Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Phương trình lượng giác cơ bản

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Phương trình lượng giác cơ bản" có nội dung trình bày về kiến thức trọng tâm của phương trình lượng giác cơ bản; hệ thống ví dụ minh họa; cung cấp một số bài tập để các em tự luyện tập, củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng. Mời thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Phương trình lượng giác cơ bản

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác Với phương trình a.sin 2  kx   b.sin  kx   c  0 thì ta đặt t  sin  kx  với 1  t  1 , quy về phương trình bậc hai: a.t 2  b.t  c  0  t  sin  kx   x Với phương trình a.cos 2  kx   b.cos  kx   c  0 thì ta đặt t  cos  kx  với 1  t  1 , quy về phương trình bậc hai: a.t 2  b.t  c  0  t  cos  kx   x Với phương trình a.tan 2  kx   b.tan  kx   c  0 thì ta đặt t  tan  kx  quy về phương trình bậc hai: a.t 2  b.t  c  0  t  tan  kx   x . Tương tự cho phương trình ẩn t  cot  kx  Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự! Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung Với phương trình f  x   0 , bằng các kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được g  x  0 nhân tử chung và quy về dạng g  x  .h  x   0    h  x   0 II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a)   3 tan 2 x  1  3 tan x  1  0 b) 4cos 2 x  2   3  1 cos x  3  0 Lời giải: a)   3 tan 2 x  1  3 tan x  1  0   tan x  1   3 tan x  1  0    tan x  1  x  4  k    tan x  1  x    k  3  6   Vây phương trình có họ nghiệm x   k , x   k , 4 6 b) 4cos 2 x  2     3  1 cos x  3  0  2 cos x  3  2 cos x  1  0  3    cos x   x   6  k 2  2   1  x     k 2  cos x  2  3   Vây phương trình có họ nghiệm x    k 2 , x    k 2 , 3 6 Trang 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau   a) 2  sin 4 x  cos 4 x   cos   2 x   0 b) sin 6 x  cos 6 x  cos 4 x 2  Lời giải:   a) 2  sin 4 x  cos 4 x   cos   2 x   0  2  sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 xcos 2 x   sin 2 x  0 2 2        1  x   k 2 sin x  6  2  sin 2 x  sin 2 x  0    sin 2 x  1 sin 2 x  2   0   2    x  5  k 2 sin x  2  loai   6 5  Vây phương trình có họ nghiệm x   k 2 , x   k 2 , 6 6 b) 3   sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 xcos 2 x  2sin 2 2 x  1  0   sin 2 2 x  2sin 2 2 x  0 2 4   sin 2 x  0  x  k 2 k Vây phương trình có họ nghiệm x  , 2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 1 x x a) sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x  b) sin 4  cos 4  1  2sin x 2 2 2 Lời giải: 1 1   sin 2 x  cos 2 x   2 sin 2 xcos 2 x  sin 2 x   0 2 a) sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x  2 2 sin 2 2 x 3 1   sin 2 x   0    sin 2 x  1 sin 2 x  3  0 2 2 2 sin x  1    x   k 2 , sin x  3  loai  2  Vây phương trình có họ nghiệm x   k 2 , 2 2 x x  x x x x b) sin 4  cos 4  1  2 sin x   sin 2  cos 2   2sin 2 cos 2  1  2 sin x  0 2 2  2 2 2 2 sin 2 x 1 sin x  0   sin x  0   sin x  sin x  2   0    x  k , 2 2 sin x  2  loai  k Vậy phương trình có họ nghiệm x  , 2 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau Trang 2
2  sin 6 x  cos 6 x   sin x.cos x a) 0 b) sin 4 x  cos 4 x  sin x.cos x  0 2  2sin x Lời giải:  3  a) Điều kiện: x    k 2 ,  k 2  4 4  2  sin 6 x  cos 6 x   sin x.cos x PT   0  2  sin 6 x  cos 6 x   sin x.cos x  0 2  2sin x  2  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 xcos 2 x   sin xcosx  0 2    6  sin xcosx   sin xcosx  2  0    3sin xcosx  2  2sin xcosx  1  0 2  2 sin xcosx   3  4 sin 2 x    loai      3  x   k , sin xcosx  1  4  sin 2 x  1  2  Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là x    2m  1  4 b) sin 4 x  cos 4 x  sin x.cos x  0   sin 2 x  cos 2 x   2  sin xcosx   sin xcosx  0 2 2  2  sin xcosx   sin xcosx  1  0   sin xcosx  1 2 sin xcosx  1  0 2 sin xcosx  1 sin 2 x  2  loai    1  x    k , sin xcosx   sin 2 x  1 4  2  Vây phương trình có họ nghiệm x    k , 4 Ví dụ 5. Giải các phương trình sau 1 a) b) cos 4  sin 2 x  4 Lời giải:  a) ĐKXĐ: x    k 2 3       sinx  3 cos x  0  2cos  x    0  x    k  x   k ,  6 6 2 3  Kết hợp với ĐKXĐ suy ra phương trình có họ nghiệm x   k với k lẻ 3 b) Trang 3
  Vây phương trình có họ nghiệm x  k , 4 2 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau sin 6 x  cos 6 x 1 x x 5 a)  tan 2 x b) sin 4  cos 4  cos 2 x  sin 2 x 4 3 3 8 Lời giải: a) Với cos 2 x  0 , phương trình đã cho tương đương  sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 xcos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x 3 sin 6 x  cos 6 x 1  tan 2 x   cos 2 x  sin 2 x 4 cos 2 x 4cos 2 x sin 2 x  1    sin 2 x  1  x   k , sin 2 x   4  1 4  3 b) Phương trình đã cho tương đương với 4x 1  cos  sin 2x 3 2   3  3  cos 4 x   1  4 x  2  k 2  x    k 3 , 3 4 2 4 3 2 3 3 2 2 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau x  x a) sin 2    tan 2 x  cos 2  0 b) cos3 x  cos 2 x  cos x  1  0 2 4 2 Lời giải: a) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương với 1     sin 2 x 1  cos x 1  cos  x   2   1  sin x  sin 2 x  1  cos x  cos 2 x 2  2   cos x 2  1  sin x 1  cos x 1  cos x   1  cos x 1  sin x 1  sin x   1  sin x 1  cos x  sin x  cos x   0  cos 2 x  0  x    k 2   cosx  1   cosx  1    ,  tan x   1  x     k 2  tanx  1  4  b) Phương trình đã cho tương đương với 4cos 3 x  3cos x  2cos 2 x  1  cos x  1  0  4cos 3 x  2cos 2 x  4 cos x  2  0  2 cos 2 x  2 cos x  1  2  2 cos x  1  0  2  cos 2 x  1  2 cos x  1  0 Trang 4
sinx  0  x  k 2    , k   cosx   1  x   2  k 2  2  3 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau  x a) tan x  cos x  cos 2 x  sin x 1  tan x.tan  b) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0  2 Lời giải: x a) Điều kiện: cos x cos 0 2  x  sin  sin x sin x 2 Phương trình đã cho tương đương  cosx  cos 2 x  sin x 1  . cos x co s x x  cos   2 b) Phương trình đã cho tương đương với 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0  sin x  sin 2 x  1  cos x  cos 2 x  0  sin x  2sin x cos x  1  cos x  2 cos 2 x  1  0  sin x 1  2 cos x   cos x 1  2 cos x   0  1  2 cos x  sin x  cos x   0  2  1  x  k 2  cos x   3  2 ,     tan x  1 x    k  4 Ví dụ 9. Giải các phương trình sau a) sin 2 x  sin 2 3x  cos 2 2 x  cos 2 4 x b) sin 6 x  cos 6 x  cos 4 x Lời giải: a) Phương trình đã cho tương đương sin 2 x  sin 2 3x  cos 2 2 x  cos 2 4 x  2 cos 5 x cos 3 x  2 cos 5 x cos x  0  cos 5 x  cos x  cos 3 x   0   k  x  10  5  cos 5 x  0    cos 5 x cos x cos 2 x  0   cos x  0   x   k ,   2  cos 2 x  0   x   k   4 2 b) Phương trình đã cho tương đương với Trang 5
sin 6 x  cos 6 x  cos 4 x   sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 xcos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   cos 4 x 3 3 3 k  1  sin 2 2 x  cos 4 x  1  1  cos 4 x   cos 4 x  cos 4 x  1  x  , 4 8 2 Ví dụ 10. Giải các phương trình sau a) 1 cos 2 x    3  3 tan x  3  3  0 b) 3 cos x  tan 2 x  9 Lời giải: a) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương với 1 2 cos x     3  3 tan x  3  3  0  1  tan 2 x  3  3 tan x  3  3  0     tan 2 x  3  3 tan x  3  2  0  3  3  20  2 3  tan x   tan m 2  x  m  k   ,   x  n  k   tan x  3  3  20  2 3  tan n  2 b) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương 3 3 1  cos 2 x  tan 2 x  9    9  3cos x  1  cos 2 x  9cos 2 x cos x cos x cos 2 x  1  cos x    2  x    2k   10cos x  3cos x  1  0   2  3 ,  cos x   1    x  m  k 2 5 Ví dụ 11. Giải các phương trình sau 4 1 a) 9  13cos x  0 b)  cot x  3 1  tan 2 x sin 2 x Lời giải: a) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương 4 9  13cos x   0  9  13cos x  4cos 2 x  0 1  tan 2 x  cos x  1  9  cos x  1  x  k 2 ,  cos x   1  4 b) Với điều kiện sin x  0 phương trình đã cho tương đương 1  cot x  3  1  cot 2 x  cot x  3  cot 2 x  cot x  2  0 sin 2 x    cot x  1  x    k   4 ,  cot x  2   x  m  k  Trang 6
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau x a) cos 2 x  3cos x  4cos 2 b) 2 Lời giải: a) Phương trình đã cho tương đương với x cos 2 x  3cos x  4cos 2  2cos 2 x  1  3cos x  2 1  cos x  2  cos x  3  1   2 cos 2 x  5cos x  3  0   1  x    k 2  cos x   3  2 b) Với điều kiện sin 2 x  0 phương trình đã cho tương đương với  tan x  1    tan x   1  x    k  tan 2 x  1 4    ,  tan 2 x  3  tan x  3   x    k  tan x   3  3 Ví dụ 13. Giải phương trình 2sin x 1  cos 2 x   sin 2 x  1  2cos x Lời giải: PT  4sin xcos 2 x  2sin x cos x  1  2 cos x  sin 2 x  2 cos x  1  1  2 cos x  2  1  x  k 2 cos x   3  1  2cos x  sin 2 x  1  0   2   sin 2 x  1    x   k  4  2   Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x    k 2 ;  k  ,  3 4   x Ví dụ 14. Giải phương trình cot x  sin x 1  tan x tan   4  2 Lời giải:  sin x  0 k    sin 2 x  0 x  Điều kiện: cos x  0   2 x    2k   x  x    2k   cos  0  2 Phương trình tương đương:  x x  x  cos x  sin x.sin 2  cos x.cos 2  cos x  cos 2  cos x sin x   sin x.  4  sin x.    4 sin x x sin x x  cos x.cos   cos x.cos  sin x cos x  2   2 Trang 7
  1  x  12  k  cos x  sin x  4sinxcosx  2sin 2 x  sinx    2 2 2 5 x   k  12  5  Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x    k ;  k  , 12 12  Ví dụ 15. Giải phương trình cos 3 x  sin 3 x  2sin 2 x  1 Lời giải: PT   sin x  cos x 1  sin x cos x    sin x  cos x  sin x  cos x   0 sin x  cos x  0 1   sin x  cos x 1  sin x cos x  sin x  cos x   0   1  sin x cos x  sin x  cos x  0  2      Giải 1  sin  x    0  x   k  x    k  4 4 4   1 t 2 Giải (2): Đặt sin x  cos x  t , t    2; 2   sin x cos x  ta có: 2 1 t2   x  k 2   2  1  t  0   t  1  0  t  1  2sin  x    1   2 3 2  4 x   k 2  2  3   Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x    k 2 ;   k  ; k 2  , 2 4  2 cos 4 x Ví dụ 16. Giải phương trình cot x  tan x  sin 2 x Lời giải: k Điều kiện: sin 2 x  0  x  2 cos x sinx cos 4 x PT     cos 2 x  sin 2 x  cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x sinx cos x sinx cos x  cos x  1  x  k 2  cos 2 x  2 cos 2 x  1   cos x  1 2cos x  1  0  2  1 2  cos x   x    k 2  2  3  2  Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x  k ;   k 2  ,  3  sin 2 x  2cos x  sin x  1 Ví dụ 17. Giải phương trình 0 tan x  3 Lời giải: Trang 8
  cos x  0  x  2  k Điều kiện:    tan x   3   x    k  3 Ta có phương trình  sin 2 x  2cos x  sin x  1  0   sin x  1 2 cos x  1  0    Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x    k 2 ;   k 2  ,  3 2   3  sin x Ví dụ 18. Giải phương trình tan   x 2  2  1  cos x Lời giải: Điều kiện:  sin x  0 cos x  1 x  k x    k 2 . Ta có phương trình tương đương: sin x cos x sin x cot x  2   2  cos x  cos 2 x  sin 2 x  2sin x  2sin x cos x 1  cos x sin x 1  cos x   1  x  6  k 2   cos x  1 2sin x  1  sin x    2 5 x   k 2  6  5  Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x    k 2 ;  k 2  ,  6 6  x   2  3  cos x  2 sin 2     2 4  1 Ví dụ 19. Giải phương trình 2 cos x  1 Lời giải: 1  Điều kiện: cos x   x    k 2 . Phương trình đã cho tương đương 2 3 x  x     2  3 cos x  2sin 2     2cos x  1  1  2sin 2     3 cos x  0 2 4 2 4       cos  x    3 cosx  0  sin x  3 cos x  0  sin  x    0  x   k  2  3 3 2 Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x    k 2 , 3 2sin 2 x  3 2 sin x  sin 2 x  1 Ví dụ 20. Giải phương trình 1  0 sin 2 x  1 Lời giải: Trang 9
 Điều kiện: sin 2 x  1  x    k . Phương trình tương đương 4  2 sin 2 x  3 2 sin x  sin 2 x  1   sin 2 x  1  0  2 sin 2 x  3 2 sin x  2  0    x   4  k 2     2 sin x  2 sin x  2  0  sin x   2 2  5 x   k 2  4 3 Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x    k 2 , 4 sin 4 x  cos 4 x 1 1 Ví dụ 21. Giải phương trình  cot 2 x  5sin 2 x 2 8sin 2 x Lời giải: k Điều kiện: sin 2 x  0  x  . Phương trình tương đương: 2  4  4cos 2 2 x  20cos 2 x  5  4cos 2 2 x  20cos 2 x  9  0   2 cos x  1 2 cos x  9   0 1    cos x   x    k 2 . Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x    k 2 , 2 3 3 Ví dụ 22. Giải phương trình tan 4 x 1   2  sin 2 2 x  sin 3x cos 4 x Lời giải:  Điều kiện: cos x  0  x   k . Phương trình tương đương: 2 1 sin 4 x  cos 4 x   2  sin 2 2 x  sin 3 x  1  sin 2 2 x   2  sin 2 2 x  sin 3 x 2   k 2 17 k 2  Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x    ;  , 18 3 18 3  3 2sin x Ví dụ 23. Giải phương trình  2 cos x  1 cot x   sin x cos x  1 Lời giải: Điều kiện:  sin x  0 cos x  1 . Phương trình tương đương:   2 cos x  1 cos x  1 cos x  3  cos x  1  2 1  cos 2 x   2 cos 3 x  cos 2 x  2 cos x  1  0 Trang 10
1    2 cos x  1  cos 2 x  1  0  cos x   x    k 2 2 3  Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x    k 2 , 3 sin 2 x cos 2 x Ví dụ 24. Giải phương trình   tan x  cot x cos x sin x Lời giải: k Điều kiện: sin 2 x  0  x  . Phương trình tương đương: 2  sin 2 x.sin x  cos 2 x.cos x  sin 2 x  cos 2 x  1  2cos 2 x  cos x  1  2cos 2 x 1    cos x  1 2 cos x  1  0  cos x   x    k 2 2 3  Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x    k 2 , 3 1  sin 2 x  cos 2 x Ví dụ 25. Giải phương trình  2 sin x sin 2 x 1  cot 2 x Lời giải: Điều kiện: sin x  0  x  k . Phương trình tương đương: 1  1  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x sin 2 x 1  cot 2 x   2 sin x sin 2 x.  2 2 cos x sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2 2 cos x  1  0  sin x cos x  cos 2 x  2 cos x  0  cos x  0   cos x sin x  cos x  2    sin x  cos x  2   Với cos x  0  x   k 2     Với sin x  cos x  2  sin  x    1  x   k 2  4 4    Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x    k ;  k 2  ,  2 4  cos x cos 5 x Ví dụ 26. Giải phương trình   8sin x sin 3 x cos 3 x cos x Lời giải: Điều kiện:  cos x  0 cos 3 x  0 . Phương trình tương đương:  cos 2 x  cos 5 x.cos 3 x  8sin x.cos x.sin 3 x.cos3 x  cos 2 x  cos 3 x.cos 5 x  2 sin 2 x.sin 6 x  1  cos 2 x  cos8 x  cos 2 x  2  cos 4 x  cos 8 x   cos 8 x  2 cos 4 x  1  0 Trang 11
  k   x  8  4  cos 4 x  0 4 x   k   cos 4 x  cos 4 x  0   2  2   cos 4 x  1  4 x  k 2 k  x   2  k  k  Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x   ;  ,  2 8 4  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình sau sin 4 x  cos 4 x  0    A. x  k , B. x   k , 4 2 4   C. x    k 2 , D. x  k , 4 2   Câu 2. Phương trình 2cos  x    1 có số nghiệm thuộc đoạn  0; 2  là  3 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3   Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin  x    1 ,   x  5 là  4 A. 0 B. 2 C. 3 D. 1   3   Câu 4. Phương trình sin  3x     có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  0;  ?  3 2  2 A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 3 Câu 5. Cho phương trình sin 2 x  . Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn  0;3  thì 2 giá trị của n là A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 Câu 6. Số nghiệm của phương trình cos 2 x  sin 3 x  0 thuộc  0; 2  là A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 Câu 7. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin x  sin 2 x  0 trên đoạn  0; 2  . A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 Câu 8. Cho phương trình sin 2 x  2 cos x  0 , nghiệm của phương trình là   A. x   k , B. x   k , 2 8 3  C. x   k 2 , D. x    k , 4 6 Câu 9. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin x  2 2 sin x cos x  0 là  3 A.  B. C. D. 4 4 Trang 12
Câu 10. Phương trình sin 5 x  sin x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  2018 ; 2018  ? A. 16145 B. 20181 C. 16144 D. 20179 Câu 11. Phương trình cos x  cos 2 x  cos3 x  1  0 có mấy nghiệm thuộc nửa khoảng   ;0  ? A. 3 B. 1 C. 4 D. 2    3  Câu 12. Phương trình sin  2 x    sin  x   có tổng các nghiệm thuộc khoảng  0;   bằng  4  4  7 3  A. B.  C. D. 2 2 4 Câu 13. Tìm số nghiệm thuộc khoảng   ;   của phương trình cos x  sin 2 x  0 A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 14. Tìm số nghiệm của phương trình sin  cos x   0 trên đoạn x   0; 2  A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số. Câu 15. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos  sin x   1 thuộc đoạn  0; 2  A. 2 B. 0 C.  D. 3 Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0 trên đoạn  0; 2018  là 4071315 4075351 8142627 A. B. C. D. 2 2 2 Câu 17. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn  0;   , các điểm C, D thuộc trục Ox 2 thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD  . Tính độ dài đoạn BC 3 2 1 3 A. B. C. 1 D. 2 2 2 3 Câu 18. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình  3cot x  3 là sin 2 x  5  2 A.  B.  C.  D.  6 6 2 3 Câu 19. Nghiệm của phương trình lượng giác cos 2 x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   là Trang 13
3   A. x  0 B. x  C. x  D. x   4 2 2 Câu 20. Phương trình cos 2 x  2 cos x  3  0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng  0; 2019  ? A. 320 B. 1009 C. 1010 D. 321 Câu 21. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 5 x  cos 2 x  2sin 3 x.sin 2 x  0 trên đoạn  0;3  là 16 11 25 37 A. B. C. D. 3 3 3 3 sin x Câu 22. Cho phương trình  0 . Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn  0; 2018  cos 2 x  3cos x  2 của phương trình trên. A. 1018018 B. 1018080 C. 1018081 D. 1020100 2 1  3sin 2 x cos 2 x   sin x cos x Câu 23. Cho phương trình  0 có x0 là nghiệm dương lớn nhất 2  2sin x  trên khoảng  0;100  và có dạng x0  a  , . Tính tổng a  b b A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 Câu 24. Số nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x  cos 2 x  1  0 trên nửa khoảng  0; 4  là A. 8 B. 2 C. 4 D. 12   Câu 25. Gọi x0 là một nghiệm của phương trình sin 2 x  cos x trên  ;   . Tính giá trị của biểu thức 2  S  sin x0  sin 2 x0  sin 3x0  ..  sin 2018 x0 1 3 1 1 3 A. S  B. S  C. S  0 D. S  2 2 2 Câu 26. Tính tổng các nghiệm của phương trình  2cos 2 x  5  sin 4 x  cos 4 x   3  0 trong khoảng  0; 2018  A. 2010.2018 B. 1010.2018 C. 20182  D. 2016.2018 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-B 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D 10-B 11-D 12-B 13-A 14-C 15-D 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D 21-D 22-C 23-D 24-D 25-D 26-C 27- 28- 29- 30- Câu 1: sin 4 x  cos 4 x  0   sin 2 x  cos 2 x  .  sin 2 x  cos 2 x   0 Trang 14
  k  sin 2 x  cos 2 x  0  cos 2 x  0  2 x   k  x   . Chọn A. 2 4 2       x    k 2  x    k 2   2 3 4 12 Câu 2: cos  x       3 2   7  x     k 2 x    k 2  3 4  12  1 25 k TH1. Với 0  x  2  0    k 2  2  k  k 1 12 24 24 7 7 31 k TH2. Với 0  x  2  0    k 2  2  k  k 1 12 24 24 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B.      Câu 3: sin  x    1  x    k 2  x   k 2  4 4 2 4  3 19 Mà   x  5     k 2  5   k   k  1; 2 . Chọn B. 4 8 8     2 k 2   3 3 x  3   3  k 2 x   9  3 Câu 4: sin  3 x        3 2    k 2 3 x      k 2 x    3 3  3 3  2 k 2   0    9 3 2   4  Mà 0  x      x   ;  . Chọn D. 2  0    k 2   3 9   3 3 2      2 x   k 2  x   k 3 3 6 Câu 5: sin 2 x    2    2 x     k 2  x   k  3  3    7 13 4 7  Mà 0  x  3  x  ; ; ; ; ;  . Chọn C. 6 3 6 6 3 3    Câu 6: cos 2 x   sin 3 x  sin  3 x   cos  3 x    2     3 x  2  2 x  k 2  x   2  k 2   3 x    2 x  k 2  x     k 2  2  10 5  3 3 7 11 3 19  Mà x   0; 2   x   ; ; ; ; ;  . Chọn A.  2 10 10 10 2 10  sin x  0 Câu 7: Phương trình  sin x  2sin x cos x  0  sin x 1  2 cos x   0   1  cos x    2 Trang 15
 x  k   x   2  k 2  3 x  0  x  k TH1: Với    x    x   0; 2   x  2  2 2 2 x  3 TH2: Với x    k 2 ta giải 0    k 2  2   3 3 x  4  3 Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn  0; 2  là 5 . Chọn B. cosx  0 Câu 8: sin 2 x  2 cos x  0  2 sin x cos x  2 cos x  0  2 cos x  sin x  1  0   sin x  1   cosx  0  x   k , . Chọn A. 2 sin x  0   Câu 9: 2 sin x  2 2 sin x cos x  0  2sin x 1  2 cos x  0   1  2 cos x  0  x  k  x  k     cos x   1 3 x   k 2  2  4 3 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là . Chọn D. 4  k  x 5 x  x  k 2 2 Câu 10: sin 5 x  sin x     5 x    x  k 2  k x    6 3 k k TH1: Với x  mà x   2018 ; 2018   2018   2018 2 2 có 4036   4036   1  8073 nghiệm k.  k TH2: Với x   mà 6 3 12109 k 12107 k 12109 12107      k 6 3 6 2 2 k   có 6053   6054   1  12108 nghiệm k. Vậy phương trình đã cho có 8073  12108  20181 nghiêm. Chọn B. Câu 11: cos x  cos 2 x  cos3 x  1  0  cos x  2 cos 2 x  1  4 cos 3 x  3cos x  1  0 Trang 16
sinx  0  4 cos x  2 cos x  4 cos x  2  0   cos x  1  2 cos x  1  0   3 2 2  cos x   1  2  x  k  mà . Chọn D.  x   2  k 2  3   3  3  2 x  4  x  4  k 2  x    k 2    Câu 12: sin  2 x    sin  x     k 2  4  4   3 x   2 x     x   k 2  6 3  4 4 TH1. Với x    k 2 mà x   0;    0    k 2   1 k     k 2  0    k  0  k   2  k 2  k 2 TH2. Với x   mà x   0;    0    6 3 6 3  k 2 5 1 15 k   5        k    k  0;1  x   ;  6 3 6 4 12 6 6  Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là  . Chọn B.   Câu 13: cos x   sin 2 x  sin  2 x   cos  2 x    2      2 x  2  x  k 2  x   2  k 2     k 2 k    2 x    x  k 2 x     2  6 3   TH1. Với x    k 2 mà x    ;        k 2   2 2  3 1 3 k    k 2     k   k  0  x   2 2 4 4 2  k 2  k 2 TH2. Với x    mà x    ;         6 3 6 3 5 k 2 7 5 21 k     k   k  1; 0;1 6 3 6 12 12 Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm. Chọn A. Câu 14: sin  cos x   0  cos x  k mà cos x   1;1 1 1 k Suy ra 1  k  1   k   k  0      3  Do đó cos x  0  x   n. mà x   0; 2    x   ;  . Chọn C. 2 2 2  Trang 17
Câu 15: cos  sin x   1  sin x  k 2 mà sin x   1;1 1 1 k  Suy ra 1  k 2  1   k  k  0 2 2 Do đó sin x  0  x  n. mà x   0; 2    x  0;  ; 2  . Chọn D.   Câu 16: sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k  k   2 4  1 8071 Mà 0  x  2018  0   k  2018    k  4 4 4 4071315 Suy ra k  0;1; 2;...; 2017   x  . Chọn A. 2 2   CD     Câu 17: Vì CD   OD    xD   D  ;0  3 2 6 6 6    1  1 1 Do đó x A   y A  sin   A  ;   BC  AD  . Chọn B. 6 6 2  6 2 2 Câu 18: Phương trình  3 1  cot 2 x   3cot x  3  cot 2 x  3 cot x  0 . Chọn C.    cos x  0 x   k Câu 19: Phương trình  cos 2 x  cos x  0    2  k    cos x  1  x  k 2   1 1  Với x   k mà 0  x      k   k 0 x  2 2 2 2 1 Với x  k 2 mà 0  x    9  k   k   . Chọn C. 2 Câu 20: Phương trình  2cos 2 x  1  2 cos x  3  0  cos 2 x  cos x  2  0  cos x  1 2019   cos x  1  x  k 2 mà x   0; 2019   0  k   cos x   2  l  2 Mặt khác k   k  1; 2;...;321 nên có 321 nghiệm cần tìm. Chọn D. Câu 21: Phương trình  cos 5 x  cos 2 x  cos x  cos 5 x  0  cos 2 x  cos   x   x    k 2  2 x  x    k 2    k 2 mà x   0;3   2 x   x    k 2 x     3 3   5 7  37  x   ;3 ; ; ;  x  ;3   . Chọn D.  3 3 3  3 Trang 18
sin x  0 Câu 22: Phương trình   2  cos x  3cos x  2  0  sin x  0 cos x  1   cos x  1 1 2017 Do đó cos x  1  x    k 2 mà x   0; 2018    k 2 2 1008  k  0;1; 2;...;1008     k 2   1018081 . Chọn C. Mặt khác k    k 0 2 Câu 23: Điều kiện: 2  2sin x  0  sin x  2 Phương trình trở thành: 2  6sin 2 x cos 2 x  sin x cos x  0  4  3sin 2 2 x  sin 2 x  0 k    1 399 Với x   0;100   0   k  100   k 4 4 4  Mà k     kmax  99  x   99 (thỏa mãn)  a  b  99  4  103 . Chọn D. 4 Câu 24: Phương trình 3 1  cos 2 2 x   cos 2 x  1  0  3cos 2 2 x  cos 2 x  2  0  cos 2 x  1  2 x  k 2  x  k   2   2  1  2  cos 2 x    2 x   arccos     k 2  x   arccos     k  3   3  2  3 TH1. Với x  k   0; 4   0  k  4   k  0;1; 2;3 nên có 4 nghiệm. 1  2 TH2. Với x  arccos     k   0; 4   0,116  k  3,883 2  3  k  0;1; 2;3 nên có 4 nghiệm.  1  2 TH3. Với x   arccos     k   0; 4   0,116  k  4,116 2  3 nên có 4 nghiệm. Vậy phương trình có tổng 12 nghiệm. Chọn D.     k 2  2 x   x  k 2  x    2 6 3 Câu 25: Phương trình  sin 2 x  sin   x     2     2 x     x  k 2  x   k 2  2  2         Với x   ;     x0   S  sin  sin  2.   ..  sin  2018.  2  6 6  6  6 n 1 sin x Ta có sin x  sin 2 x  sin 3x  ...  sin nx  2 .sin nx x 2 sin 2 Trang 19
2019   sin . 2018.  2 6 .sin 6  1 : 3  1  1  3 . Chọn D. Với x  ; n  2018  S  6  2 2 2 2 2 2 sin 12 Câu 26: Phương trình   2cos 2 x  5   sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   3  0  cos 2 x.  2cos 2 x  5   3  0  2cos 2 2 x  5cos 2 x  3  0      1  2 x   k 2  x   k cos 2 x  3 6  2    cos 2 x  3     2 x    k 2  x    k  3  6   1 12107 TH1. Với x   k   0; 2018   0   k  2018    k  6 6 6 6 2017        k   2018.  2035153 Mà k   nên k  0;1; 2;...; 2017  k 0  6  6   1 12109 TH2. Với x    k   0; 2018   0    k  2018  k 6 6 6 6 2018          k   2018.  2037171 Mà k   nên k  0;1; 2;...; 2017; 2018  k 0  6  6 Vậy tổng các nghiệm cần tính là 4072324  20182  . Chọn C. Trang 20