Luận án Tiến sĩ Vật lý: Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng.

Hà Nội, tháng 3 năm 2014

Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận án

GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ Nguyễn Quốc Hoàn

Lời cảm ơn

Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cô, đồng nghiệp, bạn bè và gia đình.

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng tôn kính và sự biết ơn của tôi đến GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận tình dạy bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp

đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tôi hoàn thiện cuốn luận án này. Cá nhân tôi coi đó là những bài học quý báu trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời cảm ơn chân thành nhất.

Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Giang - nơi tôi công tác, về những quan tâm, ủng hộ và giúp đỡ quý báu.

Gia đình là điểm tựa vững chắc cho tôi, là nơi mà tôi có thể bày tỏ mọi cảm xúc. Xin được gửi tới gia đình tôi lòng biết ơn sâu nặng và những tình cảm không thể nói bằng lời.

Nguyễn Quốc Hoàn

Mục lục

Lời cam đoan .................................................................................................... i

Lời cảm ơn .......................................................................................................ii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt .......................................................... vi

Danh mục các hình vẽ và đồ thị .....................................................................vii

MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1

1 Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 1

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................ 4

3 Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 5

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án............................................... 5

5 Bố cục của luận án .................................................................................... 7

1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL ........................................................................................................... 9

1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang ............... 11

1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon Julia – Zee ............................................................................................ 16

1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov ................................... 16

1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee ....................................................... 19

1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) .................................................................................................... 21

1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn .......................................................... 21

1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) ................. 23

iii

1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton ... 24

1.5 Kết luận chương 1 ................................................................................ 26

2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC .................................................................................... 27

2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục ...................................... 27

2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm ................................................... 28

2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục .................................................... 31

2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng .. 32

2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo cao ........................................................................................................ 34

2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục ................. 34

2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục .......................................... 35

2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] ................................. 37

2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel [IV] ........................................................................................ 39

2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi Abel [III, IV] ......................................................................... 41

2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích .................. 42

2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng sợi dây .................................................................................... 43

2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình .............................................. 44

2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] ..................................... 52

2.5 Kết luận chương 2 ................................................................................ 56

3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG TRƯỜNG CHUẨN ................................................................................... 58

3.1 Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong ................. 59

3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và [V] ........................................................................................................ 65

3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn .. 74

3.4 Kết luận chương 3 ................................................................................ 76

4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN . 77

4.1 Hạt trong trường Wu-Yang .................................................................. 77

4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS ... 84

4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft ............................................. 84

4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS ................................................ 88

4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills . 93

4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V] ...................... 93

4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V] .................................... 98

4.4 Kết luận chương 4 ................................................................................ 99

KẾT LUẬN .................................................................................................. 100

Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án ... 103

Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 104

Phụ lục ......................................................................................................... 111

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

: Điện trường phi abel dạng thành phần : Từ trường phi abel dạng thành phần : Số topo : Mật độ năng lượng trường phi abel : 4-xung lượng chính tắc : Spin đồng vị của hạt : Các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz

: Hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz : Cường độ trường của trường gauge Lorentz : Ma trận của phép quay các thông số không gian : Hàm ma trận của : Mật độ Lagrangian : Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận : Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần : Thế Yang-Mills : Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần : Vector màu : Đạo hàm hiệp biến : Đạo hàm phản biến : Mật độ dòng nguồn ngoài

Danh mục các hình vẽ và đồ thị

Hình 2.1

Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.2

Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.3

Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel

Hình 2.4

với

Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.5

Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.6

Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích màu với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.7

Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.8

Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.9

Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.10

Các hàm profile vortex tĩnh và ; Mật độ tích màu và mật độ năng lượng với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.11

Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng vào tổng điện tích phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 4.1

Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo

Hình 4.2

Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo

Hình 4.3

Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng quát của Einstein theo

vii

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [1] đề xướng vào năm 1954. Ý tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [2], với việc sử dụng mô hình nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [3] và Salam [4] đã kết hợp cơ chế Higgs [5, 6, 7] vào trong lý thuyết của Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dòng yếu trung hòa gây bởi

sự trao đổi boson ở CERN năm 1973 [8, 9, 10], lý thuyết điện - yếu đã được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những công trình xây dựng sắc động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa

trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm .

Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mô hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Tuy nhiên, mô hình chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn.

Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có cùng trạng thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không tuân theo nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn boson là những hạt truyền tương tác.

Trong mô hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là gauge boson.

Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn, một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến.

Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Một trong những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mô tả như các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động.

Soliton là đối tượng được các nhà Vật lý thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm: Quang học phi tuyến, Vật lý hạt, Vũ trụ học và Vật lý chất rắn. Đối với lý thuyết trường của các hạt cơ bản, điều hấp dẫn nhất là, ngay ở mức độ cổ điển (chưa lượng tử hóa), hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: Mật độ năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến

được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết Yang- Mills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-Prasad- Sommerfield), …. Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý thuyết. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi tuyến nên hầu như không có phương pháp giải tổng quát mà phải sử dụng các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng để tìm nghiệm cho từng trường hợp.

Trên thế giới, một số trung tâm mạnh về các vấn đề này có thể kể đến là Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v...

Các lý thuyết Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs, lý thuyết hiện đang được thừa nhận là sơ đồ khung nhất quán cho lý thuyết các hạt cơ bản. Liên quan đến các lý thuyết Yang-Mills, còn được gọi là lý thuyết chuẩn (gauge theories), trong nước có các nhóm nghiên cứu về các mở rộng khác nhau của mô hình chuẩn và các hệ quả đối với hạt cơ bản theo hướng hiện tượng luận và đã có nhiều kết quả mới được công bố. Gần nhất với hướng nghiên cứu của đề tài luận án này – Nghiên cứu về nghiệm của các phương trình Yang- Mills – Có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối

xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong các bài toán lượng tử.

Trong luận án này chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng”. Nhằm nghiên cứu sâu hơn các nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và cả Yang-Mills-Higgs, tìm thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới. Các kết quả và nội dung mới của chúng tôi về nghiên cứu nghiệm của các phương trình Yang-Mills so với các kết quả của các tác giả đã công bố có thể nêu vắn tắt như sau:

(i) Chúng tôi nghiên cứu để tìm nghiệm của các phương trình Yang- Mills cho bài toán có tính đối xứng trục - khi đó các hàm trường phụ thuộc

vào hai biến không gian là và (trường hợp đối xứng cầu thì các hàm

trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài toán này chúng tôi đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng được bộ chương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự;

(ii) Tiếp theo, chúng tôi khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với

chỉ số topo cao ( );

(iii) Cùng với lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm , xét lý thuyết

Yang-Mills đối với nhóm Lorentz , cũng là của – nhóm

đẳng cấu địa phương – và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài toán hạt trong trường hấp dẫn.

Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt ra, có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu đã chọn.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn.

b) Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường Yang- Mills trong gần đúng cổ điển.

c) Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các đối tượng trên trong phạm vi của nhóm đối xứng

và nhóm đối xứng không-thời gian (nhóm Lorentz).

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại, song song với kỹ thuật nhiễu loạn và giản đồ Feynmann, tồn tại chiến lược giải khác, thay thế bài toán của lý thuyết trường bằng một phiếm hàm Lagrangian hiệu dụng, rồi tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng đó bằng cách suy ra từ phiếm hàm này.

Sử dụng các ansatz, xây dựng mô hình tìm nghiệm, mô phỏng các nghiệm tìm được về đặc điểm của trường Yang-Mills với một số dạng nguồn ngoài ứng với các chỉ số topo khác nhau. Các bài toán lý thuyết trường nói chung là dẫn đến các phương trình phi tuyến khá phức tạp. Tuy nhiên, bằng cách khai thác triệt để tính đối xứng của các hệ vật lý và sử dụng phương pháp số hoá để giải các phương trình, chúng tôi đã thu được một số kết quả mới trong việc tìm và ứng dụng các nghiệm để làm sáng tỏ một số vấn đề động lực học của các tương tác.

Tiếp theo, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ cùng với việc tham số hóa vector đối với nhóm và tham số hóa vector phức đối với nhóm Lorentz, từ đó xây dựng phương trình Wong tổng quát, rồi tìm nghiệm của phương trình này để mô tả chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn.

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Luận án nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường Yang-

Mills xem như là hệ động lực học phi tuyến: các soliton topo của hệ Yang-

Mills, Yang-Mills-Higgs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác

của hạt với các đối tượng này. Những kết quả với ý nghĩa khoa học và thực

tiễn của luận án có thể tóm tắt như sau:

Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương

trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng điểm, dạng sợi dây. Chương trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm được, chúng tôi đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Từ đó giúp ta hiểu rõ hơn về bức tranh tương tác của các hạt cơ bản.

Tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng sợi dây. Đối với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu. Tìm được nghiệm phụ thuộc thời gian dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền tải năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng của nguồn không đổi theo thời gian. Những nghiệm vortex này có thể giúp cho việc nghiên cứu các loại vật liệu mới.

Đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển

động trong trường Yang-Mills của các nhóm và . Dựa trên phương trình này nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt điểm trong trường gauge đối với nhóm Lorentz, như là tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn. Sự đóng góp này của luận án giúp cho việc liên kết giữa lý thuyết Yang-Mills và lý thuyết hấp dẫn của Einstein, trong đó có so sánh với lý thuyết hấp dẫn của Newton để đóng góp cho lý thuyết về sự thống nhất các tương tác.

Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản của tự nhiên.

5 Bố cục của luận án

Luận án gồm 4 chương, phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình

 Chương 1. Soliton topo trong các hệ trường gauge Abel và phi Abel: Trong

chương này chúng tôi trình bày tổng quan về lý thuyết trường Yang-Mills

. Trong đó, giới thiệu các soliton topo là các nghiệm của các phương

trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs như: Nghiệm Wu-Yang trong hệ

Yang-Mills không có trường Higgs; Với hệ Yang-Mills-Higgs, giới thiệu

nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và nghiệm dyon Julia-Zee; Nghiệm

soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS); Trường

Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton.

 Chương 2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng

trục: Trong chương này chúng tôi trình bày về nguồn đối xứng xuyên tâm

và đối xứng trục, nghiên cứu về các ansatz để tìm nghiệm đồng thời giới

thiệu một số kết quả mới đã được công bố theo hướng nghiên cứu này;

Trình bày phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng để tìm nghiệm và mô

phỏng một số kết quả mới đã tìm được từ phương pháp này cho bài toán về

nghiệm của phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và nguồn ngoài

dạng sợi dây với nghiệm vortex.

 Chương 3. Phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn:

Trong chương này chúng tôi chỉ ra cách suy ra phương trình chuyển động

của hạt màu trong trường chuẩn từ phương trình chuyển động của điện tích

trong trường điện từ của điện động lực cổ điển – phương trình Wong; Suy

rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và ; Nghiên

cứu bài toán chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn đối với đối xứng

Lorentz địa phương; Sử dụng hình thức luận bó thớ để nghiên cứu động

lực học Lagrangian của hạt màu trong trường chuẩn .

 Chương 4. Thế hiệu dụng và quỹ đạo của hạt trong trường chuẩn: Trong

chương này chúng tôi trình bày việc nghiên cứu các kết quả đã được công

bố của một số tác giả. Đó là, bài toán về hạt trong trường Wu-Yang, bài

và phần phụ lục. Nội dung 4 chương cơ bản như sau:

toán về hạt trong trường đơn cực ’t Hooft-Polyakov và trường soliton BPS.

Từ đó, giải bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn và so

sánh cách tiếp cận hấp dẫn của lý thuyết Yang-Mills với lý thuyết hấp dẫn

của Einstein và Newton.

Chương 1

1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE

ABEL VÀ PHI ABEL

Một trong những đặc trưng cơ bản của điện động lực Maxwell là tính bất

biến gradient (gradient invariance). Nghĩa là, điện động lực sẽ bất biến nếu

thêm vào thế gradient một thế nào đó. Tuy nhiên, để tương tác của của vật

chất tích điện với trường điện từ, bảo đảm được tính bất biến gradient cho

trường điện từ, hàm sóng của hệ vật chất cũng phải chịu một phép biến đổi

pha với pha chính là hàm xác định phép biến đổi gradient của hàm thế. Phép

biến đổi xác định bởi cùng một hàm lên cả hàm sóng của vật chất lẫn thế của

trường điện từ được gọi là phép biến đổi chuẩn – phép biến đổi gauge (gauge

transformation). Như vậy, lý thuyết vật chất tương tác với trường điện từ

phải bất biến chuẩn (gauge invariant).

Tính chất này đã được tổng quát hóa cho cả tương tác yếu và tương tác

mạnh. Tính bất biến chuẩn sẽ dẫn đến sự tồn tại một thế vector có vai trò

tương tự như thế của trường điện từ, được gọi là thế chuẩn hay trường chuẩn

(gauge field). Nếu nhóm cơ bản để xây dựng trường chuẩn cho Điện động

lực là nhóm , và trường chuẩn tương ứng là thế điện từ, thì nhóm dùng

để xây dựng trường chuẩn cho tương tác yếu là nhóm và trường

chuẩn tương ứng được gọi là trường Yang-Mills, còn cho tương tác mạnh sẽ

là nhóm , trường chuẩn tương ứng gọi là trường gluon.

Bằng cách lựa chọn nhóm chuẩn , các nhà vật lý lý thuyết đã xây dựng được lý thuyết thống nhất cho tương tác điện từ - yếu (mô hình Weinberg - Salam), còn nếu chọn nhóm chuẩn là

, ta sẽ được lý thuyết thống nhất điện từ - yếu - mạnh (mô hình chuẩn – Standard Model). Nếu thay nhóm chuẩn của mô hình chuẩn

bằng nhóm ta sẽ được lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified Theory).

Như vậy, mặc dù có tới bốn tương tác cơ bản, nhưng trừ tương tác hấp

dẫn, các tương tác còn lại đều được diễn tả thông qua một ngôn ngữ duy

nhất, đó là ngôn ngữ trường chuẩn. Do tính phổ quát của lý thuyết Yang-

Mills trong nghiên cứu vật lý hạt cơ bản mà dẫn đến việc tìm nghiệm của

phương trình này trong những mô hình vật lý khác nhau luôn là đề tài hấp

dẫn các nhà vật lý. Trong phần này ta sẽ điểm qua một số kết quả đã được

công bố của các tác giả về việc tìm nghiệm soliton của các phương trình

Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs.

Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến.

Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định

giống như những đối tượng hạt thông thường. Những soliton và những đa

soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo

, đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại lượng được bảo toàn.

Sự bảo toàn của không phải do định lý Noether mà do cấu trúc topo của

soliton. Mỗi soliton được mô tả bởi tập hợp các tọa độ trong mô hình. Tập

hợp các tọa độ được coi như không gian moduli.

Bogomolny [11] đã chỉ ra rằng, trong các lý thuyết trường thì năng

lượng của soliton bị chặn dưới bởi một đa tích topo và dấu đẳng thức chỉ xảy

nếu như trường thỏa mãn trật tự đầu tiên PDE. Bởi vì phương trình

Bogomolny không chứa thời gian, những nghiệm của nó là những nghiệm

tĩnh. Hơn nữa, chúng là những nghiệm ổn định trong cấu trúc topo chúng có

năng lượng cực tiểu.

Nếu một đơn soliton có tập hợp tọa độ thì soliton sẽ có một không

gian moduli với chiều. Đa tạp chiều này có cấu trúc một ma trận, nó

mô tả những sự tương tác của các soliton. Đôi khi thế của trường cũng được

định nghĩa trên không gian moduli. Trong trường hợp không tồn tại thế,

không có lực tương tác giữa các soliton tĩnh và các tương tác bị chi phối bởi

dạng hình học của không gian moduli thì năng lượng tỉ lệ với số lượng các

soliton.

 Kinks với một chiều;

 Vortices trong lý thuyết gauge với trường Higgs của trường hợp

hai chiều [12];

 Lumps trong những lý thuyết trường vô hướng phi tuyến ( -

models) với hai chiều [13];

 Monopoles trong ba chiều của những lý thuyết Gauge/Higgs [14,

15];

 Solitons trong ba chiều -models (được biết đến như những

Skyrmion) [16, 17];

 Instantons trong những lý thuyết thuần gauge của bốn chiều [18]

Những thí dụ về các soliton được các nhà vật lý quan tâm nhiều:

1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang

Phần này ta sẽ xem xét các nghiệm của phương trình Yang-Mills trong

không gian Minkowski. Phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge

có dạng

(1.1)

nó bất biến dưới phép biến đổi của nhóm gauge . Các nghiệm của

phương trình này được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel [19],

nghiệm monopole phi Abel, và một số các lớp nghiệm phức thu được từ các

lớp ansatz. Một nghiệm thực tiêu biểu trong không gian Minkowski đó là cặp

meron-phản meron. Hầu hết các nghiệm này đều mang tính thuần túy toán

học mà ít có ý nghĩa vật lý thực tế. Tuy vậy cũng có những nghiệm quan

trọng với ý nghĩa vật lý nhất định như nghiệm monopole Wu-Yang, nó được

coi là một dây các monopole tự do trong trường hợp phi Abel.

Nghiệm monopole Wu-Yang là nghiệm monopole tự do của lý thuyết

thuần . Nghiệm này đã được tìm ra đầu tiên bởi Wu và Yang [20] với (sau đó được Jualia và Zee [21], Hsu và Mac [22] mở ) bằng cách đưa vào ansatz sau (gọi là ansatz

trường hợp rộng cho trường hợp Wu-Yang)

(1.2)

[ ]

Thế các ansatz này vào (1.1), ta được hệ phương trình sau

(1.3) ( )

( là thế gauge thuần).

Phương trình (1.3) có hai nghiệm hằng là và đối , chúng là những nghiệm vacuum với

với nghiệm thứ nhất, còn đối với nghiệm thứ hai Nghiệm hằng số không tầm thường là

(1.4)

Khi , thì , ta có trong đó là những ̂ Dù hằng số. Với thế gauge không triệt tiêu tại vô cùng có sự đóng góp này của thế gauge nhưng nó có thể thay đổi bởi phép biến

đổi gauge. Vì vậy, với sự tương đương gauge, phương trình (1.4) chỉ còn lại

Để có cách nhìn tổng thể hơn và thuận lợi cho việc so sánh các nghiệm

của Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs này. Ta hãy chỉ ra

đây một tam tuyến Higgs mà Lagrangian của nó trong lý thuyết gauge

được cho bởi

(1.5)

ở đây

(1.6)

(1.7)

và thế Higgs là

)

(1.8) (

chỉ số là chỉ số và bất biến dưới phép biến đổi cục bộ biến đổi như các biểu diễn phó. Mặt khác, thế , còn cả và Higgs phải không triệt tiêu tại vô cùng còn thế năng phải triệt tiêu tại đó. Do vậy, bất kể nghiệm vật lý nào cũng phải thỏa mãn

(1.9) ( ) ̂ √

Điều này giống như việc phá vỡ đối xứng trong lý thuyết lượng tử, mà ở đó mong muốn rằng vacuum có giá trị khác không 〈 〉 .

Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu một Lagrangian của thế gauge thuần Yang-

Mills, có dạng

)

(1.10) (

(1.11)

Để thế năng tại vô cùng phải triệt tiêu, đòi hỏi

(1.12)

Từ sự tương ứng Julia-Zee [21], nếu chọn

(1.13)

thì nghiệm của lý thuyết thuần Yang-Mills (1.10) và nghiệm của lý thuyết Yang-Mills-Higgs (1.5) sẽ giống nhau về mặt toán học.

Trở lại với vấn đề nghiệm Wu-Yang. Phương trình (1.13) cho ta thấy rằng, bất kể nghiệm tĩnh nào của lý thuyết thuần cũng có thể coi như nghiệm của lý thuyết (1.5) mở rộng trong giới hạn nói trên. Do vậy mà

phương trình (1.4) cũng gợi ý một nghiệm tương tự như lý thuyết đó. Ansatz thích hợp cho sự tương ứng này của phương trình (1.2) là

(1.14)

[ ]

[

( ) ]

Phương trình chuyển động thu được từ Lagrangian (1.5) có dạng là

(1.15)

( )

Sử dụng các ansatz (1.14) ta được phương trình rút gọn của (1.15) thành

( ) (1.16)

( )

[ ]

phương trình này có dạng hoàn toàn tương tự như (1.3) khi . Còn đối với trường hợp thì phương trình này không còn nghiệm hằng số nữa. Từ (1.16) ta tìm được

ở đây, ta sử dụng các ký hiệu

Với (1.15), phương trình thứ nhất ứng với trường hợp tầm thường khi ,

còn khi thì nó trở thành

) ] [ (

và phương trình thứ hai của (1.15) trở thành

) ] [ (

Từ (1.16) ta thu được

Xuất phát từ phương trình (1.2) và (1.14) nên đôi khi người ta dùng thuật ngữ “bán kính gauge”. Sự tương ứng mà ta đã chỉ ra ở đây là điều rất thuận lợi cho việc tìm nghiệm của các phương trình chuyển động (1.3) và (1.16) trong trường hợp thuần gauge.

Một loại gauge khác mà được gọi là “string gauge” hay “unitary gauge”,

với dạng biến đổi cục bộ

(1.17) ( )

(

ký hiệu ̂ là vector phương vị trong không gian gauge (được xác định như hướng trong không gian ba chiều), tức là trên trục thì tọa độ của mỗi điểm là ̂ . Phép biến đổi này là không liên tục dọc theo phía âm thu được từ ansatz (1.2) hay (1.14) bởi của trục . Những thế gauge unita phép biến đổi (1.17) là

) [ ̂ ̂ ]

(

(1.18)

(

) [ ̂ ̂ ]

) [ ̂]

gian. Những thế

xứng tự phát thì ở đây ̂ và ̂ là vector đơn vị trực giao với góc cực và trong 3-không được xác định bởi hàm . Khi có phá vỡ đối và là thành phần khối lượng của trường gauge. Nhưng

thì không phụ thuộc vào hay mà nó được xác định bởi dạng của

ansatz (1.2).

Trở lại với nghiệm (1.4) ở trên, trong trường hợp string gauge nó trở

thành

(

(1.19)

) [ ̂]

Với đây là nghiệm đầu tiên được tìm ra bởi Wu và Yang vào năm

1968 [20] và đó chính là nghiệm monopole. Còn đối với thì có thể coi

như là nghiệm dyon với điện tích trong lý thuyết thuần

gauge.

1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và

dyon Julia – Zee

Trong phần này ta sẽ xem xét một số nghiệm của lý thuyết gauge

tương ứng với sự phá vỡ đối xứng gauge . Một trong số nghiệm nổi tiếng thuộc lĩnh vực này của lý thuyết trường lượng tử là nghiệm monopole của ’t Hooft-Polyakov.

1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov

’t Hooft [15] và Polyakov [23, 24] đã tìm ra (một cách độc lập) nghiệm monopole của lý thuyết gauge với tam tuyến Higgs. Đây là nghiệm không kỳ dị và có năng lượng hữu hạn. Nó biểu diễn những trạng thái định xứ, mở rộng và bền về topo.

Monopole chính là nghiệm của phương trình (1.16) cho trường hợp

và .

Nhớ rằng, những nghiệm thu được từ việc sử dụng các ansatz Wu-Yang

(1968), đó là

(1.20)

[ ]

Trong giới hạn và với xác định thì nó trở thành

nghiệm Prasad-Sommerfield (mà ta sẽ xét đến ở phần tiếp theo).

Bây giờ, ta hãy tìm hiểu để trả lời câu hỏi xem tại sao nghiệm này lại được giải thích như một đơn cực? ’t Hooft và Polyakov đã độc lập tìm ra nghiệm này nhưng lại có cách giải quyết vấn đề này theo các cách khác nhau. Ở đây, ta chỉ xem xét cách giải quyết vấn đề của ’t Hooft. Theo đó, ’tHooft đã nghiên cứu vấn đề này như là một cách tiếp cận trường điện từ trong phạm vi lý thuyết gauge với một tam tuyến Higgs (1.5) và đòi hỏi nó

phải hiển nhiên bất biến dưới phép biến đổi gauge . ’t Hooft đưa ra một tensor bất biến gauge có dạng

(1.21)

phải thỏa mãn là một tensor trường điện từ. Tensor này được viết dưới dạng khác tường minh hơn

(1.22) ̂ ̂ ̂

các ký hiệu được dùng ở đây là

, từ ansatz

(1.23) ̂ ̂

Ở đây là thành phần không khối lượng của thế gauge (1.15) ta dễ thấy thỏa mãn và do đó

(1.24) ̂ ̂ ̂

Đây là trường điện từ tĩnh của một điểm monopole với từ tích

(1.25)

Chính vì lẽ này mà nghiệm ’t Hooft-Polyakov được goi là nghiệm monopole.

Từ tích cực tiểu theo điều kiện lượng tử Dirac là ( là đơn vị cơ bản của điện tích). Như vậy monopole tích ’t Hooft-Polyakov có giá trị gấp đôi giá trị cực tiểu này.

Tiếp theo, ta sẽ xem xét vấn đề tại sao đơn cực lại có năng lượng hữu hạn mà theo Polyakov đây là một trong số vai trò nổi bật của nghiệm monopole đối với lý thuyết gauge và trường Higgs.

Xét một tam tuyến Higgs mà không có trường gauge

(1.26)

)

(

Sử dụng ansatz

(1.27)

cho trường Higgs đó, ta thu được phương trình chuyển động

(1.28)

Phương trình này có một nghiệm (ta không đưa ra biểu thức đầy đủ ở đây) mà diễn tiến có dạng

(1.29) ( ) ( ) √

(1.30)

Vì số hạng phi tuyến trong (1.29) là , do đó số hạng thế năng không bị phân kỳ tại vô cùng. Mặc dù vậy, số hạng động năng lại phân kỳ tại đó. Nghiệm năng lượng không xác định này (Polyakov gọi là quả cầu gai) dường như bền về topo. Ta lý giải điều này theo phương pháp topo. Giá trị biên tương ứng với một ánh xạ từ một hình cầu ở vô cực lên

hình cầu đơn vị trong không gian . Ánh xạ này phủ lên hình cầu đơn vị một lần, ta nói rằng nó có số lần cuộn (winding number) hay tích topo (topological charge) . Vì là số nguyên, nên chỉ có thể tồn tại một phép biến đổi không liên tục làm thay đổi từ đến . Phép biến đổi này, có lẽ chứa năng lượng không xác định theo một số hướng. Do đó không thể thay đổi theo thời gian thông thường của hệ. Nghĩa là tích topo được bảo toàn. Cụ thể, tích topo của “quả cầu gai” được bảo toàn. Do tính đối xứng cầu của nghiệm nên nó là một cấu hình trường năng lượng cực tiểu, vì vậy nó được xem là bền.

Việc đưa vào trường gauge có một ảnh hưởng rất quan trọng đó là: Sự phân kỳ ở số hạng động năng sẽ được giải quyết bởi việc thay thế đạo hàm bằng và đặt , số hạng này không phân kỳ ở lớn do đó mà số hạng động năng trở thành hữu hạn. Nếu điều kiện biên

[ ] (1.31)

√ ] ̂ [ √

được thỏa mãn thì

[( ) ] ( (1.32) ) ( )

( )

Dễ dàng kiểm chứng lại rằng, tất cả các số hạng trong tích phân năng lượng

bây giờ đã có giá trị hữu hạn. Thêm nữa, khi thì ta cũng có kết quả tương tự. Như vậy, năng lượng tổng cộng theo đó là hữu hạn.

1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee

Julia và Zee, vào năm 1975 [21] đã chỉ ra cách đưa vào monopole ’tHooft-Polyakov một điện tích. Như vậy, nó trở thành một monopole vừa có

từ tích vừa có điện tích, tức một lưỡng tích được gọi là một dyon. Cách làm này là thay đổi ansatz (1.14) bằng cách cho

(1.33)

[ ]

Khi đó phương trình chuyển động (1.15) trở thành

( )

(1.34) (

Ở đây, ta nhận thấy rằng khi thì hàm và (và cả và ) có vai trò tương tự nhau đối với chỉ số . Trường hợp này đã được xem xét đầu tiên bởi Julia và Zee (chú ý rằng và chỉ quan hệ gián

) ( )

, và do đó điện trường đã được đưa

tiếp thông qua hàm ).

, ta sẽ có

Giả sử

thêm vào từ trường của đơn cực. Nói một cách đơn giản là, việc mở rộng nghiệm ’t Hooft-Polyakov chỉ trở nên có ý nghĩa khi tồn tại của nghiệm với .

Đối với trường hợp và , giống như trường hợp của monopole thì nghiệm của phương trình (1.34) (đã được tìm bằng phương

pháp số) với điều kiện biên ở vô cùng,

[ √ ]

) (1.35) (

√

thành khi và .

, là khối lượng của dyon. Ta thấy khối lượng của ở đây ( √ )

dyon rõ ràng là hữu hạn bởi vì chỉ có sự phân bố tích phân năng lượng thay đổi từ

. Do đó, điện trường

Để xác định điện tích của dyon, đầu tiên ta cần phải xét điện trường của

] ̂ [

nó. Tại lớn thì tất cả các tensor trường điện từ được định nghĩa như nhau và ta có thể sử dụng định nghĩa đơn giản ̂ của dyon tại lớn là

̂ [

̂ ] (1.36)

[ ]

ở đây chưa biết (trong điều kiện biên (1.35)) đối với hàm . Hằng số này đã được tìm bằng phương pháp số và điện tích của dyon khi đó là

(1.37)

Julia-Zee đã chỉ ra rằng khối lượng của dyon tăng chậm theo hàm của

khi

(với là khối lượng của boson trong lý thuyết).

1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-

Sommerfield (BPS)

1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn

Trong các mô hình trường, soliton là nghiệm năng lượng hữu hạn của phương trình trường phi tuyến mà mật độ năng lượng trường tập trung trong vùng xác định của không gian. Để tìm điều kiện tới hạn của nghiệm soliton, ta hãy xem xét Lagragian sau

(1.38)

với là trường vô hướng thực và là hàm thực, không âm của biến . Thế Lagrangian này vào phương trình Euler-Lagrange ta được phương trình phi tuyến

(1.39)

Cho khi ta tính được thế năng và động năng

∫ ( )

(1.40)

∫ ̇

Sự bảo toàn năng lượng cho ta:

(1.41) ∫ ∫

Có thể thấy giới hạn dưới năng lượng của hệ trường phụ thuộc vào điều kiện biên. Với sự thăng giáng:

√ )

(1.42) ( √

Khai triển bất đẳng thức này và lấy tích phân trên toàn bộ không gian, ta thu được

(1.43) ∫ √ √ ) ∫ ( √

Do đó, với những trường dừng

(1.44) | ∫ √ | | ∫ √ |

(

)

, khi đó Bởi vì , nên ta có thể đưa ra một siêu thế

tích phân ở vế phải của (1.44) cho ta giới hạn của nghiệm là

(1.45)

giới hạn này cho phép xác định giới hạn dưới của năng lượng trường, được Bogomolny [25] tìm ra và gọi là giới hạn Bogomolny của nghiệm soliton. Giới hạn này có ý nghĩa rất quan trọng. Bởi vì, các phương pháp tìm nghiệm soliton của các phương trình trường bằng cách tìm cực tiểu năng lượng có thể có phương pháp chưa đạt được giới hạn này. Nghiệm thành công nhất phải đạt giới hạn này còn được gọi là nghiệm bão hòa Bogomolny hay nghiệm tới hạn.

1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS)

Đây là nghiệm của lý thuyết thuần gauge . Từ ansatz (1.2), dẫn

đến phương trình chuyển động (1.3), Prasad, Sommerfield [26] đã tìm ra

nghiệm của phương trình này có dạng

(1.46)

với là hằng số tùy ý. Khi nghiệm (1.46) tương ứng với sự phá vỡ

đối xứng địa phương bởi vì

̂ (1.47)

Như vậy là khối lượng của hai thành phần trường Yang-Mills mà thu được

thông qua sự phá vỡ đối xứng gauge cục bộ. Những thành phần này đã được

chỉ ra trong (1.18). Khi ta thấy và nghiệm (1.46) ; còn với nghiệm (1.46) không thay

trở thành nghiệm vacuum đổi tại ( và ). Mặc dù Prasad và Sommerfield tìm ra

nghiệm này, nhưng nghiệm này là nghiệm bão hòa Bogomolny nên được gọi

là nghiệm BPS.

1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm

instanton

Một nghiệm của lý thuyết gauge trong không gian Euclide được nhiều nhà vật lý quan tâm, đó là instanton hay còn gọi là giả hạt [18]. Instanton là nghiệm định xứ, không kỳ dị và có tích topo bằng đơn vị. Tên instanton được suy ra từ sự định xứ này trong không gian tương ứng với thời khoảng xác định giống như sự mở rộng về không gian trong không gian Minkowski, nghĩa là tương ứng với một sự kiện. Tất cả các nghiệm instanton đều tự ngẫu, tức có năng lượng Euclide bằng không. Do đó, sự tồn tại của instanton có thể liên hệ với hiệu ứng đường ngầm giữa các vacuum khác nhau trong không gian Minkowski. Dĩ nhiên, nếu chỉ có một instanton tồn tại thì không có hiệu ứng đường ngầm. Để có hiệu ứng đường ngầm cần phải có nhiều hơn một vacuum. Từ bản chất topo của instanton nên có vô số các vacuum ⟩ trong không gian Minkowski khác nhau về topo với chỉ số topo . Một instanton chui hầm từ vacuum ⟩ đến ⟩, instanton chui hầm đến ⟩; một phản instanton chui hầm đến ⟩, phản instanton chui hầm đến ⟩. Nghiệm vacuum (không gian Minkowski) của lý thuyết này là thế thuần gauge

(1.48) [ ]

Ở đây, ta phải loại trừ các phép biến đổi gauge phụ thuộc thời gian, vì . Để thuận tiện, ta giả sử khi chúng sẽ dẫn đến các . Lúc đó xác định một ánh xạ của một không gian ba chiều với tất cả các điểm đồng nhất ở vô cực vào trong nhóm . Các ánh xạ này rơi vào trong các lớp đồng luân được ký hiệu bởi số nguyên . Một cách tương ứng, các phép biến đổi gauge rơi vào trong các lớp đồng luân, vì vậy làm cho thế ( ) thuần gauge. Tổng các thế thuần gauge này xác định vacuum Yang-Mills. Do đó vacuum này bao gồm vô số các “vách ngăn” phân biệt nhau về topo.

Theo lý thuyết gauge nhiễu loạn thì vacuum có chứa thế gauge bằng . Tất cả các vacuum khác trong lớp thu được từ phép biến đổi gauge mà có thể biến dạng một cách liên tục sang ánh xạ đồng

nhất . Còn phép biến đổi gauge không thể biến dạng một cách liên tục sang là

(1.49)

Phép biến đổi gauge này thuộc lớp . Thật vậy, ta viết lại biểu thức (1.49) dưới dạng

( )

Vì quét khắp không gian ba chiều, nên vector đơn vị vạch ra một hình cầu trong không gian bốn chiều. Như vậy, ánh xạ trong không gian ba chiều với tất cả các điểm đồng nhất ở vô cực ( khi ) lên trên hình cầu (phủ lên nó một lần). Hình cầu ở đây cũng có thể được đồng nhất với nhóm . Do đó, ta thấy chính là một phép biến đổi gauge với .

) có dạng

Khi thời gian ảo thì nghiệm instanton của không gian

Euclide (với thế gauge

(1.50)

Nói cách khác, nó nội suy giữa cấu hình trường vacuum và cấu

hình trường trong không gian ba chiều. Do có sự tương đương giữa không gian Euclide và không gian Minkowski nên nghiệm instanton của

không gian Minkowski cũng liên kết vacuum với qua nghiệm chính xác của phương trình chuyển động với thời gian ảo.

Tóm lại, nghiệm có các tính chất sau:

(i) Không kỳ dị và định xứ (một cách đối xứng) theo mọi hướng trong chứa trục thời gian ảo;

(ii) Đây là nghiệm tự ngẫu (nghĩa là mang năng lượng không);

(iii) Nó được đặc trưng bởi tích topo (nghĩa là được xác định bởi ánh xạ , ánh xạ này phủ lên hình cầu sau một lần).

1.5 Kết luận chương 1

Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu một số nghiệm tiêu biểu của lý thuyết Yang-Mills . Từ đó ta nhận thấy rằng tùy theo các ansatz được chọn mà nghiệm của phương trình sẽ có các tính chất và ý nghĩa vật lý khác nhau. Việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs là rất phức tạp về mặt toán học. Bởi vì các phương trình của lý thuyết này là là những phương trình phi tuyến đạo hàm riêng của mười hai ẩn hàm mười hai thành phần không gian với là các chỉ số trong không

gian – không gian isopin và là các chỉ số trong 4-không gian Minkowski. Ngoài ra, nó còn phụ thuộc vào tính chất topo của trường. Có lẽ cũng chính vì tính chất phức tạp này mà từ năm 1954 lý thuyết này đã được nghiên cứu nhưng số nghiệm giải tích đẹp đẽ đã được tìm ra vẫn chưa nhiều. Ngày nay, với sự hỗ trợ của các máy tính mạnh cùng với việc áp dụng các phần mềm tính toán mới, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang- Mills đang giành được nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý lý thuyết. Nhiều kết quả số với các ansatz khác nhau đã được công bố [27, 28, 29, 30, 31, 32].

Chương 2

2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN

NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC

Những nghiệm tiêu biểu của lý thuyết gauge phi Abel như nghiệm monopole Wu-Yang [20], nghiệm sóng phẳng phi Abel [19], nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov [15, 14], instanton [18], meron [33], đó là những nghiệm giải tích. Chúng được tìm ra bởi việc sử dụng những ansatz có tính đối xứng cao như đối xứng cầu, hoặc trường hợp một chiều, còn đối với các trường hợp mà tính đối xứng thấp hơn như đối xứng trục đa cực multimonopole [34], monopole-antimonopole [27], nghiệm vortex ring [35] của phương trình Yang-Mills-Higgs, …. thì vấn đề trở nên khó khăn hơn gấp nhiều lần. Để tìm nghiệm của những trường hợp phức tạp này người ta phải sử dụng phương pháp tính số và tìm nghiệm gần đúng hoặc lựa chọn cấu hình trường trong một khuôn khổ nhất định nào đó.

Trong chương này, chúng tôi lựa chọn thuật toán để tìm thêm một số nghiệm soliton mới và sử dụng chương trình mô phỏng nghiệm trường Yang-Mills cho hai và nhiều nguồn điểm thuộc các lớp với các chỉ số topo khác nhau. Đặc biệt đối với trường hợp nguồn ngoài dạng dây liên tục chúng tôi đã tìm được các nghiệm giải tích cho cả hai nghiệm vortex tĩnh và nghiệm sóng (phụ thuộc thời gian). Các kết quả nghiên cứu của chúng tôi trình bày trong chương này được công bố trong các bài báo [III, IV, VI].

2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục

Lagrangian trong lý thuyết gauge khi trường gauge tương tác với

nguồn ngoài là

và phương trình Yang-Mills có dạng

(2.1)

tensor cường độ trường

(2.2)

(2.3)

trong đó là hằng số tương tác của trường gauge trong lý thuyết ; các

ký tự Latin và Hy lạp tương ứng chạy từ và .

là phản đối xứng nên đạo hàm hiệp biến . Điều này cho ta thấy dòng nguồn ngoài được coi như mật độ

Vì tensor cường độ trường

dòng tích ngoài tĩnh

(2.4)

Trong không gian gauge với vector đơn vị ̂ , độ lớn của mật độ tích ngoài là được viết ̂ ̂ ̂ .

2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm

Nguồn ngoài , là nguồn tĩnh (không phụ thuộc thời gian) nên .

Phương trình Yang-Mills cho trường hợp này có dạng

(2.5)

(2.6) [ ]

(2.7) [ ]

, là các ma trận Pauli. Vì đang xét nguồn , và

ngoài tĩnh nên

(2.8) [ ]

Nếu là nghiệm của phương trình ứng với nguồn thì nguồn trong tương đương gauge phải thỏa mãn , và nghiệm tương ứng

với nguồn này trong biến đổi gauge là

(2.9)

Nguồn ngoài đối xứng xuyên tâm có dạng

là thành phần cũng là một nguồn ngoài

(2.10)

Như vậy mô hình vật lý ở đây được hiểu rằng photon không khối lượng còn vector của tích meson là tĩnh với mật độ tích điện từ là . Nghiệm Coulomb cho lý thuyết phi Abel trong trường hợp này là

(2.11)

và năng lượng Coulomb cho trường hợp Abel là

(2.12) ∫

Ta thấy nghiệm (2.11) phụ thuộc bậc nhất vào , nghiệm (2.12) phụ thuộc bậc hai vào . Chọn một tỉ lệ xích phù hợp ta sẽ được các hàm tương ứng là và

(2.13)

Sử dụng các ansatz Jackiw-Jacobs-Rebbi (JJR) [36] cho nguồn đối xứng

xuyên tâm có dạng

̂ (

) (2.14)

̂ ( )

(2.15)

̂ [ ( ) ]

trong đó, là hệ số tỷ lệ, ta thu được được hệ phương trình sau, (với )

(2.16)

và năng lượng là

(2.17) ) ∫ (

Khi thì năng lượng hữu hạn và sẽ triệt tiêu tại điểm gốc. Khi và triệt tiêu tại điểm gốc thì và sẽ tiệm cận từ 1 đến . Ansatz (2.14) và (2.15) là phép biến đổi gauge bao gồm phép quay góc

xung quanh vector đơn vị trên trục ̂. Với nguồn thỏa mãn điều kiện trên thì

ta có hai kiểu nghiệm của phương trình (2.16): kiểu I, tiệm cận với lớn

(2.18)

và kiểu II là

(2.19)

Khi tiệm cận với nhỏ thì cả hai kiểu có cùng dạng

(2.20)

Một điều đáng quan tâm nhất là, đối với kiểu II thì năng lượng có sự rẽ

nhánh và tổng năng lượng hữu hạn.

2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục

Tiếp theo ta hãy sử dụng phương pháp tương tự như [36] để xét bài toán cho nguồn ngoài có tính đối xứng trục. Tức các điện tích nguồn ngoài được phân bố trên một trục nào đó trong không gian

(2.21) ̂

Ở đây, ta xét quá trình này trong khuôn khổ của lý thuyết trường gauge, tức là nếu

̂ (2.22)

thì

(2.23)

Sử dụng các ansatz sau (gọi là ansatz Isidro Filho [37])

(2.24) ̂

với .

Thế ansatz (2.24) vào phương trình Yang-Mills cho nguồn ngoài (2.3) ta

]

được hệ phương trình phi tuyến

[

(2.25)

[

]

là chỉ số topo, với thì nghiệm này đã được tìm ra bởi Sikivie và Weiss [38] nó có ý nghĩa vật lý là một lưỡng cực từ (magnetic dipole)

)

(2.26) (

, là đoạn thẳng trên mà điện tích phân bố trên đó, với √ là một hằng số nào đó. Một kiểu nghiệm khác cũng được tìm ra bởi Sikivie, và Weiss và Mandula [39] có ý nghĩa là sự che chắn tích (screening solution).

√ [( ] )

Ngoài ra, còn có nghiệm khác với ý nghĩa vật lý là sự rẽ nhánh năng

lượng tổng cộng, nghiệm này được tìm ra bởi Oh [40]

(2.27)

√

trong đó , .

2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường

cân bằng

Trường là một hệ liên tục, các phương trình trường nói chung là hệ các phương trình phi tuyến, đạo hàm riêng với nhiều biến và ẩn hàm, cho nên ta không thể có phương pháp tổng quát để tìm các nghiệm này. Để giải quyết khó khăn này, trong phạm vi luận án này chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp tính số. Phương pháp mà chúng tôi áp dụng để giải các phương trình có thể tóm tắt thành các bước như sau:

Từ một phiếm hàm Lagrange hiệu dụng cho mỗi mô hình của bài toán đang xét, sử dụng phương trình Euler – Lagrange để tìm ra phương trình chuyển động hay từ phiếm hàm ta có thể đặt vấn đề và đi tìm cực tiểu của phiếm hàm đó ngay bởi nguyên lý cực tiểu năng lượng. Trong đó thường sử dụng các ansatz để khai thác tính đối xứng của hệ mà ta đang xét nhằm làm giảm số ẩn hàm và số chiều không gian.

Tiếp theo, từ phiếm hàm mà ta đang cần tính cực tiểu hay từ hệ các phương trình đạo hàm riêng, ta cần phải gián đoạn hóa (sai phân hóa) để có công thức tính giá trị của hàm cần tìm tại từng điểm nút (nút lưới). Tuy nhiên có những trường hợp mà ta có thể đoán nhận được các điểm kỳ dị của hàm cần tìm, thì ở đây chúng tôi sử lý bằng cách chia nửa nút lưới sau đó tăng dần số điểm chia (tức là giảm bước lưới để giá trị của hàm cần tìm tiến sát tới điểm kỳ dị).

Chẳng hạn, ta xét một trường hợp đơn giản đó là trường hợp một chiều.

Từ cách biến đổi theo phương pháp biến phân ta có

]

(2.28) [ ] ∫ [

với phương trình Euler-Lagrange

(2.29) [ ]

Để tính toán các giá trị của hàm trong phương trình (2.28) và (2.29) ta phải

thay thế biến liên tục bằng các điểm gián đoạn

[ ]

Tương tự cho trường hợp hai, ba biến. Kết quả là ta đã có được phương

trình sai phân.

Bước tiếp theo là lập chương trình tính toán cho máy tính. Ở đây, chúng tôi sử dụng phần mềm Fortran 95 và Mathematica 7.0. Trong bước này việc chọn giá trị đầu (gesture assignment) có ý nghĩa rất quan trọng. Để chọn giá trị đầu, chúng tôi căn cứ vào những đoán nhận về nghiệm (các nghiệm trường với những mô hình mà chúng tôi xét ở đây là các thế gauge), đó là các thế vật lý nói chung đều giảm nhanh khi xa nguồn và kỳ dị tại điểm

nguồn. Nên chúng tôi ấn định giá trị đầu tiên bằng zero cho tất cả các điểm lưới, rồi cho các biến chạy. Sau khi được bộ số liệu đầy đủ của một lưới thì so sánh với lưới trước để kiểm tra sự hội tụ và sai số. Nếu thỏa mãn yêu cầu về sai số đã đặt ra thì cho ra kết quả cuối cùng.

2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ

số topo cao

Bây giờ ta áp dụng phương pháp tính số vừa trình bày ở trên vào việc tìm nghiệm của phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài có tính đối xứng

trục với chỉ số topo khác nhau. Đồng thời khảo sát sự biến đổi của trường,

mật độ năng lượng trường và năng lượng trường tổng cộng theo , mô phỏng các kết quả tìm được.

2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục

có dạng

)

Phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài

(2.30) được cho bởi (2.2). Ta xét bài toán này với

( với tensor cường độ trường nguồn ngoài tĩnh, kỳ dị dạng hàm delta có dạng

[ ]

(2.31)

ở đây là các vector chỉ vị trí của các tích màu và tương ứng. Từ tính đối xứng của nguồn ngoài này nên ta hãy xét bài toán trong hệ tọa độ trụ mà hai tích màu nằm trên trục , đồng thời chọn vị trí nguồn ngoài { } { }.

Sử dụng các ansatz đối xứng trục của Sikivie-Weiss [38], và Filho- Kerman-Troittier [37], cho các thế Yang-Mills (Oh [40] cũng sử dụng các ansatz này để tìm nghiệm của hệ phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài)

(2.32)

trong đó

(2.33)

Ở đây là vector đơn vị trong không gian spin đồng vị (Isospin) của trường gauge và trong (2.33) là số lần cuộn của trường (winding number) quanh vector khi góc phương vị quay từ . Người ta gọi là chỉ số topo, nó phân thành các lớp nghiệm.

Hàm Lagrange được suy ra từ phương trình chuyển động (2.30) với việc

sử dụng các ansatz (2.32) và (2.33) trở thành

∫ ∫

{[( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]

(2.34)

(

) ( ) ]} [

ta thấy tồn tại một tích phân với hàm trong số hạng nguồn. Theo nguyên lý tác dụng cực tiểu . Vì vậy, việc tìm nghiệm của phương trình Yang- Mills, tức tìm cấu trúc các hàm (profile functions) và , bây giờ trở thành việc phải tìm cực trị của trong phương trình (2.34) theo các lớp ứng với chỉ số topo và điều kiện biên là giá trị của trường và triệt tiêu ở vô cực.

2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục

Ta sử dụng cách sai phân như sau

( )

( ) ( )

Hệ gián đoạn từ (2.34) có dạng sau

∑ ∑

{[ ]

]

[ ] [

(2.35)

]

[

[ ]

[ ] }

Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu . Lần lượt lấy đạo hàm của

(2.35) theo và ta được hệ hai phương trình sai phân sau

( ) {[ ] [ ]}

( ) {[ ]

]

[ ]} (2.36)

[

( )

( ) [ ]

( ) [ ] (2.37)

[

]

Việc lấy đạo hàm của hàm gián đoạn tương ứng với các giá trị của

và tại các nút lưới ta được các phương trình đại số tuyến tính (2.36) và (2.37) với các ẩn số là mà ta sẽ giải bằng

phương pháp lặp. Các điểm nguồn nằm trên trục tại điểm

; nằm trên trục tại điểm , với là số nguyên

dương, còn đối với các điểm lưới trên trục , ta chỉ lấy đến điểm gần nguồn

nhất là mà không lấy đến tận điểm lưới là để tránh các điểm kỳ dị

mà ở đó ta đã đặt nguồn. Điều kiện biên cho cả và là phải tiến đến zero tại vô cùng. Trong quá trình tính toán chúng tôi áp dụng

phương pháp relaxation (SOR) qua việc sử dụng phần mềm Fortran [Phụ

lục] để giải các phương trình đại số nói trên với các giá trị khác nhau của

bước lưới đồng thời chọn các giá trị đầu (initial

guess) khác nhau và nằm trong khoảng . Các kết mô phỏng về các

nghiệm trường dưới đây thấy dạng của các nghiệm hầu như không thay đổi

về mặt định tính cho dù có giảm bước lưới nhỏ đến bao nhiêu chăng nữa.

Nghiệm của hệ phương trình này tức các thế gauge và

được mô phỏng ở mục tiếp theo.

2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV]

Các nghiệm số về cấu trúc của trường (profile function) thu được bằng phương pháp giải số được vẽ ở hình 2.1 và 2.2 dưới đây lần lượt từ trái qua phải ứng với chỉ số topo và và .

Hình 2.1. Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị

Từ hình 2.1 ta thấy thế giảm rất nhanh khi ra xa nguồn. Điều này phù hợp với các trường thế vật lý được sinh bởi nguồn nói chung. Một

kết quả khá thú vị nữa là sự ảnh hưởng của chỉ số topo lên cấu trúc của trường là rất đáng kể. Cụ thể, tốc độ giảm (độ dốc) của thế cũng giảm khá nhanh khi chỉ số topo tăng.

Hình 2.2. Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.2 mô phỏng nghiệm trường phi Abel được vẽ thẳng đứng trên mặt phẳng . Ta nhận thấy sự biến thiên của theo tọa độ không gian và chỉ số topo cũng tương tự như đối với thế . Tuy nhiên, tại cùng một vị trí không gian ứng với cùng một chỉ số topo thì giá trị của thế nhỏ hơn giá trị của .

Điều khác biệt đáng kể hơn cả là giá trị đại số của thế không phụ thuộc vào dấu của điện tích nguồn, nó có giá trị âm với cả hai điện tích

nguồn trong khi và . Điều này khác hẳn với điện động lực học của Maxwell. Những kết quả này đã được đăng trong

các bài báo [III, IV].

2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel

[IV]

Bây giờ ta hãy sử dụng các kết quả đã tính toán ở trên đối với nghiệm

(số) là các hàm profile và để mở rộng khảo sát về các tính chất khác của trường Yang-Mills. Từ biểu thức tensor cường độ trường (2.2)

và các ansatz (2.32), (2.33) ta được biểu thức của vector điện trường phi

Abel có dạng

[ ]

(2.38) ) (

và là góc phương vị.

Thế (2.33) vào (2.38) ta được biểu thức của điện trường phi Abel

[ ]

với là vector đơn vị

[ ] (2.39)

chỉ còn lại hai thành phần trong

) (

, còn

Từ phương trình (2.39) ta thấy vector không gian gauge là

Để mô phỏng được điện trường phi Abel này ta phải thay các nghiệm

(nghiệm số) và đã thu được ở trên vào (2.39). Hình 2.3 là hình ảnh 3D cho trường hợp của sự phân bố không gian của điện trường phi Abel thành phần Isopin , độ lớn tích màu và hình bên trái cho trường

hợp , hình bên phải cho trường hợp (khi đã chuyển từ tọa độ trụ

sang tọa độ Cartesian).

Hình 2.3. Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel

Từ hình vẽ, ta nhận thấy mật độ điện trường giảm nhanh khi ra xa nguồn. Khi chỉ số topo tăng thì mật độ điện trường càng giảm nhanh và hướng của trường tại mỗi điểm bị thay đổi tức là cấu trúc về sự phân bố của điện trường phi Abel bị thay đổi. Kết quả này cũng đúng cho vector điện trường phi Abel

Từ trường phi Abel được cho bởi

(2.40)

trong đó là vector đơn vị của trục . Từ (2.40), ta thấy vector từ trường phi Abel chỉ có hai thành phần trong không gian và một thành phần

với nguồn

trong không gian Isospin ứng với .

Hình 2.4. Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector ngoài kỳ dị.

Như vậy, sẽ thuận lợi và trực quan hơn khi ta biểu diễn các “đường sức” (magnetic field lines) trong mặt phẳng đó. Hình 2.4 mô phỏng sự phân . bố này, đó là sự phân bố các đường từ trường phi Abel của vector Các hình theo thứ tự từ trái qua phải, ứng với . Từ hình vẽ ta nhận thấy mật độ các đường sức từ giảm khi đi ra xa nguồn, đồng thời khi tăng thì mật độ các đường sức cũng giảm và độ xoắn của trường thay đổi, có nghĩa tốc độ biến thiên về hướng của vector từ trường phi Abel tăng lên.

2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi

Abel [III, IV]

Mật độ năng lượng của trường được xác định bởi

]

] [

(2.41) [

Từ biểu thức này ta thấy mật độ năng lượng trường chỉ phụ thuộc hai biến ; cũng từ biểu thức này ta còn nhận ra rằng mật độ năng lượng trường (hiển nhiên phải thuộc trường số thực) luôn có giá trị không âm tức là cũng không phụ thuộc vào dấu của điện tích nguồn ngoài. Hình 2.5 khẳng định cho nhận xét này, đồng thời nó cũng củng cố mức độ tin cậy vào phương pháp tìm nghiệm số mà ta đã áp dụng ở chương này.

Hình 2.5 biểu diễn sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường Yang-Mills tương tác với nguồn ngoài có dạng kỳ dị, đó là hai tích màu với và ; , lần lượt từ trái qua phải . Hình vẽ cho ta thấy sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường biến thiên theo không gian và chỉ số topo khá giống nhau, nhưng tốc độ biến thiên của mật độ năng lượng nhanh hơn nhiều so với thế .

Hình 2.5. Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài kỳ dị

Năng lượng của trường phi Abel được tính bởi công thức

(2.42)

ở đây thế năng tĩnh được xác định từ cực trị (ext) của Lagrangian đối với các hàm trường và để so sánh với nghiệm Coulomb (nghiệm của phương trình ) kết quả này được biểu diễn trên hình 2.6.

Hình 2.6. Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích màu với nguồn ngoài kỳ dị

Ta nhận thấy rằng sự biến thiên của năng lượng theo rất khác nhau. Cụ

thể, năng lượng của trường hợp Coulomb biến thên theo nhanh hơn năng lượng của trường đối với trường phi Abel, ở đồ thị năng lượng này chúng tôi sử dụng hệ đo lường với đơn vị được chọn là (với ).

2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích

Cũng như trường Higgs, nguồn ngoài có thể đóng vai trò là một thành phần khả dĩ tạo nên tính chất topo của nghiệm trường trong lý thuyết trường Yang-Mills. Trong mục này chúng tôi nghiên cứu nghiệm của lý thuyết gauge phi Abel ở dạng giống như dây một chiều (vortex-like) trong phương

trình Yang-Mills cổ điển với nguồn ngoài có dạng sợi dây được đặt

dọc theo trục tọa độ trong hệ tọa độ trụ. Trong trường hợp này chúng tôi đã tìm được nghiệm bằng phương pháp số (như đã trình bày ở trên) đồng thời cũng đã tìm ra được các lớp nghiệm giải tích tường minh cho trường hợp này. Sau đó, đối chiếu nghiệm số với nghiệm giải tích để khẳng định cho

phương pháp số mà chúng tôi đã áp dụng để tìm nghiệm cho các phương trình trường cân bằng.

2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài

dạng sợi dây

Vortices là những cấu trúc topo trong một chiều đã thu hút nhiều sự quan tâm trong vật lý hạt cơ bản, trong vũ trụ học và trong vật chất đậm đặc. Đối với lý thuyết gauge trong nghiên cứu hạt sơ cấp thì nghiệm vortex xuất phát từ sự phá vỡ đối xứng chân không (vacuum) của trường Higgs trong tương tác với trường gauge. Theo hướng nghiên cứu này đã có các công bố như Abrikosov-Nielsen-Olesen (ANO) vortex [12, 41], đó là một mô hình Abel Higgs mà trong thành phần trường là một đơn tuyến vô hướng phức. Sau này nhiều kiểu vortex khác đã được nghiên cứu và cho cả trường hợp lý thuyết gauge phi Abel [42], hoặc là trong mô hình với các thành phần Higgs mở rộng. Trường gauge có thể tương tác với hai trường vô hướng phức với hai

sự suy biến vacuum [43, 44, 45], hay với phép biến đổi vô hướng phức

như một đa tuyến của như đối xứng [46, 47]. Những công trình nghiên cứu về vortex gần đây đã thu được những nghiệm không tầm thường đó là những dây phi Abel trong lý thuyết siêu đối xứng hay phi siêu đối xứng [48]. Sự mở rộng nghiên cứu về vortex đã dẫn đến những kiểu vortex mới như vortex siêu dẫn (superconducting vortices), vortex xoắn hay vortex có mấu (twisted or knotted vortices) và đồng thời giúp chúng ta thêm sự hiểu biết về những đối tượng tựa dây (string-like) và những tính chất vật lý của nó.

