Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ
Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ .1 I
CHÖÔNG 1
KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ XAÙC SUAÁT
Nội dung
Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố.
Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ).
Các công thức tính xác suất:
• Công thức cộng xác suất.
• Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất.
• Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.
• Công thức Bernoulli.
1. PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ – CAÙC LOAÏI BIEÁN COÁ
1.1. PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ
1.1.1. HAI VÍ DUÏ KINH ÑIEÅN
Ví dụ 1.1.
Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –
đó là một phép thử. Vài kết cục có thể hoặc không thể xảy ra:
• Mặt sấp xuất hiện.
• Mặt ngửa xuất hiện.
• Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện.
• Không mặt nào xuất hiện.
Chúng còn gọi là các biến cố sinh ra bởi phép thử đang xét.
Ví dụ 1.2.
Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –
đó cũng là một phép thử. Sinh ra bởi phép thử này có thể kể một vài biến cố dưới đây.
• Mặt k chấm xuất hiện (k = 1, 2, … , 6).
• Mặt có số chấm lẻ xuất hiện.
• Mặt có số chấm chẵn xuất hiện.
• Mặt có số chấm không quá k xuất hiện ( k = 1, 2, … , 6).
• Mặt có số chấm lớn hơn 6 xuất hiện.
• Mặt có số chấm nhỏ hơn 7 xuất hiện.
Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ
Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ .2 I
1.1.2. MOÂ TAÛ PHEÙP THÖÛ VAØ BIEÁN COÁ
Phép thử là một hành động, một thí nghiệm trong khoa học xác suất nhằm
nhiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Phép thử luôn được thực hiện trong một
nhóm các điều kiện nào đó hoàn toàn xác định. Ta thường đồng nhất phép thử
với nhóm điều kiện xác định nó.
1.2.
2.1.
Mỗi khi thực hiện xong phép thử, ắt sẽ dẫn đến một trong những sự kiện (hay
kết cục) nhất định. Biến cố là sự kiện liên quan đến phép thử và có thể xẩy ra,
cũng có thể không xẩy ra sau khi phép thử kết thúc. Các biến cố sẽ đặc trưng
cho phép thử.
CAÙC LOAÏI BIEÁN COÁ
1.2.1. BIEÁN COÁ CHAÉC CHAÉN
Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép
thử. Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U.
1.2.2. BIEÁN COÁ KHOÂNG THEÅ COÙ
Biến cố không thể có là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện.
Biến cố không thể có được ký hiệu là ∅.
1.2.3. BIEÁN COÁ NGAÃU NHIEÂN
Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể không xẩy ra
khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ có thể dự đoán
nhưng không thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay không xẩy ra của biến cố đó.
Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C…
Ví dụ 1.3.
• Bóc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đó là một phép thử.
Biến cố “bóc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố không thể có. Biến
cố “bóc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
“bóc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc
chắn.
• Một người mua một tờ vé số - đó là một phép thử. Các biến cố vé số đó
trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải
khuyến khích, không trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
vé số đó hoặc trúng giải, hoặc không trúng giải là biến cố chắc chắn. Biến
cố vé số đó vừa trúng giải nhất vừa không trúng giải nào là biến cố không
thể có.
Ví dụ 1.4.
Bây giờ xét lại hai ví dụ kinh điển về tung đồng xu và gieo xúc xắc. Hãy kể các
biến cố chắc chắn, không thể có và BCNN.
2. PHEÙP TOAÙN VAØ QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁ
TOÅNG CUÛA CAÙC BIEÁN COÁ
• Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), là biến cố mà xảy ra
khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra sau khi phép thử được
thực hiện. Như vậy
Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ
Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ .3
(A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, hoặc B xẩy ra).
• Tổng của n biến cố A1, A2… An, ký hiệu
1
n
i
i
A
=
∑
= A1 + A2 + … + An (hay
), là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố Ai nào
đó ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy
1
n
i
i
A
=
∪
( xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A1 xẩy ra, hoặc A2 xẩy ra, …, hoặc An xẩy ra).
1
n
i
i
A
=
∑
2.2. TÍCH CUÛA CAÙC BIEÁN COÁ
• Tích của hai biến cố A và B, ký hiệu AB ( hay A∩B), là biến cố mà xảy ra
khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy
(AB xẩy ra) ⇔ (A xảy ra và B xẩy ra).
• Tích của n biến cố A1, A2, … , An, ký hiệu
n
i
in
A
=
∏
= A1A2 … An (hay ), là
biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố Ai đều xảy ra sau khi phép
thử được thực hiện.
1
n
i
i
A
=
∩
(
n
i xẩy ra) ⇔ (A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, … và An xảy ra).
in
A
=
∏
2.3. BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC VAØ BIEÁN COÁ ÑOÁI LAÄP
• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể cùng
xảy ra khi phép thử được thực hiện. Tức là
A.B = ∅.
• Hai biến cố đối lập với nhau nếu chúng xung khắc và sau phép thử nhất thiết
phải xẩy ra hoặc biến cố này hoặc biến cố kia. Biến cố đối lập của A là được ký
hiệu là A. Như vậy, sau khi thực hiện phép thử, nhất định có một và chỉ một
trong hai biến cố A hoặc A xảy ra. Tức là
;
.
AAU
AA
⎧
+
=
⎪
⎨
=
∅
⎪
⎩
Nói riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc. Ngược lại nói chung là sai.
Ví dụ 1.5.
