Tr êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c
Mét sè bµi to¸n ® îc giI b»ng ®Þnh lÝ lagrange
Bµi to¸n 1: Cho f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0
trªn bÊt kú ®o¹n nµo cña R. BiÕt r»ng ®å thÞ hµm sè y = f(x) c¾t ® êng th¼ng ax + by + c
= 0 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. CMR tån t¹i x0
Î
R sao cho f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x =
x0.
LG: V× ® êng th¼ng ax + by + c =0 c¾t ®å thÞ y = f(x) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt nªn b
¹
0. Ta
®Æt:
()()
axc
gxfx
b
+
=+ th× ph ¬ng tr×nh g(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
Do f”(x) = g”(x) vµ f(x) cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 trªn bÊt
kú mét khong nµo cña R nªn g(x) còng cã tÝnh chÊt ®ã.
Theo ®Þnh lÝ Rolle th× tån t¹i 2 nghiÖm x1 , x2 víi x1< x2, cña ph ¬ng tr×nh g’(x) = 0
sao cho g’(x)
¹
0 víi
(
)
12
xxx
"Î vµ
(
)
012
;
xxx
$Î sao cho g”(x0) = 0. Ta thÊy g”(x) ®æi
dÊu qua x0 , v× nÕu tr¸i l¹i th× g”(x)
³
0 hoÆc g”(x)
0
£
trong
[
]
12
;
xx
; tõ ®ã dÉn ®Õn
g’(x) hoÆc ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn trong
[
]
12
;
xx
, ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra.
Suy ra f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x0 (®pcm).
Bµi to¸n 2: Cho hµm sè f(x) kh vi v« h¹n trªn R vµ tho m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
a/. ()
0:(),,
n
MfxMxRnN
$>£"Î"Î
.
b/.
*
10,
fnN
n
æö
="Î
ç÷
èø .
CMR, ()0,
fxxR
º"Î
..
LG: ¸p dông ®Þnh lÝ Rolle trªn c¸c ®o¹n
[
]
[
]
1223
;,;,...,
aaaata
dÔ chøng minh ® îc kh¼ng
®Þnh sau: Gi sö f(x) cã ®¹o hµm trªn R. Gi thiÕt r»ng tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (an)
1
n
³
héi
tô ®Õn x0 vµ tho m·n ®iÒu kiÖn f(an) = 0
nN
"Î
. Khi ®ã tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (a’n)
1
n
³
héi tô ®Õn x0 vµ tho m·n ®iÒu kiÖn f’(a’n) = 0
nN
"Î
.
Sö dông kÕt qu nµy cho hµm f(x) víi
1
n
a
n
=
,
nN
, sau ®ã ¸p dông tiÕp víi c¸c
hµm :
f’(x), f”(x),… ta ® îc:
( )
1
(0)lim0
'(0)lim''0
''(0)lim('')0
x
n
x
n
x
ff
n
ffa
ffa
®¥
®¥
®¥
æö
==
ç÷
èø
==
==
……………………..
Nh vËy ()
(0)0,
n
fnN
="Î
. Khai triÓn Taylor cña hµm f(x) t¹i x = 0 ta ® îc
()0,
fxxR
º"Î
(®pcm).
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè f(x) kh vi trªn
[
]
0,1
vµ tho m·n ®iÒu kiÖn:
(0)0,(1)1;0()1,
fffxxR
==££"Î
.
Tr êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c
CMR, tån t¹i
(
)
,0;1,
abab
ι
sao cho f’(a).f’(b) = 1.(OLYMPIC New – York -76)
LG: XÐt hµm sè g(x) = f(x) + x – 1. Ta thÊy g(x) kh vi trªn
[
]
0,1
, do g(0) = -1, g(1) = 1
nªn
(
)
0;1
c$Î sao cho g(c) = 0. Suy ra f(c) + c -1 = 0 hay f(c) = 1 – c. Theo ®Þnh lÝ
Lagrange cho f(x) trªn c¸c ®o¹n
[
]
[
]
0;,;1
cc
ta cã:
()(0)
'()
0
fcf
fa
c
-
=
- víi
(
)
0;
ac
Î
vµ (1)()
'()
1
ffc
fb
c
-
=
- víi
(
)
;1
bc
Î
tõ ®©y ta cã: ()1()(1)
'().'().1
1(1)
fcfccc
fafb cccc
--
===
--
(®pcm).
Bµi to¸n 4: Cho hµm sè g(x) liªn tôc trªn
[
]
0,1
vµ kh vi trong (0;1) vµ tho m·n c¸c ®iÒu
kiÖn
g(0) = g(1) = 0. CMR, tån t¹i
(
)
0;1
cÎ sao cho g’(c) = g(c).
LG: XÐt hµm sè
()()
x
fxegx
-
= ta cã
[
]
'()'()()
x
fxgxgxe
-
=-
Theo ®Þnh lÝ Rolle ®èi víi hµm f(x)
(
)
0;1
c$Î sao cho
'()0
fc
=
hay
[
]
'()()0
c
gcgce
-
-=
hay g’(c) = g(c).
Bµi to¸n 5: Cho hµm sè f(x) kh vi trªn
[
]
;
ab
vµ tho m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
a/. 1
()()
2
faab
=-
b/. 1
()()
2
fbba
=-
c/.
