SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 1
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẲNG CẤP
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ
Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một kĩ thuật thường sử dụng để xử lí các
bài toán về bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong đó các biểu thức và
giả thiết của bài toán đều là những biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức đẳng cấp.
Trước hết xin nhắc lại định nghĩa biểu thức đẳng cấp:
Biểu thức 12
(,,...,)
n
fxxx
được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc
k
(
k
∈
¥
) nếu
(
(
1212
,,...,,,...,
k
nn
fmxmxmxmfxxx
=
Nếu biểu thức 12
(,,...,)
n
fxxx
là biểu thức đẳng cấp bậc 0 thì với phép đặt 11
,0
ii
xtxx
=≠
,
2,3,...,
in
=
ta có:
(
1223
(,,...,)1,,,...,
nn
fxxxfttt
= là biểu thức
1
n
−
biến, tức là ta đã làm
giảm đi số biến. Đặt biệt với biểu thức đẳng cấp bậc 0 hai biến thì ta có thể chuyển về biểu
thức một biến. Do đó để tìm cực trị của biểu thức này ta có thể sử dụng phương trình khảo sát
hàm số.
Sau đây là các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hai số thực
,
xy
thay đổi và thỏa mãn 22
1
xy
+=
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: 2
2
2(6)
122
xxy
P
xyy
+
=++ (Đề thi ĐH Khối B – 2009 ).
Lời giải.
* Nếu
01
yP
=⇒=
.
* Nếu
0
y
≠
thì đặt :
xty
=
ta có:
()
2222
22222
2(6)2(6) 2
2323
tytytt
Pft
tytyytt
++
===
++++
Xét hàm số
()
ft
, ta có :
()
()
2
2
2
4618
'
23
tt
ft
tt
−++
=
++
()
12
3
'03,
2
fttt
⇒=⇔==−
,
(
lim1
tft
→±∞
=
Lập bảng biến thiên ta được:
33
max()(3), min()()3
22
ftfftf
===−=−
Vậy:
max3
P
=
đạt được khi
2
3
11
10
1
xy
yt
=
=±=±
+
Và
min6
P
=−
đạt được khi
2
3
2
12
13
1
xy
yt
=−
=±=±
+
.
Ví dụ 2. Cho
,
xy
là hai số thực thay đổi và thỏa mãn 2
2
32
11
y
y
x
x
++= . Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2
2
12
3
y
Ay
x
x
=++ .
Lời giải.
Đặt
t
y
x
=
, từ giả thiết bài toán ta có: 2
222
1111
(32)11
32
tt
xxtt
++=⇒=
++
.
Do 2230ttt
++>⇒∈
¡
SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 2
Khi đó: 2
2
22
1321
(123)11
23
tt
Att
xtt
++
=++=
++
Xét hàm số 2
2
321
(),
23
tt
ftt
tt
++
=∈
++
¡
có 2
22
4(41)
'(),'()023
(23)
tt
ftftt
tt
++
==⇔=−±
++
(
)
(
)
2323,2323,lim()3
t
ffft
→±∞
−+=−−−=+=
Suy ra
max11.max()22113
Aft==+ đạt được khi
2
23623
1111
23
tt
x
yx
+++
=±=±
−−
=
min11.min()22113
Aft==− đạt được khi
2
23623
1111
23
tt
x
yx
++−
=±=±
−+
=
.
Ví dụ 3. Cho hai số thực
1
0,
4
xy
≥≥
thỏa
3322
2
xyxy
+=− . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
3
Pxy
=+
.
Lời giải.
Đặt
,2
xtyt=≥
, khi đó từ giả thiết bài toán ta suy ra :
()
2
32 3
2
12
1
t
ytty
t
−
+=−⇒=
+
Vì 322
1113
490(3)(3)03
42
ytttttt
+
≥⇒−+≤⇔−−−≤⇔≤≤
.
Ta có:
( )
22
33
(3)(2)327
31
11
tttt
Pyt
tt
+−−−
=+==+
++
Xét hàm số 2
3
327113
(),;3
2
1
tt
fttD
t

−−+
=∈=


+

, ta có: 432
32
34212
'() (1)
ttt
ft t
−++−
=
+
Vì
(
(
)
(
)
43233222
34212322930,
ttttttttttD
−++−=−+−+−+>∀∈
Dẫn tới
'()0,
fttD
>∀∈
. Từ đó ta tìm được:
113713
min1 28
Pf

++
=+=


đạt được khi
113
8
1
4
x
y
+
=
=
()
3
max13
2
Pf
=+=
đạt được khi
3
4
1
4
x
y
=
=
.
Ví dụ 4. Cho các số thực dương
,
xy
thỏa
1
xyy
≤−
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
32
32
2
yx
P
xy
=+ .
Lời giải. Đặt 3
2
2
0
y
tPt
x
t
=>⇒=+
SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 3
Khi đó
1
xyy
≤−
trở thành 2
10
xttx
−+≤
, vì
x
tồn tại nên bất phương trình này phải có
nghiệm
x
hay 2
404
ttt
∆=−≥⇔≥
Xét hàm số 32
2
(),4
fttt
t
=+≥
có
(
)
5
233
22
4
'()20, 4
t
fttt
tt
−
=−=>∀≥
Suy ra 4
513
min()(4)
8
tftf
≥==.
Vậy
513
min
8
P= đạt được khi
1
2
2
x
y
=
=
.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
,,
xyz
thoả
()3
xxyzyz
++=
(*), ta luôn có:
333
()()3()()()5()
xyxzxyyzzxyz
+++++++≤+ (ĐH Khối A – 2009 ).
Lời giải.
Đặt
;
yaxzbx
==
.
Khi đó gải thiết bài toán trở thành:
2
()3
xxaxbxabx
++=
13
abab
⇔++=
(*) và bất đẳng
thức cần chứng minh trở thành:
333
()()3()()()5()
xaxxbxxaxaxbxbxxaxbx
+++++++≤+
333
(1)(1)3(1)(1)()()
abababab
⇔+++++++≤+ (1).
Vì (*) và (1) là những biểu thức đối xứng đối với
,
ab
nên ta nghĩ tới cách đặt
;
SabPab

Mỗi quan hệ giữa
S
và
P
là 2
2
1
43
13
3440
S
P
SP
SP SS
+
=

≥
⇔

+=
−−≥
1
3
2
S
P
S
+
=
⇔
≥
.
Khi đó :
14(1)
(1)(1)11
33
SS
abababS
++
++=+++=++=
( )
3
333
(1)(1)23(1)(1)(2)(2)4(1)(2)
ababababSSS
+++=++−++++=+−++
Nên
323
(1)(2)4(32)4(1)5
SSSSSS
⇔+−++++≤
2
2320(21)(2)0
SSSS
⇔−−≥⇔+−≥
luôn đúng do
2
S
≥
.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Ví dụ 6. Cho các số thực ,,1;4;,
xyzxyxz




. Tìm giá rị nhỏ nhất của biểu thức
23
xyz
P
xyyzzx


(ĐH Khối A – 2011 ).
Lời giải. Đặt
1
,,;1
4
yaxzbxab





. Khi đó:
1
23231
xaxbxab
P
xaxaxbybxxaabb


Xét hàm số
22
13
(),'()
23
(23)()
ab
fafa
aab
aab



Xét 222
2
2
(23)3(
643
)
93
ababb
baa
a
b
b


2222
15433
351(43)0
abbbabbab
SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 4
Nên
()
fa
là hàm đồng biến trên
1141
;1()
441114
faf
b






Do đó:
41
()
11141
b
Pgb
bb


Ta có: 22
411
'()'()0
2
(14)(1)
gbgbb
bb


Từ đó suy ra:
134
()
233
gbg



hay
34
33
P
Đẳng thức xảy ra khi
1
4
4
12
2
a
xy
xz
b



, mà
4,1
,,1;4 2
xy
xyz z





Vậy
34
min
33
P.
Ví dụ 7. Cho
,,0
abc
>
thỏa 11
(2)4
ab
bc

++=


và
3
ac
≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức:
22
2
ab
P
ac
+
= .
Lời giải. Đặt
,;,0
axbcybxy
==>
Từ giả thiết ta có:
142(1)
(2)142
11
yy
xx
yyy

−
++=⇒=−=
 ++

Do 2
122
56023
3313
xayyy
xyyy
ycy
−
=≥⇒≥⇔≥⇔−+≤⇔≤≤
+
Khi đó: 22
3
2323
()
xyy
Pfy
xy yy
+−+
===
−
Xét hàm số
()
fy
với
2;3
y

∈

, có :
(
32
43
3232
32(23)
343
'()0, 2;3
()()
yyy
yy
fyy
yyyy
−−−−
−++

==<∀∈

−−
Suy ra 2;3
11
maxmax()(2)
6
Pfyf


===, đạt được khi
2
,2
3
abcb
==
2;3
minmin()(3)1
Pfyf


===
, đạt được khi
,3
abcb
==
.
Ví dụ 8. Cho các số dương
,,
abc
thỏa mãn : 111
()16.
abcabc

++++=


Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
2
.
ab
P
ab
+
=
Lời giải.
Đặt
,;,0
baycaxxy
==>
, từ giả thiết ta có:
( )
11
1116
xy xy

++++=


2
11
(1)1310
xyxy
yy

⇔+++−++=


(*)
SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
GV: Nguyễn Tất Thu 5
,,
abc
tồn tại khi
(*)
có nghiệm
,0
xy
>
hay là:
2
0
11
134(1)10
113
y
yy
yy
y
y
>

∆=+−−++≥


+<
2
00
11735735
301610 1722
1
13
yy
yyy
y
yy y
y
y
>
>
 −+

⇔+−++≥⇔⇔≤≤

 +≤


+<
.
Khi đó
2
Py
y
=+
, khảo sát
2
()fyy
y
=+
với
735735
;
22
y

−+
∈



ta tìm được
7352135
max 22
Pf

−+
==


, đạt được khi
735
2
35
2
ba
ca
−
=
−
=
(
)
min222
Pf==, đạt được khi
2
ba
cxa
=
=
với
x
là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
2
211323210
xx
+−−++=
.
Cuối cùng chúng tôi đưa ra một số bài tập để bạn đọc luyện tập.
Bài 1. Cho 22
xyxy1
++=
. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
22
Axxy2y
=−+ .
Bài 2. Cho các số thực
,
xy
thỏa 22
3
xyxy
++≤
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
22
Pxxyy
=−+
Bài 3. Cho
,
xy
là hai số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện 22
1
xyxy
++≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
22
2
2
1
xxyy
Py
−+
=+.
Bài 4. Cho
,0
xy
≥
thỏa 33
xyxy
+=−
. Chứng minh rằng 22
1
xy
+<
.
Bài 5. Cho các số thực
,,0
abc
≥
thỏa
33
42()
abcabc
≥−+ . Chứng minh rằng
(
)
444222222
7
3232
16
abcabbcca
++≥−+.
Bài 6. Cho các số thực dương
,,
abc
thỏa
2
3
abbccab
++= . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: 22
2
()()
()
acabcacac
Pbcab bac
−++
=++
++ +.
Bài 7. Cho các số thực dương
,
xy
thỏa
28
xxyy
+≥. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3322
3322
49
xyxy
P
yxyx


=+−+


.