Luận văn Thạc sĩ: Phân thức hữu tỷ và các bài toán liên quan

Luận văn này trình bày hệ thống kiến thức và các bài toán liên quan đến phân thức hữu tỷ, một khái niệm cơ bản trong chương trình toán phổ thông và thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi. Mục tiêu là cung cấp tài liệu tham khảo có tính hệ thống cho việc học tập và giảng dạy môn toán ở bậc trung học phổ thông.

Tài liệu hướng tới sinh viên, giáo viên và những người quan tâm đến toán học ở bậc phổ thông và chuyên sâu, đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi và Olympic Toán, nhằm cung cấp một nguồn tài liệu hệ thống và chuyên sâu về phân thức hữu tỷ và các bài toán liên quan.

Luận văn "Phân thức hữu tỷ và các bài toán liên quan" tập trung hệ thống hóa và giải quyết các vấn đề liên quan đến khái niệm phân thức hữu tỷ. Công trình được chia thành ba chương chính. Chương 1 đi sâu vào các khái niệm và tính chất cơ bản của phân thức hữu tỷ, bao gồm định nghĩa, phân tích thành nhân tử, và các phép toán cơ bản. Đặc biệt, chương này giới thiệu chi tiết các thuật toán tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ như phương pháp Oxtrogradski, công thức nội suy Lagrange, công thức nội suy Hermite và phương pháp Horowitz, kèm theo các ví dụ minh họa và phân tích lời giải cụ thể. Ngoài ra, chương còn khảo sát một số lớp phương trình chứa hàm phân thức hữu tỷ. Chương 2 khám phá phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên và phân thức nhận giá trị hữu tỷ. Chương này xét kỹ lưỡng hàm phân thức chính quy hữu tỷ (một biến và nhiều biến), chứng minh định lý cơ bản về giá trị nhỏ nhất của chúng, và phân tích tính chất của hàm phân thức nhận giá trị hữu tỷ, bao gồm việc chứng minh rằng mọi phân thức hữu tỷ nhận giá trị hữu tỷ trên tập số tự nhiên đều có dạng phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên, và các bài toán về dãy số sinh bởi hàm phân thức. Chương 3 tập trung vào các bất đẳng thức liên quan đến hàm phân thức hữu tỷ. Chương này trình bày các kỹ thuật cơ bản sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức dạng phân thức, cũng như kỹ thuật cộng mẫu số Engel dựa trên bất đẳng thức Chebyshev. Cuối cùng, luận văn phân tích một số dạng bất đẳng thức phức tạp hơn liên quan đến các đa thức đối xứng cơ bản, thường đòi hỏi sự kết hợp giữa chứng minh quy nạp và các biểu diễn đặc thù.