ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
___________________
Nguyễn Tuấn Anh
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU
VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN –
.
–
Đại học Thái Nguyên
1
Môc lôc
Më ®Çu 3
Ch¬ng 1. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu 7
1.1. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Sù tån t¹i nghiÖm vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm . . . . . 13
1.2. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt chØnh vµ ®Æt kh«ng chØnh . . 16
1.2.2. Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ch¬ng 2. HiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu 23
2.1. HiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n víi to¸n tö nhiÔu ®¬n ®iÖu 23
2.1.1. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . 26
2.2. HiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n víi to¸n tö nhiÔu kh«ng
®¬n®iÖu............................ 30
2.2.1. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . 30
2.2.2.Tèc®éhéitô ...................... 33
2.2.3.VÝdôsè ......................... 35
Tµi liÖu tham kh¶o 38
. – Đại học Thái Nguyên .
2
Lêi c¶m ¬n
T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi TS. NguyÔn ThÞ Thu Thñy, Chñ
nhiÖm khoa To¸n - Tin, Trêng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn,
ngêi ®· híng dÉn, chØ d¹y tËn t×nh ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thµy, c« gi¸o c«ng t¸c t¹i trêng §¹i häc
Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn, ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ Th«ng
tin - ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam ®· truyÒn thô kiÕn thøc cho
t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp võa qua.
T«i còng xin c¶m ¬n c¬ quan, b¹n bÌ ®ång nghiÖp, gia ®×nh ®· chia sÎ,
gióp ®ì, ®éng viªn, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n
nµy.
T¸c gi¶
NguyÔn TuÊn Anh
. – Đại học Thái Nguyên .
3
Më ®Çu
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu lµ líp bµi to¸n n¶y sinh tõ nhiÒu vÊn
®Ò cña to¸n häc øng dông nh ph¬ng tr×nh vi ph©n, c¸c bµi to¸n vËt lý
to¸n, tèi u hãa. Ngoµi ra nhiÒu vÊn ®Ò thùc tÕ nh bµi to¸n c©n b»ng m¹ng
giao th«ng ®« thÞ, m« h×nh c©n b»ng kinh tÕ.... ®Òu cã thÓ m« t¶ ®îc díi
d¹ng cña mét bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. RÊt tiÕc r»ng bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, nãi chung, l¹i lµ
bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
.
Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè cña
nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n cã
thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. V× thÕ n¶y sinh vÊn ®Ò t×m c¸c
ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh cho c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, sao cho khi sai
sè cña d÷ kiÖn ®Çu vµo cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®îc cµng gÇn víi
nghiÖm ®óng cña bµi to¸n ban ®Çu.
Cho
X
lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc,
X∗
lµ kh«ng gian liªn
hîp cña
X
, c¶ hai cã chuÈn ®Òu ®îc kÝ hiÖu lµ
k.k
,
A:X→X∗
lµ to¸n
tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ vµ
K
lµ mét tËp con låi ®ãng cña
X
. Bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu ®îc ph¸t biÓu nh sau: víi
f∈X∗
cho tríc, h·y
t×m phÇn tö
x0∈K
sao cho
hAx0−f, x −x0i ≥ 0,∀x∈K,
(0.1)
ë ®©y
hx∗, xi
lµ kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc
x∗∈X∗
t¹i
x∈X
. NÕu
K≡X
th× bµi to¸n (0.1) cã d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö
A(x) = f.
(0.2)
Mét trong nh÷ng híng nghiªn cøu quan träng cña bÊt ®¼ng thøc biÕn
ph©n ®¬n ®iÖu (0.1) lµ viÖc x©y dùng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i. Khi to¸n tö
. – Đại học Thái Nguyên .
4
A
kh«ng cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu ®Òu hoÆc ®¬n ®iÖu m¹nh th× bµi to¸n (0.1),
nãi chung, lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. I. P. Ryazantseva [13] ®· x©y dùng
nghiÖm hiÖu chØnh cho bµi to¸n nµy trªn c¬ së t×m
xh,δ
α∈K
sao cho
hAh(xh,δ
α) + αUs(xh,δ
α−x∗)−fδ, x −xh,δ
αi ≥ 0,∀x∈K,
(0.3)
trong ®ã
Ah:X→X∗
lµ xÊp xØ cña
A
cã tÝnh ®¬n ®iÖu,
fδ
lµ xÊp xØ cña
f
,
Us
lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu cña
X
,
α > 0
lµ tham sè hiÖu chØnh phô thuéc
vµo
h
vµ
δ
,
x∗
lµ phÇn tö cho tríc ®ãng vai trß lµ tiªu chuÈn chän.
NÕu to¸n tö nhiÔu
Ah
kh«ng ®¬n ®iÖu th× bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu
chØnh (0.3) cã thÓ kh«ng cã nghiÖm. Trong trêng hîp nµy Liskovets [11]
®a ra bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu chØnh d¹ng
hAhxτ
α+αUs(xτ
α−x∗)−fδ, x −xτ
αi ≥ −νg(kxτ
αk)kx−xτ
αk,
∀x∈K, xτ
α∈K,
(0.4)
ë ®©y
ν≥h
,
τ= (h, δ)
.
Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn v¨n nh»m tr×nh bµy ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh
bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu (0.1) trªn c¬ së x©y dùng nghiÖm hiÖu
chØnh cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu chØnh (0.3) vµ (0.4). Tr×nh bµy sù
héi tô vµ ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh víi to¸n tö ngîc
®¬n ®iÖu m¹nh trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc dùa trªn viÖc chän
tham sè hiÖu chØnh tiªn nghiÖm.
Néi dung cña luËn v¨n ®îc tr×nh bµy trong hai ch¬ng. Ch¬ng 1 giíi
thiÖu vÒ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, tr×nh bµy sù tån t¹i nghiÖm vµ
tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. §ång thêi
tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ mét vµi
ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh gi¶i lo¹i bµi to¸n nµy.
Trong ch¬ng 2 sÏ tr×nh bµy ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov cho bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. Cô thÓ lµ tr×nh bµy sù héi tô vµ ®¸nh gi¸ tèc
. – Đại học Thái Nguyên .