“M t s d ng Toán ng d ng d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai”ộ ố ạ ứ ụ ạ ươ ủ ứ ậ
PH N I: M ĐUẦ Ở Ầ
1. ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
Toán h c là m t trong nh ng khái ni m tr u t ng nh t mà b não conọ ộ ữ ệ ừ ượ ấ ộ
ng i ph i t duy. Kh năng đm, tính toán và s d ng m i quan h gi a cácườ ả ư ả ế ử ụ ố ệ ữ
con s là m t trong nh ng thành t u vĩ đi nh t c a nhân lo i.ố ộ ữ ự ạ ấ ủ ạ Toán giúp cho
h c sinh có t duy logic rành m ch, đi u này m i ngành ngh c a các em sọ ư ạ ề ọ ề ủ ẽ
làm trong t ng lai luôn c n t i, chính vì th mà Toán h c r t quan tr ng điươ ầ ớ ế ọ ấ ọ ố
v i b n thân m i ng i h cớ ả ỗ ườ ọ . Do đó ng i giáo viên d y Toán ph i luôn trauườ ạ ả
d i v ki n th c và ph ng pháp gi ng d y đ theo k p v i xu h ng phátồ ề ế ứ ươ ả ạ ể ị ớ ướ
tri n c a b môn và t duy phát tri n c a nhân lo i. Là m t giáo viên d yể ủ ộ ư ể ủ ạ ộ ạ
Toán c a tr ng trung h c c s bên c nh vi c gi ng d y cho các em vủ ườ ọ ơ ở ạ ệ ả ạ ề
ki n th c c b n trong sách giáo khoa thì vi c b i d ng nâng cao cho cácế ứ ơ ả ệ ồ ưỡ
h c sinh khá gi i là m t nhi m v quan tr ng.ọ ỏ ộ ệ ụ ọ Tôi luôn ghi nh “K t thúc điớ ế ờ
h c sinh chúng em s không nh nh ng th y cô giáo đã gi ng cho nh ng bàiọ ẽ ớ ữ ầ ả ữ
toán khó. H c sinh ch nh nh ng th y cô giáo đã kh i g i, khuy n khích đọ ỉ ớ ữ ầ ơ ợ ế ể
chúng em có th t gi i đc nh ng bài toán đó” (Th gi i ph ng - Thomasể ự ả ượ ữ ế ớ ẳ
Friedman); hay m t câu khác “M t th y giáo vĩ đi là th y giáo bi t truy nộ ộ ầ ạ ầ ế ề
c m h ng”ả ứ . Là giáo viên d y toán ngoài vi c ti p thu ki n th c c a b môn,ạ ệ ế ế ứ ủ ộ
c a các nhà toán h c, tôi luôn ph i tìm tòi sáng t o nh ng ph ng pháp gi ngủ ọ ả ạ ữ ươ ả
d y phù h p cho t ng đi t ng h c sinh đ mang l i cho các em h ng thúạ ợ ừ ố ượ ọ ể ạ ứ
h c t p và k t qu h c t p t t nh t. Trong nh ng năm g n đây, qua quá trìnhọ ậ ế ả ọ ậ ố ấ ữ ầ
gi ng d y tôi nh n th y có r t nhi u d ng toán khó mà đ gi i đc thì taả ạ ậ ấ ấ ề ạ ể ả ượ
ph i đa v ả ư ề d ng toàn ph ng c a đa th c b c haiạ ươ ủ ứ ậ .
Trong ch ng trình toán trung h c c s thì b y h ng đng th c đángươ ọ ơ ở ả ằ ẳ ứ
nh vô cùng quan tr ng, đc bi t là hai h ng đng th c đu tiên: (Aớ ọ ặ ệ ằ ẳ ứ ầ
B)2=A2
2AB+B2. Chúng không nh ng giúp cho h c sinh ph ng pháp tính nhanh,ữ ọ ươ
m t phép bi n đi đ rút g n m t bi u th c mà chúng còn đc s d ng vàoộ ế ổ ể ọ ộ ể ứ ượ ử ụ
các d ng toán khó nh : ạ ư Gi i ph ng trình, ch ng minh b t đng th c, tìm giáả ươ ứ ấ ẳ ứ
tr l n nh t, nh nh tị ớ ấ ỏ ấ … và khi bi t v n d ng hai h ng đng th c này đ đaế ậ ụ ằ ẳ ứ ể ư
các đa th c v “ứ ề D ng toàn ph ng c a đa th c b c haiạ ươ ủ ứ ậ ” thì vi c gi i cácệ ả
bài toán đó l i không m y khó khăn.ạ ấ
Trên th c t ng d ng “ự ế ứ ụ D ng toàn ph ng c a đa th c b c haiạ ươ ủ ứ ậ ” vào
gi i các bài toán: ảGi i ph ng trình, ch ng minh b t đng th c, tìm giá trả ươ ứ ấ ẳ ứ ị
l n nh t, nh nh tớ ấ ỏ ấ … ch a có tài li u nào khai thác đy đ m i d ng toánư ệ ầ ủ ở ọ ạ
đã nêu trên, trong khi đó các d ng bài t p này luôn đc đa vào trong cácở ạ ậ ượ ư
2/32
“M t s d ng Toán ng d ng d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai”ộ ố ạ ứ ụ ạ ươ ủ ứ ậ
đ thi h c sinh gi i, đ thi vào l p 10 và đ thi vào các tr ng chuyên … h cề ọ ỏ ề ớ ề ườ ọ
sinh mu n gi i đc thì ph i s d ng “ố ả ượ ả ử ụ D ng toàn ph ng c a đa th c b cạ ươ ủ ứ ậ
hai”.
T lí do trên tôi xin phép gi i thi u sáng ki n ừ ớ ệ ế “M t s d ng Toán ngộ ố ạ ứ
d ng d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai” ụ ạ ươ ủ ứ ậ v i hy v ng r ng s giúp íchớ ọ ằ ẽ
đc cho quý đng nghi p trong quá trình d y h c.ượ ồ ệ ạ ọ
2. M C ĐÍCH C A SÁNG KI NỤ Ủ Ế
Sáng ki n đc tôi vi t v i m c đích truy n th cho các em ph ngế ượ ế ớ ụ ề ụ ươ
pháp, cách th c h c t p môn toán đn gi n, d hi u nh t. Giúp các em thànhứ ọ ậ ơ ả ễ ể ấ
công trong h c t p, đt k t qu cao trong các kì thi vào trung h c ph thông,ọ ậ ạ ế ả ọ ổ
kì thi h c sinh gi i. Và đc bi t mang đn cho các em m t hành trang v ngọ ỏ ặ ệ ế ộ ữ
ch c đ các em có th v ng b c trong cu c s ng sau này và tr thành nh ngắ ể ể ữ ướ ộ ố ở ữ
nh ng ch nhân t ng lai c a đt n c v a có tâm, có tài, có t m nhìnữ ủ ươ ủ ấ ướ ừ ầ
khoáng đt. Và nói theo cách nói c a nhà văn huy n tho i Sôlôkhôp trongạ ủ ề ạ
ph n k t c a truy n ng n n i ti ng “S ph n con ng i” thì: Nh ng ng iầ ế ủ ệ ắ ổ ế ố ậ ườ ữ ườ
này thì dù đâu, gi c ng v gì thì h cũng s đóng góp tích c c, góp ph nở ữ ươ ị ọ ẽ ự ầ
thúc đy s phát tri n c a đt n c Vi t Nam thân yêu c a chúng ta!ẩ ự ể ủ ấ ướ ệ ủ
Bên c nh đó tôi cũng mong mu n r ng nh ng kinh nghi m c a mìnhạ ố ằ ữ ệ ủ
đc th hi n trong sáng ki n có th góp m t ph n nào đó giúp các đngượ ể ệ ế ể ộ ầ ồ
nghi p c a mình nh ng kinh nghi m nh t đnh trong gi ng d y.ệ ủ ữ ệ ấ ị ả ạ
Là m t ng i giáo viên vi c vi t sáng ki n kinh nghi m là m t nhi mộ ườ ệ ế ế ệ ộ ệ
v vô cùng quan tr ng v i ngành giáo d c và v i nhà tr ng. Bên c nh đóụ ọ ớ ụ ớ ườ ạ
vi c vi t sáng ki n kinh nghi m là m t hình th c t rèn luy n trau d i thêmệ ế ế ệ ộ ứ ự ệ ồ
v chuyên môn nghi p v v ph ng pháp đ không ng ng nâng cao ch tề ệ ụ ề ươ ể ừ ấ
l ng gi ng d y. Và đó cũng là trách nhi m c a m i chúng ta đi v i s phátượ ả ạ ệ ủ ỗ ố ớ ự
tri n c a ngành giáo d c và s phát tri n c a đt n c. ể ủ ụ ự ể ủ ấ ướ
3. NHI M V C A SÁNG KI NỆ Ụ Ủ Ế
Nghiên c u c s lí lu n c a ph ng pháp d y h c Toán theo đnhứ ơ ở ậ ủ ươ ạ ọ ị
h ng hình thành và phát tri n năng l c ng i h c.ướ ể ự ườ ọ
Xây d ng ph ng pháp h c Toán theo đnh h ng hình thành và phátự ươ ọ ị ướ
tri n năng l c c a h c sinh. Truy n th cho h c sinh nh ng ph ng pháp,ể ự ủ ọ ề ụ ọ ữ ươ
kh năng t duy lôgic c a Toán h c góp ph n nâng cao thành tích giáo d cả ư ủ ọ ầ ụ
c a h c sinh nói riêng và nhà tr ng nói chung.ủ ọ ườ
Ti n hành th c nghi m s ph m trong nhà tr ng.ế ự ệ ư ạ ườ
4. PH M VI NGHIÊN C UẠ Ứ
3/32
“M t s d ng Toán ng d ng d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai”ộ ố ạ ứ ụ ạ ươ ủ ứ ậ
Nh ng c s lý lu n đ nghiên c u gi i pháp. Th c tr ng h c và gi iữ ơ ở ậ ể ứ ả ự ạ ọ ả
các d ng toán c a h c sinh.ạ ủ ọ
Nh ng gi i pháp rèn luy n kĩ năng gi i ữ ả ệ ả “M t s d ng Toán ng d ngộ ố ạ ứ ụ
d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai” ạ ươ ủ ứ ậ cho h c sinh l p 8, 9 đt k t quọ ớ ạ ế ả
cao trong các kì thi.
