zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức có điều kiện tích các biến bằng 1.

Chia sẻ: Nguyen Cong Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

998
lượt xem 251
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Có một số bài toán bất đẳng thức với n biểu số sương thỏa mãn điều kiện tích của chúng bằng 1. Với loại bài toán này thường có...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức có điều kiện tích các biến bằng 1.

Chuyên ðề Semina ngày 21-10-2009 Tổ Toán tin MỘT PHÝÕNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ÐẲNG THỨC CÓ ÐIỀU KIỆN TÍCH CÁC BIẾN BẰNG 1. LÊ XUÂN ÐẠI (GV Trýờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Có một số bài toán bất ð thức (BÐT) với n biến số dýõng a1 ,a 2 ,...,a n thoả mãn ð kiện ẳng iều tích của chúng bằng 1 (ta thýờng gặp với n=3). Với loại bài toán này thýờng có khá nhiều phýõng pháp chứng minh. Chuyên ð nhỏ này xin ð ề ýợc giới thiệu một kĩ thuật ð biến số dạng ổi k k k x  x  x  a1   2  , a 2   3  ,..., a n   1  , trong ð x1 , x 2 ,..., x n dýõng (ta thýờng chọn k=1).  x1   x2   xn  ó Xin ðýa ra một số ví dụ minh hoạ cho phýõng pháp này Thí dụ 1. Cho ba số a,b,c dýõng thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: a b c 3 (1) ab  1 bc  1 ca  1 2    x y z Lời giải. Tồn tại x,y,z dýõng sao cho a  , b  ,c  , khi ð BÐT (1) trở thành y z x ó x/y y/z z/x 3 (x / z)  1 (y / x)  1 (z / y)  1 2    xz xy yz 3 (2) xy  yz xz  yz xy  xz 2     BÐT (2) ð theo BÐT Nesbit’s. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. úng Thí dụ 2. Cho ba số a,b,c dýõng thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 3    abc   (1) b c a a b c x y z Lời giải. Tồn tại x,y,z dýõng sao cho a  , b  ,c  , khi ð BÐT (1) trở thành y z x ó x 2 y2 z 2 x y z y z x 3   (2) yz xz xy y z x x y z       pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! 1 Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get yours now!
Chuyên ðề Semina ngày 21-10-2009 Tổ Toán tin Ta có (2)  x 3  y3  z 3  3xyz  x 2 y  xy 2  y 2 z  yz 2  x 2 z  xz 2 BÐT này ð theo BÐT Schur. Vậy bài toán ð chứng minh úng ýợc Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. Thí dụ 3. Cho bốn số a,b,c,d dýõng thoả mãn abcd=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 (1) a(1  b) b(1  c) c(1  d) d(1  a)    x z t y Lời giải. Tồn tại x,y,z,t dýõng sao cho a  , b  ,c  ,d  . Khi ð BÐT (1) trở thành: y x z t ó y x z t 2 xz zt yt xy    Áp dụng BÐT Cauchy-Schwarz ta ðýợc: y x z t (x  y  z  t)2 x  z z  t y  t x  y y(x  z)  x(z  t)  z(y  t)  t(x  y)     (x  y  z  t) 2 Ta chứng minh  2 (2) y(x  z)  x(z  t)  z(y  t)  t(x  y) Ta có (2)  x 2  y 2  z 2  t 2  2(yz  xt)  (x  t) 2  (y  z)2  0 . Do ð BÐT (2) ð ó úng 1 1 Vậy (1) ð chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b  d   . a c ýợc Thí dụ 4 (IMO 2000). Cho ba số dýõng a,b,c thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1  1  1  a  1   b  1   c  1    1   b  c  a x y z Lời giải. Tồn tại x,y,z dýõng sao cho a  , b  ,c  , khi ð BÐT cần chứng minh trở thành y z x ó (x  y  z )( y  z  x )( z  x  y )  xyz BÐT này ð quá quen thuộc với chúng ta. Bài toán ð chứng minh. ã ýợc Thí dụ 5 (IMO 2008). Cho ba số x,y,z khác 1 thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng: pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! 2 Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get yours now!
Chuyên ðề Semina ngày 21-10-2009 Tổ Toán tin x2 y2 z2  1 (1) (x  1) 2 (y  1) 2 (z  1)2   a b c Lời giải. Tồn tại a,b,c dýõng sao cho x  , y  , z  , khi ð BÐT (1) trở thành b c a ó 2 2 2  1  a   b   c       ab   bc  ca  2 2 2 1  a  b   b  c   c  a   1    1    1   1 (2)  4  a  b   b  c   c  a       ab bc ca Ðể chứng minh BÐT (2) ta ð u  ,v  ,t  , ta có ngay ab bc ca ặt (u  1)(v  1)(t  1)  (u  1)(v  1)(t  1)  uv  vt  ut  1 . Khi ð BÐT (2) týõng ð ó ýõng với u 2  v 2  t 2  2( u  v  t )  1  ( u  v  t ) 2  2( u  v  t )  2( uv  vt  ut )  1  ( u  v  t ) 2  2( u  v  t )  1  0  ( u  v  t  1) 2  0 Vậy bài toán ð chứng minh hoàn toàn. ýợc Thí dụ 6. Cho ba số x,y,z dýõng thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 2  2  2 (1) x  xy y  yz z  zx 2  b c a Lời giải. Tồn tại a,b,c dýõng sao cho x  ,y  ,z  , khi ð BÐT (1) trở thành a b c ó a b c 3 2    b  ac c  ab a  bc Ta có ; ab  ; bc  . Do ð ac ab bc 2 2 2 ac  ó a b c 2a 2b 2c a  2b  c a  b  2c 2a  b  c      b  ac c  ab a  bc 3 Ta sẽ chứng minh: (2) a b c a  2 b  c a  b  2 c 2a  b  c 4    Áp dụng BÐT Cauchy-schwar ta ðýợc: pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! 3 Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get yours now!
Chuyên ðề Semina ngày 21-10-2009 Tổ Toán tin a b c (a  b  c) 2 a  2b  c a  b  2c 2a  b  c a (a  2b  c)  b (a  b  2c)  c(2a  b  c)    (a  b  c) 2 (a  b  c) 2 3 (a  b  c)  (ab  bc  ca ) (a  b  c)2  1 (a  b  c) 2 4 2    3 Vậy BÐT (2) ð chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1. ýợc Cuối cùng là một số bài tập týõng tự Bài 1. Cho bốn số x,y,z,t dýõng thoả mãn xyzt=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2  2  2  2 2 x  xy y  yz z  zt t  tx Bài 2. Cho nãm số a,b,c,d,e dýõng thoả mãn abcde=1. Chứng minh rằng: a  abc b  bcd c  cde d  dea e  eab 10 1  ab  abcd 1  bc  bcde 1  cd  cdea 1  de  deab 1  ea  eabc 3      Bài 3. Cho n số dýõng x1 , x 2 ,..., x n (n  3) thoả mãn x1x 2 ...x n  1 . Chứng minh rằng: 1 1 1  ...  1 1  x1  x1x 2 1  x 2  x 2 x 3 1  x n  x n x1  Bài 4. Cho a,b,c dýõng thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 (a  1)  b  1 (b  1)  c  1 (c  1)  a 2  1 2 2 2 2 2   pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! 4 Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get yours now!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.