0
2
ab
f+
æö
¹
ç÷
èø
CMR, tån t¹i c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau
(
)
123
,,;
cccab
Î sao cho
123
'()'()'()1
fcfcfc
=
LG: Theo ®Þnh lÝ Lagrange 1
(;)
cab
$Î sao cho
1
()()
'()
fbfa
fc
ba
-
=-
xÐt hµm sè h(x) = ()
2
ab
fxx
+
+- khi ®ã h(a).h(b) = - (a-b)2 < 0.
Do ®ã
(
)
0
;
xab
$Î sao cho h(x0) = 0, hay
00
()
2
ab
fxx
+
=-
. Theo ®Þnh lÝ
Lagrange,
(
)
2021
;,
caxcc
$ι
sao cho
(
)
0
0
2
00
()
'() fxfa
bx
fc
xaxa
-
-
==
--
Tr êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c
t ¬ng tù nh vËy,
(
)
3013
;,
cxbcc
$ι
tho m·n ®iÒu kiÖn
(
)
00
3
00
()
'() fbfx
xa
fc
bxbx
-
-
==
--
. Râ rµng c1, c2 , c3 ph©n biÖt vµ
123
'()'()'()1
fcfcfc
=
.
Bµi to¸n 6: Ch o f(x) lµ hµm cã ®¹o hµm cÊp 2 liªn tôc trªn R vµ tho m·n ®iÒu kiÖn
f(0) = f(1) = a.
CMR,
[ ]
{
}
0,1
max''()8()
x
fxab
Î
³-
víi b =
[ ]
{
}
0,1
min()
x
fx
Î
Cho kÕt qu më réng víi
[
]
;
abR
.
Bµi to¸n 7: Cho P(x) lµ ®a thøc bËc n cã n nghiÖm thùc ph©n biÖt 12
,,...,
n
xxx
.
CMR,
1
''()
0
'()
n
i
ii
Px
Px
=
=
å.
Bµi to¸n 8: Cho 12
,,...,0
n
xxx
>
, ta ®Æt
12312
111
;;;...;....
nnn
iijijknn
iijnijkn
sxsxxsxxxsxxx
=£<££<<£
====
ååå
S
i
lµ c¸c hµm c¬ bn cña xi. CMR: 3
12
3
123
...
n
n
n
nnnn
ss
ss
cccc
³³³³ . ( THTT )
Bµi to¸n 9: Cho P(x) lµ ®a thøc bËc n cã n nghiÖm thùc ph©n biÖt, c lµ sè d ¬ng vµ tËp tÊt
c¶ c¸c sè x ®Ó '()
()
Px
c
Px
>
, lµ hîp cña mét sè h÷u h¹n khong kh«ng giao nhau. CMR, tæng
®é dµi c¸c khong Êy b»ng
n
c
.
Bµi to¸n 10: Cho a, b, c, r, s tho m·n a > b > c >0; r > s > 0. CMR,
......
rsrsrssrsrsr
abbccaabbcca
++>++
LG: Do a > b > c >0 suy ra
sss
abc
>>
víi s > 0, vµ tõ r > s > 0 suy ra
1
r
s
>
.
XÐt hµm sè ()
r
s
ftt
=
víi t > 0 dÔ thÊy f’’(t) > 0 víi mäi t > 0. Suy ra f(t) lµ hµm t¨ng
nghiªm ngÆt trªn
(
)
0,
+¥
. MÆt kh¸c theo ®Þnh lÝ Lagrange
(
)
(
)
,;,
ssss
mbanca
$ÎÎ sao
cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
'();'()
ssss
rrrr
ssssssss
fafbfbfc
abbc
fmfn
ababbcbc
--
--
====
----
do m > n vµ f’(t) t¨ng
nghiªm ngÆt trªn
(
)
0,
+¥
'()'()
rrrr
ssss
abbc
fmfn
abbc
--
Þ>Û>
--
suy ra
......
rsrsrssrsrsr
abbccaabbcca
++>++ ( ®pcm ).
Bµi to¸n 11: ( §Ò thi chän HSG tØnh B¾c Ninh 2005 – 2006 ):
Cho hµm sè g(x) cã ®¹o hµm g’(x) lµ hµm liªn tôc trªn
[
]
,
ab
.
§Æt
max'()
axb
Mgx
££
= vµ gi sö g(a) = g(b) = 0
Tr êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c
a. CMR, víi
(
)
,
xab
"Î ta cã:
()();
gxMxa
£-
(
)
()
gxMbx
£-
b. CMR,
( )
2
4
()
b
a
Mgxdx
ba
³-ò
HD: ë ®©y t«i chØ xin tr×nh bµy c©u (a), cßn c©u (b) ® îc suy ra trùc tiÕp tõ c©u (a).
[
]
,
xab
"Î ta cã g(x) = g(x) – g(a) = g’(c)(x – a) víi c
(
)
,
ax
Î.
Tõ ®ã suy ra,
(
)
(
)
()'()
gxgcxaMxa
=-£-
.
Hoµn toµn t ¬ng tù ta còng cã
(
)
()
gxMbx
£-
.
VËy ta cã ®iÒu phi chøng minh.