Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát nhất của ds là: ds 2 = h ( r , t ) dr 2 + k ( r , t )( d θ 2 + sin 2 (θ ) d ϕ 2 ) + l ( r , t ) dt 2 + a ( r , t ) drdt Do việc chọn hệ quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds2, tức là có thể biến đổi sao cho:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm

Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm Võ Quốc Phong Tháng 6 năm 2007 (Cấm sao chép mà không trích dẫn) Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát nhất của ds là: ds 2 = h ( r , t ) dr 2 + k ( r , t )( d θ + sin 2 (θ ) d ϕ 2 ) + l ( r , t ) dt 2 + a ( r , t ) drdt 2 Do việc chọn hệ quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds2, tức là có thể biến đổi sao cho: r = f1 (r , , t , ); t = f 2 (r , , t , ); a (r , t ) = 0; k (r , , t , ) = − r 2 ; h = −e λ ( r ,t ) ; l = eν ( r ,t ) Ta suy ra ds2 như sau: = e ν ( r , t ) c 2 dt + sin 2 θ d ϕ 2 ) − e λ dr − r 2 (dθ 2 2 2 2 ds Ngoài ra ta có: ds 2 = g αβ dx α dx β = g 00 c 2 dt 2 + g 01 cdtdr + g 02 cdtd θ + g 03 cdtd ϕ + g 11 dr 2 + g 12 drd θ + g 13 drd ϕ + g 22 d θ 2 + g 23 d θ d ϕ + g 33 d ϕ 2 Đồng nhất hai biểu thức trên ta được: ⎧ ⎧ g 00 = eν ⎪ g11 = −e λ ⎧ g 22 = −r 2 ⎧ g 33 = −r 2 sin 2 (θ ) ; ; ; ⎨ 00 −ν ⎨ 11 −λ ⎨ 22 − 2 ⎨ 33 ⎩ g = e ⎪ g = −e ⎩ g = −r ⎩ g = −r sin (θ ) −2 −2 ⎩ Ta có một nhận xét quang trọng sau: gαβ = 0 khi α ≠ β , g 22 , g 33 không phụ thuộc t [nhận xét (1)] Các số hạng Chritoffel: Ta có công thức tổng quát cho Chritofel như sau: ⎛ ∂g ∂g ∂g ⎞ 1 3 αδ ⎛ ∂gδβ ∂gδγ ∂gβγ ⎞ 1 ⎟ = ∑g ⎜ γ + β − δ Γ = g αδ ⎜ δβ + δγ − βγ α ⎟ ⎜ ∂xγ ⎟2 ⎜ ∂x ⎟ βγ ∂x β ∂xδ ∂x ∂x 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ δ =0 Trường hợp 1: khi α ≠ β ≠ γ ⇒ gαβ = gαγ = g βγ = 0 ;khi lấy tổng theo δ thì chỉ còn lại số hạng δ = α vì g αδ = 0 khi δ ≠ α theo nhận xét (1) ở trên nên:
1 3 αδ ⎛ ∂gδβ ∂gδγ ∂g βγ ⎞ 1 αα ⎛ ∂gαβ ∂gαγ ∂g βγ ⎞ Γ = ∑g ⎜ γ + β − δ α ⎟= g ⎜ γ + β − α ⎟=0 ⎜ ∂x ⎟2 ⎜ ∂x ⎟ βγ ∂x ∂x ∂x ∂x 2 δ =0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ gαβ = gαγ = 0 ⎡α ≠ β = γ ⇒⎢ Trường hợp 2: khi ⎢ ⎣ gαβ = gαγ = g βγ ≠ 0 ⎣α = β = γ ⎡α 1 αα ⎛ ∂gαβ ∂gαβ ∂g ββ ⎞ 1 αα ⎛ ∂g ββ ⎞ α ⎢ Γβγ = Γββ = g ⎜ β + − α ⎟ = g ⎜− α ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ 2 ⎜ ∂x ⎟ ∂x β 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎛ ∂g ∂g ∂g ⎞ 1 ⎛ ∂g ⎢α ⎞ 1 Γβγ = Γαα = g αα ⎜ αα + αα − αα ⎟ = g αα ⎜ − αα α ⎟ ⎢ α ∂x α ∂x α ⎠ 2 α ⎝ ∂x ⎝ ∂x 2 ⎠ ⎣ hoặc β = γ = 0 , trong các trường hợp α ≠ 0 thì β ≥ α , do đó chỉ có các số hạng sau là khác không: ** Khi α = 0 ta có: g 22 , g 33 không phụ thuộc t nên chỉ có: 1 00 ⎛ ∂g 00 ⎞ 1 −ν ⎛ ν ∂ν ⎞ 1 • ⎟= ν Γ00 = ⎟ = e ⎜e 0 g⎜ 2 ⎝ ∂x 0 ⎠ 2 ⎝ ∂x 0 ⎠ 2 • λ ⎛ ∂g ⎞ 1 ⎛ ∂ (−e ) ⎞ λ λ −ν 1 Γ = g 00 ⎜ − 11 ⎟ = eν ⎜ − ⎟= e 0 ⎜ ⎟ 11 ⎝ ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂ (ct ) ⎠ 2 0 2 ** Khi α = 1 ν ν′ 1 11 ∂g 00 −λ ∂e 1 = eν −λ Γ =− g = − (−e ) 1 00 ∂x1 ∂r 2 2 2 ⎛ ∂ ( −e λ ) ⎞ λ ′ 1 11 ⎛ ∂g11 ⎞ 1 g ⎜ − 1 ⎟ = − e −λ ⎜ − ⎟= Γ11 = 1 ⎜ ∂r ⎟ 2 ⎝ ∂x ⎠ 2 2 ⎝ ⎠ 1 11 ∂g 22 ∂ (− r 2 ) ( ) 1 = − − e−λ = − re − λ Γ22 = − 1 g ∂x ∂r 1 2 2 ∂ (−r sin (θ )) ∂g ( ) 2 2 1 1 Γ33 = − g 11 33 = − − e −λ = −r sin 2 θe −λ 1 ∂x ∂r 1 2 2 ** Khi α = 2 , do g 00 , g11 , g 22 không phụ thuộc vào θ nên chỉ còn: 2 ∂ ( − r sin θ ) 1 22 ∂g 33 2 2 1 = − sin θ cosθ Γ =− g = − (−r ) 2 ∂θ 33 ∂x 2 2 2 ** Khi α = 3 : Γ00 = Γ11 = Γ22 = Γ33 = 0 3 3 3 3 Trường hợp 3: α = β ≠ γ
1 αα ⎛ ∂gαα ∂gαγ ∂gαγ ⎞ 1 αα ⎛ ∂gαα ⎞ α α g ⎜ γ+ α− α ⎟= g ⎜ γ ⎟ Γβγ = Γαγ = ⎜ ∂x ⎟2 ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ 2 ⎝ ⎠ Ta tính được: • ∂eν ( r ,t ) λ 1 ⎛ ∂g ∂g ∂g ⎞ 1 ∂g 1 Γ = g 11 ⎜ 11 + 10 − 10 ⎟ = g 11 11 = e −ν = 1 10 2 ⎝ ∂x 0 ∂x1 ∂x1 ⎠ 2 ∂x 0 2 ∂ (ct ) 2 1 11 ∂g11 1 11 ∂eν ( r ,t ) Γ21 = =g =0 1 g ∂θ ∂x 2 2 2 1 11 ∂g11 1 11 ∂eν ( r ,t ) Γ31 = g =g =0 1 ∂ϕ ∂x 3 2 2 ∂ (−r −2 ) 1 ∂g 1 1 Γ12 = g 22 22 = (− r 2 ) = 2 ∂r ∂x 1 2 2 r −2 ∂g ∂ (−r ) 1 1 Γ32 = g 22 22 = (− r 