5. Đi t ng nghiên c u:ố ượ ứ
Các d ng toán: Gi i ph ng trình, ch ng minh b t đng th c, tìm giá trạ ả ươ ứ ấ ẳ ứ ị
l n nh t, nh nh t c a đa th c.ớ ấ ỏ ấ ủ ứ
Các đ thi h c sinh gi i, đ thi vào l p 10, đ thi vào tr ng chuyên l pề ọ ỏ ề ớ ề ườ ớ
ch n.ọ
6. PH NG PHÁP NGHIÊN C UƯƠ Ứ
Nghiên c u lí lu n: Nghiên c u trong các sách b i d ng, sách nâng caoứ ậ ứ ồ ưỡ
và phát tri n, các đ thi h c sinh gi i, đ thi vào l p 10 và các đ thi vào cácể ề ọ ỏ ề ớ ề
tr ng chuyên l p ch n, nghiên c u trên m ng internet, nghiên c u qua đngườ ớ ọ ứ ạ ứ ồ
nghi p …ệ
Nghiên c u th c nghi m: Ti n hành so n gi ng giáo án và d y th cứ ự ệ ế ạ ả ạ ự
nghi m trên h c sinh l p 8A, 8B trong tr ng tôi công tác và d y cho các điệ ọ ớ ườ ạ ộ
tuy n h c sinh gi i và h c sinh thi vào l p 10 và thi vào các tr ng chuyênể ọ ỏ ọ ớ ườ
l p ch nớ ọ
Phân tích đi chi u: Phân tích đi chi u yêu c u gi a chu n ki n th c,ố ế ố ế ầ ữ ẩ ế ứ
chu n kĩ năng đi v i h c sinh l p 8, 9 b c trung h c c s v i nh ng bàiẩ ố ớ ọ ớ ậ ọ ơ ở ớ ữ
ki m tra, kh o sát c a h c sinh, tìm ra nh ng h n ch ch y u c a các emể ả ủ ọ ữ ạ ế ủ ế ủ
khi Gi i ph ng trình, ch ng minh b t đng th c, tìm giá tr l n nh t, nhả ươ ứ ấ ẳ ứ ị ớ ấ ỏ
nh tấ
Đa ra nh ng gi i pháp đ giáo viên v n d ng vào vi c rèn luy n kĩư ữ ả ể ậ ụ ệ ệ
năng s d ng “ử ụ D ng toàn ph ng c a đa th c b c haiạ ươ ủ ứ ậ ” cho h c sinh nh mọ ằ
phát huy kh năng t duy, sáng t o, c a các em h c sinh. ả ư ạ ủ ọ
7. TH I GIAN NGHIÊN C UỜ Ứ
T tháng 9 năm 2012 đn tháng 6 năm 2015ừ ế
4/32
“M t s d ng Toán ng d ng d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai”ộ ố ạ ứ ụ ạ ươ ủ ứ ậ
PH N II: N I DUNGẦ Ộ
CH NG 1ƯƠ
C S LÍ LU N C A V N ĐƠ Ở Ậ Ủ Ấ Ề
Trong quá trình gi ng d y môn Toán cho h c sinh, sau khi h c xong haiả ạ ọ ọ
h ng đng th c “Bình ph ng c a m t t ng” và “Bình ph ng c a m tằ ẳ ứ ươ ủ ộ ổ ươ ủ ộ
hi u” thì vi c ng d ng hai h ng đng th c đó vào vi c gi i các lo i bài t p:ệ ệ ứ ụ ằ ẳ ứ ệ ả ạ ậ
Gi i ph ng trình, ch ng minh b t đng th c, tìm giá tr l n nh t, nh nh tả ươ ứ ấ ẳ ứ ị ớ ấ ỏ ấ
… luôn có t n su t cao nh t trong b y h ng đng th c đáng nh , chính vìầ ấ ấ ẩ ằ ẳ ứ ớ
v y h c sinh cũng thu c hai h ng đng th c này m t cách nhanh nh t, nhi uậ ọ ộ ằ ẳ ứ ộ ấ ề
nh t và nh lâu nh t.ấ ớ ấ
Th c t càng v g n đây nh ng bài t p gi i ph ng trình, ch ng minhự ế ề ầ ữ ậ ả ươ ứ
b t đng th c, tìm c c tr c a m t đa th c b c hai và nh ng đa th c đcấ ẳ ứ ự ị ủ ộ ứ ậ ữ ứ ượ
quy v đa th c b c hai xu t hi n ngày càng nhi u trong các kì thi h c sinhề ứ ậ ấ ệ ề ọ
gi i, thi tuy n sinh vào l p 10 và thi vào các tr ng chuyên l p ch n … ngoàiỏ ể ớ ườ ớ ọ
nh ng bài t p có th gi i theo các ph ng pháp c b n đã đc gi i thi uữ ậ ể ả ươ ơ ả ượ ớ ệ
trong sách giáo khoa thì có r t nhi u các bài t p khó không th áp d ng ngayấ ề ậ ể ụ
d ng c b n đc và khi đó “ạ ơ ả ượ D ng toàn ph ng c a m t đa th c b c haiạ ươ ủ ộ ứ ậ ”
là m t ng d ng vô cùng h u hi u. ộ ứ ụ ữ ệ
Các d ng t ng quát mà h c sinh c n nh đ gi i toán.ạ ổ ọ ầ ớ ể ả
1.1. H ng đng th c bình ph ng c a m t t ng, bình ph ngằ ẳ ứ ươ ủ ộ ổ ươ
c a m t hi u.ủ ộ ệ
( )
2
2 2
2A AB B A B+ + = +
( )
2
2 2
2A AB B A B− + = −
1.2. D ng toàn ph ng c a m t đa th cạ ươ ủ ộ ứ
T ng quát : ổ
5/32
“M t s d ng Toán ng d ng d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai”ộ ố ạ ứ ụ ạ ươ ủ ứ ậ
M t đa th c b c hai vi t d ng ộ ứ ậ ế ở ạ
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 n n
a A a A a A ... a A c+ + + + +
trong đó
1 2 3 n
a ;a ;a ;...;a ;c
là các s th c, còn ố ự
1 2 3 n
A ;A ;A ;...;A
là các đa th cứ
ch a bi n ta g i là d ng toàn ph ng c a đa th c b c hai.ứ ế ọ ạ ươ ủ ứ ậ
1.3. Gi i ph ng trìnhả ươ
T ng quát : ổ
=
=
+ + + + = =
1
2
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 n n
n
A 0
A 0
a A a A a A ... a A 0 ....
A 0
Trong đó
1 2 3 n
a ,a ,a ,...,a
là các s th c cùng d u.ố ự ấ
1.4. Ch ng minh b t đng th cứ ấ ẳ ứ
T ng quát : ổ
Trong đó :
>
1 2 n 1 2 n
a ,a ,....,a ,c R;a ,a ,....,a 0
và
1 2 n
A ,A ,...,A
là các đa th cứ
ch a bi n.ứ ế
D u “=” x y ra khi và ch khi: ấ ả ỉ
=
=
=
1
2
n
A 0
A 0
....
A 0
1.5. Tìm c c tr c a m t đa th c b c ch nự ị ủ ộ ứ ậ ẵ
1.5.1. Tìm giá tr nh nh t c a m t đa th c b c ch nị ỏ ấ ủ ộ ứ ậ ẵ
T ng quát: ổ
= + + + + +
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 n n
A a A a A a A ... a A c c
Trong đó :
>
1 2 n 1 2 n
a ,a ,....,a ,c R;a ,a ,....,a 0
và
1 2 n
A ,A ,...,A
là các đa th cứ
ch a bi n.ứ ế
D u “=” x y ra khi và ch khi: ấ ả ỉ
=
=
=
1
2
n
A 0
A 0
....
A 0
=> Giá tr nh nh t c a đa th c A là cị ỏ ấ ủ ứ
1.5.2. Tìm giá tr l n nh t c a m t đa th c b c ch nị ớ ấ ủ ộ ứ ậ ẵ
T ng quát: ổ
= + + + + +
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 n n
A a A a A a A ... a A c c
Trong đó :
<
1 2 n 1 2 n
a ,a ,....,a ,c R;a ,a ,....,a 0
và
1 2 n
A ,A ,...,A
là các đa th cứ
ch a bi n.ứ ế
6/32