TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

234
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tích phân hàm vô tỉ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Bài 7. Tích phân hàm vô t BÀI 7. TÍCH PHÂN HÀM VÔ T I. TÍCH PHÂN CÓ CH A C ÁC C Ă N TH C C A B I N CL P p ∫ Xét d ng c ơ b n thư ng g p: I = x m ( a + bx n ) dx v i m, n, p h u t 1. 1.1. N u p∈ Z thì g i k là m u s c hung nh nh t c a các phân s t i gi n bi u t x = tk . th b i m và n, khi ó m +1 t a + bx n = t s 1.2. N u ∈Z thì g i S là m u s c a p và n a + bx n m +1 = ts 1.3. N u + p ∈ Z thì g i S b ng m u s c a p và t n n x   rj r1  x, x q1 ,..., x q j  dx v i r , q ,…r , q là các s nguyên dươ ng. ∫ 2. Xét I = R   1 1 j j G i k là b i s c hung nh nh t c a c ác m u s q1, …, qj. Khi ó ta có: rj α j r1 α1 t x = t k ⇒ I = R ( t k ,t α1 ,....,t ) kt k −1 dt = ∫ R1 ( t )a ∫ αj . = ;...; = q1 k qj k   m r )( )  dx v i m, n, …, r, s nguyên dương ( Xét I = R  x, ax + b ,..., ax + b ∫ n s 3.  cx + d cx + d  td − b m  ad − bc r t d −b ad − bc t ax + b = t ⇒ x = ∫ dt ⇒ I = R  ,t n ,...,t s  ;dx = dt  a − ct  ( a − ct )2 2 cx + d a − ct ( a − ct ) t t = uk thì G i k là b i s c hung nh nh t c a c ác s : {n,...s} .  u k td − b m1  ad − bc  td − b m  ad − bc r ∫ ∫,u ,...,u r1  ku k −1 d u dt = R  I = R ,t n ,...,t s   a − ct  ( a − ct )  a − ct  ( a − cu k )2 2 II. CÁC BÀI T P M U MINH H A p ∫ 1. D n g 1: I = x m ( a + bx n ) dx v i m, n, p ∈Q 3 −1 (1 + ) 1 4 xdx −1 3 ∫ 1+ ∫ dx ⇒ m = ; n = ; p = −1∈ Z ⇒ k = 4 • I1 = x4 x4 = 4 4 4 3 x 1 99
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 4t 4 dt  4t  4 x dx ∫ 1+ ∫ 1 + t = ∫ 4t − 1 + t t t = 4 x ⇒ x = t 4 ⇒ dx = 4t 3 dt ⇒ I1 = dt = 3 3   3 4 x t − ( t − t + 1) 2 2 ( t + 1) + ( t − 1) dt dt = 2t − 2 ∫ 2 − 2∫ ∫ ( t + 1) ( t 2 − t + 1) 2 2 dt = 2t − 2 ( t + 1) ( t 2 − t + 1) t − t +1 t 2 dt dt dt ∫ ∫ ∫ 2 = 2t − 2 −2 +2 2 3   t +1 t +1 2 () + 3  t−1 2 2 4 2t − 1 2 2 3 = 2t − arctg ln 1 + t + 2 ln 1 + t + c − 3 3 3 2. 4 x − 1 2 4 3 − ln 1 + 4 x + 2ln 1 + 4 x + c =2 x − arctg 3 3 3 xdx 1 1 −2 ∫ (1 + ∫ = x1 2 (1 + x1 3 ) dx ⇒ m = ; n = ; p = −2 ∈ Z ⇒ k = 6 • I2 = 2 2 3 x) 3 ( 6t 5 ) dt 3 8 t 6t dt ∫ =∫ t t = 6 x ⇒ x = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt . Khi ó: I 2 = 2 2 (1 + t 2 ) (1 + t 2 ) 4 4t + 3  2 4 4 dt ∫ ∫ ∫ (t 2 2 = 6  t − 2t + 3 − 2 dt = 6  t − 2t + 3 − 2  dt + 6 2  t +1 ( t 2 + 1)  + 1)  2    t 5 2t 3  dt dt ∫t ∫ (t = 6 − + 3t − 4 arctg t  + 6J . t I= ;J = 5  2 2 3 + 1) +1 2 2 1 t t t dt − td  2 1  = 2  ∫t ∫ ∫ (t Ta có: I = dt = +2  2 2 2  t +1 t +1 + 1) +1 t +1 2 ( t 2 + 1) − 1 t t dt dt t ∫ ( t 2 + 1)2 dt = t 2 + 1 + 2∫ t 2 + 1 − 2∫ ( t 2 + 1)2 +2 + 2I − 2J = = 2 2 t +1 t +1 t t 1 ⇒ 2J = +I⇒J= arctg t + c + 2 ( t + 1) 2 2 2 t +1  t 5 2t 3    t 1 ⇒ I2 = 6  − + 3t − 4 arctg t  + 6  + arctg t  + c 5  ( t 2 + 1) 2 3 2  5 3 3 6t − 20t + 90t − 21arctg t + +c = 2 5 t +1 8 5 8 3 6 x − 20 x + 90 8 x 3 − 21arctg 8 x + +c = 4 5 x +1 2 00
Bài 7. Tích phân hàm vô t xdx 2 1 m +1 12 ∫ ∫ = x (1 + x 2 3 ) dx ⇒ m = 1; n = ; p = ⇒ • I3 = = 3∈ » 3 2 n 3 x2 1+ 3 2 t t = 1 + 3 x 2 ⇒ t 2 = 1 + 3 x 2 ⇒ ( t 2 − 1) = x 2 ⇒ 2 x dx = 6t ( t 2 − 1) dt 2 3t ( t − 1) dt 2 x dx 2 ∫ ∫ ∫ ( t − 1) ∫ (t − 2t + 1) dt 2 4 2 ⇒ I3 = =3 dt = 3 = t 1 + 3 x2 52 32 35 3 ( ) ( ) ( ) t − 2t 3 + 3t + c = 1 + 3 x 2 − 2 1 + 3 x2 + 3 1 + 3 x2 + c = 5 5 −1 m + 1 dx −1 3 ∫x ∫ = x−3 ( 2 − x3 ) ⇒ dx ⇒ m = −3; n = 3, p = + p = −1∈ » • I4 = 3 n 33 3 2− x 3 2 − x3 2 − x3 −2t 2 dt 2 2 ⇒ t3 = = 3 − 1 ⇒ x3 = 3 ⇒ x 2 dx = t t= x3 ( t 3 + 1)2 x t +1 x x 2 dx −2t 2 dt dx 1 ∫x ∫ ∫ ⇒ I4 = = = ⋅ 2 ( t 3 + 1)2 2 t 33 3 3 3 2−x 2−x 3  6 x  t +1 x 2  3 2 − x3  2 −1 −t ∫ + c = −  +c t dt = =  2x  2 4 1 1 m +1 ∫ • I 5 = 3 3x − x 3 dx ⇒ m = ; n = 2, p = ⇒ + p = 1∈ » 3 3 n 3 3 x − x3 3x − x3 −9t 2 dt 3 3 ⇒ t3 = = 2 − 1 ⇒ x2 = 3 ⇒ 2 x dx = t t= x3 ( t 3 + 1)2 x t +1 x 3x − x 3 t 3 dt 3 1 ( 2x dx ) = −9 3 td  3 1   ∫ ∫ ∫ (t ∫ ⇒ I5 = 3 3 3x − x dx = =  2  t +1 2 x 2 2 + 1) 3 3t 3 dt 3t 3 dt ∫ ∫ − I v i I= 3 = − = 2 ( t + 1) 2 t + 1 2 ( t + 1) 2 3 3 3 t +1 d ( t + 1) du dt ∫ ( t + 1) ( t + 1) ∫ u (u ∫ ( t + 1) ( t = = I= − 3 ( t + 1) + 3 − 3u + 3) − t + 1) 2 2 2   ( u 2 − 3u + 3) − ( u 2 − 3u ) 1  du ( u − 3) du  1 ∫ u ( u 2 − 3u + 3) du =  ∫ −∫ 2 =  3 u u − 3u + 3  3 1  du 1 ( 2u − 3) du 3  du ∫ ∫ ∫ = − +  3  u 2 u − 3u + 3 2 u − 3u + 3  2 2 2 01
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 1  du 1 d ( u 2 − 3u + 3) 3  du ∫ ∫ ∫ =  − + u 2 − 3u + 3 2 3 u 2 2 3 + (u − 3 )    4 2 11 2u − 3  u2 =  ln 2 +c + 3arctg 3  2 u − 3u + 3 3 2 ( t + 1) 2 ( t + 1) − 3 1 1 ln arctg +c = + 2 6 ( t + 1) − 3 ( t + 1) + 3 3 3 2 1 t + 2t + 1 1 2t − 1 ln 2 arctg +c = + 6 t − t +1 23 3 3  1 t + 2t + 1 2t − 1  2 3t 1 ⇒ I5 = −  ln 2  arctg + 2 ( t + 1) 2  6 3 3   t − t +1 23 3 ( ) 3 3 3 x 3 3x − x 3 2 3 3x − x − x 1x 3x − x + x 3 − ln arctg +c = − 2 4 3 4 x3 dx −1 m + 1 −1 2 ∫x ∫ = x−4 (1 + x2 ) dx ⇒ m = −4, n = 2, p = ⇒ • I6 = + p = −2 ∈ Z 2 n 4 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 1 −t dt ⇒ t2 = = 2 + 1 ⇒ x2 = 2 ⇒ x dx = t t= 2 ( t 2 − 1)2 x t −1 x x 3 ( t 2 − 1) dx x dx − t dt ∫x ∫ ∫ ∫ (t − 1) dt 2 ⇒ I6 = = = ⋅ =− 2 t (t − 1) 4 2 2 2 1+ x 1+ x 6 x x 23 − (1 + x ) ( 2x − 1) 1 + x 3 2 2 2 −t 1+ x +t+c= +c= +c = + 3 3 3 x 3x 3x 4 4 dx 1 −1 ∫ x (1 + ∫= x −1 (1 + x1 2 ) dx ⇒ m = −1, n = • I7 = , p = −1∈ Z x) 2 1 1 2 2 2 (1 + t ) − t 2t dt dt ∫t ∫ ∫ t t = x ⇒ t 2 = x ⇒ dx = 2t dt ⇒ I7 = =2 =2 dt t (1 + t ) t (1 + t ) 2 (1 + t ) 1 1 1 2 1 1 4 2 ∫  dt = 2 ( ln t − ln t + 1 ) 1 = 2 ( ln 2 − ln 3 − ln1 + ln 2 ) = 2 ln =2  −  t t +1 3 1 2 02
Bài 7. Tích phân hàm vô t   rj r1  x, x q1 , ..., x q j  dx ∫ 2. D n g 2: I = R   x1 2 − 1 x −1 ∫ x+ ∫ x (1 + x dx . G i k = B SCNN(2, 3) = 6 • I1 = dx = ) −1 3 3 x2 t t = 6 x ⇒ x = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt 6(t − t) 3 4 2 t −1  t −1 ∫t ∫ ∫ 5 ⇒ I1 = ⋅ 6t dt = dt = 6  t − 1 − 2  dt 6 4 2  t +1 +t t +1 = 2t 3 − 6t − 3ln 1 + t 2 + 6arctg t + c = 2 x − 6 6 x − 3ln 1 + 3 x + arctg x + c x1 4 − x1 8 x−8 x 4 ∫ x (1 + ∫ x (1 + x ) dx . G i k = B SCNN(4, 8) = 8 • I2 = dx = x) 4 4 2 t −t t −1 ∫t ∫t 7 t t = 8 x ⇒ x = t 8 ⇒ dx = 8t 7 dt ⇒ I 2 = 8t dt = 8 dt (t + 1) 2 8 2 +1 = 4 ln 1 + t 2 − 8 arctg t + c = 4 ln 1 + 4 x − 8 arctg 8 x + c 12 1 − (1 + x ) 1− 1+ x ∫ 1+ ∫ 1 + (1 + x ) dx . G i k = B SCNN(2, 3) = 6 • I3 = dx = 13 3 1+ x t t = 6 1 + x ⇒ x = t 6 − 1 ⇒ dx = 6t 5 dt 3 6 t −1  1− 1+ x 1− t ∫1+ ∫1+ t ∫ 5 4 3 2 ⇒ I3 = dx = ⋅ 6t dt = 6  − t + t + t − t − t + 1 + 2  dt 2  t +1 3 1+ x  t7 t5 t 4 t3 t 2  1 2 = −6  − − + + − t − ln t + 1 + arctg t  + c 7 5 4  3 2 2 −6 6 (1 + x )7 + 6 6 (1 + x )5 + 4 6 (1 + x )4 − 2 1 + x = 7 5 5 + 6 6 1 + x + 3 ln 3 1 + x + 1 + arctg 6 1 + x + c 8 dx ∫x t t = 3 x ⇒ t 3 = x ⇒ dx = 3t 2 dt • I5 = . 3 3 1+ x 1 2 03
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 2 2 3t dt dt ∫t ∫ t. t u = 3 1 + t ⇒ u 3 = 1 + t ⇒ dt = 3u 2 du ⇒ I5 = . =3 33 3 1+ t 1+ t 1 1 3 3 2 3 3 3u 2 du dt 3udu ∫ t. ∫ (u ∫ ( u − 1) ( u ⇒ I5 = 3 =3 =3 − 1) u + u + 1) 3 2 3 1+ t 3 3 1 2 2 3 3 3 3 3 3 1 u −1  du 3 2u − 2 ∫ ∫ ∫ =3   du = 3 u − 1 − 2 du −2 2 3  u −1 u + u +1 u + u +1 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 ( 2u + 1) du 9 du 3 3 ∫ ∫ = 3ln u − 1 3 − + 2 3 2 u2 + u + 1 2 3 2 2 2  3 2 ) ( u+1 +  2 2 3 3 3 3 3 2u + 1 3 3 2 = 3ln u − 1 − ln u + u + 1 + 3 3 arctg 3 2 2 3 3 2 3 2 3 ( 3 3 − 1) 2 3 3 +1 2 3 2 +1 3 = ln + 3 3 arctg − 3 3 arctg 2 2 ( 3 2 − 1)3 3 3 −1 dx ∫ t t = x + 4 ⇒ t 2 = x + 4 ⇒ dx = 2t dt • I6 = . 3 x + 4 + ( x + 4) −3 3 3 π π π 2t dt dt ∫ t+t ∫ 1+ t 3 = 2 arctg t 1 = 2  −  = I6 = =2 3 4 6 3 2 1 1 32 dx ∫ t t = 1 − x 2 ⇒ x 2 = 1 − t 2 ⇒ t dt = − x dx • I7 = . 2 x 1− x 2 32 32 12 32 x dx − t dt dt 1 t +1 2+ 3 ∫ ∫ ∫ I7 = ln = ln = = = (1 − t ) t 2 2 2 t −1 2 2 1− t 3 x 1− x 12 12 12 32 2 dx ∫x t t = 1 + x3 ⇒ t 2 = 1 + x3 ⇒ 2t dt = 3 x 2 dx • I8 = . 3 1+ x 1 3 2 2 3 3 3x 2 dx dx 2t dt 2 dt 1 t −1 ∫x ∫ 3x ∫ ∫ ⇒ I8 = = ln = = = ( )3 2 2 t −1 3 t +1 3 3 3 2 3 t −1 t 1+ x 1+ x 2 1 1 2 1 1 2 −1 1  1 3+ 2 2  =  − ln 2 + 2 ln ( 2 + 1)  = ln =  ln − ln  3 2 2 +1 3 3 2 2 04
Bài 7. Tích phân hàm vô t   m r ) ) ( ( 3. D n g 3: I = R  x, ax + b , ..., ax + b ∫ n s dx   cx + d cx + d dx x +1 1 ∫ ∫ • I1 = dx . = ⋅ 3 x −1 x + 1 2 3 ( x − 1) ( x + 1) t3 + 1 −6t 2 dt x +1 x +1 2 ⇒ t3 = ⇒x= 3 ⇒ dx = t t=3 =1+ ( t 3 − 1)2 x −1 x −1 x −1 t −1 3 2 x + 1 dx t − 1 −6t dt dt ∫ ∫ ∫ ⇒ I1 = = t⋅ = −3 3 ⋅ ⋅ 3 3 2 x −1 x +1 ( t 3 − 1) 2t t −1 1 t+2  1 ( 2t + 1) + 3 ∫ ∫  dt = − ln t − 1 + 2 dt = − +2 2  t −1 t + t +1 t + t +1 1 3 dt ∫ 2 = − ln t − 1 + + ln t + t + 1 + 2 2 2  3 2 () t+1 +  2 2 2 3 1 t + t +1 2t + 1 1 t −1 2t + 1 ln + 3 arctg + c = ln + 3 arctg +c = 2 3 2 2 ( t − 1) ( t − 1) 3 3 1 2  3 ( 3 x − 1) 3 3  + 3 arctg 2 x + 1 + x − 1 + c ⇒ I1 = ln  ⋅ 2  x − 1 ( 3 x + 1 − 3 x − 1 )3  3 3 x −1   23 x + 1 + 3 x −1 1 2 ln + 3 arctg +c = 2 ( 3 x + 1 − 3 x − 1 )3 3 3 x −1 −12t 2 dt 2−x 1 2−x 4 ∫ ⇒x= − 2 ⇒ dx = • I2 = dx . t t=3 ⋅ 3 2 + x ( 2 − x )2 1 + t3 (1 + t 3 )2 2+ x 2 (1 + t 3 ) 2 2 3 2+x −12t dt −3 dt 3 ∫ ∫ ⇒ I2 = t ⋅ = 2 +c= ⋅3  +c ⋅ = 8 2−x 16t 6 (1 + t 3 )2 3 4t 8t 1 1 − t2 1− x 1− x 1− x −4t dt ∫ ⇒ t2 = ⇒x= ⇒ dx = • I3 = dx . t t= 2 (1 + t 2 )2 1+ x 1+ x 1+ x 1+ t 0 d (1 + t ) 1 0 1 1 2 2 1− x −4t dt = −2 t d  1 2   ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ I3 = dx = = 2t ⋅  22 22 1+ t  1+ x 1 (1 + t ) (1 + t ) 0 0 0 1 1 −2t dt π ∫1+ t 1 +2 = −1 + 2 arctg t 0 = −1 = 2 2 2 1+ t 0 0 2 05
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 1 3 x + 1  ) − ( x + 1 )  dx = ∫ x 1− 1 ( xx + 1 ) − ( xx + 1 )  2 5 23 56 ( 1 1 1 ∫  6 • I4 =  dx  x2 − 1  x − 1 2 x− − − −12t 5 dt x +1 x +1 2 2 ⇒ t6 = ⇒ x −1= 6 ⇒ dx = t t=6 =1+ ( t 6 − 1)2 x −1 x −1 x −1 t −1 ( t4 − t5 ) ( t 4 − t 5 ) t 5 dt 5 (1 − t ) t 9 dt −12t dt ∫ ∫ ( t 6 + 1)2 − ( t 6 − 1)2 ∫ ⇒ I4 = = −12 = −12 ⋅ 2 ( t 6 − 1)2 6 2 + 1 − 1 4t 6   t −1  5 2 5 4 3  x +1 3 3  x + 1 3t 3t ∫ ∫ = −3 (1 − t ) t dt = 3 ( t − t ) dt = 3 4 3 +c= ⋅6  − ⋅  +c − 5  x −1 4  x −1 5 4 6 x − 4 dx x−4 x−4 6 ∫ ⇒ t2 = • I5 = . t t= =1− ⋅ x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 4 12 6 2 6 12t dt x − 4 dx 1− t 12t dt ∫ ∫ ⇒x+2= ⇒ I5 = ⇒ dx = t⋅ ⋅ = ⋅ 2 2 (1 − t 2 )2 x+2 x+2 6 (1 − t 2 ) 1− t 4 0 12 12 12  1+ t  2 1  t dt ∫ ∫ =2 =2  − 1 dt = 2  ln − t  = 2 ln 3 − 1 2 2  1− t 0 0 1− t  0 1− t x+1 x +1 x +1 2 2 ∫ ⇒ t3 = ⇒ x −1= 3 • I6 = dx . t t=3 =1 + 3 x −1 x −1 x −1 x −1 t −1 td ( t − 1) 3 3 2 x +1 −6t dt −6t dt ∫ ∫ (t ∫ (t ⇒ dx = ⇒ I6 = dx = = −2 3 2 2 ( t 3 − 1)2 x −1 − 1) − 1) 3 3 2 2t dt 2t dt = 2 td  3 1  = 3  ∫ ∫ ∫ −2 =3 −2 3  )( 2 )  t −1 t −1 ( t −1 t −1 0 t −1 t + t +1 21 t+2  1 ( 2t + 1) + 3 2t 2t 2 ∫ ∫  dt = 3 − ln t − 1 + dt = −  t −1 − 2 3 t2 + t + 1 3 3 t + t +1 t −1 3 t −1 2t 2 1 dt ∫ 2 ln t − 1 + ln t + t + 1 + = − 3 2 3 3  3 t −1 2 () t+1 +  2 2 2 1 ( t − 1) 2t 2 2t + 1 − ln 2 arctg +c = + 3 t −1 3 t + t +1 3 3 2 06
Bài 7. Tích phân hàm vô t 3 2 dx x −1 2 ( x + 1) x− t t = 3 x − 1 ⇒ t3 = ∫ • I7 = . =1− ⋅ 3 2 1 x +1 x +1 x +1 ( x - 1) 2 3 2 2 2t 6t dt ⇒ x +1= ⇒ x −1= ; dx = 3 3 (1 − t 3 )2 1− t 1− t 2 3 1 2 (1 − t 3 ) 3 2 2 dx 6t dt () x −1 ∫ ∫ 2 ⇒ I7 = t⋅ ⋅ = ⋅ 3 ( x − 1)2 6 2 x +1 (1 − t 3 ) 4t 3 2 1 3 3 3 1 2 1 2 3 dt −3 3 ∫ = (3 3 − 3 2) = = 2 21 33 t 2t 1 3 2 3 5 x + 3 dx x+3 x+3 7 7 ∫ ⇒ x−4= 3 ⇒ t3 = • I8 = . t t=3 =1+ ⋅ 3 x−4 x−4 x−4 x−4 x−4 t −1 −3 5 2 2 3 2 3 −21t 2 dt x + 3 dx t − 1 −21t dt t dt ∫ ∫ ∫ ⇒ dx = ⇒ I8 = = t⋅ = −3 3 ⋅ ⋅ 3 2 ( t 3 − 1)2 x−4 x−4 0 7 ( t − 1) 0 t −1 3 −3 2 2  1 1 t+2  dt ∫ ∫ ∫ 2 = −3 1 + 3  dt = −3t 0 − 3 = −6 −   dt −2 )( ) 0 t −1  t −1 t + t +1 2 ( 0 t −1 t + t +1 2 1 ( 2t + 1) + 3 1 3 dt 2 ∫ ∫ 2 = −6 − ln t − 1 + dt = −6 + ln t + t + 1 + 2 2 0 2 t + t +1 2 2  3 2 () 0 t+1 +  2 2 2 1 2t + 1 1 53 π3 = −6 + ln 7 + 3 arctg = −6 + ln 7 + 3 arctg − 2 2 3 6 30 xdx x ∫ ∫ • I9 = dx (a > 0). = 4 a−x x3 (a − x ) 4 1 x x a a −1 ⇒ a − x = 4 ⇒ t4 = ⇒ dx = ad  4 t t=4 =   t +1 a−x a−x a−x t +1 x at dt at   dx = a td  4 1  = 4 ∫ ∫ ∫ ⇒ I9 = −a 4 − aJ =4 4  t +1 t +1 a−x t +1 t +1 1  t2 + 1 t2 − 1  ( t 2 + 1) − ( t 2 − 1) 1 dt ∫ ∫ ∫ ∫  dt  Xét J = dt = dx − 4 = 2  t4 + 1 t +1  4 t4 + 1 t +1 2 2 07
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương  1+ 1    ) ) ( ( 1 − 12 d x−1 d x+ 1 1  1  2 x x x dx − x dx = ∫ ∫ ∫ ∫ =    − 2 2 2  x2 + 1 x + 12  2 ) ) 1 + ( 2 )2 2 ( ( 2   x + 1 −( 2)  x−   2 x x   x x 1 1 x2 − x 2 + 1  x2 − 1 1  +c arctg ln 2 = − 2 2 x + x 2 +1    x2 22 a 1 x2 − x 2 + 1  x2 − 1 at at 1 ⇒ I9 = − +c − aJ = 4 arctg ln 2 − t +1 2  2 x + x 2 +1  t4 + 1   x2 22 dx dx ∫ ∫ • I 10 = = n ( x − a )n+ 1 ( x − b )n− 1 n −1 ) ( x−b ( x − a )2 n x−a ( b − a ) nt n −1 dt x−b x−b a−b a−b ⇒ tn = ⇒x−a= n ⇒ dx = t t=n =1+ ( t n − 1)2 x−a x−a x−a t −1 ( b − a ) nt n −1 dt 1 n nt ∫ ∫ I10 = dt = +c ⋅ = 2 2 b−a b−a  a−b  ( t n − 1) n −1 t n   t −1 1 1 dx ∫ 1+ t t = x + x +1 ⇒ = x +1 − x ⇒ 2 x = t − • I 11 = . t t x+ x+1 2  t2 −1 t4 − 1 t4 −1 dx ∫ ∫ ⇒ x= dt ⇒ I11 = ⇒ dx =  dt =  2t  2t 3 2t 3 (1 + t ) 1+ x + x +1 t3 − t2 + t − 1 1  1 1 1 1 1 1 ∫ ∫ dt =  1 − t + 2 − 3  dt = 2  t − ln t − t + 2  + c = 3 2 t  2t  2t t 1 x1 ln ( x + x + 1 ) + − 2 = x− x +x +c 2 22 t2 −1 xdx 1+ x 1+ x 4t dt ∫ (1 − x ⇒ t2 = ⇒x= 2 ⇒ dx = • I12 = . t t= (1 + t 2 )2 ) 1− x 1− x 3 1 − x2 t +1 t2 − 1 x dx 1 1 4t dt ∫ (1 − x ∫ ⇒ I12 = = ⋅ ⋅ 3 2 t2 + 1 (1 + t 2 )2 ) 1 − x2 2  3  t2 − 1  1 −  t2 − 1  1−  2   t +1  t +1 2 08
Bài 7. Tích phân hàm vô t ( t 2 + 1) ( t 2 − 1) 4t dt ( t 4 − 1) 4t dt ( t 4 − 1) dt ∫ ( ∫ 2 ( 3t 4 + 1) 4t 2 =∫ = = 3t 4 + 1  3 3 ( t 2 + 1)2 − ( t 2 − 1)2  t + 1) − ( t − 1)  2 2 d ( 4 3t ) 1 4 1 t4 dt t 4 t 4 du ∫ ∫ ∫ ( 3t ) ∫  dt = − =−⋅ 4 =− = −  3 3 3t + 1  4 4 4 3 3 3t + 1 3 3 4 3 4 3 3 3 u +1 4 +1 1  u2 + 1 u2 − 1  ( u 2 + 1) − ( u 2 − 1) 1 du ∫ ∫ ∫ ∫ 4 du  Xét J = du = du − = 2  u +1 u4 + 1  4 u4 + 1 u +1 2  1+ 1    ) ) ( ( 1 − 12 d u−1 d u+1 1  1  2 u u u du − u du = ∫ ∫ ∫ ∫ =    − 2 2 2  u2 + 1 u + 12  2 ) ) ( ( 2 −2 u−1 u+1   +2   u2 u   u u 1 1 u 2 − 2u + 1  u2 − 1 1  +c arctg ln 2 = − 2 2 u + 2u + 1    u2 22 1 1 t 2 3 − t 4 12 + 1  t2 3 − 1 1 1+ x  +c v i t= arctg ln 2 = − 2 2 t 3 + t 4 12 + 1  t 4 12 1− x 22   2 1 t 2 3 − t 4 12 + 1  t2 3 −1 t 1 1+ x ⇒ I12 = − 4  +c, v i t = arctg 4 ln 2 − 2  4 3 3 3 1− x t 12 2 2 t 3 + t 12 + 1  1 1− x ∫ t t = x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2t dt • I 13 = dx . 1+ x 0 1 1 1− x 1− t ∫ ∫ ⇒ I13 = t t = cos u ⇒ dt = − sin udu 2t dt . dx = 1+ t 1+ x 0 0 0 0 1 − cos u 1 − cos u ∫ ∫ ⇒ I13 = 2 cos u ( − sin u ) du = −2 sin u cos u du 1 + cos u 2 π 2 1 − cos u π2 π2 π2 π2 = 2 ∫ (1 − cos u ) cos u du = 2 ∫ cos u du − ∫ (1 + cos 2u ) du 0 0 0 π2   1 π =  2 sin u − u − sin 2u  = 2 −  0 2 2 2 09