Phương pháp Logic Mệnh đề
Trong Đại số, có lẽ phần khó khăn nhất với sinh viên chính là Logic mệnh đề
và Không gian vector, Ánh xạ tuyến tính! Trong loạt bài viết này, mình sẽ đề
cập và làm rõ phần Logic mệnh đề để các bạn có cái nhìn tổng quan về Logic
mệnh đề, ứng dụng và phương pháp Logic mệnh đề
Đối với khá nhiều bài toán Logic nhờ cách đặt “ẩn” tương ứng, rồi diễn đạt các
điều kiện được cho trong mỗi bài toán bằng các “biều thức logic”. Sau đó nhờ
các luật của Logic mệnh đề mà suy ra đáp án.
I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LOGIC MỆNH ĐỀ
1.1 ĐỊNH NGHĨA MỆNH ĐỀ, GIÁ TRỊ CỦA MỆNH ĐỀ
Mệnh đề là một câu trọn nghĩa (một khẳng định) mà nội dung của nó phản ánh
đúng (true) hoặc sai (or false) thực tế khác quan.
Mệnh đề đúng: Nếu nội dung của mệnh đề (A) phản ánh đúng thực tế khác
quan, thì nó được gọi là mệnh đề đúng hay mệnh đề nhận giá trị đúng (viết
A=Đ hay A=1)
Mệnh đề sai: Nếu nội dung của mệnh đề (A) phản ánh sai thực tế khác quan,
thì nó được gọi là mệnh đề sai hay mệnh đề nhận giá trị sai (viết A=S hay
A=0)
Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai.
Các biến Đ, S (1,0) được gọi là giá trị chân lý của mệnh đề
Biến mệnh đề: Ký hiệu dùng để chỉ mệnh đề được gọi là biến mệnh đề
1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ
Trên tập các mệnh đề xác định các liên kết logic, được gọ là các phép toán:
Phủ định, Hội, Tuyển, Kéo theo và Tương đương, tương ứng với các cụm từ
liên kết “không”, “và”, “hoặc”, “nếu …, thì….” “khi và chỉ khi….”
Giả sử A, B là các mệnh đề.
a) Phép phủ định
Mệnh đề mà nó đúng khi A sai và nó sai khi A đúng gọi là mệnh đề phù định
ký hiệu hoặc hay
Bảng giá trị: Có thể xem trong Toán cao cấp tập 1
b) Phép hội
Mệnh đề mà chỉ đúng khi cả mệnh đề A và B đều đúng gọi là mệnh đề Hội
(hay hội) của mệnh đề A và B. Ký hiệu hoặc A.B hoặc A&B.
Bảng giá trị: Có thể xem trong Toán cao cấp tập 1
c) Phép tuyển
Mệnh đề mà nó chỉ sai khi cả mệnh đề A và B đều sai được gọi là mệnh đề
tuyển (hay tuyển) của mệnh đề A và B. Ký hiệu hoặc A + B.
Bảng giá trị: Toán cao cấp tập 1
d) Phép kéo theo
Mệnh đề mà nó chỉ sai khi mệnh đề A đúng và mệnh đề B sai được gọi là
mệnh đề A kéo theo B. Ký hiệu:
Bảng giá trị: Toán cao cấp tập 1
e) Phép tương đương
Mệnh đề mà nó chỉ đúng khi mệnh đề A và mệnh đề B nhận cùng một giá trị
được gọi là A tương đương với B. Ký hiệu: hoặc
Bảng giá trị: Toán cao cấp tập 1
1.3 Công thức Logic mệnh đề
1) Định nghĩa
a) Các biến mệnh đề: x, y, z…, X, Y, Z,… được thừa nhận là các công thức
của logic mệnh đề
b) Nếu A, B là công thức của logic mệnh đề thì
là các công thức của Logic mệnh
đề
c) Chỉ các biểu thức được xác định ở mục a) hoặc mục b) mới là công thức của
logic mệnh đề.
2) Giá trị của công thức
3) Công thức hàng đúng, hằng sai và thỏa được
4) Công thức bằng nhau.
Chú ý: Mục 2 – 4 các bạn có thể tự tìm hiểu trong sách Toán cao cấp tập 1
1.4 Phương pháp lập bảng giá trị
1) Phương pháp khảo sát hằng đúng hằng sai, thỏa được của công thức
B1: Lập bảng giá trị (Tìm đọc Toán cao cấp tập 1)
B2: Kết luận
Nếu cột cuối cùng toàn 1 thì A hằng đúng
Nếu cột cuối cùng toàn 0 thì A hằng sai
Nếu cột cuối cùng có ít nhất một số 1 thì A thỏa được
Nếu cột cuối cùng có cả số 1 và 0 thì A thỏa được nhưng không hằng
đúng
2) Phương pháp chứng minh công thức bằng nhau
B1: Lập bảng giá trị (Tìm đọc Toán cao cấp tập 1)
B2: Kết luận
Nếu hai cột cuối cùng hoàn toàn giống nhau thì A = B, trường hợp hai
cột cuối khác nhau thì A khác B.
1.5 Các luật Logic mệnh đề
Một số đóng vai trò như các hằng đẳng thức đáng nhớ, được sử dụng thường
xuyên trong khi biến đổi công thức và giải các bài toán logic đồng thời được
gọi là các quy luật của Logic Mệnh đề.
Sau đây là liệt kê 23 luật Logic mệnh đề quan trọng nhất của logic mệnh đề
(Nhiều hơn hẳn so với Toán cao cấp tập 1 phải không nào )
(Thay kéo theo bằng phủ định và tuyển)
(Phân phối của tuyển đối với hội)
(Phân phối của tuyển đối với hội)
(Luật DeMorgan)
(Luật DeMorgan)
(Thay phép tương đương)
(Luật hấp thụ của hội đối với tuyển)
(Luật hấp thụ của tuyển đối với hội)
(Luật hấp thụ)
(Luật hấp thụ)
(Tính giao hoán của Hội)
(Tính giao hoán của Tuyển)
(Tính chất kết hợp của Hội)
(Tính chất kết hợp của Tuyển)
(Tích lũy đẳng của Hội)
(Tích lũy đẳng của Tuyển)
(A và không A luôn luôn sai)
(A và không A luôn luôn đúng)
(A và hằng sai luôn luôn sai)
(A hay hằng sai luôn là A)
(A và hằng đúng luôn là A)
(A hay hằng đúng luôn hằng đúng)
(Hai lần phủ định của mệnh đề A lại chính là A)
1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
Dựa vào các luật cơ bản người ta có thể biến đổi các công thức của logic mệnh
đề thành các dạng tương đẳng và “đơn giản” hoặc tiện ích hơn. Nhờ đó việc
giải phương trình, hệ phương trình logic, xét tính bằng nhau, tính hằng đúng
của các công thức được thực hiện một cách dễ dàng hơn.
Ví dụ: Chứng minh rằng là hai công thức bằng nhau.
Giải: Đầu tiên sử dụng công thức (1) sau đó dùng (12) và cuối cùng sử dụng
(1)
1.7 MỘT SỐ KHẲNG ĐỊNH
Hội sơ cấp: Hội của các biến mệnh đề hoặc phủ định của chúng được gọi là
Hội sơ cấp
Tuyển sơ cấp: Tuyển của các biến mẹnh đề hoặc phủ định của chúng được gọi
là Tuyển sơ cấp.
Nhờ các luật của logic mệnh đề ta có thể suy ra các khẳng định sau đây.
Khẳng định 1: Một hội sơ cấp hằng sai khi và chỉ khi nó có chứa một biến
mệnh đề nào đó cùng phủ định của biến mệnh đề này.
Khẳng định 2: Một tuyển sơ cấp hằng đúng khi và chỉ khi nó có chứa một biến
mệnh đề nào đó cùng phủ định của biến mệnh đề này.
Giả sử là các công thức của logic mệnh đề khi đó có các khẳng
định sau:
Khẳng định 3: khi và chỉ khi
Khẳng định 4: khi và chỉ khi