Phương trình căn thức lớp 10 Ths. Lê Văn Đoàn
"Cần cù bù thông minh…………" Page
-
1
-
D
DD
Da
aa
ang
ng ng
ng 1
11
1.
. .
.
Ph
PhPh
Ph

ng tri
ng tring tri
ng trinh c
nh cnh c
nh c
n c
n cn c
n c
ba
baba
ban
nn
n


2
B 0
A B
A B
≥
= ⇔
=
.
A B
≥
= ⇔
=
.
Phương pháp tổng quát : (nếu không thuộc hai dạng trên)
Bước 1. Đặt điều kiện cho căn có nghĩa.
Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế không âm.
Bước 3. Bình phương hai vế để đưa về một trong các dạng trên.
BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP A
P AP A
P AP DU
P DUP DU
P DUNG
NGNG
NG
Bài1.
Bài1.Bài1.
Bài1. Giải các phương trình sau
a/ . b/ .
c/ . d/ .
e/ . f/ .
g/ . h/ .
i/
x 2x 7 4
− + =
. j/
x x 1 13
+ − =
.
k/
x x 1 3
− − =
. l/
2
x 3x 1 2x 7
− − = −
.
m/
2
x 3x 3x 1
+ = −
. n/
2
x 9x 1 x 2
− + = −
.
o/ . p/ .
q/ . r/ .
s/ . t/ .
u/ . v/ .
x/ . y/ .
Bài2.
Bài2.Bài2.
Bài2. Giải các phương trình
a/
2
x x 7 7
+ + =
. b/
2
x 4x 3 2x 5
− + − = −
.
c/
16x 17 8x 23
+ = −
. d/
2
x 4x 2 2x
− + + =
.
e/
2
x 6x 6 2x 1
− + = −
. f/
2
x 1 x 1
− = +
.
g/
2
4 x x 2
− = +
. h/
2
4 x x 2
− = +
.
Bài3.
Bài3.Bài3.
Bài3. Giải các phương trình sau
a/ . b/
2
x 3x 2x 1
− = −
.
c/
2 2
2x 2x 4 x x 2
− + = − +
. d/ .
Bài4.
Bài4.Bài4.
Bài4. Giải các phương trình sau
2x 3 x 3
− = −
5x 10 8 x
+ = −
x 2x 5 4
− − =
2
x x 12 8 x
+ − = −
x 2 4 x
− = −
2
3x 9x 1 x 2
− + = −
2
3x 9x 1 x 2
− + = −
2
x 3x 10 x 2
− − = −
2x 2x 1 7
− − =
3 x 3x 5
− = −
x 4x 3 2
− − =
2
x 1 x 1
− = −
2
x 2 x 4x 3
− = − +
2
x 3x 2 2x 1
− + = −
2
x 4x 3 2x 5
− + − = −
2
5 x x 1
− = −
2
3x 5x 1 1 4x
+ + + =
2 2
x 2x 1 x 2x 1
− + = − +
2
x 2x 4 2 x
+ + = −
2
x 3x 2 x 3
− − = −
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình căn thức lớp 10
Page
-
2
-
"All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
a/
2x 1 2 x 3
+ = + −
. b/
3x 4 x 3 3
+ − − =
.
c/
x 3 x 2 5
− − + =
. d/
2x 1 4 x 3
+ = − −
.
e/
5x 1 3x 2 2x 2
− = − + +
. f/
3x 1 4x 3 5x 4
+ − − = +
.
g/ . h/ .
i/ . j/ .
k/ . l/ .
m/ . n/ .
o/ . p/ .
q/ . r/ .
s/ . t/ .
u/ . v/ .
x/ . y/ .
Bài5.
Bài5.Bài5.
Bài5. Giải các phương trình sau
a/
1 x 1 6 x
+ − = −
. b/
5x 1 3x 2 x 1 0
− − − − − =
.
c/
x x 1 x 2
+ + = +
. d/
3x 1 8 x 1
+ = − +
.
e/
3x 3 5 x 2x 4
− − − = −
. f/
x 9 5 2x 4
+ = − +
.
D
DD
Da
aa
ang
ng ng
ng 2
22
2.
. .
.
Ph
PhPh
Ph

ng tri
ng tring tri
ng trinh c
nh cnh c
nh c
n
n n
n s
ss
s
d
dd
du
uu
ung
ng ng
ng đ
đđ
đt
tt
t
â
ââ
ân
nn
n
phu
phuphu
phu


Loại 1. .
Loại 2. . Đặt
(
)
(
)
t f x g x
= +
.
Loại 3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình : .
● Đặt với .
● Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Ta có thể giải dạng tổng quát dạng :
(
)
(
)
(
)
n m
f x g x a, a const
+ = =
.
x 1 x 1 1
+ − − =
3x 7 x 1 2
+ − + =
2 2
x 9 x 7 2
+ − − =
2 2
3x 5x 8 3x 5x 1 1
+ + − + + =
2x 3 2x 2 1
+ + + =
x 4 2x 6 1
+ − − =
3x 7 x 1 2
+ − + =
11 x x 1 2
− − − =
2 2
x 9 x 7 2
+ − + =
x x 5 5
+ − =
3x 5 2x 3 x 2
− + + = +
x 2 x 1 2x 3
− + − = −
x 3 7 x 2x 8
+ − − = −
2 x 7 x 3 2x
− = − − − −
5x 1 3x 2 2x 1
− = − − −
5x 1 x 1 2x 4
− − − = −
x 2 2x 3 3x 5
+ − − = −
x 4 1 x 1 2x
+ − − = −
( ) ( )
(
)
2
t f x , t 0
af x b x c 0
at bt c 0
= ≥
+ + = ⇔
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x f x .g x h x
+ + =
(
)
(
)
(
)
f x g x h x
+ =
(
)
(
)
u f x , v g x
= =
u, v 0
≥
Phương trình căn thức lớp 10 Ths. Lê Văn Đoàn
"Cần cù bù thông minh…………" Page
-
3
-
BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP A
P AP A
P AP DU
P DUP DU
P DUNG
NGNG
NG
Bài6.
Bài6.Bài6.
Bài6. Giải các phương trình sau
a/ . b/ .
c/ . d/ .
e/ . f/ .
g/
2 2
4x 12x 5 4x 12x 11 0
− − − + =
. h/
2
x 4x 3 2 x 4 0
+ − + + =
.
i/
2
2
1 1
4x 2x 6 0
x
x
+ + − − =
. j/
2 2
x x x x 9 3
− + − + =
.
k/
2 2
x 2 x 3x 11 3x 4
+ − + = +
. l/
(
)
2
x 3x 10 3 x x 3 0
− − + + =
.
m/
2 2
x 3x 18 4 x 3x 6 0
+ − + + − =
. n/
2 2
2x x 6x 12x 7 0
− + − + =
.
o/
(
)
(
)
2
x 4 x 1 3 x 5x 2 0
+ + − + + =
. p/
(
)
22
x 3 3x 22 x 3x 7
− + − = − +
.
q/
2 2
x 1 7 x 1 10 0
+ − + + =
. r/
2 2
2x 8x 12 x 4x 6
− + = − −
.
Bài7.
Bài7.Bài7.
Bài7. Giải các phương trình sau
a/ . b/ .
c/ . d/ .
e/ . f/ .
g/ . h/ .
i/ . j/ .
k/ . l/ .
m/ . n/ .
Bài8.
Bài8.Bài8.
Bài8. Giải các phương trình sau
a/ . b/ .
c/ . d/ .
e/
3
3
x 2 3 3x 2
+ = −
. f/
=
5 5
16x x 1 5
x 1 16x 2
−
+
−
.
2 2
x 6x 9 4 x 6x 6
− + = − +
(
)
(
)
2
x 3 8 x 26 x 11x
− − + = − +
(
)
(
)
2
x 4 x 1 3 x 5x 2 6
+ + − + + =
(
)
(
)
2
x 5 2 x 3 x 3x
+ − = +
2 2
x x 11 31
+ + =
(
)
(
)
2
x 2x 8 4 4 x x 2 0
− + − − + =
(
)
(
)
x 3 6 x 3 x 3 6 x
+ + − = + + −
(
)
(
)
2x 3 x 1 3x 2 2x 3 x 1 16
+ + + = + + + −
(
)
(
)
x 1 3 x x 1 3 x 1
− + − − − − =
(
)
(
)
7 x 2 x 7 x 2 x 3
− + + − − + =
(
)
(
)
x 1 4 x x 1 4 x 5
+ + − + + − =
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
− + − = − + − +
2
2
1 x x x 1 x
3
+ − = + −
2
x 9 x x 9x 9
+ − = − + +
2 2
x 17 x x 17 x 9
+ − + − =
(
)
(
)
x 1 x 3 2 x 1 x 3 4 2x
− + + + − + = −
2
x 4 x 4 2x 12 2 x 16
+ + − = − + −
2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16
+ + + = + + + −
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
− + − = − + − +
2 2 2
3x 6x 16 x 2x 2 x 2x 4
+ + + + = + +
3x 1 x
2 1
x 3x 1
−
= +
−
3
x 7 x 1
+ − =
3
2 x 1 x 1
− = − −
3
x 3 x 1
+ − =
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình căn thức lớp 10
Page
-
4
-
"All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
g/ . h/ .
i/ . j/
(
)
(
)
2 2
42
4 4
2 1 x 3 1 x 1 x 0
+ + − + − =
.
k/
4 4
5 x 4 x 2
− + − =
. l/
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0
− + − − =
.
m/
3
x 3 1 x
+ = +
. n/
3
3
x 34 x 3 1
+ − − =
.
D
DD
Da
aa
ang
ng ng
ng 3
33
3.
. .
.
Đ
ĐĐ
Đa
a a
a v
vv
vê
êê
ê
ph
phph
ph

ng tri
ng tring tri
ng trinh ti
nh tinh ti
nh tich s
ch sch s
ch sô
ôô
ô
(nho
(nho(nho
(nhom, l
m, lm, l
m, li
ii
iê
êê
ên h
n hn h
n hi
ii
iê
êê
êp,
p, p,
p, …
……
…)
))
)


● Đoán nhận một nghiệm của phương trình để định hướng đưa về phương trình tích số hoặc
nhân liên hiệp.
● Cần chú ý đến các cách biến đổi về tích và nhân liên hiệp
Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích
●
(
)
(
)
(
)
2
1 2
f x ax bx c a x x x x
= + + = − −
với x
1
và x
2
là hai nghiệm của
(
)
f x 0
=
.
(
)
(
)
(
)
(
)
u v 1 uv u 1 v 1 0
au bv ab vu u b v a 0
∗ + = + ⇔ − − =
∗ + = + ⇔ − − =
.
● Cần lưu ý đến các hằng đẳng thức (kết hợp đồng nhất thức)
BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP A
P AP A
P AP DU
P DUP DU
P DUNG
NGNG
NG
Bài9.
Bài9.Bài9.
Bài9. Giải các phương trình sau
a/ . b/
(
)
2
x 3 x 5x 4 2x 6
− − + = −
.
c/
(
)
2 2
x 3 10 x x x 12
+ − = − −
. d/
(
)
2
x 1 16x 17 8x 15x 23
+ + = − −
.
e/
2 2
2x 8x 6 x 1 2x 2
+ + + − = +
. f/
.
g/
2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1
+ − = − + − + − +
. h/ .
i/ . j/ .
3
3
2x 1 1
2
x 1 2 2x
+ + =
+
2
3 x 1 1 4 2
3x 9 x 9
x
+= + +
2 2
x 4 x 2 3x 4 x
+ − = + −
A B
±
A B
∓
A B
−
3 3
A B
+
33 3
2
A AB B
− +
A B
+
3 3
A B
−
33 3
2
A AB B
+ +
A B
−
(
)
2 2
x 3 x 4 x 9
− + = −
2
x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6
+ + = + + + −
2
x x 1 x x x
+ + − + =
2
x x 2 2 x 2 2 x 1
− − − − + = +
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3
− + + + = − + + −
Phương trình căn thức lớp 10 Ths. Lê Văn Đoàn
"Cần cù bù thông minh…………" Page
-
5
-
k/ . l/ .
m/
2 3
2x 5x 1 7 x 1
+ − = −
. n/
2
2x 1 x 3x 1 0
− + − + =
.
o/ . p/
23
3 3
x 1 x 2 1 x 3x 2
+ + + = + + +
.
q/
33
2 23
3
x 1 x x x x
+ + = + +
. r/
2
x 3 2x x 1 2x x 4x 3
+ + + = + + +
.
s/
4x
x 3 4 x
x 3
+ + =
+
. t/
(
)
2
x 1 2 x 1 x 1 1 x 3 1 x
+ + + = − + − + −
.
Bài10.
Bài10.Bài10.
Bài10. Giải phương trình
a/ . b/ .
c/ . d/ .
e/ . f/ .
g/ . h/ .
i/ . j/ .
k/ . l/ .
m/
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0
+ − − + − − =
. n/
32 3
x 1 x x 2
− + = −
.
o/
2 2
x 12 5 3x x 5
+ + = + +
. p/
2
6x 4
2x 4 2 2 x
x 4
−
+ − − =
+
.
D
DD
Da
aa
ang
ng ng
ng 4
44
4.
. .
.
S
SS
S
du
dudu
dung h
ng hng h
ng h
ng
ng ng
ng đ
đđ
đng th
ng thng th
ng th
c
c c
c đ
đđ
đa v
a va v
a vê
êê
ê
ph
phph
ph

ng tri
ng tring tri
ng trinh c
nh cnh c
nh c
ba
baba
ban
nn
n


Loại 1.
Ta có
Thay vào , ta được: .
Loại 2. với
(
)
(
)
2
x x 1 x x 2 2 x
− + + =
2 2 2
x 8x 15 x 2x 15 x 9x 18
− + + + − = − +
2
x
3x 2 1 x
3x 2
− − = −
−
x 3
4x 1 3x 2
5
+
+ − − =
2 2
4 1 3
x
x x x x x x
− =
+ + − +
1 1 3
x
1 1 x 1 1 x
− =
− − + −
1
x x 1
x
+ + =
2
2
5
x 1 x
2 x 1
+ − =
+
2 2
4 1 3
x
x x x x x x
− =
+ + − +
(
)
(
)
(
)
2
2
4 x 1 2x 10 1 3 2x
+ = + − +
(
)
(
)
2
2
2x x 9 2 9 2x
= + − +
2
2
40
x x 16
x 16
+ + =
+
3x
3x 1 1
3x 10
= + −
+
3x 2
2x 4 2 2 x
3
−
+ − − =
(
)
(
)
1 x 1 1 x 1 2x
+ − − + =
(
)
3 3 3
A B C
+ = ∗
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3
3 3 3 3 3 3
A B C A B 3 AB A B C
∗ ⇔ + = ⇔ + + + = ∗ ∗
3 3 3
A B C
+ =
(
)
∗ ∗
(
)
3
A B 3 ABC C
∗ ∗ ⇔ + + =
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x h x k x
+ = +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x g x k x
f x .h x g x .k x
+ = +
=