Thủ thuật Casio khối A - Chuyên đề 1: Tổ hợp, chỉnh hợp, nhị thức Newton

Chia sẻ: Le Huutuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

118
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu trình bày khái niệm, bài tập minh họa, hướng dẫn phương pháp và một số thủ thuật Casio khối A để giải các bài toán tổ hợp, chỉnh hợp, nhị thức Newton.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thủ thuật Casio khối A - Chuyên đề 1: Tổ hợp, chỉnh hợp, nhị thức Newton

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy CHUYÊN ĐỀ I: TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – NHỊ THỨC NEWTON A. LÝ THUYẾT: 1. Hoán vị: Pn  n!  n(n  1)(n  2)...2.1 là số các hoán vị của n phần tử. -Quy ước: 0!  1. n! 2. Chỉnh hợp: A kn   n(n  1)...(n  k  1) (1  k  n) là số các chỉnh hợp chập k (n  k)! của n phần tử. k n! A 3. Tổ hợp: C  = n (0  k  n) là số các tổ hợp chập k của n phần tử. k (n  k)!.k! k! n -Tính chất 1: C kn  C nn  k (0  k  n). -Tính chất 2: C kn 11  C kn  1  C kn (1  k  n). 4. Nhị thức newton: -Công thức nhị thức newton: n  a  b   C0na n  C1na n 1 b  ...  Ckna n  k bk  ...  Cnn 1abn 1  Cnn bn  C a nk n k n bk k0 -Hệ quả: Với a  b  1, ta có 2 n  C0n  C1n  ...  C nn . n Với a  1; b  1, ta có 0  C  C  ...  ( 1) C  ...  ( 1) C  0 n 1 n k k n n n n  (1) k0 k C kn . -Khai triển n- thức newton: n! Xét khai triển  a 0  a1  ...  a m    n .a0k0 .a1k1 ...a m km k0  k1  ... k m  n k 0 !k1!...k m ! Áp dụng: Cho khai triển  a 0  a1x  a 2 x  ...  a r 1x  a r x  , khi đó hệ số của xm trong 2 r 1 r n n! khai triển trên được xác định bởi xm    k0  k1  ... kr  1  kr  n k 0 !k1 !...k r 1 !k r ! a 0k0 .a1k1 ...a rkr 11 .a rkr  k0  k1  ...  kr 1  kr  n Với k0 ; k1 ;...; k r 1 ; k r  thỏa mãn hệ điều kiện  . 0k0  1k1  ...  (r  1)kr 1  rkr  m -Các dạng khai triển thường gặp: n! Dạng 1: Khai triển nhị thức  ax  bx   q n .a p .b q .xpk1  qk2 k k p  kp  kq  n k p !k q ! r! k k Khi đó hệ số của xm trong khai triển trên là x   m .a p .b q kp !kq ! Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 1
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy  kp  kq  n  Với k p ,kq  thỏa mãn   pk p  qk q  m  n! Dạng 2: Khai triển tam thức  ax  bx  cxt    n k k pk  qk  tk p q .a p .b q .c kt .x p q t kp  kq  kt  n k p !k q !k t ! n!  k k Khi đó hệ số của xm trong khai triển trên là xm   a p b q c kt kp  kq  kt  n k p !k q !k t !  kp  kq  kt  n  Với k p ,kq ,k t  thỏa mãn   pk p  qk q  tk t  m  B. BÀI TẬP MINH HỌA: Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn A 3n  5A n2  2n(n  1). A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Giải: Cách 1: Tự luận: n  3  ĐKXĐ  n  2  n  ; n  3. n   Ta có: n! n! A 3n  5A 2n  2n(n  1)   5.  2n(n  1)  n(n  1)(n  2)  5n(n  1)  2n(n  1) (n  3)! (n  2)!  n  0 (Loai)  n(n  1)  n  2  5  2   0   n  1 (Loai)  n  9.   n  9 (Nhan) Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính. w7 nhập màn hình: F(x)  XP3  5  XP2  2X(X  1) ; START: 3, END: 30; STEP: 1. Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 9, sau đó tăng liên tục. Chọn đáp án B. Câu 2: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên n thỏa mãn 3A 2n  A 2n 2  42  0. Tính tổng của các phần tử của S. A. 13. B. 18. C. 6. D. 4. Giải: Cách 1: Tự luận: Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 2
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy n  2  ĐKXĐ  2n  2  n  ; n  2. n   Ta có n! (2n)! 3A 2n  A 2n 2  42  0  3.   42  0  3n(n  1)  2n(2n  1)  42  0 (n  2)! (2n  2)!  n  6 (Nhan)   n 2  n  42  0    n  6.  n  7 (Loai) Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính. w7 nhập màn hình: F(x)  3  XP2  2XP2  42; START: 2, END: 30; STEP: 1. Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 6, sau đó giảm liên tục. Chọn đáp án C. Câu 3: Gọi S là tổng của tất cả các số tự nhiên n thuộc đoạn [0; 2018] thỏa mãn bất phương trình C nn  12  C nn 11  2  0. Tính S. A. S  3. B. S  2. C. S  5. D. S  14. Giải: Cách 1: Tự luận n  1  n  2  0 n  2   ĐKXĐ  n  1  n  1  0   n  1  n  ; n  2. n  n    (n  1)! (n  1)! Ta có C nn  12  C nn 11  2  0   20 (n  1)  (n  2)!.(n  2)! (n  1)  (n  1)!.(n  1)! (n  1)! (n  1)! (n  1).n.(n  1) (n  1).n   20  20 3!.(n  2)! 2!.(n  1)! 6 2 n3  n n2  n  n  2    2  0  n 3  3n 2  4n  12  0  6 2 2  n  3 Kết hợp điều kiện ta có n  {2; 3}  S  2  3  5. Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính. w7 nhập màn hình: F(x)  (X  1)C(X  2)  (X  1)C(X  1)  2; START: 1, END: 30; STEP: 1. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 3
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 2; x = 3, sau đó tăng liên tục. Chọn đáp án C. Câu 4: Gọi S là tổng của tất cả các số tự nhiên n thuộc đoạn [0; 2018] thỏa mãn bất phương trình A 4n  2 143   0. Tính S. Pn  2 4Pn 1 A. S  365. B. S  665. C. S  1330. D. S  735. Giải: Cách 1: Tự luận n  2  4  ĐkXĐ  n  1  0  n  ; n  2. n   A 4n  2 143 (n  2)! 143 1 143 Ta có  0  0  0 Pn  2 4Pn 1 (n  2)!.(n  2)! 4.(n  1)! (n  2)! 4.(n  1)! 1  143  143 147  1   0  1   0  4(n  1)  143  0  n  . (n  2)!  4(n  1)  4(n  1) 4  n  2; 3; 4;...; 36  S  665. Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính. (X  2)P4 143 w7 nhập màn hình: F(x)   ; (X  2)! 4  (X  1)! Lần 1: START: 1, END: 30; STEP: 1. Quan sát thấy giá trị của F(x) xác định và luôn âm trên đoạn [2; 30]. Lần 2: START: 31, END: 60; STEP: 1. Quan sát thấy F(x) xác định và luôn âm trên đoạn [31; 36].  n  [2; 36]. Chọn đáp án B. Câu 5: Biết S  C2018 0  2C2018 1  3C2018 2  ...  2019C2018 2018  a.2b , a, b  và a , b đều không chia hết cho 2. Tính giá trị của biểu thức P  a  b. A. P  2524. B. P  3028. C. P  2018. D. P  2024. Giải: Cách 1: Tự luận Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 4
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 2018 Ta có S  C02018  2C12018  3C22018  ...  2019C2018 2018   (k  1)C k0 k 2018 . 2018 2018 Xét khai triển S(x)   1  x  C x   C2018 X 1 2018  k 2018 k k  2 2018. k0 k0 2018 2018 Ta lại có S'(x)  2018(1  x)2017   C2018 k0 k X 1 .k.x k 1   kCk2018  2018.22017  1009.22018. k0 2018 2018 2018  C k0 k 2018   kC k0 k 2018   (k  1)C k0 k 2018  2 2018  1009.2 2018  1010.2 2018  505.2 2019.  P  a  b  505  2019  2524. Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y Nhập màn hình  (X  1)  YCX X0 18  2 18 -r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 2621440, bấm qx được kết quả 5.219  10.218  .2 . 2 24  2 24 -r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 218103808, bấm qx được kết quả 13.224  .2 . 2 28  2 28 -r X bất kỳ, Y = 28 được kết quả 4026531840, bấm qx được kết quả 3.5.228  .2 . 2 Y Y2 Y Tổng quát:  (X  1)  YCX  X0 2 .2 Y  2018  S  1010.2 2018  505.2 2019. Chọn đáp án A. Câu 6: Giả sử tổng S  C2019  C2019  C2019  ...  C1009 có dạng S  a.2 với a,b  0 1 2 b 2019 và a không chia hết cho 2. Tính giá trị của P  a  b  2ab. A. P  3655. B. P  4037. C. P  6055. D. P  6054. Giải: Cách 1: Tự luận 1009 Ta có S  C02019  C12019  C22019  ...  C1009 2019  C k0 k 2019 2019 2019 Xét S(x)  (1  x)2019  C k0 k 2019 X 1 x k   Ck2019  22019 k0 Mặt khác ta có: 2019 1009 2019 1009 2009 1009 C k 2019 C 2019  k 2019  C k0 k 2019  C k0 k 2019   k  1010 C k 2019  C k0 k 2019  C k0 2019  k 2019  2  Ck2019  2S  2 2019 k0 S2 2018  P  a  b  2ab  1  2018  2.2018  6055. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 5
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y 1 2 Nhập màn hình  YCX X0 19  1 -r X bất kỳ, Y = 19 được kết quả 262144, bấm qx được kết quả 2  2 . 18 23  1 -r X bất kỳ, Y = 23 được kết quả 4194304, bấm qx được kết quả 2  2 . 22 25  1 -r X bất kỳ, Y = 25 được kết quả 167772216, bấm qx được kết quả 2  2 . 24 Y 1 2 -Tổng quát:  YCX  2 X0 Y 1 Y  2019  S  2 2018. Chọn đáp án C. Câu 7: Giả sử tổng S  4C100  8C100  12C100  ...  200C100 có dạng S  a .2 với a,b là các số 2 4 6 100 2 b nguyên tố. Tính giá trị của P  a  b. A. P  102. B. P  106. C. P  210. D. P  224. Giải: Cách 1: Tự luận Ta có S  4C100 2  8C100 4  12C100 6  ...  200C100 100 . 100 Xét khai triển S(x)  (1  x) 100  C k0 k 100 .x k . 100  S'1 (x)  100(1  x)99   kC k0 k 100 x k 1 . 100 x  1  100.299   kC k0 k 100  0C100 0  1C1100  2C100 2  3C100 3  ...  99C100 99  100C100 100 (1) 100 x  1  0   (1) k0 k 1 k kC100  0C100 0  1C1100  2C100 2  3C100 3  ...  99C 100 99  100C100 100 (2) Trừ vế với vế của (1) và (2) ta có: 2  0C100 0  2C100 2  4C100 4  ...  98C100 98  100C100 100   4C100 2  8C100 4  ...  196C100 98  200C100 100 S  S  100.299  25.2101  52.2101  P  a  b  5  101  106. Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y 2 Nhập màn hình  4X   YC 2 X  X 1 -r X bất kỳ, Y = 16 được kết quả 524.288 bấm qx được kết quả 2  16.2 . 19 15 -r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 2.359.296 bấm qx được kết quả 3 .2  18.2 . 2 18 17 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 6
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy -r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 201.326.592 bấm qx được kết quả 3.2  24.2 . 26 23 Y 2 Tổng quát:  4X   YC 2 X   Y.2 X 1 Y 1 Y  100   S  100.299  52.2101. Chọn đáp án B. Câu 8: Cho tổng S  C12018  2C22018  3C32018  4C42018  ...  2018C2018 2018 . Tính giá trị của biểu thức P  S! CS2018  2018. A. P  2018. B. P  2019. C. P  1. D. P  0. Giải: Cách 1: Tự luận 2018 Ta có S  C 1 2018  2C 2 2018  3C 3 2018  4C 4 2018  ...  2018C 2018 2018   (1) k 1 k 1 kCk2018 . 2018 2018 Xét khai triển S(x)  (1  x)2018   Ck2018 xk  S'(x)  2018.(1  x)2018  k0  kC k0 k 2018 x k 1 . 2018 Với x  1  0   (1) k0 k 1 kCk2018  0.C02018  1C12018  2C22018  3C32018  ...  2018C2018 2018  S.  S  0  P  S! 2018CS2018  2018  1  2018  2018  1. Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y Nhập màn hình  X(1) X0 X 1  YCX -r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 0. -r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 0. Vậy S  0  P  S! 2018CS2018  2018  1. Chọn đáp án C. 1 0 1 1 1 2 1 2a  b Câu 9: Giả sử tổng S  C2018  C2018  C2018  ...  C 2018 có dạng S  với a,b,c 1 2 3 2019 2018 c b là các số nguyên dương và không chia hết cho 2; phân số tối giản. Tính giá trị của biểu c thức P  a  b  c. A. P  4034. B. P  4037. C. P  4038. D. P  4039. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 7
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Giải: (1  x)2019 1 2 2019  1 1  (1  x) dx   2018 Ta có 0 2019 0 2019 Xét tích phân 1  0 1 1 2018 2019  1 1   C2018  C2018 x  C2018 x  ...  C2018x  dx   C2018x  2 C 2018x  3 C 2018x  ...  2019 C 2018x  0 0 1 2 2 2018 2018 1 2 2 3 0   1 1 1 2 1  C02018  C2018  C2018  ...  2018 C2018 S 2 3 2019 22019  1 S  P  a  b  c  2019  2019  1  4039. 2019 Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y YCX Nhập màn hình X  1 X0 255 28  1 -r X bất kỳ, Y = 7 được kết quả  . 8 8 2047 211  1 -r X bất kỳ, Y = 10 được kết quả  . 11 11 65535 216  1 -r X bất kỳ, Y = 15 được kết quả  . 16 16 Y YCX 2 Y1  1 22019  1 Tổng quát:  X0 X  1  Y1 S 2019 . Chọn đáp án D. Giả sử tổng S  30 C02018  32 C22018  34 C42018  ...  32018 C2018 có dạng S  2  2 a b Câu 10: 2018 với a,b (a  b) là các số nguyên dương và không chia hết cho 2. Tính giá trị của biểu thức P  2018a  2017b? A. P  4034431. B. P  4074341. C. P  4038073. D. P  4039134. Giải: Cách 1: Tự luận Xét khai triển:  2n 2n  x  3  4 2n   C k2n 3k  30 C02n  31 C12n  ...  32n C 2n 2n (1  x)2n   C 2n x   k k k0 2n  x  3  ( 2)2n  k0   k0 ( 1)k C k2n 3k  30 C02n  31 C12n  ...  ( 1) 2n 3 2n C 2n 2n Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 8
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 4 2n  2 2n  4 2n  2 2n  2  30 C02n  32 C22n  ...  32n C2n 2n   30 C02n  32 C 22n  ...  32n C 2n 2n  . 2 4 2018  2 2018 Với 2n  2018, ta có S  30 C02018  32 C2018 2  34 C2018 4  ...  32018 C2018 2018  2  S  2 4035  2 2017  P  2018a  2017b  2018.4035  2017.2017  4074341. Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y 2 Nhập màn hình 3 X0 2X  YC2X -r X bất kỳ, Y = 6 được kết quả 2080, bấm qx được kết quả 5.13.2 5  2 5 (2 6  1). -r X bất kỳ, Y = 10 được kết quả 524800, bấm qx được kết quả 41.52.2 9  2 9 (210  1). -r X bất kỳ, Y = 16 được kết quả 2147516416, bấm qx được kết quả 215.65537  215 (216  1). Y 2 Tổng quát: 3 X0 2X  YC2X  2 Y 1 (2 Y  1) (Y  2 n)  S  2 2017 (2 2018  1)  2 4035  2 2017 . Chọn đáp án B. Giả sử tổng S   C12018   2  C2018   ...  2017  C2017 2018   2018  C2018 2018  2 2 2 2 2 Câu 11: có dạng a.(4b)! , với a,b là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức P  a  b? (2 b)! A. P  2019. B. P  4036. C. P  2018. D. P  4038. Giải:  S  0  C2018   1 C2018   2  C2018   ...  2017  C 2018   2018  C 2018   0 2 1 2 2 2 2017 2 2018 2 Ta có   S  2018  C2018   2017  C2018   2016  C 2018   ...   C 2018   0  C 2018  2 2 2017 2 2018 2  0 1 2  2S  2018  C02018    C12018    C22018    C32018   ...   C 2017    C 2018   2 2 2 2 2 2  2018 2018  Ta chứng minh được với n là số nguyên dương thì  Cn    Cn    Cn   ...   Cn   C2n như 0 1 2 2 n 2 n 2 2 sau: Ta có:  1  x   1  x  .1  x  2n n n (1) 2n Mặt khác  1  x  C 2n  k 2n x k (2) k0 Ta lại có (1  x)n (1  x)n   C0n  C1n x  ...  Cnn 1xn 1  Cnn xn  .  C0n  C1n x  ...  Cnn 1xn 1  Cnn xn    C0n  C1n x  ...  Cnn 1xn 1  Cnn xn  .  C0n xn  C1n xn 1  ...  Cnn 1x  Cnn  (3) Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 9
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Ta thấy hệ số của xn trong khai triển (2) là C n2n , còn hệ số của xn trong khai triển (3) là  C0n    C1n    Cn2   ...   Cnn  . 2 2 2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh:  C0n    C1n    Cn2   ...   Cnn   C2n 2 2 n 2 2 . 1009.(4.1009)!  S  2018C 2018 4036   P  a  b  1009  1009  2018. (2.1009)! Chọn đáp án C. 1 2 2017 2017 2 2018 2018 2  C12018      C2018   1  C2018  2 2 Câu 12: Giả sử tổng S  2 C2018  ...  2018 2017 2 a a có dạng S  Ca2a (a, b  ; tối giản). Khẳng định nào sau đây là đúng? b b A. a  b   0; 2018  . B. a  b   2018; 4036 . C. a  b   4036;6054  . D. a  b  1. Giải: C02018 C12018 C2016 C2017        2018  2 2 2017 2 2018 2 Ta có S  . C1 2018  . C 2 2018  ...  2018 . C 2018  2018 . C C12018 C22018 C2017 2018 C2018 2018  S  C02018 .C12018  C12018 .C2018 2  ...  C2018 2016 2017 .C2018  C2018 2017 2018 .C2018 Ta chứng minh công thức: C0n .C1n  C1n .C n2  ...  C nn  2 .C nn  1  C nn  1 .C nn  C 2n n1 như sau: Ta có  1  x    1  x   1  x  (1) 2n n n 2n  1 C 2n  1 Xét khai triển  1  x   k 2n  1 k x có hệ số của xn  1 là C n2 n 1 (2), và ta có: k0  1  x   1  x    C0n  C1n x  Cn2 x2  ...  Cnnxn  Cnn  Cnn 1x  Cnn  2x2  ...  C1nxn 1  C0nxn  n n Hệ số của xn  1 trong khai triển trên là C0n C1n  C1n .C n2  C n3  ...  C nn  1 .C nn (3) Từ (1), (2), (3) ta có C0n .C1n  C1n .C n2  ...  C nn  2 .C nn  1  C nn  1 .C nn  C 2n n1 (Điều phải chứng minh). 4036! 2018  S  C02018 .C12018  C12018 .C2018 2  ...  C2018 2016 2017 .C2018  C2018 2017 2018 .C2018  C4036 2019  . . 2018!.2018! 2019 2018 2018 S C  a  b  2018  2017  4037. 2019 4036 Chọn đáp án C. 6 Câu 13:  2  Tìm hệ số a 3 của số hạng chứa x trong khai triển của nhị thức  x  2  . 3  x  A. a 3  60. B. a 3  12. C. a 3  240. D. a 3  120. Giải: Cách 1: Tự luận Số hạng tổng quát của khai triển là C6k .xk .x 2(6 k) .26 k với k ;0 k 6 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 10
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Khi đó ta có x3 xk .x 2(6 k) 3 k 2(6 k) k 5 [x3 ] C65 .26 5 12. Cách 2: Sử dụng n- thức newton. Ta có a1 1,a 2 2 Gọi k1 ,k 2 lần lượt ứng với x 1 và x 2 , khi đó k1 ,k 2 thỏa mãn hệ 1k1 ( 2)k 3 k1 5 n! 6! 5 1 2 Hệ số [x3 ] a1k .a k 2 1 .1 .2 2 12. k1 k 2 6 k 2 1 k1 !k 2 ! 5!.1! Cách 3: Dùng chức năng w7 của máy tính: Chọn đơn vị x 10 x3 103 1000 F(x) 6CX.2 6 x Nhập màn hình trong đó F(x) là hệ số của Xm còn G(x) là Xm, X chính là k trong G(x) 10 X.10 2(6 X ) số hạng tổng quát C6k .xk .x 2(6 k) .26 k của khai triển Lấy Start: 0, end: 6, step: 1 do k ;0 k 6 Nhìn vào bảng, chỉ cần quan tâm hệ số của x3 1000 ; ta được tại vị trí x 5,G(x) 1000 thì F(x) 12 Chọn đáp án B. 8 1  1  Câu 14: Tìm hệ số của trong khai triển của  3  2 x  . x  x  A. 112. B. 256. C. 1024. D. 16. Giải: Cách 1: Tự luận k 1  x 1 8 k  (8  k) 8 k Số hạng tổng quát của khai triển là C . k . .2  C x .x k 3 2 .28  k với  x 8 k 8 3 k ;0 k 8 k 1 1 (8 k) k 1 Khi đó ta có x 1 x 3 .x 2 1 (8 k) k 6 x 3 2 [x 1 ] C8 .28 6 112. 6 Cách 2: Sử dụng n- thức newton. Ta có a 1 1,a 1 2 3 2 1 1 1 Gọi k 1 ,k 1 lần lượt ứng với x 3 và x x 2 , khi đó k 1 ,k 1 thỏa mãn hệ 3 3 2 x 3 2 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 11
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 1 1 k 6 k k 1 1 k k 3 1 2 21 3 1 n! 8! 6 2 1 1 3 Hệ số [x ] a 1 .a 1 .1 .2 3 2 112. k k1 8 k1 2 k 1 !.k 1 ! 3 2 6!.2! 1 2 3 2 3 2 Cách 3: Dùng chức năng w7 của máy tính Chọn đơn vị x 10 x0 1 F(x) 8CX.28 X Nhập màn hình X 1 (8 X) trong đó F(x) là hệ số của Xm còn G(x) là Xm, X chính là k trong G(x) 10 .10 3 2 k 1   1 8 k  (8  k) số hạng tổng quát C8k . . x .28  k  C8k .x 3 .x 2 .28  k của khai triển trên  x 3 k Lấy Start: 0, end: 8, step: 1 do k ;0 k 8 1 1 1 Nhìn vào bảng, chỉ cần quan tâm hệ số của ta được tại vị trí x 6,G(x) 0,1 thì x 10 10 F(x) 112. Chọn đáp án A. 3 Câu 15: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của (1 2 x 3x2 )10 là: A. 1500. B. 3000. C. 1200. D. 420. Giải: Cách 1: Tự luận Coi a 1,b 2x 3x2 thì ta có: 10 10 10 (1 2 x 3 x 2 )10 k C10 .a 10 k .b k k C10 .110 k.(2 x 3 x 2 ) k k C10 (2 x 3 x 2 ) k k 0 k 0 k 0 k k k và (2 x 3 x 2 )k Cik .(2 x)k i .(3x 2 )i Cik .2 k i.3i x k i x 2i Cik .2 k i.3i x k i i 0 i 0 i 0 10  k    1  2x  3x 2    C  C .2 10 ki  k i .3i.x k  i   x k  i  x 3  k  i  3.  10 k k0 i0 k i 3 Ta có hệ Chọn được các cặp (i; k) (0;3);(1; 2) thỏa mãn. 0 i k 10  x3   C10 3  C03 .23.30   C102  C12 .21.31   1500. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 12
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Cách 2: Sử dụng n- thức newton. Ta có a0 1,a1 2,a2 3 Gọi k0 ,k1 ,k2 lần lượt ứng với x0 1,x và x 2 , 0k0 1k1 2k 2 3 khi đó k0 ,k1 ,k2 thỏa mãn hệ k0 k1 k2 10 Chọn được các cặp (k0 ; k1 ; k2 ) (7; 3;0);(8;1;1) 10! 7 3 0 10! 8 1 1 [x 3 ] .1 .2 .3 .1 .2 .3 1500. 7!3!0! 8!1!1! Cách 3: Dùng vòng lặp đệ quy k2 A k1 2k 2 3 Với hệ ở trên ta có k1 3 2k 2 B k0 k1 k2 10 k0 10 k1 k2 C 10! C B A Khi đó ta có [x3 ] 123 A B C 10 A!B!C! 10! Nhập màn hình A A 1: B 3 2A : C 10 A B: 1C 2 B 3A A! B! C! Dấu = bấm Qr, dấu : bấm Qy, dấu ! bấm qu… Sau đó r A 1 và đó bấm = liên tiếp khi đó A sẽ bắt đầu chạy từ 0 và các giá trị của B,C sẽ thay đổi khi A thay đổi, tức B, C phụ thuộc vào A Bấm = liên tiếp để tìm các hệ số [x3 ]i . Sau mỗi lượt ta sẽ tìm được các hệ số [x3 ]i và hệ số [x 3 ] [x 3 ]i Lượt thứ nhất tìm được [x 3 ]1 960 Lượt thứ hai tìm được [x3 ]2 540 Và tiếp tục bấm lượt thứ 3 thì máy báo Math ERROR vậy [x3 ] [x3 ]1 [x3 ]2 1500. Chọn đáp án A. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 13
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 2009 Câu 16: Hệ số của x 1008  1 trong khai triển nhị thức  x 2  3  là:  x  602 1204 1004 A. C2009 . B. C2009 . C. C2009 . D. C1008 2009 . Giải: Cách 1: Tự luận Số hạng tổng quát của khai triển trên là: Ck2009 x2(2009 k) x3k  2(2009  k)  3k  1008  k  602. Hệ số của x1008 trong khai triển trên là  a1008   Ck2009  C602 2009 . Cách 2: Sử dụng khai triển n- thức newton. Ta có a2 1,a 3 1 Gọi k2 ,k 3 lần lượt ứng với x 2 và x 3 k2 k 3 2009 k2 1407 khi đó k0 ,k1 ,k2 thỏa mãn hệ 2k 2 3k 3 1008 k 3 602 2009! 2009! Hệ số của [x1008 ] là: k1008 (1)2 .(1) 3 C602 2009 C1407 2009 k 2 !k 3 ! 602!.1407! Chọn đáp án A. Câu 17: Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1  Cn2  55, số hạng không chứa x trong n  2  khai triển của biểu thức  x 3  2  bằng  x  A. 322560. B. 3360. C. 80640. D. 13440. Giải: Cách 1: Tự luận: n! n! n(n  1) Ta có Cn  Cn  55    55  n   55 1 2 (n  1)! ( n  2)!.2! 2 n 10  2   2  10 10  n  10; n  11 (Loại)   x 3  2    x 3  2   x   x   C k0 k 10 k .2 .x 3(10  k ) .x 2 k  C k0 k 10 .2 k.x30  5 k 30  5 k 30  5 k Số hạng tổng quát của khai triển là C .2 .x k 10 k x x 0  30  5k  0  k  6  Hệ số của số hạng không chứ x trong khai triển là C10 6 .26  13440. Tìm n bằng casio: qr Hoặc w7: Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton: Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 14
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 2 Ta có a3  1; a2  2 . Gọi k3 ; k2 ứng với x và x 3 khi đó k3 , k2 thỏa mãn hệ  k3  k2  10 k  4 10! 4 6   3  a(0)  .1 .2  13440.  3k3  2 k2  0  k2  6 4!.6! Cách 3: Sử dụng số hạng tổng quát kết hợp chức năng w7 của máy tính: Chọn đơn vị x  10  x  10  1  Ta đi tìm hệ số của 1 từ số hạng tổng quát 0 0 30  5 X  x  F( X )  10  m 30  5 k Số hạng tổng quát của khai triển là C .2 .x k k   a( m )  G( x)  2 .(10CX ) 10 X  w7 Nhập màn hình (START 0, END = n = 10, STEP 1) Tại vị trí X = 6 ta được F(X)  x  1  x 0 và G( x)  am  13440. m Chọn đáp án D. Hệ số của số hạng chứa x16 trong khai triển thành đa thức của 1  x 2  1  x 2   là: 16 Câu 18: A. 257586. B. 364420. C. 80640. D. 258570. Giải: Cách 1: Tự luận: 16 Ta có 1  x2  1  x2   C x  x2  . 16 16 k  1  (x4  x2 )  k 16 4 k0 k k Ta lại có  x4  x2    (1) C x  (1) C x k 4(k  i) 4k  2i i i k .x2i  i i k . i0 i0 k   16 k  16   16  1  x2 (1  x2 )  C ( 1)i Cik .x 4k  2i   x16  x 4k  2i  4k  2i  16  2k  i  8. k0  i0   2k  i  8 Ta có hệ   (k;i)  (4;0);(5; 2);(6;);(7;6);(8;8). 0  i  k  16 Vậy hệ số của x16 trong khai triển trên là: a16  C16 4 .( 1)0 C04   C16 5 .( 1)2 C52   C16 6 .( 1)4 C64   C16 7 .( 1)6 C76   C16 8 .( 1)8 C88   258570. Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton kết hợp vòng lặp của casio:   1  x4  x2  . 16 16 Ta có 1  x (1  x ) 2 2 Ta có a 0  1,a 4  1,a 2  1. Đặt k 0 ,k 4 ,k 2 lần lượt ứng với x0 ,x 4 ,x 2 . 16! Ta có hệ số của x16 trong khai triển trên là  k0  k 4  k 2  16 k 0 !k 4 !k 2 ! ( 1)k2 , Trong đó k0 ,k 4 ,k 2  và thỏa mãn Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 15
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy A  k4  A  1  k0  k 4  k 2  16     B  k 2  8  2k 4  8  2A  0k 0  4k 4  2k 2  16  C  k  16   k  k   16   A  B   0 4 2 16! Nhập màn hình: A  A  1 : B  8  2A : C  16  (A  B) : D  D ( 1) B A! B! C! r A  1 để A bắt đầu chạy từ 0,r D  0 để tổng hệ số bắt đầu tính từ 0; Sau đó bấm = liên tục đến khi máy báo Math ERROR thì dừng lại. Bấm C sau đó bấm Qj= ta được kết quả D  258570 là hệ số của x16 trong khai triển trên. Chọn đáp án D. Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức của  2x4  2x3  x  1 10 Câu 19: là: A. 50640. B. 24615. C. 13185. D. 6660. Giải: Cách 1: Tự luận Ta có 2x4  2x3  x  1  x(2x3  1)  (2x3  1)   2x3  1 (x  1) 10 10   2x  2x  x  1   2x  1 (x  1)  (1) .  ( 1) m C10 10 10 10  k 30  3k m 10  m 4 3 3 10  k k C .2 10 .x x k0 m 0 10 10  C k0 m 0 k 10 m C10 ( 1)k  m .210  k x 40  3k  m 40  3k  m x  x  40  3k  m  8 8  m  40  3k  8  Ta có hệ  0  k; m  10  (k; m)  (8;8);(9; 5);(10; 2)  k,m   Vậy hệ số của x8 trong khai triển trên là a8  C10 8 8 C10 ( 1)8 8 .210 8  C10 9 5 C10 ( 1)9 5 .210 9  C10 C2 ( 1)10 2 .21010  13185. 10 10 Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton: Ta có a 4  2,a 3  2,a1  1,a 0  1. Đặt k 4 ,k 3 ,k1 ,k 0 lần lượt ứng với x 4 ,x 3 ,x,x0 khi đó hệ số 10! của x8 trong khai triển trên là  a 8    k4  k3  k1  k0  10 k 4 !k 3 !k1 !k 0 ! .2k4 .( 2)k3 .( 1)k1 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 16
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy  k 4  k 3  k1  k0  10 trong đó k 4 ,k 3 ,k1 ,k0  thỏa mãn   4k 4  3k 3  1k1  0k0  8 k4 k3 k1 k0  a 8 i 0 0 8 2 0 1 Câu 20: Tìm hệ số a 1 của số hạng chứa x trong khai triển thành đa thức của biểu thức P  (1  x)  (1  x)2  (1  x) 3  ....  (1  x) 2017  (1  x) 2018 . A. a1  2018! B. a1  2019. C. a1  2037171. D. a1  4074342. Giải: 1 Xét khai triển  1  x   C x n k n k  Hệ số của xk trong khai triển là C kn . k0 Vậy hệ số của x là C1n  n. Áp dụng vào biểu thức P ta có hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 2018 của biểu thức P là: a1   x  2037171. x 1 Chọn đáp án C. Câu 21: Tìm hệ số a10 của số hạng chứa x10 trong khai triển thành đa thức của P   x2  2x  4  (x  1)10 . A. a10  12. B. a10  69. C. a10  256. D. a10  201. Giải: Ở câu trên ta đã tìm được hệ số của xk trong khai triển của  x  1 là C kn . n Ta có P   x2  2x  4  (x  1)10  x2  x  1  2x  x  1  4  x  1 10 10 10 2 1 Vậy ta có hệ số của của số hạng chứa x10 là a10  C10 10  2.C10 10  4.C10 10  69. Chọn đáp án B. Cho khai triển  1  x  x  ...  x  19 Câu 22: 2 18  a 0  a1x  a 2 x2  ...  a 342 x 342 , với ai  . Tính tổng S  C19 0 a19  C119a18  C19 2 a17  ...  C19 a . 19 0 A. S  18. B. S  19. C. S  342. D. S  324. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 17
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Giải: Ta có hằng đẳng thức xn  1   x  1  xn 1  xn  2  ...  x 1 với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh bằng CSN, theo công thức tổng n phần tử của một cấp số nhân ta có: 1  xn 1  x  x  ...  x 2 n 1    x  1  1  x  x 2  ...  x n  1   x n  1 1 x   x19  1  1  x  x2  ...  x18    x  1 19 19 19   x19  1   x  1  a 0  a1x  a 2 x 2  ...  a 342 x 342  19 19   x19  1  a 0  x  1  a1x  x  1  ...  a19 x19  x  1  ...  a 342 x 342  x  1 19 19 19 19 19 19 Ta có  x  1 C ( 1)19  k x19k  hệ số của x19 trong  x19  1 là C119  1 19 19 19 1 19  k 19  19. k0 0 Hệ số x19 bên vế phải là a0 .C19 .( 1)0  a1 .C19 1 .( 1)1  ...  a19 C19 19 ( 1)19  S. Cho hệ số của x19 hai vế bằng nhau thì ta có: S  19  S  19. Chọn đáp án B. Câu 23: Cho khai triển P(x)  (1  x)(1  2 x)...(1  2018x)  a 0  a1x  ...  a 2018 x 2018 . 1 2 1. Tính T  a 2  2  1  22  ...  20182  . 2 2 2 2 A.   2017.2018   2018.2019  1  2017.2018  1  2018.2019   . B.   . C.   . D.   .  2   2  2 2  2 2  2. Tính a1 . A. a1  2018! B. a1  2019. C. a1  2037171. D. a1  4074342. Giải: 1. Xét P'(x) (1 x)(1 2x)(1 3x)(1 3x) 24x 4 50x 3 35x 2 10x 1 a' 2 35 2 2 1 1  4.5  1  2018.2019  Khi đó T'  35   12  2 2  32  4 2   50    T   . 2 2 2  2 2  Chọn đáp án B. 4 2. Xét P1 (x) (1 x)(1 2x)(1 3x)(1 4 x) 24x 4 50x 3 35x 2 10x 1 a1 10 k k 1 Xét P2 (x) (1 x)(1 2x)(1 3x)(1 4 x)(1 5x) 120x 5 274x 4 225x 3 85x2 15x 1 5 2018 a1 15 k 1 k . Quy nạp ta có: a1   k  2037171. k 1 Chọn đáp án C. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 18
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 3 Câu 24: Cho số tự nhiên n (n 4) thỏa mãn A n A 2n 15(n 2 n), tìm hệ số a 4 của số hạng n 4 1 chứa x trong khai triển của x . x A. a 4 43758. B. a 4 43758. C. a 4 31824. D. a 4 31824. Giải: Cách 1: Tự luận 3 n! n! Ta có Cn A2n 0 15(n 2 n) n(n 1)(n 2) n(n 1) 15n(n 1) (n 3)! (n 2)! n 0 n 18 1 1 n(n 1)(n 2 1 15) 0 n 1 n 18 x x x x n 18 k 18 k 1 Số hạng tổng quát của khai triển là C18 .x . C18k .x18 2k xk 18 2k 4 k 7 a4 C187 31824. Cách 2: Sử dụng khai triển n- thức newton Trước tiên qr để tìm n 1 Ta có a (1) 1, a ( 1) 1 , gọi k1 , k 1 lần lượt ứng với x, khi đó k1 , k 1 thỏa mãn hệ sau x k1 k 1 18 k1 11 n! 18! a4 .(a (1) ) k .(a ( 1) ) k 1 1 31824. k1 k 1 4 k 1 7 k1 !.k 1 ! 11!.7! Cách 3: Sử dụng chức năng TABLE (w7) với số hạng tổng quát của khai triển k 18 k 1 Số hạng tổng quát của khai triển là C18 .x . k C18k .x18 2k x Sử dụng hàm F(x) 18Cx để tìm hệ số của x m và sử dụng hàm G(x) 1018 2x (thay thế x 10 và k x ) để xác định vị trí của x m 10m . w7 nhập màn hình: Tại vị trí G(x) 10000 104 x 4 ta có F(x) ak 31824 a4 Chọn đáp án C. Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 19
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 20 10  1 Sau khi khai triển thành đa thức và rút gọn thì  x  2   1 Câu 25:   x3   có tất cả bao  x   x nhiêu số hạng? A. 29. B. 30. C. 31. D. 32. Giải: Chọn đáp án A.   n Câu 26: Gọi a 2018 là hệ số của số hạng chứa x 2018 trong khai triển nhị thức Niuton x  x với x 0; n là số nguyên dương thỏa mãn 1 1 1 1 1 22018 1 ... . Tìm a 2018 ? 2!2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018! Pn A. 2017. B. C32018 . C. 2019. D. C22019 . Giải: Cách 1: Tự luận 1 22018  1 Từ giả thiết ta có  C  C2019  C2019  ...  C2019  C2019   n! (*) 2019! 2019 2 4 6 2016 2018 2 2019 C02019 C12019 C 22019 ... C 2018 C 2019 Ta lại có 2019 0 1 2 2019 2018 2019 2019 2C02019 2C 22019 ... 2C 2018 2019 2 2019 0 C 2019 C 2019 C 2019 ... C 2019 C 2019 2 4 2 2019 2 2018 C C 2019 ... C 2019 2 2018 1 2019 2 1 2 1       2018 2018 2019 2  Ck2019x2019  k  x n 2019 k  (*)    n  2019  x  x  x x  2019! n! k0 k Số hạng tổng quát của khai triển là ( 1)k C k2019 x 2019 k .x 2 k 2018 2019 k k x x .x 2 2018 2019 k k 2 2 Vậy a 2018 ( 1)2 C22019 C22019 Cách 2: Casio y 1 y 1 2 1 2y 1 1 2 1 Tổng quát: n! (2 y 1 1) : x 1 (2x)!(y 2x)! n! x 1 (2x)!(y 2x)! Chọn y 19 thay cho 2019: Vậy n y 2019 k Khi đó Số hạng tổng quát của khai triển là ( 1)k C k2019 x 2019 k .x 2 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 20