Tính giá trị biểu thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Tính giá trị biểu thức" nhằm củng cố kiến thức của các em học sinh thông qua giải các dạng bài tập vận dụng về sử dụng phương pháp phân tích; dử dụng phương pháp hệ số bất định; bận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung chi tiết các bài tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính giá trị biểu thức

TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC “tailieumontoan.com” ( −a ) 2019 c 2019 + a 2019 = + a 2019 = 0 I. BÀI TÂP Date ( )( )( Do đó: P = a 23 + b 23 b 3 + c 3 c 2019 + a 2019 =0 ) Vậy ta có: P = 0  Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích Thí dụ 2. Cho các số dương x, y thỏa mãn: Thí dụ 1. Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn: 7x 2 − 13xy − 2 y 2 = 0 (1) 2x − 6 y (a + b + c )  a1 + b1 + c1  =1 . Tính giá trị biểu thức: A = .   7x + 4 y Tính giá trị biểu thức: Lời giải P= ( )( )( a 23 + b 23 b 3 + c 3 c 2019 + a 2019 ) Từ (1) ta có: (7x + y )(x − 2 y ) = 0 ⇔ x = 2 y (do x, y > 0) Lời giải Thay x = 2y vào A ta được: 1 1 1 2x − 6 y 4y − 6y −2 y −1 Ta có: (a + b + c )  + +  =1 =A = = = a b c  7x + 4 y 14 y + 4 y 18 y 9 Thí dụ 3. Cho các số thực x, y thỏa mãn: (a + b + c )  ab +abc bc + ca  =1  2010 2010   +1=  ⇔ (a + b + c )(ab + bc + ca ) =abc  x y (2)  x + 2y = 2335 ( ) ( ⇔ a 2 b + abc + ca 2 + ab 2 + b 2 c + abc )  x + (abc + bc 2 +c a ) = 2 abc Tính giá trị biểu thức: B = . y ⇔ a 2 b + ca 2 + b 2 c + ab 2 + c 2 b + ac 2 + 2abc = 0 Lời giải ⇔ (a + b )( b + c )(c + a ) = 0 2010 2010 a =−b Đặt a = = , b với a, b > 0. x y  ⇔ b = −c Từ (2) suy ra: c = −a  = a +1 b =  a +1 b   1 2 7 ( −b ) + b ⇔ 1 2 7⇒ + = 23 * Với a = - b thì: a 23 +b 23 = 23 =0  2010 2.2010  a += 2345 = a + b a a +1 6  b  6 Do đó: ⇔ 7a − 11a − 6 = 0 ⇔ a = 2 (do a 2 > 0)suyra : b = 3. ( )( )( P = a 23 + b 23 b 3 + c 3 c 2019 + a 2019 =0 ) x b 3 Vậy: B= = = . y a 2 ( c ) + c 3 =0 3 * Với b = - c thì: b 3 + c 3 =− ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
 Dạng 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Thí dụ 6. Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn: Thí dụ 4. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:  5  5=x 3= y z (1) (x − y )(x + y ) = z2 2 (4) t t t 9   − + =  4 y = 5 + 7z 2 2 (2)  x y z 10 Tính giá trị biểu thức D =2x 2 + 10 y 2 − 23z 2 . t2 t2 t2 Lời giải Tính giá trị biểu thức: C = + + . xy yz zx z 2 − x 2 − y 2 = 0 Lời giải. Ta có: (4) ⇔  2 (4)  4 y − 7z = 2 5. 5 Từ (1) ta có: = y =x , z 2x . Ta tìm các số thực a, b thỏa mãn: 3 a (z 2 − x 2 − y 2 ) + b (4y 2 − 7z 2 ) = 2x 2 + 10 y 2 − 23z 2 5 Thay = y =x , z 2x . vào (2) ta được: 3 ⇔ ax 2 + (4b − a )y 2 − (7b + a )z 2 = 2x 2 + 10 y 2 − 23z 2 t t t 9  a= 2 − + = ⇒t = x.  a = 2 x 5 2x 10 ⇔  4b − a = 10 ⇔  x 3 7b + a = 23 b = 3.  Vì thế: Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15. t 2 t 2 t 2 x2 x2 x2 C = + + = + + Thí dụ 5. Cho các số thực x, y, z, t thỏa mãn: xy yz zx xy yz zx  t x x x x 3 3 1 1 7  x + 2 y + 2z = 1 = + . + = + . + = . (5) . y y y z 5 5 2 2 5   t 1  Dạng 3: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau =  z − 3x 2 Thí dụ 7. Cho các số a, b, c thỏa mãn: t Tính giá trị biểu thức: E = . a +b −c a +c −b b +c −a x + 8 y + 9z = = c b a Lời giải. x y z (a + b )(b + c )(c + a ) Tính A =  + 2 + 2 = 1 abc Ta có: (5) ⇔  t t t  z −3x = 2 Lời giải  t t Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1 x y z Mặt khác: = + 8 + 9 . Giả sử a, b là các a +b −c a +c −b b +c −a E t t t = = số thực thỏa mãn: c b a x y y (a + b − c ) + (a + c − b ) + ( b + c − a ) z =  x z x z = 1 a  + 2. + 2.  + b  −3. +  = + 8. + 9. a +b +c t t t  t t t t t a + b −=c c a +=b 2c x y z x y z   ⇔ (a − 3b ) + 2a . + (2a + b ). = + 8 + 9 ⇒ a + c − b = b ⇒ a + c = 2b t t t t t t b + c= b=  −a a  + c 2a a − 3b =1  ⇔  2a = 8 ⇔  a = 4 1 ⇒ = 4.1 + 1.2 = 6. = ⇒ A (a + b )(b + c )(c=+ a ) 2c .2a .2b = 8 2a + b = 9 b = 1 E abc abc  Vậy E = 6 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
 Dạng 4: Sử dụng phương pháp hình học Từ (7) suy ra x > 1 và z < 2. Thí dụ 7. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 = 9 Ta viết lại hệ (7) dưới dạng:  2 y + z = 16 ( * ) ( ) 2  2 25  y 2 = xz  x − 1 +y2 =  4   ( ) 2 Tính giá trị biểu thức G= xy + yz Ta viết lại hệ (7) dưới dạng:  y 2 + 2 − z = 4  2 Lời giải  y = x − 1. 2 − z  A Xét tam giác ABC vuông tại B, đường cao BD với x 5 D AB = = , BC 2. 2 Đặt BD =y , AD = x − 1,CD = 2 − z 3 z y Rõ ràng x, y, z thỏa mãn hệ. Từ đó ta có: H y = ( x − 1 + 2 −= z 2.S =) ABC 2. . = .2 5. 1 5 2 2 C Vậy H = 5. B 4 Xét tam giác ABC vuông tại B, có AB = 3, BC = 4 đường cao BD. Đặt AD = x, BD = y, DC = z, ta thấy x, y,z hoàn toàn thỏa mãn hệ thức (*). Khi đó: Câu 1. (Chuyên Bình Dương 2018) G = xy + yz = y ( x + z ) = 2.S ABC= AB .BC = 3.4 = 12 Cho các số thực x, y thỏa mãn Thí dụ 8. Cho 3 số thực x, y, z với y > 0 thỏa mãn: (x + 2018 + x 2 )( y + 2018 + y 2 = 2018)  29 Tính giá trị của biểu thức  x +y = 2 4 Q = x 2019 + y 2019 + 2018 ( x + y ) + 2020   y −z = 2 2 ( 7)  2 Câu 2. (Chuyên Nam Định 2016) y = x − 1. 2 − z  Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn các điều kiện H y Tính giá trị biểu thức= ( x − 1 + 2 −z ) a +b +c =6; 1 + 1 + 1 = 47 a + b b + c c + a 60 . Lời giải a b c Tính giá trị của biểu thức + + . A b +c c +a a +b Câu 3. (Chuyên Khánh Hòa 2018) D Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn : 2 1 1 1 1 1 1 1 y x + y + z= ; 2 + 2 + = 4; + + > 0 2 x y xyz x y z B C Tính Q = ( )( y 2017 + z 2017 z 2019 + x 2019 )( x 2021 + y 2021 ) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Câu 4. (Chuyên TP. Hồ Chí Minh 2018) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c =0 và a 2= 2 (a + c + 1 )(a + b − 1 ) . Tính giá trị của biểu thức A = a 2 + b 2 + c 2 Câu 5. (Chuyên TP. Hồ Chí Minh 2015) Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ 0 . Tính giá trị của biểu thức: 1  1 1  3  1 1  6 1 1 =P  + +  + + 5  +  (a + b )3  a 3 b 3  (a + b )  a b2  (a + b)  a b  4 2 Câu 6. (HSG huyện Thủy Nguyên 2018) 1 1 1 Cho các số thực x , y , z ≠ 0 thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + + + 6. Tính giá trị biểu thức = x 2 y 2 z2 P = x 2017 + y 2018 + z 2019 . Câu 7. (HSG huyện Vĩnh Bảo 2018) Cho ba số x , y , z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tính giá trị biểu thức: P =x ( 1 + y )( 1 + z ) + y ( 1 + z )( 1 + x ) + z ( 1 + x )( 1 + y ) . 2 2 2 2 2 2 1+x2 1+y2 1+z2 Câu 8. (HSG Nam Định 2015) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z =2, x 2 + y 2 + z 2 = 18 và xyz = −1 . 1 1 1 Tính giá trị của S = + + ⋅ xy + z − 1 yz + x − 1 zx + y − 1 Câu 9. (HSG TP. Hải Phòng 2015) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xyz =4. Rút gọn biểu thức: B= x (4 − y )(4 − z ) + y (4 − z )(4 − x ) + z (4 − x )(4 − y ) − xyz . Bài 10. (HSG Hải Dương 2013) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a 3 − a 2 b + ab 2 − 6b 3 = 0. Tính giá trị của biểu thức B = a 4 − 4b 4 . b 4 − 4a 4 Bài 11. (HSG huyện Yên Định 2012) 1 1 1 Cho a + b + c =0 , tính giá trị của biểu thức: P = + + b +c −a 2 2 2 a +c −b 2 2 2 a + b2 −c 2 2 Câu 12. (Chuyên Lam Sơn năm 2019-2020) bc ca ab Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab + bc + 2ca = 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = + + 8a 2 b2 c 2 Câu 13. (Chuyên Lam Sơn năm 2018-2019) a − 3a + 5a − 17 = 3 2 0 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn biểu thức  3 b − 3b + 5b + 11 = 2 0 Chứng minh rằng a + b = 2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Ta có: (x + 2018 + x 2 )( y + ) 2018 + y 2 =2018 ⇔ x + 2018 + x 2 = 2018 y + 2018 + y 2 ⇔ x + 2018 + x= 2 2018 ( 2018 + y 2 − y )⇔x + 2018 + x= 2 2018 + y 2 − y (1) 2018 + y − y 2 2 Biến đổi tương tự ta có: 2018 + x 2 −= x 2018 + y 2 + y (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 2018 + x 2 = 2018 + y 2 ⇔ 2018 + x 2 = 2018 + y 2 x = y ⇔ x2 = y2 ⇔  x = − y +)Với x = y ta có: x 2019 + y 2019 = 0 () 1 ⇔ x + 2018 + x 2 = 2018 + x 2 − x ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ x = y = 0 ⇒  x + y = 0 ⇒ Q= x 2019 + y 2019 + 2018(x + y ) + 2020= 2020 x + y 2019 2019 0 = +)Với x = −y , ta có:  ⇒Q = 2020 x + y = 0 Vậy Q = 2020 c a 6 − ( b + c ) 6 − (c + a ) 6 − (a + b ) b Câu 2. Do a + b + c =6 nên + = + + + b +c c +a a +b b +c c +a a +b 6 6 6  1 1 1  47 47 17 = + + − 3= 6  + +  − 3 = 6. − 3 = −3 = . b +c c +a a +b b +c c +a a +b  60 10 10 1 x + y +z 1 1 1 1 1 2 2 2 1 Câu 3. Ta có: x + y + z = ⇔ = ⇔ + + = ⇔ + + = 2 xyz 2xyz xy yz xz 2xyz xy yz xz xyz 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ 2 + 2 + 2 + + + = 2 + 2 + 2 + =4 ⇒  + +  =4 ⇔ + + =2 x y z xy yz xz x y z xyz x y z  x y z 1 1 1 1 Từ đó: +=+ ⇔ ( xy + yz + xz )( x + = y + z ) xyz ⇔ ( x + y )( x + z )( y + z ) = 0 x y z x + y +z x =−y  ⇔ y = −z z = −x Hơn nữa các mũ của Q đều lẻ nên có ít nhất 1 thừa số bằng 0. Vậy Q = 0 Câu 4. Ta có: a + b + c =0 ⇔ b =−a − c ⇒ a 2= 2 (a + c + 1 )(a + b − 1 ) ⇔ a 2= 2 (a + c + 1 )(a − a − c − 1 ) ⇔ a 2= 2 (a + c + 1 )( −c − 1 ) ⇔ a 2 + 2 (a + c + 1 )(c + 1 )= 0 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
⇔ a 2 + 2a (c + 1 ) + 2 (c + 1 ) =0 ⇔ (a + c + 1 ) + (c + 1 ) =0 2 2 2 a + c += 1 0 a 0 = ⇔ ⇔ ⇒ b =−a − c =1 c + 1 =0 c =−1 ⇒ A = a 2 + b 2 + c 2 = 0 2 + 12 + ( −1 ) = 2 2 Vậy A = 2 Câu 5. Với ab = 1 , a + b ≠ 0, ta có: a 3 + b3 3(a 2 + b 2 ) 6(a + b ) a 3 + b 3 3(a 2 + b 2 ) 6(a + b ) P = + + = + + (a + b )3 (ab )3 (a + b )4 (ab )2 (a + b )5 (ab ) (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 a 2 + b 2 − 1 3(a 2 + b 2 ) 6 (a 2 + b 2 − 1)(a + b )2 + 3(a 2 + b 2 ) + 6 = + + = (a + b )2 (a + b )4 (a + b )4 (a + b )4 (a 2 + b 2 − 1)(a 2 + b 2 + 2) + 3(a 2 + b 2 ) + 6 (a 2 + b 2 )2 + 4(a 2 + b 2 ) + 4 (a 2 + b 2 + 2)2 = = = (a + b )4 (a + b )4 (a + b )4 2 (a 2 + b 2 + 2ab )2 (a + b )  2 = = = 1 (a + b )4 (a + b )4 Vậy P = 1, với ab = 1 , a + b ≠ 0. Câu 6. 1 1 1  1   2 1   2 1  x2 + y2 +z2 + + + = 6 ⇔ x 2 − 2 + 2  +  y − 2 + 2  +  z − 2 + 2 =0 x 2 y 2 z2  x   y   z   1 x − =0 2 2 2  x x =−1 x =1  1  1  1  1   ⇔ x −  +  y −  +  z −  =⇔0 y − =⇔ 0 y =−1 ∨ y = 1  x  y  z  y z =   −1 z = 1  1 z − =0  z Do đó P = x 2017 + y 2018 + z 2019 = 3 khi x= y= z= 1 Hoặc P = x 2017 + y 2018 + z 2019 = 1 khi x = y = z = −1 Câu 7. Ta có: 1 + x 2 = xy + yz + zx + x 2 = y ( x + z ) + x ( x + z ) = ( x + y )( x + z ) Tương tự: 1 + y 2 = ( x + y )( y + z ) ; 1 + z 2 = ( x + z )(z + y ) Do đó: P = x ( 1 + y )( 1 + z ) + y ( 1 + z )( 1 + x ) + z ( 1 + x )( 1 + y ) 2 2 2 2 2 2 1+x2 1+y2 1+z2 =x ( y + z )( y + x )( x + z )(z + y ) + y (z + x )(z + y )( x + y )( x + z ) + z ( x + y )( x + z )( y + x )( y + z ) ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) (z + x )(z + y ) (y + z ) (z + x ) (x + y ) 2 2 2 = x +y +z = xy + xz + yz + xy + xz + zy = 2 ( xy + yz + zx ) =2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Câu 8. Ta có xy + z − 1 = xy − x − y + 1 = ( x − 1 )( y − 1 ) Tương tự yz + x − 1 = ( y − 1 )(z − 1 ) và zx + y − 1 = (z − 1 )( x − 1 ) 1 1 1 x + y +z −3 Suy ra S = + + = ( x − 1 )( y − 1 ) ( y − 1 )(z − 1 ) (z − 1 )( x − 1 ) ( x − 1 )( y − 1 ) (z − 1 ) −1 1 = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − 1 xy + yz + zx Ta có ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx = 2 −7 1 Suy ra S = − 7 Câu 9. Ta có x + y + z + xyz = 4 ⇔ 4(x + y + z ) + 4 xyz = 16 Khi đó ta có: x (4 − y )(4 − z= ) x (16 − 4y − 4z + yz ) = x (yz + 4 xyz + 4x ) = x . ( yz + 2 x )2 = xyz + 2x (1) Tương tự y (4 − z )(4 − x )= xyz + 2 y (2) z (4 − x )(4 − y )= xyz + 2z (3) Từ (1), (2), (3) suy ra B = 2(x + y + z + xyz ) = 2.4 = 8 . Câu 10. Ta có: a 3 − a 2 b + ab 2 − 6b 3 =0 ⇔ (a − 2b )(a 2 + ab + 3b 2 ) =0 (*) Vì a > b > 0 ⇒ a 2 + ab + 3b 2 > 0 nên từ (*) ta có a = 2 b a 4 − 4b 4 16b 4 − 4b 4 12b 4 −4 Biểu = thức B = . Vậy: = B = b − 4a 4 4 b − 64b 4 4 −63b 4 21 −x ⇔ ( y + z ) =( −x ) 2 2 Câu 11. Ta có: x + y + z =⇒ 0 y + z = x2 x2 Suy ra: y 2 + z 2 – x 2 = −2 yz . Do đó: = y 2 + z 2 − x 2 −2 yz y2 y2 z2 z2 Tương tự = ta có: 2 = ; z + x 2 − y 2 −2xz x 2 + y 2 − z 2 −2xy x2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 + y3 +z3 Do đó: P = 2 + + = + + = y + z 2 − x 2 z 2 + x 2 − y 2 x 2 + y 2 − z 2 −2 yz −2xz −2xy −2xyz (x + y + z ) − 3 ( x + y )( y + z )(z + x ) 0 − 3. ( −z ) . ( −x ) . ( −y ) 3 3xyz 3 = = = = − −2xyz −2xyz −2xyz 2 3 Vậy P = − 2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
1 1 1 Câu 12. Đặt x = 2 a, y = b, z = c ta được xy + yz + zx = 0 ⇒ + + =0 x y z bc 2ac 2ab yz zx xy  1 1 1  Khi đó 2 A = + 2 + 2 = 2 + 2 += xyz  3 + 3 + 3  4a 2 b c x y z 2 x y z  1 1  1 1 1  1 1 1 3 1 1 1 1  Mặt khác từ hằng đẳng thức + = + + + − + + − − −  = 0 ta có x 3 y 3 z 3 xyz  x y z   x 2 y 2 z 2 xy yz 2x  1 1 1 3 3 3 + 3 + 3 = ⇒ 2 A = xyz ⋅ = 3 . Vậy A = . x 3 y z xyz xyz 2 Câu 13. (a − 1 ) + 2a − 16 = a 3 − 3a 2 + 5a − 17 = 0  3 0(1)  3 ⇔  b − 3b + 5b + 11 = ( b − 1 ) + 2b + 12 = 2 3 0 0(2) ⇒ ( 1 ) + ( 2 ) ⇔ (a − 1 ) + 2a − 16 + ( b − 1 ) + 2b + 12 = 3 3 0 ⇔ (a − 1 + b − 1 ) (a − 1 ) − (a − 1 )( b − 1 ) + ( b − 1 )  + 2 (a + b − 2 ) = 2 2 0    a − 1 2  3  ⇔ ( a + b − 2 )  + b − 1  + (b − 1) + 2  = 2 0  2  4   a −1 2  3  + b − 1  + ( b − 1 ) + 2 > 0∀a , b  2 ⇔ a + b 2  do  =   2  4    Vậy ta có điều phải chứng minh ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