Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com
1
SỬ DỤNG MTBT TRONG LÀM ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Lâm Hữu Minh (TTMT)
“Việc kết hợp trí tuệ máy tính với trí óc con người sao cho hiệu quả là cả một
môn khoa học, gọi là khoa học về phương pháp”
TTMT
Các kỹ thuật sau đây được TTMT sưu tầm (khoảng
1
2
dung lượng của chuyên đề) và tự
sáng tạo, bao gồm cả kỹ thuật giải tay lẫn sử dụng MTBT, phương pháp chính quy lẫn không
chính quy. Các kỹ thuật về MTBT trong này dùng cho đề thi ĐH - CĐ, chỉ một số ít có thể
dùng để thi HSG giải toán trên MTBT. Trong đó, có 2 tác giả của các kỹ thuật mà TTMT sưu
tầm nhiều nhất, đó là:
_ Bạn Bùi Thế Việt (nthoangcute): phần lớn là các kỹ thuật về sử dụng MTBT.
_ Thầy Trần Phương: các kỹ thuật tính tích phân.
Số còn lại sưu tầm từ nhiều tác giả khác nhau, chủ yếu về các kỹ thuật sử dụng MTBT. Lưu
ý: loại MTBT dùng ở đây là CASIO fx-570ES, các loại máy khác có màn hình hiển thị tương
tự thì thao tác sẽ khác một vài chi tiết nhỏ.
Tuy cấu trúc đề thi ĐH - CĐ có thể thay đổi theo thời gian, nhưng kiến thức là vĩnh cửu, do
đó việc cấu trúc câu ở đây khác đề thi thật hay không không quan trọng. Ngoài ra, có những
kỹ thuật vượt khỏi phạm vi kiến thức THPT thì không nhất thiết phải tìm hiểu, nhưng luôn có
thể áp dụng được vì chúng được dùng để truy nhanh những kết quả mà đề thi không yêu cầu
trình bày cách giải, miễn người đọc có khả năng áp dụng.
Chỉ cần chúng ta vẫn nắm vững được phương pháp giải và trình bày bài toán, thì chúng ta
có thể tự tin giao cho máy tính giải quyết những chi tiết nhỏ nhặn, thời gian còn lại sẽ góp
phần để mở rộng vốn kiến thức của bản thân.
Tài liệu này nên được bổ sung phát triển theo hướng sát với đề thi ĐH - CĐ mỗi năm, bởi
bất kì người học nào có năng lực.
Câu 1. a) (khảo sát hàm số)
Tính trước các giá trị để biết trước kích cỡ của BBT trước khi kẻ vào.
Dùng MODE TABLE của MTBT để tìm các điểm thuộc đồ thị trước khi vẽ (dùng cho cả
việc tính các giá trị của hàm với nhiều giá trị biến liên tiếp nhau để biết được sự biến thiên
trong 1 khoảng, hay tìm khoảng chứa nghiệm). Vì đồ thị vẽ ở bên không cùng mặt giấy với
quá trình khảo sát trước đó nên phải giữ lại bảng giá trị (MODE TABLE) để nhìn vào và vẽ
(đỡ phải lật giấy lại liên tục để xem tọa độ các điểm hay phải ghi ra nháp).
b) (câu hỏi phụ)
Nhớ 2 công thức tính nhanh:
0
2
2
0 0
( )
0 0
2
'(dx e)
( ) '( )
( ) '( )
x
adx aex be cd
y
f x f x
yg x g x
(x0 là nghiệm y’ = 0) dùng cho
hàm
2
( )
( )
f x ax bx c
y
g x dx e
Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com
2
Chia y cho y’: 1 2
' ( ) ( )
y y f x f x
PT đường qua cực trị 2
( )
y f x
tính nhanh được
0
( ) 2 0
( )
x
y f x
với x0 là nghiệm PT y’ = 0
Khi đề cho hàm số 3
(ở câu a), mà để làm được câu này ta phải tìm (biểu diễn)
được nghiệm của PT 3
( , ) 0
f x m
. Lúc này nên thử xem PT đó có nghiệm 0
x x R
(không
chứa m) hay không. Nhập vào máy f3(X) rồi gán m = 0 (đơn giản nhất) cho máy giải tìm X.
Nếu máy cho nghiệm xấu không làm rõ được (hoặc biết được nhưng phức tạp) thì chắc chắn
đó không phải x0 cần tìm, cho máy giải lại tìm nghiệm đẹp (thường là nguyên). Nếu đã tìm
được nghiệm đẹp, quay lại PT, áp dụng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất” (xem Câu 2a) để
kiểm tra biểu thức khi thay đổi m. Tuy nhiên để đề phòng nghiệm có dạng x = am + b, ta gán
m = 1000 cho máy giải. Nếu 0
0
100
x
x
thì đó là nghiệm x = am + b. Lúc này ta chọn a, b thỏa
mãn
10 , 10a b
sao cho 1000a + b = x0 thì ta được nghiệm x = am + b. Lúc này thử lại kết
quả bằng cách chọn m bất kì (nhỏ thôi) xem máy giải PT 3
( , ) 0
f x m
có luôn ra x = am + b
không (bản chất của cách làm này là kỹ thuật phân tích đa thức 2 ẩn thành nhân tử, được tổng
quát ở Câu 2b).
Câu 2. a) (PT lượng giác)
Với mọi PT: nếu có thể rút gọn nhanh các biểu thức của PT mà vẫn giữ nguyên ĐKXĐ thì
nên nhập PT rút gọn cho máy giải (trước khi bắt tay vào làm, trừ phi bài quá dễ).
Nguyên tắc thử giá trị tốt nhất (sẽ dùng cho 1 vài kỹ thuật phía sau): nếu một dạng khác của
biểu thức f(x) là g(x) được tìm ra nhờ MTBT mà khi ta gán các giá trị X (trên MTBT):
_ Là số siêu việt (như
; ;e
…) nếu f(x) là hàm nguyên (VD: hàm đa thức
( )
n
f x
).
_ Là số thập phân hữu hạn (như 1,364; 5,2235;…) nếu f(x) là hàm vô tỉ.
để tính
( ) ( )f X g X
mà kết quả luôn bằng 0, thì dạng g(x) được tìm ra là đúng (các giá trị X
ở đây phải thuộc TXĐ của f(x)).
Dùng MTBT kiểm tra xem đẳng thức lượng giác
( ) ( )f x g x
(1 vế là đại lượng có trong
bài toán) nhớ có đúng không: nhập vào máy
rồi dùng “nguyên tắc thử giá trị tốt
nhất”) để kiểm tra, sai thì sửa lại biểu thức và thử tiếp.
Tìm nhân tử (khi nháp chưa ra): giả sử PT
( ) 0F x
bấm máy được nghiệm x = x0 (nên
nhập các giá trị dự đoán ban đầu (gọi là
G
x
) là các số đẹp, hay xảy ra là
0; ; ; ;
6324

cho
máy giải), dự đoán và thử tính
0
( )f x
với
( )f x
là hàm lượng giác có liên quan mật thiết đến
PT đang giải (nhưng trước tiên nên chọn các hàm cơ bản là sinx, cosx, tgx), nếu 0
( ) 0
f x
thì
( )f x
có thể là 1 nhân tử của PT. Đến đây có 2 cách tìm nhân tử chính xác:
_ Giải PT nhân tử
( ) 0f x
tìm nghiệm, đối chiếu ĐK (nếu có) ta được các nghiệm x0, x1,
x2,… Thay lại các nghiệm này vào F(x), giả sử có 1
( ) 0
F x
, thì
( )f x
không phải là nhân tử
cần tìm (ngược lại thì coi như đã xong 1 nửa).
_ x0 có thể thuộc họ nghiệm 0
x x kc
với
1 1 2
1; ; ;
2 3 3
c
(những số thường rơi vào), do đó
ta lưu 0
x A
rồi lập chương trình kiểm tra nghiệm:
: ( )X A C F X
. Dùng
CALC
gán
Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com
3
vào C 4 giá trị trên xem C nào làm cho
( ) 0F X
(có thể dựa vào 0
a
x
b
để đoán thêm giá
trị có liên quan đến
a
b
để kiểm tra), khi đó PT có thể có họ nghiệm 0
x x kC
. Từ đó ta sửa
lại chương trình:
: ( )X A BC F X
rồi dùng
CALC
gán các giá trị
B
(C giữ nguyên,
số giá trị B cần gán phụ thuộc vào C đã tìm được) để kiểm tra chắc chắn tính chính xác của họ
nghiệm trên. Bấy giờ mới lập nhân tử dưới dạng
( ) sin( ) ( , )
f x mx n m n
(hoặc
cos( )mx n
) chứa nghiệm 0
x x kC
, rồi dùng công thức cộng ta được nhân tử chính
thức là:
sin cos sin cos
( )
cos cos sin sin
mx n n mx
f x
mx n mx n
Nếu thử 2 cách trên khoảng 5; 6 lần mà chưa ra thì phải giải tay.
Cách lưu nghiệm nhanh hơn cho mọi PT
( ) ( )f x g x
: nhập vào máy
( ) ( )f x g x
(bỏ “=
0”) để giải. Sau khi ra nghiệm, quay lại PT, ấn
(đương nhiên kết quả là 0) để lưu PT (nếu
phải tính nhiều phép tính khác nhưng liên quan đến PT này, thì cứ khoảng 3; 4 phép tính lại
quay lại lưu PT 1 lần), rồi lưu nghiệm trong X sang biến nhớ khác. Quay lại PT cho máy giải
tiếp tìm nghiệm khác.
Khi máy cho nghiệm xấu (trong PT lượng giác là nghiệm có dạng
a
b
(phân số
a
b
tối giản)
mà ấn
S D
không chuyển được sang dạng đẹp), chia nghiệm đó cho
thường xác định
được
a
b
Nghiệm đẹp nhất trong họ a
x kc
b
ứng với k = 0, đôi khi máy không hiển thị được
nghiệm dạng đẹp dù
a
b
đẹp, vì nghiệm đó ứng với k mà |k| khá lớn, lấy nghiệm đó trừ (hoặc
cộng) dần với
n
(1
;1;2
2
n
tuỳ độ lớn nghiệm) để tìm
a
b
, từ n có thể biết được c
Đổi góc lượng giác
từ độ
Radian khi không nhớ công thức: ở chế độ “D” (độ), viết 1
giá trị lượng giác của
, VD
sin
, ấn
. Chuyển sang chế độ “R”, ấn
sin
SHIFT Ans
. Hoặc ở chế độ “R”, nhập
o (ấn
1SHIFT Ans
nhập “o”), ấn
.
Chuyển từ Radian
độ làm ngược lại.
b) (phương – bất phương – hệ phương – trình đại số)
Nếu không muốn đặt ĐKXĐ cho PT (trừ phi ĐK có thể giúp 1 phần trong việc giải) thì cứ
giải bình thường rồi mang các nghiệm thử lại vào PT đầu (nếu dùng cho PT lượng giác thì
phải lưu ý tính tuần hoàn của họ nghiệm, vì có vô số nghiệm).
Đổi số thập phân 1 2 1 2 1 2
... , ... ( ... )
m n p
P a a a b b b c c c
máy hiện thành phân số:
Số thập phân vô hạn tuần hoàn:
_ Cách 1: dùng MTBT:
Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com
4
+ Nếu
7m n p
thì nhập P vào với ít nhất 3 lần chu kì, nhập phải dài hơn phần mà máy
hiển thị được, ấn
, máy cho ra phân số. Lưu ý: điều kiện “
7
” chỉ là mức tối đa mà máy có
thể làm được, không phải P cứ có điều kiện đó là đổi được.
+ Nếu 1 2 1 2
... ,( ... )
m p
P a a a c c c
với p khá lớn, ta chỉ cần cho máy đổi 1 2
0,( ... )
p
c c c
thành phân
số, rồi cộng với 1 2
... m
a a a
ngoài nháp. Áp dụng định lí: mọi số thập phân dạng
1 2
0,( ... ) ( 14)
p
c c c p , máy tính dòng ES trở lên luôn tìm được dạng phân số của nó từ số
1 2 14
0, ...c c c
, và ngược lại, nếu máy có thể đổi được
1 2 14
0, ...c c c
thành phân số a thì chứng tỏ
1 2 14
0, ...c c c
là số thập phân được cắt từ 15 chữ số đầu của một số thập phân vô hạn tuần hoàn
có dạng 1 2
0,( ... )
p
c c c
(lúc này không nhất thiết
14p
) mà dạng phân số của nó chính là a
_ Cách 2: áp dụng công thức đổi số thập phân tuần hoàn tổng quát:
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
...
...
... , ... ( ... ) ... ( , 1)
10 10 (10 1)
p
n
m n p m n n p
c c c
b b b
a a a b b b c c c a a a m p
Dạng đơn giản nhất: 1 2
1 2
...
0,( ... )
10 1
p
pp
c c c
c c c
Số thập phân hữu hạn: nếu máy không đổi được ngay nó sang phân số thì chứng tỏ dạng tối
giản của phân số đó vi phạm ít nhất 1 trong các điều sau:
_ Tổng chữ số của tử và mẫu vượt quá 9
_ Tổng chữ số của tử và mẫu bằng 9 nhưng số chữ số của tử lớn hơn của mẫu (lúc này ta trừ đi
phần nguyên để đổi phần thập phân).
Giả sử số thập phân hữu hạn 1 2 1 2
... , ...
m n
P a a a b b b
cần tìm dạng phân số, ta dùng phương
pháp chuyển đổi từng phần để tìm dạng phân số của 1 2
0, ... n
b b b
. Lần lượt nhập vào máy
1 2
0, ... i
b b b
( )i n
để thử chuyển đổi, nếu máy cho được dạng phân số của 1 2
0, ... i
b b b
là b thì ta
tiếp tục chuyển đổi phần tiếp theo là 1
1 2 1
0, ...
0,0 0 ...0 ...
10
i n
i i n i
b b
b b
thành phân số bằng cách
chuyển đổi 1
0, ...
i n
b b
giống như 1 2
0, ... i
b b b
, được phân số c. Cuối cùng 1 2...
10
m
i
c
a a a a b
(cộng ngoài nháp).
Nếu những cách trên không thành thì P là số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn),
máy không đổi được. Lúc này có 1 phương pháp khác (có nói phía dưới) có thể truy được P từ
dạng thập phân về dạng căn thức bậc 2 (nếu P là như vậy) thông qua PT bậc 2 nhờ MODE
TABLE.
Tính nhanh giới hạn: vì đề thi ĐH không bắt trình bày cách tính
lim ( )f x
nên ta có thể làm
bất cứ cách gì miễn tính được nhanh nhất, và chỉ phải dùng cách này ở các hàm số sinh bởi
việc giải PT khi không nhẩm ngay được đáp án:
_ Dạng
0
0
: tính
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
với 0
0 0
( ; )
( ) ( ) 0
x a b
f x g x
(
( ), ( )f x g x
liên tục trên
[ ; ]a b
):
Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com
5
+ Quy tắc L’Hospital: nếu
'( ), '( ) 0f x g x
trong lân cận x0 và
0
'( )
lim '( )
x x
f x
L
g x
(hữu hạn), thì
0
( )
lim ( )
x x
f x
L
g x
(nếu 0
x
thì cũng áp dụng được, chỉ cần
lim ( ) lim ( ) 0
lim '( ) 0
x x
x
f x g x
g x


là được).
Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần liên tiếp, tức là
0 0
( )
( )
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
n
n
x x x x
f x f x
g x g x
(miễn có
đủ các điều kiện).
+ Đạo hàm: nếu
0 0
'( ), '( )f x g x
hữu hạn, 0
'( ) 0
g x
thì
0 0
0
00
00
0
( ) ( )
( ) '( )
lim lim ( ) ( )
( ) '( )
x x x x
f x f x
f x f x
x x
L
g x g x
g x g x
x x
. Do đó bấm máy biểu thức
0
0
( ( )) |
( ( )) |
x x
x x
df X
dx
dg X
dx
là xong.
Nếu máy báo “Math ERROR” thì chắc chắn
0
( )
lim ( )
x x
f x
g x
(trong đề thi ĐH không có loại
không tồn tại giới hạn), lúc này nhìn bảng biến thiên của
( )
( )
f x
g x
là biết


_ Dạng
: ta vẫn dùng quy tắc L’Hospital như trên, chỉ khác lúc này
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x

_ Dạng
0.
: khi tính
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x
mà 0
0
lim ( ) 0
lim ( )
x x
x x
f x
g x
và f(x), g(x) là 2 trong 3 hàm
, , log
x m
a
a x x
( 1, 0)a m
, thì
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x
sẽ tính theo hàm có độ tăng mạnh nhất. Khi
x 
thì độ tăng của chúng xếp theo thứ tự
log
x m
a
a x x
(tức hàm x
a
nhanh nhất),
nhờ đó có thể đoán được ngay kết quả.
_ Giản ước giới hạn về dạng đa thức bằng cách sử dụng:
+ Vô cùng bé (VCB): nếu
0
lim ( ) 0
x x f x
thì f(x) là VCB trong quá trình
0
x x
. Từ đó ta có:
khi
0x
thì:
2
sin ; cos 1 ; tan ; log (1 ) ; 1 ln ;
2 ln
x
a
x x
x x x x x x a x a
a
1
1 2 1 1
(1 ) 1 ; ( ) ...
a n n
n n n
x ax f x a x a x a a
(
( )
n
f x
là đa thức).
+ Vô cùng lớn (VCL): suy từ VCB dựa vào: nếu
( )h x
là VCB thì
1
( )h x
là VCL.
Áp dụng quy tắc: nếu
( ) ( )
( ) ( )
F x f x
G x g x
khi
0
x x
thì
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
F x f x
G x g x
(x0 có thể là
).
Nhẩm nghiệm PT
11
1
0
n
n k
k
k
a x
dạng đặc biệt: