Sơ lược về số phức
Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề thực tiễn đời sống chúng ta đã
đưa ra khái niệm phương trình từ rất sớm, với các phương trình dạng sơ khai
0
0 xxxg
với
0
x
là một số nào đó tùy ý thuộc tập hợp số tự nhiên thì phương
trình luôn có nghiệm trên trường số tự nhiên
. Cũng hoàn toàn tương tự như
thế phương trình
0
9
4
2 xxh
luôn có nghiệm hữu tỉ, bây giờ đi xét tiếp
phương trình dạng bậc 2 thì không phải lúc nào cũng có nghiệm chẳng hạn
như phương trình
01
2 xxm
sở dỉ chọn số “1 “là vì mọi phương trình dạng
0
22 axxn
thì đều đưa về dạng tối giản là . Quay trở lại phương
trình thì rõ ràng phương trình này không có nghiệm thực R, từ phương trình
g(x)=0 đến h(x)=0 chúng ta thấy được có sự mở rộng tập hợp nghiệm trên các
trường số khác nhau, như vậy liệu có phát sinh thêm “các số mới” trên “một
trường số mới” đề phương trình trở nên có nghiệm, thì vào thế kỉ XVI người ta
đưa ra khái niệm “các số mới” này với một cái tên là “số phức” kí hiệu là C.
Người ta mới chỉ ra rằng số có dạng
yixz
trong đó
Ryx ,
và
01
2i
i
gọi là
đơn vị ảo , lúc đó gọi x là phần thực (Re z), y là phần ảo (Im z), như vậy thì khi
y= 0 z gọi là số thực và khi x= 0 z gọi là số thuần ảo. Rõ ràng khi viết dạng tập
hợp
RbabaC ,,
người ta lại định nghĩa 2 phép toán cơ bản như sau:
dbcadcba ,,,
và
bcadbdacdcba ,,.,
.
Giống như số thực R có đặc số là 0 thì tương tự ở số phức người ta nói “Tập
hợp các số phức C và 2 phép cộng và nhân lập nên một trường có đặc số bằng
không”. Phần tử trung lập của phép cộng là
0,00
và đơn vị của phép cộng là
0,11
tạo nên nghịch đảo số phức khi
0,0, ba
là:
2222
1,, ba
b
ba
a
ba
.
Nhận xét rằng nếu như mà tồn tại một ánh xạ
CR :
tương ứng với
0,xx
là một vành đơn cấu, và cũng đồng nhất số
Rx
với số phức dạng
Rxx 0,
đồng nhất với nhau hay nói khác đi tập hợp các số thực R được đồng nhất với
mỗi
Rxx 0,
. Vậy nên trường các số thực là trường con của trường số
phức C.
Bây giờ chúng ta sẽ xét biểu diễn hình học của số phức: Trên mặt phẳng tọa độ
Descates Oxy số phức
yixz
với
Ryx ,
thì số phức này được biểu diễn bởi
diểm
yxM ,
hay là
OM
tính từ O đến điểm M, cộng số phức thực chất là cộng
véctơ. Chính vì điểm này mà “2 số phức” được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu
phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.Góc giữa
OM
và trục Ox gọi là
arggument của số phức, hay viết dưới dạng kí hiệu:
)arg(, zOxOM
. Lúc đó
người ta gọi mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức, Ox là trục thực còn Oy là trục
ảo. Phép đối xứng qua trục thực tạo ra điểm
'M
tạo nên một số phức liên hợp
như vậy dễ dàng thấy được:
yixz
với
Ryx ,
.Dễ dàng kiểm tra 2 tính chất:
nmnm
và
nmmn
với m, n là 2 số phức.
Bây giờ khảo sát số phức dưới dạng lượng giác: gọi
sincos irz
là dạng
lượng giác số phức với
0r
,
OxOM,
và
0z
, điều kiện này đúng theo cả
“hai chiều”. Cách viết dưới dạng số phức giúp hạn chế “tối đa” sự “cồng kềnh”
trong tính toán lũy thừa và khai căn. Ta sẽ chứng minh điều mới nói trên, đầu
tiên xét đồng nhất thức :
2
2
2
2
2112 xxx
. Xét số phức:
ixxz 2
12
x
là con số chạy mãi miết trên trục thực trừ 2 điểm 0 và 1 ra. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn
tại một số phức dưới dạng lượng giác biểu diễn z . Thật vậy:
i
x
x
x
x
xz 2
2
2
2
1
1
1
2
1
ta đặt
2
1xr
thì lúc ấy
sai khác nhau
2m
với
Zm
sao cho:
2
1
2
cos x
x
và
2
1
1
sin x
x
điều này có thể hiểu qua đồng nhất
thức ở trên khi thay
2
tan
x
ứng với
1cossin 22
.
Cuối cùng là công thức Moivre: Xét một số phức bất kì
sincos irz
thì lúc
ấy ứng mới một số n nguyên dương ta có:
ninrz nn sincos
(*).
Ta sẽ giải quyết bằng phương pháp quy nạp toán học:
Dễ thấy với n=1 thì (*) luôn đúng.
Bây giờ giả sử với n=k đúng, tức là:
kikrz kk sincos
ta sẽ chứng minh (*)
đúng với n=k+1. Dễ thấy:
kikrkikrz kk sincossincos
1
1sin1cos
1 kikrk
như vậy việc chứng minh đưa về biến đổi lượng
giác.
Phép chứng minh hoàn tất.
Chú ý ta cũng có được: Với số phức
sincos irz
và n nguyên dương:
n
m
n
i
n
m
n
rz nn
2
sin
2
cos
k nhận giá trị
0
đến
1n
.........................to be continued..........................
