Tài liệu xác suất thống kê - Lê Anh Vũ

Chia sẻ: Tran Van Kiet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

0
327
lượt xem
79
download

Tài liệu xác suất thống kê - Lê Anh Vũ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung: Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố. Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ). Các công thức tính xác suất: • Công thức cộng xác suất. • Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất. • Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. • Công thức Bernoulli.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu xác suất thống kê - Lê Anh Vũ

  1. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ CHÖÔNG 1 KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ XAÙC SUAÁT Nội dung Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố. Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ). Các công thức tính xác suất: • Công thức cộng xác suất. • Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất. • Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. • Công thức Bernoulli. 1. PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ – CAÙC LOAÏI BIEÁN COÁ 1.1. PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ 1.1.1. HAI VÍ DUÏ KINH ÑIEÅN Ví dụ 1.1. Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang – đó là một phép thử. Vài kết cục có thể hoặc không thể xảy ra: • Mặt sấp xuất hiện. • Mặt ngửa xuất hiện. • Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện. • Không mặt nào xuất hiện. Chúng còn gọi là các biến cố sinh ra bởi phép thử đang xét. Ví dụ 1.2. Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang – đó cũng là một phép thử. Sinh ra bởi phép thử này có thể kể một vài biến cố dưới đây. • Mặt k chấm xuất hiện (k = 1, 2, … , 6). • Mặt có số chấm lẻ xuất hiện. • Mặt có số chấm chẵn xuất hiện. • Mặt có số chấm không quá k xuất hiện ( k = 1, 2, … , 6). • Mặt có số chấm lớn hơn 6 xuất hiện. • Mặt có số chấm nhỏ hơn 7 xuất hiện. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.1
  2. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ 1.1.2. MOÂ TAÛ PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ Phép thử là một hành động, một thí nghiệm trong khoa học xác suất nhằm nhiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Phép thử luôn được thực hiện trong một nhóm các điều kiện nào đó hoàn toàn xác định. Ta thường đồng nhất phép thử với nhóm điều kiện xác định nó. Mỗi khi thực hiện xong phép thử, ắt sẽ dẫn đến một trong những sự kiện (hay kết cục) nhất định. Biến cố là sự kiện liên quan đến phép thử và có thể xẩy ra, cũng có thể không xẩy ra sau khi phép thử kết thúc. Các biến cố sẽ đặc trưng cho phép thử. 1.2. CAÙC LOAÏI BIEÁN COÁ 1.2.1. BIEÁN COÁ CHAÉC CHAÉN Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép thử. Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U. 1.2.2. BIEÁN COÁ KHOÂNG THEÅ COÙ Biến cố không thể có là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố không thể có được ký hiệu là ∅. 1.2.3. BIEÁN COÁ NGAÃU NHIEÂN Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể không xẩy ra khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ có thể dự đoán nhưng không thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay không xẩy ra của biến cố đó. Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C… Ví dụ 1.3. • Bóc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đó là một phép thử. Biến cố “bóc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố không thể có. Biến cố “bóc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố “bóc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc chắn. • Một người mua một tờ vé số - đó là một phép thử. Các biến cố vé số đó trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải khuyến khích, không trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên. Biến cố vé số đó hoặc trúng giải, hoặc không trúng giải là biến cố chắc chắn. Biến cố vé số đó vừa trúng giải nhất vừa không trúng giải nào là biến cố không thể có. Ví dụ 1.4. Bây giờ xét lại hai ví dụ kinh điển về tung đồng xu và gieo xúc xắc. Hãy kể các biến cố chắc chắn, không thể có và BCNN. 2. PHEÙP TOAÙN VAØ QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁ 2.1. TOÅNG CUÛA CAÙC BIEÁN COÁ • Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.2
  3. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ (A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, hoặc B xẩy ra). n ∑A = • Tổng của n biến cố A1, A2… An, ký hiệu A1 + A2 + … + An (hay i i =1 n ∪ A ), là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố Ai nào i i =1 đó ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy n ( ∑ Ai xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A1 xẩy ra, hoặc A2 xẩy ra, …, hoặc An xẩy ra). i =1 2.2. TÍCH CUÛA CAÙC BIEÁN COÁ • Tích của hai biến cố A và B, ký hiệu AB ( hay A∩B), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy (AB xẩy ra) ⇔ (A xảy ra và B xẩy ra). n n ∏ Ai = A1A2 … An (hay ∩ A ), là • Tích của n biến cố A1, A2, … , An, ký hiệu i i =n i =1 biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố Ai đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. n ( ∏ Ai xẩy ra) ⇔ (A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, … và An xảy ra). i =n 2.3. BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC VAØ BIEÁN COÁ ÑOÁI LAÄP • Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra khi phép thử được thực hiện. Tức là A.B = ∅. • Hai biến cố đối lập với nhau nếu chúng xung khắc và sau phép thử nhất thiết phải xẩy ra hoặc biến cố này hoặc biến cố kia. Biến cố đối lập của A là được ký hiệu là A . Như vậy, sau khi thực hiện phép thử, nhất định có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra. Tức là ⎧A + A = U; ⎪ ⎨ ⎪ AA = ∅. ⎩ Nói riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc. Ngược lại nói chung là sai. Ví dụ 1.5. Một sinh viên thi hai môn Toán cao cấp và Kinh tế lượng. Gọi T là biến cố sinh viên đó đậu môn Toán cao cấp, K là biến cố sinh viên đó đậu môn Kinh tế lượng. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua T, K: a) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn. b) Sinh viên đó đậu cả hai môn. c) Sinh viên đó bị trượt môn Toán cao cấp. d) Sinh viên đó bị trượt cả hai môn. e) Sinh viên đó chỉ đậu môn Kinh tế lượng. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.3
  4. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ f) Sinh viên đó chỉ đậu một môn. g) Sinh viên đó đậu không quá một môn. Giải Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G. Ta có a) A = T + K (= T K + T K + TK) ; b) B = TK ; c) T (= T K + T K ); d) D = T K ; e) T K ; f) T K + T K ; g) G = T K + T K + T K ( = D + F = B ). 2.4. BIEÁN COÁ SÔ CAÁP - KHOÂNG GIAN – CAÙC BIEÁN COÁ SÔ CAÁP NHOÙM ÑAÀY ÑUÛ CAÙC BIEÁN COÁ Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được qua các biến cố nào khác ∅ • và khác chính nó. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu các biến cố sơ cấp thường được ký hiệu là Ω. Cũng có khi dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để ký hiệu. • Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A1, A2,…,An được gọi là một nhóm (hay hệ) đầy đủ các biến cố nếu sau khi thực hiện phép thử, có một và chỉ một trong các biến cố đó xẩy ra. Tức là ⎧ Ai A j = φ , 1 ≤ i ≠ j ≤ n; ⎨ ⎩ A1 + A2 + + An = U . {} Nói riêng, A, A là một nhóm đầy đủ gồm hai biến cố. Ngược lại , mỗi nhóm đầy đủ hai biến cố ắt phải gồm hai biến cố đối lập. Ví dụ 1.6. Xét lại ví dụ về gieo con xúc xắc. Đặt • Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện, i = 1,6 . • C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện. • L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện. Khi đó A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 là tất cả các biến cố sơ cấp. Không gian các biến cố sơ cấp là Ω = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 }. ⎧C = A2 + A4 + A6 ; Các biến cố C, L không là biến cố sơ cấp vì: ⎨ ⎩ L = A1 + A3 + A5 . 2.5. BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄP • Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu sự xẩy ra hay không xẩy ra của biến cố nào trong chúng đều không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố còn lại. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.4
  5. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ • Hệ n biến cố (n ≥ 3) A1, A2…, An gọi là độc lập toàn phần nếu A2 độc lập với A1, A3 độc lập với A1A2, … , An độc lập với A1A2…An-1. Ví dụ 1.7. Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi môn Kinh tế lượng. Gọi L, T lần lượt là biến cố Lan, Tuấn đậu. Rõ ràng L và T độc lập với nhau. Chú ý Hai biến cố đối lập thì không thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định sự xẩy ra của biến cố kia. 2.6. VAØI TÍNH CHAÁT CUÛA CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN CAÙC BIEÁN COÁ 1) Tính giao hoán: A + B = B + A và A.B = B. A . 2) Tính kết hợp: A + (B + C ) = ( A + B ) + C và A.(B.C ) = ( A.B ).C . 3) Tính phân phối: A.(B + C ) = A.B + A.C và A + (B.C ) = ( A + B )( A + C ) . . (A ) = A . 4) A + A = A ; A. A = A ; 5) Luật DeMorgan: • A1 + A2 + + An = A1 . A2 An . • A1 A2 ... An = A1 + A2 + ... + An . 3. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT 3.1. NHAÄN XEÙT – YÙ NGHÓA CUÛA XAÙC SUAÁT Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung là có thể xẩy ra, có thể không xẩy ra sau khi thực hiện phép thử. Khi phép thử chưa thực hiện xong ta không thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy ra hay không. Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này dễ xẩy ra hơn, còn biến cố kia khó xẩy ra hơn. Nói một cách khác, khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của mỗi biến cố ngẫu nhiên nói chung là khác nhau Ta muốn lượng hóa, tức là tìm cách đo khả năng xẩy ra của mỗi biến cố bởi một con số. Con số đó gọi là xác suất của biến cố đang xét. Nói rõ hơn, xác suất của một biến cố A nào đó là một số, ký hiêu P(A), dùng để đo khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của biến cố A. Xác suất P(A) càng nhỏ thì biến cố A càng khó xẩy ra, xác suất P(A) càng lớn thì biến cố A càng dễ xảy ra. Chú ý rằng, trong khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến sự xẩy ra hay không xẩy ra của các biến cố chứ dường như không mấy quan tâm đến bản chất thực tế của biến cố. Bởi thế, nếu hai biến cố A, B khác nhau nhưng có xác suất bằng nhau, tức là chúng có khả năng xẩy ra như nhau thì về một mặt nào đó, có thể xem là chúng tương đương với nhau. Vấn đề đặt ra là, với mỗi biến cố A đã cho, làm thế nào để xác định P(A)? Dưới đây ta sẽ giới thiệu một vài cách xác định P(A). Chú ý rằng dù xác định xác suất như thế nào thì nó cũng phải thỏa mãn những tính chất hiển nhiên như sau Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.5
  6. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1; • 0% = 0 ≤ P(A) ≤ 1 = 100%, với mọi biến cố ngẫu nhiên A. • 3.2. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT THEO QUAN ÑIEÅM COÅ ÑIEÅN Giả sử sau khi thực hiện phép thử ta có tất cả n trường hợp đồng khả năng, trong đó có đúng mA trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy ra. Khi đó xác suất P(A) của A được định nghĩa như là tỷ số của số trường hợp thuận lợi và số tất cả các trường hợp. Tức là mA P( A) = n Nhận xét • Định nghĩa cổ điển của xác suất đơn giản, dễ hiểu, dễ tính toán. • Tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp dụng được khi số tất cả các trường hợp đồng khả năng sau phép thử là một số hữu hạn. Ví dụ 1.8. Tung một con xúc xắc sáu mặt, cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang. Tính khả năng (xác suất) để a) Mặt 6 chấm xuất hiện ; b) Mặt có số chấm chẵn xuất hiện. Giải Vì con xúc xắc có sáu mặt (cân đối, đồng chất ) với số chấm từ 1 đến 6 nên sau khi gieo (tức là thục hiện xong phép thử), có đúng 6 trường hợp đồng khả năng. Ta đặt tên các biến cố như sau : Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện; i = 1,6 ; C là biến cố mặt có số chấm chẵn xuất hiện . Theo yêu cầu đề bài, ta cần tính P(A6) và P(C). Dễ thấy số trường hợp thuận lợi cho A6 và C xẩy ra lần lượt là m6 = 1 và mC = 3. Do đó 1 31 a) P( A6 ) = ; b) P (C ) = = ( = 0, 5 = 50%). 6 62 Nhận xét • Để dễ trực cảm được khả năng xẩy ra của biến cố, xác suất của biến cố thường được để dưới dạng phần trăm. 1 • P( Ai ) = ; i = 1, 2,..., 6 ; P(L) = 50% ( L là biến cố mặt có số chấm lẻ xuất 6 hiện). 3.3. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT THEO QUAN ÑIEÅM THOÁNG KEÂ Giả sử ta thực hiện một phép thử τ nhiều lần (trong những điều kiện hoàn toàn giống nhau) và quan sát để đếm số lần xẩy ra của biến cố A. Nếu trong n lần thực hiện phép thử τ có m lần xuất hiện biến cố A, thì tỷ số m f n ( A) = được gọi là tần suất xuất hiện A trong n lần thử, m được gọi là tần số n xuất hiện biến cố A. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.6
  7. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Khi số lần thử đủ lớn, tần suất fn(A) sẽ dao động xung quanh một giá trị ổn định nào đó. Giá trị đó được gọi là xác suất của biến cố A. Một cách chính xác, ta định nghĩa P (A) = lim f n ( A) . n →+∞ Nhận xét • Định nghĩa thống kê của xác suất cũng đơn giản, dễ hiểu. Định nghĩa theo cách này không cần phải đòi hỏi sau khi thực hiện phép thử số tất cả các trường hợp phải hữu hạn và đồng khả năng như là định nghĩa cổ điển nữa. Tuy nhiên rất khó dùng cách này để tính xác suất một cách chính xác. Hơn nữa, muốn tính xác suất nhờ định nghĩa thống kê cần phải tốn thời gian và có thể cả kinh phí. • Người ta thường xuyên áp dụng định nghĩa này khi xác định xác suất của nhiều sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn. Tuy nhiên, thay cho tính toán chính xác, ta xấp xỉ P(A) với chính tần suất fn(A) của A khi n (số lần lặp phép thử) đủ lớn. Ví dụ 1.9. Khi tung nhiều lần một đồng tiền cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động quanh giá trị 0,5. – Buffon: tung 4.040 lần, số lần sấp là 2.048, tần suất là 0,5080. – Pearson: tung 12.000 lần, số lần sấp là 6.019, tần suất là 0,5016. – Pearson: tung 24000 lần, số lần sấp là 12.012, tần suất là 0,5005. Như vậy, xác suất để xuất hiện mặt sấp là 0,5 = 50%. 3.4. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT THEO QUAN ÑIEÅM HÌNH HOÏC Trong nhiều trường hợp, ta có thể dùng hình học để xác định xác suất. Ta sẽ giới thiệu định nghĩa này thông qua một ví dụ cụ thể. Ví dụ 1.10. (Bài toán hai người gặp nhau) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm xác định vào khoảng từ 20h đến 21h. Mỗi người đến (và chắc chắn đến) địa điểm đã hẹn trong khoảng thời gian đó một cách độc lập, chờ 20 phút, nếu không gặp người kia thì bỏ đi. Tính khả năng ( xác suất ) để hai người gặp nhau. Giải Gọi G là biến cố hai người gặp nhau; X, Y là thời điểm đến của mỗi người. Rõ ràng X, Y đều là một điểm ngẫu nhiên trong đoạn [20; 21]. Để G xẩy ra, tức là hai người gặp 1 nhau, ta phải có X − Y ≤ 20 (phút) = (giờ). 3 Xem cặp (X, Y) như là một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Khi đó ta được hai miền phẳng (D) = { (X, Y) / 20 ≤ X ≤ 21; 20 ≤ Y ≤ 21}: biểu diễn tất cả các trường hợp; 1 (G) = { (X, Y) ∈(D) / X − Y ≤ }: biểu diễn các trường hợp thuận lợi cho biến 3 cố G xẩy ra. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.7
  8. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Rõ ràng miền (G) càng to so với (D) thì khả năng gặp nhau của hai người càng lớn. Do đó sẽ là rất hợp lý khi ta định nghĩa P(G) chính là tỷ số diện tích của hai miền (G) và (D), tức là 5 S (G ) 9 5 ==. P(G) = S ( D) 1 9 4. COÂNG THÖÙC COÄNG XAÙC SUAÁT 4.1. TRÖÔØNG HÔÏP CAÙC BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC • Cho hai biến cố A, B là hai biến cố xung khắc. Ta có công thức cộng xác suất như sau P( A + B) = P( A) + P ( B) • Cho n biến cố A1, A2,…,An xung khắc từng đôi, ta có công thức cộng xác suất như sau P( A1 + A2 + ... An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) 4.2. TRÖÔØNG HÔÏP CAÙC BIEÁN COÁ BAÁT KYØ Với A, B, C là các biến cố bất kỳ (không nhất thiết xung khắc). Ta có công thức cộng xác suất tổng quát như sau P( A + B) = P( A) + P( B) − P( A.B) ; P ( A + B + C ) = P( A) + P ( B) + P(C ) − P( AB) − P( BC ) − P(CA) + P( ABC ) . 4.3. XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN COÁ ÑOÁI LAÄP Cho biến cố A trong phép thử τ, A có biến cố đối lập là A . Ta có công thức P ( A) = 1 − P( A) . Ví dụ 1.11. Theo thống kê của Bộ nông nghiệp Hoa kỳ, diện tích toàn bộ các nông trại tại nước này được cho bởi bảng sau Diện tích (ha) Tần suất Biến cố Dưới 10 0,087 A 10-49 0,192 B 50-99 0,156 C 100-179 0,173 D 180-259 0,098 E 260-499 0,143 F 500-999 0,085 G 1.000-1999 0,040 H Từ 2.000 0,026 I Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.8
  9. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ trở lên Chọn ngẫu nhiên một nông trại. Sử dụng bảng thống kê trên, hãy tính xác suất để nông trại được chọn có diện tích: a) Từ 100 đến 499 ha. b) Nhỏ hơn 2.000 ha. c) Không dưới 50 ha. Giải Gọi J, K, L lần lượt là các biến cố nông trại được chọn thỏa mãn yêu cầu của các câu a, b, c. Ta cần tính các xác suất P(J), P(K), P(L). Từ bảng đã cho ta thấy: J = D + E + F; K = I ; L = A + B . Vì các biến cố đã cho trong bảng từng đôi xung khắc nên ta có: a) P(J) = P( D + E + F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0, 414 = 41, 4%. b) P(K) = P( I ) = 1 – P(I) = 1 – 0,026 = 0,974 = 97,4%. c) P(L) = P( A + B ) = 1 – P(A+B) = 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0,087 – 0,192 = 0, 721 = 72,1%. Kết luận: P(J) = 41,1%; P(K) = 97,4%; P(L) = 72,1%. Ví dụ 1.12. Tại một câu lạc bộ âm nhạc, thăm dò 100 người thì thấy có 80 người thích nhạc Văn Cao; 70 người thích nhạc Trịnh Công Sơn; 60 người thích nhạc của cả hai nhạc sỹ trên. Chọn ngẫu nhiên một người trong số họ. Tính xác suất để người này thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên. Giải Đặt C là biến cố người được chọn thích nhạc Văn Cao. S là biến cố người được chọn thích nhạc Trịnh Công Sơn. T là biến cố người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên. Do C, S không xung khắc nên áp dụng công thức xác suất cộng P (T) = P (C + S) = P (C) + P (S) – P (CS) = 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9 = 90%. Kết luận: Xác suất để người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên là 90%. 5. XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN VAØ COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT 5.1. COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT KHI CAÙC BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄP • Với A, B là hai biến cố độc lập, ta có công thức nhân xác suất như sau P( A.B) = P( A).P( B) • Cho n biến cố A1, A2…, An độc lập toàn phần. Công thức nhân xác suất đối với chúng như sau P(A 1 A 2 ... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P (A n ) Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.9
  10. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Ví dụ 1.13. Tung con xúc xắc 3 lần. Tính xác suất mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần. Giải Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở lần tung thứ i, i= 1,2,3. Gọi A là biến cố mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần. Ta cần tính P(A). Rõ ràng là A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 . ( ) P ( A ) = P A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 Do đó = P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Vì các biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung độc lập với nhau nên ta có 115 5 P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = × × = ; 6 6 6 216 111 1 P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = × × = . 6 6 6 216 2 Kết luận: P ( A ) = . 27 5.2. XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN VAØ COÂNG NHAÂN XAÙC SUAÁT THÖÙC KHI CAÙC BIEÁN COÁ KHOÂNG ÑOÄC LAÄP Cho A, B là hai biến cố tùy ý. Giả sử B đã xẩy ra rồi. Khi đó xác suất của biến cố A (được tính trong điều kiện biết biến cố B đã xảy ra) được gọi là xác suất (có điều kiện) của A trong điều kiện B (đã xảy ra), ký hiệu là P(A/B). Công thức xác suất có điều kiện như sau P( A.B) P( B. A) P( A B) = ; P ( B A) = . P( B) P( A) Do đó P( B A) P( A) P ( A.B) = P( A B) P( B) ; P ( A B ) = . P( B) Rõ ràng là khi A, B độc lập thì P( A B ) = P( A) và P( B A) = P( B) . Từ đây ta có thể tổng quát công thức nhân cho n biến cố bất kỳ A1, A2, … ,An (không nhất thiết độc lập) như sau P ( A1A 2 ... A n ) = P ( A1 ) P ( A 2 / A1 ) P ( A 3 / A1 A2 )… P ( An / A1 A2 ... An −1 ) . Ví dụ 1.14. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có hai sản phẩm xấu. Chọn lần lượt mỗi lần một sản phẩm cho đến khi phát hiện đủ hai sản phẩm xấu thì dừng. Tính xác suất để dừng lại ở lần chọn thứ 3 nếu a) Chọn không hoàn lại. b) Chọn có hoàn lại. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.10
  11. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Giải Đặt Xi là biến cố chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ i, i = 1,20 . D là biến cố dừng lại ở lần chọn thứ 3. Ta cần tính P(D). Dễ thấy D = X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 (các biến cố này xung khắc với nhau). Do đó P ( D ) = P ( X 1 X 2 X 3 ) + P ( X 1 X 2 X 3 ) . a) Chọn không hoàn lại. Các biến cố X 1 , X 2 , X 3 không độc lập. Do đó ta có: P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 / X 1 ) P( X 3 / X 1 X 2 ) 2 18 1 2 1 = . . .= = .. 20 19 18 20.19 190 P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 / X 1 ) P( X 3 / X 1 X 2 ) 18 2 1 2 1 . . .= = = . 20 19 18 20.19 190 2 1 P( D) = = ≈ 1, 05% . Kết luận: 190 95 b) Chọn có hoàn lại. Các biến cố X 1 , X 2 , X 3 độc lập với nhau. Do đó ta có: P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 ) P( X 3 ) 2 18 2 ×× = 0,9% . = 20 20 20 P( X 1 X 2 X 3 ) = P( X 1 ) P( X 2 ) P( X 3 ) 18 2 2 . . . = 0,9% . = 20 20 20 P ( D) = 2.0, 009 = 1,8% . Kết luận: 6. COÂNG THÖÙC XAÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ VAØ COÂNG THÖÙC BAYES 6.1. COÂNG THÖÙC XAÙÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ Giả sử A1, A2…, An là một nhóm đầy đủ các biến cố và B là một biến cố bất kỳ. Khi đó ta có công thức xác suất đầy đủ như sau n P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P( B / Ai ) = P ( A1 ) P ( B / A1 ) + P ( A2 ) P ( B / A2 ) + + P ( An ) P ( B / An ) . i =1 6.2. COÂNG THÖÙC BAYES Giả thiết hoàn toàn như giả thiết của công thức xác suất đầy đủ. Ta có công thức Bayes như sau P( A ) P( B / Ak ) P( Ak ) P( B / Ak ) P ( Ak / B) = n k = . P( B) ∑ P( Ai ) P( B / Ai ) i =1 Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.11
  12. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ Ví dụ 1.15. Một nhà máy sản xuất bóng đèn có ba phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 25%, phân xưởng II sản xuất 35%, phân xưởng III sản xuất 40% số bóng đèn. Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi phân xưởng trên tổng số sản phẩm do phân xưởng đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1%. Một người mua một bóng đèn do nhà máy sản xuất. Tính xác suất để a) Sản phẩm này tốt. b) Biết rằng sản phẩm này hỏng. Tính xác suất để nó do phân xưởng III sản xuất. Giải Đặt A là biến cố sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất. B là biến cố sản phẩm này do phân xưởng II sản xuất. C là biến cố sản phẩm này do phân xưởng III sản xuất. T là biến cố sản phẩm này tốt. Khi dó A, B, C là nhóm đầy đủ, còn T là biến cố sản phẩm này hỏng. a) Ta cần tính P(T). Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P (T ) = P (T A) P( A) + P(T B ) P( B ) + P(T C ) P(C ) = 0,97 × 0.25 + 0,98 × 0,35 + 0,99 × 0, 4 = 0,9815 = 98,15%. b) Ta cần tính P(C/ T ). Áp dụng công thức xác Bayes, ta có P (C ) P(T / C ) P(C ) P(T / C ) 0, 4 × 0, 01 ≈ 21,62%. P (C / T ) = = 1 − P(T ) 1 − 0,9815 P (T ) Ví dụ 1.16. Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 bóng mới (chưa sử dụng) và 6 bóng cũ (đã sử dụng). Lần đầu chọn ra 3 quả để sử dụng, sau đó bỏ vào lại. Lần hai chọn ra 3 quả. a) Tính xác suất 3 quả bóng chọn lần hai là 3 bóng mới. b) Biết rằng lần hai chọn được 3 bóng mới. Tính xác suất lần đầu chọn được 2 bóng mới. Giải Gọi Mi là biến cố lần đầu chọn được i bóng mới, i = 0,3 . Khi đó Mo, M1, M2, M3 là một nhóm đầy đủ các biến cố. Đặt B là biến cố lần hai chọn được 3 bóng mới. a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có P(B) = P(Mo)P(B/Mo) + P(M1)P(B/M1) + P(M2)P(B/M2) + P(M3)P(B/M3) Ta có: 3 1 2 2 1 3 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 ; P(M o ) = 1 2 3 3 3 3 3 C15 C15 C15 C15 3 3 3 3 )= C P( B / M ) = C )= C )= C 9 8 7 6 P( B / M o ; ; P( B / M 2 ; P( B / M 3 . 1 3 3 3 3 C C C C 15 15 15 15 Do đó (C .C ) 1 528 P ( B) = 3 3 1 2 3 2 1 3 3 3 + C 9C 6.C 8 + C 9C 6.C 7 + C 9.C 6 = ≈ 8, 93% . (C ) 2 6 9 5915 3 15 Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.12
  13. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ b) Áp dụng công thức Bayes, ta có C7 C92C6 3 1 3 3 P( M 2 ) P( B / M 2 ) C15 C15 9 P( M 2 / B) = = = ≈ 40,91% . 528 P( B) 22 5915 7. COÂNG THÖÙC BEC-NU-LI (BERNOULLI) 7.1. DAÕY PHEÙP THÖÛ BERNOULLI Một dãy n phép thử (0 < n ∈ ) được gọi là một dãy các phép thử Bernoulli, nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: • Tất cả các phép thử đều độc lập với nhau. • Trong mỗi phép thử biến cố A mà ta quan tâm có xác suất P(A) = p không đổi. 7.2. COÂNG THÖÙC BERNOULLI Kí hiệu • q = 1 – p = P( A ). • Pn(k; p) là xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong n phép thử Bernoulli (còn gọi là xác suất để có đúng k lần thành công trong n lần thử). • Pn(k1, k2; p) là xác suất để A xuất hiện ít nhất k1 lần , nhiều nhất k2 lần trong n phép thử Bernoulli (còn gọi là xác suất để trong n lần thử số lần thành công ít nhất là k1, nhiều nhất là k2). Ta có công thức Bernoulli như sau Pn ( k , p ) = C nk p k q n − k ; 0 ≤ k ≤ n. k2 k2 ∑ Pn (k ; p) = ∑ Cnk p k q n−k ; 0 ≤ k1 < k2 ≤ n Pn (k1 , k2 ; p) = k = k1 k = k1 7.3. SOÁ COÙ KHAÛ NAÊNG NHAÁT Số k0 sao cho Pn(k0; p) lớn nhất ( trong tất cả các Pn(k;p) ) được gọi là số có khả năng nhất. Ta có • Nếu np – q nguyên thì k0 có hai giá trị là np – q hoặc np – q +1. • Nếu np – q không nguyên thì k0 = k0 = [np – q] + 1. Ví dụ 1.17. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ ở mỗi lần bắn là 0,6. Biết rằng xác suất mục tiêu bị diệt khi trúng 1, 2, 3 phát đạn lần lượt là 0,2 ; 0,5 ; 0,8. Còn nếu trúng 4 phát đạn thì chắc chắn bị diệt.Tìm xác suất mục tiêu bị diệt nếu xạ thủ đó bắn 4 phát đạn. Giải Gọi D là biến cố cần tìm xác suất. Theo đề bài, D phụ thuộc vào việc mục tiêu bị trúng mấy phát đạn. Ta gọi biến cố mục tiêu trúng k phát đạn là Tk. Khi đó ta có một nhóm đầy đủ là T0, T1, T2, T3, T4 . Theo công thức xác suất đầy đủ, P(D) được tính bởi công thức : Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.13
  14. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ 4 ∑ P(T )P(D/TK ) . P(D) = K K =0 Từ đề bài suy ra P(D/T1) = 0,2 ; P(D/T2) = 0,5 ; P(D/T3) = 0,8 ; P(D/T4) = 1, còn hiển nhiên P(D/T0) = 0. ___ Ta cần tính P(Tk), k = 0,4 . Xạ thủ bắn 4 phát đạn một cách độc lập và xác suất bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần không thay đổi. Do đó ta có dãy 4 phép thử Bernoulli với p = 0,6, q = 0,4. Áp dụng công thức Bernoulli ta được P(T0) = P4(0 ; 0,6) = C 4 p 0 q 4 = 0,44 = 0,0256 ; 0 P(T1) = P4(1 ; 0,6) = C 4 p 1 q 3 = 4.0,6.0,43 = 0,1536 ; 1 P(T2) = P4(2 ; 0,6) = C 4 p 2 q 2 = 6.0,62.0,42 = 0,3456 ; 2 P(T3) = P4(3 ; 0,6) = C 4 p 3 q 1 = 4.0,63.0,4 = 0,3456 ; 3 P(T4) = P4(4 ; 0,6) = C 4 p 4 q 0 = 0,64 = 0,1296 ; 4 Kết luận: xác suất mục tiêu bị diệt nếu xạ thủ bắn 4 phát đạn là : P(D) = 0,0256.0 + 0,1536.0,2 + 0,3456.0,5 + 0,3456.0,8 + 0,1296.1 = 60,96%. Ví dụ 1.18. Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8. Có thể nói rằng cứ 10 người đến bác sỹ đó chữa bệnh thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh được không ? Nếu không thì số người khỏi có khả năng nhất là bao nhiêu ? Giải Câu khẳng định đó là sai. Ở đây có thể coi việc chữa bệnh cho 10 người là dãy 10 phepes thử Bernoulli với xác suất thành công trong mỗi lần thử là p = 0,8. Do đó q = 0, 2. Từ đó , xác suất để trong 10 người đến chữa có đúng 8 người khỏi bệnh là P (8;0,8) = C10 0,88.0, 22 ≈ 31, 08% . 8 10 Ở đây, vì np – q = 10 . 0, 8 – 0,2 không nguyên nên số có khă năng nhất là k0 = [np – q] + 1 = 8. Kết luận: Không thể nói rằng cứ 10 người đến chữa thì chắc chắn 8 người khỏi bệnh. Chỉ có thể nói rằng cứ10 người đến chữa bệnh thì nhiều khả năng nhất là 8 người khỏi. 7.4. HAI TRÖÔØNG HÔÏP TÍNH GAÀN ÑUÙNG Công thức Bernoulli khi n và k khá lớn thì tính toán rất cồng kềnh phức tạp. Bởi thế người ta tìm cách tính gần đúng. Cụ thể ta có hai trường hợp dưới đây. • Nếu n rất lớn, trong khi p rất nhỏ ( p < 0, 1) ta có thể dùng xấp xỉ Poinsson ( n p ) k − np Pn(k; p) ≈ e . k! • Nếu n lớn, trong khi p không quá bé và không quá lớn (0,1 < p < 0,9) ta có thể dùng xấp xỉ Gauss và Moivre – Laplace ϕ ( xk ) k − np Pn (k ; p ) ≈ với xk = ; npq npq ki − np Pn (k1 , k2 ; p ) ≈ φ ( x2 ) − φ ( x1 ) với xi = ; i= 1, 2. npq Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.14
  15. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ ở đó ϕ ( x) là hàm Gauss (có thể tra từ bảng hàm Gauss), φ ( x) là hàm Laplace (có thể tra được giá trị từ bảng hàm Laplace). Ví dụ 1.19. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của một máy là 0,005. Tìm xác suất để trong 800 sản phẩm của máy đó có đúng 3 phế phẩm. Giải Đây là bài toán áp dụng công thức Bernoulli vì hành động lặp lại (chọn 800 sản phẩm). Rõ ràng n = 800 lớn, p = 0,005 quá bé nên ta dùng xấp xỉ Poinsson với np = 4, k = 3. 43 −4 P800 (3;0, 005) ≈ e ≈ 0,1954 = 19, 54%. 3! Ví dụ 1.20. Xác suất ném trúng rổ của một cầu thủ là 0,8. T ìm xác suất để trong 100 lần ném của cầu thủ đó có a) 75 lần trúng rổ; b) không dưới 75 lần. Giải Đây là bài toán áp dụng công thức Bernoulli vì hành động lặp lại (100 lần ném rổ). Rõ ràng n = 100 khá lớn, p = 0,8 không quá bé cũng không quá lớn nên ta dùng xấp xỉ Gauss và Moivre – Laplace với np = 80. 75 − 100.0,8 ϕ( ) ϕ (−1, 25) 100.0,8.(1 − 0,8) P 00 (75;0,8) ≈ = = 0, 04565 = 4, 565%. 1 100.0,8.(1 − 0,8) 4 P 00 (75,100;0,8) ≈ φ (5) − φ (−1, 25) = φ (5) + φ (1, 25)) = 0,8943=89,43%. 1 8. LÖÔÏC ÑOÀ GIAÛI BAØI TOAÙN XAÙC SUAÁT Để giải một bài toán xác suất, ta cần tuân thủ lược đồ sau đây : • Bước 1 Đọc đề bài và nhanh chóng phát hiện hành động (tức là phép thử) của bài toán. Căn cứ vào các kết cục có thể xẩy ra sau hành động để đặt tên các biến cố và tóm tắt yêu cầu cần tính xác suất nào. Nếu thấy hành động được lặp đi lặp lại nhiều lần thì nên dùng công thức Bernoulli và tính toán ngay. Nếu hành động không lặp thì chuyển sang bước tiếp theo. • Bước 2 Xét quan hệ giữa biến cố cần tính xác suất và các biến cố đơn giản hơn để quyết định cần dùng công thức nào trong các công thức cộng , nhân xác suất đầy đủ hay Bayes. Rõ ràng khi gặp các biến cố tổng hay tích thì dùng các công thức cộng, nhân xác suất. Còn khi thấy hành động được chia hai giai đoạn, các kết cục của giai đoạn sau phụ thuộc vào từng kết cục của giai đoạn đầu thì nói chung là dùng công thức xác suất đầy đủ hoặc Bayes. • Bước3 Đọc kỹ các số liệu đã cho trong giả thiết của bài toán để ráp vào các công thức đã dùng và tính toán đến đáp số. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.15
  16. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ BAØI TAÄP CHÖƠNG 1 [1] Bảng chấm công năm vừa qua của công ty Cudahey Masonry được thống kê thành bảng dưới đây Số ngày vắng 0 1 2 3 4 5 6 7 Số công nhân 4 2 14 10 16 18 10 6 Chọn ngẫn nhiên một công nhân. Tính xác suất công nhân đó nghỉ a) 3 ngày? b) Nhiều nhất 2 ngày? c) Từ 1 đến 5 ngày? d) 8 ngày? e) Ít hơn 8 ngày? [2] Theo số liệu thống kê của Digest of Education Statistics về mạng lưới hình thành giáo dục ở Mỹ được cho bởi bảng phân phối tần số theo vùng, loại của các trường như sau Loại Trường công lập Trường tư Cộng Đông-Bắc 266 555 821 Trung-Tây 359 504 863 Nam 533 502 1035 Vùng Tây 313 242 555 Cộng 1471 1803 3274 Chọn ngẫu nhiên một trường. Tính xác suất trường được chọn là a) Trường công lập? b) Ở vùng Trung-Tây? c) Trường công lập và ở vùng Trung-Tây? d) Trường công lập hay một trường ở vùng Trung-Tây? e) Trường tư ở vùng Đông-Bắc? [3] Trong 100 người được phỏng vấn có 40 người thích dùng nước hoa A; 28 người thích dùng nước hoa B; 10 người thích dùng cả 2 loại nước hoa A, B. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100 người trên. Tính xác suất người này a) Thích dùng ít nhất một loại nước hoa trên? b) Không thích dùng loại nứơc hoa nào cả? [4] Một hộp chứa 10 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất chọn được sản phẩm xấu? b) Chọn ngẫu nhiên lần lượt (không hoàn lại) hai sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau là sản phẩm xấu? c) Chọn ngẫu nhiên lần lượt (có hoàn lại) hai sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau là sản phẩm xấu? [5] Một hộp phấn có 12 phấn trắng; 8 phấn xanh; 10 phấn vàng. Chọn ngẫu nhiên một viên phấn. Tính xác suất viên phấn này màu trắng? Biết rằng viên phấn này không phải màu vàng. Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.16
  17. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ [6] Chọn lần lượt không hoàn lại 3 sản phẩm từ một hộp chứa10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Tính xác suất chọn được sản phẩm tốt ở lần 1 và 2 còn lần 3 chọn sản phẩm xấu? [7] Chọn không hoàn lại 3 bi từ một hộp chứa 10 bi trắng và 5 bi đỏ. Hãy tính xác suất để chọn được bi trắng ở lần thứ nhất và lần thứ hai, còn lần thứ ba thì chọn được bi đỏ? [8] Có hai hộp bi, hộp I có 1 bi trắng, 9 bi đen; hộp II có 1 bi đen, 5 bi trắng. Từ mỗi hộp chọn ngẫu nhiên 1 bi, số bi còn lại trong mỗi hộp được bỏ chung vào hộp III. Sau đó từ hộp III chọn ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất bi chọn từ hộp III là bi trắng. [9] Đội tuyển bóng bàn Thành phố có ba vận động viên A, B, C mỗi vận động viên thi đấu một trận, với xác suất thắng trận lần lượt là: 0,7; 0,8; 0,9. Tính a) Xác suất đội tuyển thắng ít nhất một trận? b) Xác suất đội tuyển thắng đúng hai trận? c) Xác suất C thua? Biết rằng đội tuyển thắng hai trận. [10] Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công nhân nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15 %, còn tỷ lệ này với nam là 20%. a) Gặp ngẫu nhiên một công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để gặp công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học? b) Gặp ngẫu nhiên hai công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để ít nhất gặp được một công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học trong hai công nhân trên? [11] Có 3 sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; sinh viên B là 0,7 và sinh viên C là 0,6. a) Tìm xác suất để có hai sinh viên làm được bài. b) Nếu có hai sinh viên làm được bài thi. Tìm xác suất sinh viên A không làm được bài thi? [12] Một sinh viên thi 2 môn. Xác suất để sinh viên này đạt yêu cầu môn thứ nhất là 80%. Nếu sinh viên này đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt yêu cầu môn thứ hai là 60%; còn nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt yêu cầu môn thứ hai là 30%. Tính xác suất a) Sinh viên này đạt yêu cầu cả 2 môn? b) Sinh viên này đạt yêu cầu môn thứ hai? c) Sinh viên này đạt yêu cầu ít nhất một môn? d) Sinh viên này không đạt yêu cầu cả hai môn? [13] Một lô hàng có 40 sản phẩm loại A và 10 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra thì thấy cả 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra đều là loại A. Từ số sản phẩm còn lại của lô hàng chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm loại B? [14] Một phân xưởng có ba máy. Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9; 0,8; 0,7. trong một giờ mỗi máy sản suất được 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong một giờ cả ba máy sản suất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. [15] Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém phẩm chất). Hộp thứ hai có 5 chai thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 chai. a) Tính xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt? b) Tính xác suất lấy được 1 chai thuốc tốt và 1 chai thuốc kém phẩm chất? Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.14
  18. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ c) Nếu lấy được 1 chai thuốc tốt và 1 chai thuốc kém phẩm chất. Tính xác suất để chai thuốc kém phẩm chất là của hộp thứ nhất? [16] Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Hộp thứ hai có 5 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì được sản phẩm loại I. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp thứ hai là sản phẩm từ hộp thứ nhất bỏ vào. [17] Có hai lô sản phẩm. Lô thứ nhất có tỷ lệ sản phẩm loại I là 90%. Lô thứ hai có tỷ lệ sản phẩm loại I là 70%. Chọn ngẫu nhiên một lô, rồi từ lô đó lấy nhẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm loại I. Trả lại sản phẩm đó vào lô đã chọn, rồi cũng từ lô đó lấy tiếp 1 sản phẩm nữa. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai là sản phẩm loại I. [18] Có 3 hộp, mỗi hộp có 5 sản phẩm. Hộp thứ nhất có 1 sản phẩm loại B; hộp thứ hai có 2 sản phẩm loại B; hộp thứ ba có 3 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra1 sản phẩm. a) Tính xác suất để lấy được 3 sản phẩm loại B? b) Nếu có 1 sản phẩm loại B trong 3 sản phẩm lấy ra. Tính xác suất để sản phẩm loại B đó là của hộp thứ nhất? [19] Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có 4 phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 40%; Phân xưởng II sản xuất 30%; Phân xưởng III sản xuất 20%; Phân xưởng IV sản xuất 10% sản phẩm của toàn xí nghiệp. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I; phân xưởng II; phân xưởng III; phân xưởng IV tương ứng là 1%; 2%; 3%; 4%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm do nhà máy sản xuất. a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra kiểm tra là sản phẩm tốt? b) Cho biết sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng I sản xuất? c) Nếu lấy được 1 phế phẩm, theo bạn sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất? Vì sao? [20] Gieo một cách ngẫu nhiên một điểm vào hình tròn bán kính R (R > 0). Tìm xác suất sao cho điểm rơi vào a) hình vuông nội tiếp đường tròn. b) tam giác đều nội tiếp đường tròn. c) lục giác đều nội tiếp đường tròn. d) đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn. [21] Có ba người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Tìm các xác suất sau đây: a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng. b) Có đúng một người bắn trúng. c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt. d) Có đúng hai người bắn trúng. e) Cả ba người đều bắn trúng. f) Không có ai bắn trúng. g) Có ít nhất một người bắn trúng. h) Có không quá hai người bắn trúng. i) Có ít nhất hai người bắn trúng. [22] Một bài thi trắc nghiệm nhiều lựa chọn gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Cho biết mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 1 điểm. Một sinh viên không học bài nên đã làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 phương án trả lời trong từng câu hỏi. Tìm xác suất anh ta Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.15
  19. Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ a) được 13 điểm. b) bị điểm âm. [23] Một người bắn ba viên đạn. Xác suất để cả ba viên trúng vòng 10 là 0,008. Xác suất để một viên trúng vòng 8 là 0,15. Xác suất để một viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tìm xác suất để người đó đạt ít nhất 28 điểm. [24] Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải, 2 động cơ ở cánh trái. Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1 ; ở cánh trái là 0,05. Các động cơ hoạt động độc lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau. a) Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc. b) Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó ít nhất một động cơ hoạt động. [25] Hai máy cùng sản xuất ra một loại chi tiết. Năng suất của máy thứ hai gấp đôi máy thứ nhất. Tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của máy thứ nhất là 65%, của máy thứ hai là 80%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết từ lô hàng do hai máy sản xuất. a) Tìm xác suất lấy được chi tiết đạt tiêu chuẩn. b) Nếu chi tiết đó là phế phẩm, tìm xác suất chi tiết đó do máy thứ hai sản xuất. [26] Có hai lô hàng, lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại A, 2 sản phẩm loại B ; lô thứ hai có 16 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B. Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Sau đó, trong hai sản phẩm thu được lại lấy ra một sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại A. [27] Có ba cái hộp đựng bút. Hộp thứ nhất có 5 bút đỏ, 10 bút xanh. Hộp thứ hai có 3 bút đỏ, 7 bút xanh. Hộp thứ ba có 3 bút đỏ, 4 bút xanh. Từ hộp thứ nhất lấy ra 1 cái bút, từ hộp thứ hai lấy ra 2 cái, cùng bỏ vào hộp thứ ba. a) Tìm xác suất để trong hộp thứ ba số bút đỏ nhiều hơn số bút xanh. b) Từ hộp thứ ba lấy ra 2 cái bút. Tìm xác suất lấy được 2 bút cùng màu. [28] Một tín hiệu vô tuyến được phát đi 4 lần. Xác suất thu được ở mỗi lần phát đều là 0,4. a) Tìm xác suất để nơi thu nhận được tín hiệu đó. b) Muốn xác suất thu được tín hiệu không bé hơn 95% thì phải phát tối thiểu bao nhiêu lần ? [29] Giả sử xác suất sinh con trai là 0,51. Một gia đình có 4 người con. Tìm xác suất để gia đình đó có a) hai con trai. b) không quá một con trai. c) Nếu muốn có ít nhất một con trai với xác suất trên 80% thì gia đình đó phải sinh tối thiểu mấy con ? [30] Một xạ thủ có xác suất bắn trúng đích ở mỗi lần bắn là 0,7. Anh ta đã bắn 5 lần, mỗi lần 1 viên đạn. a) Tìm xác suất có 3 viên trúng đích. b) Tìm xác suất có không quá 3 viên trúng. c) Trong 5 viên đạn đó khả năng mấy viên trúng là nhiều nhất ? d) Muốn xác suất có ít nhất 1 viên đạn trúng đích không nhỏ hơn 99% thì xạ thủ đó phải bắn tối thiểu bao nhiêu viên đạn ? Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ I.16

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản