2
Mở đầu
Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng
trong giải tích và đại số. Có nhiều dạng toán hình học lượng giác và nhiều
môn học khác cũng đòi hỏi cần giải quyết các vấn đề cực trị và tối ưu...Rất
nhiều học sinh và sinh viên gặp khó khăn khi phải đối mặt với vấn đề này.
Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học, không chỉ là
đối tượng để nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong các bài toán liên
tục, lý thuyết rời rạc, lý thuyết phương trình....Trong hầu hết các cuộc thi
học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán khu vực hay quốc tế...các bài toán
về bất đẳng thức cũng rất hay được đề cập và thường thuộc loại khó và
rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị của các tổng tích
cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước
thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán ước lượng tương ứng.
Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất
phong phú và cực kỳ đa dạng. Có rất nhiều ý tưởng và cách tiếp cận khác
nhau để giải các bài toán này. Với đề tài" Một số lớp bất đẳng thức
dạng Karamata và áp dụng" tác giả trình bày một cách khái quát nhất
về bất đẳng thức Karamata đồng thời đưa ra một số lớp bài toán có thể
giải bằng bất đẳng thức Karamata.
Luận văn được chia thành ba chương với các nội dụng như sau:
Chương 1: Biểu diễn lớp các hàm số lồi (lõm) và tựa lồi (lõm)
khả vi.
Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của lớp hàm lồi, tựa lồi, hàm
lõm và thứ tự sắp xếp của hàm số sinh bởi hàm lồi.
Chương 2: Các bất đẳng thức dạng Karamata và các bài toán liên
quan.
Trình bày định lý Karamata, bất đẳng thức đan dấu, một số định lý mở
rộng với hàm lồi. Đưa ra một số bài toán tương tự và áp dụng vào giải bài
