TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, NĂM 2011
MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .43 23 xxy
2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 1
)2( 2
x
m
x.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình .3.433 121124 xxxx
2. Tính các góc của tam giác ABC biết
.cos)cos(2sin2sin
)cos1(sinsin 222
CBACB
ACB
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân
4
0
2.d
cossin5cos2
sin
x
xxx
x
I
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD), AB = 2CD = 4a,
.10aBC Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt
bên SAB là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng
SD và BC.
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
164 bac
ac
acb
cb
cba
ba
P
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)
a. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho đường tròn 02042:)( 22 yxyxC và điểm ).6;5( A
Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm. Viết phương trình
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
2. Trong không gian tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng 2
1
1
2
2
3
:
zyx
d và mặt cầu
.019422:)( 222 zyxzyxS Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt
phẳng qua M và vuông góc với d cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi .8
Câu VIIa. (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn izz 22 và 2
2
z
iz là số ảo.
b. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm );1;1(G đường cao từ đỉnh A có
phương trình 012 yx và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng .012:
yx Tìm tọa độ các
đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 6.
2. Trong không gian tọa độ ,Oxyz cho hai đường thẳng 1
2
1
1
1
1
:,
1
1
1
1
2
:21
zyxzyx
và điểm ).2;1;1( A Tìm tọa độ điểm B, C lần lượt thuộc 21, sao cho đường thẳng BC thuộc
mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng 1
đồng thời đường thẳng BC vuông góc với .
2
Câu VIIb. (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn iz 2 có một acgumen bằng một acgumen của 2z
cộng với 4
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |||1| izzT .
------------------------------------ Hết ------------------------------------
Ghi chú: BTC sẽ trả bài vào các ngày 20, 21/06/2011 tại Văn phòng Trường THPT Chuyên – Đại học Vinh. Để
nhận được bài thi, thí sinh phải nộp lại Phiếu dự thi cho BTC.
Chóc c¸c em häc sinh ®¹t kÕt qu¶ cao trong kú thi §¹i häc n¨m 2011 !
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, NĂM 2011
MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm)
a. Tập xác định:
D
.
b. Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên: Ta có xxy 63' 2 .
2
0
0' x
x
y ; 020' xy và
0
2
0' x
x
y
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;(  và );0( , hàm nghịch biến trên )0;2(.
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 2x, 0
CĐ
y và đạt cực tiểu tại 0x, 4
CT
y.
* Giới hạn: 
 y
x
lim ; 
 y
x
lim .
0,5
* BBT
c. Đồ thị: Đồ thị (C) của hàm số cắt trục hoành
tại ).0;1(A
0,5
2. (1,0 điểm)
Ta có .1,)44(1
1
)2( 22
xmxxx
x
m
x
Xét hàm số
.1)43(
143
)44(1)( 23
23
2
xkhixx
xkhixx
xxxxf
Suy ra đồ thị hàm số )(xfy gồm phần đồ thị (C) với 1x và đối xứng phần đồ thị (C) với
1x qua Ox.
0,5
I.
(2,0
điểm)
Dựa vào đồ thị ta suy ra
* ,0m phương trình vô nghiệm.
* ,0m phương trình có 1 nghiệm.
* ,40 m phương trình có 4 nghiệm.
* ,4m phương trình có 3 nghiệm.
* ,4m phương trình có 2 nghiệm.
0,5
1. (1,0 điểm)
Điều kiện: .1x
Pt đã cho xxxx 21412 3.43.31
013.43.3 21)21(2 xxxx .
Đặt .0,3 21 tt xx Khi đó pt trở thành
3
1
1
0143 2
t
t
tt
0,5
II.
(2,0
điểm)
* Với ,1t ta có
2
21
41
0
2102113 xx
x
xxxx
xx
8
171
x.
* Với 3
1
t, ta có 121121
3
1
321
xxxx
xx
x
2 0
'y 0
0
y
4
0
y
x
O 1
2
4
y
x
O 1
2
4
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
.
4
5
054
2
1
)12(1
012
2
2
x
xx
x
xx
x
Vậy nghiệm của pt là 8
171
x và .
4
5
x
0,5
2. (1,0 điểm)
* Ta có 222 )cos1(sinsin ACB
2cos)cos(
0cos
coscos2)cos()cos(
coscos2)2cos2(cos
2
1
coscos21
2
2cos1
2
2cos1
2
2
2
ACB
A
AACBCB
AACB
AA
CB
0cos A (do )2cos1)cos( ACB .900
A
0,5
* Ta có CBACB cos)cos(2sin2sin
BCB
BACBA
BABACBCB
sin)cos(
)sin(sin2)cos(sin2
)cos()cos()cos()sin(2
.601cos2
)90(sincossinsincos
sinsinsincoscos
0
0
BB
CBdoBBBBB
BCBCB
Suy ra .30,60,90 000 CBA
0,5
Ta có .
cos
d
.
tan5)tan1(2
tan
d
cossin5cos2
sin 4
0
22
4
0
2
x
x
xx
x
x
xxx
x
I
Đặt
x
ttan. Khi đó .
cos
d
d2
x
x
t Khi 0
x thì ,0t khi 4
x thì .1t Suy ra
t
tt
t
t
tt
t
Id
)2)(12(
d
252
1
0
1
0
2
0,5
III.
(1,0
điểm)
.2ln
3
2
3ln
2
1
3ln
6
1
)2ln3(ln
3
2
12ln
6
1
2ln
3
2
d
12
1
2
2
3
1
0
1
0
1
1
0
ttt
tt 0,5
+) Gọi H là hình chiếu của C trên AB; M, N là trung
điểm của AB, CD. Ta có a
CDAB
HB
2
aONaOMaCH ,23 nên OAB
vuông cân. Suy ra 22aOBOA . Do đó
.22aOBSO Suy ra
.26.
