Bài 2: Tích phân các hàm s có mu s cha tam thc bc hai
Khóa LTðH ñm bo – Thy Trn Phương
Hocmai.vn – Ngôi trưng chung ca hc trò Vit 1
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM S CÓ MU S CHA TAM THC
BC 2.
I. Dng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
∫
( ) ( )
12 2 2
dx 3dx d(3x 2) 1 3 2 10
ln
2 10 3 2 10
3 4 2 3 2 10 3 2 10
x
A C
x
x x x x
− − −
= = = = +
− +
− − − − − −
∫ ∫ ∫
22 2 2
33 13
d 2 2
dx dx 1 1
22 2
ln
22 13 3 13
4 6 1 3 13 3 13 2
2 2 2 2
2 4 2 4
xx
A C
x x x
x x
−− −
= = − = − = − +
− + + − +
− − − −
∫ ∫ ∫
( ) ( )
32 2 2
dx 5dx d(5 4) 1 5 4
arctan
5 14 4
5 8 6 5 4 14 5 4 14
x x
A C
x x x x
− −
= = = = +
− + − + − +
∫ ∫ ∫
2
42
dx 1 12 5
arctan arctan
7 17 17 17
7 4 3
A
x x
= = −
− +
∫
1
52
0
dx 1 1 3
arctan arctan
39 39 39
6 3 2
A
x x
= = +
− +
∫
1
62
0
dx 1 1 1
arctan arctan
6 3 3 3 3
4 6 3
A
x x
= = +
− +
∫
3
72
dx 7
ln
5
3 2 1
A
x x
= =
− −
∫
1
82
0
dx 1 4 1
arctan arctan
15 3 3
5 2 2
A
x x
= = +
− +
∫
0
92
1
dx
ln 5
3 8 4
A
x x
= =
− +
∫
Bài 2: Tích phân các hàm s có mu s cha tam thc bc hai
Khóa LTðH ñm bo – Thy Trn Phương
Hocmai.vn – Ngôi trưng chung ca hc trò Vit 2
( )
1
10 2
0
dx 1
arctan 2
2 2
3 4 2
A
x x
= =
− +
∫
1
11 2
0
dx 1 3 69 7 69
ln ln
2
3 69 7 69
4 14 5
A
x x
+ +
= = −
− + − +
− −
∫
(
)
2
1
12 2
0
4 5 dx
3 1
1 arctan
2 4 2
4 8
x x
A
x x
π
− +
= = − −
− +
∫
II. Dng 2:
(
)
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
∫
( ) ( )
( )
2
12 2 2 2
3 19
8 6 4 6 1
7 3 dx 3 19
8 4
8 4
4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1
x dx d x x
xdx
B
x x x x x x x x
−
− + − −
−−
= = = +
− − − − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2
3 13
2
3 19 3 2 2
ln 4 6 1 ln 4 6 1 ln
8 4 8 3 13
22 2
x
x x A x x C
x
− −
− −
= − − − = − − + +
− +
(
)
2
22
3 4 dx 3 5 4 7 13
ln 2 7 9 ln
4 4 4 7 13
2 7 9
xx
B x x C
x
x x
−− −
= = − + + +
− +
− +
∫
( )
2
32
2 7 dx 7 18 5 2
ln 5 8 4 ln 2
10 5
5 8 4 55
xx
B x x C
x x x
−− −
= = − − − +
− − +
∫
(
)
2
42
15 6 dx
15 13 16 9 465
ln 12 9 8 ln
16
465 16 9 465
12 9 8
xx
B x x x
x x
+− + −
= = − − + + +
− −
∫
(
)
2
52
3 10 dx
5 19 8 5
ln 4 5 2 arctan
2 4
7
4 5 2
xx
B x x
x x
−
−
= = − − + −
− +
∫
Bài 2: Tích phân các hàm s có mu s cha tam thc bc hai
Khóa LTðH ñm bo – Thy Trn Phương
Hocmai.vn – Ngôi trưng chung ca hc trò Vit 3
(
)
2
62
2 3 dx
1 7 3 1
ln 3 2 1 ln
3 3 3 3
3 2 1
xx
B x x x
x x
+
−
= = + − +
+
+ −
∫
( )
1
1
2
720
0
3 7 dx 3 1 1
ln 4 4 3ln 2
2 2 2
4 4
x
B x x x
x x
−
= = − + + = − −
−
− +
∫
(
)
21
1
2
820
0
1 dx 2 1
ln 1 arctan 1 ln 3
6
3
1
x x x
B x x x
x x
π
− + +
= = − + + + = − +
+ +
∫
(
)
22
2
2
921
2 3 5 dx
4 1 13 9 5
ln 2 3 7 arctan 1 ln 7 arctan 7 arctan
6
23 23 23
2 3
x x x
B x x x
x x
− − +
= = − + + − = − − +
+ +
∫
( )
5
5
2
10 22
2
2 3 dx
7 3 ln 2
ln 4 3 ln
2 1 2
4 3
xx
B x x x
x x
+−
= = − + + = −
−
− +
∫
(
)
21
1
2
11 23
3
2 4 7 dx
3 9
2 4ln 6 13 9 arctan 4 4 ln 2
2 4
6 13
x x x
B x x x
x x
π
−
−
−
−
+ − +
= = − + + − = − −
+ +
∫
( )
( )
11
12 20
0
4 11 dx
9
3ln 2 ln 3 ln
2
5 6
x
B x x
x x
+
= = + + + =
+ +
∫
III. Dng 3:
2
dx
C =
ax + bx + c
∫
2
12 2
dx 1 dx 1 4 4 13
ln 3 3 9
3 3
3 8 1 4 13
3 9
C x x C
x x x
= = = − + − − +
− +
− −
∫ ∫
22 2
2
dx 1 dx 1 5
arcsin
10 10 43
7 8 10 43 2
50
50 5
x
C C
x x x
+
= = = +
− −
− +
∫ ∫
Bài 2: Tích phân các hàm s có mu s cha tam thc bc hai
Khóa LTðH ñm bo – Thy Trn Phương
Hocmai.vn – Ngôi tr
ư
ng chung c
a h
c trò Vi
t 4
4
4
34 4
2 2
4
4
3
2 2
dx dx 1 1 2 2 3
2
arcsin arcsin
2 2 2 2
5 2 9 5 2 9
5 12 4 2 5 2 9 3
2 2 2
22
xx
C
x x x
−
−
= = = =
+ +
− −
+− −
∫ ∫
( )
1
12
42
00
dx 1 3 3 63 1
ln ln 2 2 1
4 4 16
2 2
2 3 9
C x x
x x
= = − + − + = − −
− +
∫
1
12
52
00
dx 1 5 5 23 1 1 2 6
ln ln
6 6 36
3 3 4 3 5
3 5 4
C x x
x x
+
= = − + − + =
−
− +
∫
1
1
64 4
2
00
dx 1 2 3 1 5 3
arcsin arcsin arcsin
2 2
3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1
9 3 2 2
x
C
x x
+
= = = −
+ + +
− −
∫
IV. Dng 4:
(
)
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
∫
( ) ( )
2
12 2 2 2
2 11
6 2 dx
5 4 dx 2 (3 2 1) 11
3 3
33 3
3 2 1 3 2 1 3 2 1
1 2
3 9
x
x d x x dx
D
x x x x x x x
−
− +
− − +
= = = − +
− + − + − +
− +
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
4 11 1 1 2
3 2 1 ln
3 3 3 9
3 3
x x x x C
−
= − + + − + − + +
( ) ( )
( )
2
22 2 2 2
3 43
4 5 dx 2 5 1
3 7 dx 3 43
4 4
44 2
2 5 1 2 5 1 2 5 1
5 33
4 16
xd x x
x dx
D
x x x x x x x
− + − −
+
= = = +
− − − − − −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2: Tích phân các hàm s có mu s cha tam thc bc hai
Khóa LTðH ñm bo – Thy Trn Phương
Hocmai.vn – Ngôi tr
ư
ng chung c
a h
c trò Vi
t 5
2
2
3 43 5 5 33
2 5 1 ln
8 4 4 16
4 2
x x x x C
= − − + − + − − +
(
)
2
32
8 11 dx 17 4 3
2 9 6 4 arcsin
23 5
9 6 4
x x
D x x C
x x
− −
= = − − − − +
− −
∫
(
)
2
42
4 5 dx 1 10 7
6 7 5 arcsin 13
2 5
6 7 5
x x
D x x C
x x
− −
= = + − + +
+ −
∫
( )
2
2 2
52
3
7 4 dx 7 2 3 3ln 1 ( 1) 4
2 3
x
D x x x x C
x x
−
−
−
= = − − + − + − − +
− −
∫
( )
0
2
62
9 5 dx 9 1 2 1
2 4 4 arcsin
4 4 3
2 4 4
x x
D x x C
x x
−
− +
= = − − − +
− −
∫
V. Dng 5:
( )
2
dx
E =
px + q ax + bx + c
∫
1,
( )
2
12
1
dx
2 3 3 1
E
x x x
=
+ + −
∫
ð
t
2
1
1
3
1 1 1
2 1 2
2 5
1
2
x t
t
x x x t
t t
dx dt
t
= → =
−
+ = ⇒=⇒= → =
−
=
Do
ñ
ó
1 1
5 3
1
2 2
1 1
2
3 5
1 4 9
1 1 1
2 . 3 1
2 2
dt dt
E
t t
t t
tt t t
−
= =
+ −
− −
+ −
∫ ∫