Xử lý dữ liệu Tín hiệu số

Chương 44 Chương

BK TP.HCM

Tínhi ệu& H ệ thống Tínhi ệu& H ệ thống trongmi ền tần số trongmi ền tần số

T.S. Đinh ĐứcAnh V ũ

FacultyofComputer Science andEngineering HCMC UniversityofTechnology 268, av. LyThuongKiet, District 10, HoChiMinhcity (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nộidung Nộidung

§ Phân tích tần số củat/hLTTG

§ Phân tích tần số củat/hRRTG

§ Cáctínhch ất của BĐ Fourier chocáct/hRRTG

§ Đặctr ưngmi ền tần số của hệ LTI

§ Bộ lựach ọn tần số

§ Hệ thống đảo

2 Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

Tần số

Tínhi ệu

t/hhìnhSIN: F 0 t/hhìnhSIN: F 1 t/hhìnhSIN: F 2

…

F

Công cụ phântích t ần số -Chu ỗiFourier –tínhi ệutu ầnhoàn -Bi ến đổiFourier –tínhi ệu năng lượng, khôngtu ầnhoàn

(J.B.J. Fourier: 1768 -1830)

Tínhi ệu X

F-1

Công cụ tổng hợp tần số -Chu ỗiFourier ng ược–tínhi ệutu ầnhoàn -Bi ến đổiFourier ng ược–tínhi ệu năng lượng, khôngtu ầnhoàn

3 Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

T/h hìnhSin

LTI

)

jAe 0w

Biên độ: Pha: Tần số:

Co/giãn lượng α Lệch lượng θ Không đổi ω0

T/h hìnhSin jeA +n ( 0 qwa

4 Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

Tần số

t/hhìnhSIN: F0

Tínhi ệu

t/hhìnhSIN: F1

t/hhìnhSIN: F2

Phổ

Xác địnhph ổ củat/h d ựavàocông c ụ toán học

Phổ (spectrum): Nộidung t ần số củatínhi ệu Phântíchph ổ: Ước lượngph ổ: Xác địnhph ổ củat/h d ựatrênphép đot/h

Tần số

x1(t): F0

x0(t): 0

x(t)

x-1(t):-F0

F-1

Phổ

Tổng hợp tần số:Xác địnht/hban đầu từ cácph ổ tần số

5 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

“ x(t): LTTG, tuầnhoàn v ớichu k ỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số)

+¥

2 p

kF 0

Phương trình tổng hợp

)( tx

kec

(cid:229)

-¥=

2 p

kF 0

§ ChuỗiFourier

“ Đặt

• xk(t) tuầnhoàn v ớichu k ỳ Tk=Tp/k(kF 0: tần số)

+¥

)( tx

)( tx k

(cid:229)

-¥=

• Đónggópchox(t) m ột lượng ck (Tần số kF0 có đónggóp m ột lượng ck)

2 p

kF 0

)( etx

Phươngtrìnhphântích

(cid:242)

“ Hệ số chuỗiFourier 1 T

Đónggóp v ề biên độ

Đónggóp v ề pha

kj q

= )( tx k ec k

c = ec k

6 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

§ Đ/k Dirichlet: bảo đảmchu ỗiFourier h ội tụ về x(t) "t “ x(t) có số hữu hạncác điểmgián đoạntrong m ộtchu k ỳ “ x(t) có số hữu hạncác điểm cực đạivà c ựcti ểutrong m ộtchu k ỳ “ x(t) khả tíchphântuy ệt đốitrong m ộtchu k ỳ, tức

tx )(

¥<

(cid:242)

§ Đ/k Dirichletch ỉ là đ/k đủ

“ T/h biểudi ễn bằngchu ỗiFourier ch ưach ắcth ỏa đ/kDirichlet

§ Nếux(t) làt/hth ực

j q k

“ ck và c-k liên hợpph ức ( k “ Biểudi ễnrút g ọn củachu ỗi F

ec k tx )(

cos(

)

2 p

) c 0

tkF 0

q k

(cid:229)

1 =

cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk

“ Do Cáchbi ểudi ễnkhác c ủachu ỗi F

tx )(

(

cos

2sin

)

2 p

btkF k 0

tkF 0

(cid:229)

1 =

Với

a0 = c0 ak = │ck│cosθk bk = │ck│sinθk

7 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

x(t) = 3Cos(100πt – π/3) j

100(

)

100(

)

t p

p 3

tx )(

3 2

100(

)

100(

)

t p

p 3

j ee

3 2

ần tần số § Ví dụ: Phântíchtínhi ệusauracácthànhph

50Hz đónggóp c 1

F

Đồngnh ất vớiPT t ổng hợp

-50Hz đónggóp c -1

p 3

Tínhi ệumi ềnth ờigian

3 2

e =

Phổ tần số

p 3

(cid:222)

3 2

e = (cid:236) c (cid:239) 1 (cid:237) c (cid:239)(cid:238) 1 -

8 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

Phổ biên độ

|Ck| 3/2

Tần số

-1 0 1

50Hz (c1)

F

Tínhi ệu

-50Hz (c -1)

|θk| π/3

k 1

Phổ pha

-1 0

-π/3

9 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

+¥

2 tFj p 0

)( tx

P x

* ec k

(cid:229)

(cid:242)

1 T

-¥=

Ø Œ º

ø œ ß

|)( tx

)( txtx )(

P x

(cid:242)

§ Công suấttrungbình 1 T

1 T

¥+

p +¥

2 tFj p 0

2 p

kF 0

[ )( etx

] dt

* k

* )( tx

* kec

(cid:229)

(cid:242)

(cid:229)

1 T

-¥=

ø œ œ ß

Ø Œ Œ º

k -¥= “ Do đó

+¥

)( tx

P x

Côngth ứcquan h ệ Parseval

(cid:229)

(cid:242)

1 T

| -¥=

§ Phổ mật độ côngsu ất

“ Công suấttrungbình t ổng cộng bằng tổng cáccôngsu ấttrungbình c ủacáct/hhài t ần “ Giản đồ côngsu ấttheo t ần số “ Phổ vạch: các vạchcách đều đoạn F0 “ Hàmch ẵn(do c -k = c* k đ/vt/hth ực)

10 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

§ Ví dụ 1: tínhcôngsu ấttrungbình c ủa x(t) = 3Cos(100πt – π/3)

p 3

c 1

1 -

3 2

3 e = “ Theo VD trên, và 2 “ Theo Parseval, Px = │c–1│2 + │c1│2 = 4.5

§ Ví dụ 2: chox(t): LTTG, tu ầnhoàn v ớichu k ỳ Tp. Phântíchx(t) racác

thànhph ần tần số

x(t)

Miềnth ờigian A

| t 2/

tx )( = t | t 2/ | t £ | t > A , (cid:236) (cid:237) ,0 (cid:238)

0 -τ/2

τ/2

2 p

kF 0

2 p

kF 0

(cid:242)

Tp Miền tần số

A T

2 p

e -

kF 0

Ae 2/

t -

t ø œ ß

Ø Œ º

t -

T p

kFj tp 0

sin

c 0

(cid:242)

1 T p

A t T p

2/ )( tx 2/

2/ Adt 2/

- t

1 T Tp - p

e j

A T

- 2

A kF p 0 p

-Tp 1 T

kF tp 0 kF tp 0 11

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

sin t

k =

c Minh họa ck ở miền tần số A T kF tp 0 kF tp

12 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

Tổng hợpx(t) t ừ cácthànhph ầnhìnhSin Thông số:

Tổng hợp từ 21 thànhph ần

Tp = 50s τ = 0.2Tp A = 1

13 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

Tổng hợp từ 101 thànhph ần

Tổng hợp từ 2001 thànhph ần

14 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

“ Có đượcdo l ặp lạit/hx(t) “ Tuầnhoànchu k ỳ cơ bản Tp “ Cóph ổ vạch: khoảngcách v ạch F0=1/Tp

§ T/h tuầnhoàn x p(t)

“ Cóth ể coinh ư xp(t) khi Tp → ∞ “ Khoảngcách v ạch F0 = 1/Tp → 0 (cid:222) Phổ củatínhi ệukhôngtu ầnhoànlà phổliêntục

§ T/h khôngtu ầnhoànx(t)

15 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

“ x(t): LTTG, khôngtu ầnhoàn

+¥

j p2

§ Biến đổiFourier

Phươngtrìnhphântích (biến đổiFourier thu ận)

(cid:242)

¥-

• Hệ số Fourier

) ( FX )( etx dt =

c ) ) = = kFX ( 0 kFXF ( 0

+¥

j p2

)( tx

( eFX )

Phươngtrình t ổng hợp (biến đổiFourier ng ược)

(cid:242)

¥-

“ Đ/k Dirichlet

+¥

1 T

• x(t) có hữu hạncác điểmgián đoạn hữu hạn • x(t) có hữu hạncác điểm cực đạivà c ựcti ểu • x(t) khả tíchphântuy ệt đối, nghĩalà

(cid:242)

¥-

tx )( dt ¥<

16 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

+¥

§ Ví dụ: chox(t) khôngtu ầnhoàn. Phântíchx(t) racácthành

FX (

)

= (cid:242)

A ,

| £

¥-

tx )(

phần tần số

F

| >

(cid:236) (cid:237) ,0 (cid:238)

sin

F tp F tp

Miềnth ờigian Miền tần số

x(t)

-τ/2

0 τ/2

17 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

+¥

§ Năng lượng +¥

+¥

2 p

2 |)(| tx

(cid:242)

¥-

E dF dt tx )( eFX ( ) = E dt )( txtx )( dt = =

¥+

2 p

* )( tx

Ø Œ º ø œ ß

(cid:242)

¥-

( eFX ) dF = dFFX dt ( ) etx )( =

Do đó

+¥

Côngth ứcquan h ệ Parseval

)

)( tx

( FX

E x

(cid:242)

¥-

“ Bảotoàn n ăng lượngtrongmi ềnth ờigianvàmi ền tần số “ Phổ mật độ năng lượng

Sxx(F) = |X(F)|2

• Khôngch ứaph ổ pha ﬁ không đượcdùng để khôiph ục lạix(t)

“ Nếux(t) làt/hth ực

)

FX (

)

FX ( -

)

(

)

FS ( xx

)

FX (

)

FX ( -—

-—=

(cid:252) (cid:253) (cid:254)

Ø Œ º ø œ ß

18 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Ví dụ

F/F-1

19 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

x(n+N) = x(n) "n

§ x(n) làt/htu ầnhoànchu k ỳ N § ChuỗiFourier chot/hRRTG có t ối đaN thànhph ần tần số (do tầm tần

số [0, 2π] hoặc[- π, π]) § ChuỗiFourier r ời rạc(DTFS)

1 -

2 p

k N

Phương trình tổng hợp

)( nx

ec k

(cid:229)

§ Hệ số Fourier

“ Mô tả x(n) trongmi ền tần số (ck biểudi ễnbiên độ vàpha c ủathànhph ần

tần số sk(n) = ej2πkn/N)

1 -

2 p

k N

Phươngtrìnhphântích

enx )(

1 N (cid:229) N

“ ck+N = ck (cid:222) Phổ củat/htu ầnhoànx(n) v ớichu k ỳ N là mộtchu ỗitu ầnhoàn

cũng vớichu k ỳ N

20 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

cos(

a .

)

§ Ví dụ: Xác địnhvà v ẽ phổ chocáct/hsau 2 n p

nx 3)( =

b .

cos(

)

nx 3)( =

c .

p 3 hoan

nx :)(

tuan

chu

}1201{:

›

2/1

tucp ,2

w 0

= 0 Phổ

a . nx )( 3 cos( ) = 2 n p

f0 : không hữu tỉ → x(n) khôngtu ầnhoàn → Phổ gồmch ỉ một tần sốđơ n: f0

0 =

Tần số

21 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

b .

nx )(

cos(

)

3 n

kp 2 6

enx )(

5..0

Các hệ số đónggóp

)( nx

cos(

)

x(n) = 3cos(2πn/6) (cid:222) f0 = 1/6 (cid:222) N = 6 (cid:222) x(n) tuầnhoànchu k ỳ N=6 1 5 = (cid:229) 6

2 p

1 6

0 1 6 3 2

3 2

Tuynhiên

3 2

So trùng vớiph ươngtrình t ổng hợp

22 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

b .

cos(

)

3)( nx =

3 n

Tínhi ệutrongmi ềnth ờigian: (3 chu k ỳ)

Tínhi ệutrongmi ền tần số

23 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

nx (

tuan

hoan

chu

1{: ›

2 p

k 4

enx )(

3..0

k p

kj p

3 2

)

21( +

1 = (cid:229) 4 1 4

)121( ++

1 4

3 p 4

21(

)

1 4

1 - 4

2 4

)121( -+

1 4

1 2

5 p 4

21(

)

1 4

1 -- 4

2 4

24 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

1 -

2 p N

nx )(

nxnx )( )(

P x

(cid:229)

P x

* ec k

(cid:229)

1 N

(cid:230) (cid:231) )( nx (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

1 -

Nkn /

2 p

1 -

* nx )(

* ec k

(cid:229)

2 p N

)( enx

* k

(cid:229)

1 N

(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

“ Do đó

Công thứcquan h ệ Parseval

2)( nx

§ Công suấttrungbình 1 - (cid:229)

(cid:229)

c = = P x

“ Chuỗi │ck│2: phổ mật độ côngsu ất củat/htu ầnhoàn

1 N

( nx

(cid:229)

§ Năng lượngt/htrong m ộtchu k ỳ N 1

25 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

“ Tức

Pho

* = c-k do

bien

doi

xung

chan

§ Nếux(n) th ực[x *(n) = x(n)], (cid:222) ck =

Pho

pha

doi

xung

k - —-

k —=

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

“ Ngoàira, t ừ cN+k = ck, ta cũngcó

k c

kN - -—=—

kN -

(cid:236) (cid:237) (cid:238) “ Đ/v t/hth ực, phổ ck (k=0,1,…,N/2 khiN ch ẵnho ặck=0,1,…,(N-1)/2 khiN

lẻ) hoàntoàncóth ểđặ c tả chot/htrongmi ền tần số

“ Khi đó, chuỗiFourier cóth ểđượ crút g ọn

0 c 2

cos

q k

)( nx

cos(

)

c 0

q k

(cid:229)

2 p N

1 =

sin

q k

Với

chan

cos

sin

b k

N 2

(cid:229)

2 p N

1 =

(cid:230) (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) ł

leN :

N 1 - 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) b (cid:237) k (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

26 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

M

x(n) x(n)

A A

* * * ** * * * * ** *

… …

i ề n t h ờ i

*** * *** * *** *

n n

0 0

N N

-N -N

*** * *** * *** * L L

g i a n

,0 –=

N ,2, –

M

AL N

sin

)1 -

c k

Lkj ( p N

khac

i ề n t ầ n s ố

A N

sin

kL p N k p N

(cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) ł (cid:246) (cid:247) ł

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

27 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

Phươngtrình t ổng hợp

§ Chỉ xétt/h n ăng lượngx(n) § Biến đổiFourier

njenx w )(

(cid:229)

-¥=

§ X(ω): nộidung t ần số củat/h

“ Khácbi ệt cơ bảngi ữa BĐ Fourier củat/h n ăng lượngRRTG vàt/h

năng lượngLTTG • Tầm tần số

§ T/h LTTG: -¥ → +¥ § T/h RRTG: 0 → 2π hoặc –π→ π [X(ω) tuầnhoànchu k ỳ 2π]

• Cáchtính: dùngtíchphânthayvìdùng t

ổng

X ) ( w =

§ Hệ số Fourier

nj w w d

Phươngtrìnhphântích

nx )( X e = ( ) w

1 (cid:242) 2 p 2

28 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

x(n) = {…0 1

0 …}

2 w

j w

2 w

§ Ví dụ: xác định nộidung t ần số củatínhi ệusau

X e e e e =

Chúý: X(ω) tuầnhoàn Chu kỳ: 2π

X + cos 1 ++ 2 cos( ( ) w ( w 21) += w + + )2 w

29 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

Tần số

F

x(n)

30 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

nj w

§ Sự hội tụ của BĐ Fourier

)( enx

( ) w

(cid:229)

n -= “ Trong BĐ Fourier ngược(PT phântích), chu ỗi XN(ω) đượcgi ả thiết hội tụ về

X(ω) khi N→¥

“ Ý nghĩa: giátr ị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng0 khi N →¥ X

) ( w

( ) w

lim N ¥ﬁ

enx

(

)

(

)

( nx

)

¥<

“ XN(ω) hội tụ nếux(n) kh ả tổngtuy ệt đối (cid:229) (cid:229)

-¥=

n • Đ/k đủđể tồn tại BĐ Fourier RRTG • Tương đương đ/kDirichletth ứ 3 cho BĐ Fourier củat/hLTTG ( đ/k1 v à 2 không

códo b ảnch ất củat/hRRTG)

“ Nếux(n) kh ả tổngbìnhph ươngtuy ệt đối(i.e. x(n) có n ăng lượng hữu hạn) p

• Đ/k hội tụđượ cgi ảmnh ẹ

)

( w

2 ( ww

(cid:242)

lim N ¥ﬁ

• Năng lượng củasai s ố X(ω) – XN(ω) sẽ tiến về 0, nhưngkhôngnh ấtthi ếtgiátr ị

sai số tiến về 0

§ T/h năng lượngcó BĐ Fourier

31 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

nj w

+¥

)( nx

( ) e w

(cid:229)

(cid:242)

)(

)( nx

)( nxnx

1 2 p

(cid:229)

-¥=

- p

Ø Œ º

ø d w œ ß

-¥=

nj w

* )( nx

)

( w

nj w w d

)( enx

( ) w

d w

(cid:229)

(cid:242)

1 2 p

-¥=

Ø Œ º

ø œ ß

p -

“ Do đó

+¥

( nx

)

(

)

Côngth ứcquan h ệ Parseval

(cid:229)

(cid:242)

1 2 p

-¥=

( ) w

“ X(ω) là số phức

je Q

( ) w

| =

( w

• Phổ biên độ

§ Năng lượng

• Phổ pha

(wQ )

• Phổ mật độ năng lượng

(wX )

* X ( ) ww

X X ( ) ) ( w = ) ( w = S xx

32 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

j w

) w

) ( w

j w

)

) ae -

a cos ) ( aj sin w - 2 cos 21 a a w - +

) ( w

1( - ) cos w a w + w + w

b) |X(ω)|, Θ(ω), Sxx(ω) = ? ae 1( 1 - j w - 1)( ae ae 1( a - a 21 cos - a sin - 21 cos a -

1 -

| X |) X X ( w = ( ) w + ( ) w

X X

( ) w ( ) w

tan ( ) Q ) ( w =

* ( X ) ww

j w

S X ( ) ( ) w = = =

1 cos 1 j w 1)( 1( ) ae ae a a w - - 21 - +

34 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

c) Vẽ phổ

d) ω=π/2

p )( 2

p 2

X = =

1 ja 1 + 1 -

ae 1

p |)( 2

| X =

│X(π/2)│≠ 0 Tần số π/2 có mặttrongtínhi ệu

p )( -=Q 2

1 a + 1 - tan )( a

35 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

(

) w -

) ( w

) w

—=

) ( w

(cid:236) (cid:237) X ( -— (cid:238)

“ Sxx(–ω) = Sxx(ω)

§ Nếux(n) th ực “ X*(ω) = X(–ω)

§ Ví dụ

, A 1 0

)( nx = L=5 A=1

)1 -

w (2

,0 Ln -££ otherwise (cid:236) (cid:237) (cid:238)

jAe

X ( ) w =

L w 2 w 2

sin( sin( ) )

36 Quan hệ giữa BĐ Fourier với BĐ Z Quan hệ giữa BĐ Fourier với BĐ Z

x(n) MiềnTh ờiGian

Biến Đổi Z Biến ĐổiFourier

z = ejω

X(ω) Miền Tần Số

X(z) Miền Z

+¥

)( zX

nznx - )(

njenx w )(

( ) w

(cid:229)

-¥=

đơn vị)

-¥=

z = ejω (xéttrênvòngtròn

37 Cepstrum Cepstrum

§ Giả sử {x(n)} có BĐ Z X(z) và{x(n)} ổn địnhsaochoX(z) h ội tụ trên

vòngtròn đơn vị

§ Địnhngh ĩa: Cepstrumph ức của{x(n)} là{c x(n)}, BĐ Z ngược của

Cx(z)= lnX(z)

§ Cepstrumph ức tồn tại nếu Cx(z) hội tụ trongvànhkhuyên r 1<|z|

1 -

)( zX

)( zzX

)( znc x

)( zC x

)( nc x

chứavòngtròn đơn vị (0 < r1 < 1 và r2 > 1) ¥ (cid:229)

(cid:242)

1 2 j p

-¥=

§ Cx(z) hội tụ trênvòngtròn đơn vị nj w

nj w

( ) w

d w

)( enc x

)( nc x

(cid:229)

p -

(cid:242)

1 2 p

-¥=

§ Nếubi ểudi ễnX( ω) dưới dạng cực

j ) ( wq

)

(

( ) w

) ( w

(cid:222)

) ( w

j ( ) + wqw

§ Cepstrumph ức

)

(

( ) j wqw +

nj w w d

[ ln

] e

)( nc x

(cid:242)-

1 2 p

38 BĐ Fourier t/hRRTG BĐ Fourier t/hRRTG

đơn

§ BĐ Fourier củat/hcópole n ằmtrênvòngtròn

vị “Cónh ữngchu ỗikhôngkh ả tổngtuy ệt đối lẫnkh ả tổng

• Ví dụ

bìnhph ương, do đókhôngcó BĐ Fourier

1 -

và nx )( nu )( zX )( = =

1 -

và nx )( cos( nun )() zX )( = = w 0

• Cả 2 t/hnày đềucópole trênvòngtròn

đơn vị

z - 1 - z z cos 1 z - 1 21 - w 0 + cos w 0

• Chophép BĐ Fourier cócácxung t ạicác t ần số tương ứng với vị

trícácpole n ằmtrênvòngtròn

đơn vị

• Xunglàhàm c ủa ω, cóbiên độ 1/a, độ rộnga, di ệntích đơn vị

(a→0)

“BĐ Fourier mở rộng củacácchu ỗi dạngnày

39 Phânlo ạit/h ở miền tần số Phânlo ạit/h ở miền tần số

§ Phân loạit/h d ựavàoph ổ mật độ côngsu ất/năng lượng

“ T/h tần số cao: phổ tậptrung ở tần số cao “ T/h tần số thấp: phổ tậptrung ở tần số 0 “ T/h tần số trungbình(t/hbandpass): ph ổ tậptrungtrong d ải tầm tần số

§ Băngthông

“ Tầm tần số màph ổ mật độ côngsu ất(n ăng lượng) củat/h t ậptrung

F1≤F≤F2

“ Trongtr ường hợpt/hbandpass, n ếu băngthông c ủat/hquánh ỏ (hệ số 10) so với tần số giữa(F 1+F2)/2: băngthông h ẹp. Ngược lạilà b ăngthông r ộng

ổ bằngkhôngbênngoài t ầm tần số

“ T/h băngthônggi ới hạnlàt/hcóph

T/h khôngtu ầnhoàn

T/h tuầnhoàn

LTTG

Time-limited: x(t)=0 với|t|> τ Bandlimited: X(F)=0 với|F| > B

Time-limited: xp(t)=0 với τ<|t|M

RRTG

Time-limited: x(n)=0 với|n|>N Bandlimited: |X(ω)|=0 với ω0<|ω|<π

Time-limited: x(n)=0 với n0<|n|

40 Đốing ẫu Đốing ẫu

ềnth ờigian(m ặttoán h ọcvà m ặt

§ 2 tínhch ất đặctr ưngchot/htrongmi

vậtlý) “ Biếnth ờigian: liên t ụchay r ời rạc “ Tínhchu k ỳ: tuầnhoànhay khôngtu ầnhoàn

§ Biếnth ờigian “ T/h LTTG

• Phổ khôngtu ầnhoàn, khôngph ụ thuộct/hmi ềnth ờigiantu ầnhoànhay không

(do hàm mũ ej2πFt liên tụctheoth ờigian, khôngtu ầnhoàntheoF)

• Dải tầm tần số F: [0..¥]

“ T/h RRTG

• Phổ tuầnhoànchu k ỳ ω = 2π • Dải tầm tần số F: [-π..π]

§ Tínhchu k ỳ

Tuầnhoàn v ớichu k ỳ α trong mộtmi ền thì sẽ rời rạc vớikho ảngcách1/ α trongmi ềnkhác, vàng ược lại

“ T/h tuầnhoàn

• Phổ rời rạc(ph ổ vạch) • Khoảngcáchph ổ : ΔF=1/Tp (t/hLTTG) ho ặc Δf=1/N (t/hRRTG)

“ T/h năng lượngkhôngtu ầnhoàn

• Phổ liên tục(do hàm m ũ ej2πFt hoặc ejωn liên tục, khôngtu ầnhoàntheoF ho ặc ω)

41 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ T/h RRTG, khôngtu ầnhoànvàcó n ăng lượng hữu

hạn

§ Tương tự chot/hLTTG, khôngtu ầnhoànvàcó

năng lượng hữu hạn

§ Qui ước

njenx w )(

X nxF )}({ ” = ( ) w “BĐ Fourier thuận

1 ” - F X ({

nj w w d

(cid:242)

(cid:229) -¥= 1 2 p

2 p

“BĐ Fourier nghịch nx )( )} X e w = ( ) w

nx )(

F(cid:190)ﬁ‹

wX ( )

§ Chúý: X( ω) tuầnhoàn v ớichu k ỳ 2π

“Cặp BĐ Fourier

42 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tính đối xứng

“ Nếut/hcó m ột sốđặ ctính đối xứngtrongmi ềnth ờigian, vi ệcxemxétcác đơngi ảnhóacácph ương

đ/k đối xứngtrên BĐ Fourier củanóchophép trình BĐ Fourier thuậnvàngh ịch

“ Giả sử

• x(n) = xR(n) + jxI(n) • X(ω) = XR(ω) + jXI(ω)

và e–jω = cosω – jsinω (ejω = cosω + jsinω), tacó

)

cos

sin)(

( w

n w

]

[ )( nx R

nx I

(cid:229)

-¥=

BĐ Fourier thuận

)

sin)(

cos

( w

n w

]

[ nx R

)( nx I

(cid:229)

-¥=

)

sin)

( cos ww

( www

Xn -

[

] dn

nx )( R

(cid:242)

1 2 p

2 p

BĐ Fourier nghịch

cos

)

( sin) ww

( www

Xn +

[

] dn

)( nx I

(cid:242)

1 2 p

2 p

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

43 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

“ T/h thực

• xR(n) = x(n) và xI(n) = 0, do đó

)

nx )(

cos

( w

n w

(cid:229)

(

) ( w

) w -

-¥=

(

) w

= X

) - w

(

R X

) w -

) ( w

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

)

sin)(

( w

n w

(cid:229)

Đối xứngHermitian

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

( ) w

) ( w

2 R

(

) ( w

) w -

• Do

1 -

) w

-—=

) ( w

(cid:236) (cid:237) X ( -— (cid:238)

tan

) ( w

X X

2 I ( ) w ( ) w

)( nx

)

sin)

( cos ww

Xn -

( www

] dn

• Do

hàm

( sin) ww

-¥= (cid:236) (cid:239) (cid:237) — (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) [ (cid:238) nx )(

sin)

[ ] Xvàn ( ) cos ww

Xn -

] làn ( www

chăh ] dn

1 [ (cid:242) 2 p p 2 ( ) cos ww 1 p [ (cid:242) p 0

§ Tính đối xứng(tt)

44 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

• xR(n) = x(n) vàx(–n) = x(n), nên[x(n)cos ωn] chẵnvà[x(n)sin ωn] lẻ • Do đó

nx )(

cos

(

hàm

chăh

)

2)0( +

( ) w

n w

(cid:229)

1 =

0) =

( w

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

cos

)

( www

(cid:242)

1 p

nx )( “ T/h thựcvà l ẻ

• xR(n) = x(n) vàx(–n) = –x(n), nên[x(n)cos ωn] lẻ và[x(n)sin ωn] chẵn • Do đó

( w

0) =

(

)

sin)( nx

hàm

( ) w

n w

(cid:229)

1 =

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

sin)

)( nx

( www

(cid:242)

1 p

§ Tính đối xứng(tt) “ T/h thựcvàch ẵn

45 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

“ T/h ảo

• xR(n) = 0 vàx(n) = jx I(n) vàx(–n) = x(n), do đó

)

sin)(

(

hàm

)

( w

n w

nx I

(cid:229)

-¥=

)

cos

(

hàm

chan

)

( w

n w

nx )( I

(cid:229)

-¥=

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

sin)

)

cos

( w

Xn +

[

] dn ww

)( nx I

(cid:242)

1 p

xI(n) lẻ

xI(n) chẵn

( w

0) =

sin)(

(

hàm

)

( ) w

n w

nx I

(cid:229)

1 =

cos

(

hàm

) chan

( ) w

2)0( +

n w

)( nx I

(cid:229)

( w

0) =

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

1 =

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

sin)

( www

nx )( I

cos

)

( www

)( nx I

(cid:242)

1 p

§ Tính đối xứng(tt)

46 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tính đối xứng(tt) “T/h x(n) bất kỳ

)]

)( nx

)( n

e )( nx R

o )( nx R

e [ )( nxj I

o ( nx I

)( nx R =

)( nx e

I )( nx o

n )(

nx )([

(

)]

nx )( e

e nx )( R

e I

1 2

trong

đó

n )(

nx )([

(

)]

nx )( o

o nx )( R

o I

1 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

nx )(

n )(

]

[ e nx )( R

e I

[ o nx )( R

o I

) ( w

( ) w

) ( w

[ X

]

[ X

]) ( w

e R

e I

o R

o I

47 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

( ) w

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

nxa )( 11

nxa )( 22

Xa 1

Xa 2

1 X

) ( w

F (cid:190)ﬁ‹

nx )( 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

“ Ví dụ: tìm BĐ Fourier củax(n) sau. V ẽ t/hvàph ổ củat/h.

nj w

j w

(

)

( ) w

)( enx 1

(cid:229)

nx )(

nx )( 1

nx )( 2

-¥=

j w

nx )( 1

n n

0 ‡ 0 <

(cid:222)

( ) w

(cid:236) a (cid:237) 0 (cid:238)

j w

1 ae

1 -

nj w

j w

)

(

)

( ) w

)( enx 2

1 (cid:229)

(cid:229)

nx )( 2

-¥=

( -¥=

1 =

< 0

‡

j w

aeDo

(cid:236) a (cid:237) (cid:238) 1 <<-

j w

(cid:222)

( ) w

j w

ae -

§ Tuyếntính

48 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

) ( w

( ) w

) ( w

21 -

a 1 - cos a w

49 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

nx )(

knx (

)

kj w X

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

F -(cid:190)ﬁ‹- e

) ( w

nu (

“ Ví dụ: tìm BĐ Fourier củat/h

)( nu

)

F (cid:190)ﬁ‹

( w

)( nx 1

1 )( 2

j w

1 nx )(3)( = 2 1 1 e 2

)( nx

)

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( w

)(6 nx 1

j w

6 1 e 2

§ Dịchtheoth ờigian

§ Đảotheoth ờigian

F (cid:190)ﬁ‹

nx )( X nx ( ) X ( ) ( w (cid:222) (cid:190)ﬁ‹- ) - w

50 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

nx )(

(

)

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

nx 1

nx )(*)( 2

X ( ) ww 2

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

nx )( 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

“ Chúý: Cóth ể dùng BĐ Fourier thuậnvà BĐ Fourier ngược để tính

tíchch ặp

§ Tíchch ập

) ( w

F (cid:190)ﬁ‹

)

(

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

) - w

mr ( xx 21

xx 21

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

nx )( 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

§ Tương quan

§ ĐịnhlýWiener-Khintchine

F (cid:190)ﬁ‹

nx )( thuc l )( S X X ( (cid:222) ( ) w = ( ) w ) - w r xx

51 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Dịchtheo t ần số

j w 0

nx )(

)

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( - ww 0

§ Địnhlý điềuch ế

nx )(

cos

)

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

[

])

w 0

( + ww 0

( - ww 0

1 2

§ ĐịnhlýParseval

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)(

(cid:222)

( ) w

( ) d ww

nxnx )( 1

* 2

(cid:229)

p -

(cid:242)

1 2 p

-¥=

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)( nx 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

52 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)( nx 1 )( nx 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

)(

(

)

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)( llwl

)( nx 3

)( nxnx 1

(cid:242)-

1 2 p

§ Nhân 2 chuỗi (địnhlý c ửa sổ)

)( nx

)( nnx

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) dX w d w

nx )(

* nx )(

(

§ Đạohàmmi ền tần số

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

) - w

§ Liên hợpph ức F (cid:190)ﬁ‹

53 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ H/t nghỉ LTI § Hàm đáp ứng tần số: đáp ứng tần số củat/h m ũ phứcvàt/hsin

y(n)

x(n)

Miềnth ờigian

h(n)

h(n): hàm đáp ứngxung đơn vị

y(n)

x(n)

Miền tần số

H(ω)

H(ω): hàm đáp ứng tần số

T/h mũ phức T/h sin

-¥ < n < ¥

()(

)

knxkh

)(*)( nh

)( ny

“ Đáp ứng tần số củat/h m ũ phức: chox(n) = Ae jωn ¥ (cid:229)

-¥=

(

)

j w

kn -

nj w

kj w

)( kh

)( ekh

(cid:229)

nj w

k -¥= AH

( w)

-¥= x(n) = Aejωn là mộteigenfunction c ủah/t H(ω) làeigenvalue t ương ứng

54 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

) ( w

je Q

§ Biểudi ễnH( ω) ở dạng cực § Ta có

kj w

ekh )(

kh )(

cos

sin)(

( ) w

k w

(cid:229)

-¥=

k -¥= ( ) w

k -¥= H ( ) w

1 -

tan

( w

[

])

) ( w

2 R

2 I

)( kh

cos

hàm

chan

)( w

k w

Trong đó ¥ (cid:229)

hàm

chan

) ( w

2 R

2 I

-¥=

1 -

tan

hàm

( ) Q w

H H

( ) w ( ) w

sin)( kh

hàm

)( w

k w

(cid:229)

-= k

-¥=

§ Do đó, nếubi ết │H(ω)│và Θ(ω) trongkho ảng0 ≤ω≤ π thì cũngxác

định đượctrongkho ảng –π≤ω ≤ 0

H H ) ( w = ( ) w

55 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

)

j Q

njAe w

( nj ww e

(1 nx

§ Đáp ứng tần số củat/hsin )( ny = 1

( -Q

) w

nj w

(

) - w

njAe w-

)( ny 2

(2 nx

j Q-

( ) w

nj w

( ) w

HA e ( ) w

nx )(

cos

n w

])(

[ nx )( 1

nx 2

1 2

[ 1 ny )( 1 2 HA

ny )( = +

] ny )( 2 [ n cos w Q+

]) ( w

= ) ( w

ny )(

])(

[

]

[ nx )( 1

ny )( 1

1 j 2

sin)

Q+

( w

ny )( 2 [ n w

]) ( w

nx )( A sin = n w = - nx 2

56 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

1 -

2 k p N

k 2 p N

(

)

)( ny

nx )(

Hc k

2 k p N

ec k

(cid:229)

H(ω)

(cid:229)

“ Đáp ứng củat/htu ầnhoàn c ũnglàt/htu ầnhoànchu k ỳ N

§ Đáp ứngchot/htu ầnhoàn

x(n)

y(n)

y(n) = x(n)*h(n)

h(n)

ầnhoàn § Đáp ứngchot/hkhôngtu

F

Y(ω)

X(ω)

Y(ω) = X(ω)H(ω)

H(ω)

Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│ejΘ(ω0)X(ω0) Ł Thànhph ần tần số (ω0)khi đi qua hệ thì:

-Biên độ: -Pha:

co/giãn │H(ω0)│ lệchpha Θ(ω0)

57 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ Quan hệ giữahàm h ệ thốngvàhàm đáp ứng tần số

nj w

j w

ez =

(cid:229)

-¥=

kj w

) H )( zH )( enh ( w = =

zb k

(cid:229)

eb k

Hệ ổn định

)( zH

0 N

kj w

H ) ( w =

(cid:229)

1 +

1 =

j w

(

)

(

)

za k M (cid:213)

(cid:213)

)

( MNj w

MN -

)( zH

( ) w

eb 0

zb 0

1 k = N

j w

(

)

(

)

pz -

(cid:213)

1 =

H H

) )

* wH ) ( 1 - zH ( )

1 -

ea k M

/1( z z /1( (* H ( ) w

= = = H ) ( ) - w w ) ) H H ( ( w w = -

H H H zHzH )( ( ) ) ( w = ) ( w =

58 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ Tínhhàm đáp ứng tần số H(ω)

( ) w

j w

) ( w

V k

j w

(

)

) ( w

j w

(cid:213)

Up =

( ) w

)

MNj ( w

(cid:236) e (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) e

) ( w

eb 0

1 k = N

j w

(

)

(cid:213)

1 =

) ( w

b 0

V 1 U

( (

)... V M U )...

( ) w ( ) w

( ) V ww 2 U ( ) ww 2

)

( ) w

) ( w

( ) w

( w

MN -

b +—= 0

N (cid:229) F- 1 k =

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) — (cid:239) (cid:238)

M (cid:229) Q+ 1 k = “Do đó, cóth ể tính đượcH( ω) nếubi ết đượczero vàpole

“Biểudi ễn dưới dạng cực

củahàm h ệ thống

“Ý nghĩa ?

59 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

Im(z)

§ Tínhhàm đáp ứng tần số H(ω)

Φk(ω)

L

Θk(ω)

A

x pk

ejω

“ Chozero z k vàpole p k “ Xác định H(ω) tại ω (điểm L) “ Việc tính H(ω) tương đương việc tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị

Bzk

C 0

Re(z)

AL= CL –CA BL= CL –CB

CL = CA + AL CL = CB + BL

) ( w

j F

j w

)( e w

ejω hoặc │z│= 1

Up = k

) ( w

j w

j Q k

pk zk ejω

= CA = CB = CL

)( e w

Vz = k k

“ Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại

những điểm trên vòng tròn gần điểm đónh ỏ

“ Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp

ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn

60 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

1 -

)

z )(

*) ( ) ( ) =

zHzHz )( )( ( z )(

= =

xx (

§ Hàm tươngquanvào-ravàph S S ổ z S Sz )( )( hh SzHz )( )( *) ) ) ( = mrmrmr ( hh yy mrmhmr ( yx

Phổ mật độ năng lượng

) ( w

( ) w

2 w S ( )

Phổ mật độ năng lượngchéo

(

)

) ( w

( ) w

) ( w

X ( ww

Năng lượng tổng

)0(

)

( ) d ww

( w

( ) d ww

(cid:242)

1 2 p

( ) w

) ( w

) ( w =

( ) w

1 E

nh )(

)

x mr ( yx

Nếut/hnh ậpcóph ổ phẳng Sxx(ω) = Ex = constkhi – π ≤ω≤ π Dùngtrongvi ệcxác địnhh(n) c ủa hệ lạ: tác độngvàoh/tt/hcóph

1 E

z=ejω

61 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọc

“ Thiết bị dùng để xử lýtùytheo đặctính c ủat/htác độngvàoh/t “ Ví dụ: bộ lọckhôngkhí, b ộ lọc dầu, bộ lọctia c ựctím

§ Hệ LTI

“ Y(ω) = H(ω)X(ω) “ Thay đổiph ổ t/hnh ậptùytheo đặctr ưng của đáp ứng tần số H(ω) động “ Hệ LTI đượcxemlà b ộ lọc tần số: H(ω) đóngvaitròhàmtác

hoặchàmch ỉnhph ổ

Lowpass filter

“ Cótác d ụng

Highpass filter

• Loại bỏ nhiễutrênt/h • Tinhch ỉnhhình d ạngph ổ củat/h • Phântíchph ổ t/h • Pháthi ệnt/htrongRadar, Sonar, …

Bandpass filter

§ Phân loại bộ lọc

Filter

Bandstop filter

All-pass filter

62 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

|H(ω)| |H(ω)|

Highpass

Lowpass

ω ω

–π π –π π –ωc ωc –ωc ωc

|H(ω)| |H(ω)|

Bandpass

Bandstop

ω ω

–π π –π π –ω0 ω0 –ω0 ω0

63 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

“ Đặctr ưng củaH( ω) lý tưởng

• Biên độ

= hằng số A, trongvùng t ần sốđượ cqua = 0, trongvùng t ần số không đượcqua tuyếntính( = -a ω, a: hằng số)

• Pha “ Minh họa

nj w 0

• T/h x(n) vớicácthànhph ầnt/strongkho ảng [ω1, ω2] • Hàm đáp ứng tần số << www 2

) ( w

otherwise -

nj w 0

(

)

X ( ) ww

) ( w

( www 2

(cid:236) Ce (cid:237) 0 (cid:238) Y H ) ( w y(n) = Cx(n-n0)

• Phổ t/h tạingõxu ất • T/h ngõxu ất • x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng

§ bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả cácthànhph ầnt/s đều bị trễ như

nhau)

§ bị co giãnbiên độ

“ Trongth ực tế khônghi ệnth ực đượctìnhtr ạnglý t ưởng, màch ỉ là

§ Bộ lọclý t ưởng

64 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

đơn vị tương ứng với

§ Thiết kế bộ lọc bằng sơđồ zero-pole “ Bộ lọc sốđơ ngi ảnnh ưngquantr ọng “ Nguyênlý : đặtcácpole g ầncác điểmtrênvòngtròn

các tần số cầnnh ấn mạnh(cógócpha b ằng tần sốđượ cchoqua b ộ lọc) và đặtcáczero g ầncác điểm tương ứng vớicác t ần số khôngmu ốn

“ Ràngbu ộc

• Pole bêntrongvòngtròn

đơn vị (để hệ ổn định). Zero cóth ể nằm bất kỳở đ âu

trênmpz

• Cáczero/pole ph ứcph ảitheo t ừng cặpliên h ợp (để hệ số của bộ lọclà s ố thực) • Chọn b0 thích hợp để chuẩnhoá đáp ứng tại tần sốđượ cchoqua b ộ lọc (để

│H(ω0)│ = 1, ω0 là tần số trongbandpass c ủa bộ lọc)

1 -

(cid:229)

(cid:213)

1( ) - zz k zb k

0 N

1 k = N

1 -

)( zH = = b 0

(cid:229)

(cid:213)

1 =

1 = G ≡ b0: độ lợi

1 + 1( ) - za k zp k

65 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọcthôngth ấp(lowpass)

đơn vị có tần số thấp (ω = 0)

“ Đặtpole g ầncác điểmtrênvòngtròn “ Đặtzero g ầnho ặc tạicác điểmtrênvòngtròn

đơn vị có tần số cao (ω = π)

§ Bộ lọcthôngcao(highpass)

“ Tương tự như bộ lọcthôngth ấp, bằngcách l ấy đối xứngcáczero/pole qua tr ục ảo

củampz

“ Trongbi ểuth ứchàmh/t, thayz b ởi–z

66 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Ví dụ: bộ lọcthôngth ấp

a = 0.9

zH )( 1

(lowpass) mộtpole “ Hàm hệ thống a - 1 - az

1 1 - “ Độ lợiG đượcch ọn(1 –a) để biên độ H(z) bằng đơn vị khi ω = 0

“ Việcthêmzero = –1 s ẽ làmsuygi ảm đáp ứng của bộ lọc ở tần số cao

“ Do đó

1 -

zH )( 2

1 -

z az

1 + 1 -

- 2 “ │H2(ω)│giảm bằng0 khi

ω = π

67 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

a = 0.9

1 -

§ Bộ lọcthôngcao (highpass) “ Cóth ểđạ t được từ bộ lọclowpass bằngcáchthayz bởi–z

1 a

1 -

= zH lp )(

- 2 z az 1 + 1 -

z = –z

1 a

1 -

= zH hp )(

- 2 z az 1 - 1 +

68 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọcbandpass

“ Nguyên tắc: đượcth ựchi ện tương tự lowpassvàhighpass “ Có mộtho ặcnhi ều cặppole liên h ợpph ức gầnvòngtròn đơn vị, trongvùng

lân cận dải tần số chophép

“ Ví dụ: thiết kế bộ lọcbandpasstho ả:

• Tâm củapassband= π/2. Đáp ứng tần số tạitâm đó= 1 • Đáp ứng năng lượng= 0 t ạicác t ần số: 0, π • Đáp ứng năng lượng= t ạicác t ần số: 4π/9

–

j p 2

Pole

p 2,1

y(n)

x(n)

Zero

z 2,1

z-1

zH )(

(

z z

)1 jr

)

z 2 z

1 –= ( )(1 z - jr )( z -

+ +

2 1 - 2 r +

15.0

p 1)( = 2

(cid:222)

z-1

(

)

7.0

–=

4 p 9

1 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

15.0)( =

G (cid:236) (cid:237) r (cid:238) 2 - z 1 - 7.01 +

69 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

2 -

zH 15.0)( =

z z 1 - 7.01 +

70 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

“ Tạo bộ lọchighpass b ằngcách d ịch Hlp(ω) một đoạn π (nghĩalàthay

thế ω bởi ω – π

Hhp(ω) = Hlp(ω – π)

“ Trongmi ềnth ờigian

hhp(n) = (ejπ)nhlp(n) = (-1)nhlp(n) N M

)( ny

( knya

)

)( ny

( knya

)

)1( -

( knxb k

(cid:229)

1 =

kj w

§ Biến đổi đơngi ản từ bộ lọclowpasssang b ộ lọchighpass

(cid:229)

)1( - eb k eb k

0 N

kj w

H H ) ( w = ) ( w =

(cid:229)

1 =

1 1 + + )1( - ea k ea k

71 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

(0 < r < 1)

“ Bộ lọcbandpass2 pole liên h ợpph ức gầnvòngtròn đơn vị “ Vị trígóc c ủapole xác định tần số cộng hưỏng “ Chọnpole liên h ợpph ức p1,2 = re±jω0 “ Cóth ể chọnthêm t ối đa2 zero • Hoặczero t ại gốc tọa độ • Hoặczero t ại ±1 • Chophéplo ại bỏ các đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 hoặc ω = π

“ Giả sử zero đượcch ọn tại gốc

)( zH

1 -

j w 0

b 0 1)(

)

re • Do |H(ω)| có đỉnh tại(ho ặc gần) ω = ω0, nên

)

( w 0

j w 0

)

b 0 1)(

cos

1( -=

b 0

2 w 0

§ Bộ cộng hưởng số

72 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

p1 = rej

ω0 –ω0

p2 = re–j

§ Phổ biên độ vàph ổ phatrongtr ường hợp ω0 = 1

73 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọckheV (notch)

ω0 = π/4

“ Chứa mộtho ặcnhi ềukhesâu, có đáp ứng tần số bằng 0 “ Đặt một cặpzero liên h ợp

phứctrênvòngtròn góc ω0, tức

đơn vị, tại wje

–=

“ Hàmh/t

1 -

j w 0

zH )(

1)(

)

1 -

cos

)

21( -

w 0

b 0 b 0

“ Nhược điểm

• Khecó độ rộngkhá l ớn • Thànhph ần tần số xung quanh ω0 bị suyhao

• P/p khắcph ục: ad-hoc (nhiều p/pkhác đượctrìnhbày ở chương8)

z 2,1

74 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ P/p khắcph ục bộ lọcnotch

–

wj 0

“ Đặt cặppole liên h ợpph ức tại ω0 để cộng hưởngtrongvùng lân cận ω0 p 2,1

“ Hàmh/t

1 -

2 -

ω0 = π/4

zH )(

b 0

cos cos

z 2 zr

21 - r 21 -

+ +

z w 0 1 - z w 0

“ Nhược điểm:

• Ngoàivi ệcgi ảm băngthông củakhe, pole c ũng tạoracác lăn tăn(ripple) trongbandpass của bộ lọc(do vi ệc cộng hưởng)

• Khắcph ụcripple b ằngcách

thêmzero và/ho ặcpole → thử vàsai

re =

75 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọc răng lược(comb)

“ Là bộ lọcnotch v ớicáckhexu ấthi ệntu ầnhoàn “ Hàmh/t

)( zH

kzkh - )(

jkekh w )(

) ( w

z=ejω

(cid:229)

“ Thayz b ằng zL (L>0)

jkL

z=ejω

)( zkh

ekh )(

LH (

) ( w

) w

)( zH L

(cid:229)

= (cid:229)

“ Đáp ứng tần số HL(ω) chínhlàvi ệc lặp bậcL c ủa đáp ứng tần số H(ω) trong

khoảng[0, 2 π]

• NếuH( ω) có mộtph ổ không tại tần số ω0 nào đó, HL(ω) sẽ cócácph ổ không

răng lược tại ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, …, L-1)

H(ω)

H4(ω)

π/2

3π/2 2π

-2π

2π

76 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

)( ny

)

( knx -

(cid:229)

1 M +

Mj w

sin

)

(

) ( w

zH )(

z=ejω

e M

( w sin

1 -

(cid:229)

M 1 + 2 w 2

- 1

1 M +

z -

/( Mk

2 p

Mk /(

pw =

,...,3,2,1

ML (

LMj w

sin

)

M 1 + 2

) ( w

)( zH L

- 1

1 M +

z -

L ( w L w sin 2

§ Ví dụ: bộ lọctrungbình

M=10 & L=3

M=10

x(n)

z-1

h(0)

h(1)

h(2)

h(3)

L=3 & M=3

y(n)

77 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

(0 ≤ ω ≤ π)

H(z) = z–k

za k

(cid:229)

real

)( zH

”

a 0

0 N

za k

(cid:229)

1 -

)

zA )(

0 = ”

zH )(

-= z

za k

a 0

= (cid:229)

zA ( zA )(

• Nếu z0 làpole c ủaH(z), thì1/z 0 làzero c ủaH(z)

(r–1,ω0)

(r,ω0)

ω0 –ω0

1 a-1

(r,–ω0)

(r–1,–ω0)

§ Bộ lọcAllpass “ |H(ω)| = 1 “ Loại đơngi ảnnh ất: “ Loạikhác

78 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

1 -

a = 0.6 r = 0.9 ω0 = π/4

θ2(ω)

θ1(ω)

= = zH )( 2 zH )( 1 z w 0 1 - z z + 2 zr r r 2 + r 21 cos - + za + 1 az + cos w 0

79 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ dao độngsin s ố

đơn vị

“ Bộ cộng hưởng2 pole, trong đócácpole n ằmtrênvòngtròn cos

w 0

zH )(

b 0 1 - +

a 1 a

za 1

za 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

–

wj 0

và đáp ứngxung đơn vị

“ Pole

)( nh

sin( n

)( nu

p 2,1

w 0

rb 0 sin

w 0

“ Nếupole n ằmtrênvòngtròn

nh (

)

sin(

đơn vị: r = 1 và b0 = Asinω0 nu (

)

)1 w+

x(n)=(Asinω0)δ(n)

y(n)=Asin(n+1)ω0

z-1

–a1

y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0δ(n)

z-1

a1= –2cosω0 a2= 1

–a2

Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu - Chương 4

Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu. Tiến sĩ: Đinh Đức Anh Vũ.Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

Chủ đề:

Hệ thống truyền thông dữ liệu

Chương 44 Chương

BK TP.HCM

Tínhi ệu& H ệ thống Tínhi ệu& H ệ thống trongmi ền tần số trongmi ền tần số

FacultyofComputer Science andEngineering HCMC UniversityofTechnology 268, av. LyThuongKiet, District 10, HoChiMinhcity (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nộidung Nộidung

2

Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

…

F

Công cụ phântích t ần số -Chu ỗiFourier –tínhi ệutu ầnhoàn -Bi ến đổiFourier –tínhi ệu năng lượng, khôngtu ầnhoàn

(J.B.J. Fourier: 1768 -1830)

F-1

Công cụ tổng hợp tần số -Chu ỗiFourier ng ược–tínhi ệutu ầnhoàn -Bi ến đổiFourier ng ược–tínhi ệu năng lượng, khôngtu ầnhoàn

3

Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

LTI

4

Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

Tần số

Phổ

Tần số

Phổ

5

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

6

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

7

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

50Hz đónggóp c 1

F

-50Hz đónggóp c -1

Phổ tần số

8

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

Tần số

50Hz (c1)

F

-50Hz (c -1)

9

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

[ )( etx

] dt

10

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

0

-τ/2

τ/2

kF tp 0 kF tp 0 11

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

12

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

13

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

14

T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

15

T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

16

T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

F

-τ/2

0

τ/2

17

T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

18

T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

F/F-1

F/F-1

19

T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

20

T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

21

T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

22

* * * ** * * * * ** *

* * * ** * * * * ** *

* * * ** * * * * ** *