3
13
.aSSOV ABCDABCDS
0,5
IV.
(1,0
điểm
+) BC // DM nên
].
2
,0[),(),(
DMSDBCSD
Ta có 22
,10 ODSOSDaBCDM
32,10 aSMa . Suy ra .
5
2
cos SDM Vậy .
5
2
cos
0,5
V.
(1,0
điểm
Đặt .16,4, baczacbycbax Khi đó 0,, zyx và
.
15
521
,
15
,
3
zyx
c
xz
b
xy
a
0,5
S
A
D C
B
M H
O
N
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Suy ra z
xyzyx
y
zyxxz
x
xzxy
P315
521
15
521
15153
z
x
y
x
x
z
x
y
z
zx
y
yx
x
zyx .
15
16
.
3
4
.
15
1
.
3
1
5
4
15
16
15
520
15
56
5
4
16
15
1
4
3
1
z
x
x
z
y
x
x
y .
15
16
5
4
15
8
3
4
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
xz
xy
xz
xy
4
2
16
4
22
22
)(416
)(24
cbabac
cbaacb .
7
3
,
7
5cbca
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là ,
15
16 đạt được khi .
7
3
,
7
5cbca
0,5
1. (1,0 điểm)
(C) có tâm ),2;1(I bán kính R = 5, BC cắt IA tại H. Ta có AI = 10
.
2
5
2
IA
IB
IH Do đó 2
1
cos);0;
2
1
(
4
1 AIBHIAIH
00 6060 ABCAIB nên ABC là tam giác đều.
0,5
Suy ra tâm đường tròn nội tiếp của ABC trùng với trọng tâm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có ).2;2(
3
2 GAHAG Bán kính đường tròn nội tiếp là .
2
5
GHr
Suy ra phương trình đường tròn nội tiếp ABC
là .
4
25
)2()2( 22 yx
0,5
2. (1,0 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm ),2;1;1( I bán kính .5R Từ giả thiết suy ra mặt phẳng qua M vuông góc với
d cắt (S) theo một đường tròn có bán kính .4r
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ).21;2;23();2;1;2( tttMdMu
Phương trình 0)21(2)2()23(2:)( tztytxP .06922 tzyx
0,5
VIa.
(2,0
điểm)
Ta có
2
0
3
3
99
3))(,( 22
t
t
t
rRPId .
Suy ra ).5;0;1(),1;2;3( MM
0,5
Đặt yi
x
z . Khi đó iyxyixizz )2(222
2222 )2()2( yxyx
.22 xyyx (1)
0,5
VIIa.
(1,0
điểm)
Ta có 22
)2(
])2].[()2([
)2(
)2(
2
2
yx
yixiyx
yix
iyx
z
iz
i
yx
xyyx
yx
yyxx
2222 )2(
)2)(2(
)2(
)2()2(
là số ảo khi và chỉ khi 0
)2(
)2()2(
22
yx
yyxx
0)2(
)(2
22
22
yx
yxyx (2)
Thay (1) vào (2) ta được 0
2
1)1( 2
x
x
x. Suy ra 2y.
Vậy .2iz
0,5
1. (1,0 điểm)
VIb.
(2,0
điểm)
Tọa độ chân đường cao ).
5
3
;
5
1
(H Đường thẳng d đi qua G và song song BC có pt
.032: yxd ).
5
7
;
5
1
(IIAHd Ta có ).3;1(3 AHIHA 0,5
A
I
H
B
C
G
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
.
5
6
),( BCAd Suy ra .52
),(
2 BCAd
S
BC ABC
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ).0;1(3 MMGMA
Gọi ).
2
1
;( 1
1
x
xB Khi đó
.1
3
4)1(5
1
1
2
1x
x
xMB
+) Với ).1;1()1;3(3
1 CBx
+) Với ).1;3()1;1(1
1 CBx
Suy ra )1;1(),1;3(),3;1( CBA hoặc ).1;3(),1;1(),3;1( CBA
0,5
2. (1,0 điểm)
Ta có 1
đi qua ),1;1;0(D có vectơ chỉ phương )1;1;2(
1
u.
).5;1;3(],[)1;2;1( 1 ADuAD
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và đường thẳng 1
. Suy ra phương trình .0653:)( zyxP
2
cắt (P) tại C ).0;3;1( C
0,5
21 ),1;1;2( tttBB có vectơ chỉ phương )1;2;21(),1;1;1(
2tttBCu .
.20. 22 tuBCBC Suy ra ).1;1;4( B 0,5
Đặt yi
x
z . Khi đó do iz 2 có một acgumen bằng một acgumen của 2z cộng với 4
nên )
4
sin
4
(cos
2
2
ir
z
iz
, với 0r.
Ta có 22
)2(
])2].[()2([
)2(
)2(
2
2
yx
yixiyx
yix
iyx
z
iz
i
yx
xyyx
yx
yyxx
2222 )2(
)2)(2(
)2(
)2()2(
Suy ra
02
0)2(
2
0
)2(
)2)(2(
)2(
)2()2( 22
22
2222
yx
yx
yx
yx
xyyx
yx
yyxx .
0,5
VIIb.
(1,0
điểm)
Ta có 2222 )1()1(|)1(||)1(||||1| yxyxiyxyixizzT
yx 2323 .
Áp dụng BĐT Côsi ta có
20))(226(2)226(2 222 yxyxT .
Suy ra 52T, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 yx .
Vậy giá trị lớn nhất của T là 52, đạt khi iz 1.
0,5
www.MATHVN.com
www.mathvn.com