intTypePromotion=1

Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Chia sẻ: Nguyễn Tất Thu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

1
1.605
lượt xem
130
download

Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

  1. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số MỤC LỤC MỤC LỤC ..................................................................................................................... 1 LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................ 2 I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT..................................... 3 II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH................................. 28 IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ .... 32 BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP ......................................................................... 32 BÀI TậP ÁP DụNG ..................................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -1-
  2. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số. Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ” nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản thân đúc rút được trong qua trình học tập. Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục : I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số có dạng công thức truy hồi đặc biệt. II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số - tổ hợp . Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho các em học sinh. Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt hơn. Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -2-
  3. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC . 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho với mọi số nguyên n ³ 2 ta có: un = un -1 + d . d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số Định lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n - 1)d (1). Định lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSC (un ) có công sai d. Ta có: n [2u + (n - 1)d ] Sn = (2). 21 1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un +1 = q.un "n Î ¥ * gọi là cấp số nhân công bội q n -1 Định lí 3: Cho CSN (un ) có công bội q. Ta có: un = u1q (3). Định lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSN (un ) có công bội q . Ta có: 1 - qn Sn = u1 (4). 1 -q Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -3-
  4. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi u1 = 1, un = un -1 - 2 "n ³ 2 . Giải: Ta thấy dãy (un ) là một CSC có công sai d = -2 . Áp dụng kết quả (1) ta có: un = 1 - 2(n - 1) = -2n + 3 . Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi u1 = 3, un = 2un -1 "n ³ 2 . Giải: Ta thấy dãy (un ) là một CSN có công bội q = 2 . Ta có: un = 3.2n -1 . Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy (un ) được xác định bởi: u1 = -2, un = 3un -1 - 1 "n ³ 2 . Giải: Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VT. Ta tìm cách làm mất -1 đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện ý đồ này ta đặt un = k .vn + l ; k, l là các hằng số và k ¹ 0 ( ta sẽ chọn k, l sau). 2l - 1 Khi đó, ta có: k .vn + l = 3k .vn -1 + 3l - 1 Û vn = 3vn + . k ìk = 1 2l - 1 1 ï Ta chọn k, l : = 0 Û l = và k bất kì nên ta chọn í 1. k 2 l= ï 2 î ìvn = 3vn -1 ï 5 . Dễ thấy dãy (vn ) là CSN với công bội q = 3 Þ (vn ) : í v1 = - ï 2 î 5.3n -1 1 5 1 Þ vn = v1 .q n -1 = - .3n -1 . Suy ra: un = vn + = - + 2 2 2 2 Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn k = 1 . Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -4-
  5. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x 0 , un = aun -1 + b "n ³ 2 ( a,b ¹ 0 là các hằng số) có CTTQ là: ìu1 + (n - 1)b khi a = 1 ï un = í a n -1 - 1 . n -1 ïu1 .a +b khi a ¹ 1 a -1 î Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định bởi u1 = 2; un +1 = 2un + 3n + 2 . Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây không phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n . Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước cách giải ở trên làm mất 3n + 2 ở VP, ta đặt : un = k .vn + t.n + l ; k , t, l là các hằng số k ¹ 0 . Khi đó ta có: t+3 l -t +2 kvn + 1 + t(n + 1) + l = 2kvn + 2tn + 2l + 3n + 2 Û vn +1 = 2vn + .n + . k k ìt + 3 ìt = -3 =0 ï ï ï Ta chọn k , t, l sao cho: í k Û íl = -1 , ta chọn k = 1 . ïl - t + 2 = 0 ïk ¹ 0 ïk î î ìv = 6 ï Þ vn = 6.2n -1 = 3.2n . Vậy un = vn - 3n - 1 = 3.2n - 3n - 1 . Þ (vn ) : í 1 ïv = 2vn -1 în Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k , nên khi đặt ta có thể chọn k = 1 . ìu = 2 ï Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : í 1 . Tìm CTTQ của dãy (un ) . ïun = un -1 + 2n + 1 î Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì 1-t 2 sau khi đặt ta có : vn +1 = vn + .n + dẫn đến ta không thể làm mất n được. k k Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho dưới dạng sau un - un -1 = 2n + 1 . Từ đây ta có: un = (un - un -1 ) + (un -1 - un - 2 ) + ... + (u2 - u1 ) + u1 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -5-
  6. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ( ) = 2n + 1 + 2(n - 1) + 1 + ... + 2.2 + 1 + 2 = 2 n + n - 1 + ... + 2 + 1 + n - 1 n(n + 1) + n - 1 = n 2 + 2n - 1 . =2 2 Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau: Đặt un = vn + an 2 + bn + c . Khi đó, ta có: vn + an 2 + bn + c = vn -1 + a(n - 1)2 + b(n - 1) + c + 2n + 1 Û vn = vn -1 + 2(1 - a )n + a - b + 1 . ì1 - a = 0 ìa = 1 ï ï , c bất kì nên ta chọn c = 0 . Ûí Ta chọn í a -b +1 = 0 b =2 ï ï î î ìv = -1 ï Khi đó: (vn ) : í 1 Þ vn = vn -1 = vn - 2 = ... = v1 = -1 vn = vn -1 ï î Vậy un = vn + n 2 + 2n = n 2 + 2n - 1 . Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt un = vn + an 2 + bn = vn + n(an + b) Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của ìu = x 0 ï dãy (un ) được xác định bởi: í 1 , trong đó f (n ) là một đa thức bậc k un = a.un -1 + f (n ) ï î theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: * Nếu a = 1 , ta đặt un = vn + n.g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n bậc k , thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g(n ) : ng(n ) - (n - 1)g(n - 1) = f (n ) ta có được () () dãy vn là CSN với công bội q = 1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn suy ra ta có CTTQ của dãy (un ) . * Nếu a ¹ 1 , ta đặt un = vn + h(n ) với h(n ) là một đa thức theo n bậc k . Thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h(n ) : h(n ) - ah(n - 1) = f (n ) ta có được dãy (vn ) là CSN với công bội q = a () từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn . Suy ra ta có CTTQ của dãy (un ) . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -6-
  7. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìu1 = 1 ï Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : í .Tìm CTTQ của dãy (un ) . un = 3un -1 + 2n ; n = 2, 3,... ï î Giải: Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: un = vn + a.2n . Ta có: vn + a.2n = 3(vn -1 + a.2n -1 ) + 2n Û vn = 3vn -1 + 2n (a + 2) Ta chọn a = -2 Þ vn = 3vn -1 = v1.3n -1 = 5.3n -1 Vậy un = 5.3n -1 - 2n + 1 . Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un -1 + b.a n , ta đặt un = x n + y.a n . Khi đó , ta có: x n + y.a n = a.xn -1 + ay.a n -1 + b.a n ba Þ xn = a.x n -1 + éy(a - a ) + ba ù a n -1 . Do đó, nếu a ¹ a , ta chọn y = ë û a -a ba 2 n -1 ba .a n n -1 Þ un = (u1 - )a Þ xn = a.xn -1 Þ x n = x1.a + a -a a -a Trường hợp a = a Þ un - a.un -1 = b.a n Þ un = (un - a.un -1 ) + a(un -1 - un - 2 ) + ... + a n - 2 (u2 - au1 ) + u1.a n -1 Þ un = b(n - 1)a n + u1a n -1 . Vậy ta có kết quả sau. ìu1 = p ï Dạng 3: Cho dãy (un ) : í . Khi đó ta có: un = a.un -1 + b.a n "n ³ 2 ï î · Nếu a = a Þ un = éab(n - 1) + u1 ù a n -1 . ë û ba 2 n -1 ba .a n . · Nếu a ¹ a Þ un = (u1 - )a + a -a a -a Chú ý : Trong trường hợp a = a ta có thể tìm CTTQ của dãy (un ) như sau: Đặt un = x n + y.n.a n . Khi đó ta có: x n + y.n.a n = a.x n -1 + ay(n - 1).a n -1 + b.a n Þ xn = a.xn -1 + (-y + b).a n nên ta chọn y = b Þ xn = x1.a n -1 Þ un = (u1 - ab)a n -1 + bn.a n = éab(n - 1) + u1 ù a n -1 . ë û Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -7-
  8. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìu1 = -2 ï Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í . un = 5un -1 + 2.3n - 6.7n + 12 ; n = 2, 3,... ï î Giải: Đặt un = vn + a.3n + b.7n + c . Khi đó , ta có: vn + a.3n + b.7n + c = 5(vn -1 + a.3n -1 + b.7n -1 + c) + 2.3n - 6.7n + 12 Û vn = 5vn -1 + 3n -1(2a + 6) - 7n -1(2b + 42) + 4c + 12 . ì2a + 6 = 0 ìa = -3 ï ï Ta chọn a, b, c : í2b + 42 = 0 Û íb = -21 . ï4c + 12 = 0 ïc = -3 î î Khi đó: vn = 5vn -1 Þ vn = v1.5n -1 = 157.5n -1 Vậy un = vn - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 = 157.5n -1 - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 . Qua ví dụ trên ta có kết quả sau: ìu1 = p ï Dạng 4: Để tìm CTTQ của dãy số (un ) : í , n n ïun = a.un -1 + b.a + c.b + d ; "n ³ 2 î ( trong đó a,b, c ¹ 0; a , b ¹ 1; a .b ¹ a ) ta làm như sau: · Nếu a = 1 Þ un - un -1 = b.a n + c.b n + d n -2 å (un -i - un -i -1 ) Þ un = u1 + i =0 n -2 n -2 n -2 å (b.a + d ) = u1 + b å a + c å b n - i + d .(n - 1) n -i n -i n -i = u1 + + c.b i =0 i =0 i =0 æ 1 - an æ1 - bn ö ö Þ un = u1 + b.a . ç - 1 ÷ + c.b . ç - 1 ÷ + d .(n - 1) . ç 1-a ÷ ç 1- b ÷ è ø è ø · Nếu a ¹ 1 , ta đặt un = vn + x .a n + y.b n + z Ta có: vn = a.vn -1 + (ax - xa + ab)a n -1 + (by - y b + b c)b n -1 + z (a - 1) + d ab bc d Ta chọn : x = ;y = ;z = . a -a b -b 1-a Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -8-
  9. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số a 2b b 2c æ d ö n -1 n -1 Khi đó: vn = a.vn -1 Þ vn = v1 .a = ç u1 - ÷a - - ç a -a b -b 1-a ÷ è ø a 2b b 2c æ d ö n -1 b c d an + bn + un = ç u1 - ÷a - - + . ç a -a b -b 1-a ÷ a -a b -b 1-a è ø Chú ý : Nếu a = a hoặc b = a thì khi đặt un theo vn thì ta nhân thêm n vào trước a n hoặc b n . ìu1 = 1 ï Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í . un = 2un -1 + 3n - n; "n ³ 2 ï î () Giải: Để tìm CTTQ của dãy un ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3 Đặt un = vn + a.3n + bn + c . ( ) Ta có: vn + a.3n + bn + c = 2 vn -1 + a.3n -1 + b(n - 1) + c + 3n - n Û vn = 2vn -1 + (-a + 1)3n -1 + (b - 1)n - 2b + c . Ta chọn a = b = 1;c = 2 . Khi đó: vn = 2vn -1 Þ vn = v1.2n -1 = -5.2n -1 Vậy un = -5.2n -1 + 3n + n + 2 . ìu1 = p ï Dạng 5: Nếu dãy số (un ) : í , trong đó f (n ) là đa un = a.un -1 + b.a n + f (n ); "n ³ 2 ï î thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau: * Nếu a ¹ 1 ta đặt un = vn + x .a n + g(n ) , với g(n ) là đa thức theo n bậc k . Ta sẽ chọn sao cho dãy (vn ) là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy (vn ) từ đó ta có CTTQ dãy (un ) . * Nếu a = 1 thì ta tìm được un theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3. Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -9-
  10. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy (un ) : u0 = -1, u1 = 3, un +1 = 5un - 6un -1 "n ³ 1. Giải: Ta viết công thức truy hồi của dãy lại như sau: un +1 - 2un = 3(un - 2un -1 ) (1) ìv = 5 ï Þ vn = 5.3n -1 Þ un - 2un -1 = 5.3n -1 . Đặt vn +1 = un +1 - 2un , ta có: í 1 ïvn +1 = 3vn î Sử dụng kết quả 2, ta có: un = 5.3n - 6.2n . Trong lời giải trên ta đã phân tích 5 = 2 + 3 và 6 = 2.3 để viết lại công thức truy hồi như (1), từ đó ta đưa vào được dãy phụ (vn ) là một CSN. Các hệ số xuất hiện trong công thức truy hồi là 5;6 nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổng quát ta có luôn phân tích được các hệ số như vậy hay không ? Nếu được thì phân tích như thế nào ?. Ta xét ví dụ sau: ìu = 1; u1 = 2 ï () Ví dụ 1.10: Cho dãy số un được xác định bởi : í 0 . un + 1 = 4un + un -1 "n ³ 1 ï î Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) . Giải: ìx + y = 4 ï Û x , y là nghiệm PT: X 2 - 4X - 1 = 0 Gọi x , y là hai số thỏa mãn: í xy = -1 ï î Û X = 2 ± 5 , ta chọn x = 2 + 5; y = 2 - 5 . Ta có: un +1 = (x + y )un - xyun -1 Û un +1 - x .un = y(un - xun -1 ) . Đặt vn = un - x .un -1 Þ v1 = 2 - x và vn +1 = y.vn Þ vn = v1.y n -1 = (2 - x )y n -1 Þ un - x .un -1 = (2 - x )y n -1 . Áp dụng kết quả 3, ta có: y -2 n 2-x n 1é y = (2 + 5)n + (2 - 5)n ù . un = x+ 2ë û y -x y -x Ví dụ 1.11: Cho a,b, c là các số thực khác không và dãy (un ) được xác định bởi ìu 0 = p; u1 = q ï . Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) ? í ïun +1 = a.un + b.un -1 î Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 10 -
  11. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Giải: Ta viết lại công thức truy hồi của dãy đã cho như sau: un +1 - x .un = y(un - x .un -1 ) . ìx + y = a ï Þ x, y là nghiệm PT: X 2 - aX - b = 0 (1). Ta xác định x , y sao cho: í ïxy = -b î Giả sử tồn tại tại x , y , tức là phương trình (1) có nghiệm. ìv = q - x .p ï Þ vn = (q - xp)y n -1 Đặt vn = un - x .un -1 . Ta có: í 1 vn +1 = yvn ï î Þ un - x .un -1 = (q - px )y n -1 . · Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hay x ¹ y . Áp dụng kết quả 2, ta có: yp - q n q - xp n un = x+ y. y -x y -x a · Ta xét trường hợp còn lại: (1) có nghiệm kép Þ x = y = . 2 n -1 a pa a æa ö é pa ap ù Þ un - un -1 = (q - )( )n -1 . Áp dụng kết quả 2: un = ç ÷ + (q - )n ú . ê 2 22 è2ø ë2 2û Vậy ta có kết quả tổng quát sau: Dạng 6: Cho a,b, c là các số thực khác không; a 2 - 4b ³ 0 và dãy (un ) được xác định ìu = p; u1 = q ï bởi: í 0 . Khi đó: un +1 = a.un + b.un -1 ï î y.u0 - u1 n u1 - x .u0 n · Nếu a 2 - 4b > 0 thì un = x+ y , trong đó x , y là nghiệm của y -x y -x phương trình : X 2 - aX - b = 0 (1). n -1 æa ö é pa ap ù 2 · Nếu a - 4b = 0 thì un = ç ÷ + (q - )n ú . ê è2ø ë2 2û Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy. Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy (un ) nói trên ta có thể trình bày như sau Xét phương trình đặc trưng (1) n n · Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X1, X 2 thì un = x .X1 + y.X 2 , dựa vào u 0 , u1 ta tìm được x , y . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 11 -
  12. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số · Nếu (1) có nghiệm kép X1 = X 2 = a thì un = (pn + q ).a n , dựa vào u 0 , u1 ta tìm được p, q . ìu0 = -1; u1 = 3 ï Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : í . Xác định 2 ïun - 5un -1 + 6un - 2 = 2n + 2n + 1; "n ³ 2 î CTTQ của dãy (un ) . Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách: Đặt un = xn + an 2 + bn + c . Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được x n - 5x n -1 + 6xn -1 + 2an 2 - (14a + 2b)n + 19a - b + 2c = 2n 2 + 2n + 1 ì2a = 2 ìa = 1 ï ï Ta chọn a,b, c : í14a + 2b = -2 Û íb = -8 . Khi đó: ï19a - b + 2c = 1 ïc = -13 î î ìx = 12; x1 = 23 ï (xn ) : í 0 . Áp dụng kết quả 3, ta có: ïx n - 5x n -1 + 6xn - 2 = 0 î x n = 13.2n - 3n Þ un = 13.2n - 3n + n 2 - 8n - 13 . ìu = p; u2 = q ï Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số: (un ) : í 1 ,( ïa.un +1 + b.un + c.un -1 = f (n ) ; "n ³ 2 î trong đó f (n ) là đa thức theo n và b 2 - 4ac ³ 0 ). Giải: Đặt un = x n + g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n . Thay vào công thức truy hỗi của dãy ta được: a.x n + b.x n -1 + c.x n - 2 + a.g(n ) + b.g(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) Ta chọn g(n ) : a.g(n ) + bg(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) (*). Khi đó: a.x n + bx n -1 + c.x n - 2 = 0 . Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy (x n ) , từ đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) . Vấn đề còn lại là giải phương trình (*). Giả sử g(n ) = ak n k + ak -1n k -1 + ... + a1n + a 0 là đa thức bậc k . Khi đó hệ số của x k và x k -1 trong VP là: ak .(a + b + c)x k và é -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 ù x k -1 .Do đó : ë û Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 12 -
  13. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số * Nếu PT: aX 2 + bX + c = 0 (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì a + b + c ¹ 0 nên VT(*) là một đa thức bậc k . * Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1 Þ a + b + c = 0 và -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 = -(b + 2c).k .ak ¹ 0 nên VT là một đa thức bậc k - 1. * Nếu PT (1) có nghiệm kép x = 1 Þ a + b + c = 0 và é -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 ù x k -1 nên VT(*) là một đa thức bậc k - 2 . ë û Vậy để chọn g(n ) ta cần chú ý như sau: v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n ) là một đa thức cùng bậc với f (n ) v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g(n ) là đa thức lớn hơn bậc của f (n ) một bậc. v Nếu (1) có nghiệm kép x = 1 thì ta chọn g(n ) là đa thức có bậc lớn hơn bậc của f (n ) hai bậc. ìu = p; u2 = q ï Dạng 7: Để tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1 , a.un + 1 + b.un + c.un -1 = f (n ) ; "n ³ 2 ï î ( trong đó f (n ) là đa thức theo n bậc k và b 2 - 4ac ³ 0 ) ta làm như sau: · Xác định đa thức g(n ) : a.g(n ) + bg(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) , trong đó g(n ) là: đa thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ; đa thức bậc k + 1 nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 ; đa thức bậc k + 2 nếu (1) có nghiệm kép x = 1 · Khi xác định được g(n ) ta đặt un = x n + g(n ) , ta có dãy (xn ) được xác định bởi: ìx 0 = p - g(0); x1 = u1 - g(1) ï . Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của (xn ) , từ í ïa.x n + 1 + bx n + c = 0 "n ³ 1 î đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) . ìu0 = -1; u1 = 3 ï Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í . un - 5un -1 + 6un - 2 = 5.2n "n ³ 2 ï î Giải: Đặt un = x n + y.2n . Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: (un - 2un -1 ) - 3(un -1 - 2un - 2 ) = 5.2n Đặt x n = un - 2un -1 Þ xn - 3x n -1 = 5.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 13 -
  14. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số x n = 25.3n -1 - 10.2n Þ un - 2un -1 = 25.3n -1 - 10.2n Sử dụng chú ý ở kết quả 3, ta đặt un = vn + a.3n + bn.2n Ta được: vn = 2vn -1 + (25 - a )3n -1 - (b + 10)2n . Ta chọn a = 25,b = -10 Þ vn = v0 .2n = -26.2n Þ un = 25.3n - (5n + 13).2n + 1 . Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau: Đặt un = xn + yn.2n , ta có: x n - 5x n -1 + 6x n - 2 - y.2n -1 = 5.2n , ta chọn y = -10 ìx = -1; x1 = 23 ï Þ (x n ) : í 0 . Áp dụng kết quả 4, ta có: ïxn - 5x n -1 + 6x n - 2 = 0 "n ³ 2 î x n = -26.2n + 25.3n Þ un = 25.3n - (5n + 13).2n + 1 . ìu0 = 1; u1 = 3 ï Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í . un - 4un -1 + 4un - 2 = 3.2n ï î Giải: Với dãy số này nếu ta đặt un = x n + y.2n thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: (un - 2un -1 ) - 2(un -1 - 2un - 2 ) = 3.2n Đặt x n = un - 2un -1 , ta có: x n - 2x n -1 = 3.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có: Þ xn = (6n - 5).2n -1 Þ un - 2un -1 = (6n - 5).2n -1 Þ un = (un - 2un -1 ) + 2(un -1 - 2un - 2 ) + ... + 2n -1(u1 - 2u0 ) + 2n .u0 n én ù = 2n -1 å (6i - 5) + 2n = 2n -1 ê6å i - 5n + 2 ú ê i =1 ú ë û i =1 é (n + 1)n ù - 5n + 2 ú 2n -1 = (3n 2 - 2n + 2)2n -1 . = ê6 2 ë û Lưu ý : Từ CTTQ của dãy (un ) ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau 3 Đặt un = x n + yn 2 .2n . Ta có: x n - 4x n -1 + 4xn - 2 + 2y.2n = 3.2n . Ta chọn y = 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 14 -
  15. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìx = 1; x1 = 0 ï Þ (x n ) : í 0 . Áp dụng kết quả 4, ta được xn - 4x n -1 + 4x n - 2 = 0 "n ³ 2 ï î x n = (2 - 2n )2n -1 Þ un = (2 - 2n ).2n -1 + 3n 2 .2n -1 = (3n 2 - 2n + 2)2n -1 . Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau: ìu 0 ; u1 ï Dạng 8: Cho dãy số (un ) xác định bởi: í . Để xác un + b.un -1 + c.un - 2 = d .a n ; "n ³ 2 ï î định CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau: · Nếu phương trình : X 2 + bX + c = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt da .a n , ta có: a.x n + 1 + bxn + c.x n -1 = 0 . un = x n + aa 2 + ba + c Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un . da 2 n.a n , ta có: · Nếu x = a là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: un = x n - b + 2c a.x n + 1 + bxn + c.x n -1 = 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un . da 2 .n 2 .a n , ta có: · Nếu x = a là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: un = x n + ba + 4c a.x n +1 + bxn + c.x n -1 = 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un . Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau ìu = x, u2 = y, u3 = z ï Dạng 9: Cho dãy (un ) : í 1 .Để xác định CTTQ ïaun + 2 + bun + 1 + cun + dun -1 = 0 "n ³ 2 î của dãy ta xét phương trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) ( (1)gọi là phương trình đặt trưng của dãy). n n n · Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 Þ un = a x1 + b x 2 + g x 3 . Dựa vào u 0 , u1, u2 ta tìm được a , b , g . n n · Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: x1 = x 2 ¹ x 3 Þ un = (a + b n )x1 + g .x 3 Dựa vào u0 , u1, u2 ta tìm được a , b , g . · Nếu (1) có nghiệm bội 3 x1 = x 2 = x 3 Þ un = (a + b n + g n 2 )x1 . Dựa vào u 0 , u1, u2 n ta tìm được a , b , g . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 15 -
  16. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìu = 0, u2 = 1, u3 = 3, ï Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1 ïun = 7un -1 - 11.un - 2 + 5.un - 3 , "n ³ 4 î Giải : Xét phương trình đặc trưng : x 3 - 7x 2 + 11x - 5 = 0 Phương trình có 3 nghiệm thực: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5 Vậy an = a + b n + g 5n Cho n = 1, n = 2, n = 3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 1 3 1 ,b= ,g= a=- 16 4 16 13 1 + ( n - 1) + .5n -1 . Vậy an = - 16 4 16 ìu = 2; un = 2un -1 + vn -1 ï Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số (un ),(vn ) : í 0 "n ³ 1 . v0 = 1; vn = un -1 + 2vn -1 ï î Giải: Ta có: un = 2un -1 + un - 2 + 2vn - 2 = 2un -1 + un - 2 + 2(un -1 - 2un - 2 ) Þ un = 4un -1 - 3un - 2 và u1 = 5 1 + 3n +1 -1 + 3n +1 Áp dụng kết quả 4, ta có: un = Þ vn = un +1 - 2un = . 2 2 Tương tự ta có kết quả sau: ìx = pxn + qyn x1 = a ï Dạng 10: Cho dãy (xn ),(yn ) : í n + 1 . Để xác định CTTQ của hai yn +1 = ryn + sxn y1 = b ï î dãy (xn ),(yn ) ta làm như sau: Ta biến đổi được: x n + 1 - (p + s )x n + (ps - qr )x n -1 = 0 theo kết quả 4 ta xác định được x n , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được yn . Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 16 -
  17. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số q - lr ì ïxn + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n - y) ls - p n ï Ta đưa vào các tham số phụ l , l ' Þ í q + l 'r ïx + l ' yn + 1 = (p + l ' s )(x n + y) n +1 p + l 's n ï î q - lr ì ïl = ls - p Þ ïx n + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n - lyn ) ì ï Ta chọn l , l ' sao cho í í ïl ' = q + l ' r ïx n + 1 + l ' yn + 1 = (p + l ' s )(x n + l ' yn ) î l 's + p ï î n ìx ï n +1 - lyn +1 = (p - ls ) (x1 - ly1 ) giải hệ này ta tìm được ( xn ) , ( yn ) . í x n +1 + l ' yn +1 = (p + l ' s )n (x1 + l ' y1 ) ï î ìu1 = 1 ï Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í 2un -1 . ïun = 3u "n ³ 2 +4 î n -1 3u +4 3 1 1 1 = n -1 = +2 . Đặt x n = Giải: Ta có , ta có: un 2un -1 un -1 2 un ìx1 = 1 5.2n -1 - 3 2 ï 3 . Áp dụng kết quả 1, ta được: x n = Þ un = í 2 5.2n -1 - 3 ïx n = 2x n -1 + 2 î ìu1 = 2 ï Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í -9un -1 - 24 . un = "n ³ 2 ï 5un -1 + 13 î Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt un = x n + a . Thay vào công thức truy hồi, ta có: (-9 - 5a )xn -1 - 5a 2 - 22a - 24 -9x n -1 - 9a - 24 xn + a = Þ xn = 5x n -1 + 5a + 13 5x n -1 + 5a + 13 Ta chọn a : 5a 2 + 22a + 24 = 0 Þ a = -2 Þ x1 = 4 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 17 -
  18. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số x n -1 11.3n -1 - 10 1 3 1 4 Þ xn = Þ xn = =5+ Þ Þ = 5xn -1 xn x n -1 xn +3 4 11.3n -1 - 10 -22.3n -1 + 24 Þ un = x n - 2 = . n -1 11.3 - 10 pun -1 + q Dạng 11: Cho dãy (xn): u1 = a ; un = "n ³ 2 . Để tìm CTTQ của dãy (xn) run -1 + s ta làm như sau: Đặt un = xn + t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có: (p - rt )x n -1 - rt 2 + (p - s )t + q px n -1 + pt + q xn = -t = (1). run -1 + rt + s rx n -1 + rt + s 1 1 Ta chọn t : rt 2 + (s - p)t - q = 0 . Khi đó ta chuyển (1) về dạng: =a +b xn x n -1 1 , từ đó suy ra x n Þ un . Áp dụng kết quả 1, ta tìm được xn ìu = 2 ï Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) : í 1 và v1 = 1 ï î ìu = u 2 + 2v 2 ïn n -1 n -1 "n ³ 2 . í ïvn = 2un -1vn -1 î Giải: ì ìu = u 2 + 2v 2 2 ïun + 2vn = (un -1 + 2vn -1 ) ïn n -1 n -1 Þí Ta có: í 2 2vn = 2 2un -1vn -1 ïun - 2vn = (un -1 - 2vn -1 ) ï î î ì 2n - 1 n -1 = (2 + 2)2 ïun + 2vn = (u1 + 2v1 ) Þí n -1 n -1 ïun - 2vn = (u1 - 2v1 )2 = (2 - 2)2 î 1é ì n -1 ù n -1 un = ê(2 + 2)2 + (2 - 2)2 ú ï 2ë ï û. Þí 1é n -1 ù n -1 2 - (2 - 2)2 ú ïvn = ê(2 + 2) 2 2ë û ï î Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 18 -
  19. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2 æ un -1 ö ÷ +2 ç çv ÷ u 2 + 2vn -1 2 ìu = u 2 + 2v 2 u ïn è n -1 ø n - 1 Þ n = n -1 n -1 = Nhận xét: Từ í ïvn = 2un -1vn -1 vn 2un -1vn -1 æu ö î 2 ç n -1 ÷ çv ÷ è n -1 ø ìx1 = 2 un ï 2 Do vậy nếu ta đặt x n = ta được dãy số (xn ) : í x n -1 + 2 . Ta có bài toán sau: vn ïx n = 2x n -1 î ìx1 = 2 ï 2 Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số (xn ) : í x n -1 + 2 . xn = "n ³ 2 ï 2x n -1 î Giải: ìu1 = 2 ìu = u 2 + 2v 2 ï ï và í n n -1 n -1 "n ³ 2 . Xét hai dãy (un ),(vn ) : í v1 = 1 ïvn = 2un -1vn -1 ï î î un Ta chứng minh x n = (*). vn u2 · n = 2 Þ x2 = = 2 Þ n = 2 (*) đúng. v2 2 2 2 un - 1 x n -1 + 2 un -1 + 2vn -1 un · Giả sử x n -1 = Þ xn = Þ (*) được chứng minh = = vn -1 2x n -1 2un -1vn -1 vn n -1 n -1 (2 + 2)2 + (2 - 2)2 Theo kết quả bài toán trên, ta có: x n = 2 . 2n - 1 2n - 1 (2 + 2) - (2 - 2) Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) được xác định ìu = u 2 + a.v 2 ; u = a ï bởi: í n n -1 n -1 1 (trong đó a là số thực dương) như sau: vn = 2vn -1un -1 ; v1 = b ï î Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 19 -
  20. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ì ìu = u 2 + a.v 2 2 ï(un + aun -1 = (un -1 + aun -1 ) ïn n -1 n -1 Þí Ta có: í 2 ï a .vn = 2 a .vn -1un -1 ï(un - aun -1 = (un -1 - aun -1 ) î î 1é ì n -1 ù 2n - 1 + (a - b a )2 ú ïun = ê(a + b a ) 2ë ï û. Þí 1é n -1 ù n -1 (a + b a )2 - (a - b a )2 ú ïvn = ê 2 aë û ï î ìx1 = a ï 2 2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy (xn ) : í x n -1 + a . ïx n = 2x n -1 î ìu = u 2 + a.v 2 ; u = a ï Xét hai dãy (un ),(vn ) : í n n -1 n -1 1 ïvn = 2vn -1un -1 ; v1 = 1 î n -1 n -1 (a + a )2 + (a - a )2 un Khi đó: x n = =a . vn 2n - 1 2n - 1 (a + a ) + (a - a ) ìu1 = 1 ï Ví dụ 1.23: Cho dãy (un ) : í . Tìm un ? 2 un = 5un -1 + 24un -1 - 8 "n ³ 2 ï î Giải: Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 . Giả sử: un = xun -1 + yun - 2 ì9x + y = 89 ìx = 10 ï ï . Ta chứng minh: un = 10un -1 - un - 2 "n ³ 3 Þí Û í 89x + 9y = 881 y = -1 ï ï î î Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (un - 5un -1 )2 = 24un -1 - 8 2 2 2 Û un - 10un un -1 + un -1 + 8 = 0 (1) thay n bởi n - 1 , ta được: 2 2 un - 2 - 10un - 2un -1 + un -1 - 8 = 0 (2) . Từ (1),(2) Þ un - 2 , un là hai nghiệm của phương trình : t 2 - 10un -1t + un -1 - 8 = 0 2 Áp dụng định lí Viet, ta có: un + un - 2 = 10un -1 . ) ) ( ( 6 -2 6 +2 n -1 n -1 Vậy un = 5-2 6 5+2 6 + . 26 26 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 20 -
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản