ươ ế ủ ươ ủ ệ ng trình (*)nên nhân hai v c a ph ng trình cho ậ + Nh n th y 8sin a = không là nghi m c a ph ấ cos
a a 0 ượ cos ta đ c : (cid:0) 0 p � � � � � (cid:0) 0; 2 � �
p a a a = = a = - a � � cos 2 .cos 4 cos a sin 8 a cos sin 8 sin a a 8sin .cos 2 � � � � � �
p (cid:0) p (cid:0) k = - + a a = + p k a 8 2 (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,k m Z(cid:0) ; p 18 p (cid:0) (cid:0) = - p + - a = + m a 8 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 2 14 p 2 9 p m 2 7
� � p � � � � p p p (cid:0) = = = = (cid:0) ệ x x x x sin sin sin sin + Vì suy ra các nghi m : ; ; ; (cid:0) 18 14 p 5 14 p 5 18 a � � 0; 2 � �
x
x
x +
ng trình : p = + = - Ví d 7ụ : Cho hai ph )
(
(
) + 2 1
2 cos (1) và ( (2) ươ ) 2 1 3 2 2 3 9
ả ử ệ ủ ủ ệ ằ ươ Gi s x là nghi m c a ph.trình (1). Ch. minh r ng, khi đó x cũng là nghi m c a ph ng trình
(2) .
x
2
i :ả
x +
x =
+ = - Gi (
)
(
(
� 3 2 2
) 2 1
) + 2 1
3 3 + x +
(
x
2
3
1 ) + 2 1
= + - = � ớ ươ ở t 4 3 t 4 = t 3 + Đ t ặ ( v i t > 0. Khi đó ph ng trình (1) tr thành : .
) + 2 1
t 2 1 t 2 1 2
( p
)
( -�
)1;1
= a a (cid:0) t t cos , 0; ượ + Xét , đ t ặ ta đ c
ễ
ậ
4 Nguy n Công M u
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
PH
NG PHÁP L
NG TRÌNH Đ I S
3
a = = - � 4 cos a 3cos a cos 3
ƯƠ 1 2
ƯỢ 1 a 2
NG GIÁC HÓA M T S PH p k 2 3
p + = � � 9
(
)
2
p a (cid:0) = = = p 0; p ; t cos ; cos p cos ; + Vì nên � � t suy ra 1 t 3 p 5 ; 9 9 7 9 9 p 5 9 p a � (cid:0) � �
( -�
2
x
= t 7 9 )1;1 ươ ủ ệ ậ t cos +Vì ph ệ ng trình b c ba có đ ba nghi m nên ta không xét nghi m ặ . M t hác < 0 p 5 9 p p = = = (cid:0) ủ ệ ươ cos 0 cos
) + 2 1
2 cos < do đó nghi m c a ph ng trình (1) là : ( . t và 3 t 1 p 7 9 9 9
ủ ế ệ ậ ươ ủ ệ ươ + V y n u x là nghi m c a ph ng trình (1) thì x cũng là nghi m c a ph ng trình (2)
+ = x 2 2 ả ươ Ví d 8 ụ : Gi i ph ng trình : x 2 - x p = a (cid:0) ề ệ ượ ư ạ ớ x (0; ); ; x > . Đ t ặ 1 Thu đ c PT m i có d ng LG nh sau : Gi i:ả Đi u ki n: a 1 1 cos 2
a + = a + = a � 2 2 sin a cos 2 2 sin cos a 1 cos 1 a sin
= a + = - t sin a cos 2 cos + Đ t : ặ
- t = (cid:0) (cid:0) � t + ĐK : 1 2; a a sin .cos p a � � � � 4 � � 2 1 2
2
22 t
2 (cid:0) - - = - - (cid:0) t = t t 2 = 2 0 2 + Ta có PT : t t 2 (cid:0) = t �� - (cid:0) = t (cid:0) (cid:0) 1 2
p = a = = � t x 2 2. + 4 p � � ��� � 0; 2 � �
+ - = ể ươ ị ủ ệ Ví d 9ụ : Tìm giá tr c a m đ ph ng trình sau có nghi m : (1) x x m 1
1x(cid:0)
(cid:0) Gi
2
2 =
i :ả ĐK : 0 ươ ệ Ph
+ - ng trình (1) có nghi m khi m>0 (
(
)
)
ậ ể ặ ẩ ụ (Nh n xét : đ đ t n ph ) x x 1 1
(cid:0) = (cid:0) t sin ; (cid:0) (cid:0) t + Đ t ặ ớ v i (cid:0) p� � 0; � �� � 2 (cid:0) x - = x t 1 cos
m + - � � t = t m m sin cos 2 cos cos + (1) . p� � = t � � 4 � � p� �- = � � � t 4 � � 2
- (cid:0) (cid:0) ươ ệ ỉ + Ph ng trình có nghi m khi và ch khi : m 2 2
(cid:0) ề ệ + Do đi u ki n m>0 ta có : (cid:0) m 0 2
ễ
ậ
5 Nguy n Công M u
ƯƠ
ƯỢ
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
PH
NG PHÁP L
NG TRÌNH Đ I S
NG GIÁC HÓA M T S PH x 2
+ = x 2 2 ả ươ Ví d 10 ụ : Gi i ph ng trình : - x p = a (cid:0) ề ệ ượ ư ạ ớ x (0; ); ; x > . Đ t ặ 1 Thu đ c PT m i có d ng LG nh sau : Gi i:ả Đi u ki n: a 2 1 1 cos
+ = a + = a a � 2 2 sin a cos 2 2 sin cos a 1 cos 1 a sin
= a + = - t sin a cos 2 cos + Đ t : ặ
- t = (cid:0) (cid:0) � t + ĐK : 1 2; a a sin .cos p a � � � � 4 � � 2 1 2
2
22 t
2 (cid:0) - - = - - (cid:0) t = t t 2 = 2 0 2 + Ta có PT : t t 2 (cid:0) = t �� - (cid:0) = t (cid:0) (cid:0) 1 2
p = a = = � t x 2 2. + 4 p � � ��� � 0; 2 � �
- ươ + + x - + x x m 1 8 + (1 )(8 = x ) Cho ph ng trình : (1)
Ví d 11:ụ ả
ể
a) Gi i PT (1) khi m= 3 ệ . b) Tìm m đ PT (1) có nghi m Gi i :ả
[ -�
]1;8
(cid:0) = + (cid:0) t x 3 sin 1 (cid:0) (cid:0) x t ệ ớ ề + V i đi u ki n: , ta đ t : ặ ; - (cid:0) p� � 0; � �� � 2 (cid:0) t x 3 cos 8
= a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3 (cid:0) sint+cost+3sint.cost = 1 (2)
= + = (cid:0) u t t sin cos 2 sin + Đ t : ặ u(cid:0) ĐK :1 2 p� � + t ; � � 4 � �
2
2
= (cid:0) u 1 (cid:0) + - = - � � u 3 u 2 5 0 (cid:0) = u (cid:0) 5 3 = = - � � u x = � x 1 1 8
3
1
2
+
+
(
)
(
x
x
) 3 = x
1
1
+ 1
1
� � �
� � �
x 3
2 3
x (cid:0)
1
- - - - ả ươ Gi i ph ng trình sau : Ví d 12:ụ
3
3
+
i:ả ề Gi + Đi u ki n :
(
)
)
x
[ 1;0]
x
1
0
=
- - (cid:0) ệ -� + V i ớ : thì (ptvn)
x (cid:0)
[0;1]
x
t t cos ,
( x 1 p� � 0; � �� � 2
(cid:0) ươ + ta đ t : ặ . Khi đó ph ở ng trình tr thành:
ễ
ậ
6 Nguy n Công M u
ƯỢ
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
NG TRÌNH Đ I S
+
= +
=
x =
�
x
t
t
t
2 6 cos
sin
2 sin
cos
ươ ệ ậ v y ph ng trình có nghi m :
ƯƠ 1 2
1 6
NG GIÁC HÓA M T S PH 1 6
PH � 1 � �
NG PHÁP L � � �
x
x
3 6
+ = 1
2
Ví d 13:ụ i:ả Gi
3
3
ươ ả i ph Gi ng trình sau:
�
x
= x
x
8
6
1
4
= x 3
1 2
p
=
p
- - ươ ượ ậ + L p ph ế ng 2 v ta đ c:
[
]
x (cid:0)
1
x
S
t t cos ,
0;
cos
;cos
p ;cos
� �
9
p 5 9
7 9
� = � �
(cid:0) ượ ươ + Xét : , đ t ặ . Khi đó ta đ c mà ph ng
2
ố ủ ệ ệ ậ ậ ươ trình ậ b c 3 có t i đa 3 nghi m v y đó cũng chính là t p nghi m c a ph ng trình.
x
1 2
1
� +� 1 �
=
1
x
t
x > , ta có th đ t ể ặ
,
ả ươ Gi i ph ng trình =1 Ví d 14:ụ -
x 1 sin
� � �
Gi i:ả đk:
t
t cos
� � � p p� -�� ; 2 2 � = 0
(
)
t
+ 1 cot
= (cid:0) 1
t
1 2 sin
1 2
t sin 2 (
x = -
(cid:0) (cid:0) + Khi đó ptt: (cid:0) (cid:0)
= - ) + 3 1
2
2
2
2
+
ươ ệ + Ph ng trình có nghi m :
(
+
) 1
x
1
2
+
x
+ = 1
2
ả ươ .Gi i ph ng trình : Ví d 15:ụ -
)
x
2
x
x ( x 2 1
x
x
0,
1
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi i:ả đk
x
t
t tan ,
p p� -�� ; 2 2 �
- =
ể ặ + Ta có th đ t :
�
t
t
� � � + t t 2sin cos 2
t cos 2
1 0
- -
( sin 1 sin
)2 = t 2sin
0
x =
ươ + Khi đó ta có ph ng trình:
1 3
ế ợ ệ ệ ề ớ + K t h p v i đi u ki n ta có nghi m
ụ ề ượ
ở ộ Sau đây là xét m r ng thêm ví d v l
ể ả ệ ươ i h ph
ng trình :
ng giác hóa đ gi 2 yx 2 zy 2 xz
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y z 2 ệ ố ệ ộ ị Xác đ nh b 3 h s (x,y,z) thõa mãn h pt: Ví d 16:ụ (cid:0) (cid:0) (cid:0) x z 2 (cid:0)
ẫ ướ (cid:0) (cid:0)zyx , , 1 ủ ệ ậ ộ H ng d n: ệ + ( 0,0,0 ) là m t nghi m c a h ; nh n xét
ễ
ậ
7 Nguy n Công M u
ƯƠ
ƯỢ
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
PH
NG PHÁP L
NG TRÌNH Đ I S
NG GIÁC HÓA M T S PH 2
2
2
2
2
x
1
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) Znđk
tan
tan
(cid:0) 8
tan/
(cid:0)1
(cid:0) n 7
y z x
tan tan tan
(cid:0) 2 (cid:0) 4 (cid:0) 8
(cid:0) (cid:0) y (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) z ệ ươ ươ ớ (cid:0) H t ng đ ng v i (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) x x y y z z 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ủ ự ặ ệ ế ứ ượ tan (cid:0) 2 ế + S có m t các v ph i c a các pt liên h đ n công th c l ng giác đ t ặ (cid:0) (cid:0) tan2 tan 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) k (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x tan 4 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ệ ệ x y z tan , tan , tan Ngi m c a h là (cid:0) 2 7 (cid:0) 4 7 n 7
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z 3 4 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 y 1 z 1 x ả ệ ươ i h ph ng trình: Ví d 17:ụ Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy yz zx 1
ẫ ướ (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) ố ứ ế ệ ệ ư + L u ý : và n u x,y,z là 1 nghi m thì (x,y,z) cũng là nghi m (do t/c đ i x ng ) (cid:0) cùng d (cid:0) H ng d n: zyx , , zyx , , xét x, y, z > 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z , , ự ấ ứ ệ ể ẩ u + S xu t hi n các bi u th c ạ d ng chung là ụ n ph : 1 x 1 y 1 z 1 u (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z đk tan , tan , tan , 0: , , (cid:0) (cid:0) 2
ử ụ ố ị + S d ng đ nh lý hàm s sin
2
ể ệ ươ ị ủ ố ệ Tìm giá tr c a tham s m d h ph ng trình sau có nghi m : Ví d 18:ụ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y mx mm 3 2
4
2
ướ ẫ H ng d n: (cid:0) (cid:0) (cid:0) y sin (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 1 + Đk : ặ đ t x = cos (cid:0) ệ h pht : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m m sin cos 32 (*) (cid:0) ệ ệ + Đk h đã cho có nghi m ệ (*) có nghi m t/m đki n sin ệ > 0
x
x
x
8
)1
1
x 2
8)( x x 21
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) III BÀI T PẬ 21(8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ i ph ng trình : Bài 1 : Gi x 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 cos y 0, ẩ + ĐK: ụ n ph x 1 1
ễ
ậ
8 Nguy n Công M u
ƯƠ
ƯỢ
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
PH
NG GIÁC HÓA M T S PH
NG TRÌNH Đ I S
NG PHÁP L ng trình sau :
3
2
ả ươ i ph
[ p
]
= a a (cid:0) Bài 2 : Gi + - - x cos ; 0; ặ ẫ ( HD n : Đ t ) x x x x (1 = 2 3 ) 2(1 )
ể ươ ị ủ ệ ng trình có nghi m : Bài 3 : Tìm giá tr c a m đ ph
( p
)
2
1 + = = (cid:0) m x a a cos ; 0; ặ ẫ ( H.D n : Đ t ) - 1 x x
x
x
2
ệ ậ ươ ố ng trình theo tham s a , ( a > 0 )
3
2
= a 1 ả i và bi n lu n ph + = x - ẫ ấ Bài 4 : Gi (HD n : L y ĐK, sau đó đ t ) a ặ 2 cos a a 2 4
- - ươ ệ ng trình sau có bao nhiêu nghi m : Bài 5 : Ph x x 4 1 ;
[ -�
= (cid:0) x x t t cos ; = x 3 ]1;1 p p ; ( HD: Đk: ; Đ t :ặ 2
2
= (cid:0) -� � 2 � [ p � ;) � � ] x a a 2 cos ; 0; ả ươ i ph ng trình sau : ( Đ t ặ ) = + - Bài 6: Gi x x 2 2 + 2
+ = (cid:0) x x + = 1 x a a tan ; p p ; ả ươ i ph ng trình : ( Đ t : ặ Bài 7: Gi 5 2 + 2 -� � 2 � � ; ) � � x 1 2
2 +
- - ể ệ m + + x m - + - = x m Bài 8 : Tìm m đ PT sau có nghi m : (4 3) 3 (3 4) 1 1 0
(
) 2 = 2
) 1
- - ườ ươ ng tròn có ph ng trình: y x 2 Bài 9 : Cho đ
x
=
a sin ;
2
y
2 � � � � + � � � � � � � � �
=
a
cos
2 2
ộ ấ ỏ Tìm M (x0;y0) thu c ( C ) sao cho (x - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (C): ( 0+y0) nh nh t. 1 2 x y = (cid:0) HD : ặ đ t : (1) 1 - (cid:0) 2 2 1 2 (cid:0) (cid:0)
- ươ + = x 1 0
3
2
3 3 Bài 10 : Cho ph x ươ ứ Ch ng minh r ng ph = + = + 2 2
2 x 1
; ; ệ ề ng trình : ằ ng trình có ba nghi m x x x và th a đi u ki n: ệ ỏ 1
2
2
2 x x ; 2 2 Bài 11 : Gi +
(
)0;1
x � � � � 1 = � � � � � � � �
2
x 3 ươ ả ng trình : i ph x - 1 - a (cid:0) ớ ố v i tham s 1 a a a a 2 2
2
= a a (cid:0) + - - x cos ; ả ươ x x + x x 1 (1 = ) 1 i ph ng trình : ( Đ t ặ Bài 12: Gi 2 3 p � � 0; ; ) � �� � 2
2
(cid:0) x 2 (cid:0) yx 2 (cid:0) y zy 2 ả ệ ươ i các h ph ng trình sau : Bài 13 : Gi (cid:0) z = - y = - z = - x xz 2 (cid:0)
2
2
p = p < < a x a tan ; HD : Rút x; y; z và đ t ặ -� � 2 �
(cid:0) � � 2 � + = y x 1 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i các h ph ng trình sau : Bài 14 : Gi + - (cid:0) x y ( = xy )(1 4 ) (cid:0) 3 2
ễ
ậ
9 Nguy n Công M u
Ộ Ố ƯƠ
Ạ Ố
NG GIÁC HÓA M T S PH
NG TRÌNH Đ I S
= (cid:0)
ƯỢ [ p
]
x
ƯƠ PH NG PHÁP L = a a a y cos sin ;
; 0; 2 HD : Đăt .
Bài 15: Gi ả
+
ươ i các ph
=
+ x
= x
x
1)
1 2
+ 1 2
tan
x x
x x
1 2 + 1 2
1 2cos 1 2cos
2
+
= 2
- - HD: vì nên đ t ặ x=cost - - ng trình sau : + x 1 2 + x 1 2
x =
- -
)
(
x
x
x
2)
1
1
+ 1 2 1
1 2
ĐS:
2
x > vô nghi mệ
x
= x
+ x
3 3
2
- ứ 3) HD: ch ng minh
ừ ạ T m d ng
ễ
ậ
10 Nguy n Công M u
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