Một sinh viên thi hai môn Toán cao cấp và Kinh tế lượng. Gọi T là biến cố sinh
viên đó đậu môn Toán cao cấp, K là biến cố sinh viên đó đậu môn Kinh tế lượng. Hãy
biểu diễn các biến cố sau qua T, K:
a) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn.
b) Sinh viên đó đậu cả hai môn.
c) Sinh viên đó bị trượt môn Toán cao cấp.
d) Sinh viên đó bị trượt cả hai môn.
e) Sinh viên đó chỉ đậu môn Kinh tế lượng.
I
Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ
Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ .4
f) Sinh viên đó chỉ đậu một môn.
g) Sinh viên đó đậu không quá một môn.
Giải
Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G. Ta có
a) A = T + K (= T K + TK + TK) ; b) B = TK ; c) T (= TK + T K );
d) D = T K ; e) TK ; f) T K + TK ; g) G = T K + T K + TK ( = D + F =
B
).
2.4. BIEÁN COÁ SÔ CAÁP - KHOÂNG GIAN CAÙC BIEÁN COÁ SÔ CAÁP –
NHOÙM ÑAÀY ÑUÛ CAÙC BIEÁN COÁ
• Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được qua các biến cố nào khác
∅
và khác chính nó. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi
là không gian các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu các biến cố sơ cấp thường
được ký hiệu là Ω. Cũng có khi dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để
ký hiệu.
• Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A1, A2,…,An được gọi là một nhóm (hay hệ) đầy đủ
các biến cố nếu sau khi thực hiện phép thử, có một và chỉ một trong các biến cố
đó xẩy ra. Tức là
φ
=
≤≠ ≤
⎧
⎨+++=
⎩
12
, 1 ;
.
ij
n
A
Aijn
A
AAU
Nói riêng,
{
}
,AA là một nhóm đầy đủ gồm hai biến cố. Ngược lại , mỗi nhóm đầy
đủ hai biến cố ắt phải gồm hai biến cố đối lập.
Ví dụ 1.6.
Xét lại ví dụ về gieo con xúc xắc. Đặt
• i
A là biến cố mặt i chấm xuất hiện, 6,1=i.
• C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện.
• L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện.
Khi đó , , , , , là tất cả các biến cố sơ cấp. Không gian các biến cố
sơ cấp là .
1
A
=Ω
2
A
1,A
3
A
2,A
4
A
3,A
5
A
4,AA
6
A
5,A
{}
6
Các biến cố C, L không là biến cố sơ cấp vì:
246
135
;
.
CA A A
LAA A
=++
⎧
⎨=++
⎩
2.5. BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄP
• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu sự xẩy ra hay không xẩy
ra của biến cố nào trong chúng đều không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của
biến cố còn lại.
I
Chöông 1: Lyù Thuyeát Xaùc Suaát PGS-TS. Leâ Anh Vuõ
Taøi Lieäu Xaùc Suaát Thoáng Keâ .5
• Hệ n biến cố (n ≥ 3) A1, A2…, An gọi là độc lập toàn phần nếu A2 độc lập với
A1, A3 độc lập với A1A2, … , An độc lập với A1A2…An-1.
Ví dụ 1.7.
Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi môn Kinh tế lượng. Gọi L, T lần lượt là
biến cố Lan, Tuấn đậu. Rõ ràng L và T độc lập với nhau.
Chú ý
Hai biến cố đối lập thì không thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định
sự xẩy ra của biến cố kia.
2.6. VAØI TÍNH CHAÁT CUÛA CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN CAÙC BIEÁN COÁ
1) Tính giao hoán:
B
B
+
=
+ và ABBA ..
=
.
2) Tính kết hợp:
()
(
)
CBACBA
+
+
=
++ và
(
)
(
)
CBACBA ....
=
.
3) Tính phân phối:
()
CABACBA ...
+
=
+
và
(
)
(
)( )
CABACBA +
+
=
+
.. .
4)
=+ ; AAA
=
.;
(
)
AA =.
5) Luật DeMorgan:
• nn AAAAAA 2121 .=+++ .
• 12 1 2
... ...
nn
AA A A A A=+++.
3. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT
3.1. NHAÄN XEÙT – YÙ NGHÓA CUÛA XAÙC SUAÁT
Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung là có thể xẩy ra, có thể không
xẩy ra sau khi thực hiện phép thử. Khi phép thử chưa thực hiện xong ta
không thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy ra
hay không. Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này
dễ xẩy ra hơn, còn biến cố kia khó xẩy ra hơn. Nói một cách khác, khả
năng (dễ hay khó) xẩy ra của mỗi biến cố ngẫu nhiên nói chung là khác
nhau
Ta muốn lượng hóa, tức là tìm cách đo khả năng xẩy ra của mỗi biến cố
bởi một con số. Con số đó gọi là xác suất của biến cố đang xét. Nói rõ
hơn, xác suất của một biến cố A nào đó là một số, ký hiêu P(A), dùng để
đo khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của biến cố A. Xác suất P(A) càng nhỏ
thì biến cố A càng khó xẩy ra, xác suất P(A) càng lớn thì biến cố A càng
dễ xảy ra.
Chú ý rằng, trong khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến sự xẩy ra
hay không xẩy ra của các biến cố chứ dường như không mấy quan tâm
đến bản chất thực tế của biến cố. Bởi thế, nếu hai biến cố A, B khác nhau
nhưng có xác suất bằng nhau, tức là chúng có khả năng xẩy ra như nhau
thì về một mặt nào đó, có thể xem là chúng tương đương với nhau.
Vấn đề đặt ra là, với mỗi biến cố A đã cho, làm thế nào để xác định P(A)?
Dưới đây ta sẽ giới thiệu một vài cách xác định P(A). Chú ý rằng dù xác
định xác suất như thế nào thì nó cũng phải thỏa mãn những tính chất hiển
nhiên như sau
I