Luận văn Thạc sĩ: Đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác

Đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác là một chuyên mục hấp dẫn đối với hình học sơ cấp. Tuy nhiên, việc phát hiện và xây dựng các hệ thức mới trong lĩnh vực này thường gặp khó khăn do tính phức tạp của các phương pháp truyền thống. Luận văn này nhằm giải quyết một phần bài toán đặt ra là tìm kiếm và chứng minh các đồng nhất thức và bất đẳng thức mới trong tam giác.

Luận văn này hữu ích cho sinh viên, giảng viên và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Toán học, đặc biệt là những người quan tâm đến hình học sơ cấp, bất đẳng thức và ứng dụng của đại số trong giải quyết các bài toán hình học liên quan đến tam giác.

Luận văn này tập trung nghiên cứu và trình bày các đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác, một chuyên mục quan trọng của hình học sơ cấp. Mục tiêu chính là khám phá và chứng minh các hệ thức mới, vượt qua những hạn chế của các phương pháp hình học truyền thống. Luận văn được cấu trúc thành ba chương chính. Chương 1 giới thiệu các kiến thức nền tảng và các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức liên quan đến tam thức bậc hai, bất đẳng thức Jensen, Karamata và Muirhead. Chương 2 là nội dung trọng tâm, xây dựng và chứng minh một số đồng nhất thức và bất đẳng thức mới trong tam giác thông qua việc khai thác phương trình đa thức bậc ba, đặc biệt là mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình với các yếu tố hình học của tam giác như góc, cạnh, diện tích, bán kính đường tròn nội/ngoại tiếp và bàng tiếp. Điều này giúp giải quyết các bài toán nhận dạng tam giác đặc biệt và chứng minh bất đẳng thức phức tạp mà các phương pháp khác gặp khó khăn. Chương 3 trình bày các kết quả nổi bật của J.Liu và Klamkin, mở rộng ứng dụng của lý thuyết véc-tơ trong mặt phẳng để chứng minh các bất đẳng thức hình học. Tóm lại, luận văn đã thành công trong việc trình bày các bất đẳng thức cơ bản và nâng cao, vận dụng hiệu quả lý thuyết phương trình đa thức và véc-tơ để chứng minh các đồng nhất thức và bất đẳng thức phức tạp, đồng thời làm rõ mối quan hệ sâu sắc giữa đại số và hình học trong nghiên cứu tam giác.