Sự hấp thụ sóng âm do tương tác electron phonon trong bán dẫn dây lượng tử

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sự hấp thụ sóng âm trong bán dẫn thấp chiều dưới tác dụng của trường laser cao tần đang được quan tâm nghiên cứu. Bài viết này đề cập đến việc sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon để thành lập biểu thức của hệ số hấp thụ trong bán dẫn dây lượng tử với thế giam giữ bất kỳ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự hấp thụ sóng âm do tương tác electron phonon trong bán dẫn dây lượng tử

SỰ HẤP THỤ SÓNG ÂM DO TƯƠNG TÁC ELECTRON-PHONON TRONG BÁN DẪN DÂY LƯỢNG TỬ LÊ THỊ MỸ HẠNH TRƯƠNG THỊ VŨ NỮ - TRẦN THỊ VÂN NHI Lớp Khoa Vật lý 1 GIỚI THIỆU Sự hấp thụ sóng âm trong bán dẫn thấp chiều dưới tác dụng của trường laser cao tần đang được quan tâm nghiên cứu [1, 2, 3, 4]. Các hiệu ứng này xảy ra do tương tác của electron và phonon. Vì tương tác electron-phonon trong dây lượng tử bán dẫn xảy ra khác biệt so với trong bán dẫn khối và trong các bán dẫn thấp chiều khác nên hiệu ứng này mang các đặc tính mới. Vấn đề này đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối và bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng), nhưng đối với dây lượng tử thì còn rất ít. Bên cạnh đó, lý thuyết gia tăng sóng âm do hấp thụ bức xạ laser là một đề tài được nghiên cứu rộng rãi do nó cho nhiều thông tin về phổ năng lượng và cơ chế tán xạ của điện tử. Trước đây, vấn đề đã được giải quyết cho bán dẫn khối trong trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon đối với hệ điện tử suy biến và không suy biến. Bài toán này cũng đã được giải quyết cho hố lượng tử có xét thêm ảnh hưởng của từ trường. Đây là vấn đề mà một số đề tài nghiên cứu khoa học, luận văn cao học, khoá luận tốt nghiệp gần đây quan tâm nghiên cứu [6, 7, 8]. Bài báo này đề cập đến việc sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon để thành lập biểu thức của hệ số hấp thụ trong bán dẫn dây lượng tử với thế giam giữ bất kỳ. 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON TRONG DÂY LƯỢNG TỬ Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử bất kì khi có mặt của trường ngoài có dạng: X → e→ X H(t) = εny ,nz k − A(t) a+ →a → + ~ωb→ b+ q → ~c n ,n y z , k ny ,n z , k q → → ny ,nz , k q X → + + Cny ,nz ,n0y ,n0z q a → → a → (b→ q + b+→ ), (1) ny ,nz , k + q n0y ,n0z , k −q ny ,nz ,n0y n0z ~k,~ q → + trong đó: a → và a → lần lượt là toán tử sinh và hủy electron ở trạng thái |ny , nz , k ; ny ,nz , k ny ,nz , k → b+ → và b→ lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon với vectơ sóng q ; ω là tần số phonon chưa q q Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2013, tr: 52-58
SỰ HẤP THỤ SÓNG ÂM DO TƯƠNG TÁC ELECTRON-PHONON ... 53 tái chuẩn hóa do tương tác electron-phonon gây ra; c là vận tốc ánh sáng; e là điện tích của → electron; Cny ,nz ,n0y ,n0z ( q ) là hằng số tương tác electron-phonon. q → → → Trong dây lượng tử Cny ,nz ,n0y ,n0z ( q ) = C( q )Iny ,nz ,n0y ,n0z . Đối với phonon âm C( q ) = iξ 2ϑ~qs V → ( q là vevtơ sóng của phonon, ξ là hằng số thế biến dạng, ρ là khối lượng riêng, ϑs là vận tốc → sóng âm, V là thể tích của mẫu). Iny ,nz ,n0y ,n0z = V ψn∗ 0y ,n0z ei~q~r ψny ,nz dV là thừa số dạng; A(t) R ~ ~ = cE0 cos Ωt, trong đó Ω là tần số photon ứng với là thế vectơ của trường laser, có dạng A(t) Ω trường laser. Ta sẽ xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon bằng cách thiết lập phương trình động lượng tử cho trung bình thống kê của toán tử hủy phonon < b→ q >t : ∂ i~ hb→ it = h[b→ , H(t)]it . ∂t q q Thay Hamiltonian (1) vào phương trình trên ta được: ∂ X → e→ i~ hb→ it = εny ,nz ( k − A(t))h[b→ , a+ → →a → ]it ∂t q ~c q ny ,nz , k + j ny ,nz , k ny ,nz ,~k X → + Cny ,nz ,n0y ,n0z ( j )h[b→ q a+ → → a → (b→ + b+→ )]it ny ,nz , k + j n0y ,n0z , k j −j ny ,nz ,n0y n0 ,~k,~ z q X + ~ω→ h[b→ , b+ b→ ]it , q → (2) j j j → j suy ra: ∂ X → i~ hb→ it = ~ω→ hb→ i+ Cny ,nz ,n0y ,n0z (− q )ha+ → → a → it (3) ∂t q q q ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k ny ,nz ,n0y →→ n0z , k , q Phương trình (3) đối với hb→ i có chứa ha+ q t → → a → it , vì vậy để xác định hb→ i ta cần q t ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k phải tìm ha+ → → a → it . ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k Phương trình động lượng tử cho ha+ → → a → it có dạng: ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k ∂ + + i~ ha → →a → i = h[H, a 0 ,n0 , k t → →a → ]it ∂t ny ,nz , k − q y z n 0 0 ny ,nz , k − q ny ,nz , k X → e→ = εny1 ,nz1 (k1 − A(t))h[a+ → →a →, a + →a → ]it ~c n y ,n z , k − q n0y ,n0z , k 0 0 ny1 ,nz1 ,k1 ny1 ,nz1 ,k1 → ny ,nz ,k1 X + ~ω→ h[a+ → → a b+ b ]it → → → j ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k j j → j X → + + + Cny1 ,nz1 ,n0y ,n0 ( j )h[a z → →a →, a 0 ,n0 , k →a 0 0 → (b→ + b+→ )]it , (4) 1 1 ny ,nz , k − q ny z ny1 ,nz1 ,k1 ny1 ,nz1 ,k1 j −j ny1 ,nz1 ,n0y1 →→ n0z1 , k , j
54 LÊ THỊ MỸ HẠNH - TRƯƠNG THỊ VŨ NỮ - TRẦN THỊ VÂN NHI Thay biểu thức của năng lượng: → e→ → → e→ → → → ~e →→ εn0y ,n0z k − A(t) −εny ,nz k − q − A(t) = εn0y ,n0z k −εny ,nz k − q − ∗ q A(t) ~c ~c m c vào phương trình (4) ta được: ∂ + i~ ha → a 0 0 → it ∂t ny ,nz , k −→ q ny ,nz , k → → → ~e →→ = {εn0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q ) − q A(t)}h[a+ → →a → ]it m∗ c 0 0 ny ,nz , k − q ny ,nz , k X → + Cny ,nz ,n0y ,n0z ( j )(b→ + b+→ )ha+ → → a → → − a+ → → → a → it . (5) j −j ny ,nz , k − q ny ,nz , k − j n0y ,n0z , k − q + j n0y ,n0z , k → j → → → ~e →→ Đặt: X(t) = ha+ → a → it ; Y (t) = εn0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q ) − q A(t) ny ,nz , k − q → n0y ,n0z , k m∗ c X → và F (t) = Cny ,nz ,n0y ,n0z ( j )(b→ + b+→ )h[a+ → → a → → − a+ → → → a → ]it . j −j ny ,nz , k − q ny ,nz , k − j n0y ,n0z , k − q + j n0y ,n0z , k → j Phương trình (5) được viết lại như sau: ∂ i~ X(t) = Y (t)X(t) + F (t). (6) ∂t Để giải phương trình này ta giải phương trình thuần nhất sau: ∂ + i~ a → →a → t ∂t 0 0 ny ,nz , k − q ny ,nz , k → → → ~e →→ + = εny ,nz k − εny ,nz k − q − ∗ q A(t) 0 0 a → →a → t, (7) m c 0 0 ny ,nz , k − q ny ,nz , k Phép tính cho ta iX → h[a+ → → a → ]it = − Cny ,nz ,n0y ,n0z ( j )(b→ + b+→ t) ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k ~ → j −j j + + ×h[a → → a → → −a → → → a → ]it0 ny ,nz , k − q ny ,nz , k − j n0y ,n0z , k − q + j n0y ,n0z , k t → → ~e →→ 00 Z i → × exp{− (εn0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q ) − q A(t ))dt00 }dt0 (8) ~ t0 m∗ c Tính tích phân trong (8) rồi thay vào (3), ta được: ∂ i X → i~ hb→ q it = −i~ω → q hb→ q i + (− 2 ) Cny ,nz ,n0y ,n0z ( j ) ∂t ~ 0 ny ,nz ,ny →→ n0z , k , j
SỰ HẤP THỤ SÓNG ÂM DO TƯƠNG TÁC ELECTRON-PHONON ... 55 Z t × h(b→ + b+→ )(a+ → → a → → − a+ → → → a → )it0 −∞ j −j ny ,nz , k − q ny ,nz , k − j n0y ,n0z , k − q + j n0y ,n0z , k → → t0 ~e →→ 00 Z i → i × exp{ (εn0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q ))(t0 − t) − q A(t )}dt00 (9) ~ ~ t m∗ c Nếu xét đến tính không ổn định của hệ các phonon thì có thể xem hàm phân bố của các điện tử là không đổi theo thời gian (hay hệ điện tử ở trạng thái cân bằng) được kí hiệu như sau: → → ha+ → → a → → → it = ha+ → → a → → i0 = fny ,nz ( k − q )δ→ →→ → ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k − q + j ny ,nz , k − q n0y ,n0z , k − j k−q ,k−j → ha+ → → → ,a → it = ha+ → → → ,a → i0 = fn0y ,n0z ( k )δ→ → →→ n0y ,n0z , k − q + j n0y ,n0z , k n0y ,n0z , k − q + j n0y ,n0z , k k−q +j ,k là các hàm phân bố electron. Lúc này phương trình (9) được viết lại như sau: ∂ i X → i~ hb→ q it + i~ω → q hb→ q i = (− 2 ) |Cny ,nz ,n0y ,n0z ( q )|2 ∂t ~ → ny ,nz ,n0y ,n0z , k Z t → → → → → → × dt0 {(fny ,nz ( k − q ) − fn0y ,n0z ( k )t)hb→ i 0 + (fny ,nz ( k − q ) − fn0y ,n0z ( k ))hb+ −→ q t i 0} q t −∞ → → t0 ~e →→ 00 00 Z i → i × exp{ (εn0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q ))(t0 − t) − q A(t )dt }. (10) ~ ~ t m∗ c → Trong gần đúng bậc |C( q )|2 , ta có thể bỏ qua hb+ −→ i 0 , khi đó ta có: q t ∂ i X → i~ hb→ q it + i~ω → q hb→ q i = (− 2 ) |Cny ,nz ,n0y ,n0z ( q )|2 ∂t ~ → ny ,nz ,n0y ,n0z , k Z t → → → × dt0 (fny ,nz ( k − q ) − fn0y ,n0z ( k ))hb→ i0 q t −∞ → → t0 ~e →→ 00 00 Z i → i × exp{ (εn0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q ))(t0 − t) − q A(t )dt } (11) ~ ~ t m∗ c Bây giờ ta tính tích phân: t0 t0 ~e →→ 00 00 e →→ 00 00 Z Z i q A(t )dt = i q A(t )dt ~ t m∗ c t m∗ c → →→ Z t0 e → cE 0 ie q E 0 =i ∗ q cosΩt00 dt00 = (sinΩt0 − sinΩt) t m c Ω m∗ Ω →→ ie q E 0 Đặt λ = . Sử dụng công thức khai triển hàm Bessel [4]: m∗ Ω ∞ X exp(±izsinθ) = Jν (z) exp(±iνθ), ν
56 LÊ THỊ MỸ HẠNH - TRƯƠNG THỊ VŨ NỮ - TRẦN THỊ VÂN NHI trong đó Jν (z) là hàm bessel đối với số thực, ta có: →→ →→ →→ ie q E 0 ie q E 0 ie q E 0 exp{(− ∗ 2 )(sinΩt0 − sinΩt)} = exp(− ∗ 2 sinΩt0 + ∗ 2 sinΩt) m Ω m Ω m Ω ∞ ∞ λ λ X λ X λ = exp(−i sinΩt0 + i sinΩt) = Jν ( ) exp(−iνΩt0 ) + Jµ ( ) exp(−iµΩt0 ). ~Ω ~Ω ν ~Ω µ ~Ω Thay kết quả trên vào phưng trình (11) ta được: ∂ i X → X → → → i~ hb→ q it + i~ω → q hb→ q i = (− 2 ) |Cny ,nz ,n0y ,n0z ( q )|2 (fny ,nz ( k − q ) − fn0y ,n0z ( k )) ∂t ~ 0 → ny ,nz ,ny → k n0z , k Z t ∞ 0 X λ λ × dt hb→ i0 q t Jν ( )Jµ ( ) −∞ ν,µ=−∞ ~Ω ~Ω i → → → × exp{ (εn0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q ))(t0 − t) − (iνΩt0 + iµΩt0 )}. (12) ~ Phương trình (12) là phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử. 3 HỆ SỐ HẤP THỤ PHONON ÂM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ Khi xét cơ chế tán xạ là điện tử - phonon âm, điện tử hấp thụ sóng âm được đồng nghĩa với hấp thụ phonon âm. Từ phương trình động lượng cho phonon (12) ta tìm hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp khí electron không suy biến. Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier: Z +∞ Z +∞ 1 iωt Bq~(ω)e−iωt dω, Bq~(ω) = bq~ t e dt, bq~ t = (13) −∞ 2π −∞ ta thu được phương trình sau: ∞ 1 X
2 X λ λ (ω − ωq~)Bq~(ω) = − Cny ,nz ,n0y ,n0z (~q)
Jν Jµ ~ ny ,nz nu,µ=−∞ ~Ω ~Ω n0y ,n0z × Πq~(ω + lΩ)Bq~(ω + (µ − ν)Ω), (14) trong đó X fn0y ,n0z (~k) − fny ,nz (~k − ~q) Πq~(ωq~ + νΩ) = ; (∆ → +0). ~k εn0 ,n0 (~k) − εn ,n (~k − ~q) + ~(νΩ + ωq~) + i~∆ y z y z Từ (14) ta thu được phương trình tán sắc ∞ 1 X
2 X λ ω − ωq~ = Cny ,nz ,n0y ,n0z ~q
Jl2 Πq~(ωq~ + νΩ) (15) ~ 0 ~Ω α,α l=−∞
SỰ HẤP THỤ SÓNG ÂM DO TƯƠNG TÁC ELECTRON-PHONON ... 57 Vì ∆ → +0, ta sử dụng công thức biến đổi: 1 1 = PV + iπδ(x − x0 ), x − x0 − i∆ x − x0 với PV là giá trị chính Cauchy, ta được: 1 1 = PV 1 0 ~ ~ ~ ~ q )) − νΩ − ω 1 ~ (εny ,nz (k) 0 − εny ,nz (k − ~q)) − νΩ − i∆ − ω ~ (εny ,nz (k) − εny ,nz (k − ~ 0 0 1 + iπδ( (εn0y ,n0z (~k) − εny ,nz (~k − ~q)) − νΩ − ω) (16) ~ Thay vào phương trình tán sắc : 1 X → X → → → ω − ωq~ = − 2 |Cny ,nz ,n0y ,n0z ( q )|2 [fny ,nz ( k − q ) − fn0y ,n0z ( k )] ~ → → ny ,nz ,n0y ,n0z , k k ∞ X λ 1 × Jν2 ( ) → → (17) ~Ω i (ε → ν,µ=−∞ ~ n0y ,n0z ( k ) − εny ,nz ( k − q )) − νΩ + i∆ − ω ta được: 1 X X ω − ωq~ = − |Cny nz ,n0y n0z (~q)|2 (fny nz (~k − ~q) − fn0y ,n0z (~k)) ~2 ny nz ,n0y n0z ,~k ~k ∞ X λ 1 × Jν2 ( ){P V 1 0 ~ ~ q )) − νΩ − ω ~ (εny ,nz (k) − εny ,nz (k − ~ ν,µ=−∞ ~Ω 0 1 + iπδ( (εn0y ,n0z (~k) − εny ,nz (~k − ~q)) − νΩ − ω)} ~ Hệ số hấp thụ phonon âm được định nghĩa là phần ảo của hệ thức (18), có dạng: π X X α(~q) = − |Cny nz ,n0y n0z (~q)|2 [fn0y ,n0z (~k) − fny ,nz (~k − ~q)] ~ ny nz ,n0y n0z ,~k ~k ∞ X λ 1 × Jν2 ( )δ( [εn0y ,n0z (~k) − εny ,nz (~k − ~q)] − νΩ~ − ~ω) (18) ν,µ=−∞ ~Ω ~ 4 KẾT LUẬN Chúng tôi đã giới thiệu tổng quan về phương trình động lượng tử cho phonon âm trong dây lượng tử, đưa ra hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử. Những kết quả này là cần thiết và quan trọng trong việc nghiên cứu sự hấp thụ sóng âm do tương tác electron-phonon trong hệ điện tử chuẩn một chiều TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Kim Phụng (2005), Tổng quan về dây lượng tử, Khóa luận tốt nghiệp, Trường ĐHSP Huế.
58 LÊ THỊ MỸ HẠNH - TRƯƠNG THỊ VŨ NỮ - TRẦN THỊ VÂN NHI [2] Nguyễn Quang Báu, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Vũ Nhân (1998), Thông tin Khoa học kỹ thuật Quân sự (Tạp chí Khoa học của các viện nghiên cứu trong quân đội), Số 24, 38. [3] Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan, Nguyen Manh Trinh (1999), Proceedings of IWOMS?99, Hanoi 1999, 869. [4] Trần Thị Thu Hằng (2009), Tương tác electron - phonon trong hố thế lượng tử bán parabol, Khóa luận tốt nghiệp, Trường ĐHSP Huế. [5] Peiji Zhao (1994), Phys. Rev., B 49, 13589. [6] Nguyen Quoc Hung, Nguyen Quang Bau (2005), Theory of amplification of sound (acous- tic phonons) by absorption of laser radiation in quantum wires with parabolical potential, Journal of science, Vietnam national university, Hanoi, T.XIX, No. 01, 32. [7] Trần Công Phong (2006), Báo cáo tổng kết đề tài khoa học công nghệ cấp Bộ: Nghiên cứu các tính chất quang của bán dẫn có cấu trúc chuẩn một chiều, Trường ĐHSP Huế. [8] Tran Cong Phong, Le Dinh, Nguyen Quang Bau, and Dinh Quoc Vuong (2006), Rate of Phonon Excitation and Conditions for Phonon Generation in Rectangular Quantum Wires, J. Korean Phys. Soc 49(6), 2367. LÊ THỊ MỸ HẠNH TRƯƠNG THỊ VŨ NỮ TRẦN THỊ VÂN NHI SV lớp VLTT 4, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế