Sử dụng tính bất biến để giải toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu thông tin đến các bạn hệ thống kiến thức lý thuyết và bài tập Sử dụng tính bất biến để giải toán. Bên cạnh đó tài liệu hỗ trợ giáo viên trong công tác đánh giá năng lực học sinh từ đó có những định hướng, phương pháp giảng dạy hiệu quả hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng tính bất biến để giải toán

SỬ DỤNG TÍNH BẤT BIẾN Date ĐỂ GIẢI TOÁN “tailieumontoan.com” I. Lý Thuyêt II. Bài tâp 1. Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến Bài 1. Có một tờ giấy, ta xé nó ra làm năm mảnh. Lại lấy một trong năm mảnh nhỏ xé làm năm mảnh khác, với mỗi Trong quá trình giải toán, chúng ta gặp một lớp các mảnh có được ta lại xé làm năm mảnh nhỏ,….Cứ tiếp tục bài toán mà để giải các bài toán đó ta phải phát hiện kéo dài quá trình xé như vậy, hỏi có khi nào ta nhận được được quy luật của chúng. Các quy luật đó là nếu ta 2016 mảnh giấy hay không? 2017 mảnh giấy hay không? thực hiện một số thao tác trên các đối tượng thì đến Lời giải. một lúc nào đó sẽ xuất hiện bất biến như tính chẵn lẻ, Khi ta xé một mảnh giấy làm năm mảnh nhỏ thì số mảnh giấy sẽ tăng thêm 4. Vì lúc đầu có một mảnh giấy nên tại tổng, tích…của các biến không thay đổi. bất cứ thời điểm nào, số mảnh giấy cũng có dạng Ví dụ: Cho a, b, c là những số thực ta xét tổng ( ) 4k + 1 k ∈ N * , biểu thức này chính là bất biến trong S = a + b + c . Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho quá trình xé giấy. Vì 2016 không có dạng 4k + 1, nên a, thì tổng S luôn luôn chỉ là một (không đổi). Tổng không xé được 2016 mảnh. Vì 2017 = 504.4 + 1, nên ta sẽ xé được 2017 mảnh sau lần xé thứ 504. này không thay đổi đối với thứ tự phép cộng. Dù a, b, c Bài 2. Trên bảng viết các số tự nhiên 1, 2, 3, ….., 2002. Ta có thay đổi thứ tự như thế nào chăng nữa S vẫn không tiến hành trò chơi như sau: Mỗi lần ta xóa hai số rồi thay thay đổi, nghĩa là S bất biến đối với việc thay đổi các vào đó một số mới bằng tổng hoặc hiệu của hai số bị xóa. biến khác. Kéo dài quá trình đó nhiều lần cho khi nào trên bảng chỉ còn một số thì dừng lại. Hỏi số cuối cùng có thể là số 0 hay 2. Giải toán bằng đại lượng bất biến không? Để giải toán được bằng đại lượng bất biến ta thực hiện Lời giải. theo các bước sau: Ta thấy quá trình xóa các số như vậy sẽ cho ta các tình huống sau: + Bước 1: Ta phải phát hiện ra những đại lượng bất - Nếu xóa một số chẵn và một số lẻ sẽ thay bằng một số biến trong bài toán. Bước này tương đối khó nếu ta lẻ, như vậy số các số lẻ không thay đổi. không luyện tập thường xuyên. - Nếu xóa hai số chẵn sẽ thay bằng một số chẵn thì số các số lẻ cũng không thay đổi. + Bước 2: Xử lý tiếp đại lượng bất biến để tìm ra các - Nếu xóa hai số lẻ thay bằng một số chẵn thì số các số lẻ điểm mâu thuẫn. giảm đi 2 số Như vậy sau mỗi lần xóa thì số các số lẻ hoặc không đổi, hoặc giảm đi 2 số. Nghĩa là tại mọi thời điểm thì số các số lẻ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
không thay đổi tính chẵn lẻ (đây chính là bất biến của bài Lời giải. toán). Do lúc đầu trên bảng có 1001 số lẻ nên còn lại cuối Ta thấy khi đem chia số lượng sỏi lúc đầu trong ba đống cùng phải là số lẻ, vậy số còn lại cuối cùng khác 0. cho 3, ta được ba số dư 1, 0, 2. Sau mỗi lần thực hiện theo Qua hai bài toán trên các bạn đã hiểu thêm khái niệm thế yêu cầu đầu bài thì dễ thấy dư trong phép chia số viên nào là “bất biến” của một bài toán. Do đó việc phát hiện ra của ba đống sỏi cho 3 vẫn là các số 0, 1, 2 (bất biến). bất biến của một bài toán là quyết định cho việc giải được Điều này chứng tỏ không thể thực hiện được yêu cầu đầu bài toán đó. Chúng ta hãy tiếp tục làm quen với các bài toán bài để được ba đống sỏi có số viên bằng nhau. khác mà việc phát hiện ra bất biến của nó có khó hơn. Bài 6. Trên bảng ta viết 100 dấu cộng và 115 dấu trừ . Ta Bài 3. Trên bảng viết 2016 số, mỗi số chỉ nhận một trong thực hiện thao tác sau: Mỗi lần xóa hai dấu và thay vào ba giá trị 0, 1 và 2. Mỗi lần ta xóa hai số khác nhau (có giá đó dấu cộng nếu hai dấu bị xóa giống nhau, còn thay vào trị khác nhau) và thay vào đó số thứ ba (có giá trị thứ ba). dấu trừ nếu hai dấu bị xóa khác nhau. Hỏi dấu còn lại cuối Chứng minh rằng nếu kéo dài quá trình xóa như vậy cho đến cùng trên bảng là dấu gì? khi bảng chỉ còn một số thì số còn lại đó không phụ thuộc Lời giải. vào quá trình xóa. Nếu ta coi thao tác “xóa” như là phép tính nhân các số âm, Lời giải. số dương thì ta có bảng sau: (+).(+) = (+), (-).(-) = (+), Sau mỗi lần xóa như vậy thì số lượng mỗi loại số sẽ giảm đi 1 hoặc tăng thêm 1. Nghĩa là sau mỗi lần xóa, số lượng (+).(-) = (-), (-).(+) = (-). Như vậy sau mỗi lần xóa thì số dấu trừ không đổi hoặc giảm đi 2, nghĩa là số dấu trừ các loại số thay đổi tính chẵn lẻ của chúng. Vì cuối cùng không thay đổi tính chẵn lẻ của nó (bất biến). Vì lúc đầu trên bảng chỉ còn lại một số, nghĩa là hai trong các số 0, số dấu trừ là lẻ nên cuối cùng phải còn lại dấu trừ. 1, 2 có số lượng bằng không, còn số thứ ba có số lượng bằng một. Nghĩa là lúc đầu trong ba số 0, 1, 2 phải có hai Bài 7. Trên một cây “thần” mọc 25 quả chuối và 30 quả số có số lượng cùng tính chẵn lẻ và khác tính chẵn lẻ với cam. Mỗi ngày người chủ hái đi hai quả và sau đó cây lại số còn lại (đây là bất biến của bài toán). Do đó nếu cuối mọc ra một quả mới theo quy luật: Nếu người chủ hái hai cùng còn lại một số trên bảng thì đó là số mà lúc đầu có quả giống nhau thì quả mới là cam, còn nếu hai quả được số lượng khác tính chẵn lẻ với hau loại số còn lại (không hái khác nhau thì quả mới là chuối. Hỏi quả còn lại cuối phụ thuộc vào thứ tự thực hiện cách xóa). cùng trên cây là quả gì? Bài 4. Trên bảng ta viết ba số nguyên. Ta thực hiện thao Lời giải. tác sau: Xóa đi một số và viết vào đó tổng hai số còn lại trừ Lý luận giống bài trên ta thấy số quả chuối trên cây luôn đi 1. Lập lại thao tác đó nhiều lần, cuối cùng ta nhận được là số lẻ.Vậy quả cuối cùng trên cây là quả cuối. ba số 19, 1945, 2015. Hỏi với thao tác đó thì các số đầu tiên Bài 8. Cho ba số 1, 1 + 2, 1 − 2 . Sau mỗi bước ta ta có thể bắt đầu từ các số 2, 2, 2 được không? thay cả ba số, mỗi số bằng trung bình cộng của hai số Lời giải. kia. Hỏi có thể sau một số bước nào đó ta sẽ nhận được Giả sử lúc đầu ta có ba số 2, 2, 2 thì sau bước đầu tiên ta nhận ba số 1, 2 + 2, 2 − 2, hay không? được ba số 2, 2, 3 gồi hai số chẵn và một số lẻ. Từ bước thứ Lời giải. hai trở đi ta luôn nhận được ba số mà trong đó luôn có hai số Dễ thấy với thao tác đã cho trong đề bài thì sau mỗi bước chẵn và một số lẻ, dù bắt đầu từ bất cứ số nào (vì tổng hai số tổng của ba số luôn luôn không đổi (bằng 4), mà tổng ba chẵn từ đi 1 là một số lẻ, tổng của một số chẵn với một số lẻ số cưới cùng bằng 5, nên câu trả lời là không thể. trừ 1 là số chẵn) và đây chính là bất biến của bài toán. Do kết quả cuối cùng là ba số lẻ nên ta không có thể nhận được Bài 9. Cho 2n + 1 số tự nhiên thỏa mãn: Từ 2n số bất kì ba số 19,1945, 2015 bắt đầu từ ba số 2. trong các số đó luôn có thể chia được thành hai nhóm Bài 5. Có ba đống sỏi với số lượng viên tương ứng là 10, 15, (mỗi nhóm có n số) có tổng bằng nhau. Chứng minh rằng 20. Mỗi lần ta chọn hai đống bất kì rồi chuyển từ mỗi đống tất cả 2n + 1 số đó bằng nhau. đó một viên sang đống thứ ba. Cứ làm như vậy một số lần, Lời giải. hỏi có thể nhận được ba đống sỏi có số viên bằng nhau không Giả sử 2n + 1 số đó là (mỗi đống có 15 viên)? a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ .... ≤ a 2n + 1 ( 1) . ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
- Từ đề bài suy ra tổng của 2n số bất kì luôn chẵn, nên cả 1 1 1 1 Bài 11. Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ;...; ; . Từ 2n + 1 số đó có cùng tính chẵn lẻ. 2 3 2018 2019 -Vì dãy (1) thỏa mãn đầu bài nên dãy sau cũng thỏa mãn các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y rồi viết lên bảng số đầu bài: xy ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp 0 = a 1 − a 1 ≤ a 2 − a 1 ≤ a 3 − a 1 ≤ .... ≤ a 2n + 1 − a 1 (2) x +y +1 Suy ra các số của dãy (2) cũng cùng tính chẵn lẻ, mà trong tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại dãy này có số 0 nên tất cả các số của dãy (2) đều chẵn. đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu? - Đem chia tất cả các số của dãy (2) cho 2, ta được dãy mới: Lời giải. 0 = b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ .... ≤ b2n + 1 ( 3 ) cũng thỏa mãn đầu bài. Đặt z = xy 1 1 1 ⇒ = + + 1 Do đó lí luận như trên ta cũng có tất cả các số của dãy (3) x + y + 1 z x y xy đều là số chẵn (đây chính là bất biến của bài toán). 1 1  1  ⇒ + 1=  + 1   + 1  (1). - Lại đem các số của dãy (3) chia cho 2 ta được dãy mới: z x  y  0 = c 1 ≤ c 2 ≤ c 3 ≤ .... ≤ c 2n + 1 ( 4 ) cũng thỏa mãn đầu bài Với mỗi tập các số dương {x 1 ; x 2 ;...x n } tùy ý, xét biểu và cũng gồm toàn số chẵn.  1  1   1  Lại đem các số của dãy (4) chia cho 2…. thức P ( x 1 ; x 2 ;...x n ) = + 1   + 1  ....  + 1  .  x1  x2   xn  Rõ ràng quá trình này kéo dài vô hạn, nghĩa là các số của Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì x; y rồi viết lên dãy (2) luôn chia hết cho 2n với mọi số tự nhiên n. Điều này xy chỉ xảy ra với tất cả các số của dãy (2) đều bằng 0. Từ đó bảng số các số còn lại trên bảng giữ nguyên suy ra điều phải chứng minh. x +y +1 Bài 10. Trong một bảng ô vuông kích thước 100 × 100 ta thì giá trị biểu thức P của các số trên bảng không đổi. điền vào mỗi ô một dấu (+). Ta tiến hành biến đổi như sau: Gọi số cuối cùng là a Mỗi lần ta đổi dấu tất cả các ô trong cùng một hàng hoặc 1 1 1 1 1  ⇒ P (a ) = P  ; ; ;...; ; trong cùng một cột (dấu (+) thành (-) và dấu (-) thì thành 1 2 3 2018 2019  (+)). Hỏi sau một số hữu hạn bước biến đổi như trên, liệu trên      bảng có đúng 2016 dấu trừ hay không? 1 1   1   1  1  ⇒ + 1 =  + 1  .  + 1  ...  + 1. + 1 Lời giải. a 1   1   1  1       Giả sử sau một số bước biến đổi trên bảng có đúng 2016 dấu 2   2018   2019  trừ. Giả sử ở hàng thứ i ta đã đổi dấu x i lần, còn ở cột thứ j = 2020! 1 ta đã đổi dấu y i lần. Như vậy dấu ở ô (i;j) đã thay đổi ⇒a = . 2020!− 1 x i + y j lần. Suy ra tại ô này có dấu (-) khi và chỉ khi 1 Bài 12. Trên bảng đen viết ba số 2; 2; . Ta bắt đầu x i + y j là số lẻ. Gọi p là số các số lẻ giữa các số x i , q là số 2 các số lẻ giữa các số y i . Khi đó tổng số dấu (-) trong bảng thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào sẽ là p ( 100 − q ) + ( 100 − p ) q= 100 p + 100q − 2 pq do đó trong ba số trên bảng, giả sử là a và b rồi viết vào 2 a +b a −b đó ta nhận được đẳng thức vị trí vừa xoá hai số mới và đồng thời giữ 100 p + 100q − 2 pq = 2016 2 2 ⇔ ( p − 50 )(q − 50 ) = 1492 = 12.131 (*) nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số. Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu Vì 131 là số nguyên tố nên một trong hai số p – 50 hoặc lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số q – 50 phải chia hết cho 131. 1 Giả sử p − 50  131 nhưng −50 ≤ p − 50 ≤ 50 nên suy ra ; 2; 1 + 2 . 2 2 p – 50 = 0, điều này trái với (*). Vậy không thể thực hiện Lời giải. được theo yêu cầu đầu bài. ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Giả sử ba số trên bảng là a , b , c , khi thay a , b Bài 12. Một hình tròn được chia thành 10 ô hình quạt, trên mỗi ô người ta đặt 1 viên bi. Nếu ta cứ di chuyển các viên a +b a −b bằng x = và y = . bi theo quy luật : mỗi lần lấy ở 2 ô bất kì mỗi ô 1 viên bi, 2 2 chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược nhau thì có thể 2 2 a +b   a −b  chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô hay không ? Khi đó ta có x += 2 y 2   +   2   2  Lời giải. Trước tiên, ta tô màu xen kẽ các ô hình quạt, như vậy a 2 + 2ab + b 2 + a 2 − 2ab + b 2 = = a 2 + b2 . sẽ có 5 ô được tô màu (ô màu) và 5 ô không được tô màu 2 (ô trắng). Ta có nhận xét : Như vậy sau khi xoá 2 số a, b thay bởi hai số mới a +b a −b và thì tổng bình phương hai số mới 2 2 không đổi. Do đó tổng bình phương của ba số trên 1 13 bảng không đổi và bằng 2 + 4 + = . Nếu di chuyển 1 bi ở ô màu và 1 bi ở ô trắng thì tổng số 2 2 Mặt khác tổng bình phương ba số bi ở 5 ô màu không đổi. 1 1  13 Nếu di chuyển ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô ; 2; 1 + 2 là  + 2 + 3 + 2 2  ≠ . màu giảm đi 2. Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì 2 2 8  2 tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2. Vậy không thể đồng thời trên bảng ba số Vậy tổng số bi ở 5 ô màu hoặc không đổi, hoặc giảm đi 1 ; 2; 1 + 2 2 hoặc tăng lên 2. Nói cách khác, tổng số bi ở 5 ô màu sẽ 2 2 không thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu. Bài 11. Trên bảng viết các số Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên (là số lẻ) nên 1 2 2014 2015 , , ..., , . Mỗi lần biến đổi, sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật trên thì tổng 2015 2015 2015 2016 số bi ở 5 ô màu luôn khác 0 và khác 10, do đó không thể xóa đi hai số a, b bất kỳ và thay bằng số chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô. a + b − 5ab . Hỏi sau 2014 lần thực hiện phép biến Bài 13. Giả sử n là 1 số lẻ ta viết lên bảng các số từ 1 đến đổi trên bảng còn lại số nào? 2n, sau đó chọn ra 2 số bất kỳ a và b và viết lại 1 số Lời giải. bằng a − b . Chứng minh rằng số cuối cùng còn lại trên 403 1 Trong dãy số trên có số = . bảng là 1 số lẻ. 2015 5 Nếu xóa hai số a và b bất kì và thay bằng số mới là Lời giải. c = a + b − 5ab , như vậy sau mỗi lần xóa day trên Tổng của các số trên bảng ban đầu là: giảm đi một số. Như vậy sau 2014 lần xóa trên bảng còn lại một số. S = 1 + 2 +….+ 2n = n(2n + 1). 1 Ta thấy n lẻ nên S lẻ. Mà với các thao tác trong bài thì Đến một lúc nào đó ta sẽ xóa và một số b thì ta thay 5 1 1 1 tổng sẽ giảm đi 2.min {a ; b } do đó tính chãn lẻ của tổng bằng c = + b − 5. b = 5 5 5 không đổi. Vì ban đầu S là số lẻ nên số cuối cùng còn lại 1 1 Như vậy cứ xóa số thì lại xuất hiện số . Vậy số trên bảng là số lẻ. 5 5 1 cuối cùng còn lại là 5 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 1. Trên bảng ta viết 10 dấu cộng và 15 dấu trừ tại các vị trí bất kỳ. Ta thực hiện xóa 2 dấu bất kỳ trong đó và viết vào đó 1 dấu cộng nếu xóa 2 dấu giống nhau và 1 dấu trừ nếu xóa 2 dấu khác nhau. Hỏi trên bảng còn lại dấu gì nếu ta thực hiện thao tác trên 24 lần? Bài 2. Cho các số 2,8,1,0,1,9,9,5 được viết trên 1 vòng tròn. Cứ 2 số cạnh nhau ta cộng thêm 1 vào 2 số đó. Hỏi sau 1 số lần thực hiện thao tác trên các số trên vòng tròn có thể đều bằng nhau được không? Bài 3.Một tờ giấy bị cắt nhỏ thành 6 mảnh hoặc 11 mảnh. Các mảnh nhận được lại có thể chọn để cắt (thành 6 mảnh hoặc 11 mảnh nhỏ hơn) ... Cứ như vậy ta có thể nhận được 2005 mảnh cắt không ? Bài 4. Mỗi số trong dãy 21, 22, 23, ..., 22005 đều được thay thế bởi tổng các chữ số của nó. Tiếp tục làm như vậy với các số nhận được cho tới khi tất cả các số đều có 1 chữ số. Chứng minh trong dãy này : số các số 2 nhiều hơn số các số 1. Bài 5. Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau: Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i = 1, 2,..., 2019. Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3 j + 1 lần, j = 1, 2,..., 2019. Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên. Bài 6. Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C. B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết. C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi. Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ? Bài 7: Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019. 1 1 1 1 1 Bài 8: Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ;...; ; . 1 2 3 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng u + v + uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó. ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Ta thay mỗi dấu cộng là số 1 và mỗi dấu trừ là -1. Ta thấy tích của các số trên bảng là -1. Mà theo cách thực hiện của bài thì ta xóa đi 2 số và viết vào đó tích của 2 số đó, đồng thời ta chỉ thực hiện 24 lần nên suy ra tích của tất cả các số trên bảng sẽ không đổi như vậy tích các số trên bảng luôn bằng -1. Do đó, khi thực hiện thao tác 24 lần thì trên bảng còn lại dấu - . Bài 2.Ta nhận thấy tổng các số trong vòng tròn là 1 số lẻ nên khi thực hiện các thao tác trên thì tổng tăng lên 2 nên tính chẵn lẻ của tổng không đổi. Mặt khác số các số trên vòng tròn là chẵn nên nếu các số đều bằng nhau thì tổng của nó bây giờ là số lẻ suy ra mâu thuẫn. Bài 3. Sau mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 6 mảnh hoặc 11 mảnh thì số mảnh giấy tăng lên là 5 hoặc 10. Như vậy tính bất biến của bài toán là “số mảnh giấy luôn tăng lên một bội số của 5”. Vậy số mảnh giấy sau các lần cắt có dạng 1 + 5k, mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách cắt như trên, từ một tờ giấy ban đầu, ta không thể cắt được thành 2005 mảnh. Bài 4. Ta thấy : “Số tự nhiên A và tổng các chữ số của A luôn cùng số dư trong phép chia cho 9”. Mặt khác ta có : 21 chia cho 9 dư 2 ; 22 chia cho 9 dư 4 ; 23 chia cho 9 dư 8 ; 24 chia cho 9 dư 7 ; 25 chia cho 9 dư 5 ; 26 chia cho 9 dư 1 ; 27 chia cho 9 dư 2 ; ... Do đó 26k + r lần lượt nhận các số dư trong phép chia cho 9 là 2, 4, 8, 7, 5, 1 tương ứng với các giá trị của r là 1, 2, 3, 4, 5, 0. Dãy cuối cùng nhận được gồm 2005 số thuộc tập hợp {2 ; 4 ; 8 ; 7 ; 5 ; 1}. Ta có 2005 = 334 x 6 + 1 nên dãy cuối cùng có 335 số 2 (nhiều hơn số các số khác 1 số). Vậy số các số 2 nhiều hơn số các số 1 đúng 1 số. Bài 5. Theo quá trình đổi dấu trên thì ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu i + 3 j + 1 lần Mà i + 3 j + 1 và i + j hai số không cùng tính chẳn lẻ (vì ( i + 3 j + 1) − ( i + j ) = 2 j + 1 là số lẻ) Do đó những ô vuông ở dòng i cột j mà i + j là số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu ở ô vuông đó vẫn là dấu +, còn những ô vuông ở dòng i cột j mà i + j là số chẵn sẽ đổi dấu một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu – Mà từ 1 đến 2019 có 1009 số chẵn và 1010 số lẻ nên số cặp ( i; j ) mà i + j bằng 1009.1010+1010.1009=2038180 Bài 6. Khi biết tổng nhưng B nói : Tôi không biết 2 số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết. Do đó ta loại các cặp có tổng bằng 2; 3; 17; 18 là (1;1) , (1;2 ) , ( 8;9 ) , ( 9;9 ) vì nếu biết tổng này thì B phải đoán được hai số đó ngay. Ngoài ra, dựa vào việc khẳng định C cũng không biết nên có các trường hợp của tổng sau: TH1: 4 = 1+ 3 = 2 + 2 thì tích có thể bằng 3 = 1.3, C đoán được ngay, Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp này loại.
TH2: 6 = 1 + 5 = … thì tích có thể bằng 5 = 1.5, C đoán được ngay! Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp này loại. Tương tự đối với các trường hợp tổng là 7 = 2+ 5, 8 = 3+5, 9 = 4+5, 10 = 5+5, 11 = 5+6, 12 = 3+9, 13 =6+7, 14 = 7+7, 15 = 7+8, 16 = 8+8 cũng loại Do đó, sau khi B phát biểu thì C đoán được tổng của 2 số là 5 ( = 1+4 = 2+3). Khi đó tích có thể là 4 = 1.4 = 2.2 hoặc 6 = 1.6 = 2.3. Vì C biết tổng bằng 5 và tích 2 số ( bằng 4 hay 6 ) nên suy ra được ngay. C nói : Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. Như vậy C biết tích bằng 6 > 5. Sau đó B cũng biết vì hai số ban đầu có tổng bằng 5 và tích bằng 6. Vậy 2 số A chọn là 2 và 3. Bài 7.Ta tô màu các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong 12 điểm đã cho: -Tô đỏ các đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673 -Tô xanh các đoạn thẳng còn lại thì mỗi tam giác có ít nhất một cạnh màu đỏ. Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam giác có 3 cạnh đều là màu đỏ. +Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho. Từ một điểm A nối đến các đoạn thẳng còn lại tạo thành 5 đoạn thẳng, được tô tới hai màu xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng màu. Giả sử đó là AB, AC , AD Nếu AB, AC , AD tô đỏ (nét liền, h1) thì tam giác BCD phải có 1cạnh tô đỏ(h1)., chẳn hạn BC thì tam giác ABC có 3 cạnh tô đỏ(h2). Nếu AB, AC , AD tô xanh (nét đứt, h3). Do mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh đỏ nên BC , CD, BD và tam giác BCD có 3 cạnh đỏ(h1). Suy ra trong 6 điểm này luôn tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh màu đỏ +Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tương tự Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam giác có hai cạnh đều màu đỏ. Suy ra tồn tại ít nhất hai tam giác mà chu vi mỗi tam giác bé hơn 2019 (Từ trái qua phải lần lượt là h1,h2,h3,h4) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 8:Với hai số thực u,v bất kỳ ta luôn có: ( u + 1)( v + 1) = u + v + uv + 1 = ( u + v + uv ) + 1 (*) Với dãy số thực bất kỳ a1 ;a2 ;...;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: T=( a1 + 1)( a2 + 1)( a3 + 1) ...( a2015 + 1) Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” không thay đổi với mọi dãy thu được. Với dãy đã cho ban đầu của bài toán, “Tích thêm T ”:  1  1  1  1   1  2 3 4 2015 2016 T=  + 1 + 1 + 1 + 1 ... + 1 =. . .... . = 2016  1  2  3  4   2015  1 2 3 2014 2015 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy còn lại chỉ còn một số là x thì “Tích thêm T ” đối với dãy cuối là: T= x + 1 Vậy ta có: x += 1 2016 ⇒= x 2015 Bài toán được giải quyết; và sau 2014 lần biến đổi dãy theo đúng yêu cầu của bài toán ta thu được số 2015 . ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