Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức

Chia sẻ: Thuy Thanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

2.717
lượt xem 201
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu hướng dẫn cách Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức. Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức

G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh Số điện thoại: 0987730790 --------------------------------- Đã có rất nhiều phương pháp được đưa ra để giải phương trình bậc 4 trên trường số phức như phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano. Sau đây tôi xin đưa ra một phương pháp để giải phương trình bậc 4: x4+ax3+bx2+cx+d=0 a , b, c , d ∈ R trên trường số phức, đó là chúng ta sẽ phân tích vế trái của phương trình đã cho thành nhân tử. Và cách phân tích cụ thể như sau: 1. Phương trình dạng x4+ax2+bx+c=0 (*) Cách giải chung: phân tích x 4 + ax 2 + bx + c = ( x 2 + m ) − p( x + n ) 2 2 = x 4 + ( 2m − p ) x 2 − 2pnx + m 2 − pn 2  2m − p = a (1)  ( 2) sau đó ta đồng nhất hệ số.  − 2 pn = b  m 2 − pn 2 = c ( 3)  −b p+a ; từ (2) ta có n = Từ (1) ta có: m = thế vào (3) ta được : 2p 2 ( p + a)2 b2 − p. 2 = c ( 4) . 4 4p Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức: z4-24z-32=0 Giải: Tr i ệu Thu Thủy Trang 1
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i Ta có: z 4 + 24 z − 32 = ( z 2 + m ) − p( z + n ) 2 2 = z 4 + ( 2m − p ) z 2 − 2 pnz + m 2 − pn 2  2m − p = 0 (1)  ( 2) . Để giải hệ (1), (2), (3) ta Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −24  m 2 − pn 2 = −32 ( 3)  rút hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3). 12 p ; từ (2) ta có n = Từ (1) ta có: m = thế vào (3) ta được : p 2 p2 144 − p. 2 = −32 ⇔ p 3 − 20 p 2 + 128 p − 576 = 0 ( 4) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3. Vậy phương trình đã cho trở thành: (z + 2 ) − 4.( z + 3) = 0 2 2 2 ⇔ ( z 2 − 2 z − 4 ) .( z 2 + 2 z + 8) = 0  z 2 − 2z − 4 = 0 ⇔ 2  z + 2z + 8 = 0 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là : z = 1 ± 5 , z = −1 ± i 7 Ví dụ 2 : Giải phương trình sau trên trường số phức : z 4 − 5. z 2 − 18 z − 5 = 0 Giải : Ta có: z 4 − 5 z 2 − 18 z − 5 = ( z 2 + m ) − p( z + n ) 2 2 = z 4 + ( 2m − p ) z 2 − 2 pnz + m 2 − pn 2  2m − p = −5 (1)  ( 2) . Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −18  m 2 − pn 2 = −5 ( 3)  Tr i ệu Thu Thủy Trang 2
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i p−5 9 ; từ (2) ta có n = thế vào (3) ta được : Từ (1) ta có: m = p 2 ( p − 5) 2 81 − p. 2 = −5 ⇔ p 3 − 10. p 2 + 45 p − 324 = 0 (4) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ đó m=2, n=1. Vậy phương trình đã cho trở thành: (z + 2 ) − 9.( z + 1) = 0 2 2 2 ⇔ ( z − 3 z − 1) .( z + 3 z + 5) = 0 2 2  z 2 − 3z − 1 = 0 ⇔ 2  z + 3z + 5 = 0 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là : 3 ± 13 − 3 ± i 11 z= ,z = . 2 2 2. Phương trình bậc 4 tổng quát : z4+az3+bz2+cz+d=0 a , b, c , d ∈ R . Chúng ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng phương trình ở phần 1 a bằng cách đặt : z = y − , khi đó hệ số bậc 3 sẽ bị triệt tiêu. 4 Ví dụ 3 : Giải phương trình sau trên trường số phức : z 4 + 8 z 3 + 24 z 2 − 16 z − 220 = 0 (1) Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành: ( y − 2) + 8.( y − 2) + 24( y − 2 ) − 16( y − 2) − 220 = 0 4 3 2 ⇔ y 4 − 8 y 3 + 24 y 2 − 32 y + 16 + 8 y 3 − 48 y 2 + 96 y − 64 + 24 y 2 − 96 y + 96 − 16 y + 32 − 220 = 0 ( 2) ⇔ y 4 − 48 y − 140 = 0 Ta có : y 4 − 48.y − 140 = ( y 2 + m ) − p ( y + n ) 2 2 = y 4 + ( 2m − p ) y 2 − 2pny + m 2 − pn 2 3 Tr i ệu Thu Thủy Trang
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i  2m − p = 0 ( 3)  ( 4) . Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −48  m 2 − pn 2 = −140 ( 5)  24 p ; từ (4) ta có n = Từ (3) ta có: m = thế vào (5) ta được : p 2 p2 576 − p. 2 = −140 ⇔ p 3 − 560 p − 4.576 = 0 ( 6) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6. Vậy phương trình (6) trở thành: (y + 2 ) − 4.( y + 6) = 0 2 2 2 ⇔ ( y + 2 y + 14 ) .( y − 2 y − 10 ) = 0 2 2  y 2 + 2 y + 14 = 0 ⇔ 2  y − 2 y − 10 = 0 Phương trình (6) có 6 nghiệm là : y = 1 ± 11 , y = −1 ± i 13 . Khi đó phương trình đã cho (1) có nghiệm là: z = −1 ± 11 , z = −3 ± i 13 . Ví dụ 4 : Giải phương trình sau trên trường số phức : z 4 + 4 z 3 + 19 z 2 + 48 z + 45 = 0 Giải : Đặt z=y-1. Khi đó phương trình trở thành : ( y − 1) + 4.( y − 1) + 19( y − 1) + 48( y − 1) + 45 = 0 4 3 2 ⇔ y 4 − 4 y 3 + 6 y 2 − 4 y + 1 + 4 y 3 − 12 y 2 + 12 y − 4 + 19 y 2 − 38 y + 19 + 48 y − 48 + 45 = 0 ⇔ y 4 + 13 y 2 + 18 y + 13 = 0 ( * *) Ta có : y 4 + 13.y 2 + 18.y + 13 = ( y 2 + m ) − p ( y + n ) 2 2 = y 4 + ( 2m − p ) y 2 − 2pny + m 2 − pn 2 4 Tr i ệu Thu Thủy Trang
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i  2m − p = 13 (1)  ( 2) . Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = 18  m 2 − pn 2 = 13 ( 3)  p + 13 9 ; từ (2) ta có n = − thế vào (3) ta được : Từ (1) ta có: m = p 2 ( p + 13) 2 81 − p. 2 = 13 ⇔ p 3 + 26. p 2 + 117 p − 324 = 0 ( 4) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1. Vậy phương trình (4) trở thành: (y + 2 ) + 9.( y + 1) = 0 2 2 2 ⇔ ( y + 3iy + 2 + 3i ) .( y − 3iy + 2 − 3i ) = 0 2 2  y 2 + 3iy + 2 + 3i = 0 ⇔ 2  y − 3iy + 2 − 3i = 0 Các bạn hãy giải phương trình trên với ẩn y sau đó thay trở lại để được ẩn z. Một số bài tập tương tự : Giải các phương trình sau trên trường số phức : z 4 + 6 z 2 − 4 z + 14 = 0 a. z 4 − 4z − 1 = 0 b. z 4 − 10 z 2 + 16 z − 7 = 0 c. z 4 − 4 z 3 − 9 z 2 − 10 z − 5 = 0 d. e. z 4 − 8 z 3 + 31 z 2 − 62 z + 63 = 0 5 Tr i ệu Thu Thủy Trang