Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm
Võ Quốc Phong
Tháng 6 năm 2007
(Cấm sao chép mà không trích dẫn)
Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát nhất của ds là:
drdttradttrlddtrkdrtrhds ),(),())(sin)(,(),( 222222 ++++=
ϕθθ
Do việc chọn hệ quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh
hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds2, tức là có thể biến đổi sao cho:
),(),(2,,,,
2
,,
1;;),(;0),();,();,( trtr elehrtrktratrfttrfr
νλ
=−=−====
Ta suy ra ds2 như sau:
2222222),(2 )sin( dreddrdtceds tr
λν
ϕθθ
−+−=
Ngoài ra ta có:
2
3323
2
221312
2
11030201
22
00
2
ϕϕθθϕθ
ϕθ
βα
αβ
dgddgdgdrdgdrdg
drgcdtdgcdtdgcdtdrgdtcgdxdxgds
+++++
++++==
Đồng nhất hai biểu thức trên ta được:
⎩
⎨
⎧
−=
−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
−=
−=
−=
−=
⎩
⎨
⎧
=
=
−−−−− )(sin
)(sin
;;; 2233
22
33
222
2
22
11
11
00
00
θ
θ
λ
λ
ν
ν
rg
rg
rg
rg
eg
eg
eg
eg
Ta có một nhận xét quang trọng sau: 0
=
αβ
g khi
β
α
≠
, 3322 ,gg không phụ thuộc t [nhận
xét (1)]
Các số hạng Chritoffel:
Ta có công thức tổng quát cho Chritofel như sau:
∑
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=Γ 3
0
2
1
2
1
δδ
βγ
β
δγ
γ
δβ
αδ
δ
βγ
β
δγ
γ
δβ
αδα
βγ
x
g
x
g
x
g
g
x
g
x
g
x
g
g
Trường hợp 1: khi
γ
β
α
≠≠ 0
=
=
=
⇒
βγαγαβ
ggg ;khi lấy tổng theo
δ
thì chỉ còn lại
số hạng
α
δ
=vì 0=
αδ
g khi
α
δ
≠ theo nhận xét (1) ở trên nên:
0
2
1
2
13
0
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=Γ ∑
=
α
βγ
β
αγ
γ
αβ
αα
δδ
βγ
β
δγ
γ
δβ
αδα
βγ
x
g
x
g
x
g
g
x
g
x
g
x
g
g
Trường hợp 2: khi ⎢
⎣
⎡
==
=≠
γβα
γβα
⎢
⎣
⎡
≠==
==
⇒0
0
βγαγαβ
αγαβ
ggg
gg
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=Γ=Γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=Γ=Γ
α
αα
αα
α
αα
α
αα
α
αα
ααα
αα
α
βγ
α
ββ
αα
α
ββ
β
αβ
β
αβ
ααα
ββ
α
βγ
x
g
g
x
g
x
g
x
g
g
x
g
g
x
g
x
g
x
g
g
2
1
2
1
2
1
2
1
hoặc 0==
γ
β
, trong các trường hợp 0
≠
α
thì
α
β
≥, do đó chỉ có các số hạng sau là
khác không:
** Khi 0=
α
ta có: 3322 ,gg không phụ thuộc t nên chỉ có:
•
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=Γ
ν
ν
νν
2
1
2
1
2
1
00
00
000
00 x
ee
x
g
g
νλ
λ
ν
λ
−
•
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
−∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=Γ e
ct
e
e
x
g
g2)(
)(
2
1
2
1
0
11
000
11
** Khi 1=
α
λν
ν
λ
ν
−− ′
=
∂
∂
−−=
∂
∂
−=Γ e
r
e
e
x
g
g2
)(
2
1
2
1
1
00
111
00
2
)(
2
1
2
1
1
11
111
11
λ
λ
λ
′
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
−∂
−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=Γ −
r
e
e
x
g
g
()
λλ
−− −=
∂
−∂
−−=
∂
∂
−=Γ re
r
r
e
x
g
g)(
2
1
2
12
1
22
111
22
()
λλ
θ
θ
−− −=
∂
−∂
−−=
∂
∂
−=Γ er
r
r
e
x
g
g2
22
1
33
111
33 sin
))(sin(
2
1
2
1
** Khi 2=
α
, do 221100 ,, ggg không phụ thuộc vào
θ
nên chỉ còn:
θθ
θ
θ
cossin
)sin(
)(
2
1
2
122
2
2
33
222
33 −=
∂
−∂
−−=
∂
∂
−=Γ r
r
x
g
g
** Khi 3=
α
:
0
3
33
3
22
3
11
3
00 =Γ=Γ=Γ=Γ
Trường hợp 3:
β
α
≠=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=Γ=Γ
γ
αα
αα
α
αγ
α
αγ
γ
αα
ααα
αγ
α
βγ
x
g
g
x
g
x
g
x
g
g2
1
2
1
Ta tính được:
2)(2
1
2
1
2
1),(
0
11
11
1
10
1
10
0
11
111
10
•
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=Γ
λ
ν
ν
ct
e
e
x
g
g
x
g
x
g
x
g
g
tr
0
2
1
2
1),(
11
2
11
111
21 =
∂
∂
=
∂
∂
=Γ
θ
ν
tr
e
g
x
g
g
0
2
1
2
1),(
11
3
11
111
31 =
∂
∂
=
∂
∂
=Γ
ϕ
ν
tr
e
g
x
g
g
rr
r
r
x
g
g1)(
)(
2
1
2
12
2
1
22
222
12 =
∂
−∂
−=
∂
∂
=Γ
−
0
)(
)(
2
1
2
12
2
3
22
222
32 =
∂
−∂
−=
∂
∂
=Γ
−
ϕ
r
r
x
g
g
θ
θ
θ
θ
ctg
r
r
x
g
g=
∂
−∂
−=
∂
∂
=Γ −− )sin(
sin
2
1
2
122
22
2
33
333
23
rr
r
r
x
g
g1)sin(
sin
2
1
2
122
22
1
33
333
13 =
∂
−∂
−=
∂
∂
=Γ −−
θ
θ
Do tính đối xứng nên trường hợp
β
γ
α
≠
=
củng chính là trường hợp 3.
Các số hạng Ricci:
Ta có công thức tổng quát như sau:
μ
βν
ν
αμ
ν
μν
μ
αβ
β
μ
α
μ
μ
αβ
αβ
ΓΓ−ΓΓ+
∂
Γ∂
−
∂
Γ∂
=xx
R , khai triển dạng tổng quát này ta đươc:
()()
()()
()()
()()
()( )()
()()
()()
3
3
3
3
3
2
2
3
3
1
1
3
3
0
0
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
0
0
2
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
3
3
0
0
2
2
0
0
1
1
0
0
0
0
0
3
23
23
13
2
12
1
11
0
10
11
01
0
00
0
3
3
2
2
1
1
0
0
2
2
1
1
0
0
3
3
3
3
3
2
2
3
3
1
1
3
3
0
0
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
0
0
2
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
3
3
0
0
2
2
0
0
1
1
0
0
0
0
0
3
33
2
32
1
31
0
30
33
23
2
22
1
21
0
20
2
3
13
2
12
1
11
0
10
13
03
2
02
1
01
0
00
0
3
3
2
2
1
1
0
0
3
3
2
2
1
1
0
0
βαβαβαβαβαβαβαβα
βαβαβαβαβαβαβαβα
αβαβαβ
β
α
β
α
β
α
β
α
αβαβαβ
βαβαβαβαβαβαβαβα
βαβαβαβαβαβαβαβα
αβαβ
αβαβ
β
α
β
α
β
α
β
α
αβαβαβαβ
αβ
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
=
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+
+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
=
xxxxxxx
xxxxxxxx
R
Suy ra:
()( )()
()()
()()
() ( )( )
442244
442244
2222
11
2
)
2
(
22)(
)
2
()
2
(
)(
2
2
2
2
1
01
1
01
1
00
0
01
3
13
2
12
1
11
1
00
1
01
0
00
1
01
1
00
3
03
3
03
3
02
2
03
3
01
1
03
3
00
0
03
2
03
3
02
2
02
2
02
2
01
1
02
2
00
0
02
1
03
3
01
1
02
2
01
1
01
1
01
1
00
0
01
0
03
3
00
0
02
2
00
0
01
1
00
0
00
0
00
3
23
2
00
3
13
2
12
1
11
0
10
1
00
1
01
0
00
0
00
0
3
03
0
2
02
0
1
01
0
0
00
2
2
00
1
1
00
0
0
00
00
•••••
−
•
−
••••
−−−
••
−−
••
•
−
−+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛′
+
′′
+
′′
−
′
=
−
′
++−
′′
+
′′
−
′
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛+
′′
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++
′′
++
∂
∂
−
∂
′
∂
=
ΓΓ+ΓΓ−Γ+Γ+ΓΓ+ΓΓ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
=
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
=
λλνλννλνν
λνλνλνλνν
λλννλνλν
λν
λν
λνλνλνλν
λνλν
λν
r
e
e
r
eee
e
rr
e
ctr
e
ctr
xxxxxxx
R
()( )()
()()
()()
() ( )
()()()()
442
)
244
(
2
4444
11
)
2
(
)(
)
2
(
2
2
2
2
2
3
13
3
13
2
12
2
12
1
10
0
11
0
10
0
10
3
13
2
12
0
10
1
11
0
00
0
11
1
3
13
1
2
12
1
0
10
0
0
11
3
13
3
13
3
12
2
13
3
11
1
13
3
10
0
13
2
13
3
12
2
12
2
12
2
11
1
12
2
10
0
12
1
13
3
11
1
12
2
11
1
11
1
11
1
10
0
11
0
13
3
10
0
12
2
10
0
11
1
10
0
10
0
10
3
23
2
22
2
11
3
13
2
12
1
11
0
10
1
11
1
01
0
00
0
11
1
3
13
1
2
12
1
1
11
1
0
10
2
2
11
1
1
11
0
0
11
11
νλνλνλνλλ
λνλνλνλ
νλ
νλ
νλνλ
νλ
′
−
′
+
′′
+
′′
−+−=
−−
′
−
′
+
′′
++
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
′
∂
−
∂
∂
=
ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−
Γ+Γ+ΓΓ+ΓΓ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
=
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ
−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
=
•••••
−
−
•
−
••
−
•
r
e
r
e
r
e
r
r
r
r
rct
e
xxxx
xxxxxxx
R
()( )()
()()
()()
()()
1)1
22
(1
22
22
)()( 2
3
23
3
23
1
11
0
10
1
22
2
3
23
1
1
22
3
23
3
23
3
22
2
23
3
21
1
23
3
20
0
23
2
23
3
22
2
22
2
22
2
21
1
22
2
20
0
22
1
23
3
21
1
22
2
21
1
21
1
21
1
20
0
21
0
23
3
20
0
22
2
20
0
21
1
20
0
20
0
20
3
23
2
22
2
22
3
13
2
12
1
11
0
10
1
22
1
01
0
00
0
22
2
3
23
2
2
22
2
1
21
2
0
20
2
2
22
1
1
22
0
0
22
22
+−
′
−
′
=+−
′
−
′
=
−
′
−
′
−
∂
∂
−
∂
−∂
=
ΓΓ−Γ+ΓΓ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
=
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+
ΓΓ−
Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
=
−−
−−
−−
−
νλνλ
θ
λν
θ
θ
λλ
λλ
λλ
λ
rr
ee
erer
ctg
erer
ctg
r
re
xx
xxxxxxx
R
()( )()
()()
()()
()()
θθλ
λν
θθ
θθθ
λν
θ
θ
θθθ
λλλ
λ
λ
2222
2
2
3
32
2
33
1
11
0
10
1
33
2
2
33
1
1
33
3
33
3
33
3
32
2
33
3
31
1
33
3
30
0
33
2
33
3
32
2
32
2
32
2
31
1
32
2
30
0
32
1
33
3
31
1
32
2
31
1
31
1
31
1
30
0
31
0
33
3
30
0
32
2
30
0
31
1
30
0
30
0
30
3
23
2
22
2
33
3
13
2
12
1
11
0
10
1
33
1
01
0
00
0
33
3
3
33
3
2
32
3
1
31
3
0
30
2
2
33
1
1
33
0
0
33
33
sinsin)
22
(sinsin
cossin)
22
(sin
)cossin()sin(
+
′
+
′
+
′
−−=
+
′
+
′
−
∂
−∂
+
∂
−∂
=
ΓΓ−Γ+ΓΓ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
=
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+
ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−
Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
+
∂
Γ∂
=
−−−
−
−
erere
ctger
r
er
xx
xxxxxxx
R