ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI HHKG
“ Đại số hóa hình học “
Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG
“ Phương pháp là thầy của các thầy “
Email: Changngoc203@gmail.com
Bỉm sơn: 11 – 02 – 2014
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
1
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ
GIẢI HHKG
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích
hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (quan trọng là gốc tọa độ O)
Thích hợp có nghĩa là phải căn cứ vào các cặp cạnh vuông góc để từ đó xác định được gốc tọa độ thích
hợp, thông thường dựa vào đặc điểm của hình như hình chóp đều, cạnh bên vuông góc với đáy, mặt bên
vuông góc với đáy, hay đáy là hình gì….
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm
cần thiết)
Để xác định được tọa độ các điểm các bạn phải tính được độ dài các cạnh (khoảng cách từ điểm đó tới
gốc tọa độ) hay hình chiếu các điểm đó xuống các cạnh hay mặt phẳng
Xem điểm đó thuộc cạnh trục nào, mặt phẳng nào, hay không thuộc mặt phẳng nào, chiều dương hay âm
của các trục
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:
- Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
- Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm
chia đọan thẳng để tìm tọa độ, tịnh tiến
- Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
- Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Ưu điểm: Chỉ cần xác định đúng các tọa độ các điểm, áp dụng các kiến thức về hình giải tích như thể
tích, diện tích, góc, khoảng cách…, ngoài ra còn ôn lại được các kiến thức về hinh giải tích như viết
phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu…
Nhược điểm: Tính toán cồng kềnh, phức tạp làm học sinh dễ nản
Chú ý: Vì nhược điểm của bài toán nên khi tính toán chúng ta nên chọn các điểm có tọa độ liên
quan nhiều đến số 0 và tận dụng các câu có mối liên quan tới nhau để đỡ mất công tính toán và khi
tính các vtvp hoặc vtcp ta chọn sao cho các vecto đó đơn giản dễ tính. Mặt khác phải biết kết hợp
các công thức giữa tọa độ và không gian
Các dạng toán thường gặp:
Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …
Định lượng:
- Độ dài đoạn thẳng:
2 2 2
| | ( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 0 0 0
02 2 2
( ; )
Ax By Cz D
d M
A B C
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: 0 1
1
;
( , )
d M
u
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
' '
0 0
1 2 '
, .
( , ) ,
u u M M
d
u u

Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
2
'
'
, ..
( , )
,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
1 2 1 2 1 1
1 2 2 1 2 2
, , ,
, , ,
d P P d M P M P
d P P d M P M P
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
1 2 1 2 1 1
1 2 2 1 2 2
( , ) , ,
( , ) , ,
d d M M
d d M M
- Khoảng cách giữa một đường thẳng song song với một mặt phẳng:
, , ,d P M P M
- Góc giữa hai đường thẳng:
1 1
1 1
.
cos
u u
u u
Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng:
'
,
cos .
AB CD
AB CD
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
.
sin
.
n u
n u
- Góc giữa hai mặt phẳng:
1 2
1 2
.
cos
.
n n
n n
- Thể tích khối tứ diện: 1
. ; .
6
ABCD
V AB AC AD
hoặc 1
. .
3
ABCD BCD
V S AH
với
,
AH d A BCD
+ Thể tích hình hộp: ' ' ' '
'
.; .
ABCD A B C D
V AB AD AA
- Diện tích thiết diện
+ Diện tích của tam giác: 1. ;
2
ABC
S AB AC

+ Diện tích hình hình hành: ;
ABCD
S AB AD
Thể tích hoặc diện tích của một hình hỗn hợp thì ta chia thể tích thành các phần nhỏ hơn và cộng lại
Bài toán cực trị, quỹ tích.
……
Sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức, ứng dụng của đạo hàm…..
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG
Dạng 1: Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; (0; ;0)
A O B a C a a D a
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a B a a C a a a a a
Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; (0; ;0)
A O B a C a b D b
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
3
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; '(0; ; )
A c B a c C a b c D b c
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐHA – 2006) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),
B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
, biết
1
cos
6
.
Giải:
Tọa độ của các đỉnh còn lại :
1;1;0 , ’ 1;01 , ’ 0;1;1 , ’ 1;1;1
C B D C
a. Ta có :
1
' 1;1;1 , 0;1;0 , ' ;0;1
2
A C MN A M

Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN là :
' , '
' , ' ,
A C MN A M
d A C MN
A C MN
 
Hay :
2 2 2
1 1 1 1
13
1 0 0 1
2
3
2
’ ,
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1
d A C MN
b. Mặt phẳng (Oxy) có
0;0;1
n k
.
Mặt phẳng (P) có dạng :
0
ax by cz d
(P) qua A’(0;0;1) thì :
0
c d
(P) qua C(1;1;0) thì :
0
a b d
. Từ đó suy ra :
: 0 1
c d P ax by cz c
Như vậy :
; ;
P
n a b c
. Theo giả thiết :
.
1 1 2 2 2 2 2 2 2
cos 6 5 2
2 2 2
6 6
n k c
Pc a b c a b c
n k abc
P
Như vậy :
2
2 2 2 2 2
2 2
2 0
5 2 0
5
b a c
a b c b a c b a c
a c a c
a b c a ac c
a a c c
2
( ) : 2 0 2 1 0
( ) : 2 0 2 1 0
2 2
b a c b a P ax ay az a x y z
c a c a
b a c b c P cx cy cz c x y z
a c a c
Bài 2: (ĐH – B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng
MP và C’N.
HD:
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A O B a C a a a
M
z
y
x
A
B C
D
A’
B’ C’
D’
N
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
4
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a B a a C a a a a a
a. Tính khoảng cách
2 2 2
' ;0; , ' ; ; , ' ' ;0;0
' , ' ;2 ;
' , ' , ' ' 6
' , ' 6
' , '
A B a a B D a a a A B a
A B B D a a a
A B B D A B a
d A B B D
A B B D




b. Tính góc
;0; , ; ;0 , 0; ; ; ; , ' ;0; . ' '
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
M a N a P a MP a NC a MP NC MP C N

Đáp số: a.
6
6
a
b.
' .
MP C N
Bài 3: (ĐH A – 2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A /B/C/D/ có A trùng với gốc của hệ tọa độ biết B(a;0;0), D(0;a;0), A/(0;0;b) (a > 0, b > 0). Gọi M là
trung điểm cạnh CC /.
a. Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a và b.
b. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A/BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
HD:
Ta có
; ;0 , ' ; ; , ; ; ; ;0 , 0; ; ; ' ;0;
2 2
b b
C a a C a a b M a a BD a a BM a BA a b

a. Tính thể tích
2
2
'
2
, ; ; 1
2 2 , . '
6 6
3
, . ' 2
BDA M
ab ab
BD BM a
a b
V BD BM BA
a b
BD BM BA
b. Xác định tỉ số
2 2
'
, ; ; ; , ' ; ;
2 2
BDM A BD
ab ab
n BD BM a n BD BA ab ab a
Mặt phẳng
2 2 2 2 4
'
' . 0 0 1
2 2
BDM A BD
a b a b a
BDM A BD n n a a b
b
Đáp số: a.
2
4
a b
b.
1.
a
b
Bài 4: (ĐH – D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông
cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo
a.
Giải:
A’AC vuông cân tại A. Ta có ' ' ,
2
2 2 2
a a a
A C a AC AA BC AD AB
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0
A O,
;0;0 , 0; ;0 , ; ;0
2 2 2 2
a a a a
B Ox D Oy C
' 0;0; ; ' ;0; ; ' ; ; ; ' 0; ;
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a a a a a
A Oz B Oxz C D
Ta có