zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Báo xấu

14
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THCS "Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị" được thực hiện với mục đích nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn đại số nói chung. Rèn luyện khả năng tư duy, giúp học sinh có những hứng thú toán học, khắc phục tình tạng thụ động, dập khuôn, máy móc trong quá trình giải bài tập. Mời các bạn cùng tham khảo sáng kiến!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị

Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 1 PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là bộ môn khoa học trí tuệ cao nhất đồng thời là chìa khoá mở cửa, tạo nền cho tất cả các ngành khoa học khác. Song toán học mà chúng ta đã, đang và tiếp tục nghiên cứu nó phần lớn trên cơ sở lý thuyết nhưng nó cũng đã góp phần nhiều cho thành tựu khoa học thực nghiệm như Lí học, Hoá học, thiên văn học và Tin học... Ngay từ thời kì tiền của loài người, toán học đã hình thành từ những vật cụ thể để đi đến phép đếm rồi so sánh. Trải qua qú trình lao động sáng tạo con người không những chiếm lĩnh khoa học ngày một hiện đại và sáng tạo, tìm ra những quy luật của các con số, phép toán, công thức toán học và cả những chân lý... Ngày nay bộ môn Toán chiếm một ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là trong dạy học, học tập, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao dộng nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh học và giải các bài toán, đó cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy giáo dạy Toán. Ai cũng biết rằng muốn giải toán phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, gải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn và tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp sốcủa chúng. Như nhà tâm lí học, toán học cổ Xô Clat đã nói “Những hiểu biết mà ta thu được một cách không khó khăn thì sẽ không lâu bền, chúng ta chỉ (có thể do sự giúp từ bên ngoài) những gì mà ta tìm hiểu được cũng giống như cây cối chỉ sự dụng thứ nước do rễ của chúng hút được từ trong lòng đất” (Đối thoại toán học). Để đạt được nhiệm vụ trong giảng dạy muốn vậy người thầy dạy toán, học sinh phải kiên trì biết vận dụng kiến thức đã học trong nhiều tình huống khác nhau. Một bài toán thường có Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 2 nhiều cách giải, mỗi bài toán nằm trong mỗi dạng toán khác nhau, nó đòi hỏi phải vận dụng kiến thức đã học trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, do đó phải xếp bài toán nào vào vấn đề nào là một việc rất khó, và cũng khó ở một số bài toán được gặp ở hai hoặc nhiều vấn đề khác nhau. Trong chương trình phổ thông cấp 2 hiện nay các loại bài tập thật đa dạng, phong phú và không ít phức tạp, mà học sinh gặp khó khăn. Trong khuôn khổ của đề tài này, xin nêu một số phương pháp đề cập đến giải toán về “Bất đẳng thức và cực trị”. Phải nói rằng các loại toán này là khó, đa dạng mặc dù trong chương trình cấp 2 (từ lớp 8 9) đã đề cập song học sinh gặp nhiều bế tắc khi đứng trước loại toán này. I.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn đại số nói chung. Rèn luyện khả năng tư duy, giúp học sinh có những hứng thú toán học, khắc phục tình tạng thụ động, dập khuôn, máy móc trong quá trình giải bài tập. Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức về bất đẳng thức bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của một số dạng toán thường gặp. I.3. THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM I.3.1. THỜI GIAN Thời gian để tôi nghiên cứu đề tài là 2 năm I.3.2. ĐỊA ĐIỂM Địa điểm để thực nghiệm đề tài là học sinh các lớp khối 8 khối 9ủ trường THCS Mạo Khê II Đông Triều Quảng Ninh I.4. ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Trong tình hình đổi mới sự nghiệp giáo dục, đặc biệt quan tâm tới những học sinh có năng khiếu, ham học tập, thì đòi hỏi người thầy đặc biệt quan tâm, giúp đỡ các em về phương pháp giải toán. Cũng các loại bài tập này Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 3 hiện nay hay được đề cập đến và trong các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp huyện thị trở lên, cũng có thể nói rằng loại toán bất đẳng thức cực trị không chỉ ở trong bộ môn đại số và cả trong hình học, không những trong lý thuyết toán, mà có thể áp dụng trong thực tiễn. Từ những vấn đề nêu trên, những khó khăn, tác dụng, yêu cầu của toán học, đó cũng là lí do chính để chọn đề tài: Phát huy trí lực học sinh trong giải toán “Bất đẳng thức cực trị” ở lớp 8 9. PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG II.1. CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN Nắm được định nghĩa bất đẳng thức, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đại số, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng. Nêu một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức. Một số dạng toán cực trị và phương pháp giải chúng. II.2. CHƯƠNG 2 : NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU II.2.1. BẤT ĐẲNG THỨC Ta đều biết để so sánh hai số a, b R chỉ có thể xảy ra ba trường hợp: a > b a b > 0 a
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 4 Trong khi học trong chương trình thì học sinh phải nắm thật vững, cơ bản và sâu sắc về định nghĩa bất đẳng thức, cùng với các tính chất và phương pháp chứng minh. II.2.1.1. Định nghĩa: a, b bất kỳ R: a > b a b > 0 a 0 A B là những biểu thức chứa chữ v biến số A
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 5 Vì bài toán về bất đẳng thức thường đa dạng, phức tạp mới chỉ có định nghĩa thì chưa thể giải hết được các bài tập. Như vậy cần nắm vững những tính chất sau: II.2.1.2.1 a > b a + m > b+ m a, b, m II.2.1.2.2 a > b am > bm nếu m > 0 am c => a > c II.2.1.2.4 a > b và c > d => a + c> b + c 1 1 II.2.1.2.5 a > b và ab > 0 => a b II.2.1.2.6 a > b > 0 và c > d > 0 => ac > bd II.2.1.2.7. a > b 0 và m Z+ => am > bm II.2.1.2.8. a > b 0 và n Z+ => n a n b Đó là những tính chất rất cơ bản cần trang bị cho học sinh khi tiếp nhận vấn đề này song các tính chất trên không có tính chất hai chiều. Trong khi giải bài tập đòi hỏi việc biến đổi đồng nhất hay tương đương là vô cùng quan trọng, nó đòi hỏi phải nắm kỹ kiến thức cơ bản và kĩ năng kĩ xảo. Cũng cần trang bị cho các em những vốn kiến thức cơ bản như chứng minh và công nhận những bất đẳng thức đúng để các em giải nhanh và góp phần cho sự tư duy để giải các bài toán khó. Ví dụ: Trong khi giải các bài toán ta có thể lấy những bất đẳng thức đáng nhớ như: (a b)2 0 (a + b c + d....+)2 0 Tổng quát hoá (a b +...+)2k 0 Hoặc ai mà ai là những số dương => ai 0 Hoặc: trong biểu thức có tổng độ dài của các yếu tố về đoạn thẳng hoặc các tính chất về mối quan hệ cạnh (góc) của tam giác. Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 6 II.2.1.3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng. II.2.1.3.1. Dựa vào định nghĩa tức để chứng minh: A > B ta xét: A B nếu A B > 0 thì khẳng dịnh A > B là đúng. Nếu A B B ta biến A > M; B > N rồi so sánh M với N: M > N => A > B Hoặc biến đổi tương đương dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. II.2.1.3.3. Dụa vào các bất đẳng thức đúng đã biết như các hằng đẳng thức...đã nói ở (2) II.2.1.3.4. Dùng phép làm trội: thường chứng minh với bất đẳng thức là một dãy số. Tách dãy đó thành những nhóm có giá trị tổng đặc biệt nào đó theo một quy luật nhất định để tính được giá trị tổng gồm nhiều hạng tử. Giả sử: M1 + M2 + M3 + ...+Mn > P i Khi đó ta tính M i ; k 1 II.2.1.3.5. Dùng phép phản chứng để chứng minh: Để chứng minh A > B ta giả sử A B từ đó dẫn đến những điều trái giả thiết. a2 b2 Ví dụ: Chứng mih: ab 2 a2 b2 Giả sử: ab a2 b2 2ab 0 2 ( a b) 2 0 (vô lý) a2 b2 Vậy ab 2 II.2.1.3.6. Dùng phép trung toán (hay quy nạp toán học) Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 7 II.2.1.3.7. Dùng phối hợp các phương pháp trên một cách hợp lí và lôgic. Nói chung các bài tập về bất đẳng thức là rất đa dạng và khá phức tạp. Thông thường những bài toán vận dụng phương pháp dùng định nghĩa, phép biến đổi tương đương phản chứng đỡ khó khăn hơn và gần gũi với học sinh hơn hoặc kết hợp các phương pháp. Bài toán về bất đẳng thức thường là cho dưới dạng khi biết một số điều kiện nào đó hãy chứng minh một biểu thức, bất đẳng thức ở nhiều (hay đề cập) ở đại số song có cả ở trong hình học cũng thường gặp. Việc giải bài toán về bất đẳng thức là khó bởi lẽ đương nhiên ngoài kiến thức cơ bản liên quan tới bất đẳng thức, đòi hỏi phải vận dụng một cách đúng đắn trong trường hợp nào cho phù hợp. Kĩ năng biến đổi tốt giúp cho trong khi giải đỡ dài dòng và tránh được những sai lầm góp phần cho sự tư duy, sáng tạo một cách chắc chắn. II.2.1.4. Thực tiễn trong giải toán và hướng dẫn (các ví dụ) II.2.1.4.1. Chứng minh rằng a > b > 0 thì a 2 > b2 Dùng định nghĩa để chứng minh: Xét a2 b2 = (a b) (a + b) Vì a > b => a b > 0 à a > b > 0 => a + b > 0 => (a b) (a + b) > 0 a2 b 2 > 0 a2 > b2 Như vậy trên cơ sở điều phải chứng minh dùng định nghĩa và kết hợp điều kiện cho biết để lí luận điều phải chứng minh. Nếu ta thay đổi điều kiện ngược lại như sau: Nếu a > 0, b > 0 => a > b a2 > b2 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 8 ở đây nếu dùng định nghĩa việc chứng minh xét a b đến đây ta không thể biến đổi tiếp được, vì vậy ta khai thác điều kiện ta có: Vì a2 > b2 a2 b2 > 0 (a b) (a + b) > 0 Đến đây học sinh phải nắm được việc xét tích m.n > 0 m, n cùng dấu để vận dụng vào bài toán. Vì a > 0; b > 0 và => a + b > 0 mà (a b) (a + b) > 0 => a b > 0 a > b Trong những bước đầu hình thành kĩ năng cơ bản cho học sinh, giáo viên thường xuyên cho các em chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản, rồi sau khi đã chứng minh được thì công nhận chúng để vận dụng vào các bài toán phức tạp hơn. II.2.1.4.2. Chứng minh (a + b)2 4ab. Khi nào thì dấu bằng xảy ra? Dùng định nghĩa xét: (a + b)2 4ab a2 + b2 2ab = (a b)2 0 => Dấu bằng xảy ra khi a b = 0 a = b II.2.1.4.3. Cho a, b không âm. Chứng minh a b ab 2 Với điều kiện của bài toán a 