S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Gi¸o viªn: §inh Cêng Trang - 1 -
Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu - gtln - gtnn cña hµm sè ĐỂ
đ kh¶o s¸t nghiÖm cña ph¬ng tr×nh - bÊt ph¬ng tr×nh
*****
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm trên D.
Nếu
' 0,
f x x D
thì hàm số
( )
f x
đồng biến (tăng) trên D.
Nếu
' 0,
f x x D
thì hàm số
( )
f x
nghịch biến (giảm) trên D.
(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)
Nếu hàm
f x
tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình
f x k k
có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Nếu hàm
f x
tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có
( )
f u f v u v
.
Nếu hàm
f x
tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có
( )
f u f v u v
(
( )
f u f v u v
).
Nếu hàm
f x
tăng và
g x
là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì
phương trình
f x g x
có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Bolzano – Cauchy : Nếu hàm số
f x
liên tục trên
;
a b
và
. 0
f a f b
thì
tồn tại ít nhất một điểm
0
;
x a b
để
0
0
f x
.
Nếu hàm số
f x
đơn điệu và liên tục trên
;
a b
và
. 0
f a f b
thì tồn tại
duy nhất một điểm
0
;
x a b
để
0
0
f x
.
Nếu
f x
là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì
y =
( ), , 2
nf x n N n
đồng biến (nghịch biến ),
1
( )
f x
với
0
f x
là nghịch
biến ( đồng biến),
y f x
nghịch biến (đồng biến ).
Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến )
trên D.
Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) trên D là một hàm đồng
biến (nghịch biến ) trên D.
2. Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên D.
Số M được gọi là GTLN của hàm số
( )
y f x
trên D nếu ( ) ,
f x M x D
và
0
x D
sao cho 0
( )
f x M
. Kí hiệu D
ax ( )
M m f x
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Gi¸o viªn: §inh Cêng Trang - 2 -
Số m được gọi là GTNN của hàm số
( )
y f x
trên D nếu ( ) ,
f x m x D
và
0
x D
sao cho 0
( )
f x m
. Kí hiệu D
min ( )
m f x
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số
( )
f x
trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những
điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN (
GTNN ) của hàm số .
* Nếu hàm số
( )
f x
xác định và liên tục trên đoạn
;
a b
thì ta có thể tìm GTLN
và GTNN theo các bước sau :
- Tìm các điểm 1 2
, ,...,
n
x x x
trên đoạn
;
a b
mà tại đó '
( )
f x
bằng 0 hoặc '
( )
f x
không xác định.
- Tính các giá trị 1 2
( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )
n
f a f b f x f x f x
- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số
( )
f x
trên
đoạn
;
a b
.
3. Các dạng toán liên quan
3.1. Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng
minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng
lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra
phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu khi
đó ta có: u = v.
Đối với bất phương trình thì biến đổi về dạng
( )
f u f v
rồi chứng minh f đơn
điệu để kết luận.
3.2. Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLN-
GTNN.
Xuất phát từ bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị hàm số
( )
y f x
biện luận số nghiệm của phương trình
( ) ( )
f x g m
thì số nghiệm của phương
trình
( ) ( )
f x g m
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x
với đường thẳng
( )
y g m
. Ta giải các bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số theo các
định hướng sau:
Biến đổi các phương trình, bất phương trình chứa tham số m về dạng :
( ) ( )
f x g m
với hàm số
( )
f x
có GTLN - GTNN trên tập xác định
D
. Khi đó:
- Phương trình
( ) ( )
f x g m
có nghiệm trên D khi và chỉ khi
DD
min ( ) ( ) ax ( )
f x g m m f x
.
- Bất phương trình
( ) ( )
f x g m
thỏa mãn
x D
khi và chỉ khi
min ( ) ( )
D
f x g m
.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Gi¸o viªn: §inh Cêng Trang - 3 -
- Bất phương trình
( ) ( )
f x g m
thỏa mãn
x D
khi và chỉ khi
max ( ) ( )
D
f x g m
.
- Bất phương trình
( ) ( )
f x g m
có nghiệm
x D
khi và chỉ khi
ax ( ) ( )
D
m f x g m
.
- Bất phương trình
( ) ( )
f x g m
có nghiệm
x D
khi và chỉ khi
min ( ) ( )
D
f x g m
.
Trong trường hợp hàm số
( )
f x
không có GTLN hoặc GTNN trên tập
D
ta
phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp.
Nếu bất phương trình có dạng
" "
hoặc
" "
thì bổ sung thêm dấu
" "
cho
các điều kiện.
II. ỨNG DỤNG
1. Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số
1.1. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2
4 1 4 1 1
x x
(1)
Nhận xét:
Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức
trong căn cũng tăng .Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 1 là hàm
hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu.
Giải
Điều kiện:
1
2
x
.
Đặt
2
4 1 4 1
f x x x
. Ta có
'
2
2 4 1
0, ;
2
4 1 4 1
x
f x x
xx
.
Do đó hàm số
2
4 1 4 1
f x x x
đồng biến trên 1;
2
, nên phương trình
1
f x
nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Hơn nữa, 1
1
2
f
nên
1
2
x
là
nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
5 7 16 14
x x x x
Nhận xét:
Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử căn thức bằng cách bình
phương, lập phương hoặc nhân lượng liên hợp. Trong bài này chỉ có thể nhân liên
hợp là hợp lí.
Giải
Cách 1: Dùng lượng liên hợp
Điều kiện:
5
x
. Khi đó
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Gi¸o viªn: §inh Cêng Trang - 4 -
5 7 16 14 3 5 2 7 4 16 5 0
1 1 1 1
9 0 9
3 5 2 7 4 16 5
x x x x x x x x
x x
x x x x
Do 1 1 1 1
0, 5
3 5 2 7 4 16 5 x
x x x x
.
Vậy
9
x
là nghiệm của phương trình.
Cách 2: Dùng hàm số
Điều kiện:
5
x
. Đặt
( ) 5 7 16
f x x x x x
Ta có
1 1 1 1
( ) 0, 5;
2 2 5 2 7 2 16
f x x
x x x x
.
Do đó hàm số
( ) 5 7 16
f x x x x x
đồng biến trên
5;
.
Mà
(9) 14
f
nên
9
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3 3 3
2 1 2 2 2 3 0
x x x
(1)
Giải
Cách 1:
3 3 3 3 3 3
3 3
3 3 3 3
3
2 1 2 2 2 3 0 2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 2
2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 0 1
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
Ngược lại với
1
x
thay vào (1) thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho
là
1
x
.
Cách 2: Đặt 3 3 3
( ) 2 1 2 2 2 3
f x x x x
Ta có: 2
3
,1,
2
1
;0
)32(
2
)22(
2
)12(
2
)(' 32
32
32
x
xxx
xf
Do đó hàm số
f x
đồng biến.
Mà
3 3
3 1
1 2; 1 0; 1 2; lim ( )
2 2 x
f f f f x
nên suy ra
1
x
là
nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải phương trình : 33
5 1 2 1 4
x x x
Giải
Điều kiện: 3
1
5
x
Đặt 33
( ) 5 1 2 1
f x x x x
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Gi¸o viªn: §inh Cêng Trang - 5 -
Ta có
2
3 2
3
15 2
1 0,
2 5 1 3 (2 1)
x
f x x
x x
3
1
( ; )
5
nên hàm số đồng biến trên
3
1
[ ; )
5
. Mà
1 4
f
nên
1
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 5 : Giải phương trình : 3 2
2 3 6 16 2 3 4
x x x x
(1)
Nhận xét :
Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện
Điều kiện: 3 2 2
2 3 6 16 0 ( 2)(2 8) 0
2 4
4 0 4 0
x x x x x x x
x x
Khi đó, (1) 3 2
2 3 6 16 4 2 3
x x x x
Xét hàm số
3 2
2 3 6 16 4
f x x x x x
trên
2;4
Ta có
2
3 2
3( 1) 1
0, ( 2;4)
2 4
2 3 6 16
x x
f x x
x
x x x
Do đó hàm số
3 2
2 3 6 16 4
f x x x x x
đồng biến trên
2;4
.
Mà
1 2 3
f nên
1
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 6: Giải phương trình
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2
x x x x x x
Giải
Điều kiện:
1
2
x
Viết lại phương trình dưới dạng như sau
2 1 3 2 6 4
x x x
Nhận xét: Để phương trình có nghiệm thì
2 1 3 0 5
x x
.
Xét hàm số
f x g x h x
với
2 1 3; 2 6
g x x h x x x
Ta có
1 1 1
0, 5; 0, 5
2 1 2 2 2 6
g x x h x x
x x x
.
Do đó hàm số
2 1 3; 2 6
g x x h x x x
dương và cùng đồng
biến trên
5;
.Suy ra
f x g x h x
đồng biến trên
5;
.
Mà
7 4
f
nên
7
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 7 : Giải phương trình 5 3
1 3 4 0
x x x
Giải
Điều kiện:
1
3
x
Xét hàm số
5 3
1 3 4
f x x x x
trên
1
;
3
Ta có ' 4 2
3 1
( ) 5 3 0,
3
2 1 3
f x x x x
x
.