Mục đích của chúng tôi trong nghiên cứu này nhằm tìm hiểu về nghiệm năng lượng hữu hạn của vortex trong hệ trường Yang-Mills tương tác với nguồn ngoài với kỳ vọng rằng nguồn ngoài có thể đóng vai trò của trường Higgs với tính chất topo của nghiệm soliton. Bây giờ ta hãy xét phương trình của trường Yang-Mills tương tác với nguồn ngoài tĩnh, mật độ tích ngoài của ̂ , trong đó ̂ là vector đơn vị định trường có dạng trong không gian gauge. Hàm vector ̂ xác định hướng của vector một ánh xạ từ hình cầu trong không gian , được xác định bởi đến hình cầu trong không gian spin đồng vị (isospace)

̂ ̂ . Do đó mà những nghiệm Yang-Mills sẽ bị phân cấp thành các lớp đồng luân của mật độ tích ngoài. Giả sử vector ̂ có dạng

(2.43)

trong đó tương ứng là góc cực và góc phương vị trong tọa độ cầu, là

những số nguyên. Đối với nguồn được mô tả như (2.43) thì nghiệm trường

Yang-Mills sẽ bị phân lớp bởi các giá trị của mà đó là những số lần cuộn (winding number) của ánh xạ được xác định bởi hàm vector ̂ . Sự che

chắn tích và nghiệm lưỡng cực từ đã được tìm ra bởi Sikivie and Weiss [38]

tương ứng với trường hợp . Nghiệm đối xứng cầu với cũng đã

được tìm thấy [36]. Nghiệm không tầm thường đối xứng trục với khác

nhau đã trình bày ở trên.

Trong phần này chúng tôi mở rộng bài toán hai nguồn điểm thành nhiều nguồn và xét trường hợp các điểm nguồn nằm tại tất cả các điểm nút của lưới

trên trục của hệ tọa độ trụ. Khi đó nguồn có dạng như sợi dây liên tục.

2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình

Nhắc lại rằng mật độ Lagrangian và phương trình trường đối với trường

gauge tương tác với nguồn ngoài có dạng [36, 37, 38, 40, 49]

(2.44) ( ) ( )

(2.45)

trong đó tensor cường độ trường và đạo hàm hiệp biến lần lượt được cho bới các công thức (2.2) và (2.7)

a) Nghiệm số [IV, VI]

Áp dụng thuật toán tương tự cho trường hợp nguồn hai điểm. Nhưng số

hạng nguồn bây giờ phải được chọn sao cho ta có thể xét bài toán với số

nguồn bất kỳ (không vượt quá số nút lưới trên trục khi gián đoạn hóa hệ

̂ ∑

phương trình liên tục). Vì vậy biểu thức của nguồn có dạng

(2.46)

ở đây là vector chỉ vị trí nguồn thứ . Với các điểm nguồn nằm trên trục , vì vây ta có thể chọn ansatz đối xứng trục giống như nguồn hai điểm [37]:

(2.47)

Trong các phương trình (2.46) và (2.47), ta sử dụng tọa độ trụ ( ), ̂ là vector đơn vị trên trục tọa độ , số nguyên là chỉ số topo của nghiệm và chọn trong cấu trúc các nghiệm số. Chú ý rằng vector đơn vị ̂ là

trường hợp riêng được đưa vào từ phương trình (2.43) với việc cho góc cực

bằng .

Thay các ansatz (2.46), (2.47) vào hàm mật độ Lagrange (2.44), ta được

hàm Lagrange có dạng

∫

{( ) ( ) ( ) (2.48)

∫

)

(

} ( ) ( )

∑

ở đây, là tọa độ của điểm nguồn thứ trên trục . Trong (2.48) có tích phân hàm trong số hạng nguồn (số hạng cuối cùng) để đảm bảo các điểm nguồn chỉ nằm tại các tọa độ , ngoài các điểm này không có nguồn nào cả. Bài toán đặt ra là phải tìm hàm cấu trúc (profile function) và

để hàm (2.48) cực tiểu theo các lớp ứng với từng chỉ số topo . Trong quá trình gián đoạn hệ trường liên tục, chúng tôi sử dụng phương pháp sau

) ( (2.49)

cách tính toán tương tự với trường hợp nguồn hai điểm ở trên. Chỉ khác là các điểm nguồn nằm trên trục tại các điểm , với là các số nguyên. Có nghĩa là chương trình tính số phải được lập trình lại. Chúng tôi đã giải quyết vấn đề này một cách khá hoàn hảo bằng việc viết một chương trình tính số khá tổng quát, có thể áp dụng cho bài toán tương tác của trường Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng trục. Với số nguồn và chỉ số topo tùy ý. Dưới đây là một vài kết quả về nghiệm số mà chúng tôi đã thu được. Trên các hình (2.7, 2.8, 2.9) để tiện theo dõi diễn tiến của các kiểu nguồn điểm, chúng tôi đặt trên mỗi hình cả ba kiểu nghiệm (a, b, c) ứng với ba kiểu nguồn theo thứ tự là: nhãn (a) cho trường hợp nguồn với hai điểm tích màu và nằm tại các điểm và ; nhãn (b) cho trường hợp nguồn với năm tích màu có giá trị như nhau cùng bằng , nằm tại các điểm ; nhãn (c) cho trường hợp nguồn với các điểm nằm trên tất cả các nút lưới trên trục và đều có giá trị , với trường hợp này, số nguồn phụ thuộc vào số nút lưới mà ta chia dày hay thưa.

Hình 2.7 mô phỏng hàm profile , ứng với . Các hình vẽ với giá trị của được vẽ thẳng đứng trên mặt phẳng mà ở đó . Với nhãn (a) và (b) thì hình vẽ cho nằm trong đoạn ; còn nhãn (c) trong đoạn

Hình 2.7. Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.8 mô phỏng nghiệm hàm profile , ứng với . Các hình vẽ với giá trị của được vẽ thẳng đứng trên mặt phẳng mà ở đó . Với nhãn (a) và (b) thì hình vẽ cho nằm trong đoạn ; còn nhãn (c) trong đoạn

Hình 2.8. Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.9 là hình vẽ cho hàm mật độ năng lượng , ứng với . Các hình vẽ với giá trị của được vẽ thẳng đứng trên mặt phẳng mà ở đó . Với nhãn (a) và (b) thì hình vẽ cho nằm trong đoạn ; còn nhãn (c) trong đoạn

Hình 2.9. Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài dạng sợi dây

Các hình (2.7c), (2.8c), (2.9c) diễn tả tường minh dạng vortex và có kỳ

dị khi . Việc khử kỳ dị này được chúng tôi giải quyết bằng cách cho

với là bước lưới nhỏ bao nhiêu tùy ý. Khi đó nghiệm vortex

mà chúng tôi thu được sẽ có năng lượng tổng cộng trên mỗi đơn vị dài của

trục (mật độ năng lượng dài) có giá trị hữu hạn.

b) Nghiệm giải tích [VI]

Trong mô hình lý thuyết trường thì rõ ràng nghiệm giải tích chính xác sẽ thuyết phục và được quan tâm nhiều hơn. Trong phần này chúng tôi trình bày nghiệm giải tích dạng vortex của hệ trường Yang-Mills với nguồn ngoài được mô tả như trong các phương trình (2.44), (2.45) với nguồn ngoài tĩnh

đối xứng trục và không phụ thuộc vào

̂ ̂

(2.50)

Trong phương trình (2.50), các ký hiệu là các tọa độ của hệ tọa độ

trụ, ̂ là cấu trúc của mật độ tích phi Abel, chỉ còn phụ thuộc vào mỗi tọa

độ . Ansatz cho các thế Yang-Mills có dạng

(2.51) ̂

(2.52) ̂ [ ]

trong đó ̂ là vector đơn vị của trục tọa độ , là những số nguyên. So sánh các ansatz này với (2.46) và ansatz (2.47), ta sẽ tìm được hằng số tương tác , đồng thời thấy rằng , [ ] tương ứng với hàm ; còn cường độ trường phi Abel

với dạng tường minh của nó được viết như sau

̂ ̂ (2.53)

]

[ ̂

(2.54) ̂

dấu “ ” chỉ việc lấy đạo hàm theo . Phương trình Yang-Mills (2.45) được rút gọn thành hệ phương trình vi phân với các hàm cấu trúc và

(2.55)

(2.56)

Chú ý rằng, chỉ số không xuất hiện tường minh ở hai phương trình (2.55) và (2.56).

(2.57) ( ) Nghiệm giải tích tường minh cho (2.55) và (2.56) có thể tìm được bằng phương pháp như trong các tài liệu [38, 40]. Đầu tiên ta chọn một hàm cho mà nó sẽ tiến nhanh đến không khi giảm theo quy luật hàm số mũ và tiệm cận với một hằng số nào đó từ điểm gốc tọa độ, sau đó thế hàm đó vào (2.56) để tìm nghiệm đại số cho hàm . Tiếp theo, từ hàm và vừa tìm được, ta lại thay ngược lại phương trình (2.55) để chỉnh lại sự phân bố và cấu trúc của nguồn. Vì vậy ta được cấu trúc nguồn và do đó nghiệm và bây giờ là nghiệm chính xác. Ví dụ một lớp nghiệm mà chúng tôi đã tìm được có dạng các hàm sau

(2.58) √

ở đây là hai tham số. Tham số xác định dạng chính tắc của , còn tham số xác định khoảng cách của trước khi nó chạm tới giá trị vacuum. Các hàm (2.57) và (2.58) là nghiệm của hệ hai phương trình (2.55) và (2.56) đối với trường hợp sự phân bố của nguồn ngoài không kỳ dị và khả tích mà biểu thức tường minh của nguồn đã được tính toán qua phương trình (2.55). Tồn tại hai nhánh đối với , ở đây ta xét một nhánh ứng với dấu . Nghiệm này được vẽ trên Hình 2.10 (bên trái là các hàm profile vortex tĩnh và , bên phải là mật độ các tích màu và mật độ năng lượng ) ứng với các thông số được chọn là và ; hàm mật độ năng lượng phụ thuộc vào hằng số tương tác , trên hình vẽ này ta chọn tỷ lệ xích với .

Hình 2.10. Các hàm profile vortex tĩnh và ; Mật độ tích màu và mật độ năng lượng với nguồn ngoài dạng sợi dây

Chú ý rằng không giống như nghiệm số ở trên, sự phân bố điện tích nguồn và mật độ năng lượng của các nghiệm cho bởi (2.57) và (2.58) không bị kỳ

dị tại .

Từ phương trình (2.54) ta nhận thấy các thành phần của vector từ trường phi Abel đều bằng không, chỉ có thành phần là khác không, từ thông của vector này qua mặt phẳng là

(2.59) ∫ ∮

tích phân đường lấy trên một vòng kín có bán kính rất lớn. Số hạng thứ nhất trong bên vế phải của (2.59) chỉ ra rằng vector dòng từ thông bị lượng tử hóa

với lượng tử trường bằng . Điều cần chú ý là nghiệm vortex dạng

(2.57), (2.58) là một đơn vortex với số vòng cuộn hoặc đơn vortex chồng chất lên nhau tại điểm gốc [50, 51]. Số hạng còn lại trong (2.59), đóng góp

cho nguồn ngoài, phụ thuộc tham số và cấu trúc nguồn ngoài.

c) Sự phân nhánh [VI]

Một thông số quan trọng đối với hệ trường Yang-Mills với nguồn ngoài

là tổng điện tích phi Abel của nguồn trên mỗi đơn vị dài dọc theo trục

∫

(2.60)

ta được trong đó là hàm profile của mật độ điện tích [xem phương trình (2.50)]. Đặt

(2.61)

với là các tích phân xác định với các thông số tự do

∫

] ∫ [ [ ] [ ]

Giá trị gần đúng của hai tích phân này là và Từ phương trình (2.61), ta thấy còn phụ thuộc vào các thông số .

Đối với các nghiệm vortex (2.57), (2.58) năng lượng tổng cộng trên mỗi

đơn vị độ dài dọc theo trục được tính từ phương trình

∫ [ ]

(2.62) ∫ [ ]

) (

trong đó

∫ [ ]

và giá trị gần đúng là . Cũng giống như tổng điện tích phi Abel ,

năng lượng tĩnh cũng chứa các thông số . Từ các thông số này ta có thể

suy ra được đường biểu diễn sự phụ thuộc của theo

Dựa theo phương pháp của các tác giả [40, 52], đầu tiên ta cần tìm các

tham số tại một điểm trong không gian mà ở đó và có giá trị xác định

nào đó. Từ sự ràng buộc

(2.63)

ta tìm được và đạt cực trị tại

(2.64) √

và

√ (2.65)

tương ứng. Thế các giá trị này của và các giá trị số của vào (2.61),

(2.62), đặt và chọn các giá trị ứng với dấu trong cả (2.64) và

(2.65) ta thu được với tùy ý ( từ điều kiện ). Lấy

trong một trường hợp đặc biệt, ta được và

và có duy nhất một cực tiểu , .

Hình 2.11. Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng vào tổng điện tích phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Bây giờ, ta cố định giá trị của rồi cho các giá trị với mỗi , sau đó giải phương trình ta thu được các giá trị của tương ứng. Phương trình cuối cùng cho ta hai nghiệm của , từ đó ta xác định được hai giá trị tương ứng của . Điều này lý giải sự rẽ nhánh của theo trong hình 2.11.

2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI]

Trong phần này chúng tôi tiến hành tìm nghiệm của các phương trình (2.45) mà trong đó trường và nguồn cùng phụ thuộc vào thời gian. Trong trường hợp này phương trình (2.45) được viết lại như sau

(2.66)

Nguồn ngoài phụ thuộc thời gian được chọn như sau

(2.67)

Điều này có nghĩa rằng ở đây tồn tại những khung Lorentz mà các thành phần của 3-vector triệt tiêu. Thêm một khống chế nữa đối với nguồn ngoài là sự định hướng của chúng không thay đổi trong không gian nội tại. Do đó biểu thức của dòng nguồn ngoài theo 3 trục trong không gian nội tại có dạng:

(2.68)

Sự bảo toàn hiệp biến dòng nguồn ngoài tương đương với

(2.69)

và

(2.70)

Bây giờ ta sẽ tìm những nghiệm phụ thuộc thời gian của các phương trình (2.45) bằng việc đưa các biến thời gian vào phương trình (2.50) và các thế gauge trong (2.51), (2.52) đối với các nghiệm tĩnh. Vì vậy điều cần thiết trước tiên là ta phải biến đổi dòng và các thế thành cấu trúc gauge mà ở đó

dòng phải thỏa mãn (2.68). Phép biến đổi gauge được sử dụng ở đây có dạng sau [37]:

(2.71)

Trong khuôn khổ gauge mới này, thế có dạng (2.69). Những thành phần còn lại vẫn tuân theo phép biến đổi gauge dọc theo 3 trục trong không gian nội tại

(2.72) [ ]

Vì vậy ta đặt

(2.73)

và đưa vào ansatz phụ thuộc thời gian đối với có dạng:

]

{ [

(2.74)

} ̂

Để có (2.74), đầu tiên ta phải biến đổi các trường thế tĩnh (2.52) thành khung

gauge mới bằng việc áp dụng (2.71) và sau đó xây dựng hàm profile phụ thuộc thời gian.

Với những thế (2.73), (2.74) thì cường độ trường phi Abel tương ứng là

] (

(2.75) ) ̂ [ ̇

] (

(2.76) ) ̂ [

Các thành phần không gian ( ) của phương trình (2.66) là

(2.77)

đưa đến phương trình sau đối với

(2.78) ̈

trong đó ̇ , .

Các thành phần không triệt tiêu của các vector là

trong đó ̇

Ta dùng để biểu diễn cho bất kể hoặc , từ phương trình (2.77) ta có thể thấy rằng cũng tuân theo phương trình như đối

với [phương trình (2.78)].

Mỗi cặp và tương tự như những sóng hình trụ của các vector trong điện động lực. Rõ ràng từ các phương trình (2.75), (2.76) ta thấy rằng các vector ̂ và ̂ là các vector trực giao với nhau.

Sử dụng phương pháp khai triển Fourier cho các sóng trụ phi Abel ta có

∫ ̃

(2.79)

Ảnh Fourier ̃ tuân theo phương trình vi phân Bessel

(2.80) ̃ ̃ ̃

trong đó . Nghiệm mô tả các sóng di chuyển ra ngoài tỉ lệ với

]

(2.81) ̃ ̃ [

Đảo lại ta được

[ ]

√ (2.82)

∫ √

trong đó ̃ là dạng sóng nhiễu loạn, là bước hàm đơn vị.

Ở đây chúng tôi không nhắc lại việc mô tả sự truyền các sóng trụ trong điện động lực (xem tài liệu [53]). Nó chỉ được đề cập đến với các sóng hình trụ mà ở đó tồn tại hình thức vận chuyển năng lượng và thông năng lượng

qua diện tích bề mặt trụ , do sự đối xứng trụ nên nó không phụ thuộc

vào . Còn đối với sự truyền các sóng trụ trong trường hợp phi Abel, ngoài tính năng thông thường như đối với trường điện từ, thì việc vận chuyển màu bởi các sóng là điều được quan tâm nhiều.

Đối với hệ trường Yang-Mills tương tác với nguồn ngoài bất biến gauge, thì sự bảo toàn tổng các tích màu tồn tại hai phần đó là phần riêng của bất biến gauge và phần bảo toàn [37, 54]

∫ ̂ ∫ ( ̂ )

trong đó ̂ là vector đơn vị chỉ hướng của dòng nguồn ngoài trong không gian nội tại. Cấu trúc nguồn ngoài độc lập với trường, còn được coi như tổng các tích màu. Đối với dòng thỏa mãn (2.68) và (2.70), thì ̂ và

(2.83) ∫

)

(2.84) ∫ (

Thay thế (2.73), (2.74) và (2.75) vào (2.84) rồi cho . Điều này có nghĩa rằng những sóng phi Abel tương ứng không mang màu.

Chú ý rằng những nghiệm sóng của trường Yang-Mills tương tác với nguồn ngoài, nói chung có thể có hoặc không mang màu, tùy thuộc vào nguồn ngoài (xem tài liệu tham khảo [54]). Những kết quả sóng trụ ở đây không liên quan đến màu bởi những khống chế về nguồn ngoài mà ta đã chọn (2.67), (2.68). Nguồn không liên quan đến màu và tổng màu bất biến gauge của nguồn không đổi, đã chỉ ra trong các phương trình (2.70), (2.83)

2.5 Kết luận chương 2

Trong chương này chúng tôi đã xây dựng được các mô hình tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills không đồng nhất. Với việc sử dụng công cụ số hóa, chúng tôi đã giải được hệ phương trình Yang-Mills và mô phỏng được nghiệm của hệ phương trình này cho nguồn ngoài tĩnh có dạng đặc biệt

– dạng hàm delta với cấu trúc topo của trường và sử dụng thuật toán đó để mở rộng cho bài toán nguồn ngoài có dạng sợi dây. Từ những hình vẽ mô phỏng sự phân bố không gian của các nghiệm số, từ những đặc điểm của các nghiệm giải tích, ta nhận thấy rằng tính chất topo của các nghiệm được đưa đến từ nguồn ngoài mà các vector trong không gian nội tại được coi như các

ánh xạ giữa các hình cầu trong không gian và không gian nội tại. Với chương trình tìm nghiệm này, chúng tôi có thể tìm được những nghiệm là các thế và các cường độ trường phi Abel với chỉ số topo tùy ý.

Dựa trên kết quả mô phỏng các nghiệm trường, ta nhận thấy rằng giá trị của thế Yang-Mills và mật độ năng lượng nguồn giảm rất nhanh khi ra xa

nguồn, nhưng tốc độ biến thiên này sẽ giảm xuống khi tăng, đồng thời sự

thay đổi của còn làm cho sự phân bố không gian của các thế và mật độ

năng lượng bị xáo trộn. Sự phụ thuộc vào chỉ số topo rất rõ rệt đối với các thế và mật độ năng lượng trong khi đối với điện trường và từ trường được gọi là phụ thuộc mờ.

Ngoài ra, với nguồn ngoài có dạng đặc biệt (dạng hàm ) nó cho ta một gợi ý về bức tranh tương tác của hạt và phản hạt. Còn với nguồn ngoài có dạng dây liên tục, thế Yang-Mills và mật độ năng lượng có dạng vortex,

những vortex tĩnh bị lượng tử hóa và một vortex với chỉ số topo được xem

như vortex chồng chất lên nhau tại điểm gốc tọa độ. Điều thú vị là năng lượng tĩnh của những vortex bị rẽ nhánh khi cường độ nguồn ngoài tăng. Sự tồn tại các nghiệm sóng đối với trường Yang-Mills với nguồn ngoài liên quan đến vấn đề động lực học của lý thuyết Yang-Mills, như sự hỗn loạn và tính khả tích. Một số tác giả đã xác nhận rằng không gian pha bao quanh các nghiệm tĩnh với trường Yang-Mills không có nguồn ngoài là một miền có tính ngẫu nhiên, nhưng việc chứa các trường Higgs có thể loại bỏ tính ngẫu nhiên này (xem tài liệu tham khảo [55]). Những nghiệm này có thể coi là một ví dụ minh họa một chuỗi vortex nó đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu vật liệu mới [56, 57, 58, 59], trong vật lý hạt và vũ trụ học.

Chương 3

3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG

TRƯỜNG CHUẨN

Khi nghiên cứu về nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov ta đã biết được

rằng đây là nghiệm của các phương trình mô tả hệ gồm trường gauge

tương tác với tam tuyến Higgs. ’t Hooft đã chứng minh rằng một hạt thử

Yang-Mills tích điện tương tác với một thế vector Abel sẽ chuyển động một

cách chính xác như một hạt tích điện trong trường monopole. Một câu hỏi

thú vị được đặt ra là, hạt mang spin đồng vị sẽ chuyển động như thế nào

trong trường Yang-Mills?

Bằng phương pháp suy rộng phương trình mô tả hạt mang điện chuyển

động trong trường trường điện từ của điện động lực học cổ điển, năm 1970,

Wong [60] đã xây dựng được bức tranh mô tả các hạt mang spin đồng vị

tương tác với hạt thử Yang-Mills thông qua trường Yang-Mills cổ điển. Theo

đó, sự khác nhau về vật lý của những thế gauge được thể hiện qua chuyển

động của hạt thử trong trường gauge mà năng lượng bó sóng của một trường

vật chất đã lượng tử hóa và cư xử như một trong trường gauge. Chuyển động

của hạt có khối lượng này có thể được tham số hóa một cách bất biến bởi

thời gian riêng của nó, với vị trí của hạt trong không-thời gian cho bởi . Khi đó, một hạt mang một spin đồng vị cổ điển chuyển động trong trường gauge sẽ tuân theo phương trình Wong. Một số kết quả nghiên

cứu của chúng tôi được trình bày trong chương này thuộc về bài báo được

công bố [II, V].

3.1 Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong

Phương trình Wong là những phương trình chuyển động trong cơ học tương đối tính của một hạt với bậc tự do màu hoặc bậc tự do đối xứng nội tại chuyển động trong trường phi Abel. Đầu tiên Wong xây dựng các phương trình trường lượng tử, sau đó suy ra các phương trình mong muốn bằng cách lấy giới hạn gần đúng cổ điển. Toán tử tensor năng lượng ứng suất của lý thuyết trường lượng tử tuân theo

và toán tử dòng spin đồng vị những điều kiện

(3.1)

(3.2)

Ta có thể thu được phương trình chuyển động cổ điển đối với những trạng thái định xứ của bó sóng lượng tử từ việc xét giá trị kỳ vọng của các điều kiện (3.1) và (3.2) như sau:

Ta đồng nhất 4-xung lượng chính tắc của hạt tại thời điểm với giá trị kỳ vọng của 4-xung lượng tổng cộng của trường lượng tử của nó tại thời điểm

(3.3) ∫ 〈 〉

Vị trí không-thời gian của hạt ký hiệu là , với

(3.4)

và đồng nhất với giá trị kỳ vọng của tâm năng lượng của trường lượng tử

(3.5) ∫ 〈 〉

Sử dụng điều kiện (3.1) và lấy tích phân từng phần, ta được

∫ 〈 〉〈 〉 (3.6)

Để đảm bảo một giới hạn cổ điển, hai giá trị kỳ vọng xuất hiện trong tích phân phải định xứ về một vị trí như nhau, vì vậy tích phân của được bỏ qua. Tiếp theo, ta tham số hóa chuyển động bởi thời gian riêng ,

(3.7)

(3.8) với là khối lượng của hạt, ta có

Sử dụng điều kiện (3.1) và định nghĩa (3.3), ta được kết quả của tích phân từng phần là

〈 〉

(3.9) ∫

Giả sử giá trị kỳ vọng của dòng là định xứ tại vị trí của hạt trong một vùng đủ nhỏ khi so sánh với tốc độ biến thiên theo không gian của cường độ trường . Vì thế, có thể tính tại , đưa ra ngoài tích phân ta được

∫ 〈 〉

(3.10)

khối lượng của hạt

(3.11)

phải là hằng số, vì vậy phải triệt tiêu.

Sử dụng (3.10) ta có

∫ 〈 〉

là một tensor tùy ý, phản xứng, một hằng số khối lượng của hạt đòi

(3.12)

Khi hỏi

〉 trực giao với mật độ xung

(3.13) ∫ 〈 〉 ∫ 〈 〉

Điều này sẽ thỏa mãn nếu mật độ dòng 〈 lượng 〈 〉

Spin đồng vị mang bởi hạt được xác định như sau

〉

(3.14) ∫ 〈

vì vậy phương trình (3.13) được viết lại như sau

〉

(3.15) ∫ 〈

Từ đó (3.10) được viết thành

(3.16)

Phương trình (3.16) là phương trình Wong thứ nhất.

Bây giờ ta hãy xét đến phương trình thứ hai từ điều kiện dòng đồng vị

(3.2). Từ phương trình này ta dễ dàng suy ra

〉

(3.17) ∫ 〈

Sử dụng tính định xứ của giá trị kỳ vọng dòng spin đồng vị để có thể được thay thế bởi và sử dụng phương trình (3.15), ta được

(3.18) ( )

Phương trình (3.18) là phương trình Wong thứ hai.

Từ những biến đổi trên ta có thể viết lại hai phương trình Wong (3.16)

và (3.18) dưới dạng tường minh như sau

( ) ̇

(3.19) ̈

( ) ̇

(3.20) ̇

trong đó là vector spin đồng vị cổ điển nó mô tả các bậc tự do nội tại của hạt, là chỉ số spin đồng vị, dấu ̇ ký hiệu đạo hàm theo thời gian riêng.

Chú ý rằng phương trình (3.19) kéo theo ̇ ̇ , đồng nhất với ̇ ̇ ; còn phương trình (3.20) suy ra , để là hằng số chuyển động. Phương trình (3.19) tương tự định luật Lorentz đối với trường gauge phi Abel, chứa một liên kết hiệu dụng phụ thuộc thời gian , tiến động theo phương trình (3.20). Khi liên kết hiệu dụng này thay đổi theo thời gian, chuyển động của hạt trong trường gauge phi Abel có thể rất khác so với hạt tích điện chuyển động trong trường điện từ Abel [61]. Sự khác nhau này được gọi là tính không đơn trị Wu-Yang. Sau đây, ta sẽ lấy một ví dụ cụ thể minh họa cho điều này.

Trước hết, ta hãy chỉ ra đây việc phân loại thế vector, rồi từ đó chọn một trường hợp cụ thể để xét chuyển động của hạt nhằm minh họa cho tính không đơn trị nêu trên.

Trường gauge không đổi và đều đối với nhóm : Các trường

gauge đối với nhóm là những trường gauge phi Abel. Ta định nghĩa trường gauge không đổi và đều đối với lý thuyết phi Abel có dạng tổng quát của thế và cường độ trường như sau:

(3.21)

Theo đó, một trường gauge phi Abel là không đổi và đều nếu ở đó tồn tại

một ma trận unita liên hệ các thế và cường độ trường giữa hai điểm

bất kỳ bởi các phép biến đổi gauge

(3.22) ,

Phân loại thế vector: Từ tensor cường độ trường (2.2) và hàm Lagrange

của trường gauge là

(3.23)

Đối với trường gauge đều, Lagrangian có thể được biểu diễn dưới dạng

ba giá trị riêng của các ma trận

(3.24)

Phép biến đổi gauge không đổi hàm chéo hóa

(3.25)

Do đó,

∑ (3.26)

Như vậy, các thành phần spin đồng vị khác nhau của thế vector là các vector trực giao trong không thời gian. Điều này dẫn đến việc không thể có nhiều hơn một trong những vector này theo kiểu thời gian. Nghĩa là, với metric ( ) không thể có nhiều hơn một trong những giá trị riêng có thể dương. Do đó, ta có thể phân loại thế theo hạng của ma trận Y và số giá trị riêng dương .

(i) có số hạng không, , là trường tầm thường;

(ii) có số hạng một, , trường hợp này không có

đóng góp gì vào Lagrangian, ;

(iii) có số hạng hai, .

là các vector trực giao, chúng có module là Gọi ̂ ̂ ̂ lần lượt là các vector đơn vị của không gian trực giao theo các trục ; là một tham số tùy ý. Khi đó có hai khả năng:

Từ (3.25), ta thấy rằng các thành phần thế vector

( ̂√ )

(√ ) được cho bởi công thức

(a) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là . Các thành phần của trường

(3.27)

Do đó, thành phần của trường không bị triệt tiêu là

√

(3.28)

( ̂√ )

( ̂√ ) bị triệt tiêu là

√

(b) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là ( ̂ ). Các thành phần không

√

triệt tiêu và trường hợp này nó sẽ trở thành trường với

(3.29)

Với , vector từ trường không đổi.

(iv) có số hạng 3, . Có hai khả năng:

(a) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là

( ̂√ ). Các

( ̂√ )

(√ ) không bị triệt tiêu là

√

thành phần

√

(3.30)

Trường có hai thành phần điện và một thành phần từ;

( ̂√ )

( ̂√ ) không bị triệt tiêu là

√

(b) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là ( ̂√ ). Các thành phần

√

(3.31)

Trường chỉ có các thành phần từ.

Bây giờ, ta xét chuyển động của hạt, chẳng hạn trong trường điện không không triệt tiêu, còn tất cả các thành đổi với một thành phần triệt tiêu (trường hợp Y có hạng hai). Trường hợp này có phần khác của thể được mô tả theo hai cách không tương đương: (i) Bởi các thế Abel, tuyến trong trường hợp tính với các thành phần không triệt tiêu

không triệt tiêu; (ii) bởi các thế Abel này chỉ có một thành phần

và

với

không đổi với hai thành phần không triệt tiêu là

cho ta ̈ ̈ và ̇

Đối với thế Abel, phương trình (3.20) cho thấy ̇ nghĩa là không đổi và quay xung quanh trục thứ ba này, phương trình (3.19) , dẫn đến xung lượng cơ học tăng một cách tuyến tính theo thời gian. Nói cách khác, hạt chuyển động với gia tốc không đổi trong điện trường Maxwell không đổi.

Đối với các thế phi Abel không đổi, từ phương trình (3.20) ta có

Do đó, cả ba thành phần spin đồng vị phải thay đổi theo thời gian theo phương trình (3.20) nhưng trong một phạm vi nhất định. Vì dao động, phương trình (3.19) cho ta biết rằng dấu của lực tác dụng lên hạt thay đổi

, nghĩa là không đổi trong quá trình chuyển động của hạt.

nên xung lượng cơ học ̇ bị ràng buộc, nghĩa là không thể thay đổi một cách tuyến tính theo thời gian.

Như vậy, cùng một cường độ trường nhưng được sinh ra bởi hai thế

không tương đương sẽ cho chuyển động của hạt rất khác nhau.

3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và

[V]

Trong mục 3.1 ở trên ta đã biết rằng phương trình mô tả tương tác của

hạt màu trong trường gauge đối với hạt có các bậc tự do nội tại là phương trình Wong (3.19) và (3.20). Nhắc lại rằng, vế phải của (3.19) là sự khái quát hóa lực Lorentz trong trường điện từ hay nói cách khác đó là định luật Lorentz đối với các trường phi Abel chứa thành phần phụ thuộc thời

gian . Tức tương tác của hạt mang tích màu với trường gauge thông qua vector , nó mô tả các bậc tự do nội tại của hạt. Như vậy bức tranh trường gauge trong vật lý hạt cơ bản đã khá hoàn hảo, song vẫn thiếu vắng tương tác hấp dẫn. Trong mục này chúng tôi xem xét để tìm cách mở rộng phương trình mô tả hạt chuyển động trong trường gauge Lorentz. Khi đó, nó được coi như phương trình Wong tổng quát.

Trường gauge Yang-Mills và trường hấp dẫn có thể được biểu diễn qua một trường duy nhất bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ được tham số hóa với một cấu trúc nhóm có tính đối xứng không thời gian nào đó [62, 63]. Hình thức luận tổng quát cho vấn đề chuyển động của hạt trong trường gauge qua ngôn ngữ bó thớ được mô tả như sau [64, 65]: Ta ký hiệu nguyên

lý bó thớ là trong không gian Minkowski là một cấu trúc nhóm và

ánh xạ là một phép chiếu. Quỹ đạo của một hạt ;

là phép tham số hóa cho tham số . Mỗi trạng thái của hạt

được xác định bởi ̇ . Do đó, mỗi điểm trong không gian của một hạt màu được xác định bởi các “tọa độ”: ( )

, trong đó ( là một tập mở của ), và , ở đây . Do đó ̇ ̇ ̇ , ̇ ̇ . Như vậy ta có cách mô tả động lực học của hạt màu trong trường gauge tương ứng với hạt trong đối xứng nội tại. Để chỉ vị trí của hạt trong không gian người ta dùng { } còn biến { } mô tả các bậc tự do nội tại trong đối xứng nội tại của hạt.

Tương tác của hạt với trường gauge được liên kết qua trên tập mà

trong đại số Lie của nhóm nó có giá trị ( : Dấu gạch dưới các ký hiệu dành cho các đại lượng nhận giá trị trong đại số Lie)

(3.32)

(3.33) trong đó

là trên tập , ánh xạ phủ lên tập và là biểu diễn phó của nhóm trong , của hàm là những thế gauge được xác định bởi hằng số tương tác gauge.

Trong hình thức luận bó thớ, tác dụng của một hạt màu tương đối tính thỏa mãn bất biến Poincare và bất biến gauge, được cho bởi công thức có dạng sau [64]:

(3.34) ∫ ̇

trong đó, Lagrangian của hạt là

(3.35) ̇ ( )

với ̇ √ ̇ √ ̇ là một hàm tùy ý, và biến với giá trị trong đại số Lie của nhóm Lorentz , tức của nó là

(3.36) ̇ ( ̇ ) ̇

trong (3.36) là những đại lượng lấy giá trị trong đại số Lie, ̇ là

biến nội tại của hạt, đóng vai trò vận tốc nội tại của hạt.

Bây giờ ta hãy áp dụng hình thức luận tổng quát này cho nhóm gauge

Lorentz trong ngôn ngữ nhóm bó thớ và thay vì sử dụng các giá

trị trong đại số Lie của trong Lagrangian (3.35) và (3.36) ta sẽ sử

dụng đại số cơ bản bởi việc sử dụng phép tham số hóa đối với nhóm Lorentz.

Nhóm Lorentz là tập hợp các phép biến đổi của các tọa độ không - thời gian, nhóm này có 6 tham số. Các tham số này có thể được đưa vào trong một vector tham số phức Như vậy, ta có thể tham số hóa nhóm Lorentz bằng các vector phức ba chiều [66, 67]. Sự tham số hóa vector phức được thực hiện như sau

(3.37)

ở đây, là các ma trận

(3.38) ) (

là ma trận đối ngẫu với vector ba chiều với các yếu tố . Quy tắc kết hợp tham số đối với các tham số vector phức được cho bởi

(3.39) 〈 〉 [ ]

Sự tham số hóa (3.37) có tính chất tuyến tính

(3.40) 〈 〉

trong đó

(3.41) ] [ ( )

và

(3.42) 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉

Theo cách tham số hóa (3.37), phép biến đổi Lorentz vô cùng bé có dạng

là các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz, chúng tuân theo các

(3.43)

ở đây hệ thức giao hoán sau

]

[

(3.44)

Trong sự tham số hóa này, các hệ thức giao hoán đối với các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz được cho bởi các công thức (3.44). Để thuận tiện, ̅ và khi đó (3.43) và (3.44)

ta thay các vi tử phản Hermit này bằng các vi tử Hermit ; ̅ được viết lại như sau

(3.45) ̅

(3.46) [ ]

trong đó là hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz

(3.47) { ̅ ̅ ̅

Dựa trên các toán tử thỏa mãn phương trình (3.46) ta có thể viết các thế

và tensor cường độ trường của trường gauge Lorentz như sau [66, 68]:

}

(3.48) { ̅

(3.49)

các thành phần của cường độ trường trong (3.49) là

}

(3.50)

̅ ̅ ̅ ̅

{ ̅ ̅ ̅

Cùng với cách sử dụng ký hiệu này, những thành phần trong các số hạng

của phương trình (3.36) có dạng

(3.51) ( ) ̇

Trong sự tham số hóa (3.37), phép tính nhóm trong (3.51) được

xác định bởi phương trình sau [66]:

(3.52)

trong đó là một cụm gồm hai ma trận của phép quay các thông số không gian

(3.53) ( )

và ma trận nghịch đảo của

(3.54)

Từ (3.51) và (3.52) ta có thể xác định được thành phần có dạng

(3.55) ( ̇ ̇ ) ̇

và hàm Lagrangian (3.35) trong đại số Lie với biến sẽ có dạng

(3.56) ̇ ( ̇ ̇ )

được coi như hàm của các tọa độ suy rộng và vận tốc tuyệt đối của hạt.

Phương trình Euler-Lagrange đối với trường hợp này có dạng

(

(3.57)

) ̇ ) ( ̇ {

Từ (3.55) và (3.56) ta có thể viết đạo hàm của Lagrange theo các thông

số nhóm và ̇ trong phương trình (3.57)-(b) như sau

̇ (3.58) ̇ ̇ ̇ ̇

trong đó ta đặt

(3.59)

và thực tế trong biểu thức của chỉ có phụ thuộc vào thông số nhóm.

Với sự tham số hóa thông số nhóm (3.37), biểu thức của có dạng sau

}. Dạng tường minh của trong đó là hàm ma trận của { được sử dụng từ tài liệu [66]. Từ các phương trình (3.58)-(3.60) ta rút ra được phương trình sau

(3.60) ̇ ̇

(3.61) ̇ ̇

và

(3.62)

Từ giá trị của trong (3.59) và (3.62), ta đồng nhất chúng với moment nội tại. Bởi vì ma trận đường chéo của trong (3.53) và từ định nghĩa (3.59) } mà ta thấy rằng là những thành phần của một 3-vector phức { ̅ nó đóng vai trò tương tự như một vector isospin (thực) trong phương trình Wong [60].

Bây giờ ta hãy tính toán thành phần đạo hàm của Lagrangian theo biến

(3.63) ̇

Đối với giá trị của trong , ta có phương trình nhóm như sau

( ) ( )

(3.64) { [ ]}

trong đó ta đặt . Giao hoán tử trong (3.64) tính toán như sau

[ ] [ ] [ ] (3.65)

Từ (3.64) và (3.65) ta suy ra đạo hàm của thành phần trong (3.63),

(3.66) { }

Thay (3.66) vào (3.63) và sử dụng định nghĩa (3.59) của , và nhớ rằng trong biểu thức của chỉ có phụ thuộc vào thông số nhóm, ta thu được

(3.67) { }

Các phương trình (3.61) và (3.67) cho phép ta biến đổi (3.57)-(b) thành dạng

̇ ̇ { } (3.68)

Ta sẽ chỉ ra rằng những số hạng giữa ở vế trái của (3.68) có thể bỏ qua. Thật vậy, từ phương trình nhóm sau:

̇ ̇ ̇( )

(3.69) [ ]

Do đó,

(3.70) [ ]

suy ra

Vì vậy, phương trình (3.57)-(b) được biến đổi thành dạng sau

(3.71) ̇ ̇

Bây giờ ta tiếp tục xét đến phương trình (3.57)-(a). Đối với Lagrangian

(3.56), những thành phần của xung lượng ở vế trái của (3.57)-(a) là

(3.72) ̇ ̇ ̇

trong đó ta đặt

(3.73)

đại lượng là những thành phần của xung lượng nội tại được xác định bằng biểu thức (3.59).

Giá trị của được xác định bởi (3.73) là một tích phân chuyển động.

Điều này có thể thấy được từ những phương trình sau

̇ ( ( ) )

[ ( )]

trong đó ta đã dùng tính chất (3.54) của ma trận . Ta gán cho là khối với khối lượng của hạt.

Phương trình (3.57)-(a) trở thành

( ) ( ) ̇ ̇ ̇

từ đó, dẫn đến

(3.74) ( ) ̇ ̇ ̇

trong đó có biểu thức như sau

( ) . (3.75)

Tensor có thể đồng nhất với cường độ trường gauge với các thành phần như sau

(3.76) } { ̅

trong đó

. (3.78)

(3.77) ( ) ,

) ̅ ̅ ̅ ̅

( ̅

Do đó, các phương trình Euler-Lagrange (3.57) cho hệ hạt và trường gauge đã được biến đổi thành các phương trình (3.71) và (3.74). Giá trị của các số hạng phức trong ba chiều của hệ này được viết lại như sau

( ) ̇ ̇ ̇ (3.79)

̇ ̇ ̇ ̇

các phương trình này được coi như phương trình Wong suy rộng, trong đó vế

phải của (3.79)-(a), ký hiệu là số hạng liên hợp phức của số hạng đầu

tiên và các chỉ số lấy các giá trị . Cũng chú ý thêm rằng, mặc dù

ta đã thêm vào trường gauge phức và vector isospin phức, nhưng vế phải của

(3.79)-(a) là đại lượng thực. Như vậy với cấu hình trường gauge đã đưa ra thì

chuyển động của hạt ở trường ngoài này đã hoàn toàn được xác định.

3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường

hấp dẫn

Ta đã biết rằng lý thuyết gauge Yang-Mills đã mô tả hoàn hảo các tương

tác điện từ, yếu và mạnh. Còn tương tác hấp dẫn được mô tả bởi thuyết

tương đối tổng quát của Einstein với nghiệm nổi tiếng Schwarzschild có ý

nghĩa vật lý là “Lỗ đen”. Trong xu hướng đi xây dựng một lý thuyết để

thống nhất các tương tác, đã có nhiều mô hình vật lý được nghiên cứu chẳng

hạn như lý thuyết dây “string”…. Trong phạm vi luận án này, chúng tôi tìm

cách mô tả tương tác hấp dẫn bằng lý thuyết gauge, coi như đây là cách tiếp

cận Yang-Mills cho trường hấp dẫn bằng cách xét sự bất biến gauge đối với

nhóm Lorentz và phương trình mô tả chuyển động của hạt là phương trình

Wong suy rộng.

Nhắc lại, trong mô hình tương tác của trường gauge với một tam

tuyến vô hướng không khối lượng. Lagrangian của hệ được cho bởi

(3.80)

trong đó

(3.81)

và

(3.82)

Selington đã tìm được nghiệm chính xác tựa Schwarzschild

(Schwarzschild-like) cho trường hợp này vào năm 1995 [69] bằng cách sử

dụng các ansatz sau

[ ] (3.83)

trong đó

(3.84)

là những hằng số, với và thỏa mãn , hằng số tùy ý và nó xác định tính kỳ dị của trường. Chú ý rằng không có thứ nguyên,

còn có thứ nguyên (1/độ dài). Từ (3.83) và (3.84) ta thấy rằng cả trường gauge và trường vô hướng có thể trở nên vô cùng tại bán kính .

Trong trường hợp thuần gauge, chẳng hạn khi không có trường vô

hướng, suy ra , thì sẽ dẫn tới các nghiệm sau

(3.85)

Nếu chỉ xét trong giới hạn lý thuyết Yang-Mills thì nghiệm này

có vẻ bất thường vì nó xuất hiện nghiệm thế gauge phức. Nhưng ở đây ta sẽ

xét vấn đề theo con đường khác, từ một trường gauge phức đối với nhóm

, ta có thể xây dựng một thế gauge đối với nhóm [70] (và

cũng là đối với nhóm ) [71]. Theo đó, ta chuyển nghiệm với thế

gauge phức được cho bởi (3.83) và (3.85) thành một nguồn của trường gauge

Lorentz tĩnh. Cường độ “điện trường” tương ứng là

(3.86) [ ]

, do đó

dấu trong (3.86) tương ứng với dấu trong (3.85). Từ trường được tính từ công thức

(3.87)

nó biểu thị tính tự đối ngẫu của nghiệm trường gauge.

Chương 4 tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường gauge được xác định bởi các thế và cường độ trường như trong các phương trình (3.83), (3.85)-(3.87).

3.4 Kết luận chương 3

Chương này chúng tôi đã nghiên cứu về cách mô tả chuyển động của hạt

màu trong trường chuẩn và trường gauge Lorentz. Nó đem đến một bức tranh khá tổng quát về vật lý hạt cơ bản đó là chuyển động của hạt cổ điển trong trường Yang-Mills (kể cả hạt mang điện trong trường điện từ cổ điển) được mô tả bởi phương trình Wong, coi tương tác của hạt tích màu với trường gauge thông qua vector isospin mô tả các bậc tự do nội tại của hạt. Không chỉ dừng lại ở đó, chương này còn chỉ cho ta thấy rằng lý thuyết gauge Yang-Mills có thể là ứng viên cho sự thống nhất các tương tác. Đó là mở rộng nhóm đối xứng cho trường gauge sang nhóm đối xứng không-thời

gian của nhóm đối xứng Lorentz bằng cách tham số hóa vector đối với nhóm Lorentz và phức hóa vector này, đồng thời sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ để từ đó xây dựng phương trình mô tả chuyển động của hạt trong trường gauge Lorentz được coi như sự mở rộng phương trình Wong cho

trường chuẩn (cũng là ). Điều đặc biệt là trường gauge Lorentz này có thể coi như trường hấp dẫn (vấn đề này ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn ở chương sau trong mục: Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills).

Chương 4

4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG

CHUẨN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu chuyển động của hạt trong cấu

hình trường gauge Lorentz bằng cách dựa vào phương trình Wong tổng quát.

Từ đó tìm hiểu động lực học về chuyển động của hạt trong trường này.

Nghiên cứu chi tiết thế hiệu dụng và quỹ đạo chuyển động của hạt trong

trường đồng thời so sánh với thế hiệu dụng của trường hấp dẫn Newton và

thuyết tương đối rộng của Einstein. Các kết quả nghiên cứu của chúng tôi

được trình bày trong chương này đã được công bố trong các bài báo [II, V]

4.1 Hạt trong trường Wu-Yang

Việc biết được chuyển động của hạt trong một số cấu hình trường đơn

giản cho ta cơ sở vật lý về nghiệm của những bài toán phức tạp. Điều này

đúng cho cả điện động lực học cổ điển và động lực học cổ điển của một hạt

màu (hoặc spin đồng vị) trong những trường ngoài phi Abel. Ta đã biết rằng

phương trình mô tả chuyển động của một hạt màu trong trường Yang-Mills

là phương trình Wong

(4.1) ̇

được cho bởi (2.2) nó xác định

và trường tensor

(4.2) ̇

trong đó thế vector một trường màu ngoài, mà hạt màu có khối lượng chuyển động trong đó,

, với các biến động lực như bán kính 4-vector , vận tốc bốn chiều

và tích màu được xác định bởi vector trong không gian màu; là thời gian riêng của hạt; dấu “ ̇ ” trong các phương trình (4.1), (4.2) chỉ việc lấy đạo hàm theo thông số này. Phương trình (4.2) có thể coi như “sự bảo toàn ∫ ( ) của hiệp biến” [72] của dòng màu hạt. Phương trình (4.1) có dạng hoàn toàn tương tự với phương trình trong điện động lực cổ điển, mặc dù sự có mặt của các bậc tự do màu có thể ảnh hưởng đến thuộc tính chuyển động của hạt.

Khi khảo sát bài toán chuyển động của hạt trong trường thì cấu hình trường coi như đã cho trước. Các trường cho trước này được lấy từ các nghiệm riêng của các phương trình chuyển động. Sau đây ta xét bài toán chuyển động của hạt trong trong cấu hình trường là một trong những nghiệm riêng như vậy, đó là trường Wu-Yang (hay các thế Wu-Yang)

(4.3) [ ]

trong đó là vector bán bính đơn vị, . Hàm và

phải thỏa mãn phương trình chuyển động của trường.

Viết lại phương trình chuyển động, phương trình Wong (4.1) và (4.2)

trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm

(4.4) ( ) √

(4.5) ( ) √

]

(4.6) ̇ [

dấu chấm ký hiệu việc lấy đạo hàm theo thời gian phòng thí nghiệm, cường độ điện trường và từ trường cảm ứng trong (4.4) và (4.5) được xác định bằng các hệ thức sau

(4.7)

(4.8)

Từ (4.6) và (4.7) ta suy ra

]

(4.9) [

So sánh (4.9) với (4.5), ta có

)

]

( (4.10) [ √

Vì thế, chuyển động của hạt màu trong thế màu là không phụ thuộc

tường minh vào thời gian và chúng ta có định luật bảo toàn năng lượng

là thế năng.

(4.11) √

Trong đó số hạng

Từ (4.3) với giả sử khi đó (4.7) và (4.8) trở thành

)

(4.12) [( ]

(4.13) [ ]

và lúc đó, tích của trường vector màu trong phương trình chuyển động (4.4) có thể được viết lại là

(4.14) {( ) [ ]}

(4.15) [ ]} {

Tiến động của vector với cấu hình trường (4.3) được mô tả như sau

(4.16) ̇ [ ]

Bài toán đặt ra là tìm “Lực” ở vế phải của (4.4) phụ thuộc tường minh

vào vector màu và thỏa mãn phương trình (4.14) và (4.15). Điều này có thể

tiến hành bằng cách tìm định luật bảo toàn moment xung lượng.

Nhân (4.4) với và sử dụng (4.14), (4.15) ta thu được

̇ ̇ [

(4.17)

̇ ]

trong đó ̇ , và là mô men xung lượng quỹ đạo √ .

Từ ̇ ̇ , ta thu được từ (4.16) hệ thức sau

(4.18) ̇

Từ (4.18), ta rút gọn (4.17) thành

(4.19) ( ) [ ]

Đưa vào vector , chúng ta có thể viết định luật bảo toàn đối với

moment xung lượng tổng cộng thành dạng:

(4.20)

Chúng ta đã thu được phương trình (4.20) đối với chuyển động của hạt

màu trong một thế tùy ý có dạng (4.3) với hàm không phụ thuộc tường

minh vào thời gian. Chú ý rằng đối với một hạt spin đồng vị trong trường

monopole phi Abel ( ), định luật bảo toàn (4.20) đối với momen xung

lượng tổng cộng cũng đã tìm thấy. Từ (4.20) ta có thể kết luận rằng

và do đó có thể viết (4.20) lại thành

(4.21)

cho phép biểu diễn vector màu theo tọa độ và vận tốc của hạt. Lực tác dụng lên hạt màu có thể biểu diễn dựa vào (4.14), (4.15) và (4.21) như sau

(4.22)

(4.23) ( )

(4.24) ) (

(4.25)

phương trình (4.24) và (4.25) chứa khối lượng tương đối tính

(4.26) √

Chúng ta có thể miêu tả điện trường hiệu dụng (4.23) như gradient của thế và định luật bảo toàn năng lượng có dạng

(4.27)

Đối với nghiệm của phương trình chuyển động, phép lấy tích phân chuyển động cho ta hệ thức

(4.28)

Như vậy bài toán chuyển động của một tích màu trong một trường màu được

xác định bởi thế vector (4.3) và bằng những trường (4.12) và (4.13) đã rút

gọn thành bài toán chuyển động của hạt dưới tác dụng của lực (4.21), nghĩa

là rút gọn thành bài toán chuyển động của điện tích đơn vị trong trường điện

từ hiệu dụng được cho bởi (4.23) và (4.24) với giả thuyết là lực thêm vào có

dạng . Bằng sự thêm vào (4.22)-(4.25) chúng ta có hai tích phân

chuyển động (4.27) và (4.28). Nếu thì không có trường sắc điện

động lực học và cũng không có trường điện từ hiệu dụng. Trong khi đó, nếu và mặc dù không có trường sắc điện động chúng ta vẫn

thì có điện từ hiệu dụng.

Việc tìm quy luật chuyển động của hạt, có thể tiến hành bằng cách xác

định tiến trình của vector màu trong (4.21). Chẳng hạn sau đây, chúng ta xét

trường hợp trường sắc từ dạng điểm, , với hàm tùy ý, trong

trường hợp này, cường độ trường màu (4.12) và (4.13) là

(4.29) ( )

(4.30)

Đối với , cấu hình trường (4.29) và (4.30) tương ứng với đơn cực sắc từ "thuần" và ứng với một dyon. Có thể thấy từ (4.18), cho , chúng ta có , và (4.20) thành

(4.31)

khi đó . Vì thế, định luật bảo toàn momen xung lượng tổng cộng cho phép kết luận rằng hạt chuyển động trên

một bề mặt nón có trục và hợp với trục một góc , với . Từ (4.4), (4.14) và (4.15), chúng ta tìm ra biểu thức của lực là

[( ) ]

và chúng ta có thể xem chuyển động của hạt màu như chuyển động của một hạt tích điện với điện tích trong sự chồng chập của trường

(của một monopole) và điện trường trung tâm . Khi

điện trường hiệu dụng không có mặt. Và chuyển động của hạt trong một đơn

sắc từ "thuần" có thể được mô tả như chuyển động của một hạt mang điện

trong trường monopole. Nếu thì chuyển động riêng rẽ của hạt màu

phức tạp hơn.

Tiếp theo, chúng ta hãy khảo sát bán kính quỹ đạo chuyển động của hạt. Từ phương trình ̇ bảo toàn, chúng ta có thể sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, xác định bán kính chuyển động. Trong phép gần đúng phi tương đối tính

đối với ̇ , chúng ta có:

(4.32)

∫ √ ( )

(4.33)

Do vậy, bán kính chuyển động trong cấu hình trường (4.29) và(4.30) là chuyển động một chiều trong thế (4.33). Nếu thế này đạt mức tối thiểu tại thì có thể có chuyển động tròn đều với , đó là phần bên trong của mặt nón đã mô tả ở trên và một mặt cầu bán kính .

Tóm lại, trong phần này chúng ta đã xem xét chuyển động của một hạt thử màu trong trường ngoài phi Abel được xác định bởi thế vector Wu-Yang

(4.3) và trường (4.12), (4.13) trong trường gauge của nhóm . Từ hệ

thức của lực phụ thuộc tường minh vào vector màu, chúng ta đã rút gọn thành bài toán chuyển động của một hạt tích điện trong một trường điện từ hiệu dụng.

 Trước hết, nó phù hợp với tổng momen xung lượng là tích phân của

chuyển động và là một đặc trưng chuyển động của tích màu;

 Thứ hai, thế phải phụ thuộc góc. Chú ý rằng sự vắng mặt của trường sức điện không phải là hoàn toàn có nghĩa là không có từ trường hiệu dụng.

Những phương trình (4.22)-(4.25) cho ta hệ thức về lực tác dụng lên hạt. Điện trường hiệu dụng là gradient của thế . Có hai trường hợp cần chú ý với các thế là:

Hàm và xác định cấu hình trường của những trường ngoài, vì

vậy chúng phải là những nghiệm của bài toán chuyển động. Cần lưu ý là đối

với cấu hình trường , chúng ta đã chỉ ra rằng hạt chuyển động trên

một mặt nón, đồng thời chúng ta cũng đã tìm thấy bán kính chuyển động

(4.32), (4.33) và chứng minh về tính xác định của chuyển động.

4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường

soliton BPS

4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft

Với bài toán chuyển động của hạt trong trường gauge ’t Hooft, chúng ta nghiên cứu chuyển động cổ điển của hạt thử Yang-Mills trong trường ngoài được cho bởi nghiệm monopole của ’t Hooft. Chúng ta sẽ nghiên cứu xem không gian chuyển động của hạt với những khoảng cách lớn ra sao? và kết quả đó đối với khoảng cách bé như thế nào ?

’t Hooft đã chứng minh rằng hệ trường gauge kết hợp với tam tuyến vô hướng có monopole giống những nghiệm tĩnh cổ điển [73, 74]. Mật độ Lagrangian được cho bởi biểu thức

(4.34) ( )

trong đó

(4.35)

( )

với ansatz tổng quát (ansatz của Wu-Yang [20], Julia-Zee [21])

̂ [ ]

(4.36) ̂

trong đó và là những hàm xác định bán kính . Để thảo luận ý nghĩa vật lý của nghiệm (4.36) ’t Hooft đã định nghĩa một tensor bất biến gauge như sau

)

) ( ̂

(4.37) ( ̂ ̂ ̂ ̂

trong đó ̂ ̂

Đối với trường hợp , thay (4.36) vào (4.37), ta thấy chỉ số hạng thứ

hai của (4.37) nhận được đóng góp. Đóng góp này không phụ thuộc vào

̂ . Vì vậy, một hạt thử tích điện kết hợp với một thế vector Abel tương ứng với sẽ chuyển động như một hạt màu trong trường đơn cực thuần nhất.

và có dạng monopole

Khi nghiên cứu lý thuyết Yang-Mills, một câu hỏi đặt ra là hạt thử Yang-

Mills sẽ chuyển động như thế nào trong hệ trường (4.36), xem như đó là

trường ngoài cổ điển?

Trong công trình của Wong [60], bằng cách lấy trung bình cổ điển phương trình Dirac của hạt tương tác với trường gauge, Wong đã tìm được hệ phương trình sau

(4.38) ̈

(4.39) ̇

ở đây dấu chấm ̇ ký hiệu phép lấy đạo hàm theo thời gian riêng.

Để đơn giản ở đây ta sẽ xét trường hợp chuyển động phi tương đối tính với là vector spin đồng vị cổ điển. Những trường trong vế phải của (4.38)

và (4.39) được suy ra từ (4.36) (với ). Chúng ta sẽ kiểm tra kết quả

chuyển động của hạt trong không gian và xác định trong không gian chuyển

động có hay không một hạt thử chuyển động theo một cách giống như một

điện tích trong trường monopole thuần nhất?

Trước hết, xét khai triển của vector spin đồng vị theo thời gian xuất hiện trong (4.38) (chú ý, từ (4.39) ta có tích là hằng số theo thời gian) xác

định tại mỗi điểm dọc theo quỹ đạo của hạt, tập hợp các vector trực giao

Từ đó ta có thể viết dưới dạng

(4.40) ̂ ̂ ̂

Các hệ số thỏa mãn hệ thức

(4.41)

Thay (4.40) và (4.36) vào (4.39) ta tìm được ba phương trình của

như sau

(4.42) ̇

(4.43) ̇ ̇

(4.44) ̇ ̇

trong đó và

Thay (4.40) và (4.36) vào (4.38), ta được phương trình chuyển động như

̇ ] { [

} (4.45)

[ ̂ ̂ ̂ ]

trong phương trình (4.45), dấu ( ) ký hiệu phép lấy đạo hàm theo .

Bây giờ, ta hãy xét những phương trình trên với lớn: cũng xét với

trường hợp thì không phải là hàm mũ theo , vì thế ta có thể đặt . Khi đó phương trình (4.42) trở thành và (4.45) trở thành

(4.46) ̇

Phương trình (4.46) trùng với phương trình chuyển động của điện tích chuyển động trong một trường monopole thuần nhất.

Tiếp theo, ta hãy xét những phương trình chuyển động trên với tùy ý

(và ). Dĩ nhiên là phương trình chuyển động không phải là phương trình (4.46). Ta thử giả sử rằng phương trình chuyển động vẫn là (4.46) và ta sẽ chỉ ra điều này không đúng. Thật vậy, để vế phải của (4.45) không chứa

những số hạng không trực giao với , ta phải có .

Từ (4.43) ta có , và từ (4.44) ta có . Thay

vào (4.45) ta có phương trình chuyển động

(4.47) ̇

kết quả này mâu thuẫn với giả thuyết. Do đó với những khoảng cách bé, chuyển động của hạt sẽ khác với những khoảng cách lớn.

Với kết quả trên đây, chúng ta có thể khẳng định rằng hạt thử Yang-

Mills chuyển động theo cách giống như một điện tích trong trường đơn cực ở

những khoảng cách lớn; còn tại những khoảng cách bé, chuyển động của

chúng là khác nhau. Điều này tương tự với quan niệm của Wu-Yang về một

thế gauge mà có thể phù hợp với nhiều trường vật lý khác nhau với điều kiện

từ cực (net manegtic-pole) là xác định.

4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS

Tương tác giữa một hạt và một trường vô hướng khi cả hai có một không

gian nội tại phi Abel vẫn là vấn để mở đang cần làm sáng tỏ. Một trong

những nghiên cứu đầu tiên của mình. Wong đề xuất một biểu thức suy ra từ

phương trình Dirac, đối với tương tác cổ điển giữa một hạt với nhóm đối

xứng nội tại và một trường vector là trường gauge Yang-Mills. Tuy

nhiên, không xét đến trường vô hướng. Fehér đã mở rộng phương pháp của

Wong cho trường hợp năm chiều với mong muốn tìm được sự tồn tại của

một trường vô hướng, nhưng Azizi [75] đã chỉ ra rằng sự mở rộng này

dường như không khả thi. Trong nghiên cứu của mình, Azizi dùng chiều

động lực thứ năm để mở rộng lại phương pháp của Wong, mặc dù biểu thức

mà ông thu được với tứ lực phù hợp trong giới hạn Newton nhưng nó không

phù hợp với hệ thống tương đối tính vì nó không trực giao với 4-vector của

hạt. Vì thế, Fernandes và Letelier [76] đã tìm ra cách thống nhất để đưa ra

một biểu thức của 4-lực mô tả tương tác của một hạt với một trường vô

hướng, từ đó khảo sát sự tiến động theo thời gian của vector nội tại bằng

cách xét sự mở rộng về bản chất của phương trình Wong. Sau đây, chúng ta

tìm hiểu phương trình chuyển của hạt màu trong trường soliton trong hệ

quan sát viên và khảo sát giới hạn Newton của chúng. Sau đó, đưa ra biểu

thức của cấu hình trường soliton của mẫu phi tuyến .

Để xây dựng tứ lực, trước hết chúng ta phải quan tâm đến tính chất

tương đối tính cơ bản, đó là tứ gia tốc (gia tốc bốn chiều – 4-gia tốc) phải trực giao với tứ vận tốc, khi . Thêm vào đó, nếu hoán vị liên kết tối thiểu giữa vector nội tại của một hạt và một trường vô hướng thì ta có thể

kết luận rằng có hai dạng cơ bản của tứ lực:

(i) Dạng thứ nhất thu được bằng cách sử dụng tensor phản xứng hoàn

toàn , đó là

(4.48) ̂

trong đó là hằng số liên kết, là trường vô hướng (tương tự trong ), là vector nội tại của hạt, là đường trắc địa của hạt với là thời gian riêng của hạt;

(ii) Dạng thứ hai của tứ lực được viết theo tensor thông thường để chỉ

vector bất kỳ trong không gian con trực giao với tứ vận tốc

(4.49) ) (

trong đó là metric Minkowski.

Như vậy, bài toán khảo sát chuyển động của hạt màu trong trường

soliton của mẫu phi tuyến , tức là tương tác của hạt vô hướng với

trường cũng tương tự như bài toán khảo sát chuyển động của hạt

màu tương đối tính trong trường gauge và . Điểm khác là

phương trình chuyển động phải được xây dựng từ sự tiến động của vector

nội tại. Xét không gian nội tại của hạt là nhóm đối xứng (trong trường

, ta có:

hợp đó thì gọi là vector spin đồng vị của hạt – vector Isospin) và thay thế

bằng

trường vector

(4.50)

Xét trong hệ quan sát viên có liên hệ với hệ hạt bằng đồng nhất thức

. Giả sử rằng trường không phụ thuộc vào thời gian một cách tường minh, ta có hệ thức sau

̇ ̇ (4.51)

̇ ( )

trong đó dấu chấm ký hiệu việc lấy đạo hàm theo thời gian.

Với hệ động lực (4.51) có tính chất mà ta cần chú ý là, nếu đại lượng thứ

ba không phụ thuộc vào một hệ tọa độ cố định thì sẽ không có sự gia tốc

theo hướng tương ứng. Chúng ta cũng cần chú ý rằng ở đây module của spin

đồng vị là hằng số chuyển động

(4.52) ( )

trong đó là tổng động năng tương đối tính của hạt. Rõ ràng, nguồn

gốc của sự tiêu tán trong hệ liên quan đến spin đồng vị, mà nói chung là biến

thiên theo thời gian. Tuy nhiên, nếu có một trường hợp đặc biệt mà trong đó

nó là hằng số theo thời gian thì năng lượng được bảo toàn. Ta thấy rằng

trường hợp đó chỉ có thể xảy ra nếu spin đồng vị là tương đương với đạo

hàm theo thời gian của trường trong không gian nội tại. Để thấy điều này, ta viết lại phương trình (4.50) trong hệ quan sát viên, ̇ , từ đó ta có kết

luận rằng, nếu vector nội tại là hằng số thì đạo hàm theo thời gian của trường

và chính trường đó sau một khoảng thời gian cố định phải định hướng theo

một hướng giống nhau trong không gian nội tại. Vì thế, nếu xét cấu hình loại

soliton của trường thì điều kiện này phải được thỏa mãn bởi những soliton có

tích topo bằng không.

Một nhận xét quan trọng khi phân tích (4.49) và (4.50) là những trường

vô hướng với Lagrangian bất biến gauge (như những trường Higgs trong

Lagrangian Yang-Mills), có thể làm cho biểu thức bất biến bằng cách thay

đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến. Sau đây, ta áp dụng hình thức luận

về tứ lực và phương trình chuyển động đã nêu trên vào việc phân tích những

đặc tính cơ bản của hệ. Ta chọn một trường vô hướng nhân với đối xứng phi

gauge bằng cách lấy một cấu hình trường soliton của mẫu phi tuyến mà

Lagrangian mô tả mẫu ba chiều này được cho bởi

(4.53)

tuân theo hệ thức .

Phương trình chuyển động thu được thỏa mãn nghiệm tĩnh, tức là cấu

hình trường tĩnh với năng lượng hằng số và định xứ , trong đó là

tích topo của nó. Trong hệ tọa độ cực, những soliton này được cho bởi

(4.54)

Xét sự chuyển động của hạt màu trong sự hiện diện của trường tĩnh ở

trên với tích topo đơn vị . Áp dụng cấu hình trường này với phương

trình (4.50), ta có hệ động lực học sau:

)

̇ ̇

]

̇ ( [

)

√

]

̇ ( [

√

(4.55)

]

]}

̇ { [ √

[ √

̇ { [

]

]}

√

[ √

. Vì thế sự lựa chọn này kéo theo,

Trong đó , có từ sự chọn lựa hệ tọa độ Cartes ( ) để mô tả

không gian nội tại, √

không gian nội tại là một mặt cầu unita được chia thành hai bán cầu, đó là

bán cầu với và . Từ kết luận này, ta có quyền hy vọng rằng hệ

tọa độ cầu sẽ mô tả không gian này tốt hơn tọa độ Cartesian. Tuy nhiên,

những phương trình suy ra từ sự thay thế hệ tọa độ cầu biểu thị sự phân kỳ

trong những cực của mặt cầu nội tại và rất khó khăn khi tính số.

4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận

Yang-Mills

4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V]

Thế các cường độ trường và các thế gauge (3.83), (3.85)-(3.87) vào

phương trình (3.79)-(a) ta được phương trình sau

(4.56) ] [ √

trong đó

]

] [ [

với , vector là phần thực và phần ảo của isospin phức ; là những thành phần lực mà phụ thuộc tường minh vào vị trí và vận tốc tương ứng.

Các phương trình (3.79)-(a) và (3.79)-(b) được viết theo các thành phần

và như sau

( ) [ ]

(4.57)

( ) [ ]

Biểu thức của năng lượng và moment xung lượng là tích phân chuyển

động, được suy ra từ các phương trình chuyển động (4.56), (4.57)

(4.58) √

(4.59) ( )

trong đó

(4.60) √

là momet quỹ đạo của hạt. Từ những biểu thức này ta nhận thấy rằng

và cũng là những tích phân chuyển động.

Những phương trình (4.56) và (4.57) cho thấy hạt chuyển động phẳng.

Chúng nhận các điều kiện sau: xung lượng ban đầu vuông góc với mặt

phẳng spin xác định bởi vị trí đầu và vận tốc đầu , vector cũng trong mặt phẳng này. Vector liên quan đến sự bảo toàn moment xung lượng toàn

phần trong phương trình (4.59). Từ (4.59) ta có . Sử

dụng hệ tọa độ mà sự bảo toàn moment xung lượng dọc theo hướng trục

ta thấy tại điểm ban đầu cả và đều định hướng dọc theo trục này và chuyển động trong mặt phẳng . Phương trình (4.57)-(a) chỉ ra rằng ̇ trực giao với mặt phẳng của chuyển động, có nghĩa là ̇ và hướng của

không thay đổi. Vì là hằng số của chuyển động, đối với trường hợp này

được bảo toàn và vuông góc với mặt phẳng chuyển động. Cũng bởi và

là những hằng số của chuyển động, nên vector isospin thứ hai là

cũng bảo toàn trong mặt phẳng chuyển động. Với hai vector Isospin đó ta

thấy rằng vector lực (số hạng ở vế phải của (4.56)) không có thành phần theo

trục , tức là chuyển động chính chỉ nằm trong mặt phẳng .

Ta xét chuyển động của hạt trong giới hạn phi tương đối tính trong một

vùng ở xa điểm kỳ dị , dẫn đến các phương trình (4.56), (4.57) trở thành dạng sau

̇ (4.61)

trong đó ta đặt , vector tuân theo công thức , vector nằm trong mặt phẳng và vuông góc với . Trong tọa độ cực , phương trình (4.61) trở thành hệ sau

̈ ̇ ̇

(4.62)

̈ ̇ ̇ ̇

Khử ̇ trong (4.62) ta rút gọn thành một phương trình cho một chiều

(4.63) ̈

với

]

[( (4.64) [ ) ]

Trong phương trình này việc chọn dấu được lấy từ các phương trình (3.85), (3.86). Nếu ta lấy dấu thì đối với khoảng cách bất kỳ ngoài vùng kỳ dị , ta có khi đó tất cả các số hạng trong (4.64) đều tương ứng với lực đẩy và như thế sẽ không có khả năng về giới

hạn của quỹ đạo. Còn trường hợp lấy dấu trừ cho phép cả khả năng cả

chuyển động giới hạn và vô hạn, nó phụ thuộc vào điều kiện ban đầu đối với

chuyển động của hạt. Do đó, ta sẽ loại bỏ trường hợp ứng với dấu trong

phương trình (4.64). Phương trình này xác định một thế hiệu dụng như là

một hàm của và phụ thuộc vào các tham số: (1) là tham số nghiệm của

trường gauge; (2) là những moment quỹ đạo của bậc tự do "nội tại" của hạt; (3) là tổng moment quỹ đạo toàn phần bảo toàn của hạt, như là

điều kiện ban đầu của chuyển động.

Khảo sát thế hiệu dụng (4.64) cho ta biết thông tin định tính về chuyển

động của hạt. Xét đạo hàm của theo và coi đạo hàm đó như một biểu

thức bậc hai của ,

[ ][ ] (4.65)

√

trong đó, ta đã đặt , . Ta thấy rằng đối với

thì cả trong (4.65) là những hàm thực và (tương ứng

với dấu trước căn thức) có giá trị âm. Do đó, chỉ triệt tiêu nếu thừa

số [ ] trong (4.65) triệt tiêu. Vì tăng một cách đơn điệu và sẽ

tiệm cận đến (√ ) khi , thế nên phương trình sẽ có

nghiệm đơn trị nếu √ và nằm trong khoảng

√ . Tình huống này được minh họa trong hình 4.1, ở đó chúng tôi

vẽ cho trường hợp và lấy một thí dụ cho thỏa mãn

√ . Đường cắt đường cong tại điểm ,

khoảng cách mà tại đó thế hiệu dụng đạt cực tiểu.

Hình 4.1. Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo

Với cùng các giá trị của các thông số này chúng tôi vẽ đường biểu diễn thế

hiệu dụng theo trong hình 4.2. Từ đó chúng tôi đã nhận ra sự khác nhau

một cách định lượng những kiểu quỹ đạo chuyển động của hạt.

Hình 4.2. Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo

Nếu năng lượng tổng cộng của hạt lớn hơn ( trên hình 4.2) chuyển động của hạt sẽ tiến ra vô cực, trái lại nếu năng lượng nằm trong

khoảng ( trên hình 4.2) chuyển động sẽ bị giam giữ. Hình vẽ 4.2 giống như thế hiệu dụng trong trường lực hấp dẫn.

Để có sự so sánh giữa các thế hiệu dụng (4.64) với các thế tương ứng

trong lý thuyết hấp dẫn của Newton và Einstein ta sử dụng hệ đơn vị và các

ký hiệu theo như trong sách tài liệu [77]. Theo đó , khối lượng,

năng lượng và moment quỹ đạo chuyển thành độ dài. Dưới đây chúng tôi

minh họa việc so sánh thế hiệu dụng của hạt trong không thời gian

Schwarzschild của thuyết tương đối rộng (GR):

(4.66) [( ) ( )]

trong giới hạn Newton

(4.67)

thông số được chọn là . Trong hình 4.3 chúng tôi vẽ đường cong

của thế Yang-Mills tựa Schwarzschild theo phương trình (4.64), các thông số

cho hạt thử đối với thế này được chọn là với , ,

, , , đơn vị trên trục hoành là .

Hình 4.3. Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng quát của Einstein theo

Hình vẽ cho thấy hầu hết phần đuôi của đoạn tiệm cận của các thế là như

nhau. Ngoài ra còn có điều thú vị là, với vùng , chẳng hạn ,

thì sự khác nhau của các thế là đáng kể, song tại khoảng cách thì

các thế hoàn toàn tương tự.

Đường (chấm đứt) cho thế hiệu dụng của hạt trong không thời gian

Schwarzschild; đường nét đứt cho thế trong giới hạn Newton; đường nét liền

cho thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild.

4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V]

Để tìm quỹ đạo chuyển động của hạt, ta phải tìm nghiệm của phương

trình (4.62). Các thông số của phương trình (4.62) được coi là các thông số tự do của lý thuyết mà nó được đưa vào để làm tăng tính tổng quát

cho mô hình lý thuyết. Cho các giá trị khác nhau và sử dụng chương trình Mathematica 7.0 với gói phần mềm đối với phương pháp Runge-Kutta cùng với điều kiện ban đầu ̇ . Chúng tôi đã vẽ được quỹ đạo chuyển động của hạt (không đưa ra hình

vẽ ở đây), nó có dạng tựa như tiến động của các hành tinh của định luật

Kepler và gọi quỹ đạo này là Kepler-like.

4.4 Kết luận chương 4

Những kết quả thu được ở chương này cho thấy đối xứng gauge Lorentz được coi như cách mô tả tương tác hấp dẫn kiểu Yang-Mills nó đóng góp cho việc nghiên cứu và phát triển những lý thuyết để thống nhất các tương tác cơ bản trong tự nhiên. Trong chương này chúng tôi đã tìm ra cách mở rộng đối xứng địa phương unitary cho đối xứng không-thời gian một cách khả dĩ. Phương pháp của chúng tôi là dựa trên phương trình Wong tương tự như các điện tích chuyển động trong trường điện từ.

Đối với lý thuyết này, trường hấp dẫn đã được coi như trường gauge Lorentz, một thành phần của trường đó là phần tự đối ngẫu liên quan tới spin [78, 79, 80, 81, 82, 83]. Cách tiếp cận của chúng tôi như đã trình bày có thể đưa đến gần đúng bài toán chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn ở miền

gần điểm kỳ dị, còn ở ngoài miền này thì nó đã khá phù hợp với các lý thuyết hấp dẫn riêng phần khác. Nhiệm vụ tiếp theo để nghiên cứu lý thuyết hấp dẫn theo hướng này coi như vấn đề còn để ngỏ, đó là phải tìm

cách để tiến gần đến điểm kỳ dị. Chúng tôi coi đây là hướng tiếp cận bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn bên cạnh nhiều hướng nghiên cứu khác. Tuy nhiên, để có được kết luận đầy đủ về hướng nghiên cứu này thì cần phải có nhiều nghiên cứu tỉ mỉ và công phu hơn.

KẾT LUẬN

1. Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải số để

tìm nghiệm của hệ các phương trình phi tuyến được rút ra từ tương tác

của trường Yang-Mills với nguồn ngoài bằng cách sử dụng tính chất

đối xứng của hệ vật lý và các ansatz tìm nghiệm. Chương trình cho

phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm

được, đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi Abel

cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Qua đó

chúng tôi tìm thấy một số tính chất vật lý của hệ tương tác này, đó là

những thay đổi về sự phân bố không gian của: Mật độ năng lượng

trường; của trường Yang-Mills; của điện từ trường phi Abel, theo chỉ

số topo. Một trong những kết quả thú vị đó là hiện tượng che chắn tích

và rẽ nhánh năng lượng của trường khi chỉ số topo cao và tích màu có

giá trị lớn.

Trong luận án này, chúng tôi đã trình bày những nghiên cứu lý thuyết về các mô hình trường chứa nghiệm soliton của lý thuyết phi tuyến Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs bằng cách xây dựng các chương trình tìm nghiệm, mô phỏng kết quả và tìm hiểu ý nghĩa vật lý của nghiệm. Để từ đó làm sáng tỏ một số vấn đề động lực học của tương tác của các hạt cơ bản. Đồng thời mở rộng phạm vi nghiên cứu về tương tác gauge cho nhóm đối xứng không thời gian (nhóm Lorentz) như là một cách tiếp cận với bài toán hạt trong trường hấp dẫn. Các kết quả cụ thể thu được như sau:

chúng tôi đã mở rộng số nguồn ngoài lên và đặc biệt chúng

tôi đã khảo sát trường hợp cho các điểm nguồn ngoài nằm ở tất cả các

nút lưới trên một trục với cùng một giá trị. Lúc đó nguồn ngoài có thể

coi gần đúng như sợi dây vô hạn. Kết quả nghiệm mà chúng tôi thu

được đúng như dự đoán, đó là đặc tính của trường chỉ còn phụ thuộc

vào khoảng cách tới "dây". Chúng tôi đã mô phỏng các kết quả này và

100

2. Từ chương trình giải số đối với bài toán nguồn ngoài là hai tích màu,

tìm hiểu sự thay đổi về phân bố không gian của mật độ năng lượng, của

trường Yang-Mills vào chỉ số topo. Ngoài ra, chúng tôi đã tìm được lớp

nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng dây này. Với

trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ nhánh của

đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu, còn nghiệm phụ thuộc

thời gian có dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền tải

năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng

của nguồn không đổi theo thời gian. Những kết quả nghiên cứu này

của chúng tôi đã được đăng trong các bài báo [III, IV, VI].

3. Từ việc nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn nói

trên, chúng tôi đã mở rộng mô hình cho tương tác hấp dẫn bằng cách

sử dụng các phương pháp mô tả tương tác từ các nhóm unita sang

nhóm đối xứng không-thời gian - nhóm Lorentz, kết hợp với việc dùng

ngôn ngữ toán học bó thớ, phép tham số hóa vector, phức hóa vector.

Chúng tôi đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp

hạt chuyển động trong trường Yang-Mills của các nhóm và

4. Chúng tôi cũng đã tìm được nghiệm của hệ phương trình Wong mở

rộng trong trường hợp phi tương đối tính cho chuyển động của hạt màu

trong thế hiệu dụng Yang-Mills (khi không có trường Higgs) có dạng

tương tự thế Schwarzschild trong lý thuyết hấp dẫn, qua đó tìm được

cách mô tả tương tác của hạt trong trường hấp dẫn và thế hiệu dụng

cho tương tác của hạt. So sánh kết quả với những cách mô tả hấp dẫn

đã biết, đó là lý thuyết hấp dẫn của Newton, lý thuyết tương đối tổng

quát của Einstein. Kết quả khá thú vị là quỹ đạo của hạt có dạng tựa

Kepler, còn thế hiệu dụng có dạng tựa Schwarzschild. Tại vùng không

xa điểm kỳ dị lắm đã tìm thấy sự thống nhất các tương tác trong tự nhiên, còn trong miền có sự khác nhau giữa các thế và chuyển động của hạt màu bị giam giữ trong miền này.

Mặc dù để mô tả các tương tác đơn lẻ, đã có những lý thuyết riêng

phần khá chính xác, song việc tìm một lý thuyết đầy đủ để mô tả tất cả

các tương tác vẫn là bài toán thách thức các nhà vật lý. Vì vậy với cách

101

tiếp cận tương tác hấp dẫn kiểu Yang-Mills của chúng tôi trong phần

này, chúng tôi hy vọng có đóng góp vào hướng nghiên cứu của bài toán

lớn đó. Những kết quả nghiên cứu này của chúng tôi đã được đăng

trong các bài báo [II, V] và báo cáo tại Hội nghị Vật lý Quốc tế [I].

102

Danh mục các công trình khoa học

của tác giả có liên quan đến luận án

[I] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2009) A Test for the Local Intrinsic Lorentz Symmetry. The 5th International Conference on Flavor Physics, Hanoi, September 24-30, 2009.

[II] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2010), On the Yang-Mills gravity. Communications in Physics, Vol 20, №3, (2010) pp. 271.

[III] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha and Nguyen Quoc Hoan (2010) Solutions for Yang-Mills field with singular source terms and higher topological indices. Proc. Natl. Conf. Theor. Phys., 35 (2010), pp. 80-85.

[IV] Nguyen Quoc Hoan (2012) Properties of Yang-Mills Field with Axially Symmetric External Color Charge Sources. Proc. Natl. Conf. Theor. Phys. 37 (2012), pp. 187-192.

[V] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2012) A Test for the Local Intrinsic Lorentz Symmetry. Journal of Physical Science and Application. 2 (8) (2012), pp. 328-334.

[VI] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha and Nguyen Quoc Hoan (2013) Vortex Solutions of the Yang-Mills Field Equations with External Sources. Journal of Physical Science and Application. 4 (1) (2014), pp. 50-59.

103

Tài liệu tham khảo

[1] C. N. Yang and R. L. Mills (1954) Conservation of isotopic spin and

isotopic gauge invariance. Phys. Rev. 96, pp. 191-195.

[2] S. L. Glashow (1961) Partial-Symmetries of weak interaction. Nucl. Phys.

22, pp. 579-588.

[3] A. Abada, A. J. R. Figueiredo, J. C. Romao and A. M. Teixeira (2011) Probing the supersymmetric type III seesaw: LFV at low-energies and at the LHC. arXiv: 1104.3962 [hep-ph].

[4] J. Abdallah (2005), Photon events with missing energy in collision at √ Eur. Phys. J. C 38, 395 [arXiv: hep- ex/0406019].

[5] F. Englert, R. Brout (1964) Broken Symmetry and the Mass of Gauge

Vector Mesons. Phys. Rev. Lett. 13, pp. 321-323.

[6] P. W. Higgs (1964), Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons.

Phys. Rev. Lett. 13, pp. 508-509.

[7] G. S. Guralnic, C. R. Hagen and T. W. B. Kibble (1964) Global Conservation Laws and Massless Particles. Phys. Rev. Lett. 13, pp. 585- 587.

[8] F. J. Hasert (1973) Search for elastic muon-neutrion electron scattering.

Phys. Lett. B 46, pp. 212.

[9] F. J. Hasert (1973) Observation of neutrino-like intractions without muon or electron in the gargameelle neutrino experiment. Phys. Lett. B 46, pp. 138.

[10] F. J. Hasert (1974) Observation of neutrino-like intractions without muon or electron in the Gargamelle neutrino experiment. Nucl. Phys. B 73, pp. 1.

[11] E. B. Bogomolny (1976) The stability of classical solutions. Sov. J. Nucl.

Phys. 24, pp. 499-454.

[12] A. A. Abrikosov (1957) On the magnetic Properties of Superconductors of

the Second Group. Sov. Phys. JETP. 5, pp. 1174.

104

[13] W. J. Zakrzewski (1989) Low Dimentional Sigma Models. Bristol,

Institute of Physics Publishing.

[14] A. M. Polyakov (1974) Particle spectrum in quantum field theory. JETP

Lett. 20, pp. 194-195.

[15] G. ’t Hooft (1974) Magnetic monopoles in unified gauge theories. Nucl.

Phys. B 79, pp. 276-284.

[16] T. H. R. Skyrme (1961) A nonlinear field theory. Proc. R. Soc. Lond.

A260, pp.127.

[17] T. H. R. Skyrme (1962) A unified field theory of mesons and baryons.

Nucl. Phys. 31, pp. 556.

[18] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz and Y. S. Tyupkin (1975) Pseudoparticle solution of the Yang-Mills equations. Phys. Lett. B 59, pp. 85-88.

[19] S. Coleman (1977) Non-Abelian plane waves. Phys. Lett. 70B, pp. 59-60.

[20] T. T. Wu and C. N. Yang (1968) Properties of Matter Under Unusual Conditions. edited by H. Mark and S. Fernbach (Intercience, New York)

[21] B. Julia and A. Zee (1975) Poles with both magnetic and electric charges

in non-Abelian gauge theory. Phys. Rev. D 11, pp. 2227-2232.

[22] J. P. Hsu and E. Mac (1977) Symmetry and exact dyon solutions for

classical Yang–Mills field equations. J. Math. Phys. 18, pp. 100.

[23] A. M. Polyakov (1975) Isomeric states of quantum fields. Sov. Phys. JETP

41, pp. 988-995.

fields and

the

infrared

[24] A. M. Polyakov (1975) Compact gauge catastrophe, Phys. Lett. B 59, pp. 82-84.

[25] E. B. Bogomolny and M. S. Marinov (1976), Calculation of the monopole

mass in gauge theory. Sov. J. Nucl. Phys. 23, pp. 355.

[26] M. K. Prasad and C. M. Sommerfield (1975) Exact Classical Solution for the 't Hooft Monopole and the Julia-Zee Dyon. Phys. Rev. Lett. 35, p 760- 762.

[27] B. Kleihaus, J. Kunz (1999) Monopole-antimonopole solution of the SU(2)

Yang-Mills-Higgs model. Phys. Rev. D 61, 025003.

105

[28] J. Jersák (1995) Numerical simulations in quantum field theory of elementary particles. Journal of Computational and Applied Mathematics. 63, pp. 49-56.

[29] F. Karsch and E. Laermann (1993) Numerical simulations in particle

physics. Rep. Prog. Phys. 56. Printed in the UK, pp. 1347-1395.

[30] D. F. Litim, M. C. Mastaler, F. Synatschke-Czerwonka, and A. Wipf (2011) Critical behavior of supersymmetric O(N) models in the large-N limit. Phys. Rev. D 84, 125009.

[31] C. Wozar, A. Wipf (2011) Supersymmetry Breaking in Low Dimensional

Models. Annals Phys. 327, arXiv:1107. 3324 [hep-lat].

[32] H. Gies, F. Synatschke, A. Wipf (2009) Supersymmetry breaking as a

quantum phase transition Phys. Rev. D80: 101701.

[33] V. De Alfaro, S. Fubini, G. Furlan (1976) A new classical solution of the

Yang-Mills field equations. Phys. Lett. B 65, pp. 163-166.

[34] C. Rebbi, P. Rossi (1980) Multimonopole solutions in the Prasad-

Sommerfield limit. Phys. Rev. D 22, pp. 2010-2017.

[35] B. Kleihaus, J. Kunz, Y. Shnir (2003) Monopoles, antimonopoles, and

vortex rings. Phys. Rev. D 68 (2003) 101701(R).

[36] R. Jackiw, L. Jacobs and C. Rebbi (1979) Static Yang-Mills field with

sources. Phys. Rev. D 20, pp. 474-486.

[37] M. P. Isidro Filho, A. K. Kerman and H. D. Trottire (1989) Topologically nontrivial solutions to Yang-Mills equations with axisymmetric external sources. Phys. Rev. D 40, pp. 4142-4150.

[38] P. Sikivie and N. Weiss (1978) Screening Solutions to Classical Yang- Mills Theory. Phys. Rev. Lett. 40, pp. 1411-1413; P. Sikivie and N. Weiss (1978) Classical Yang-Mills theory in the presence of external sources. Phys. Rev. D 18, pp. 3809.

[39] J. E. Mandula (1977) Total charge screening. Phys. Lett. B 69, pp. 495-

498.

[40] C. H. Oh (1993) Analytic solutions of the Yang-Mills field equations with external sources of higher topological indices. Phys. Rev. D 47, pp. 1652- 1655.

106

[41] H. B. Nielsen and P. Olesen (1973) Vortex-line models for dual string.

Nucl. Phys. B 61, pp. 45-61.

[42] S. Mandelstam (1976) Vortices and quark confinement in non-Abelian

gauge theories. Phys. Rept. 23, pp. 245-349.

[43] A. J. Niemi, K. Palo and S. Virtanen (2000) (Meta) stable closed vortices in 3+1 dimensional gauge theories with an extended Higgs sector. Phys. Rev. D 61, 085020.

[44] A. Achucarro and T. Vachaspati (2000) Semilocal and electroweak strings.

Phys. Rept. 327, pp. 347-426.

[45] P. Forgács, S. Reuilon and M. S. Volkov (2006) Superconducting Vortices in Semilocal Models. Phys. Rev. Lett. 96, 041601; P. Forgács, S. Reuilon and M. S. Volkov (2006) Twisted superconducting semilocal strings. Nucl. Phys. B 751, pp. 390-418.

[46] H. J. de Vega and F. A. Schaposnik (1986) Vortices and electrically charged vortices in non-Abelian gauge theories. Phys. Rev. D 34, pp. 3206-3213.

[47] F. A. Schaposnik and P. Suranyi (2000) New vortex solution in SU(3)

gauge-Higgs theory. Phys. Rev. D 62, 125002.

[48] M. Shifman and A. Yung (2007) Supersymmetric solitons. Rev. Mod.

Phys. 79, pp. 1139-1196.

[49] J. E. Mandula (1976) Classical Yang-Mills potential. Phys. Rev. D 14, pp.

3497-3507.

[50] H. J. de Vega and F. A. Schaposnik (1976) Classical vortex solution of the

Abelian Higgs model. Phys. Rev. D 14, pp. 1100.

[51] E. J. Weinberg (1979) Multivortex solution of the Ginzburg-Landau

equations. Phys. Rev. D 19, pp. 3008-3012.

[52] C. H. Oh and R. R. Parwani (1987) Bifurcation in the Yang-Mills field

equations with static sources. Phys. Rev. D. 36, pp. 2527-2531.

[53] E. Rothwell and M. Cloud (2001) Electromagnetics. CRC Press, 2001

Chap. 2.

[54] C. H. Oh, C. H. Lai and R. The (1987) Color radiation in the classical

Yang-Mills theory. Phys. Rev. D. 36, pp. 2527-2531.

107

[55] S. G. Matinyan, E. B. Prokhorenko, and G. K. Savvidy (1986) Stochastic nature of spherically symmetric solutions of the time-dependent Yang- Mills equations, JETP. Lett. 44, pp. 138-141.

[56] M. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek (1998) QCD at finite baryon density: nucleon droplets and color superconductivity, Phys. Lett. B 422, pp. 247-256;

[57] R. Rapp, T. Scha efer, E. V. Shutyak and M. Velkovsky (1998) Diquark Bose Condensates in High Density Matter and Instantons. Phys. Rev. Lett. 81, pp. 53-56.

[58] M. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek (1999) Color-Flavor Locking and Chiral Symmetry Breaking in High Density QCD. Nucl. Phys. B 537, pp. 443-488.

[59] R. Rapp, T. Scha efer, E. V. Shutyak and M. Velkovsky (2000) High-

Density QCD and Instantons. Ann. Phys. (N.Y.) 280, pp. 35-99.

[60] S. K. Wong (1970), Fiels and particle equations for the classical Yang- Mills field and particle with isotopic spin. Nuovo Cim. 65A, pp. 689.

[61] L. S. Brown, W. I. Weinberg (1979) Vacuum polarization in uniform non-

Abelian gauge field. Nucl. Phys, B157, pp. 285-326.

[62] S. Kobayashi, K. Nomizu (1969) Foundations of differential geometry.

Vol. 1, (Ed.) Wiley, NewYork.

[63] M. Daniel, C.M. Viallet (1980) The geometrical settings of gauge theory

of the Yang-Mills type. Rev. Mod. Phys. 52, pp. 175-197.

[64] A. Duriryak (2000) Classical mechanics of Relativistic Particle. Proceeding of Institude of Mathematics of NAS of Ukraine, pp. 473

[65] N. V. Tho (2008) Interaction of imaginary-charge-carrying dyon with

particles. Journal of Mathematical Physics 49 (2008) 062301-1-10.

[66] V. I. Kuvshinov and N. V. Tho (1994) Local vector parameters of group, Cartan forms, and application to theories of gauge and chiral field. Phys. Part. Nucl. 25(3), pp. 253-271.

[67] F. I. Fedorov (1979) Lorentz Group. (Nauka, Moscow 1979); (Editorial

USSR, Moscow, 2003).

108

[68] V. I. Kuvshinov, N. V. Tho (1993) A new method for calculating the Cartan forms and applications to gauge and chiral field theories. J. Math. Phys. A 26 (1993) 631-645.

[69] D. Singleton (1995) Exact Schwarzschild-like solutions for Yang-Mills

theories. Phys. Rev. D 51, pp. 5911-5914.

[70] A. H. Chamseddine (2004) SL(2,C) gravity with complex vierbein and its noncommutative extension. Phys. Rev. D 69 (2004) 024015.

[71] T. T. Wu, C. N. Yang (1976) Static sourceless gauge field. Phys. Rev. D

13, pp. 3233-3236.

[72] A. I. Alekseev and B. A. Arbuzov (1985) Interaction of color

charges. Teoret. Mat. Fiz., 65, pp. 202–211.

[73] R. M. Fernandes, P. S. Letelier (2005) Motion of a particle with Isospin in

the Presence of a Monopole. arXiv: hep-th/0508219, vl.

[74] J. Schechter (1976), Yang-Mills particle in ’t Hooft’s gauge Field. Phys.

Rev. D 14(2), pp. 524-527.

[75] A. Azizi (2002), Planar trajectories in a monopole field. J. Math. Phys.

43, pp. 299

[76] R. M. Fernandes, P. S. Letelier (2004) Motion of coloured particles in

soliton of the O(3) non-linear model. Proceeding of Science.

[77] C. W. Misner, K. S. Thorn, J. A. Wheeler (1973) Gravitation. (Ed.) W. H.

Freedman and Company, San Francisco, pp. 25.

[78] F. W. Held, P. Von de Heyde, D. Kerlick, J. Nester (1976) General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects. Rev. Mod. Phys. 48, pp. 393-416.

[79] A. Ashtekar (1986) New variables for classical and quantum gravity.

Phys. Rev. Lett. 57, 18, pp. 2244-2247.

[80] A. Ashtekar (1987) New Hamiltonian formalism of general relativity.

Phys. Rev. D 36, pp. 1587-1602.

[81] G. ’t Hooft (1991) A chiral alternative to the vierbein fiel in general

relativity. Nucl. Phys. B 357 (1991), pp. 211-221.

109

[82] R. K. Kaul (2006) Gauge theory of gravity and supergravity. Phys. Rev. D

73, (2006) 065027-1-13.

[83] A. H. Chamseddine (2006) Applications of the gauge principle to gravitational interactions. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 03 (2006), pp. 149-176.

110

Luận án Tiến sĩ Vật lý: Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Danh mục các hình vẽ và đồ thị

MỞ ĐẦU

Chương 1

1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE

ABEL VÀ PHI ABEL

1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov

1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee

1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn

1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS)

Chương 2

2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN

NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC

2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm

2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục

2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục

2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục

2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV]

Hình 2.1. Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.2. Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị

2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel

Hình 2.3. Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel

Hình 2.4. Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector ngoài kỳ dị.

2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi

Hình 2.5. Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.6. Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích màu với nguồn ngoài kỳ dị

2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài

2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình

Hình 2.7. Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.8. Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.9. Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.10. Các hàm profile vortex tĩnh và ; Mật độ tích màu và mật độ năng lượng với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.11. Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng vào tổng điện tích phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI]

Chương 3

3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG

TRƯỜNG CHUẨN

Chương 4

4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG

CHUẨN

4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft

4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS

4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V]

Hình 4.1. Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo

Hình 4.2. Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo

Hình 4.3. Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng quát của Einstein theo

4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V]

KẾT LUẬN

Danh mục các công trình khoa học

của tác giả có liên quan đến luận án

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook