zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

Chia sẻ: Chu Ba Nam Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

554
lượt xem 140
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán 1: Cho f(x) xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng ax + by + c = 0 tại 3 điểm phân biệt. Chứng minh rằng xo thuộc R sao cho f'(xo) = 0 và f'(x) đổi dấu qua x = xo

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

Trêng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c Mét sè bµi to¸n ®îc gi¶I b»ng ®Þnh lÝ lagrange Bµi to¸n 1: Cho f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 trªn bÊt kú ®o¹n nµo cña R. BiÕt r»ng ®å thÞ hµm sè y = f(x) c¾t ®êng th¼ng ax + by + c = 0 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. CMR tån t¹i x0 Î R sao cho f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x = x0. LG: V× ®êng th¼ng ax + by + c =0 c¾t ®å thÞ y = f(x) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt nªn b ¹ 0. Ta ®Æt: ax + c g ( x) = f ( x) + th× ph¬ng tr×nh g(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. b Do f”(x) = g”(x) vµ f(x) cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 trªn bÊt kú mét kho¶ng nµo cña R nªn g(x) còng cã tÝnh chÊt ®ã. Theo ®Þnh lÝ Rolle th× tån t¹i 2 nghiÖm x1 , x2 víi x1< x2, cña ph¬ng tr×nh g’(x) = 0 sao cho g’(x) ¹ 0 víi "x Î ( x1 ; x2 ) vµ $x0 Î ( x1 ; x2 ) sao cho g”(x0) = 0. Ta thÊy g”(x) ®æi dÊu qua x0 , v× nÕu tr¸i l¹i th× g”(x) ³ 0 hoÆc g”(x) £ 0 trong [ x1 ; x2 ] ; tõ ®ã dÉn ®Õn g’(x) hoÆc ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn trong [ x1 ; x2 ] , ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra. Suy ra f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x0 (®pcm). Bµi to¸n 2: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi v« h¹n trªn R vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a/. $M > 0 : f ( n ) ( x) £ M , "x Î R, "n Î N . æ1ö b/. f ç ÷ = 0, "n Î N * . ènø CMR, f ( x ) º 0, "x Î R .. LG: ¸p dông ®Þnh lÝ Rolle trªn c¸c ®o¹n [ a1 ; a2 ] , [ a2 ; a3 ] ,..., ta dÔ chøng minh ®îc kh¼ng ®Þnh sau: Gi¶ sö f(x) cã ®¹o hµm trªn R. Gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (an) n ³ 1 héi tô ®Õn x0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(an) = 0 "n Î N . Khi ®ã tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (a’n) n ³ 1 héi tô ®Õn x0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f’(a’n) = 0 "n Î N . 1 Sö dông kÕt qu¶ nµy cho hµm f(x) víi an = , n Î N , sau ®ã ¸p dông tiÕp víi c¸c n hµm : f’(x), f”(x),… ta ®îc: æ1ö f (0) = lim f ç ÷ = 0 x ®¥ è nø f '(0) = lim f ' ( a 'n ) = 0 x ®¥ f ''(0) = lim f (a ''n ) = 0 x ®¥ …………………….. Nh vËy f ( n ) (0) = 0, "n Î N . Khai triÓn Taylor cña hµm f(x) t¹i x = 0 ta ®îc f ( x ) º 0, "x Î R (®pcm). Bµi to¸n 3: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi trªn [ 0,1] vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: f (0) = 0, f (1) = 1;0 £ f ( x ) £ 1, "x Î R .
Trêng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c CMR, tån t¹i a, b Î ( 0;1) , a ¹ b sao cho f’(a).f’(b) = 1.(OLYMPIC New – York -76) LG: XÐt hµm sè g(x) = f(x) + x – 1. Ta thÊy g(x) kh¶ vi trªn [ 0,1] , do g(0) = -1, g(1) = 1 nªn $c Î ( 0;1) sao cho g(c) = 0. Suy ra f(c) + c -1 = 0 hay f(c) = 1 – c. Theo ®Þnh lÝ Lagrange cho f(x) trªn c¸c ®o¹n [ 0; c ] , [c;1] ta cã: f (c ) - f (0) = f '(a ) víi a Î ( 0; c ) c-0 f (1) - f (c) vµ = f '(b) víi b Î ( c;1) 1- c f (c) 1 - f (c ) (1 - c)c tõ ®©y ta cã: f '(a ). f '(b) = . = = 1 (®pcm). c 1- c c (1 - c ) Bµi to¸n 4: Cho hµm sè g(x) liªn tôc trªn [ 0,1] vµ kh¶ vi trong (0;1) vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn g(0) = g(1) = 0. CMR, tån t¹i c Î ( 0;1) sao cho g’(c) = g(c). LG: XÐt hµm sè f ( x ) = e - x g ( x) ta cã f '( x) = [ g '( x) - g ( x)] e - x Theo ®Þnh lÝ Rolle ®èi víi hµm f(x) $c Î ( 0;1) sao cho f '(c ) = 0 hay [ g '(c ) - g (c )] e - c = 0 hay g’(c) = g(c). Bµi to¸n 5: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi trªn [ a; b ] vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1 a/. f (a) = ( a - b) 2 1 b/. f (b) = (b - a) 2 æ a+b ö c/. f ç ÷¹0 è 2 ø CMR, tån t¹i c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau c1 , c2 , c3 Î ( a; b ) sao cho f '(c1 ) f '(c2 ) f '(c3 ) = 1 LG: Theo ®Þnh lÝ Lagrange $c1 Î (a; b) sao cho f (b) - f (a ) f '(c1 ) = b-a a+b xÐt hµm sè h(x) = f ( x) + x - khi ®ã h(a).h(b) = - (a-b)2 < 0. 2 a+b Do ®ã $x0 Î ( a; b ) sao cho h(x0) = 0, hay f ( x0 ) = - x0 . Theo ®Þnh lÝ 2 Lagrange, f ( x0 ) - f (a) b - x0 $c2 Î ( a; x0 ) , c2 ¹ c1 sao cho f '(c2 ) = = x0 - a x0 - a
Trêng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c t¬ng tù nh vËy, $c3 Î ( x0 ; b ) , c1 ¹ c3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f ( b ) - f ( x0 ) x0 - a f '(c3 ) = = . Râ rµng c1, c2 , c3 ph©n biÖt vµ b - x0 b - x0 f '(c1 ) f '(c2 ) f '(c3 ) = 1 . Bµi to¸n 6: Ch o f(x) lµ hµm cã ®¹o hµm cÊp 2 liªn tôc trªn R vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(0) = f(1) = a. CMR, max { f ''( x )} ³ 8(a - b) víi b = min { f ( x)} xÎ[0,1] xÎ[0,1] Cho kÕt qu¶ më réng víi [ a; b ] Ì R . Bµi to¸n 7: Cho P(x) lµ ®a thøc bËc n cã n nghiÖm thùc ph©n biÖt x1 , x2 ,..., xn . n P ''( xi ) CMR, å P '( x ) = 0 . i =1 i Bµi to¸n 8: Cho x1 , x2 ,..., xn > 0 , ta ®Æt n n n s1 = å xi ; s2 = å xi x j ; s3 = å xi x j xk ;...; sn = x1.x2 ...xn i =1 1£ i < j £ n 1£ i < j < k £ n s1 s s s Si lµ c¸c hµm c¬ b¶n cña xi. CMR: 1 ³ 2 ³ 3 3 ³ ... ³ n n . ( THTT ) 2 3 n cn cn cn cn Bµi to¸n 9: Cho P(x) lµ ®a thøc bËc n cã n nghiÖm thùc ph©n biÖt, c lµ sè d¬ng vµ tËp tÊt P '( x ) c¶ c¸c sè x ®Ó > c , lµ hîp cña mét sè h÷u h¹n kho¶ng kh«ng giao nhau. CMR, tæng P ( x) n ®é dµi c¸c kho¶ng Êy b»ng . c Bµi to¸n 10: Cho a, b, c, r, s tho¶ m·n a > b > c >0; r > s > 0. CMR, a r .b s + b r .c s + c r .a s > a s .b r + b s .c r + c s .a r r LG: Do a > b > c >0 suy ra a s > b s > c s víi s > 0, vµ tõ r > s > 0 suy ra > 1 . s r XÐt hµm sè f (t ) = t víi t > 0 dÔ thÊy f’’(t) > 0 víi mäi t > 0. Suy ra f(t) lµ hµm t¨ng s nghiªm ngÆt trªn ( 0, +¥ ) . MÆt kh¸c theo ®Þnh lÝ Lagrange $m Î b s , a s ; n Î c s , a s sao ( ) ( ) cho: f '(m) = ( ) f as - f bs ( )=a - br ; f '(n) = r f bs - f c s br - c r ( ) ( ) = s s do m > n vµ f’(t) t¨ng a s - bs a s - bs bs - c s b -c a -b r r b - cr r nghiªm ngÆt trªn ( 0, +¥ ) Þ f '(m) > f '(n) Û s > s s a - bs b - c suy ra a r .b s + b r .c s + c r .a s > a s .b r + b s .c r + c s .a r ( ®pcm ). Bµi to¸n 11: ( §Ò thi chän HSG tØnh B¾c Ninh 2005 – 2006 ): Cho hµm sè g(x) cã ®¹o hµm g’(x) lµ hµm liªn tôc trªn [ a, b ] . §Æt M = max g '( x ) vµ gi¶ sö g(a) = g(b) = 0 a £ x £b
Trêng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c a. CMR, víi "x Î ( a, b ) ta cã: g ( x ) £ M ( x - a); g ( x) £ M ( b - x ) b 4 (b - a ) ò b. CMR, M³ 2 g ( x) dx a HD: ë ®©y t«i chØ xin tr×nh bµy c©u (a), cßn c©u (b) ®îc suy ra trùc tiÕp tõ c©u (a). "x Î [ a, b ] ta cã g(x) = g(x) – g(a) = g’(c)(x – a) víi c Î ( a, x ) . Tõ ®ã suy ra, g ( x ) = g '(c) ( x - a ) £ M ( x - a ) . Hoµn toµn t¬ng tù ta còng cã g ( x ) £ M ( b - x ) . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.