2 ) =0 2 ∂ϕ ∂x 3 2 2 ∂ (− r 2 sin 2 θ ) 1 33 ∂g33 1 = − r − 2 sin − 2 θ = ctgθ Γ23 = 3 g ∂θ ∂x 2 2 2 1 −2 −2 ∂ (−r 2 sin 2 θ ) 1 1 33 ∂g 33 = − r sin θ Γ13 = g = 3 ∂x1 ∂r 2 2 r Do tính đối xứng nên trường hợp α = γ ≠ β củng chính là trường hợp 3. Các số hạng Ricci: Ta có công thức tổng quát như sau: μ ∂Γαβ ∂Γαμ μν ν μ = − β + Γαβ Γμν − Γαμ Γβν , khai triển dạng tổng quát này ta đươc: Rαβ μ ∂x ∂x ⎛ ∂Γαβ ∂Γαβ ∂Γαβ ∂Γαβ ⎞ ⎛ ∂Γα 0 ∂Γα 1 ∂Γα22 ∂Γα 3 ⎞ 0 1 2 3 0 1 3 ⎜ 0+ ⎟−⎜ β + β + β + β ⎟+ = + + Rαβ ∂x 3 ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x 1 ∂x 2 ∂x ∂x ⎠⎝ ⎠ ⎝ + Γαβ (Γ00 + Γ01 + Γ02 + Γ03 ) + Γαβ (Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 ) + 0 0 1 2 3 1 0 1 2 3 ( ) ( ) + Γαβ Γ20 + Γ21 + Γ22 + Γ23 + Γαβ Γ30 + Γ31 + Γ32 + Γ33 + 2 0 1 2 3 3 0 1 2 3 ( )( ) − Γα 0 Γβ 0 + Γα 0 Γβ 1 + Γα20 Γβ 2 + Γα 0 Γβ 3 − Γα 1Γβ 0 + Γα 1Γβ 1 + Γα21Γβ 2 + Γα 1Γβ 3 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 1 3 1 − (Γ ) − (Γ ) Γβ 0 + Γα 2 Γβ 1 + Γα22 Γβ2 2 + Γα 2 Γβ23 Γβ 0 + Γα 3 Γβ 1 + Γα23 Γβ 2 + Γα 3 Γβ 3 0 2 1 2 3 0 3 1 3 3 3 3 α2 α3 ⎛ ∂Γαβ ∂Γαβ ∂Γαβ ⎞ ⎛ ∂Γα00 ∂Γα 1 ∂Γα22 ∂Γα 3 ⎞ 0 1 2 1 3 ⎜ 0+ ⎟−⎜ β + β + β + β ⎟+ = + ∂x 2 ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x 1 ∂x ∂x ⎠⎝ ⎠ ⎝ ( ) ( ) () + Γαβ Γ00 + Γ01 + Γαβ Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 + Γαβ Γ23 0 0 1 1 0 1 2 3 2 3 ( )( ) − Γα 0 Γβ 0 + Γα 0 Γβ 1 + Γα20 Γβ 2 + Γα 0 Γβ 3 − Γα 1Γβ 0 + Γα 1Γβ 1 + Γα21Γβ 2 + Γα 1Γβ 3 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 1 3 1 − (Γ ) − (Γ ) Γβ20 + Γα 2 Γβ21 + Γα22 Γβ2 2 + Γα 2 Γβ23 Γβ 0 + Γα 3 Γβ 1 + Γα23 Γβ 2 + Γα 3 Γβ 3 0 1 3 0 3 1 3 3 3 3 α2 α3 Suy ra:
⎛ ∂Γ00 ∂Γ00 ∂Γ00 ⎞ ⎛ ∂Γ00 ∂Γ01 ∂Γ02 ∂Γ03 ⎞ 0 1 2 0 1 2 3 R00 = ⎜ 0 + 1 + 2 ⎟ − ⎜ 0 + 0 + 0 + 0 ⎟ + ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎝ ∂x ∂x ∂x ∂x ⎠⎝ ⎠ ( ) ( ) () + Γ00 Γ00 + Γ01 + Γ00 Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 + Γ00 Γ23 0 0 1 1 0 1 2 3 2 3 ( )( ) − Γ00Γ00 + Γ00Γ01 + Γ00Γ02 + Γ00Γ03 − Γ01Γ00 + Γ01Γ01 + Γ01Γ02 + Γ01Γ03 00 1 0 20 30 01 11 21 31 − (Γ )− (Γ Γ ) Γ + Γ02Γ01 + Γ02Γ02 + Γ02Γ03 + Γ03Γ01 + Γ03Γ02 + Γ03Γ03 02 1 2 22 32 03 13 23 33 02 00 03 00 ⎛ ∂Γ00 ⎞ ⎛ ∂Γ01 ⎞ 0 1 () (Γ + Γ )( ) 1 1 =⎜ ⎜ ∂r ⎟ − ⎜ ∂(ct ) ⎟ + Γ00 Γ01 + Γ00 + Γ13 − Γ01Γ00 + Γ01Γ01 1 1 2 3 01 11 ⎟⎜ ⎟ 11 12 ⎝ ⎠⎝ ⎠ • ν′ λ eν −λ ) ∂( ) • • ∂( ν λ ν ′ ν −λ ⎛ λ ′ 1 1 ⎞ ⎛ ν ′ ν ′ ν −λ λ λ ⎞ •• ⎜ ⎟ 2 − 2+ = + ( e )⎜ + + ⎟ − ⎜ e+ 2 2⎟ ∂r ∂(ct ) 2 2 ⎝ 2 r r⎠ ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ •2 •• •• ν ′2 ν −λ ν ′λ ′ ν −λ ν ′′ ν −λ λ ν λ ν ′ ν −λ λ = e− e+ e−+ +e− 4 4 2 24 r 4 •2 •• •• ⎛ν ′ ν ′λ ′ ν ′′ ν ′ ⎞ λ ν λ λ 2 = eν −λ ⎜ ⎜ 4 − 4 + 2 + r ⎟− 2 + 4 − 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂Γ11 ∂Γ11 ∂Γ11 ⎞ ⎛ ∂Γ10 ∂Γ11 ∂Γ12 ∂Γ13 ⎞ 0 3 0 1 2 1 2 R11 = ⎜ 0 + 1 + 2 ⎟ − ⎜ 1 + 1 + 1 + 1 ⎟ + ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ ∂x ∂x ∂x ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) + Γ11 Γ00 + Γ01 + Γ11 Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 + Γ11 Γ22 + Γ23 0 0 1 1 0 1 2 3 2 2 3 ( )( ) − Γ10Γ10 + Γ10Γ11 + Γ10Γ12 + Γ10Γ13 − Γ11Γ10 + Γ11Γ11 + Γ11Γ12 + Γ11Γ13 00 10 20 30 01 11 21 31 − (Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ ) − (Γ Γ + Γ Γ +Γ Γ +Γ Γ ) + Γ12Γ11 02 12 22 32 03 13 23 33 12 10 12 12 12 13 13 10 13 11 13 12 13 13 ⎛ ∂Γ11 ⎞ ⎛ ∂Γ10 ∂Γ ⎞ ∂Γ ⎟ + Γ (Γ ) + Γ (Γ +Γ +Γ ) 0 3 0 2 = ⎜ 0 ⎟ −⎜ 1 + + 0 0 1 0 2 3 13 12 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ 11 00 11 10 12 13 ∂x 1 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( )( )( )( ) − Γ10Γ10 − Γ11Γ10 − Γ12Γ12 − Γ13Γ13 00 01 22 33 • λ ν′ 1 1 •• •2 ∂( eλ −ν ) ∂( ) ∂ ∂ λν λ −ν λ′ν ′ λ′ ν ′ λ λ −ν 2 2 =2 − 2 − r− r+ e+ +− − e −2 ∂(ct) ∂r ∂r ∂r 4 4 r 4 4 r •2 •• •• λ λν λ ν ′′ λ′ν ′ λ′ ν ′2 = eλ −ν ( − + )− + +− 4 42 2 4 r 4
⎛ ∂Γ22 ∂Γ22 ∂Γ22 ⎞ ⎛ ∂Γ20 ∂Γ21 ∂Γ22 ∂Γ23 ⎞ 0 3 0 1 2 1 2 R22 = ⎜ 0 + 1 + 2 ⎟ − ⎜ 2 + 2 + 2 + 2 ⎟ + ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ ∂x ∂x ∂x ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) + Γ22 Γ00 + Γ01 + Γ22 Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 + Γ22 Γ22 + Γ23 0 0 1 1 0 1 2 3 2 2 3 ( )( ) − Γ20 Γ20 + Γ20 Γ21 + Γ20 Γ22 + Γ20 Γ23 − Γ21Γ20 + Γ21Γ21 + Γ21Γ22 + Γ21Γ23 0 0 1 0 2 0 3 0 01 11 21 31 − (Γ ) − (Γ ) Γ20 + Γ22 Γ21 + Γ22 Γ22 + Γ22 Γ23 Γ + Γ23Γ21 + Γ23Γ22 + Γ23Γ23 0 2 1 2 2 2 3 2 03 1 3 23 33 22 23 20 ⎛ ∂Γ22 ⎞ ⎛ ∂Γ23 ⎞ 1 0 3 1 ( )( ) = ⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ + Γ22 Γ10 + Γ11 − Γ23Γ23 1 33 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂(−re −λ ) ∂(ctgθ ) rν ′e −λ rλ ′e −λ − ctg 2θ = − − − ∂θ ∂r 2 2 rλ ′e −λ rν ′e −λ rλ ′ rν ′ − e −λ + 1 = e −λ ( = − − −1) + 1 2 2 2 2 ⎛ ∂Γ33 ∂Γ33 ∂Γ33 ⎞ ⎛ ∂Γ30 ∂Γ31 ∂Γ32 ∂Γ33 ⎞ 0 1 2 0 1 2 3 ⎜ 0 + 1 + 2 ⎟−⎜ 3 + 3 + 3 + 3 ⎟+ R33 = ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎝ ∂x ∂x ∂x ∂x ⎠⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) + Γ33 Γ00 + Γ01 + Γ33 Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 + Γ33 Γ22 + Γ23 0 0 1 1 0 1 2 3 2 2 3 ( )( ) − Γ30 Γ30 + Γ30 Γ31 + Γ30 Γ32 + Γ30 Γ33 − Γ31Γ30 + Γ31Γ31 + Γ31Γ32 + Γ31Γ33 0 0 1 0 20 3 0 01 11 21 31 − (Γ ) − (Γ ) Γ + Γ32 Γ31 + Γ32 Γ32 + Γ32 Γ33 Γ + Γ33Γ31 + Γ33Γ32 + Γ33Γ33 0 2 1 2 22 3 2 03 1 3 23 33 32 30 33 30 ∂Γ33 ⎛ ∂Γ33 ⎞ 1 0 1 2 ( )( ) = 1 + ⎜ 2 ⎟ + Γ33 Γ10 + Γ11 − Γ33 Γ32 1 23 ⎜ ∂x ⎟ ∂x ⎝ ⎠ ∂ (−r sin 2 θe −λ ) ∂ (− sin θ cosθ ) ν ′ λ′ − r sin 2 θe −λ ( + ) + sin θ cosθctgθ = + ∂θ ∂r 22 ν ′ λ′ = − sin 2 θe −λ − r sin 2 θe −λ ( + ) + rλ ′ sin 2 θe −λ + sin 2 θ 22
⎛ ∂Γ10 ∂Γ10 ∂Γ10 ⎞ ⎛ ∂Γ10 ∂Γ11 ∂Γ12 ∂Γ13 ⎞ 0 1 2 0 3 1 2 R10 = ⎜ 0 + 1 + 2 ⎟ − ⎜ 0 + 0 + 0 + 0 ⎟ + ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ ∂x ∂x ∂x ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) + Γ10 Γ00 + Γ01 + Γ10 Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 + Γ10 Γ22 + Γ23 0 0 1 1 0 1 2 3 2 2 3 ( )( ) − Γ10Γ00 + Γ10Γ01 + Γ10Γ02 + Γ10Γ03 − Γ11Γ00 + Γ11Γ01 + Γ11Γ02 + Γ11Γ03 00 10 20 30 01 11 21 31 − (Γ ) − (Γ Γ ) Γ + Γ12Γ01 + Γ12Γ02 + Γ12Γ03 + Γ13Γ01 + Γ13Γ02 + Γ13Γ03 02 12 22 32 03 13 23 33 12 00 13 00 ⎛ ∂Γ10 ⎞ ⎛ ∂Γ11 ⎞ 1 1 () ( )( ) = ⎜ 1 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ + Γ10 Γ01 + Γ10 Γ12 + Γ13 − Γ11Γ00 0 1 1 2 3 01 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ • λ = r ⎛ ∂Γ12 ∂Γ12 ∂Γ12 ⎞ ⎛ ∂Γ10 ∂Γ11 ∂Γ12 ∂Γ13 ⎞ 0 1 2 0 1 2 3 R12 = ⎜ 0 + 1 + 2 ⎟ − ⎜ 2 + 2 + 2 + 2 ⎟ + ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ∂x ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) + Γ12 Γ00 + Γ01 + Γ12 Γ10 + Γ11 + Γ12 + Γ13 + Γ12 Γ22 + Γ23 0 0 1 1 0 1 2 3 2 2 3 ( )( ) − Γ10Γ20 + Γ10Γ21 + Γ10Γ22 + Γ10Γ23 − Γ11Γ20 + Γ11Γ21 + Γ11Γ22 + Γ11Γ23 00 10 20 30 01 11 21 31 − (Γ Γ + Γ Γ ) − (Γ Γ +Γ Γ ) + Γ12Γ21 + Γ12Γ22 + Γ13Γ21 + Γ13Γ22 02 12 22 32 03 13 23 33 12 20 12 23 13 20 13 23 =0 = R30 = R23 = R13 = 0 , cuối cùng ta được các số hạng Tương tự như vậy ta có: R20 ricci như sau: •2 •• •• ⎛ ν ′ 2 ν ′λ ′ ν ′′ ν ′ ⎞ λ ν λ λ = eν − λ ⎜ ⎜ 4 − 4 + 2 + r ⎟− 2 + 4 − 4 R 00 ⎟ ⎝ ⎠ •2 • • •• λ λν λ ν ′′ λ ′ν ′ λ′ ν ′2 R 11 = e λ − ν ( − + )− + + − 4 4 2 2 4 r 4 r λ ′e − λ rν ′e − λ rλ ′ rν ′ − e −λ + 1 = e −λ ( = − − − 1) + 1 R 22 2 2 2 2 ν′ λ′ R33 = − sin 2 θ e − λ − r sin 2 θ e − λ ( ) + r λ ′ sin 2 θ e − λ + sin 2 θ + 2 2 • λ R 10 = r
αβ Tính R = g Rαβ : • Suy ra: ⎡ •2⎤ •• •• ⎛ ν ′ 2 ν ′λ ′ ν ′′ ν ′ ⎞ λ ν λ λ ⎥ R = e −ν ⎢eν −λ ⎜⎜ 4 − 4 + 2 + r ⎟− 2 + 4 − 4 ⎥ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ •2 •• •• −λ ⎢ λ −ν λ λν λ ⎛ ν ′′ λ ′ν ′ ν ′ 2 λ ′ ⎞⎥ + )−⎜ − −⎟ −e e ( − + 4 2 ⎜2 r ⎟⎥ ⎢ 4 4 4 ⎝ ⎠⎥ ⎢ ⎣ ⎦ rλ ′ rν ′ ⎡ ⎤ − r − 2 ⎢e − λ ( − − 1) + 1⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ν ′ λ′ ⎡ ⎤ − r −2 sin −2 θ ⎢− sin 2 θ .e −λ − r sin 2 θ .e −λ ( + ) + rλ ′ sin 2 θ .e −λ + sin 2 θ ⎥ 22 ⎣ ⎦ ⎡ • 2 • • •• ⎤ ⎛ ν ′ ν ′λ ′ ν ′′ ⎞ λν λ ⎥ −λ ⎡ 2ν ′ 2λ ′ 2 ⎤ 2 −ν ⎢ λ 2 = 2e −λ ⎜ ⎜ 4 − 4 + 2 ⎟ − 2e ⎢ 4 − 4 + 2 ⎥ + e ⎢ r − r + r 2 ⎥ − r 2 ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Ta suy ra hệ phương trình Einstien: 8π k 1 R αβ − g αβ R = 4 Tαβ 2 c 1 8πk R00 − g 00 R = T00 c4 2 ) (ν ′ 2 ν ′λ ′ ν ′′ ν ′ λ& vλ λ2 & && & ⇔ eν − λ − + + −+ − [( )[ ][ ]] 4 4 2r244 ν ′ 2 ν ′λ ′ ν ′′ λ2 λv λ& − λ 2ν ′ 2 λ ′ 2 & && & 1 2 8πk − eν 2e −λ − 2 e −ν − + − + +e − + − = T r r 2 r 2 c 4 00 2 4 4 2 442 r ( ) e ν 8 πk λ′ 1 ⇔ eν − λ − + += T r r 2 r 2 c 4 00 () 8πk −ν 8πk 00 8πk 0 −λ 1 1 λ′ ⇔ −e − + + = e T00 = g T00 = T0 r2 c4 c4 c4 r2 r
• • • λ 8πk λ 8πk λ 8πk 1 8πk R10 − g10 R = 4 T10 ⇔ = 4 T10 ⇔ = 4 g11T01 ⇔ g 11 = 4 T01 2 r r r c c c c • λ 8πk 1 ⇔ −e − λ = T0 c4 r 1 8πk R11 − g11R = T 4 11 2 c ⎡ λ2 λv λ ν ′′ λ′ν ′ λ′ ν ′2 ⎤ & && && ⎢eλ −ν ( − + ) − + ⎥ ⇔ +− 4422 4 r 4⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 1⎡ ⎡ 2ν ′ 2λ′ 2 ⎤ 2 ⎤ 8πk ⎛ν ′2 ν ′λ′ ν ′′ ⎞ ⎡λ2 λv λ ⎤ & & & && + eλ ⎢2e− λ ⎜ + ⎟ − 2e−ν ⎢ − + ⎥ + e− λ ⎢ − + ⎥− ⎥ = − T11 ⎜4 2⎟ r r 2 ⎥ r 2 ⎥ c4 2⎢ 4 ⎢ 4 4 2⎥ ⎢r ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ν ′ λ′ λ′ 1 ⎤ eλ 8πk ⇔⎢ − + + ⎥ − = T11 ⎢ r r r r 2 ⎥ r 2 c4 ⎣ ⎦ ⎡ν ′ 1 ⎤ 1 8πk 1 ⇔ −e− λ ⎢ + ⎥ + = T1 ⎢ r r 2 ⎥ r 2 c4 ⎣ ⎦ 1 8πk R22 − g 22 R = 4 T22 2 c rλ ′ rν ′ ⎡ ⎤ ⇔ ⎢e −λ ( − − 1) + 1⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ • 2 • • •• ⎤ ⎛ν ′ 2 ν ′λ ′ ν ′′ ⎞ −ν ⎢ λ λν λ ⎥ −λ ⎡ 2ν ′ 2λ ′ 2 ⎤ 2 ⎥ 8πk 2 r ⎢ −λ + ⎢2e ⎜ ⎜ 4 − 4 + 2 ⎟ − 2e ⎢ 4 − 4 + 2 ⎥ + e ⎢ r − r + r 2 ⎥ − r 2 ⎥ = c 4 T22 ⎟ 2 ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ • •⎞ •2 − r 2 e −ν ⎜ •• λ λν ⎟ r 2 e −λ ⎛ λ ′ ν ′ 2 ν ′ 2 ν ′λ ′ 2ν ′ 2λ ′ 2 ⎞ 8πk λ+ − ⎟ + + ν ′′ + ⎜ − + 2+ + 2 ⎟ = 4 T22 ⇔ − − ⎜ ⎜r r r r⎟ c 2⎜ 2 2⎟ 2⎝ 2 2 r r ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ •• • 2 • • ⎞ 2 −λ ⎜λ λν ⎟ r e ⎛ − r 2 e −ν ν ′ 2 ν ′ − λ ′ ν ′λ ′ ⎞ 8πk λ+ − ⎟ + ⎜ν ′′ + ⎟= ⇔ + − T22 ⎜ 2⎜ 2 ⎟ c4 2 2 2⎟ 2 r ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎛ • •⎞ 2 • e −ν ⎜ •• λ λ ν ⎟ e −λ ⎛ ν ′ 2 ν ′ − λ ′ ν ′λ ′ ⎞ 8πk 8πk ⎜ λ+ ⎜ν ′′ + ⎟ = 4 (−r −2 )T22 = 4 T22 ⇔ − ⎟− + − ⎜ ⎟c 2⎜ 2 2⎟ 2⎝ 2 r 2⎠ c ⎝ ⎠
1 8πk R33 − g33R = 4 T33 2 c ν ′ λ′ ⎡ ⎤ ⇔ ⎢− sin2 θe−λ − r sin2 θe−λ ( + ) + rλ′ sin2 θe−λ + sin2 θ ⎥ 22 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ • 2 • • •• ⎤ r sin θ ⎢ −λ ⎛ν ′ ν ′λ′ ν ′′ ⎞ −ν ⎢ λ λν λ ⎥ −λ ⎡ 2ν ′ 2λ′ 2 ⎤ 2 ⎥ 8πk 2 2 2 2e ⎜ ⎜ 4 − 4 + 2 ⎟ − 2e ⎢ 4 − 4 + 2 ⎥ + e ⎢ r − r + r 2 ⎥ − r 2 ⎥ = c 4 T33 + ⎟ 2⎢ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ rλ′ rν ′ ⎡ ⎤ ⇔ sin2 θ ⎢e−λ ( − −1) + 1⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ • 2 • • •• ⎤ r sin θ ⎢ −λ ⎛ν ′ ν ′λ′ ν ′′ ⎞ −ν ⎢ λ λν λ ⎥ −λ ⎡ 2ν ′ 2λ′ 2 ⎤ 2 ⎥ 8πk 2 2 2 2e ⎜⎜ 4 − 4 + 2 ⎟ − 2e ⎢ 4 − 4 + 2 ⎥ + e ⎢ r − r + r 2 ⎥ − r 2 ⎥ = c 4 T33 + ⎟ 2⎢ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ •• • 2 • • ⎞ 2 −λ − r e ⎜ λ λν ⎟ r e ⎛ λ′ ν ′ 2 ν ′2 ν ′λ′ 2 −ν 2ν ′ 2λ′ 2 ⎞ 8πk −2 +ν ′′ + ⎜ λ+ − ⎟ + sin θT33 ⎜ − + 2+ + ⎟= ⇔ − − ⎜r r r r r 2 ⎟ c4 2⎜ 2 2⎟ 2⎝ 2 2 r ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ •• • 2 • • ⎞ 2 −λ ⎜ λ λν ⎟ r e ⎛ − r 2e−ν ν ′2 ν ′ − λ′ ν ′λ′ ⎞ 8πk −2 ⎜ν ′′ + λ+ − ⎟ + sin θT33 ⎟= ⇔ + − ⎜ 2⎜ 2 ⎟ c4 2 2 2⎟ 2 r ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎛ •• • 2 • • ⎞ −λ ⎜ λ λν ⎟ e ⎛ e−ν ν ′2 ν ′ − λ′ ν ′λ′ ⎞ 8πk −2 −2 8πk λ+ − ⎟ − ⎜ν ′′ + ⎟ = 4 (−r sin θ )T33 = 4 T33 ⇔ + − ⎜ ⎜ ⎟c 2 2 2⎟ 2⎝ 2 r 2⎠ c ⎜ ⎝ ⎠ Vậy ta thu được hệ phương trình sau: ⎧ ⎛1 λ′ ⎞ 1 8π k 0 − e− λ ⎜ − + ⎟+ = T ⎪ ⎜ ⎟ 0 ⎝ r2 r ⎠ r2 c4 ⎪ ⎪ & λ 8 πk 1 − e− λ = ⎪ T 0 ⎪ c4 r ⎪ ⎡ν ′ 1 ⎤ 1 ⎪ 8 πk 1 − e− λ ⎢ + ⎥ + 2 = 4 T1 ⎪ ⎣ r r2 ⎦ r ⎪ c ⎨ ⎪ e −ν λv ⎞ e− λ ⎛ ⎛ ⎞ &2 2 && ⎜ λ& + λ ⎜ν ′′ + ν ′ + ν ′ − λ ′ − ν ′λ ′ ⎟ = 8 πk 2 ⎟− ⎪ & − T ⎜ 2⎟ 2⎜ 2⎟ 42 ⎪2 2 2 r c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ e −ν λv ⎞ e− λ ⎛ ⎛ ⎞ &2 2 && ⎜λ + λ ⎜ν ′′ + ν ′ + ν ′ − λ ′ − ν ′λ ′ ⎟ = 8 πk 3 ⎟− ⎪ & − T ⎜ 2⎟ 2⎜ 2⎟ 43 ⎪2 2 2 r c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