Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
67
TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH RAYLEIGH-STOKES SUY RỘNG
Phạm Nam Giang
Trường Đại học Thủy lợi, email: giangpn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Cho d
 là miền bị chặn với biên trơn,
xét phương trình Rayleigh-Stokes suy rộng
(1 ) trong , 0,(1)
(*) 0 trên , 0, (2)
(,) (,), , [ ,0], (3)
tt
xxaxbt
xt
xus us u s h



trong đó: 2
([ ,0]; ( ))Ch L
 là hàm cho
trước, 00a,b, 0
, t
là ký hiệu của
đạo hàm phân thứ bậc 01(,)
theo nghĩa
Riemann-Liouville.
Phương trình (1) được hình thành từ bài toán
Rayleigh-Stokes nghiên cứu chuyển động của
một dòng chất lỏng có tính nhớt, đàn hồi.
Phương trình này lần đầu được đưa ra trong
[5], sau đó được nghiên cứu rộng rãi do sự mô
tả chính xác các chuyển động của chất điểm
trong môi trường không thuần nhất. Các kết
quả cho lớp bài toán Rayleigh-Stokes suy rộng
dạng này tới nay chủ yếu tập trung vào các
phương pháp giải số (xem [1, 2, 5]), ngoài ra
một số kết quả về bài toán ngược cũng được
nhóm thiết lập trong vài năm gần đây (xem [6]
và các tài liệu tham khảo trong đó).
Các kết quả tập trung về tính giải được cho
bài toán Rayleigh-Stokes suy rộng đến nay chưa
được nghiên cứu nhiều, theo hiểu biết của tác
giả mới có 2 kết quả liên quan (xem [3, 7]), tuy
nhiên các kết quả mới dùng lại ở bài toán không
có trễ. Từ đó, trong bài báo này, chúng tôi đặt ra
vấn đề nghiên cứu sự tồn tại nghiệm toàn cục
cho bài toán (*) trong trường hợp trễ hữu hạn.
Ngoài ra, trong bài báo này, chúng tôi cũng
chứng minh sự ổn định của nghiệm trong thời
gian hữu hạn của bài toán (*).
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để chứng minh tính giải được, chúng tôi
sử dụng lý thuyết điểm bất động.
Để chứng minh tính hút hữu hạn, chúng tôi
sử dụng phương pháp điểm bất động kết
hợp với bất đẳng thức dạng Halanay.
Trước hết, chúng tôi trình bày công thức
nghiệm và một số kiến thức cần dùng.
Định nghĩa 1: Với 2
0C([ h, ];L ( ))

cho trước, hàm 2
([ , ]; ( ))xC hTL được
gọi là một nghiệm nhẹ của bài toán (*) trên
[,]hT nếu với 0
s
[h,] : (, ) (, )
x
ss
 và
với [0, ]:tT
0
(, ) ( ) (,0) ( ) (, )
t
tSt Stsaxsbds

trong đó, 22
S(t ): L ( ) L ( )

là toán
tử giải được xác định bởi:
1
nnn
n
S(t ) (t, ) .

Các tính chất sau của toán tử ()St có thể
xem trong [3].
Bổ đề 1. Với 2
x
L( )
bất kỳ, 0T, ta có:
a) 21
0
() ((0, ]; ( ) ( )) ([0, ];SxCTH H CT
2()).L
b) 1
() (, )Stx t x

‖‖ ‖‖, với mọi 0t và
1
là giá trị riêng đầu tiên của toán tử .
Hơn nữa, 1S(t ) ‖‖ với mọi 0t.
c) 2
0
(m)
S( )x C (( ,T ];L ( ))
 với mọi
m, và (m) m
S(t)x t x
‖‖‖‖
, với
là
một số dương.
d) 1(m) m
S(t)x t x


‖‖‖‖ với mọi
0t và m.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
68
Với 2
0C([ h, ];L ( ))
 cho trước, đặt
2
00C([ ,T];L( )) {x C([ ,T];

200L( )):x(, ) (, )}


Với 2
([0, ]; ( ))xC TL
, ta định nghĩa
2
x
[] C([h,T];L( ))
 như sau:
(, ) khi [0, ],
[](,) (, ) khi [ ,0].
x
ttT
xt tth



Do đó, ta có:
344
, khi , ( ) ,
433
[](,) 34
, khi 0 , .
43
x
th t h Th
xt
th t h








 

Cho 22
: ([0, ]; ( )) ([0, ]; ( ))CTL CTL


là toán tử được định nghĩa như sau:
0
0t
( x )( ,t ) S( t ) ( , ) S( t s )( ax[ ] ( ,s ) b )ds


Toán tử được gọi là toán tử nghiệm, ta dễ
thấy là toán tử liên tục. Hơn nữa, []
x
là
nghiệm nhẹ của bài toán (*) nếu và chỉ nếu
x
là điểm bất động của .
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Tính giải được toàn cục
Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh
tính giải được toàn cục của bài toán (*).
Định lý 1. Bài toán (*) có ít nhất một
nghiệm nhẹ trên [,]hT với mọi 0 0a,b.
Chứng minh. Gọi 0C([ ,T ]; )
là
nghiệm duy nhất của phương trình
0
() ( ) () .
t
tabTsds



‖‖ ‖‖
Đặt2
[0, ]
{([0,];()):sup()(),
t
VxC TL x t

 ‖‖
[0, ]}.tT V là tập con đóng, lồi của
2
0C([ ,T];L( ))
. Do liên tục và
compact, nên ta chỉ cần chứng minh
()VV. Với
x
V, ta có:
11
0
t
(x)( ,t)
(t, ) (t, )(a x[ ] ( ,s) b)ds
 

‖‖
‖‖ ‖ ‖

00
00
t
[,s]
t
[,s]
a( sup x( , ) ) b ds
abTasupx(,)ds.
()






‖‖ ‖‖ ‖ ‖
‖‖ ‖‖ ‖ ‖
Từ đây, ta được:
[0, ]
sup ( )( , )
t
uabT


 ‖ ‖‖‖ ‖‖
0
() (),
t
asds t

Suy ra, (x) V
. Áp dụng Định lý điểm
bất động Schauder,
có điểm bất động. Tức
là, bài toán (*) có ít nhất một nghiệm nhẹ.
3.2. Tính hút theo thời gian hữu hạn
Có khá nhiều khái niệm về tính hút trong
thời gian hữu hạn, tuy nhiên trong bài báo
này, chúng tôi sử dụng khái niệm sau đây,
khái niệm này cho chúng ta cái nhìn rõ ràng
về tính hút trong thời gian hữu hạn.
Định nghĩa 2. Cho
x
và
x
là nghiệm của
(*) tương ứng với các giá trị ban đầu
và
. Khi đó, nghiệm
x
được gọi là hút trong
[0, ]T nếu x( t ) x ( t )


‖‖‖‖, với
mọi [0, ]tT, và
‖‖ là chuẩn sup trong
2
([ ,0]; ( ))Ch L.
Để chứng minh tính hút theo thời gian hữu
hạn của nghiệm, ta sử dụng bất đẳng thức
kiểu Halanay sau đây.
Bổ đề. Cho w:[ , )
 là hàm
liên tục thỏa mãn:
0
0[(),]
() (,)
( , )[ sup ( ) ( )] , 0, (4)
() (), [ ,0], (5)
zs ss
ww
sk vz sds
ws s s





trong đó: 0k
, ([ ,0]; )C
 và
1()
loc
L
là hàm không giảm. Khi đó, với
mọi 0
:
00[,0]
( ) ( , ) ( ) sup ( ).(6)[]
s
k
wwssds s
k




Chứng minh. Ta sử dụng kết quả (xem [4]):
nếu wC([ ,); )
 là hàm không âm
thỏa mãn
z[ ,]
w( ) a( ) b sup v( z )


 , 0
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8
69
và () ()ws s, 0
s
[,]
 , với a( ) là hàm
không giảm và (0,1)b, thì
1
[,0]
() (1 ) () sup (), 0. (7)
s
wbabs



Từ (4) ta có:
0
0
z[ h,]
w( ) w ( , )* ( )
k sup v( z ) ( s, )ds





1
0[,]
(, )* ( ) sup ( ).
zh
wkvz



Vì ()
là hàm không giảm, nên (, )*

là hàm không giảm. Áp dụng bất đẳng thức
(7) với 0
a( ) w ( , )*

 và /bk
, ta
thu được bất đẳng thức (6).
Định lí 2. Nếu 1
ar
, với r là nghiệm
trong khoảng (0,1) của phương trình bậc 3
3310yy và
x
là nghiệm tương ứng với
giá trị ban đầu
, thì
x
hút mũ trên [0, ]T với
mọi 2
0C([ h, ];L ( ))
 .
Chứng minh. Gọi ˆ
x
là nghiệm tương ứng
với giá trị ban đầu
. Ta có

0
ˆ
() () ()((0) (0))
ˆ
()[]())[]().
T
xT xT ST
ST sa x s x s ds




Từ đây, ta được
1
1
0
1
1
0
00
00
8
T
T
[h,s]
ˆ
x( T ) x(T ) ( T , ) ( ) ( )
ˆ
(T s, )a x[ ] (s)) x[ ] (s) ds
(T, ) ( ) ( )
ˆ
a(Ts,)supx()x()ds.()









‖‖‖‖
‖‖
‖‖
‖‖
Áp dụng bổ đề, với mọi 0,T ta có:
1
[,0]
11
ˆ
() ()
(0)(0) sup ()() (9)
sh
x
ss
a
a
TxT




‖‖
‖‖‖‖
Kết hợp (8) và (9), ta được:
1
1
00
1
00
00
T
[h,]
T
[,s]
ˆ
x
(T ) x(T ) (T, ) ( ) ( )
(T s, )asup () ()ds
ˆ
(T s, )asup x()x()ds






‖‖‖‖
‖‖
‖‖
1
1
1
1
1
011
1(,)
(, ) (0) (0)
(,) (0)(0)
()
T
T
Ta
Ts a ds
a
p




 
‖‖‖‖
‖‖‖‖
1
1
1
1(,)
(, ) (0) (0) T
Ta

‖‖‖‖
11
111
1(,)
(0) (0)()
aT
aa




‖‖‖‖
22
1
11
2
11
(10
2
1
)
a
(T, ) (T, )a(
.
).
(a)
 





‖‖
Xét
22
1
11
2
11
2
1(,) 1(,))
()
(aa
TT
a
 


1
1
3
1
11
1(,) 30,
() 1
T
a
aa








vì theo giả thiết 1
0/ar
, với r là
nghiệm trong (0,1) của phương trình
3310yy.
Do đó:
22
1
11
2
11
2
(, ) 1 (, )) 1
()
(a
aTT
a
 

Nên từ (10) ta được x( T ) x'( T )
‖‖‖‖
với mọi 0.T Định lí được chứng minh.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E. Bazhlekova, B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou,
An analysis of the Rayleigh-Stokes problem
for a generalized second-grade fluid,
Numer. Math. 131 (2015), no. 1, 1-31.
[2] C. Fetecau, M. Jamil, C. Fetecau, D. Vieru,
The Rayleigh-Stokes problem for an edge in
a generalized Oldroyd-B fluid, Z. Angew.
Math. Phys. 60 (2009), no. 5, 921-933.
[3] D. Lan, Regularity and stability analysis for
semilinear generalized Rayleigh-Stokes
equations, Evol. Equ. Control Theory,
(2022) 11(1): 259-282.