zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học cơ sở

Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức là tư liệu học tập hữu ích cho những ai đang trong quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức để vượt qua kì thi học kì sắp tới với kết quả như mong đợi. Mời các em cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức

Tailieumontoan.com  Lưu Lý Tưởng PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phú Thọ, tháng 9 năm 2019
Website: tailieumontoan.com PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lưu Lý Tưởng – Giáo viên trường THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ. Số điện thoại: 01672535595 Gmail: luutuongvl1984@gmail.com Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời là rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội và khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào đó. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy, đôi khi bạn không thể hiểu được vì sao người ta lại tìm ra một lời giải trông có vẻ “ kì cục” như thế. Phải chăng là lần mò và may rủi mới tìm ra được? Câu trả lời là mỗi lời giải đều có sự giải thích riêng của bản thân nó. Để thấy được tính hiệu quả của phương pháp này chúng ta cùng phân tích hai bài toán sau 1. Phân tích ý tƣởng của phƣơng pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức B i toán 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng 1 1 1 2 a b c  2 2  2 2 2  5.   a2 b c 3 Giải. 1 1 1 2a 2 2b2 2c 2  Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành      5. a2 b2 c 2 3 3 3 1 2a 2 7 2a Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây 2    1 a 3 3 3  a  1  2a  2 2 2  6a  3 Bất đẳng thức trên tương đương với  0 luôn đúng với mọi số dương a. 3a 2 1 2b2 7 2b 1 2c 2 7 2c Tương tự ta có: 2     2  ; 2     3 . b 3 3 3 c 3 3 3 Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có: 1 1 1 2a  b  c  2a  b  c 2 2 2 2  2 2  7  5. a b c 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1. Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ra thì ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức 1 2a 2 5  a  1 a  1  2a 2  3     0. a2 3 3 3a 2 Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với số dương a. Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a  b  c  3. Như vậy ta sẽ không đi theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng 1 2a 2 thức sau đúng 2   ma  n  4  a 3 Trong đó m, n là các hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với các biến b và c ta được 1 2b2 1 2c 2   mb  n  5  ;   mc  n  6  b2 3 c2 3 Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có 1 1 1 2 a b c     2 2 2   m  a  b  c   3n  3  m  n  . a 2 b2 c 2 3
Website: tailieumontoan.com 5 Như vậy ở đây 2 hệ số m, n phải thỏa mãn điều kiện 3  m  n   5  n   m . 3 2 1 2a 5 Thế vào (4) dẫn đến 2    m  a  1  7  a 3 3 Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức ( 7) là đúng. Chú ý đẳng thức xảy ra tại a  b  c  1 nên ta cần xác định m sao cho 1 2a 2 5    m     a  1  a  1      a  1 2a 2  3  m    0. a2 3 3  3a 2   a  1  2a 2  3 2 2 Khi cho a  1 thì ta có 2  từ đó ta dự đoán rằng m  để tạo thành đại 3a 3 3 lượng bình phương  a  1 trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ 2 1 2a 2 7 2a    . a2 3 3 3 B i toán 2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng 5a3  b3 5b3  c3 5c3  a3    3. ab  3a 2 bc  3b2 ac  3c 2 Giải. 5a3  b3 Ta đi chứng minh bất đẳng thức  2a  b. ab  3a 2 Thật vậy, dễ dàng chứng minh được a3  b3  ab  a  b  , ta biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau: a3  b3  ab  a  b   5a3  b3  6a3  ab  a  b   5a3  b3  a  6a 2  ab  b2  5a3  b3  5a  b  a  2a  b  3a  b   3 3  2a  b ab  3a 2 5b3  c3 5c3  a3 Chứng minh tương tự ta có:  2b  c ;  2c  a . bc  3b 2 ac  3c 2 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có: 5a3  b3 5b3  c3 5c3  a3    a  b  c  3. ab  3a 2 bc  3b2 ac  3c 2 Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức 5a3  b3  ma  nb đúng, với m  n  1  n  1  m. ab  3a 2 Ta viết lại bất đẳng thức trên thành 5a 3 1 ma 5t 3  1 a b3   1  m   m  t  1  1 với t  a 3a 2 b t  3t 2 b  2 b b Để ý đến đẳng thức xảy ra tại a  b  c tức là xảy ra tại t  1 , khi đó ta cần xác định m sao 5t 3  1  5t 2  2t  1  cho  m   t  1  1    t  1  m  0 t  3t 2  t  3t 2  5t 2  2t  1 Cho t  1 ta được  2 nên ta chọn m  2 và từ đó ta được n  1. t  3t 2
Website: tailieumontoan.com 5a3  b3 Lúc này ta đi chứng minh bất đẳng thức  2a  b. ab  3a 2 Chắc chắn khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không biết tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách khó hiểu như vậy. Phải chăng dự đoán một cách may mắn hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một quy luật của nó. Để làm rõ hơn vấn đề này chúng ta cùng đi vào tìm hiểu một số bài toán bất đẳng thức giải bằng phương pháp hệ số bất định trong phần tiếp theo. 2. Một số b i toán áp dụng phƣơng pháp hệ số bất định. B i toán 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng 1 1 1  2  2  1. a bc b ca c a b 2 Giải. 1 1 1 Ta cần tìm m để bất đẳng thức 2  2   m  a  1 1 là đúng. a bc a a3 3 a  a  1 Ta có 1    m  a  1 .  3 a2  a  3  1 Dự đoán với m  thì bất đẳng thức phụ đúng. 9  a  1  3  a   a  1  b  c  2 2 1 4 a Thật vậy: 2    0  0 BĐT đúng. a a3 9 9 3 a2  a  3   3 a2  a  3   1 4 b 1 4 c Hoàn toàn tương tự ta có:   ; 2   b b3 9 9 c c 3 9 9 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 4 abc  2  2   1 a bc b ca c ab 3 2 9 Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3  b3  c3  3 . Chứng minh rằng 1 1 1  4      5 a 2  b2  c 2  27 . a b c  Giải. Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức   a  1 5a 2  5a  4  4 a   5a  9  m a  1  2 3  a   m  a  1 a 2  a  1  Ta dễ dàng nhận thấy rằng đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Khi cho a  1 thì ta có thể dự đoán m  2. Ta sẽ chứng minh rằng khi m  2 thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy: 4  5a  7  2a  2 3   a  1 2a 2  a  4 2 0  a a Do a  3 3  2a 2  a  4  0 . Vậy bất đẳng thức đúng. 4 4 Chứng minh tương tự ta được  5b2  7  2b3 ;  5c 2  7  2c3 . b b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1    4      5 a 2  b2  c 2  21  2 a3  b3  c3  27 a b c 
Website: tailieumontoan.com Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b2  c2  3 . Chứng minh rằng 1 1 1 4a  b  c    7. a b c 3 Giải. Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức :  1 4a 7 a 3 3    m a2 1  m  . 1 6  Vậy ta phải chứng minh các bất đẳng thức 1 4a 7 1 2  a 3 3 6     . a  1   a  1  6  a   0 * 2 Vì a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b2  c2  3 nên 0  a; b; c  3 Do đó bất đẳng thức (*) đúng. Tương tự ta có:  1 4b 7 1 2 b 3 3 6    . b 1 ;   1 4c 7 1 2 c 3 3 6   . c 1   1 1 1 4a  b  c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được    7 a b c 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định. Chứng minh rằng a 2  a  1  b2  b  1  c 2  c  1  3 . Giải. 5 1 5 1 5 1 Điều kiện xác định: a  ;b ;c 2 2 2 Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : a 2  a  1  1  m  a  1 . 3 3a  1   a  1  0 . 2 Tìm được m  , tức là ta phải chứng minh a 2  a  1  2 2 Chứng minh tương tự ta có các bất đẳng thức 3b  1 3c  1 b2  b  1  ; c2  c 1  2 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a 2  a  1  b2  b  1  c 2  c  1  3 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b2  c2  1 . Chứng minh rằng a b c 3 3  2  2  . b c 2 2 c a 2 a b 2 2 Giải. a b c 3 3 Từ giả thiết ta có bất đẳng thức đã cho trở thành:    . 1 a 1 b 1 c 2 2 2 2 Ta chứng minh được các bất đẳng thức sau: a 3 3 2 b 3 3 2 c 3 3 2  .a ;  .b ;  .c 1 a 2 2 1 b 2 2 1 c 2 2 a b c 3 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được  2  2  b c 2 2 c a 2 a b 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng
Website: tailieumontoan.com 1 1 1 2  2  2  a 2  b2  c 2 . a b c Giải. Dự đoán dấu bằng xảy ra tại a  b  c  1 .  1 Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số a, b, c thuộc khoảng  0;  , chẳng hạn  3 1 1 1 1 0  a  thì ta có 2  2  2  9   a  b  c   a 2  b2  c 2 2 3 a b c 1 7  nên bài toán được chứng minh. Do vậy ta chỉ xét a, b, c thuộc đoạn  ;  . 3 3 1 Khi đó ta đi tìm hệ số m để có bất đẳng thức 2  a 2  m  a  1 . a Để ý là khi a  1 thì đẳng thức luôn xảy ra với mọi m , do đó để chọn được m thì ta lấy giá trị của a càng gần 1 càng tốt và ta chọn m sao cho đẳng thức gần xảy ra bằng cách đó ta chọn được m  4 là giá trị tốt nhất.  a  1 2   a  1  2 2 1 Ta đi chứng minh bất đẳng thức 2  a  4  a  1  2 0 a a2 1 1 Tương tự ta có các bất đẳng thức 2  b2  4  b  1 ; 2  c 2  4  c  1 . b c 1 1 1 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được 2  2  2  a 2  b2  c 2 a b c Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Bài toán 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 4  b4  c4  3 . Chứng minh rằng 1 1 1    1. 4  ab 4  bc 4  ca Giải. Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho bài toán này ngay được vì cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng các biến độc lập với nhau. a 2  b2 Áp dụng bất đẳng thức ab  , khi đó hoàn toàn tương tự ta được 2 1 1 1 2 2 2      . 4  ab 4  bc 4  ca 8  a  b  2 2  8 b c2  2    8  c2  a2         2 2 2 Đặt x  a 2  b2 ; y  b2  c 2 ; z  c 2  a 2 thì ta được x  y  z  4 a 4  b4  c 4  12 1 1 1 1 Bất đẳng thức đã cho trở thành:    . 8 x 8 y 8 z 2 1 1 1 Ta chứng minh bất đẳng thức:   x  4  . 8  x 144 6 Thậy vậy bất đẳng thức tương đương với 1  1 1  x  4    x  4 x  4 0 2   8  x 144    2 6 144 x  2 8  x Vì x  y  z  12 nên x   0;12  , do đó bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh tương tự ta có:   y  4  ;   z  4  . 8  y 144 6 8  z 144 6
Website: tailieumontoan.com 1 1 1 1 Cộng các bất đẳng thức trên ta có:    . 8 x 8 y 8 z 2 Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  4 hay a  b  c  1 . Bài toán 8. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  4 . Chứng minh rằng 1 1 1 1  2  2  2  2. a 1 b 1 c 1 d 1 2 Giải. 1 1 1 Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức: 2   m  a  1 . Tìm được m  . a 1 2 2 a  a  1 2 1 a Ta có  1   0 BĐT đúng. a2  1 2  2 a2  1  1 b 1 c 1 d Chứng minh tương tự ta có  1 ; 2  1 ; 2  1 b 1 2 2 c 1 2 d 1 2 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được 1 1 1 1 abcd  2  2  2  4 2 a 1 b 1 c 1 d 1 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  d  1. Bài toán 9. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2  d 2  4 .  Chứng minh rằng 2 a3  b3  c3  d 3  2  3 2  2  ab  ac  ad  bc  bd  cd . Giải. Từ a 2  b2  c2  d 2  4   a  b  c  d   2  2  ab  ac  ad  bc  bd  cd  2  a  b  c  d  2  2  ab  ac  ad  bc  bd  cd  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  3  2 a 3  b3  c 3  d 3  2   a  b  c  d  2 Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức 3a  1   2a  12  2a  3   m a 1  a 1  2   2   m  0 2  2  a  1  9 Cho a  1 tìm được m  . 4 3 2 1 9     Mặt khác 2a3  a   a 2  1   a  1 8a 2  a  7  0   a  1 8a 2  7  0 . 2 4 2   Tương tự ta có 3 1 9  3  2b3  b   b2  1 ; 2c3  c   c 2  1 . 2 2 4 2 1 9 2 4    3  Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được 2 a3  b3  c3  d 3  2   a  b  c  d  . 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  d  1. Bài toán 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 3    . a  3ab  b b  3bc  c c  3ca  a 2 2 2 2 2 2 5 Giải.
Website: tailieumontoan.com a3 Ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức  ma  nb đúng với a 2  3ab  b2 1 1 mn   n   m . Bất đẳng thức trên được viets lại thành 5 5 a3 b3 ma  1  y3 1      m    my    m  . a 2 a b 5  y  3y 1 2 5  2  3.  1 b b y3 1  5 y2  4 y 1  Ta cần xác định m sao cho 2  m.  y  1    y  1   m  0. y  3y 1  5  y  3 y  1  2 5 5 y2  4 y 1 2 2 1 Cho y  1 ta được  m n . 5  y  3 y  1 5 2 5 5 Từ đó dễ dàng chứng minh các bất đẳng thức a3 2a b b3 2b c c3 2c a   1 ; 2    2 ; 2    3 . a  3ab  b 2 2 5 5 b  3bc  c 2 5 5 c  3ac  a 2 5 5 Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có điều chứng minh. Bài toán 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1 . Chứng minh rằng a3  b b3  c 3 c3  a3 3   2. a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 Giải. 2a  b  c Ta thấy 2  2 3 abc  . Do đó ta nghĩ đến việc chứng minh 3 a3  b b3  c 3 c3  a 3 2a  b  c 3    a  ab  b b  bc  c c  ca  a 2 2 2 2 2 2 3 a b 3 3 Ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức 2  ma  nb đúng với a  ab  b2 2 2 1 m  n   n   m . Tìm được m  n  . 3 3 3  y  1  y  1  0 BĐT đúng. 2 y3  1 1 2 Ta phải chứng minh: 2   y  1   y  y 1 3 3 3  y 2  y  1 a 3  b3 a b b3  c 3 b c c3  a3 c a Suy ra: 2   1 ; 2    2 ; 2    3 a  ab  b 2 3 3 b  bc  c 2 3 3 c  ca  a 2 3 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a3  b b3  c 3 c3  a 3 2a  b  c 3     2 3 abc  2 . a  ab  b b  bc  c c  ca  a 2 2 2 2 2 2 3 3. Sự kết hợp giữa đổi biến v phƣơng pháp hệ số bất định. a b c 3 Bài toán 12. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng    . bc ca ab 2 Đây là bài toán quen thuộc, có rất nhiều cách giải đơn giản hơn, nhưng ở đây tôi muốn giới thiệu tới các bạn cách sử dụng sự kết hợp giữa đổi biến và hệ số bất định để giải quyết bài toán. Giải.
Website: tailieumontoan.com 3a 3b 3c Đặt x  ;y ; z  x  y  z  3 , ta có b i tập 1: Cho x, y, z là các abc abc abc x y z 3 số thực dương thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng    . x y yz zx 2 Bài tập 1 trên tương đương với b i tập 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 a  b  c  3 . Chứng minh rằng    . bc ca ab 2 Cách biến đổi từ b i tập 1 sang b i tập 2 như trên gọi là chuẩn hóa. a b c 3 Bài toán quy về việc chứng minh    . 3 a 3b 3c 2 a Ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức  ma  a luôn đúng. 3 a 3 1 a 3 1 Tìm được m  ; n    a . 4 4 3 a 4 4 b 3 1 c 3 1 Tương tự:  b ;  c . 3b 4 4 3c 4 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh. Bài toán 13. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 b  c  a  2 2 b  c  a  2 2 b  c  a  2 3  a 2  b2  c 2     . 2a 2   b  c  2a 2   b  c  2a 2   b  c  a  b  c 2 2 2 2 Giải. Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a  b  c  3 Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với 2  3  2a  2  3  2b  2  3  2c  2 2 2  2  2  a 2  b2  c 2 a  2a  3 b  2b  3 c  2c  3 2 2  3  2a  2 Cần xác định m sao cho : 2  a 2  m  a  1 . Tìm được m  6 a  2a  3 2  3  2a  a  6  a  a  1 2 2 Khi đó: 2  a 2  6  a  1   0 đúng với 0  a  3 a  2a  3 a 2  2a  3 Chứng minh tương tự ta có: 2  3  2b  2  3  2c  2 2  b 2  6  b  1 ; 2  c 2  6  c  1 b  2b  3 2 c  2c  3 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có điều cần chứng minh. Bài toán 14. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c 9    . b  c  c  a   a  b 4  a  b  c  2 2 2 Giải. Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a  b  c  3 . a b c 3 Bất đẳng thức đã cho tương đương với :    . 3  a  3  b 3  c  4 2 2 2
Website: tailieumontoan.com Làm tương tự như các bài toán trên ta có a 2a  1 b 2b  1 c 2c  1  ;  ;  . 3  a  3  b 3  c  2 2 2 4 4 4 a b c 3 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được    . 3  a  3  b 3  c  2 2 2 4 Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  b  c  3a    a  c  3b    a  b  3c   1 . 2 2 2 2a 2   b  c  2b 2   a  c  2c 2   b  a  2 2 2 2 Giải. Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a  b  c  3  3  4a    3  4b    3  4c   1 2 2 2 Bất đẳng thức đã cho tương đương với : 2 2a   3  a  2b 2   3  b  2c 2   3  c  2 2 2 2 Làm tương tự như các bài toán trên ta có  3  4a   8a  7 ;  4  3b   8b  7 ;  4  3c   8c  7 2 2 2 2a 2   3  a  2b 2   3  b  2c 2   3  c  2 2 2 6 6 6 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có:  3  4a    3  4b    3  4c   1 2 2 2 2a 2   3  a  2b 2   3  b  2c 2   3  c  2 2 2 2 Bài toán 16. (Olypic 30-4 năm 2006) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b  c  b c  a  c a  b 6    . b  c   a c  a   b  a  b   c 5 2 2 2 2 2 2 Giải. Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a  b  c  3 . a 3  a  b 3  b c 3  c  6 Bất đẳng thức đã cho tương đương với :    . 9  6a  2a 9  6b  2b 9  6c  2c 2 2 2 5 Làm tương tự như các bài toán trên ta có a 3  a  21  9a b 3  b 21  9b c 3  c  21  9c  ;  ;  . 9  6a  2a 2 25 9  6b  2b 2 25 9  6c  2c 2 25 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được a 3  a  b 3  b c 3  c  6    . 9  6a  2a 9  6b  2b 9  6c  2c 2 2 2 5 Bài toán 17. ( USAMO - năm 2003) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  b  c  2a    a  c  2b    a  b  2c   8 . 2 2 2 2a 2   b  c  2b 2   a  c  2c 2   a  b  2 2 2 Giải. Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a  b  c  1.  a  1   b  1   c  1  8 . 2 2 2 Bất đẳng thức đã cho tương đương với : 2a  1  a  2b 2  1  b  2c 2  1  c  2 2 2 2
Website: tailieumontoan.com Làm tương tự như các bài toán trên ta có  a  1  12a  4 ;  b  1  12b  4 ;  c  1  12c  4 . 2 2 2 2a 2  1  a  2b 2  1  b  2c 2  1  c  2 2 2 3 3 3 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được  b  c  2a    a  c  2b    a  b  2c   8 . 2 2 2 2a 2   b  c  2b 2   a  c  2c 2   a  b  2 2 2 Bài toán 18. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  2a  b  c    2b  c  a    2c  a  b   12 . 2 2 3 4a3   b  c  4b3   a  c  4c3   a  b  abc 3 3 3 Giải. Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a  b  c  3 . Bất đẳng thức đã cho tương đương với :  a  3   b  3   c  3  4 . 2 2 2 4a3   3  a  4b3   3  b  4c3   3  c  3 3 3 Chứng minh các bất đẳng thức  a  3  2  a  1 ;  b  3  2  b  1 ;  c  3  2  c  1 2 2 2 4a 3   3  a  4b3   3  b  4c3   3  c  3 3 3 3 3 3 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có điều cần chứng minh.
Website: tailieumontoan.com TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên tác giả Năm Tên t i liệu Nh xuất bản 1 Phạm Kim Hùng 2012 Sáng tạo bất đẳng thức NXB Hà Nội 2 Trần Phương 2011 Những con đường khám NXB Sư Phạm phá bất đẳng thức 2013; 3 Ban tổ chức kỳ thi 2014 Tuyển tập đề thi Olympic NXB ĐHQG Hà Nội, 30-4 NXB ĐH Sư phạm Trần Phương Những viên kim cương 4 2009 NXB Tri thức tring bất đẳng thức Khám phá tư duy kỹ 5 Đặng Thành Nam 2014 NXB ĐH Quốc Gia Hà thuật giải bất đẳng thức Nội 6 2010 Phân loại phương pháp NXB ĐHQG Hà Nội Võ Quốc Bá Cẩn . giải toán bất đẳng thức

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.