TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn 0 như sau:
Dãy số
n
u
có giới hạn 0 khi
n
dần tới dương vô cực nếu
n
u
có thể nhỏ hơn một số dương bé
tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu
lim 0
n
n
u

.
Chú ý: Ngoài kí hiệu
lim 0
n
n
u

, ta cũng sử dụng các kí hiệu sau:
lim 0
n
u
hay
0
n
u
khi
.n 
Từ Hoạt động 1, ta có:
1
lim 0
n
.
Nhận xét: Nếu
n
u
ngày càng gần tới 0 khi
n
ngày càng lớn thì
lim 0
n
u
.
Ví dụ 1. Cho dãy số
n
u
, với
( 1)
n
n
u
n
. Giả sử
h
là số dương bé tuỳ ý cho trước.
a) Tìm số tự nhiên
n
để
n
u h
.
b) Tính
( 1)
lim
n
n
.
Giải
a) Ta có:
( 1) 1
n
n
un n
. Do đó:
1 1
n
u h h n
n h
.
Vậy với các số tự nhiên
n
lớn hơn
1
h
thì
n
u h
.
b) Theo định nghĩa về dãy số có giới hạn 0, ta có: ( 1)
lim 0
n
n
.
Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn như sau:
Dãy số
n
u
có giới hạn hữu hạn là
a
khi
n
dần tới dương vô cực nếu
lim 0
n
n
u a

, kí hiệu
lim
n
n
u a

.
Chú ý: Ngoài kí hiệu
lim
n
n
u a

, ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim
n
u a hay
n
u a khi
n  .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
a)
lim c c
, với
c
là hằng số;
b)
6 1
lim 6
n
n
Giải
a) Do
lim( ) lim0 0c c
nên theo định nghĩa về dãy số có giới hạn hữu hạn, ta có:
lim c c
.
b) Do
6 1 1
lim 6 lim 0
n
n n
nên
6 1
lim 6
n
n
.
2. Một số giới hạn cơ bản
Ta có thể chứng tỏ được các giới hạn sau:
a)
1 1
lim 0;lim 0
k
n n
với
k
là số nguyên dương cho trước;
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
•CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
b)
lim 0;lim 0
k
c c
n n
với
c
là hằng số,
k
là số nguyên dương cho trước;
c) Nếu
| | 1
q
thì
lim 0
n
q
;
d) Dãy số
n
u
với
1
n
u
có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là
e
,
1
lim 1
n
e
n
.
Một giá trị gần đúng của
e
là 2,718281828459045.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng
1
lim 0
2
n
.
Giải
Do
1 1
1
2 2
nên
1
lim 0
2
n
.
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Ta có định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một thương và
của một căn thức như sau:
a) Nếu lim ,lim
n n
u a v b
thì:
lim ;
lim .
lim ;
lim 0, 0 .
n n
n n
n n
n
n
n
u v a b
u v a b
u v a b
uav b
v b
b) Nếu
0
n
u
với mọi
n
và lim
n
u a
thì
0
a
và
lim
n
u a
.
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:
a)
2
1
lim 2
n
;
b)
4 3
lim n
n
;
c)
1 1
lim 5 6
4
n
n
.
Giải
a) 2 2
1 1
lim 2 lim 2 lim 2 0 2
n n
.
b)
4 3 4 3 3
lim lim lim4 lim 4 0 4
n n
n n n n
.
c) 1 1 1 1
lim 5 6 lim 5 lim 6 5 6 30
4 4
n
n
n n
.
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Khám phá kiến thức
Ta nói
n
u
là cấp số nhân lùi vô hạn và
lim
n
S
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó.
Trong trường hợp tổng quát, ta có:
Cấp số nhân vô hạn
1
1 1 1
, , , ,
n
u u q u q
có công bội
q
thoả mãn
| | 1
q
được gọi là cấp số nhân
lùi vô hạn.
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:
2
1
1 1 1
1
u
S u u q u q
q
.
Ví dụ 5. Tính tổng
2 1
1 1 1
1
3 3 3
n
T
Giải
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân
n
u
, có
1
1,
u
1
3
q
nên 2 1
1 1 1 1 3
11
3 3 3 2
1
3
n
T
.
Ví dụ 6. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(3) dưới dạng phân số.
Ta có:
2
3
3 3 3 1
10
0, 3 ... 1
10 3
10 10 1
10
n
.
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
Khám phá kiến thức
Ta thấy
n
u
có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta nói dãy
n
u
có giới hạn

khi
n 
.
Ta có định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực như sau:
- Ta nói dãy số
n
u
có giới hạn

khi
n 
, nếu
n
u
có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể
từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu
lim
n
n
u


hay lim
n
u

hay
n
u

khi
n 
.
- Ta nói dãy số
n
u
có giới hạn

khi
n 
nếu
lim
n
n
u


.
Kí hiệu
lim
n
n
u


hay lim
n
u

hay
n
u

khi
n 
.
Ví dụ 7. Chứng tỏ rằng
2
limn

.
Giải
Xét dãy số
2
n
u n
.
Với
M
là số dương bất kì, ta thấy:
2
n
u M n M n M
.
Vậy với các số tự nhiên
n M
thì
n
u M
. Do đó,
2
limn

.
Nhận xét
-
lim
k
n

với
k
là số nguyên dương cho trước.
- lim
n
q

với
1
q
là số thực cho trước.
- Nếu lim
n
u a
và lim
n
v

(hoặc
lim
n
v

thì
lim 0
n
n
u
v
.
- Nếu
lim , 0
n
u a a
và
lim 0, 0
n n
v v
với mọi
n
thì
lim
n
n
u
v

.
-
lim lim
n n
u u
 
.
Ví dụ 8. Chứng tỏ rằng
lim 2
n
e

.
Giải
Do
1
2
e
nên
lim 2
n
e

.
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1: Dãy số có giới hạn 0
Câu 1. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chứng minh rằng:
a)
lim 0 0
;
b)
1
lim 0
n
.
Câu 2. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho dãy số
n
u
, với
1
2
n
u
n
. Tính
lim 2
n
n
u

.
Câu 3. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chứng minh rằng
lim 0
n
e
.
Câu 4. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chứng minh rằng
4 1
lim 4
n
n
Câu 5. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho hai dãy số
,
n n
u v
với
2
1 2
3 ; 5
n n
u v
n n
. Tính các giới
hạn sau:
a)
lim ,lim
n n
u v
.
b)
lim ,lim ,lim ,lim
n
n n n n n n
n
u
u v u v u v
v
.
Câu 6. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là
0
a.
4
1 .cosn
n
u
n
b.
2
32
1 sin 2 1
n
n
n
c.
1
2 3
n n
d.
2
1 sin n 1
n
n
Câu 7. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là
0
a.
n
u
b.
1 .cos 1
2 1
n
n
n
u
n
c.
2
cos 2 1
5
n
nn
n
u
d.
4
n
u
Câu 8. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là
0
Cho dãy số
n
u
với
3
n
n
n
u
a. Chứng minh rằng:
1
2
3
n
n
u
u
với mọi
n
b. Chứng minh rằng:
2
3
n
n
u
c. Chứng minh dãy số có giới hạn
0
Câu 9. Chứng minh rằng hai dãy số
,
n n
u v
với
2
1 cos
2 1
n
n
u
n
;
2
sin 2
n
n n
v
n n
có giới hạn
0
Câu 10. Chứng minh rằng các dãy số
n
u
sau đây có giới hạn
0
a.
5
3 1
n
nn
u
b.
1 1
1
1
2 3
n
nn n
u
c.
cos
5
n
n
n
u
n n n
d.
sin
1
n
n n
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 11. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là
0
:
2
2
2 2
n
n
n
n
n n
u
n
Câu 12. Chứng minh rằng:
a.
2
lim 2 1 0
n n
b.
lim 1 0
n n
Câu 13. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là
0
:
15
2 9 25
n
n
n n n
u
Dạng 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Câu 14. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
8
lim
n n
n
;
b)
2
4
lim
n
n
.
Câu 15. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính các giới hạn sau:
a)
5 1
lim
2
n
n
;
b)
2
2
6 8 1
lim
5 3
n n
n
c)
2
5 3
lim
6 2
n n
n
;
d)
1
lim 2
3
n
;
e)
3 2
lim
4 3
n n
n
g)
1
2
lim
3
n
n
Câu 16. Cho dãy số
n
v
với
3
1
2
n
v
n
. Bằng định nghĩa hãy chứng minh rằng
lim 2
n
v
.
Câu 17. Chứng minh rằng:
2
lim 5 5
5
n
Câu 18. Chứng minh rằng
6 2
lim 6
5
n
n
Câu 19. Chứng minh:
2
1 2n
lim 2
n 1
.
Câu 20. Tìm các giới hạn sau:
a.
2
1
lim
2
n
n
. b.
3
1
lim
4
n n
n
. c.
3
2
3 2 5
lim
2 5 3
n n
n n
. d.
3
4 2
2
lim
3 1
n
n n
.
Câu 21. Tìm các giới hạn sau:
a.
3 4 5
lim
3 4 5
n n n
n n n
. b.
1 3
lim
4 3
n
n
. c.
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
. d.
1 2
4 6
lim
5 8
n n
n n
.