Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 2024 môn Toán: Chuyên đề Cực trị số phức (Mới nhất)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Một số tính chất cần nhớ.

1. Môđun của số phức:

Số phức

z a bi 

được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ



được

gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu

2 2

z = a + bi = a + b

Tính chất



2 2

z a b zz OM     

0, , 0 0z z z z     



. ' . 'z z z z



 

, ' 0

' '

z z z

z z

 



' ' 'z z z z z z    

 . ,kz k z k  



Chú ý:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 ( ) 4 .z a b abi a b a b a b z z z z          

Lưu

ý:



1 2 1 2

z z z z   dấu bằng xảy ra

 

1 2

0z kz k  



1 2 1 2

z z z z   dấu bằng xảy ra

 

1 2

0z kz k   .



1 2 1 2

z z z z  

dấu bằng xảy ra

 

1 2

0z kz k  



1 2 1 2

z z z z  

dấu bằng xảy ra

 

1 2

0z kz k  



 

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2z z z z z z    



z z z z 

z 

2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ

,x y

Quỹ tích điểm M

ax 0by c

  

(1)

z a bi z c di     (2)

(1)Đường thẳng

:ax 0by c

   

(2) Đường trung trực đoạn AB

với

   

 

, , ,A a b B c d

   

2 2 2

x a y b R   

hoặc

z a bi R  

Đường tròn tâm

 

;I a b , bán kính

   

2 2 2

x a y b R   

hoặc

z a bi R  

Hình tròn tâm

 

;I a b , bán kính

   

2 2

r x a y b R    

hoặc

r z a bi R   

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn

tâm

 

;I a b , bán kính lần lượt là

,r R

 

y ax bx c c

x ay by c

   

  



Parabol

     

2 2

1 1

x a y c

b d

 

 

hoặc

1 1 2 2

2z a b i z a b i a     

 

1 Elip

 

2 Elip nếu

   

1 1 2 2

2 , , , ,a AB A a b B a b

Đoạn AB nếu

2a AB

   

2 2

x a y c

b d

 

 

Hypebol

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

CỰC TRỊ SỐ PHỨC

Chuyên đề 36

Blog: Nguyễn Bảo Vương:

https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức

thỏa mãn

z a bi z  

, tìm

Min

. Khi đó ta có

Quỹ tích điểm

 

;M x y

biểu diễn số phức

là đường trung trực đoạn

với

 

;A a b



2 2

1 1

2 2

Min

z z a b

a b

z i



  





 





TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện

.z a bi z c di

    

Tìm

min

. Ta có

Quỹ tích điểm

 

;M x y

biểu diễn số phức

là đường trung trực đoạn

với

   

; , ;A a b B c d



     

2 2 2 2

2 2

Min

a b c d

z d O AB

a c b d

  

    

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ

bản.

Ví dụ 1:

Cho số phức thỏa mãn điều kiện

.z a bi z c di

    

Khi đó ta biến đổi

.z a bi z c di z a bi z c di

          

Cho số phức thỏa mãn điều kiện

.iz a bi z c di

    

Khi đó ta biến đổi

a bi c di

iz a bi iz c di z z z b ai z d ci

i i

   

              

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

 

z a bi R z z R     

. Tìm

Max Min

z z

. Ta có

Quỹ tích điểm

 

;M x y

biểu diễn số phức

là đường tròn tâm

 

;I a b

bán kính



2 2

Max

Min

z OI R a b R z R

      





      





Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

a bi R

iz a bi R z

i i

 

     

(Chia hai vế cho

)

z b ai R   

Ví dụ 2: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

z a bi R z a bi R      

(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

 

2 2

a bi R R

c di z a bi R z c di c di

c d

 

       

  

Hay viết gọn 1

0 1

0 0

z z z R z

z z

    

(Chia cả hai vế cho

)

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

 

2 ,

z c z c a a c    

Khi đó ta có

Quỹ tích điểm

 

;M x y

biểu diễn số phức

là Elip:

2 2

2 2 2

x y

a a c

 



Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3



2 2

Max

Min

z a

z a c

 





 





TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

1 2

2z z z z a

   

Thỏa mãn

1 2

a z z 

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc

Ta có

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc

 

1 2 1 2

2 , 2z z z z a z z a

     

và

1 2

, ,z z c ci  

). Tìm Max,

Min của

P z z 

Đặt

1 2

2 2 2

2z z c

b a c



 





 





Nếu

1 2

z z

z

 

Max

Min

P a

P b











(dạng chính tắc)

Nếu

 

1 2

0 1 0 2

z z

z a

z z k z z

 

 





  



1 2

Max

Min

z z

P z a

z z

P z a

 

  







  





Nếu

 

1 2

0 1 0 2

z z

z a

z z k z z

 

 





  



1 2

Max

z z

P z a



  

Nếu

0 1 0 2

z z z z  

1 2

Min

z z

P z b



  

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức

z a bi 

 

,a b



thỏa mãn

4 3 5

z i  

. Tính

P a b 

khi

1 3 1z i z i    

đạt giá trị lớn nhất.

8

10

4P

6

Câu 2. (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức

thỏa mãn

2 4 7 6 2.

z i z i     

Gọi

, m M

lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

1 .z i 

Tính

.P m M 

5 2 2 73

P



5 2 73

P 

5 2 73

P



13 73

P 

Câu 3. (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức

1 2

,z z

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

1 34, 1 2z z mi z m i      

(trong đó

là số thực) và sao cho

1 2

z z

là lớn nhất. Khi

đó giá trị

1 2

z z

bằng

130

Câu 4. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức

thỏa mãn

2 2 1z i  

. Số phức

z i

có môđun

nhỏ nhất là:

5 2

. B.

5 1

. C.

5 1

. D.

5 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương:

https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 5. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của

z i





với

là số phức khác

và thỏa mãn



. Tính tỉ số

m

. B.

m

. C.

m

. D.

m

Câu 6. Cho số phức

thoả mãn

2 3 1z i  

. Tìm giá trị lớn nhất của

1z i 

13 3

. B.

13 5

. C.

13 1

. D.

13 6

Câu 7. Xét tất cả các số phức

thỏa mãn

3 4 1

z i



. Giá trị nhỏ nhất của

7 24z i

 

nằm trong

khoảng nào?

 

0;1009

. B.

 

1009;2018

. C.

 

2018;4036

. D.

 

4036;



Câu 8. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn

z z z z

   

. Gọi M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2 2P z i  

. Đặt

A M m 

. Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

 

34;6

A. B.

 

6; 42

A. C.

 

2 7; 33

A. D.

 

4;3 3

A.

Câu 9. (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức

thỏa mãn

6 6 20

z z

   

. Gọi

lần lượt là

môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính

M n

M n

 

. B.

M n

 

. C.

7M n 

. D.

M n

 

Câu 10. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức

thỏa mãn

3 4 2

z i

  

và

w 2 1z i  

. Khi đó

có giá trị lớn nhất bằng

4 74



. B.

2 130



. C.

4 130



. D.

16 74



Câu 11. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức

và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn là

và

M

. Số phức

 

4 3z i



và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

và

N

. Biết rằng

M

N

là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 5z i 

. B.

. C.

. D.

Câu 12. Biết số phức

thỏa mãn

3 2iz z i   

và

có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức

bằng:

. B.

. C.



. D.



Câu 13. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức

thỏa mãn

1 3 2

z i

  

. Số phức

mà

1z

nhỏ nhất là

1 5z i 

. B.

1z i 

. C.

1 3z i 

. D.

1z i 

Câu 14. (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức

thỏa mãn

z z z z

   

Gọi

,M m

lần lượt

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2 2 .P z i

  

Đặt

.A M m 

Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

 

34;6

A

. B.

 

6; 42

A

. C.

 

2 7; 33

A

. D.



4;3 3

A



Câu 15. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức

thỏa mãn

1 1 2z i z i    

, số

phức

có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

. B.

. C.



. D.



Câu 16. Cho hai số phức

1 2

,z z

thỏa mãn 1 2

1 2

1; 2

2 3 1

z i z i

 

 

   

. Giá trị nhỏ nhất của

1 2

z z

là

2 2

. B.

. C.

. D.

2 1

Câu 17. (Sở Bình Phước 2019) Gọi

là tập hợp các số phức

thỏa mãn

1 34

z 

và

1 2z mi z m i    

, (trong đó



). Gọi

là hai số phức thuộc

sao cho

1 2

z z

lớn

nhất, khi đó giá trị của

1 2

z z

bằng

130

Câu 18. Cho hai số phức

,z w

thỏa mãn

3 2 2

z 

4 2 2 2

w i 

. Biết rằng

z w

đạt giá trị nhỏ

nhất khi

z z

w w

. Tính

0 0

z w



2 2

. B.

4 2

. C. 1. D.

6 2

Câu 19. Cho hai số phức

và

thỏa mãn

2 8 6z w i  

và

z w

 

Giá trị lớn nhất của biểu thức

z w

bằng

4 6.

2 26.

66.

3 6.

Câu 20. Cho số phức

thoả mãn



. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

1 1P z z z    

. Tính

.M m

13 3

. B.

. C.

3 3

. D.

Câu 21. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức

và

a bi



 

thỏa mãn

5 5 6

z z

   

;

5 4 20 0

a b

  

. Giá trị nhỏ nhất của





là

. B.

. C.

. D.

Câu 22. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi

z a bi 

 

,a b 



là số phức thỏa mãn điều kiện

1 2 2 3 10

z i z i     

và

có mô đun nhỏ nhất. Tính

7 ?S a b 

. B.

. C.

. D.

12

Câu 23. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức thỏa mãn .

Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức . Tính .

A. . B. . C. . D. .

2 8

z z z z

   

,M m

3 3P z i  

M m

10 34

2 10

10 58

5 58

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 36: Cực trị số phức

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

Xác nhận đăng nhập

Đăng nhập từ tài khoản này?

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi