1 | THỦ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H
TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
------------------------------------
KỸ THUẬT XỬ LÝ
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PHẦN I:
PHẦN II:
PHẦN III:
PHẦN IV:
PHẦN V:
PHẦN VI:
PHẦN VII:
PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG VÀ HIỆU
DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ TỪ NGHIỆM VÔ TỶ
HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
ĐẠO HÀM MỘT BIẾN
LƯỢNG GIÁC HÓA
ĐẶT 2 ẨN PHỤ
PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Biên soạn:
ĐOÀN TRÍ DŨNG
Hot line:
0902920389
Facebook:
https://www.facebook.com/toanthaydung
2 | THỦ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H
PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG VÀ HIỆU

Phương pháp xét tổng và hiệu sử dụng cho các phương trình vô tỷ hoặc một phương trình có trong một hệ
phương trình ở dạng
A B C
. Điều kiện sử dụng ở chỗ ta nhận thấy
C
là một nhân tử của
.
BÀI 1:
22 2 1 1x x x x
Nhận thấy
22
2 2 1 1A B x x x x
có một nhân tử là
1Cx
22
2
2
2
2
2
2 2 1 1
2 2 1 1
1
2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 0
2 2 1 1
x x x x
x x x x
x
x x x
x x x x x x x x
x x x x
BÀI 2:
3 2 2 2
1 2 1x x x x x
Nhận thấy
3 2 2 3
1 2 1A B x x x x
có một nhân tử là
21C x x
3 2 2 3
3 2 2
2
3 2 2
3 2 2 2
2 2 2
3 2 2
12 1
1 2 1
1
12
1 2 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1
x x x x
x x x x
xx
x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x

Thử lại nghiệm ta thấy chỉ có
2x
thỏa mãn nên phương trình có một nghiệm duy nhất là
2x
BÀI 3:
4
8 7 1 1x x x x x
Nhận thấy
8 7 1 1A B x x x x x
có một nhân tử là
41Cx
4
4
4
4
8 7 1 1
8 7 1 1
1
8 7 1
8 7 1 1 2 7 1 2 7 0 0
8 7 1 1
x x x x x
x x x x x
x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x
BÀI 4:
3 4 5 4 4
5 3 7 2 2 1 4
y x y x
y x x y
Nhận thấy phương trình đầu có
3 4 5 4 8A B y x y x x
có liên quan đến giá trị 4
2
3 4 5 4 8
3 4 5 4 2
4
3 4 5 4
3 4 5 4 4 2 3 4 4 2 3 4 2 , 2.
3 4 5 4 2
y x y x x
y x y x x
y x y x
y x y x y x x y x x y x x x
y x y x x
Thay vào phương trình thứ 2 ta được
3 | THỦ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H
22
5 5 3 7 2 4 6 1 0x x x x x
22
2
2
5 5 3 1 2 7 2 4 7 2 0 *
11
4 7 2 1 0
2 7 2
5 5 3 1
x x x x x x x
xx xx
x x x




Vì
2
2
2 1 1 7 17 5 4 17
1 0 4 7 2 0 ,
7 8 32
2 7 2
5 5 3 1
x x x x y
xx
x x x


Trong phần này có chi tiết trục căn thức ở bước
*
sẽ được giải thích trong Phần II: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
BÀI 5:
2
2
2 24
4 1 0
21
5 5 1 6
y
x x y y
x y x y
Phương trình thứ 2 có
5 5 1 6 1A B x y x y x
có liên quan đến giá trị 6
2
5 5 1 6 1
5 5 1 1
6
5 5 1
7
5 5 1 1 2 1 7 4 5 20 5
5 5 1 6
x y x y x
x y x y x
x y x y
x
x y x y x x y x y x y
x y x y


Để ý phương trình 1 có
22
2
22
2 24 5 2 2 9
4 1 0 1 2 0 5
2 1 2 1
y y y y
x x y x y
yy

Vậy hệ có nghiệm duy nhất đó là
5xy
BÀI 6:
3 2 2
2 2 4 4
4 2 4 1 3 0
x y x y
x x y y x
Nhận thấy phương trình đầu có
2 2 4 2 2A B x y x y y
có liên quan đến giá trị 4
2
2 2 4 2 2 2
2 2 4 42
2 2 4
2 2 4 4 2
6
2 2 1 1
22 32
2 2 4 2
x y x y y y
x y x y x y x y
x y x y y
y
x y x
y
x y x y
Mặt khác phương trình thứ 2 biến đổi thành:
3 2 2
3 2 2 2
22
3
4 2 4 1 3 0
1 4 4 4 4 0
1 2 2 0
x x y y x
x x xy y y y
x x y y
Vì
01VT x
cho nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
1, 2xy
4 | THỦ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H
BÀI 7:
2
2 1 1 2
( 1)
y x y y
x x y x x y
Nhận thấy phương trình đầu có
2 1 1 2 2 2A B y x y y x
không liên quan đến
2Cy
Còn phương trình thứ 2 có
2
( 1)A B y x x y x y x
có thể rút gọn với
C x x
2
2
2
2
2
2
22
2 2 2 2 2 2
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
2 ( 1)
( 1)
2 4 0
y x x y x y x yx
y x x y x x x
y x x y
y x x y x x y x x x y
y x x x
yx xx
y x x y x
y x x x x y y x x x x y x x y y x x
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
2 2 2
1 1 2x x x x x x
Đến tình huống này ta dung kỹ thuật nhẩm nghiệm nhận ra phương trình có nghiệm duy nhất
1x
(Hoặc sử
dụng máy tính SHIFT SOLVE). Khi
1x
thì
21xx
= 1,
21xx
= 1. Do đó ta sử dụng bất đẳng thức
Cauchy để đánh giá:
22
22
22
22
22
2 2 2 2
11
1. 1 1
22
1 1 2
1. 1 1
22
2
1 1 1 1 1
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
Vì
22 2 2 2
1 1 1 1 2 1 1 2x x x x x x x x x x x x
Vậy đẳng thức xảy ra khi
1, 0xy
BÀI 8:
22
16 2 3 4 1 1x x x x
Bài toán này nghiệm rất đẹp
3, 0xx
nhưng để giải ra nghiệm này bằng cách trục căn thức đơn thuần thì
gần như sẽ không được nhiều điểm. Để giải quyết triệt để ta sử dụng kỹ thuật xét tổng hiệu:
22
22
22
2
22
16 2 3 4 1 1
16 4 3 4 11
11
16 2 3 4
3 12
11
16 2 3 4
x x x x
x x x x
x
x x x
x x x
x
x x x






Như vậy nghiệm đầu tiên là
0x
. Nếu
0x
thì
22
16 2 3 4 3 4 1 1x x x x x
Do đó ta có hệ:
5 | THỦ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H
22
2
22
2
2
2
2
2
2
16 2 3 4 3 4 1 1 2 16 13 3 1 11 3
16 2 3 4 1 1
16 5
3 2 16 5 13 3 1 2 27 9
12
2 16 5 3 13 1 2 9 3 0
293 13 3 9 3 0
12
16 5
23 31
3
16 5
x x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x x x
x
x x x x
xxx x
x
x
xx
x
x






390
12x





Vì
1 3 0xx
. Ta xét
3 13 3 5 9 1
9 0 1
1 2 1 2
x x x x
xx
Vậy phương trình có 2 nghiệm duy nhất là
30xx
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
BÀI 1:
22
1 1 1
1 1 2
x y y x
xy
BÀI 2:
2 2 2 2 2
53
x y x y y
xy

BÀI 3:
2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
BÀI 4:
22
22
1
1 2 1 1
21
2x x x
x y x y y
y
BÀI 5:
22 2 2 2x x x