TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI
I – Kiến thức cần nhớ
⎯ Phương trình tiếp tuyến của
( ) ( )
:C y f x=
tại điểm
( )
;
oo
M x y
có dạng:
( )
:oo
y k x x y = − +
⎯ Điều kiện cần và đủ để hai đường
( ) ( )
1:C y f x
=
và
( ) ( )
2:C y g x
=
tiếp xúc nhau
hệ
( ) ( )
( ) ( )
''
f x g x
f x g x
=
=
có nghiệm (nhớ: "hàm
=
hàm, đạo
=
đạo")
II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
Viết PTTT
của
( ) ( )
:,C y f x
=
biết
có hệ số góc k cho trước
⎯ Gọi
( )
;
oo
M x y
là tiếp điểm. Tính
( )
''
o
y y x
.
⎯ Do phương trình tiếp tuyến
có hệ số góc k
( )
'o
y x k
=
( )
i
⎯ Giải
( )
i
tìm được
( ) ( )
:
o o o o o
x y f x y k x x y
⎯⎯→ = ⎯⎯→ = − +
.
Lưu ý. Hệ số góc
'( )
o
k y x=
của tiếp tuyến
thường cho gián tiếp như sau:
⎯ Phương trình tiếp tuyến
// :d y ax b k a = + =
.
⎯ Phương trình tiếp tuyến
1
:d y ax b k a
⊥ = + = −
.
⎯ Phương trình tiếp tuyến
tạo với trục hoành góc
tank

=
.
⎯ Phương trình tiếp tuyến
tạo với
:d y ax b=+
góc
tan
1.
ka
ka

−
=
+
Viết PTTT
của
( ) ( )
:,C y f x
=
biết
đi qua (kẻ từ) điểm
( )
;
AA
A x y
⎯ Gọi
( )
;
oo
M x y
là tiếp điểm. Tính
( )
oo
y f x
=
và
( )
'o
k y x
=
theo
o
x
.
⎯ Phương trình tiếp tuyến
tại
( )
;
oo
M x y
là
( )
:oo
y k x x y
= − +
.
⎯ Do
( ) ( )
;
A A A A o o
A x y y k x x y
= − +
( )
i
⎯ Giải phương trình
( )
oo
i x y
⎯⎯→ ⎯⎯→
và
k⎯⎯→
phương trình
.
Viết PTTT
của
( ) ( )
:,C y f x=
biết
cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB
vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
⎯ Gọi
( ; )
oo
M x y
là tiếp điểm và tính hệ số góc
'( )
o
k y x=
theo
o
x
.
⎯ Đề cho
.2
OAB
OAB
S S OAOB S
= =
( )
( )
i
ii
⎯ Giải
( )
i
hoặc
( )
;
oo
ii x y k
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→
phương trình tiếp tuyến
.
Tìm những điểm trên đường thẳng
:0d ax by c+ + =
mà từ đó vẽ được
1,2,3,...,n
tiếp tuyến với
đồ thị hàm số
( ) ( )
:C y f x=
⎯ Gọi
( )
; : 0
MM
M x y d ax by c + + =
(sao cho có một biến
M
x
trong M)
⎯ PTTT
qua M và có hệ số góc k có dạng
( )
:MM
y k x x y = − +
.
⎯ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:
( ) ( )
( )
'
MM
f x k x x y
f x k
= − +
=
( )
( )
i
ii
TIẾP TUYẾN
Chuyên đề 40
Với
( )
'o
k y x=
là hệ số góc tiếp tuyến.
vuông cân

tạo với Ox một góc
45o
và
O
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
⎯ Thế k từ
( )
ii
vào
( )
,i
được:
( ) ( ) ( )
'. MM
f x f x x x y
= − +
( )
iii
⎯ Số tiếp tuyến của
( )
C
vẽ từ
M=
số nghiệm x của
( )
iii
.
Tìm những điểm
( )
;
MM
M x y
mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( ) ( )
:C y f x=
và
hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
⎯ PTTT
qua M và có hệ số góc k có dạng
( )
:MM
y k x x y
= − +
.
⎯ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:
( ) ( )
( )
'
MM
f x k x x y
f x k
= − +
=
( )
( )
i
ii
⎯ Thế k từ
( )
ii
vào
( )
,i
được:
( ) ( ) ( )
'. MM
f x f x x x y
= − +
( )
iii
⎯ Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với
( ) ( )
C iii
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
.
⎯ Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
( ) ( )
1 2 1 2
. 1 ' . ' 1k k y x y x = − = −
.
Lưu ý.
⎯ Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
( )
( ) ( )
12
:
. 0.
iii
f x f x
⎯ Đối với bài toán tìm điểm
( ) ( )
:M C y f x=
sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với
đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi
( )
;
oo
M x y
và
là tiếp tuyến với
( )
'o
k f x
=
. Rồi áp dụng
( )
'od
k f x k
==
nếu cho song song và
( )
' . 1
od
f x k =−
nếu cho vuông góc
( )
;
o o o o
x y M x y
.
Câu 1. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Phương trình tiếp tuyến của đường cong
32
32y x x= + −
tại điểm có hoành độ
01x=
là
A.
97yx=+
. B.
97yx= − −
. C.
97yx= − +
. D.
97yx=−
.
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
x
yx
−+
=−
tại điểm có hoành độ
0x=
là
A.
23yx= − +
. B.
23yx= − −
. C.
23yx=−
. D.
23yx=+
.
Câu 3. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số
33y x x=+
có đồ thị
( )
C
.Hệ số góc
k
của
tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại điểm có tung độ bằng
4
là:
A.
0k=
B.
2k=−
C.
6k=
D.
9k=
Câu 4. (GKI THPT Việt Đức Hà Nội -2019) Cho hàm số
1
1
x
yx
−
=+
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm
( )
1;0M
là
A.
13
22
yx=−
B.
11
22
yx=−
C.
11
22
yx=+
D.
11
42
yx=−
Câu 5. (Chuyên Lê Thánh Tông -2019) Tìm
m
để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
32
2 3 1y x mx m x
= − + − −
đều có hệ số góc dương.
A.
0m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
m
.
Câu 6. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến Năm 2019) Tiếp tuyến của đồ thị
( )
1
:1
x
Cyx
−
=+
tại điểm có
tung độ bằng
1
song song với đường thẳng
A.
( )
: 2 1d y x=−
. B.
( )
:1d y x= − +
. C.
( )
:1d y x=−
. D.
( )
: 2 2d y x= − +
.
C
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Câu 7. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số
4 2cos2y x x=+
có đồ thị là
( )
C
.
Hoành độ của các điểm trên
( )
C
mà tại đó tiếp tuyến của
( )
C
song song hoặc trùng với trục
hoành là
A.
( )
4
x k k
= +
. B.
( )
2
x k k
= +
. C.
( )
x k k

= +
. D.
( )
2x k k
=
.
Câu 8. (Chuyên Hưng Yên 2019) Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
32
12 3 5.
3
y x x x= − + −
A. Có hệ số góc bằng
1−
. B. Song song với trục hoành.
C. Có hệ số góc dương. D. Song song với đường thẳng
1x=
.
Câu 9. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
42
123
4
y x x= − + +
tại điểm
cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở
,AB
khác tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng
AB
.
A.
2
. B.
2
. C.
22
. D.
42
.
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
1
mx
yxm
−
=−+
tiếp
xúc với parabol
27yx=+
.
A.
7m=
. B.
7m=
. C.
4m=
. D.
m
.
Câu 11. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số
−+
=−
2
1
x
yx
có đồ thị
()C
và điểm
( ;1)Aa
. Gọi
S
là tập
hợp tất cả các giá trị thực của tham số
a
để có đúng một tiếp tuyến của
()C
đi qua
A
. Tổng tất cả
các giá trị các phần tử của
S
là
A.
1
B.
3
2
C.
5
2
D.
1
2
Câu 12. (Mã 102 2018) Cho hàm số
42
17
84
y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc đồ thị
( )
C
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( )
11
;M x y
;
( )
22
;N x y
(
M
,
N
khác
A
) thỏa mãn
( )
1 2 1 2
3y y x x
− = −
.
A.
3
B.
1
C.
0
D.
2
Câu 13. (Mã 101 2018) Cho hàm số
42
17
42
y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc
( )
C
sao
cho tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;M x y N x y
khác
A
thỏa
mãn
1 2 1 2
6( )y y x x− = −
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Câu 14. (Mã 103 -2018) Cho hàm số
42
1 14
33
y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc
( )
C
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( )
11
;M x y
,
( )
22
;N x y
(
M
,
N
khác
A
) thỏa mãn
( )
1 2 1 2
8y y x x
− = −
?
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Câu 15. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số
2
xb
yax
+
=−
,
( )
2ab −
. Biết rằng
a
,
b
là các giá trị thỏa
mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
( )
1; 2A−
song song với đường thẳng
:3 4 0d x y+ − =
.
Khi đó giá trị của
3ab−
bằng
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
2−
. B.
4
. C.
1−
. D.
5
.
Câu 16. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hàm số
1
2
x
yx
−
=+
, gọi
d
là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm có hoành độ bằng
2m−
Biết đường thẳng
d
cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
tại điểm
( )
11
;A x y
và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm
( )
22
;B x y
. Gọi
S
là tập hợp
các số
m
sao cho
21 5xy+ = −
. Tính tổng bình phương các phần tử của
S
.
A.
10
. B.
9
. C.
0
. D.
4
.
Câu 17. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số
( )
21
23
x
yx
+
=+
. Đường thẳng
:d y ax b=+
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
1
. Biết
d
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm
A,B
sao
cho
OAB
cân tại
O
. Khi đó
ab+
bằng
A.
1−
. B.
0
. C.
2
. D.
3−
.
Câu 18. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số
, , , , ; 0, 0
ax b
y f x a b c d c d
cx d
có đồ thị
C
. Đồ thị của hàm số
y f x
như
hình vẽ dưới đây. Biết
C
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2
. Viết phương trình tiếp
tuyến của
C
tại giao điểm của
C
với trục hoành.
A.
3 2 0xy
. B.
3 2 0xy
. C.
3 2 0xy
. D.
3 2 0xy
.
Câu 19. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi
,MN
là hai điểm di động trên đồ thị
C
của hàm số
32
34y x x x
sao cho tiếp tuyến của
C
tại
M
và
N
luôn song song với nhau. Hỏi khi
,MN
thay đổi, đường thẳng
MN
luôn đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. Điểm
1; 5N
B. Điểm
1; 5M
C. Điểm
1;5Q
D. Điểm
1;5P
Câu 20. Cho hàm số
2
1
x
yx
+
=+
đồ thị
( )
C
. Gọi
là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị
( )
C
đến một tiếp tuyến của
( )
C
. Giá trị lớn nhất của
có thể đạt được là
A.
33
. B.
3
. C.
2
. D.
22
.
Câu 21. (HSG Bắc Ninh 2019) Có bao nhiêu giá trị của tham số thực
m
để đồ thị hàm số
22x mx m
yxm
−+
=+
cắt trục
Ox
tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó
vuông góc với nhau.
A.
5
B.
2
C.
0
D.
1
Câu 22. Cho hàm số
42
13
4
y x x=−
có đồ thị
()C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc
()C
sao cho tiếp tyến của
()C
tại
A
cắt
()C
tại hai điểm phân biệt
11
( ; )M x y
,
22
( ; )N x y
(,MN
khác
A
) thỏa mãn
1 2 1 2
5( )y y x x− = −
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 23. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
23
2
x
yx
−
=+
đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận?
A.
1
. B. Không có. C. Vô số. D.
2
.
Câu 24. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số
( )
21
23
x
yx
+
=+
. Đường thẳng
:d y ax b=+
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
1
. Biết
d
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm
A,B
sao
cho
OAB
cân tại
O
. Khi đó
ab+
bằng
A.
1−
. B.
0
. C.
2
. D.
3−
.
Câu 25. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số
( )
32
132
22
= − +y x x C
. Xét hai điểm
( )
;A
A a y
và
( )
;B
B b y
phân biệt của đồ thị
( )
C
mà tiếp tuyến tại
A
và
B
song song. Biết rằng
đường thẳng
AB
đi qua
( )
5;3D
. Phương trình của
AB
là
A.
20− − =xy
. B.
80+ − =xy
. C.
3 4 0− + =xy
. D.
2 1 0− + =xy
.
Câu 26. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hàm số
3
1
x
yx
+
=−
có đồ thị là
( )
C
, điểm M
thay đổi thuộc đường thẳng
: 1 2d y x=−
sao cho qua M có hai tiếp tuyến của
( )
C
với hai tiếp
điểm tương ứng là A, B. Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là H. Tính
độ dài đường thẳng OH.
A.
34
. B.
10
. C.
29
. D.
58
.
Câu 27. (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số
( )
32
31f x x x mx
= + + +
. Gọi
là tổng tất cả giá trị
của tham số
m
để đồ thị hàm số
( )
y f x
=
cắt đường thẳng
1y=
tại ba điểm phân biệt
( )
0;1A
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
tại
B
,
C
vuông góc với nhau. Giá trị
của
bằng
A.
9
2
. B.
. C.
9
4
. D.
11
5
.
Câu 28. (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số
( )
y f x=
,
( )
y g x=
,
( )
( )
3
1
fx
ygx
+
=+
. Hệ số góc của các
tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ
1x=
bằng nhau và khác
0
. Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A.
( )
13f−
. B.
( )
13f−
. C.
( )
11
14
f−
. D.
( )
11
14
f−
.
Câu 29. (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số
( )
y f x=
, biết tại các điểm
,,A B C
đồ thị hàm số
( )
y f x=
có
tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( ) ( )
C A B
f x f x f x

. B.
( ) ( ) ( )
A B C
f x f x f x

.
C.
( ) ( ) ( )
A C B
f x f x f x

. D.
( ) ( ) ( )
B A C
f x f x f x
