Ứng dụng kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:2

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết giới thiệu một kỹ thuật giúp học sinh có kinh nghiệm để thực hiện cũng như tránh những sai lầm khi gặp những dạng toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức mà thỏa một điều kiện cho trước. Nếu chúng ta linh hoạt trong việc sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi trong việc chứng minh bất đẳng thức thì rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức sẽ được chứng minh một cách dễ dàng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức

Equipment with new general education program, Volume 1, Issue 292 (July 2023) ISSN 1859 - 0810 Ứng dụng kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức Ngô Lê Hồng Phúc* *ThS. Khoa Sư phạm, Trường ĐH Thủ Dầu Một Received: 27/03/2023; Accepted: 06/04/2023; Published: 17/5/2023 Abstract: In this article, we present a coefficient balancing technique that is often used in inequality evaluation problems that are very common in the exams for good students as well as the entrance exam for high school. Keywords: Falling point, inequality, maximum value, minimum value. 1. Giới thiệu Cauchy cho 3 số không âm: Bất đẳng thức là một trong những dạng bài tập Với a,b, c ≥ 0, ta có a + b + c ≥ 3 3 abc khó và thường xuất hiện trong các đề thi học sinh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b=c. giỏi Toán THCS. Trong hầu hết các bài toán về bất Cauchy cho n số không âm: đẳng thức, cái khó nhất trong việc áp dụng bất đẳng Với a1 , a2 ,..., an ≥ 0, ta có thức Cauchy hay Bunhiacopxki là việc tách số hạng a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an một cách hợp lý để dấu bằng có thể xảy ra. Bài viết giới thiệu một kỹ thuật giúp học sinh có kinh nghiệm Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 ... an . = = = để thực hiện cũng như tránh những sai lầm khi gặp 2.2. Một số ví dụ áp dụng những dạng toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức Bài 2.2.1 Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu mà thỏa một điều kiện cho trước. Nếu chúng ta linh thức S= a + 1 . hoạt trong việc sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi trong a3 việc chứng minh bất đẳng thức thì rất nhiều bài toán Giải. chứng minh bất đẳng thức sẽ được chứng minh một Ta dự đoán điểm rơi tại biên là a = 2, do đó ta phải cách dễ dàng. 1 2. Nội dung tách hạng tử a hoặc hạng tử 3 để sao cho khi áp a Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy dụng bất đẳng thức Cauchy dấu “=” xảy ra khi a=2. ra. Do đó, chọn điểm rơi của bất đẳng thức ở đây Ta có sơ đồ: chính là dự đoán giá trị của biến làm dấu bằng trong a 2 các bất đẳng thức xảy ra để từ đó người giải có những α = α   ⇒α = 16 đánh giá hợp lí và đưa ra cách giải đúng. Nếu biểu 1 =1 thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của  a3 8  một biểu thức thường đạt được tại vị trí biên. Hơn Khi đó, ta biến đổi và áp dụng BDT Cauchy ta nữa, nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu bằng được thường xảy ra khi các biến bằng nhau. Việc tìm điều kiện dấu bằng xảy ra trong bất đẳng 1 a a a 1 13 a a a 1 1 S = + 3 = + + + 3 + a ≥ 44 . . . 3 + a thức rất quan trọng, nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn a 16 16 16 a 16 16 16 16 a 1 của chứng minh. Đặc biệt, khi chứng minh bất đẳng thức mà áp dụng liên tiếp các 1 đẳng thức thì việc 13 bất a a a 1 a a a 1 13 1 13 17 chú ý đến điểm rơi của dấu + 3 = càng quan trọng + a ≥ 4 4 . . . 3 + a ≥ 4. + .2 = S = bằng lại + + + 3 a a 16 16 16 a 16 16 16 16 a 16 8 16 8 vì nó đòi hỏi điểm rơi phải đồng thời xảy ra trong cùng một điều kiện của biến. 2.1. Bất đẳng thức Cauchy Bài 2.2.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Cauchy cho 2 số không âm: 1 S = 4 x + , ∀x ≥ 3 Với a,b ≥ 0, ta có a + b ≥ 2 ab x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Giải. 104 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn
Equipment with new general education program, Volume 1, Issue 292 (July 2023) ISSN 1859 - 0810 Rõ ràng khi x tăng thì S sẽ tăng, do đó ta dự đoán Trước hết, ta nhận thấy S cũng là một biểu thức S sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi x=3. Do đó, nếu chúng ta đối xứng, do đó điểm rơi hay dấu bằng xảy ra khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số 4x và 1/x thì 5 x= y= z= . Từ đó, ta sẽ tách các số hạng hợp lí tại điểm rơi x=3, dấu bằng sẽ không xảy ra. Bây giờ 3 ta sẽ tách hạng tử 4x để khi áp dụng bất đẳng thức dựa vào sơ đồ điểm rơi: Cauchy dấu bằng sẽ xảy ra khi x=3. Ta có  5 k 4 x = 12k  x= y= z= 3 5 10    2 ⇒ = ⇒ m= 4 1 1  x = y+z 6 3m x = 3  y+z  m Do đó k = 1/36. Khi đó, S được viết lại như sau Khi đó, S được viết lại như sau: x 1 35 x2 y+z y2 x+z z2 x+ y x+ y+z S= + + x S= + + + + + − 9 x 9 y+z 4 x+z 4 x+ y 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x2 y+z y2 x+z z2 x+ y 5 và x ≥ 3, ta được = + + + + + − y+z 4 x+z 4 x+ y 4 2 x 1 35 x 1 35 37 S = + + x ≥ 2 . + .3 = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 9 x 9 9 x 9 3 2 x y+z x2 y+z x2 y + z Dấu bằng xảy ra khi x=3. , ta được + ≥2 . = x y+z 4 y+z 4 y+z 4 Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 37/3. Bài 2.2.3 (Theo [3]). Cho a, b, c là các số dương Tương tự, ta suy ra 1 1 1 y2 x+z y2 x + z 4. thỏa + + = Tìm GTLN của biểu thức + ≥2 . y = a b c x+z 4 x+z 4 1 1 1 z2 x+ y z2 x + y S= + + + ≥2 . z = 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Và x+ y 4 x+ y 4 Giải. Ta nhận thấy S là một biểu thức đối xứng nên ta 5 5 Khi đó S ≥ x + y + z − = đoán đdấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3/4, do đó ta 2 2 sẽ tách các số hạng như sau và áp dụng bất đẳng thức Dấu bằng xảy ra khi Cauchy cho 4 số, ta được  x2 y+z  = 2a + b + c = a + a + b + c ≥ 4 4 a.a.b.c y+z 4 Khi đó  y2  x+z 5 1 1 1 11 1 1 1 1  2 1 1  = ⇔ x=y=z= ≤ ≤ .  + + +=   + +  x+ z 4 3 2a + b + c 4 4 a.a.b.c 4 4  a a b c  16  a b c   z2 x+ y Chứng minh tương tự, ta suy ra  =  x+ y 4 1  2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1  1 1 1  S ≤  + + +  + + +  + +  = .4  + +  1 = 16  a b c  16  a b c  16  a b c  16 Vậy GTNN  S là 5 tại x= y= z= 5 .  a b c của 2 3 1 1 2 1 1 1 1 3. Kết luận + +  = .4  + +  1 = a b c  16  a b c  Bài viết trình bày được kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy thông qua một số ví dụ 3 Dấu bằng xảy ra khi a= b= c= . cụ thể, việc vận dụng tốt kỹ thuật chọn điểm rơi sẽ 4 giúp người học đỡ lúng túng và tránh được những sai Vậy GTLN của S là 1. lầm khi giải quyết các bài toán khó như bất đẳng thức. Bài 2.2.4. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa Tài liệu tham khảo x + y + z = 5. Tìm GTNN của biểu thức [1] Lê Hồng Đức (chủ biên), Đỗ Hoàng Hà, Lê x2 y2 z2 Hoàng Nam, Đoàn Minh Châu, Đào Thị Ngọc Hà, S= + + y+z x+z x+ y 2017, Bất đẳng thức giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Giải. NXB ĐHQG Hà Nội. 105 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn