Toán học và tuổi trẻ Số 104 (5/1978)

Chia sẻ: Physical Funny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học và tuổi trẻ Số 104 (5/1978) được biên soạn nhằm cung cấp cho các bạn những kiến thức về liên phân số; phương pháp chung khảo sát tính đối xứng của đường cong; biểu thức của vô hạn phép tính; số nguyên tố. Bên cạnh đó, tài liệu còn đưa ra một số bài tập để bạn có thể thử sức mình trong lĩnh vực Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học và tuổi trẻ Số 104 (5/1978)

,{.1,. ..r.;:ri.:.: ._- -,:Yr:., !:i :':. _ ,l' Hor roaN rrQq VI$T NAM i:,: h lil pr l,r l;. [: I BAo PA tlAl ruAue MQT KY F. t Chfi nhi€m; NGUYEH cAag roAn rtu ks fda sosn, t fI Tru s&: 70 Tr5.n Hu,ng D4o' Hi N|i :lj::i:rrr:: Ii; ' !t. LI: &: .' ii, ldm suen mOf ch0t v1i LIEN PHAN 56 HOANG, CHING € I i' ;G. v r f. 6 tOp dlu c'6p III. ban iI5. hoc vD cln c6 hay m$t sO thip phAn, v6i sai sd khdng quri h' i vi bi6t ri.ng cEn l.ric hai cria cdc s6 kh6ng chtnh 11105D, b?n'o6 thb srl dgug ki6n thrtc erla lOp g.. phuong ld sd vd ti vA c6 thb bibu di6n blng tlhu cdp III thdi dE tri ldi rturyc khong? :i mOt sd th$p phdn u6 hqn kh,ong tuhn hodn. T6.l nhi€n, d6i.v6i sd th$p ph0,n v6 hqn kh0ng tuhn Sau d&y li m$t c{ch rfit don gi&n giirp bgo hoAn ta chi e6 th8 bi€t tlugc mgt s6 chir s6 trA ldi cAu h6i d6. ttrrd.p phsn cria n6 mirthdi. Thi dq: Chri f rilng y 2 :1,414')t... rt:3,141592... Ban ch6.o c6 lrio t\r illt vdn dE: llm th5 niro , r< /5:
ry t { .l TOU lgl lr o6: 3. Clc bilu thtc nhu y'T= r + l/or 1l 1+-'.1*- ,v.v... dl = 1 +l'laz d2= 2 * llat 1+-2 1 1+- 1 as: I * llat 2+1 ,l at=2 f 1/45 a5=tr*lloa dugc ggi ll'e6c liin phdn s6. M0t c{eh t0ng quit' 1i0n ph0n s6 bfc k liL biEu thue dgng trong d6 tilt cA *.'o, ua, ln s6 ngu-vtn duong' oo*T 1 Tri cic k6t qui tr0n dAy. ta c6 th& tim phln I sr+ cd biEu di6n ghn ,tilng Vf v6i d$ chln\ xAc a3*1 ngiry cirng cro. Ch&ng hgn n6u ta l{y ar:1 thi y'TE 1 + tlt:2' i I{y I NEu *; az=2n,iVret+ -j-=+' tnong d6 ngugdn, cdn dL a2;-'., ak ll s6 o6 lI ,* Ll0r: phln s6 b$c k duqc tf bif u , ngagd,, duong. ggn ll d3:1 ttrt /T:, * --= = + [ao, at, dz,.'., dk...] ,+ ---T Qua cAc tht dq & trOn, ta d[ thfly c6 thE tl8i ,* i mQt 1i0n phtn sd th')nh m$t phAn s6 thudng' Nsuli ta chung minh ring nguge lai, m5i s6 ri t--3, n hiu tl dEu c6 thF bi8u di6n duy nh{t dudi dqng LI (tinh tn du&i l€n: 2* 1+ -l = , mgt li€n phln rd b[c k niro dd' Thi dr.r: f. r33 .rn'tll. i ::--s+:-=5+3=5+' 7 :[s.a.2] ti. 7 7 I f I + -q- --r" ). s+j- 14 22 NEu ldy s4 x 2 lhl dutTc I 2s6-2+22 t- 1 '-=--' rg -l+ V3Ei+-- ii 7r7 tr7 _1I -2+j-6 + t r + -!-, 21 22 2+ =2q -t ll ,2+ ' r =[Z,S,S,Z.] r+TI -- ' 22 05:I thi iluoc 77 s+l ,- I 26 V3:l-:- = -'-- 37 0 _- 1 -. I 1*- 15 -J---= -6+ =-A1--:-6r 7 ' 1". 7 7 1+ 1 2+i-- 1 ,58 '1 - [- o, t, oJ. 4. Ndu ta k6o dni m6i c{ch llm cln bSc hei _1 y' s nhu dd lnrn & tr€u tht te di ddn mgt Cdc b4n e6 thB th6y rlng c6.c phin e6 tr€n "&" J *{" y' titn phdn sd u6 hqnt 1 d[y cho gtd tri ngily cing a, { "lriohv.v... "&u 2, 513, 714, tlltt,26/15, r-r .l- 1 : [], l, z, l, ?n 1,",,.1, Thuc vfy, binh phrrong cic s6 d6 ta c6 c6.c I girir tri ghn {Iung bing 3, v0i sai sO ngly clttg b0: l+.----_- I :4, (s/g)z : zblg 2,77... 2+ 22 - lJ- I (t l*12 - (rs/tr)2 4sl t8 - s,ob... g61 I t2t- 2,98... -. 2+-I = rc)z : 67 l+- ea l 6 I zz5 = :i,oot... ,}
Nguli ta d[ chrtng minh rlng mdi liln phdn ",I.ii,ta chuo ttm thr.y mgr quy luet gl trong biBu di6r td ud han bi?u diEn mit sd ud ti, od nguqo tqi n6 b&ng iiOo phAn sfi: rr:13, V, 15, l, 8l2, nrdi sd oG ti ttaqc bil"u diln Ddi mft ti€n Phdn 11'"'l' sd o6 hgit, 5. Li6n ph$.n e6 16 !B$t cOng cp e6 hl€u lpo trong nhi6u v$n tl& toin hge. N6i ri0ag. n6 girip Lioo phin s6 v6 hen bi8u di6n t/ g lr *Ot tleo ., trjiu di6n x{p ri cic s6 thlrc rilt tl$n lgi. vidt: Cbo s6 thuc a bi6u di6n b&i li0n phtn e6 /s=tr,t,2l. d : loo, ot, az, ,..) * C{c ban dE ding tim th[y rlug:. Xet lien phon s6 t ',lT*j,21, r/F= lz,7), /o=tz, r, r l. j co=[oo, at, "', a,]' s ' Sau khi thqc hi&n c6.c ph6p tinh trong do Ntrung kh0ng ph&i bao B!& ta cfing cd kdt qui i?(trl Cu6i l€n), ta tlugc rr6i ph$n o6 p,/0,,1 fi c(Igp> nhuv{y.TugiiiathdkiXvlli,nhitoi.u r'. goirln=prlenli gidn phin'bdc ncriadinfoa hgc vi dai 0-ie dd chung miuh rXng nrgi s6 v0 ;j':'c5 btc l& A' thi n { d.). ti deng ta+t-/i)la {a, b, c, d ngu5'€n d * Ol c6 th6 vi€t du&i dgng lien phin s6 vd ", j. I _, . Trong tht du tr€a fi{y v& tinr gia rri ,-- . han tutn hoin, vi ngrrEc lqi m6i li6n phdu s6 ' cria V 3:. o6 hqn tu!.n.troiru niAu atAn rngr s6 iu.,t.:o , le-: L:: 1,2, l,2, - - [t, z' t' t,2,1,...J. z' dsng (o + b'l;)/,t. i{hrr v3y, Ii6n phAn s6 giup " - cie :' '' " phan ta il{y mQt net bin ctr{t eia cdc ra un tt iang !a rla tinh giln uiy. NOi ii6ng, lidn phin s6 vd hsn tuhn dr:[t, f]:flt, a2:lt, 1,21=714, hoin ds = h, 1, 2, lJ _tsltt ,.... *.:, 11 : I r, 1] Ggi da: pn/Qn vi dn*t = pn+rlQo+tlr cAc gilu phdu b{c n vt bec a i .&a'"ilOn phan sO a biEu -1- di6o s6 a. Nguli ta"ch*ng minhl {luqc rlng n€u I+ I dnng PuiQn bi6u di6n s6 ct thi sai s5 mfr.c phii e8 I + ... bieu dr6n s6 e - (t + .l;)n.s6 rp xu{t hiQn rrong aT$ 'J;?";3;J'}r:}'it1'o1,':;:'; iYil a ph6p cbia v3rng ); phep chiar mdt doan thSng d4:26115 (0a - 15), ta m*e sci s6 nh6 hon thirnb hai ph5.n r, y iltrocgoi lir mdt( ph6pchia 1/(11.i5) ( 0,007, tuc li nh6 hon i/100. Tuong virng' (tuo ln mQt ph6p chia r{t dgp,l, n6u nhu . tt1 nhu v&y, e{c bqn c6 th$ ki$m tra lqi !'iing a+ g * n€u ta bi&u di6n .o / z lXng giin phan ft, z, z, 2, 2, 2,2] : 239/18S, rhi sai s6 se nh6 G = -.y hon 1/10i; do iI6 ndu dbi seng s6 thSp ph&n L{y y=1s1,1 r+l= 0., -*-1=0. i *2 }ili,;,?':l-;:if};,,_;ln',1"'uurl,ot"ol',1 -01-. Nghl€m duong cria phuong trinh ndy chinh Il s6 cp. Tu rhli thrrqng e6. ;guoi t" aa'tney ,ang D6t v&i s6 0i, tr c6 c!sfe z, t;, 1,292, 11,...J m$t hinh ch& nh&t (hinh d4ng quyEn s6ch, m{t nOn dr: [S, Z] *2217, Llt i,lruil:xi;: };:;lt"'1J,1J*l;i,"tlX d2 : rB, r, 151 :,Bs/,06, (phep as- [3, 7, r5, 1] = 365/.113, f dep mft ,rhat, do do *ri dgng rong rdi trong ddi 06n3. chia vingr;;;: da= [3, 7, 15, 1,2g2)- 103tig3/33102. Ddi vdi s6 e (co s6 cta to-ga-rir tu nht€n), Do d6, n6u lfly x o 22h tht sai a6 uh6 hon nguli ta tim thdy rhng 1/(2.106) < 0,002; vt 22lz =8,1428..., n€n c6 th6 e:12, 1,2, t, 1,1, r, r, 6, r, r, B, r, 1, r0, l, r,...1 li:lr";ij{rf:_It $:J,irltifl, Lieu phfln s6 vs han niy kh6ng tuln hoAn, nhung nh6 hon 1/(11S.J3102) < 0,0000008, vi vl B5f/ilg* :llt..:; ciing duqc la.p theo m6t quy IuAt: l, 2,.hai l[n :3,141bg2$... non c6 thE vi6t 3f.=:8.14160 (ci 1,4, hei l&n 1, 6, hri l[n ,,8,., E6i vrri e6 cr, ugu&i o6r,! sbi] 16 thgp ph&n tl]u chtnh xAc).
B4N EOC rlA ril: nA mgt n5.m qua, tOi tham gia sfrn xu[.t & Nhu v&y, ttr vigc glli bni to6n don gl6a li v hop t6c xil, nbung nh&ng trli to6.n mir dyng tto4n thang aVe t6i tld gili dugc bii to6n tOi g{p khi odn ngbi tr€n gh6 nhh truong sau : v{n sdng trong tOi nhu m$t kj'niQm kh6ng qudn. Vi thg, ngoili nhfl'ng gio lao i10ng, tOi lg.i d6u Bdi toln 2. Cho trudc fioan thf,ng a. Hny v6i oic bAi to6n. dgng blng thu&c vi eom pa Aoan th&ug ohr, NEm trudc, khi hoc bhi: ( Dung htnh biug vOi n lA s6 tu nhi6!. phuong ph6p tlqi ad r, thhy gido tld rs cho chring Biy gi& t6i tr& lai bii to6n 1. t6i bii todrn ssu: E& f ring tol,lilz - ulili - "."{f,- ta thfiy oflZ fA trung binh nhAn cria hai ilo4n Bdi to6n !,. Cho tru6'o 6oqn th&ng a. II0y e ,a of/2. (CAch dung ohrlng ta dErr de bi6t). dgng bHrg thudevi com pa doab thins aVZ. T6i di ddn bLi to6n t6ng quit sau: T6i cdn nh6 l& khi d6, ci ldp ehring tOi dBu chiu bd tay. T4i sao I4i d+ng tluo'c clogn Bdi toen 3. Cho trudc fioan thEng a. HEy ttr8ng oV2 ? Vt ch"Jrng tOi m0i chi hqc c6ch dung k iloqu th&ng oy'Z tf.ni bidt doan th&ng a) rh0i dqng bing ihu0e vlr com pir tloqn th8ng ary'I. mir... Thdi gian trdi ali, md b&i to6n d6 vEn k k-l khi la, khi hi$n trong tri nh0 oia tOi. DE i, ring trztilz - ,.r't/{ (hiah E{n nay, sau m$t th0i gian loay hoay, t6i d[ ta s€ c0 kli giai cira biri tolu 3 2). kh6m ph6 r'a su bi mff.t efia bli todn 1 vfr th6y rf,.ng cdoh dung deiqn ttr&ng aViti dqra tr6n viQo c6 do4n thfrng ay'il Tru0c h6t t6i cf,ng mu6n n6i thOrn diEu n&y: Trong lrlc duug tloan th&ug ol 2, tIi tim thdy mQt tliBu_thri vi lA: dna trtn crich dr.rng clo?n :: .t. i th8ng oVi, tr sE dung duo'c rloau tninla/r.., 6 .,i drra trtn cdeh dgng doan ih&ng o/ilr, tn re dr;ng duge iloqn th&ng n-fin ti,int f), Tr\ circ hii to6n u6i tr6n tOt tin ra bii todn t6ng ttrult ho'n: 1 _) tsSi to6n 4. Cho tru0c do4n tb8ng a' Hfly k dltng bXng thu&c vir compa tlogn thf,ng azy'i; vOi n,'k lir tirc sd llt nhiOn' NGUYf,N VIf,T TII}'NH (Odng lfd, Phric ThP, Nghi Ldc. Nghf Tintl
J : P * 3: AArlOh * BBtioBr I CCllOCl t\ ; :S/Sr*SlSz*SiSe > 3s/Vsrsrsa EH ffiffiH = gsisVs]ilsg ) es/(sr + sz * sa) *$ {r*wc = 9S/S = s. { Btt I/f0f. Cho tam gidc ABC cd g6c t uafngl dabng cao AH cd d6 ildi z. &4t IIB=t. HC-C. Chrhng minh rdng nlu ta cd ** g + z = {g. thi z2li. ,Lbi gidi. Vi tam qitc ABC vu6ug ntn ta co z' : xA. Tt do zo: tgz, Tbeo gii thi|t, *gz- r * g * z nOn ta c6 *r ,3=n*g*z (l) Ndu goi Il ln bin kinh fiulng trdD ngoal ti6p - Vfly P tlat Sr=Sz:Ss, gia tri nh6 uh6t bing 6 khi ttc ln khi O li trgag t[m crir trm tam gi*.c ABC thi 16 riug \ giitc ABC. . Bfi 3/101. Chttng minh r&ng u&i mgt tuc gidc l6i bdt bdt ki thl bqo giir cilng c6 thb tim ilwqc m$t dinh efi"a nb sao cho ba d.adng .chio *udt phitt tir dinh d6 c6 th? tiig tdm ba cqnh crt"a mgt tam gidc. Cd thb tim droc hai dinh (cfia l4c gitic lbi bdt k!) th6a mdn d.i?u kiQn b6n nag iningt Lbi gi&i. X6t duong ch6o dii nhdt cria'lgo gtic. C6 hai trudng hgp. 7. Tradng hqp drb'ng chio ddi nhdt chia lue gitic thdnh m$t tam gidc-u.d. m(t ngil gidc. Ch&ng hqn A1 ,{e li tluong ch6o dti nh{t. Ndu gii sri 1.1 khOng th6o min tinh ch{t q{o r+s-Illzz, dudng eh6o xu$t ph{t r* n6 c6 th8 ldy l&m be Vi v{y e_4nh cria nrgt tam giac, la chring minh As pbll t+g+2232; (gl th6e mEn tinh ch6.t d6. Tuc li u€u Trl (1) vi. (2) suy ra 's)32 ,2>l , >.1{ (it.p.c.m). Bni 2/l0l.tCha tant gridc ABC, O ld mgt di?m trong tam gidc, Cac itadng th&ng AO) BO, CO c&l * cdc cqnh cfra tom gidc taong trng tai At, Bt, Ct. Tim o! tri crt,a O d.? bibu thirc .:* ; F - OAIOAT 4 }BlOh + OCIOq dat gid tri nh6 nh?it. A1 Lbi gi&i. (cria nhiBu ban). Goi S li dign rich tam giSc , BC; Sr, tuong ung ln diQn tieb Sz, 53, c6c tam gi{c OBC, OCA, 0AB. Ta c6 . 4 ( Arls A1A5* AlAt (c) S-51fSz*Ss. thi phii cb Aals * .{s,40 },{rAs Db tim gi6 tri nh6 uh{t cfia P, ta tim gi6 tr! Th{t vey. Tu gi6c ArAsAsAo lbi n0n cic tlu
I --. AtAzAtAaAsAe cd A2, ds' de, Ao lgp thintr hlnlt utlc. COng rr[y, eic fiu&ng oh4o. cda tt gite vuOng cd canh b&ug 2: AtAzAt li tarn gi&c ctln ii,tgAaas pt Ai cflt nheu tgr Ii n&m tlong tti ed dut-rng cao Alfl = 3; A4ds43 lA iarn gi6c c&tt giic {td c6 du&ng cco A4I(: ti. Tr c6 B+n Ng6 Hftu Li6m (l6P 11 tru&ng Bti Thi d1I rr ArK ( ar,{r 4 AtAt" u XuAn, T,P. Hb Chi Minh) c6 lOi gi&r r6t. tr6t hqP v&i (*) ta c6 Ai I AtK
,- bl, do Bet 5/f Ot. Grd {ltri or, d2u..,Qtt$1, b71,.,, d0 Q!1 ci1...r c5 ld nifrng s6 daong ttd ta at*az*...*ao = 1 .2 2 ' bl*bz* ..,*bn = D o. T. cr+ c2*.'.*0. = C Ch*ng minh rdng BnI T/lOl. Vti nh t6 try nhiinuri 0((n*1)o( min I arDtct, azbx2, ' '., allbacal (,tf cln"' fi12, hilg ch{rnq minhl. Ldi gt&i (cir* nhl8u bqn). Ap dqng b[t itin3 (1jcos"o) (1*cosnr) ( tg nr tgr. tq thtlc C0-cl cho n 16 duong atlaz,...tdo t' duge Liri gi&i. Cdch 1(cria Ngd Hftu Liim, lop 11 t D-- t Bti Thi Xrrdn, Hd Chi niinh; N.gaudn udn Ti{n, Vor rz... ao ( ' (o1*cz*..'*oa), G YOn Phong, Hl B{c vi nhilu bqu kbic)' hry Tru0c h6t ta nhAn xdt ri.ug tr} 0 < (n * 1) o ( or c2...aE ( ta/n)". n/2 suy rr o { n" { xll v& o ( r{nlz. Tucral tu B[t tt&ng thu'c c]u chung minh tuong duongv0i ( (8/n)o. brbz ... a" ain nr sinr l-cor2ar< hay (do cosnr coga) 0) cl c2 ... c' xi (C/n)!. col nr cosr 2n*1, to. ,, (l) NhAn tung v€ c&r ira bf,t d&ng thuc nly v0i cor (n*t) r { cos otrru vI nhdnr cric s6 crin3 chl s6 lll, tr {luqe Te chrlng minh b$t deng thuc (1) bltng qui n1p' (otbtct) (r:zbzcz) '.. (anDncn) ={ (,trc/n31" (*) VOi n-1 bgt il&ng thuc (1) tr& thanh cos 2r ( Git sri m:$rin I afip1, a2bzc2, ....,dj.bacsl.ftt UO cos4c huv .o*4* - lcos2r +- 1 > 0, nghla ll sio4e ) tr" sgt t16,ng thuc ndv ctrlng vi 0 {r( gr/2' m ( oibicl voi mQi i=1,2,..,,n, vi v{y Gil s& riug bf,t tl8-ng thuc (l) dring vdi n = m" ( (arbrcr) kzbzcz)... (anbrlcn) (**) k- 1, tue lir v&i 0 (kc {frlz ta c6 1'* (*) vl (**) suy ra m"{GBCl.,s)o, hay eosftx ( cos(&-l)r, Q) "o.'o-', (1) tlung vOi n:Ic' trlc li rn -( ,r{6Clns (iIpcm). te chung minh cirng C.T. vOi0((A'+1)r < ?ri2tht coa (A'* t) r
Do gii thi6t 0 lfi'u. (*) 1ob (gE -- 99' 9c - 22. ,2) n+2": Trr) 2 d8,ng thitc vd v0i vE Ta c,5 Jg78u=2". g8$" ; 1978 ?o(989"+ 1); (Iou * 1ob) (9r * o o ltlk :zkrk ; ntn t& cdLc b6t d&ng thuc tren ta "2) suy ra Do a :L D ndn lou- lob + o, ta c6: 989"+1>2k*'iklgSs" gr-22=O ({) vi 10k ;> lgyg" ) 10&c": 103o, nen k ) 3n' thay (4) vio (3) ts c6 (5) Vi vt1y ?k-n5k nguyen, suy ra Q, !3 -- "2 :0 Qr1 2k-nbk=ggg"+ 1. (4t cho thfiy r lA sci ciriuh ph"ucrng, il4t c: A'2, c&ng do trc) 3n nan 2k-'I z*, 13y 2L-"5k i 4 tn (4) vn (5) suy ra g : 2k" ' z : 3Jc' v6i k Trongi:hi di) 98sR -{- 1 = (4.24i -l 1}" + 1 :4p +2 nguy6n d.uong. Vi r, g' z nhfn c&c gii tri kh0n$ chia hdt cho 4 tu 1 ddrr 9 n6n k chi e6 thb lil t haY 2' V&v ,Ians th\ic (ie) khsng th6 xhy ra, tuc ld Ydi /r:1 ta c6 c-1, y:2, z:3. uo .iro ro Ji,a tg;$n + 2" cirr:g phir bia; 1r' Ydi /r=2 ta cd r=4, !! =8, z:6. MSt viri ban m[c sai lhm hhi gii sit s6 ci:ft Yoi m6i cilp nghiQrn tr0n thi d&ng thuc (3) eti cta 197S" + ?" lcrn hon /< lni suy r" llgi'y ([rrg'c th6a rn[n v0i rnoi u, n6n dtng thitc (i) 197En+2">10k. 6ung v6i mt2i rt tqr niriOu. N6u c6 bdt dting thttc cltd.t d6 thi n}rti'ng suy T.T. lrr[n ti6p iheo rdt d6 tiirng. 'I'i6e thay, viSc chrrng minfr Oiu d-&ng Lhuc Xrhong xhy ra !6i li viQc Bdi 10/tGn. C/;o cric sd drorrg ct, s2' ... ,E r{t kho. nrlnr ngocii ;';/rod;l.q (.a, b) ud gl, g'2,". gu rrCni trong ktutdng (a, b) sao cia Bai 9i 101. l'im {flric tdt c& cde sd r, g, z dz dting fit + Nz + ,.. + trtt: Ar * Ua* ...9"' r Ch*ng minh rtLng i a fifi" .fr *g 9"".y ezz...z (tl ,El fiz.,. rr, ( gl !2..' 9s (1) |!.f;ry-
gEt kn mi+ '.;,:..,.-t=0i-ri , v6i i= 1, 2..., lt;
! t* ' gr < AAa + {r*r{} ci?. tlry tim giA tri oh6 nhlt ctic him: b. Tt dO suy ra EF < mar (AB' CDi' A:*2.n-rz**\ tren mi€n G n6i tr6n. L€ Trdn Ctrintr (EI{SP Vinh} TeVdn I{r (EIl Bdch ktroa HN) Bei 7/104. Troug khdng gian cho mQt s6 EflgC SINH TiM TOI htu hqn dlitm sao che 4 tliEm bSt k1i trong ohringln iliuh ciia m6t tu diQn c6 thB tieh kh6ttg .,.Bai glLA4. Tim t{t ci c6c s6 tu nhi6n A sao vugt qu& 1. Chung rninh r&ng t$'t ci eirc dibm cho khi te neng cht sd hirng don vi cria A df, cho dbu nim trong rnst tri diQo eo lh$ tich I8n lfly thr]a bic 4 thi ta iluqc chinh s6 A.- khOng vugt qu6 2?. Ngug6n Thanh llhfr Ld Trdn Chinh (10C Lc Hbug Phoag, H6 Chi ilIinb) { ." Edi lO/I04. ar, a2,... , dn li n sd duong vir BAi 8/r04. Gqi 6le t4p hq'p eac gia tri S : al * a: * ... * cr' Chriug minh rfing (au r.z) thSa mln c{c dibu ki$n (2S + at)/(S + 01) + (2S * cz)/(S + oil * ..' ..+ (2S * o")i(S a a") 2 (3/2) n. (kr + grz ( 6 NgugAn lftsrrh Nhd l2rr + rz --( a | *rlo,xz 2 o' Chi thich: Bii 4h04 do Phqm Hodng suu tdm fix nfi!.:{grllltt raAx uc)c-pab rryl'Nc PHtrtrNs PETAP CHUNG KI{AO SAT TiNE{ , B$I HI.ING CUA EUSNG CONG NGUYEN VAN CIIAN SfONC chuong trinh Eai sd t&p 1S, rau6n tim 1 ctng th&s rndn i: f A, Nhung r * r -2ro, E te* hoie irqc tt6i xung cira ttudng cong, y + g = 2go.Do d6 te c6 2go* A:/(2.t"-a:i hay' tr thuong pb&t pb{c hgr db tbi dE do6n 2y" - f(r) : f(2ro-r) v6'i urgi r Q Dt (li ah&n (dUa viro ede nh$n x6t : giao eria h*i rludug Ely chinh iA di|u ki|n chn ud dit d? di?m tiern c&n cd tbE ld tasa cl6i xueg, trlte d6i x*ng (16, pe) td t,rl'*. cia dtdng cong A = ftrc) thud'ng 6i qua diEnx e ue trl'"') vi rau &6 chung minb bing cri.eh chuyEn g6e toe tI$ ti6n vi tti Vi du voi f(r:) : PG)/Q(c), trong tl6 r'(r), Q(r) thieh hgp dE nlisn duqc nh&ng him 16 hodc lA cri,c da ,5ri.r, (1) sE c6 dqng: chEn. Vdn dE niy c6 th6 kh&o s{t ch$t ch6 vir 2go Qiu) Q(Lro* c) - P(*)Q{2ro * - Q(r) x duoi m$t d4ng chung hou nhu eau il&y. ') DINH NGHIA. BiBm tr (tlulng thing I) gqi lir mgi r seo ctto Q(o) * o' tArn (trgc) dtr6i xung (ti6t tfit lg t-d.x hs5c "&i Yd trAi ciia (2)' In mOt ila thue voi cac hQ t fr.
Gl[ ari drrlr*g cong g - 1\x) cr] ti$m ein (A) O dey (1) c€ c6 d6ng (xiOn hoXc Dgang) g:ae + D y& t.fi.x. (*o, Uo). 2gu- * o*2 *cc f d) e a (2ro - c)s + (acs Trr (1) te cd {b12xn- *)2 +e (2co- il+d c. 2go-fb) * ar!b-f{2'xs ---cr) - a(2ro*x}'b+ Sau khi khai triBn vi rl6ng nb{t cdc s6 hgng *Zax, * 2b. 'r ctng bfe, ta aEtim re. Khi c '+ 6 ta e6 f{x) - a:,- - b -> 0 vi. vi so = -- bl$a khi d6 2:t:o - o ---' oo n6n ta cflng c6 f (2xo - r) * n (.2ro - o) - &'"+" 0. Uo= 4axfi + 2b*! * ero* d iihu vAy cho r ---+ m te tlu?c g-afia * D,ttc tA c6 thA tbfr lai rlag nhu vay go - anl * DrB * 9o) G (A) (dpcrn). * c*" * d, ttc li (ru, go) tring v6'i diEm u6n. (e'o, Chi A. 'Iism ca.n tq x€t & ilay 1& ti6rn r:An ?RUCBdI XUNC. ?'rudc h€t ta tlm tor d0 hti chi6u, tuc lA khi r "+ * * c0nli nhx ktrri (rz, e --+ - a ta fibu cd /(r) - a*-b e tl. "rl'6u xdt gsj cia ttiEm tr{ d6i xiing v&i tli6m M @t,gt) cri ti6m e$n rn6t chiEu thi k€t lu+n tr'.ln cir ihE qurdu&ng th&ng(l) g:ar+ b, aJrA. khdng drlng. Vi du t.d.:;. (0,0) cria €rrirng creg Phuong trinh dudng thing gua tr{ vi vu0ng y = rrctg;r kh$ng ni,r: tri:n c6c duOng ii6m ci.n g6e r'&i (l) tl ng:ng rngt chitsu p - + rl12 cria n6. l'g (l) ctng suy ra rilnr, liu (ru, .yo) ln t.d.x. v-pr=--1-(r-rt) vir r = sl ln ti€m cf i; (ilung) cfia {c) thi iE ::: l;7o - ::t crlng ii tid ur can (ditng) crl* (ci, tlu&ng th&ng niry (; tai itiEm c6 t9a tI6 Vi t)U ?. Chung rninh r*.ng giao 6i8rn hai ttuorrrg "At io: :tl*aEr-ab yo=---..-a*r*a-at*b oo2+b**c -----;- ti$m *[n cd.a dudng eor]g g = a-*1 c'-l 1 c*d Edy chinh lfi di&rn gite eia doan .0fN. Do .i6 (vdi adl -1- i:zf * c + 0) ii t.d.x. duy nhdt cria ir5. (1-az)u*2ag1*2ub & aay (x) cd el6i:g : *2 *,Zrs -- ,tI s; or,z -1- b* + , 4"+1 .'!o - o(2;ro - t)z + b(2ro-a')+c ta!-1)gr *2art*2b (ri t-/l 2so-r-d gZ=2!o-g!= hay (2gor - - r 2g"d) (3ro - d\ - G*z * b* { c\x au+1 X (2so * s * il :|e - il (6.3.1 4 4ar2o- 4o;ror * Theo dinh ngbia, (l) lil tr. il. x. cria iluong cong * 2b.r'o - b r * c), Vo -* ct. ef (d khi vi chl khi vdi moi diBm (rr, yr) $ Ssu khi tri6n kLai vi. dbng nhSt. cdc hg g6 mi gr =/(rt) ia iIEu c6 gz:f k), rai rs vi 172 cing b6.c, ta ad di dl6n c6e diBu kigx : thi rinh theo et, gr qul oric cong thue (3). Noi cr{ch kh6c I Yo:aroib*ad Gz - ilf{g) * 2(ac -t- &) I Uz ^ zar J ll o*,cn o- cd-bdr o*Zadrl 'Tu rl6y (vdi iliBu kifn ad2 + bd + c * O) s6 a2,-f r (4) 6Uy ra . !-{
it P@o, Uo) thi tigp tuv6u rria (c) & P phii trung Dga vAo (5) enc han s6 lhdy ngay li: Ndu ho{c vuOng gric voi (l) (gii s& f '(r.) r:a). ttu ro klr i c *> ro) Hon u[la, n6u (rt, 0) vi (rr, 0) IA hai di6m lim f'b) = *->fio l- rtr"t rl6i xring nhau qua (8, ro) thi vi &-fd fi-fi| (2ro-d-(2ro- ri tlhung r, y tinh qua ic, g = f G) theo c{c cdng thtc (3), Vi v{y ta co __ fG) -f Gi ?;-fiL G_ t\Jl{) + 2{a"r + b) _ 02+ I [*;o) f'@i = -f' 6i, tuc la c14o hirn b0.c nh{t d6r f'k)- lirr ehiEu khi ![ua so. Nhlr viy & diy /(r) phii c6 f-, fio tI - az).x + zg f (n) -2nt) cgc tri. -- az +i-- -'" Vi DU 5. Tim n1, n, p, q (pq1-0) dE dtr&ng mr*n : rim fllG\fk")it2ar+tt--{l"l:lg_r) pft+q c"+c6 r-&o- o2 {,, *ro) -i- 2af (d -2ub tr, iL x. Luu j' li l'(ro) : aru * b, tu ciAy ta dluo,c 0 aay a-2, b:0 n€n (1) co d4ug / '2 Iinr \u - r)[1(rt - I'ro)]+za(r- ro) 3f(r)*1r +/t.r' - se- ---e' /'(ro) = ,{ \. ' n -+ not.-a?') (r*ro) + zo f/(r)-/(r")] \51 t. mt * n (a"-1\f'k")*2t Thay / (x) : , ta itugc (chi vi6t cic == p.t+q {t !-uz+2of'(ro) so hqng vdi sd mi cao nh{t). 'i; --;- Tri dfly rrit ra /' (*o)=ahoic l'(,r'o) = - 110p.*) 4prz * ... :_]lly-'_:_,.. viry Nhu \pc * -rp E -r... 5q Vi ttg duong th&tg vrla li tr. d.x. r,*a ln ti6p tuy6u (tpi ]rd.t cu di6m nao) c&a chinh n6, d6ng - lzpsra +... - - lSntpzxa -l ... Suy ra p=0, tLiir 1I (c)ph&i Id rluoug th6ngq = tnxlq*nf q. Do C6 thdi bet k j' tluong'th&ug nio vu6ng goc voi n6 rnu6n c6 duong th&ng y : 2a 7d. tr. rl. x.thi plrii ciiug lir tr. it. x. ciia n6. cb mlq =2, tt: 0 ho{c nf q: *1lZ h bet ki). uE ntktl r${fr( (}rrn* vO Hlrr .pHf p rimnl PH:\N BtlC THI\Ntl .i T.HONG Toriu hoc ta thucrng gXp nhirng bibu Kh:ii ni{m gidi han ddy cho ph6p ta xiy c&a, Il thrt" chua nrdt 'sdr vd han c6.c phep ttnh. dung rtu-o'c khii ni6rn t6ng ctra chu6i (1). Cr.r th& ,, Khi gdp c5c bi&u thuc nhu vAy vi6c truoc lir: ndu tdn tai gioi han cria ddy c{c t6ng ri€ng ti6n Ia elu phii dinh nghia rd ring phdp to{n {a: al * az * .., * rro chira troug bi6u thuc do. thi ta hi.o riug chu6i (t) h6i tu vA gidi h4n tim Ch&ng h4n cin tim t6ng cfia m$t sd vd bgu fiucrc ilutrc 6oi li. t6ng cira chu6i dd cho. , c6.c s6 hqng Kb{i ni6m. gioi h4n cirng cho phdp ta khi at+d.2+...+or*... (l) n[ng tEo n6n;i nghia cria c5.c bibu thuc L2
f;' t{ chrte mQt s6 vd h4n cAc phep ttnh. h1n: Ch&ng (2) I *+V *+l r{ n=v 2+v 2+l oJ- B* VI C_ I , v 5 1/3 y'5 ...... t: Cu thb ld d6i v dri oIe u thuc (2) ta h6y r6t ddy (+l (r*1) (r*1) :4 Khi gi&i cdc phuong trinh nly trudc hdt cln 1l--: ilfnh nghia rO ring phLp toin Foo vi churog x:l I{r, , rzB v 2+! 2 mlnh au tdn t+i cria gi6i h4n. CAc bi6u tiiire lo4i Fo" thudng g[P khi tinh t; 21+ 1l ,.il vi chuug ta hiiEu b) r.e u thrlc (2) ehu gioi h4n gln drlng. Ch&ng h4n dE tinh g[u dirng cfln b$c 3 cfia m$t s6 a ta tf,y s6 g[n iltng thri nhdt ao=a)o cue d5y rn: 16 ghn dung ti6p theo A=lim rn ur= 1 (2 ao+ alo,Ee) t?-+ @ -B DE dang chung minh dluoc ring (xem bli t{p vI tbng qudt s6 391 c&a 'IugEa tdp nhftng bdi todn so cdp tdp I t cria Plran dirc Chinh vi eic tic gii khdc) rn cnE at (2aa-t]-alal-t). It mQt ddy t{ng ng{t v?r bi cb[n trOn (ch&ng J han bdi tlZ + t. Do d6 dly ro cd gioi hqn khi D6 dirng obri'ng miuh dlutvc ring diy an c6 n ---) @. gioi hqn hfto bqn. Gqi lim dn: s. Khi d6 s)0 R6 ring vli n) 1 ta c6 vl s = lq (2s+o/s') ' rnal=!2i-al' - hay ,ia1-2*xn hayss:c.Suyre t=Vo. Trong thi drf tr6u' ddy g&n tlring aa tluqlc cho Chon--)o ta&uoe Az=2+A b&i hQ ihric \i A> 0 n6n ta tim dlucrc A = 2. an : f (or_t) Tuong trl ta hiBu A li gi0i hqn cria dEy ra, k) : -t- 1 trong il6 troDg d6 f (z * 4 af 12) va gi6i h4n s .) - r---- ,,=[rYr--l, crla day on li nghi*m eria phuong trinh f (.x): r (5) ^v,,!ll.r1R-r# n c1n Gil *& ta ci.n gi&i phuong trinh (5) trong d6 ?e sE chring minh rf,.ng B thqc sq t6n tqi. / le m$t hirm ndo tl{y c6 miBn xdc tlinh D. Ta l6y nr$t riiEm qo C D vir xic dinh dfly ttreo hQ Thlrc v{y thuc t"ruy hbi o, - 3Ii2 3rrl... 3lt?tr- Jtrz +1r4+"'+ lltn ,, : /(an_1). Do tlnh li&n tgc cia hAm g = 3" n€n Gi& thi6t rlng a, € D v6i moi n I N. Dinh lf l. I.{6u dfiy an hqi tq vts s vi h&m B=lim rn:3 lim/1/2 +...+rno) =3r=3. f li0n tqc khi ac = s thi s li nghi$m cfia phuong ll+e trinh (5). Cf,ng tuong tU, ta tim duqo C: V4b. Bey gid ta hBy x€t cic bi8u thuc log.i Fo" Tdm rt8i nhd ph6p to{n gi&i han chrlng ta c6 thb {linh nghia 'tluoc cdc bi6u thri,c .F-o" chrla mgt s6 vd han c{e ph6p tinh. Khi dd ta hi8u Fm nhu gioi han khi n + @ efio bi6u thrlc Fn, & Fn ph6p todn c&a chtng ta g+p rr lhn. Ftron {T 1 nita tritL5 ta c6 thE ndi il6uviOc gi&l ciLc c phuo'ng dT 12 trlnh > kh6ng binh thrrdng chrira c6c biBu thirc F-. Ching han cAc piruong trinir sau: nT vr 12. 2 13
4i t,t'fl ' t,.- ,I"\ ,'l - Li0n guah dcn diBu d{, te :Ety''"rdr ?, .,i(' ' ttnb hor tu cfia d[y (roEl (6) t(l Lo: oo*l (n) l) : t2 Di nhl0n tlnh b$i tg cfia dfty n&y phu thuQc - 12 viro tham a6 o. Tr.r df nh lyi 1 ta nh{o th$-v rlng ndu lim ro== s thl s lA nghigm *ira phuoag trinh or : r. vi 2 D6i v'Oi dly (6) ta c6 Dinh l! 2. Ddg (O) tdi tqr khi urt ehi ktti tA o6 f nghio. Cdn c6c bi&u thrlc sau li kh0ng (ri e)" ( a sl ru c6 oghie (ole\' -< r0i = 0,085988... cl/u = 1,444668.,. x . t" : dz 32 1 1tl0 Thco dinh lf 2 d2 q2 - I 100 { thl c{c biBu thtc Vil 3 va 100 TI{O r!*t FIIELJ VAI DIEIJ VE 56 NGUYEN T o rE rsdxc NHAr dgng {lB gi6i m$t s6 biri toin vi v ISC ogbienctu nhtng tinh chdt cria t&p hqp cde s6 nguy€n t6 d6n uay di cd r{t nbibu k€t qui hay, tuy nhi€n r'ln cdn nhiEu ( bi thB s& nguy&n t6. Nhu v{y t$p hqp c{c s6 tr: nhi6n chua v6 hqa sd m{t > eLur dugc kh{m phA. 0 bii nny. tOi muein c6.c s6 nguy€n t6. ?a h$y nhin t{p hgp ciLc s5 bu66 al[u gidi tbi€u v0i cic bgn rr,$t vAi tlnh ti3 nhitu dudi gdc dd id rnQt c{p sd c$ng v0i ch[t thir vi c'hr s6 nguytn td. al:0 vA ri:1. Trudc hdt, ohlc nhiEu bsn {I[ bi6t tlinh lf V$y c6 phli ohl co cd-p s6 c$ng d6 m&i chta khri tlgp rou d0y tE s6 nguy€n t6: v0 hgn cde s6 nguyen t6 hay sao ? Li$u mOt cdp s6 Dinh lf. Go vo h4n Eia s6 nguyon t6. c$ng bdt kf c6 thE cliua v6 hqn cdc t6 nguytn td duqc kh6ng? Chrtng rniaft; Chilng ta gii s&chi cd hilu hqn c6c sb nguy€u t6: Ndm 1t137, uhA ToAn hgc Ei-ric-I8 (nh& {oaa hgc ngu&i Duc dE r.$ nhiEu c6ng trinb &6ng Pr P2..., pt. V&Y hEY rdt s6: g6p cho gi&i ttch tc*u hgc li lf ihuydt sd 6 IV=p1p2...p1* 1 thg ky tht XIX) dE chirr:g nrinh €uqc r&ng: rO rlng N khdng chia h€t cno rn$t s6 nguy€o td c Ndu m$i e6p sS c$ng c* s6 hgng d&u vi c&ng pi (l :(i
d6 Xebero d[ ch&ng minh dusc m$t cich hoAn BAy gi0r' elc bgn hEy ph{t trl8n euy nghi theo toAn so ctp. (Cdc krgn thir nghi xern)' rn0t khl! egnh k&&e. Chirng ta h6y nhin o6ps6 o$ngr u1, al * d, ul * 2d,'.', ul * ktl: " i, d aay toi ehi gidi ttri{u phop chirrrg nriah d6[ nhrr lir df,y aic gi6 tri eria htm s6 /(h) : v6i vli cfip sd cQng &ic bi$t vir mong cic ban hly tlm c6ch chung minh cho c6'c c6p sd c{ng ut * ftcI tqi ihn luc,rt osc gi{ tri cira il6i s6 k = d{c bi6t khdc th6a mIn tli6u kiQn cia Bi-ric-16' 0, 1, 2,... I{i.m sd f(ft) lil ham sd bTc nh[t' N€u thay hirm s6 d6 t)&i m6t him s6 b6t kf khic Bii to0n. C6 vO h4n clc s6 nguyen t{t dgng g(c) thi ta hf,.y xet ddy s6 : 4l + 3 (v6i t It 16 tg nhien). s(o), s(t),...g(f)... L&i gt&it d aayote x6t cdP s6 cQng Lifu nd c6 chuo v0 hTu c{c e6 nguye! t6 hey fr " 3, 7, 11, 15,... Lh&ng ? (ut=3 ; d= 4 th6a min ttrilu kiQn Et-ricJ6) Thl thr: g(r) - r2+l t" e6 d6y s6 : I Ta phii chtng minh c$p s6 cQng nly chua v0 l, 2, 5,10, L7"" hgn cflc o6 nguYdn t6. 7 lipu eO v0 han cic sd nguy€u t6 trong'fi6 hey tln t1n khdng? NCu xet 3000 s6 hqngdhutl8n cdc b4n sE Ta gii sir ngucrc lgi : chi t81 hftu c6c t6. Cdn c$u tr& l&i cho e&u h6i ria s6 nguydn t6 dqng g-F 3r X6t N li tich'crie t{t c6 300 s6 nguyen dift ra thi il€n nay vEn chua iiugc gi6i ouy6t. Chl i6 nguyen IO=E'EG ao. "l I'ani"bidt ring ndu r : 1 (mod4)vi y = 1 (mod4)' ri€ng x6t vdi ^g (x) ln rn0t da thuc b$c n riao drl thi I vdn dE ctug di khd h6e bira rbi.ll{ong r}-ng c6c thl cy:1 (mod4).V{y tich cae s6 nguyen t6 nio ban hey tirn tdi vi sing lqo dE c6 uhirng kdt qui d6 dsng 4l f i khong thE ln sd 4N-1. flo tI6 s6 t6t du chi lir e on b6 nh5 so v0i bi i to6.n tbng qu{t. {N-I phli c6 it nh{t rnQt uoc sd nguy€ntd d4ng Cu6i ctng xin gfti tdi c6.e bqn 6 bii todn vE 4t +3, gii srl a6 le p. Ta co p ld uoc oia N vir p p lir cira sd nguy€n td (mn theo tdi bi€t) atdn nay YAn chua cilng lir udc c&a 4N - 1. Suy ra uOc - 1. c6 l0i giii d& c6.e b6n thu suy. nghi rndt each Nhr,rng p 2 3, v{y mAu thuin, v}r te c6 k6t qtrl cln chung nrinh. manh d+n: Cie ban s€ c6 kdt qu$ aoi vdi cdc s6 nguyon Bdi tad.n 1. Chung nrinh tbn tgi hdng s{I k sso t6 dsng 6, + 5, 10, t 1 ndu cltng phuong phip cho cd v0 hgn c6ie c6 nguyetr td p ri P'"thria tuong tq. mfln p'-p(k. Nhung l&i giii cho c6c sd nguyen td dqng 'B,ii to,ir, 2. Tin: h&ng s6 lc sao cho t6n tqi v0 1f + t, 6t + 1 thi lsi pbr'tc tqp hon sd c{p s6 uguy€n t6 P YS p' th6a m[u p'* P:k. nhiEu. - Xin gqi f cr{e bgn c6 thb di theo con iludng Bdi todnS. Chung minh ring v6i rnSr sd tr,t nhi6n tbdng qua bili toAn phu sau: chEn dEu c6 th6 bi6u diEn thnnh hiQu cira,2 s6 t \, Bii to6n phq l. Chung- miuh rlng: n6u tdu nguyOn t6 nio dri. '; tgi s6 nguytn r rao eho oz * 1 ohia h6tcho rd Bdi tcdn4. Chung ri,nhrung c6 y0 s6 c6c s6 nguy€n t6 p thi p phli c6 dang 1t+1. tr>L p-l sau d6 x6t N lir ttclr c6.c s6 uguy€n t6 dqng nguyen t6 p sao cho p' - cfing li- - 2 ., il i, J'r"i,3' i n-tr'udiT i, mQr mau thu6n. lfi"-l' .1' :?i';il e6 nguv 0n t 6, .Bdi tadn 5. Chring minh rfiqg tbn tai It nh{' tr bce+c v6i c' b' r Bii to6n pr!$ 2. "ch{rug minh rtng:.n6u tan ilnj#}t}ilr:i"}J' j#':""r* + tgi sd nguy0n r sao cho rB + 3 chia h6tt cno cho 6., s6 t6 p rhi p c6 dq.ng 6r+ l. /
KY ?${} "*'{} r& N q}Urpr: Tfr E, A N TE-Et. ?{} flll\ tbi to6n qri6c t6 lhn thir i0 'i*i d3. ,Juryc ti[n $ii 2. Cho P ld m6t rribm c6 dinh nirn ban H\. hdnh vio lhing,7 vu'a qu:r llu-crr-ret. tro*g m0t hinh ehu cho iruirc. tsa doan th&ng C6 17 nudrc dq thi in: f i6t ;!am, Pru-t:la- PA, PB, PC vudng g6c d*i m0t c6 Lra d[u nrrit ni, Bun-ga-ri, Tii.p Khfic, lia Laxr, Ll:r i3a, iit0ng A, B, C nim tr0n rnit ch.u. Goi Q iir diu m6t 96, hly, Anh, Pirlrp, Cf.rng h.ira liirr ba*g I)#c, thu hai cia ttudng ch6o IlQ cria hlnh bdp cht Ao, Narn Tu, I'Ia I-an, Ihuy Ilibn, Ilirln Lsn, 'trh8 nhet co c{c canh tn PA, PB, PC. Nht Kli (du thi iii.n r-th,n tiOn). 'I'r'ir Cu Brr ciri e& Tirn qui tleh cfra rli6rn Q khi ba d,ibm A, B, C bdn hgc sinh cao ntr6'c cdn lqi liBu crl dfr titrn ch4y tr€n mit ca u. hgc sinh d1t thi ' Irong s0 13? hoc sinh du thi t' cd b6n hgc sinh giri (tsun-ga-ri hai, Si6ng Cb vI (Mil da nghi, 7 tti?ml Nam Tu rn6i nrr#c mgt). Bni 3. Cho tgp hg'p tdt ci. cAe sd nguyen Cfi.ng nhu cdc kj. t-hi trudvc, hgc sinh dU tht drtoug lA hA,p cria hal t+p hqp con kh6ng giao phii gili s{u bni to{n v&i s6 di6m tdi da nhaw lfttl, ftzl,..., /ra), .. I vL I sliD, se),... ta 40. g(rr),.., I tlong do khi ehsm brli, h0i &6ng clt$m thi dE quy€t Sau dinh vi trao tXE:l rr5rn gi&i rahdt eho c6c thl einh ilat &rr{yc tr.r 35 ddn 40 di6rn (hai hoc einh vt (/(n)). * Ru-ma-ni, m$t hoc sinh LI.t, rn$t hoc sinh .A.nh g(n) =/ 1 voi moi n ) t. vi m$t hgc sinh Cgrg hda ii6n i:ang Ditc): hai Tim /(240). muoi gi[i irhi cho cic thi sinh dat duqc tu 27 (Ann d'c nghi, I diEry) al6n 34 di6m; ba muci t{m g;ii ba eho cdc liri sinh altt iluoc trl 22 ddl 25 diErn. DoAn hoc sirh nudc ta tlat duoc k€i qui rihu NGAY TH8 HAI sau. Hai gi6i nhi lt : Vt I(im TuSn 30 dibm f, I viNguy6n T'hatrh Tung 2$ di6m ; sdLu giii ba li : Bei 4. Cho tsm gi6c ABC irong d6 AE: AC. E5 Drlc Th{i 25 diErn, ild Einh Duhu 24 diEm, MOt aluong trdn ti6p xue trong voi dulng trdn I L0 Nhu Duoug 34 di6m, I{guy6n Tu?i"n Hring 23 ngoai tidp tam gi6e vi cfing ti6p xuc voi c{c di&m, Nguy6n [I6mg Th{i 23 (IiBm vit Nguy6n cgnh AB, dC theo thu tu tgr P, Q. 'frung IIi 22 diBm. .Chrtng miuh r&ng trung di6m cria Pe ia tam B| vl Trung ucrn6 Boi.u Thanh ni0n SiAo dqe dud'ng trdn ugi ti6p tan"r gi6c AEC. C6ng oin Ru-ma-nt edn tb chuc rngt eu(rc }9p Wfr dE ight, 5 di?m) d{c biQt ardi tru&ng dcirn cdc nuoc vir tdl eit c6c hgc sinh dqt giii du d3 teng mOt sd giii tssi 5. Cho lor. I Ia nr0t ddy s6 ngul'€n drroug thu&ng ngoni thb l$cfia eudc thi. DoiLu hoc sinh phnn bi{t (tr = 1, 2, 3,...). Chitng minh rfiug v6i nudc ta tluoe tflng mgt giii 6bng dgi dXa bitt ingi n ) i: a lh doin Cuy nhst c6 ci t6rn hoc sinh dat giii n. Em Nguy6n Hbng Thii iluqc m6t gili c5. nhsu d{c bigt c lit hge sinh d4t gi&i it tu6i Ett.f,t ). k:l k:t Sau il6y le d! thi a[rn oay. NGAY TII$ FA}IAT &&i 6. srgt rrgi -j,::: ::;':'#u,T],u" o ,, Bdi l.Cho m vl n li nhtng sd tV nhi€n voi 1978 ngrt0r duqc d{nh s6 thu tU tu 1 d6n 1978',i. r n > m ) 1. Trong caeh vidt thirp ph$n, ba Chung rninh rflhg c6 It nhtit m6t fgfi vien ml l cht s6 cu6i erin,g crla 1978- ttreo thu tg bing ba cht sd cu6i c{rng cria 19?8n " vi6n thu$e cring m$t nrrrlc vdi h$i feu d6 ho{c' Tim cde sd m vi o ."o t6ng m * n e6 gi{ bing hai lh.n sd thu tr,r eia m$t hQf-i'i€n thuQc tri ntr6 nh{t. "ilo citug rn'6t nu,,re vdi h$i vi€tt d6. ". (Cu Ba dE nqfti, 6 di&m) GIr\ I"an r{a nghi,8 diPm) In tqi Xi nghiQp irrr75 * 7? Hnng Bb * Ha n$i. Xong ngdy 25-10.1978 Chl sd : 12884 Gi{ 0.10d 1..