Tài liệu Toán lớp 11: Chương 4 - Bất đẳng thức và bất phương trình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:174

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Tài liệu Toán lớp 11: Chương 4 - Bất đẳng thức và bất phương trình" được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư nhằm cung cấp kiến thức quan trọng cần nắm về bất đẳng thức và bất phương trình. Đồng thời cung cấp tới các em học sinh một số bài tập giúp các em ôn tập và nâng cao kỹ năng giải đề. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Toán lớp 11: Chương 4 - Bất đẳng thức và bất phương trình

CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a < b '' hoặc a  b được gọi là bất đẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề " a  b  c  d " đúng thì ta nói bất đẳng thức c  d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a  b và cũng viết là " a  b  c  d " Nếu bất đẳng thức a  b là hệ quả của bất đẳng thức c  d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a  b  c  d . 3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a  b ta chỉ cần chứng minh a  b  0 Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung Cộng hai vế của bất đẳng thức a b  ac bc với một số c0 a  b  ac  bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c0 a  b  ac  bc a  c và c  d Cộng hai bất đẳng thức cùng  ab  cd chiều ab và cd Nhân hai bất đẳng thức cùng a  0; c  0  ac  bd chiều n  * a  b  a 2 n 1  b 2 n 1 Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa n  * và a  0 a  b  a 2n  b2n a0 ab a  b Khai căn hai vế của một bất đẳng thức ab 3a  3b Chú ý Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 261 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta còn gặp các mệnh đề dạng a  b hoặc a  b Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a  b hoặc a  b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN 1. Bất đẳng thức Cô-si Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng ab ab  , a, b  0. 1 2 ab Đẳng thức ab  xảy ra khi và chỉ khi a  b . 2 2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 1 a  2, a  0. a Hệ quả 2 Nếu x, y không âm và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x  y. Hệ quả 3 Nếu x, y không âm và có tích không đổi thì tổng x  y nhỏ nhất khi và chỉ khi x  y. III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x  0, x  x, x   x x  a  a  x  a a0 x  a  x  a hoặc xa a  b  ab  a  b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 262 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất 1. Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta có thể sử dụng các cách sau:  Ta đi chứng minh A - B ³ 0 . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.  Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. Ví dụ 1 : Cho hai số thực a, b, c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau 2 a 2 + b2 æ a + b ö÷ a) ab £ b) ab £ çç ÷ 2 çè 2 ÷ø   c) 3 a 2  b 2  c 2   a  b  c  2 d)  a  b  c   3  ab  bc  ca  2 Lời giải a) Ta có a 2 + b 2 - 2ab = (a - b)2 ³ 0  a 2 + b 2 ³ 2ab . Đẳng thức  a = b . 2 æ a + b ö÷ b) Bất đẳng thức tương đương với çç ÷÷ - ab ³ 0 çè 2 ÷ø  a 2  2ab  b 2  4ab   a  b   0 (đúng) ĐPCM. 2 Đẳng thức xảy ra  a = b   c) BĐT tương đương 3 a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca   a  b    b  c    c  a   0 (đúng) ĐPCM. 2 2 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c d) BĐT tương đương a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca  3  ab  bc  ca   2  a 2  b 2  c 2   2  ab  bc  ca   0   a  b    b  c    c  a   0 (đúng) ĐPCM. 2 2 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác. Ví dụ 2 : Cho năm số thực a, b, c, d, e . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ³ a(b + c + d + e) . Lời giải Ta có : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 - a(b + c + d + e) = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 263 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a2 a2 a2 a2 = ( - ab + b 2 ) + ( - ac + c 2 ) + ( - ad + d 2 ) + ( - ae + e 2 ) 4 4 4 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d )2 + ( - e)2 ³ 0  đpcm. 2 2 2 2 a Đẳng thức xảy ra  b = c = d = e = . 2 1 1 2 Ví dụ 3 : Cho ab ³ 1 . Chứng minh rằng : + 2 ³ . a + 1 b + 1 1 + ab 2 Lời giải 1 1 2 1 1 1 2 Ta có + 2 - =( 2 - )+( 2 - ) a + 1 b + 1 1 + ab 2 a + 1 1 + ab b + 1 1 + ab ab - a 2 ab - b 2 a -b b a a - b b - a + a 2b - b 2a = + = ( - ) = . (a 2 + 1)(1 + ab) (b 2 + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b 2 1 + a 2 1 + ab (1 + b 2 )(1 + a 2 ) a - b (a - b)(ab - 1) (a - b)2 (ab - 1) = . = ³ 0 (Do ab ³ 1) . 1 + ab (1 + b 2 )(1 + a 2 ) (1 + ab)(1 + b 2 )(1 + a 2 ) 1 1 2 Nhận xét : Nếu -1 < b £ 1 thì BĐT có chiều ngược lại : + 2 £ . a + 1 b + 1 1 + ab 2 Ví dụ 4: Cho số thực x . Chứng minh rằng a) x 4 + 3 ³ 4x b) x 4  5  x 2  4 x c) x12  x 4  1  x9  x Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương với x 4 - 4x + 3 ³ 0   x  1  x3  x 2  x  3  0   x  1  x 2  2 x  3  0 2   x  1  x  1  1  0 (đúng với mọi số thực x ) 2 2   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  1 . b) Bất đẳng thức tương đương với x 4  x 2  4 x  5  0  x 4  2 x 2  1  x 2  4 x  4  0   x 2  1   x  2   0 2 2    0,  x  2   0   x 2  1   x  2   0 2 2 2 2 Ta có x 2  1  x2 1  0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  (không xảy ra) x20   Suy ra x 2  1   x  2   0 ĐPCM. 2 2 c) Bất đẳng thức tương đương với x12  x9  x 4  x  1  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 264 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 + Với x  1 : Ta có x12  x 9  x 4  x  1  x12  x 4 1  x 5  1  x  Vì x  1 nên 1  x  0, 1  x 5  0 do đó x12  x9  x 4  x  1  0 .    + Với x  1 : Ta có x12  x 9  x 4  x  1  x 9 x3  1  x x3  1  1  Vì x  1 nên x 3 - 1 ³ 0 do đó x 12 - x 9 + x 4 - x + 1 > 0 . Vậy ta có x 12 + x 4 + 1 > x 9 + x . Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng a) a 4 + b 4 - 4ab + 2 ³ 0 2 b) 2 ( a 4 + 1 ) + (b 2 + 1 ) ³ 2 (ab + 1 ) 2 ( c) 3 ( a 2 + b 2 ) - ab + 4 ³ 2 a b 2 + 1 + b a 2 + 1 ) Lời giải a) BĐT tương đương với ( a 4 + b 4 - 2a 2b 2 ) + ( 2a 2b 2 - 4ab + 2 ) ³ 0 2  ( a 2 - b 2 ) + 2 ( ab - 1 ) ³ 0 (đúng) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . b) BĐT tương đương với 2 ( a 4 + 1 ) + (b 4 + 2b 2 + 1 ) - 2 ( a 2b 2 + 2ab + 1 ) ³ 0  ( a 4 + b 4 - 2a 2b 2 ) + ( 2a 2 - 4ab + 2b 2 ) + (a 4 - 4a 2 + 1 ) ³ 0  (a 2 - b 2 )2 + 2(a - b)2 + (a 2 - 1)2 ³ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . ( c) BĐT tương đương với 6 ( a 2 + b 2 ) - 2ab + 8 - 4 a b 2 + 1 + b a 2 + 1 ³ 0 )  éê a 2 - 4a b 2 + 1 + 4 (b 2 + 1 ) ùú + éê b 2 - 4b a 2 + 1 + 4 (a 2 + 1 ) ùú + ( a 2 - 2ab + b 2 ) ³ 0 ë û ë û ( ) + (b - 2 ) + (a - b ) 2 2 2  a - 2 b2 + 1 a2 + 1 ³ 0 (đúng) Đẳng thức không xảy ra. Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ³ y . Chứng minh rằng; a) 4 ( x 3 - y 3 ) ³ ( x - y ) 3 b) x 3 - 3x + 4 ³ y 3 - 3y Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 265 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a) Bất đẳng thức tương đương 4 ( x - y ) ( x 2 + xy + y 2 ) - ( x - y ) ³ 0 3  ( x - y ) éê 4 ( x 2 + xy + y 2 ) - ( x - y ) ùú ³ 0  ( x - y ) ëé 3x 2 + 3xy + y 2 ûù ³ 0 2 ë û éæ y ö÷ 2 3y 2 ùú ê ç  3(x - y ) êçx + ÷ + ³ 0 (đúng với x ³ y ) ĐPCM. êë çè 2 ø÷ 4 úú û Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y . b) Bất đẳng thức tương đương x 3 - y 3 ³ 3x - 3y - 4 1 3 Theo câu a) ta có x 3 - y 3 ³ ( x - y ) , do đó ta chỉ cần chứng minh 4 1 3 ( x - y ) ³ 3x - 3y - 4 (*), Thật vậy, 4 3 BĐT (*)  ( x - y ) - 12 ( x - y ) + 16 ³ 0  ( x - y - 2 ) éê ( x - y ) + 2 ( x - y ) - 8 ùú ³ 0 2 ë û 2  ( x - y - 2 ) ( x - y + 4 ) ³ 0 (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy ra. Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a Î éë a; b ùû  (a - a )( a - b ) £ 0 (*) a, b, c Î éë a; b ùû  (a - a )(b - a )(c - a ) + ( b - a )( b - b )( b - c ) ³ 0 ( * * ) Ví dụ 1 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca ) . Lời giải Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a + b > c  ac + bc > c 2 . Tương tự bc + ba > b 2 ; ca + cb > c 2 cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c. Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT | a - b |< c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 266 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ví dụ 2 : Cho a, b, c Î [0;1] . Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 £ 1 + a 2b + b 2c + c 2a Lời giải Cách 1: Vì a, b, c Î [0;1]  (1 - a 2 )(1 - b 2 )(1 - c 2 ) ³ 0  1 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 - a 2b 2c 2 ³ a 2 + b 2 + c 2 (*) Ta có : a 2b 2c 2 ³ 0; a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 £ a 2b + b 2c + c 2a nên từ (*) ta suy ra a 2 + b 2 + c 2 £ 1 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 £ 1 + a 2b + b 2c + c 2a đpcm. Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a 2 ( 1 - b ) + b 2 ( 1 - c ) + c 2 ( 1 - a ) £ 1 Mà a, b, c Î éë 0;1 ùû  a 2 £ a, b 2 £ b, c 2 £ c do đó a 2 (1 - b ) + b2 (1 - c ) + c2 (1 - a ) £ a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) Ta chỉ cần chứng minh a ( 1 - b ) + b ( 1 - c ) + c ( 1 - a ) £ 1 Thật vậy: vì a, b, c Î éë 0;1 ùû nên theo nhận xét ( * * ) ta có abc + ( 1 - a )( 1 - b )( 1 - c ) ³ 0  a + b + c - (ab + bc + ca ) £ 1  a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ 1 vậy BĐT ban đầu được chứng minh Ví dụ 3 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) + abc ³ 0 . Lời giải Vì a 2 + b 2 + c 2 = 1  a, b, c Î [-1;1] nên ta có : (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ 0  1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ 0 (*) (1 + a + b + c)2 Mặt khác : ³ 0  1 + a + b + c + ab + bc + ca ³ 0 (**) 2 Cộng (*) và (**) ta có đpcm. Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu a ³ 4, b ³ 5, c ³ 6 và a 2 + b 2 + c 2 = 90 thì a + b + c ³ 16 Lời giải Từ giả thiết ta suy ra a < 9, b < 8, c £ 7 do đó áp dụng ( * ) ta có (a - 4 )(a - 9 ) £ 0, (b - 5 )(b - 8 ) £ 0, (c - 6 )(c - 7 ) £ 0 nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 267 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a 2 + b 2 + c 2 - 13(a + b + c) + 118 £ 0 suy ra 1 2 a +b +c ³ (a + b 2 + c 2 + 118 ) = 16 vì a 2 + b 2 + c 2 = 90 13 vậy a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy ra khi a = 4, b = 5, c = 7 Ví dụ 5: Cho ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng a 4b 2 + b 4c 2 + c 4a 2 + 3 ³2 a 2012 + b 2012 + c 2012 Lời giải Vì ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû nên 0 £ a 2 , b 2 , c 2 £ 1 Suy ra (1 - b 2 )(1 + b 2 - a 4 ) ³ 0  a 4 + b 4 - a 4b 2 £ 1 (*) Mặt khác a 4 ³ a 2012 , b 4 ³ b 2012 đúng với mọi a, b thuộc éë -1;1 ùû Suy ra a 4 + b 4 - a 4b 2 ³ a 2012 + b 2012 - a 4b 2 (**) a 4b 2 + c 2012 + 1 Từ (*) và (**) ta có a 2012 + b 2012 £ a 4b 2 + 1 hay ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 b 4c 2 + a 2012 + 1 c 4a 2 + b 2012 + 1 Tương tự ta có ³ 1 và ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b 2 + b 4c 2 + c 4a 2 + a 2012 + b 2012 + c 2012 + 3 Cộng vế với ta được ³3 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b 2 + b 4c 2 + c 4a 2 + 3 Hay ³ 2 ĐPCM. a 2012 + b 2012 + c 2012 Dạng toán 2: sử dụng bất đẳng thức cauchy(côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất. 1. Phương pháp giải. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích * Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng (x + y )2 æ x + y ö÷ 2 Đối với hai số: x + y ³ 2xy; 2 2 x +y ³ 2 2 ; xy £ çç ÷ . 2 èç 2 ÷ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 268 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
3 a 3 + b3 + c3 æ a + b + c ö÷ Đối với ba số: abc £ , abc £ çç ÷ 3 çè 3 ø÷ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi Ví dụ 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn a 2 + b 2 = 2 . Chứng minh rằng æ a b öæ a b ö a) çç + ÷÷÷ çç 2 + 2 ÷÷÷ ³ 4 ( 1 + a 2 )( 1 + b 2 ) 5 b) (a + b ) ³ 16ab çè b ÷ç b a øè a ÷ø Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a b a b a b a b 2 + ³ 2 . = 2, 2 + 2 ³ 2 2 . 2 = b a b a b a b a ab æ a b öæ a b ö 4 Suy ra çç + ÷÷÷ çç 2 + 2 ÷÷÷ ³ (1) èç b ÷ç b a øè a ø÷ ab Mặt khác ta có 2 = a 2 + b 2 ³ 2 a 2b 2 = 2ab  ab £ 1 (1) æ a b öæ a b ö Từ (1) và (2) suy ra çç + ÷÷÷ çç 2 + 2 ÷÷÷ ³ 4 ĐPCM. çè b ÷ç b a øè a ø÷ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . b) Ta có (a + b ) = ( a 2 + 2ab + b 2 )( a 3 + 3ab 2 + 3a 2b + b 3 ) 5 Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + 2ab + b 2 ³ 2 2ab (a 2 + b 2 ) = 4 ab và (a 3 + 3ab 2 ) + ( 3a 2b + b 3 ) ³ 2 (a 3 + 3ab 2 )( 3a 2b + b 3 ) = 4 ab ( 1 + b 2 )( a 2 + 1 ) Suy ra ( a 2 + 2ab + b 2 )( a 3 + 3ab 2 + 3a 2b + b 3 ) ³ 16ab (a 2 + 1 )(b 2 + 1 ) ( 1 + a 2 )( 1 + b 2 ) ĐPCM. 5 Do đó (a + b ) ³ 16ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng æ 1 öæ 1 1 öæ ö a) çça + ÷÷÷ ççb + ÷÷÷ ççc + ÷÷÷ ³ 8 èç b øèç c øèç aø b) a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ³ 6abc 3 c) (1 + a )(1 + b)(1 + c ) ³ ( 1 + abc ) 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 269 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
d) a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab £ a 3 + b 3 + c 3 Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có 1 a 1 b 1 c a+ ³2 ,b+ ³2 ,c+ ³2 b b c c a a æ 1 öæ 1 öæ 1ö a b c Suy ra çça + ÷÷÷ ççb + ÷÷÷ ççc + ÷÷÷ ³ 8 . . = 8 ĐPCM. èç b øèç c øèç aø b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 1 + a 2 ³ 2 a 2 = 2a , tương tự ta có 1 + b 2 ³ 2b, 1 + c 2 ³ 2c Suy ra a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ³ 2 ( a 2b + b 2c + c 2a ) Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có a 2b + b 2c + c 2a ³ 3 a 2b.b 2c.c 2a = 3abc Suy ra a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ³ 6abc . ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . c) Ta có (1 + a )(1 + b)(1 + c) = 1 + ( ab + bc + ca ) + (a + b + c ) + abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có ( ) 2 3 ab + bc + ca ³ 3 3 ab.bc.ca = 3 3 abc và a + b + c ³ 3 abc ( ) 2 3 Suy ra (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ 1 + 3 3 abc + 3 3 abc + abc = ( 1 + 3 abc ) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có æ b + c ö÷ 2 æ a + c ö÷ 2 æ a + b ö÷ a 2 bc £ a 2 çç ÷÷, b ac £ b 2 çç ÷÷, c ab £ c 2 çç ÷ èç 2 ø çè 2 ø çè 2 ÷ø a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b Suy ra a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab £ (1) 2 Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có a 3 + a 3 + b3 2 b3 + b3 + a 3 2 a 3 + a 3 + c3 a 2b £ ,ba £ ,ac £ , 3 3 3 c3 + c3 + a 3 2 b3 + b3 + c3 2 c3 + c3 + b3 c 2a £ ,bc £ ,cb £ 3 3 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 270 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Suy ra a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b £ 2 ( a 3 + b 3 + c 3 ) (2) Từ (1) và (2) suy ra a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab £ a 3 + b 3 + c 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là số dương. Chứng minh rằng a +b +c +d a) ³ 4 abcd 4 æa b c d ö b) çç 3 + 3 + 3 + 3 ÷÷÷ ( a + b )(b + c ) ³ 16 çè b c d a ø÷ a +b +c 8abc c) + ³ 4. 3 abc (a + b)(b + c)(c + a ) Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a + b ³ 2 ab, c + d ³ 2 cd và ab + cd ³ 2 ab . cd = 2 4 abcd a +b +c +d 2 ab + 2 cd Suy ra ³ ³ 4 abcd ĐPCM. 4 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . b) Áp dụng câu a) ta có a b c d a b c d 4 3 + 3 + 3 + 3 ³ 44 3 . 3 . 3 . 3 = b c d a b c d a abcd æa b c d ö 4 Suy ra çç 3 + 3 + 3 + 3 ÷÷÷ ( a + b )(c + d ) ³ .2 ab .2 cd = 16 ĐPCM çè b c d a ø÷ abcd Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . c) Áp dụng câu a) ta có a +b +c 8abc VT = 3. + 3 3 abc (a + b)(b + c)(c + a ) 3 8 (a + b + c ) 3 æ a + b + c ö÷ 8abc ³ 4 çç 34 ÷ = 44 çè 3 abc ÷ø (a + b)(b + c)(c + a ) 27(a + b)(b + c)(c + a ) 3 8 (a + b + c ) Như vậy ta chỉ cần chứng minh 4 4 ³4 27(a + b)(b + c)(c + a ) 3  8 (a + b + c ) ³ 27 ( a + b )(b + c )(c + a ) (*) Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 271 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
3 3 æ (a + b ) + (b + c ) + ( c + a ) ö÷ 8 (a + b + c ) (a + b )(b + c )(c + a ) £ çççç ÷÷ = ÷ø è 3 27 Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho n số không âm như sau: Cho n số không âm ai , i = 1,2,..., n . a1 + a2 + ... + an Khi đó ta có ³ n a1a2 ...an . n Ví dụ 4: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng a) a 2b + b 2c + c 2a £ 3 ab bc ca 3 b) + + £ 3 +c 2 3 +a 2 3 +b 2 4 Lời giải 2 a) Ta có ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 9  a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2b 2 = 9 (1) Áp dụng BĐT côsi ta có a 4 + b 4 ³ 2a 2b 2 , b 4 + c 4 ³ 2b 2c 2 , c 4 + a 4 ³ 2c 2a 2 Cộng vế với vế lại ta được a 4 + b 4 + c 4 ³ a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 (2) Từ (1) và (2) ta có a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 £ 3 (3) Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + a 2b 2 ³ 2 a 2 .a 2b 2 = 2a 2b , tương tự ta có b 2 + b 2c 2 ³ 2b 2c, c 2 + c 2a 2 ³ 2c 2a Cộng vế với vế ta được a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ³ 2 ( a 2b + b 2c + c 2a ) (4) Từ giả thiết và (3), (4) suy ra a 2b + b 2c + c 2a £ 3 ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . b) Áp dụng BĐT côsi ta có 3 + a 2 = 3 + ( 3 - b2 - c2 ) = ( 3 - b2 ) + ( 3 - c2 ) ³ 2 ( 3 - b 2 )( 3 - c 2 ) bc bc 1 b2 c2 1 çæ b 2 c 2 ÷ö 1 çæ b 2 c 2 ö÷  £ = . £ ç + ÷ = ç + ÷ 3 + a2 2 ( 3 - b 2 )( 3 - c 2 ) 2 3 - c2 3 - b2 4 çè 3 - c 2 3 - b 2 ÷ø 4 çè b 2 + a 2 c 2 + a 2 ÷ø ab 1 æç a 2 b 2 ö÷ ca 1 æç c 2 a 2 ö÷ Tương tự ta có £ ç + ÷ , £ ç + ÷ 3 + c2 4 çè a 2 + c 2 b 2 + c 2 ÷ø 3 + b 2 4 çè c 2 + b 2 a 2 + b 2 ø÷ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 272 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ab bc ca 3 Cộng vế với vế ta được + + £ ĐPCM. 3 +c 2 3 +a 2 3 +b 2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.  Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.  Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ³ a + b + c (hoặc xyz ³ abc ), ta thường đi chứng minh x + y ³ 2a (hoặc ab £ x 2 ), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.  Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên). Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng: ab bc ac a b c 1 1 1 a) + + ³ a +b +c b) 2 + 2 + 2 ³ + + c a b b c a a b c Lời giải ab bc ab bc a) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³2 . = 2b c a c a bc ac ac ba Tương tự ta có + ³ 2c, + ³ 2a . a b b c Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æ ab bc ac ö ab bc ac 2 çç + + ÷÷÷ ³ 2 ( a + b + c )  + + ³ a + b + c ĐPCM çè c a b ø c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . a 1 a 1 2 b) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 + ³2 2. = b a b a b b 1 2 c 1 2 Tương tự ta có 2 + ³ , 2 + ³ c b c a c a Cộng vế với vế các BĐT trên ta được a b c 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 2 + 2 + 2 + + + ³ + +  2 + 2 + 2 ³ + + ĐPCM. b c a a b c a b c b c a a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Ví dụ 2: Cho a, b, c dương sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 a) + + ³ 3abc c a b ab bc ca b) + + ³ 3. c a b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 273 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Lời giải a 3b 3 b 3c 3 a 3b 3 b 3c 3 a) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³2 . = 2b 3ac c a c a b 3c 3 c 3a 3 c 3a 3 a 3b 3 Tương tự ta có + ³ 2abc 3 , + ³ 2a 3bc a b b c æ a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 ö÷ Cộng vế với vế ta có 2 çç + + ÷÷ ³ 2abc (a 2 + b 2 + c 2 ) çè c a b ø÷ a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3  + + ³ 3abc . ĐPCM c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 2 æ ab bc ca ÷ ö b) BĐT tương đương với çç + + ÷÷ ³ 9 çè c a b ÷ø 2 2 2 2 2 2 æ ab ö æ bc ö æ ca ö æ ab ö æ bc ö æ ca ö  çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ + 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ³ 9  çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 3 çè c ÷ø èç a ø÷ èç b ø÷ èç c ø÷ èç a ø÷ èç b ø÷ 2 2 2 2 æ ab ö÷ æ bc ö æ ö æ bc ö Áp dụng BĐT côsi ta có çç ÷÷ + çç ÷÷÷ ³ 2 çç ab ÷÷ . çç ÷÷÷ = 2b 2 çè c ø çè a ø çè c ÷ø çè a ø 2 2 2 2 æ bc ö æ ca ö æ ca ö æ ab ö Tương tự ta có çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 2c 2 , çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 2a 2 çè a ÷ø çè b ÷ø èç b ø÷ èç c ø÷ 2 2 2 æ ab ö æ bc ö æ ca ö Cộng vế với vế và rút gọn ta được çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 3 ĐPCM. çè c ÷ø çè a ø÷ çè b ø÷ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a) 8 ( a + b )(b + c )(c + a ) £ ( 3 + a )( 3 + b )( 3 + c ) b) ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) £ abc Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 2 æ (a + b ) + (b + c ) ÷ö (3 + a ) (a + b )(b + c ) £ çççç ÷÷ = ÷ø è 2 4 2 2 (3 + c ) (3 + a ) Tương tự ta có (b + c )(c + a ) £ , ( c + a )(a + b ) £ 4 4 2 2 Nhân vế với vế lại ta được ëé ( a + b )(b + c )(c + a ) ùû £ 64 éë ( 3 + a )( 3 + b )( 3 + c ) ùû Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 274 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Suy ra 8 ( a + b )(b + c )( c + a ) £ ( 3 + a )( 3 + b )( 3 + c ) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . b) * TH1: Với ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) £ 0 : BĐT hiển nhiên đúng. * TH2: Với ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) > 0 : + Nếu cả ba số ( 3 - 2a ), ( 3 - 2b ), ( 3 - 2c ) đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có 2 æ ( 3 - 2a ) + ( 3 - 2b ) ö÷ ( 3 - 2a )( 3 - 2b ) £ çççç ÷÷÷ = c , tương tự ta có 2 è 2 ø ( 3 - 2b )( 3 - 2c ) £ a 2, ( 3 - 2c )( 3 - 2a ) £ b 2 2 Nhân vế với vế ta được éë ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) ùû £ a 2b 2c 2 Hay ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) £ abc . + Nếu hai trong ba số ( 3 - 2a ), ( 3 - 2b ), ( 3 - 2c ) âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử 3 - 2a < 0, 3 - 2b < 