0, b 0 nên ta có thể vận dụng: a = ( a )2; b = ( b )2 Dùng phép biến đổi tương đương ta có: a b a b ab ab 0 2 2 a b 2 ab Xét vế trái: VT 2 a + b 2 ab = ( a b )2 0 nên => điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 9 Thông qua bài toán này giáo viên giới thiệu bất đẳng thức trên (bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm) Có thể giới thiệu công thức (định lí CôSi) Với 3 số không âm: a, b, c Ta luôn có a + b + c 3 3 abc Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Tổng quát a1 + a2 + ...+an n n a1a 2 ....a n với các ai (i = i, n ) không âm Cần nhấn mạnh điều kiện để có thể vận dụng được định lí Côsi và với các số không âm * Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 (a +b + c) ( ) 9 với a, b, c > 0 a b c 1 1 1 a a b b c c Cách 1: Xét (a +b + c) ( ) = 1 + 1 1 a b c b c a c a b a b b c c a = 3 + ( ) ( ) ( ) b a c b a c Từ bất đẳng thứ đúng: (a b)2 0 ta có: a2 + b2 2ab Do a, b > 0 nên a.b > 0 ta có: a b ( ) 2 b a b c a b b c c a Tương tự: ( ) 2 => 3 + ( ) ( ) ( ) 9 c b b a c b a c c a ( ) 2 a c 1 1 1 Hay (a +b + c) ( ) 9 a b c Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số không âm: Ta có: a +b + c 3 3 abc 1 1 1 1 33 a b c abc Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 10 1 1 1 abc => (a +b + c) ( ) 9 3 = 9 a b c abc Rõ ràng vận dụng định lí Côsi giải ngắn gọn hớn và cũng không phức tạp Trên cơ sở đó sử dụng kết quả 4.2.1 vận dụng vào bài toán sau: x y z 3 Chứng minh bất đẳng thức: với x, y, z 0 y z z x x y 2 Dựa vào bất đẳng thức chứng minh trên ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y Rõ ràng a,b, c > 0 1 1 1 Ta có bất đẳng thức ( )( x y z ).2 9 y z z x x y 1 1 1 9 (x y z) ( y z z x x y 2 x y z 9 1 1 1 y z z x x y 2 x y z 9 3 3 y z z x x y 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z II.2.1.4.4. Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì 2 x y 2 Đối với bài toán này ta không thể dùng trước định nghĩa hay biến đổi, áp dụng các bất đẳng thức khác mà ta phải xuất phát từ bất đẳng thức đúng nào đó Từ: x2 + y2 = 1 (*) và từ (x y)2 0 Ta có: x2 + y2 2xy => 2xy 1 (**) Cộng (*) với (**) ta có: x2 + 2xy + y2 2 (x + y)2 2 | x + y| 2 hay 2 x y 2 2 2 Dấu bằng xảy ra x = y = hoặc x = y = 2 2 * Chứng minh rằng nếu a + b = 2 thì a4 +b4 2 Xét a4 +b4 2 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 11 Dùng phép biến đổi đồng thức: Vì a + b = 2 nên ta có thể đặt: a = 1 + m b = 1 m Có: a4 +b4 2 = (1 +m)4 + (1 m)4 2 = 1 + 4m + 6m2 + 4m3 + m4 + 1 4m +6m2 4m3 + m4 2 = 12m2 + 2m4 0 vì m2 0 ; m4 0 Vậy từ đó => a4 +b4 2 Dấu “=” a = b = 1 hoặc a = b = 1 nhưng vì a + b = 2 => a = b = 1 (loại) II.2.1.4.5. Cho 4 số a, b, c, d.Chứng minh (ab + cd)2 (a2 + c2) (b2 + d2) (1) Dùng phép biến đổi tương đương: Từ (1) a2b2 + 2abcd + c2d2 a2b2 +a2d2 +c2b2 +c2d2 a2d2 2adbc + b2c2 0 (ad bc)2 0 Đây là hằng đẳng thức luôn đúng với a, b, c, d R Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ad bc = 0 ad = bc a c hay nào để k = b d Trên đây cũng chính là bất đẳng thức Bunhiacopski Từ đó đối với học sinh khá giỏi có thể đưa ra trường hợp tổng quát mà không đòi hỏi phải chứng minh vì việc chứng minh rất phức tạp đối với học sinh cấp 2 mà chỉ yêu cầu nhìn nhận đúng và sử dụng đến bất đẳng thức. Cho 2n số a1, a2,...an R và b1, b2,...bn R. Khi đó ta có (a1b1 +....+anbn)2 ( a 12 +....+ a 2n ) ( b 12 +....+ b 2n ) a1 a2 an Dấu “=” xảy ra khi .... k b1 b2 bn Vận dụng kết quả bài toán 4.3.1. trên đưa ra bài toán: 1 Cho 4x 6y = 1. Chứng minh rằng 4x2 + 9y2 8 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 12 Thật vậy từ giả thiết: 4x 6y = 1 2.2x + (2).3y = 1 Rõ ràng a = 2; b = 2x; c = 2; d = 3y Ta có [2.2x + (2).3y]2 [22 + (2)2][(2x)2 + (3y)2] 1 8 (4x2+ 9y2) 1 4x2 +9y2 8 2 2 Ta có: 8 [2 2 ( 2) 2 ] 2x 3y 2 1 2 1 => x = ; y = 10 8 24 12 1 1 Vậy dấu “=” xảy ra khi x = ; y = 8 12 II.2.1.4.6. Loại toán dùng phương pháp làm trội Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 1 5 ... 1001 1002 1003 1999 2000 8 Rõ ràng vế trái gồm tổng của 1000 phân số và nhóm thứ nhất 1 1 1 1 ... (*) 1001 1002 1003 1250 250 hạng tử 1 1 1 250 1 Vì ... nên (*) lớn hơn 1001 1002 1250 1250 5 Tương tự nhóm thứ hai: 1 1 1 1 250 1 ... 1251 1252 1253 1500 1500 6 Nhóm thứ ba: 1 1 1 1 250 1 ... 1501 1502 1503 1750 1750 7 Nhóm thứ tư: 1 1 1 1 250 1 ... 1751 1752 1753 2000 2000 8 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 13 1 1 1 1 1 1 1 5 Vậy : ... 1001 1002 2000 5 6 7 8 8 II.2.1.4.7. Loại chứng minh bằng quy nạp Với những số nguyên dương n nào thì bất đẳng thức sau đúng: 2n > n2 Dùng phương pháp quy nạp: Dùng phép thử: Với n = 1 : 2 > 1 đúng Với n = 2 : 22 = 22 không đúng Với n = 3, 4 bất đẳng thức không đúng Với n = 5 : 25 > 52 đúng Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k Z; k 5) 2k > k2 Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nghĩa là: 2k+1 > (k +1)2 Thật vậy 2k + 2k (k2 + 2k + 1) (2k k2) + [2k [2k + 1] Vì 2k > k2 (đúng điều giả sử trên) Vì k 5 => 2k > 2k+ 1. Do vậy bất đẳng thức đúng với n = 1 và n 5 1 1 1 * Cho An = 1 + ... n (n Z; n > 1) 2 3 2 1 n Chứng minh bất đẳng thức: An n 2 Trong một số phương pháp trên trong các bài toán đã trình bày qua các ví dụ thì các phương pháp làm trội, phương pháp quy nạp là gặp khó khăn đối với các em bởi lẽ phương pháp này ít được đề cập trong trường phổ thông (loại trừ trường chuyên, lớp chọn). Do đó cần hướng dẫn chi tiết cho từng đối tượng học sinh cũng không nêu ra nhiều mà cần tập trung cho những phương pháp thông thường. Kết thúc phần này được nêu một số bài toán chứng minh bất đẳng thức trong tam giác. Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 14 II.2.1.4.8. Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức: a(b c)2 +b(c a)2 + c(a b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3 Đây là một bài toán khó đối với học sinh nhưng có thể thấy được rằng a, b, c hiển nhiên là những số dương và phải thấy được quan hệ các cạnh trong một tam giác: a + b > c; b + c > a; a + c > b ( HH lớp 8) Trước hết ta có nhận xét: c(a b)2 + 4abc = c[(a b)2 + 4ab]= c(a + b)2 Bất đẳng thức a(b c)2 +b(c a)2 + c(a b)2 + 4abc a3 b3 c3 > 0 [a(b c)2 a3] + [b(c a)2 b3] + [ c(a b)2 c3 ] > 0 a[(b c)2 a2] + b[(c a)2 b2] + c[(a b)2 c2 ] > 0 a(b c a)(b c + a) + b(c a b)(c a + b) + c(a + b c)(a + b + c)> 0 a (a +b c)(b c a) b(a + b c)(c a + b) + (c(a+b c) (a + b+c) > 0 (a + b c) (ab ac a2 bc + ab b2 + ac + ab + c2) > 0 (a + b c)(2ab a2 b2 + c2) > 0 (a + b c)[c (a b)2] > 0 (a + b c)(c + a b)(c + b a) > 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. * Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a +b + c (a, b, c độ dài ba cạnh) 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 2( ) p a p b p c a b c Để có thể giải dễ dàng thì cần đưa ra trước bài toán sau: Cho x, y dương: 1 1 4 Chứng minh x y x y Trên cơ sở kết quả bài toán này có thể giải quyết dễ dàng bài toán đã cho ban đầu. II.2.2. TOÁN CỰC TRỊ II.2.2.1. Lý luận Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 15 Cực trị đồng nghĩa với giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức, để giúp học sinh ban đầu nắm vững cơ sở lí luận này ta có thể đưa ra một số vấn đề cũng như các tính chất, hằng đẳng thức có liên quan. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một biểu thức A nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn. 1. A M (Hằng số) hay A M (Hằng) 2. Có lúc A = M ( trong điều kiện nào đó của bài toán để bài toán xảy ra dấu bằng) thì ta nói biểu thức A đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là M. MỘT SỐ TÍNH CHẤT HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC: a2 0; a2= 0 a = 0 |a| 0; |a| = 0 a = 0 |a| a |a|; |a| = a = |a| a = 0 |a + b| |a| + |b|; |a+b|= |a| + |b| ab 0 |a b| |a| |b|; |ab|= |a| |b| ab 0 và |a| |b| Vấn đề cực trị là loại toán khó, đa dạng, phong phú ở cả các môn số học, đại số, hình học. Trong khuôn khổ của đề tài xin được nêu một số dạng quen thuộc ở bộ môn đại số cấp 2, chủ yếu tập trung cho 2 lớp 8 và 9 bởi vấn đề cực trị hiện mà nhiều học sinh khá giỏi cũng như yêu cầu rất quan tâm và cũng là sự thay thế nhiều trong lĩnh vực này. II.2.2.2. Các bài toán đại số cực trị có thể ở một số dạng sau đây và phương pháp giải: II.2.2.2.1. A = |x+ a| + |x+b| +...+|xn + p| với a, b, ..p Z Phương pháp giải Cách 1: Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối A = A nếu những giá trị của biến để A 0 = A nếu những giá trị của biến để A
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 16 Phân ra từng miền (khoảng) xác định Lập bảng xét dấu. Tìm giá trị mà A đạt được giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong khoảng (miền) xác định nào đó của biến) Cách 2: Dựa vào các bất đẳng thức tam giác II.2.2.2.2. A = ax 2 bx c + a' x 2 b' x c ' Phương pháp giải: Trước hết xác định miền của tam thức bậc 2 dưới dấu căn sao cho thích hợp Nếu các biểu thức dưới căn đưa được về dạng luỹ thừa 2 của một tổng (hoặc hiệu) thì đưa về dạng (1) Nếu biến đổi biểu thức dưới căn về dạng:(mx n)2 + q thì khi đó có thể tìm được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất Lưu ý là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) phải thoả mãn với điều kiện của bài toán tìm được ở phần đầu II.2.2.2.3. Dạng a1xn + a2xn+ a3xn 2 +...+an Phương pháp: Dùng phép biến đổi đồng nhất để đưa về dạng tổng của các số dương (hoặc âm) hoặc bị chặn bởi một hằng số nào đó) ax 2 bx c II.2.2.2.4. Dạng A = 2 a' x b' x c ' Phương pháp: Trước hết phải đặt điều kiện để mẫu số khác 0 Có thể đưa mẫu số về dạng biểu thức luôn dương (âm) hoặc luôn lớn hơn hoặc nhỏ hơn một hằng số nào đó) Có thể thực hiện phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu về dạng: Dx e A= M + 2 a ' x b' x c ' Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 17 Xác định giá trị x của biểu thức phân để nó triệt tiêu để đưa về dạng cơ bản: A = M +Q(x) M hoặc A M + Q(x) M Ngoài ra còn có một số dạng khác dưới những dạng phức tạp hơn. II.2.2.3. Thực tiễn giải toán và hướng dẫn II.2.2.3.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = |x 3| + | x 5| Cách 1: Xét x 3 nếu x 3 |x 3| = 3 x nếu x
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 18 Để giải nhanh bài này ta sử dụng bài trên bằng cách đặt: |x 2| + |x 4| =M1 |x 3| + |x5| = M2 rồi sử dụng kết quả câu trên để tìm vì giá trị nhỏ nhất của M cũng là giá trị nhỏ nhất của M1+M2 II.2.2.3.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 2 x 1 x2 x 1 Rõ ràng các biểu thức dưới căn luôn có nghĩa với x R 1 2 3 1 2 3 y = ( x ) (x ) 2 4 2 4 = ( x 1 ) 2 ( 3 0) 2 (x ( 1 2 )) ( 3 0) 2 2 2 2 2 = ( x 1 ) 2 (0 3 2 ) (x ( 1 2 )) (0 3 2 ) 2 2 2 2 Ta biểu diễn các tọa độ: M (x; 0) Theo quan điểm tính độ dài đoạn thẳng AB 1 3 A( ; ) trên mặt phẳng toạ độ 2 2 1 3 B( ; ) 2 2 Như vậy ta có thể chuyển bài toán về dạng hình học bằng cách biểu diễn các toạ độ trên trục toạ độ. Từ đó bài toán dẫn tới: Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất với M đường thẳng // với AB. Khi đó lấy A’ đối xứng với A qua Ox thì Min(AM + BM) =Min(BM’ + M’A’) M’ (a’B, Ox) => Suy ra được giá trị nhỏ nhất của bài toán 1 3 1 3 khi x = 0 giá trị y = 2 4 4 4 4 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 19 II.2.2.3.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 2 x 1 x2 6x 9 II.2.2.3.5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của: A = x2 + x+ 1 Để giải được bài toán phải dùng các phép biến đổi để đưa được về dạng A = X2 + M 1 1 3 Có A = x2 + x + 1 = x2 + 2. x + ( )2 + 2 2 4 1 1 1 = (x + )2 + 3/4 vì ( x + )2 0 nên A = (x + )2 + 3/4 ắ 2 2 2 1 > AMin = 3/4 khi x + = 0 => x = 1/2 2 II.2.2.3.6. Tìm giá trị của x, y để cho M = x3 + y3 + xy là nhỏ nhất khi x + y = 1 Ta biến đổi M = x3 + y3 + xy (x + y) (x2 xy + y2) +xy Vì x + y = 1 => M = x2 xy + y2 + xy = x2+ y2 Có y = 1 x => M = x2 + (1 x)2 = x2 + 1 2x + x2 M = 2x2 2x + 1 Đến đây ta dùng phép biến đổi giống bài 3.1 2x2 2x + 1 = 2(x2 x + 1/4) +1/2 M = 2 (x 1/2)2 + 1/2 1/2 => M nhỏ nhất =1/2 khi x = 1/2 => y = 1/2 2x x 4x 7 II.2.2.3.7. Tìm giá trị lớn nhất A = x 2 2x 2 Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu ta được: Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị 20 2x x 4x 7 3 A = = 2 2 (được thương là 2 dư 3) đến đây thì A x 2 2x 2 x 2x 2 3 đạt giá trị lớn nhất khi 2 đạt giá trị lớn nhất ta biến đổi x2 2x + 2 x 2x 2 tương tự loại toán phần (3) 3 A = 2 + ( x 1) 2 1 3 Vì (x1)2 + 1 1 nên A 2 + = 5 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và A = 5 Lưu ý đối với loại này học sinh hay mắc phải là việc tìm 2 giá trị: Để 3 3 A lớn nhất thì 2 lớn nhất. 2 lớn nhất thì (x 1)2 + 1 phải nhỏ ( x 1) 1 ( x 1) 1 nhất II.2.2.3.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: x2 1 A= x2 x 1 Đây là loại toán có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên việc biến đổi A phải tuỳ theo việc tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. * Tìm giá trị lớn nhất làm tương tự II.2.2.3.7 2( x 2 x 1) ( x 2 2 x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 2 x2 1 2 2 A= 2 = x2 x 1 x2 x 1 1 2 3 x x 1 (x ) 2 4 ( x 1) 2 ( x 1) 2 0 0 x 1 Vì 1 2 3 nên A lớn nhất khi 1 2 3 (x ) (x ) 2 4 2 4 AMax = 2 * Tìm giá trị nhỏ nhất thì ta phải viết A dưới dạng tổng của các số dương (việc này là khó không phải bài nào cũng có thể làm dễ dàng được đòi hỏi phải có kĩ năng kĩ xảo và nhìn nhận một cách thấu đáo) Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.