0 suy racó 6 - 2a - 2b < 0  c < 0 (không xảy ra) Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . a2 b2 c2 a +b +c Ví dụ 4: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng + + ³ . b +c c +a a +b 2 Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có : a2 b +c a2 b + c + ³2 . =a. b +c 4 b +c 4 b2 c +a c2 a +b Tương tự ta có + ³ b; + ³c. c +a 4 a +b 4 Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc : a2 b2 c2 a +b +c + + + ³ a +b +c b +c c +a a +b 2 a2 b2 c2 a +b +c  + + ³ b +c c +a a +b 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c . a2 b +c Lưu ý :Việc ta ghép + và đánh giá như trên là vì những lí do sau: b +c 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 275 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại a2 lượng khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa b + c . b +c Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán dấu a2 a bằng xảy ra khi a = b = c khi đó = và b + c = 2a do đó ta ghép như trên. b +c 2 Ví dụ 5: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a b c 3 2 a) + + ³ b +1 c +1 a +1 2 a3 b3 c3 3 b) + + ³ b+3 c+3 a +3 2 Lời giải a b c a) Đặt P = + + b +1 c +1 a +1 Áp dụng BĐT côsi ta có a a 2a (b + 1 ) a a 2a (b + 1 ) 3 2a + + ³ 33 . . = b +1 b +1 4 b +1 b +1 4 2 Tương tự ta có b b 2b ( c + 1 ) 3 2b c c 2c ( a + 1 ) 3 2c + + ³ , + + ³ c +1 c +1 4 2 a +1 a +1 4 2 Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được 2 3 2 2P + (ab + bc + ca + a + b + c ) ³ (a + b + c ) 4 2 15 2 2 P ³ - (ab + bc + ca ) (vì a + b + c = 3 ) 8 8 2 Mặt khác ta có (a + b + c ) ³ 3 ( ab + bc + ca ) (theo ví dụ 1) Do đó ab + bc + ca £ 3 15 2 2 3 2 Suy ra  P ³ - .3 = ĐPCM. 8 8 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . a3 b3 c3 b) Đặt Q = + + b+3 c+3 a +3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 276 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a2 b2 c2 Ta có Q = + + a (b + 3 ) b (c + 3 ) c (a + 3 ) Áp dụng BĐT côsi ta có 4 a (b + 3 ) = 2 4a (b + 3 ) £ 4a + b + 3 a2 4a 2 Suy ra ³ , tương tự ta có a (b + 3 ) 4a + b + 3 b2 4b 2 c2 4c 2 ³ , ³ b (c + 3 ) 4b + c + 3 c (a + 3 ) 4c + a + 3 4a 2 4b 2 4c 2 Cộng vế với vế lại ta được Q ³ + + =L 4a + b + 3 4b + c + 3 4c + a + 3 Áp dụng BĐT côsi ta có 4a 2 1 4a 2 1 + ( 4a + b + 3 ) ³ 2 . ( 4a + b + 3 ) = a 4a + b + 3 16 4a + b + 3 16 Tương tự ta có 4b 2 1 4c 2 1 + ( 4b + c + 3 ) ³ b, + ( 4c + a + 3 ) ³ c 4b + c + 3 16 4c + a + 3 16 1 é Cộng vế với vế lại ta được L + 5 (a + b + c ) + 9 ùû ³ a + b + c 16 ë 3 3 Vì a + b + c = 3 nên L ³ suy ra Q ³ ĐPCM 2 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . Ví dụ 6: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 2 + 2 + 2 + 3 ³ 2 (a + b + c ) . a b c Lời giải 2 2 2 Ta có éë ( a - 1 )(b - 1 ) ùû éë (b - 1 )(c - 1 ) ùû éë ( c - 1 )(a - 1 ) ùû = ( a - 1 ) (b - 1 ) (c - 1 ) ³ 0 Do đó không mất tính tổng quát giả sử (a - 1 )(b - 1) ³ 0  ab + 1 ³ a + b  2 (ab + c + 1 ) ³ 2 (a + b + c ) 1 1 1 Do đó ta chỉ cần chứng minh 2 + 2 + 2 + 3 ³ 2 (ab + c + 1 ) a b c 1 1 1  2 + 2 + 2 + 1 ³ 2 (ab + c ) a b c 1 1 2 1 2 Áp dụng BĐT côsi ta có 2 + 2 ³ = 2c, 2 + 1 ³ = 2ab (do abc = 1 ) a b ab c c Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 277 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
1 1 1 Cộng vế với vế ta được 2 + 2 + 2 + 1 ³ 2 (ab + c ) ĐPCM. a b c Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 ( x - 1) 1 a) f (x ) = với x > 2 b) g(x ) = 2x + với x > -1 x -2 ( x + 1) 2 3 1 1 c) h ( x ) = x + với x ³ 2 d) k ( x ) = 2x + 2 với 0 < x £ . x x 2 Lời giải x 2 - 2x + 1 1 a) Ta có f (x ) = = x -2+ +2 x -2 x -2 1 Do x > 2 nên x - 2 > 0, > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có x -2 1 1 x -2 + ³2 ( x - 2 ). =2 x -2 x -2 Suy ra f ( x ) ³ 4 1 2 Đẳng thức xảy ra  x - 2 =  ( x - 2 ) = 1  x = 1 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn) x -2 Vậy min f ( x ) = 4 khi và chỉ khi x = 3 . b) Do x > -1 nên x + 1 > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có 1 1 g(x ) = ( x + 1 ) + ( x + 1 ) + 2 - 2 ³ 3 3 ( x + 1 ).( x + 1 ). 2 -2 = 1 ( x + 1) ( x + 1) 1 3 Đẳng thức xảy ra  x + 1 = 2  ( x + 1 ) = 1  x = 0 (thỏa mãn) ( x + 1) Vậy min g ( x ) = 1 khi và chỉ khi x = 0 . æ 3 3x ö÷ x c) Ta có h ( x ) = çç + ÷÷ + çè x 4 ÷ø 4 3 3x 3 3x Áp dụng BĐT côsi ta có + ³2 . =3 x 4 x 4 æ3 3x ö÷ x 2 7 Mặt khác x ³ 2 suy ra h ( x ) = çç + ÷÷ + ³ 3 + = ç èx 4 ø 4 4 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 278 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ì ï ï 3 = 3x Đẳng thức xảy ra  ï íx 4 x =2 ï ï x =2 ï î 7 Vậy min h ( x ) = khi và chỉ khi x = 2 . 2 1 7 d) Ta có k ( x ) = x + x + 2 + 2 8x 8x 1 1 3 Áp dụng BĐT côsi ta có x + x + 2 ³ 3 3 x .x . 2 = 8x 8x 2 1 7 7 3 7 Mặt khác 0 < x £  2 ³ suy ra k ( x ) ³ + = 5 2 8x 2 2 2 ìï ïï x = 1 Đẳng thức xảy ra  ï í 8x 2  x = 1 ïï 1 2 ïï x = î 2 1 Vậy min k ( x ) = 5 khi và chỉ khi x = . 2 Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra. Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của A = ( 1 + 2a )( 1 + 2bc ) Phân tích Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức A để làm xuất hiện a 2 + b 2 + c 2 . a2 Trước tiên ta sẽ đánh giá a qua a 2 bởi a 2 + m 2 ³ 2ma  2a £ + m (với m > 0 ) m Do b, c bình đẳng nên dự đoán dấu bằng A đạt giá trị nhỏ nhất khi b = c nên ta đánh giá 2bc £ b 2 + c 2 . æa2 ö Suy ra A £ çç + m + 1 ÷÷÷ ( 1 + b 2 + c 2 ) = B . Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới dạng çè m ø 2 æ x + y ö÷ xy £ çç ÷ để là xuất hiện a 2 + b 2 + c 2 nên ta sẽ tách như sau çè 2 ø÷ 2 1 æ (a + m + m ) + ( 1 + b + c ) ö÷÷ 2 2 2 2 1 B = ( a 2 + m 2 + m )( 1 + b 2 + c 2 ) £ ççç ÷÷ m m çè 2 ø 1 2 Suy ra A £ (m2 + m + 2 ) 4m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 279 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dấu bằng xảy ra khi a = m, b = c, a 2 + m 2 + m = 1 + b 2 + c 2 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . 2 Từ đây ta có m = . Do đó ta có lời giải như sau: 3 Lời giải 4 4 3a 2 2 Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + ³ a  2a £ + và 2bc £ b 2 + c 2 9 3 2 3 æ 3a 2 2 ö Suy ra A £ çç + + 1 ÷÷÷ (b 2 + c 2 + 1 ) çè 2 3 ø Áp dụng BĐT côsi ta có 2 æ 2 10 ö æ 3a 2 2 ö÷ 2 æ ö çç a + + b 2 + c 2 + 1 ÷÷÷ 3 10 3ç ÷÷ = 98 ççç + + 1 ÷ (b + c 2 + 1 ) = çç a 2 + ÷÷ (b 2 + c 2 + 1 ) £ çç 9 ÷ è 2 3 ÷ø 2èç 9ø÷ ç 2ç 2 ÷÷ 27 ççè ÷÷ø ì ï 2 ï ï a = ï 3 ì ï ïï ïïa = 2 98 ïb = c Suy ra A £ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ïí ïí 3 27 ï ï 10 ï ï 5 ï a + 2 = b +c +1 2 2 ïb =c = ï ï 9 ï ï î 18 ï ï a +b +c = 1 2 2 2 ï î 98 2 5 Vậy max A = khi và chỉ khi a = và b = c = . 27 3 18 Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3c 2 = 68 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a 2 + b2 + c 3 . Phân tích Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2a + 4b + 3c 2 . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ( m, n, p dương) c3 c3 a 2 + m 2 ³ 2am, b 2 + n 2 ³ 2bn và + + 4 p 3 ³ 3pc 2 2 2 Suy ra a 2 + b 2 + c 3 + m 2 + n 2 + 4 p 3 ³ 2am + 2bn + 3pc (*) Để 2am + 2bn + 3pc 2 có thể bội số của 2a + 4b + 3c 2 thì 2m 2n 3p n = = m= =p 2 4 3 2 Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi a = m, b = n, c = 2p 2 Hay a = m, b = 2m, c = 2m  2m + 4. ( 2m ) + 3 ( 2m ) = 68 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 280 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133