CHUYÊN Đ 1 - PH N TÍCH ĐA TH C THÀNH NHÂN TỀ Ấ Ứ Ử
A. M C TIÊU:Ụ
* H th ng l i các d ng toán và các ph ng pháp phân tích đa th c thành ệ ố ạ ạ ươ ứ
nhân tử
* Gi i m t s bài t p v phân tích đa th c thành nhân tả ộ ố ậ ề ứ ử
* Nâng cao trình đ và k năng v phân tích đa th c thành nhân tộ ỹ ề ứ ử
B. CÁC PH NG PHÁP VÀ BÀI T PƯƠ Ậ
I. TÁCH M T H NG T THÀNH NHI U H NG T :Ộ Ạ Ử Ề Ạ Ử
Đnh lí b sung:ị ổ
+ Đa th c f(x) có nghi m h u t thì có d ng p/q trong đó p là c c a hứ ệ ữ ỉ ạ ướ ủ ệ
s t do, q là c d ng c a h s cao nh t ố ự ướ ươ ủ ệ ố ấ
+ N u f(x) có t ng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nhân t là x – 1ế ổ ệ ố ằ ộ ử
+ N u f(x) có t ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h ế ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ
s c a các h ng t b c l thì f(x) có m t nhân t là x + 1ố ủ ạ ử ậ ẻ ộ ử
+ N u a là nghi m nguyên c a f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì ế ệ ủ
f(1)
a - 1
và
f(-1)
a + 1
đu là s nguyên. Đ nhanh chóng lo i tr nghi m là c c a h s t doề ố ể ạ ừ ệ ướ ủ ệ ố ự
1. Ví d 1:ụ 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách h ng t th 2ạ ử ứ
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách h ng t th nh t:ạ ử ứ ấ
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Ví d 2:ụ x3 – x2 - 4
Ta nhân th y nghi m c a f(x) n u có thì x = ấ ệ ủ ế
1; 2; 4
, ch có f(2) = 0 nên xỉ
= 2 là nghi m c a f(x) nên f(x) có m t nhân t là x – 2. Do đó ta tách f(x)ệ ủ ộ ử
thành các nhóm có xu t hi n m t nhân t là x – 2ấ ệ ộ ử
Cách 1:
x3 – x2 – 4 =
( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 2
2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2)x x x x x x x x x x− + − + − = − + − + −
=
( )
( )
2
2 2x x x− + +
Cách 2:
( ) ( )
3 2 3 2 3 2 2
4 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2)x x x x x x x x x x x− − = − − + = − − − = − + + − − +
=
( )
( )
2 2
2 2 4 ( 2) ( 2)( 2)x x x x x x x
� �
− + + − + = − + +
� �
Ví d 3:ụ f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nh n xét: ậ
1, 5
không là nghi m c a f(x), nh v y f(x) không có nghi mệ ủ ư ậ ệ
nguyên. Nên f(x) n u có nghi m thì là nghi m h u tế ệ ệ ữ ỉ
Ta nh n th y x = ậ ấ
là nghi m c a f(x) do đó f(x) có m t nhân t là 3x – ệ ủ ộ ử
1. Nên
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =
( ) ( )
( )
3 2 2 3 2 2
3 6 2 15 5 3 6 2 15 5x x x x x x x x x x− − + + − = − − − + −
=
2 2
(3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5)x x x x x x x x− − − + − = − − +
Vì
2 2 2
2 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0x x x x x− + = − + + = − + >
v i m i x nên không phân tích ớ ọ
đc thành ượ
nhân t n aử ữ
Ví d 4:ụ x3 + 5x2 + 8x + 4
Nh n xét: T ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s ậ ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ ố
c a các h ng t b c l nên đa th c có m t nhân t là x + 1ủ ạ ử ậ ẻ ứ ộ ử
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1)
+ 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví d 5:ụ f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
T ng các h s b ng 0 thì nên đa th c có m t nhân t là x – 1, chia f(x) ổ ệ ố ằ ứ ộ ử
cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghi m nguyên cũng không có nghi m ệ ệ
h u t nên không phân tích đc n aữ ỉ ượ ữ
Ví d 6:ụ x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x +
1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Ví d 7:ụ x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. THÊM , B T CÙNG M T H NG T :Ớ Ộ Ạ Ử
1. Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n hi u hai bình ớ ộ ố ạ ử ể ấ ệ ệ
ph ng:ươ
Ví d 1ụ: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Ví d 2:ụ x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n nhân t chungớ ộ ố ạ ử ể ấ ệ ử
Ví d 1: ụx7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x +
1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví d 2:ụ x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 –
x + 1)
Ghi nh :ớ
Các đa th c có d ng xứ ạ 3m + 1 + x3n + 2 + 1 nh : xư7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4
+ 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đu có nhân t chung là xề ử 2 + x + 1
III. ĐT BI N PH :Ặ Ế Ụ
Ví d 1:ụ x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đt xặ2 + 10x + 12 = y, đa th c có d ngứ ạ
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví d 2:ụ A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Gi s x ả ử
0 ta vi t ế
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 –
2
6 1
+
x x
) = x2 [(x2 +
2
1
x
) + 6(x -
1
x
) + 7 ]
Đt x - ặ
1
x
= y thì x2 +
2
1
x
= y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -
1
x
)2 + 3x]2 = (x2
+ 3x – 1)2
Chú ý: Ví d trên có th gi i b ng cách áp d ng h ng đng th c nh sau:ụ ể ả ằ ụ ằ ẳ ứ ư
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
Ví d 3:ụ A =
2 2 2 2 2
( )( ) ( +zx)x y z x y z xy yz+ + + + + +
=
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2( +zx) ( ) ( +zx)x y z xy yz x y z xy yz
� �
+ + + + + + + +
� �
Đt ặ
2 2 2
x y z+ +
= a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (
2 2 2
x y z+ +
+ xy + yz +
zx)2
Ví d 4:ụ B =
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2( ) ( ) 2( )( ) ( )x y z x y z x y z x y z x y z+ + − + + − + + + + + + +
Đt xặ4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta l i có: a – bạ2 = - 2(
2 2 2 2 2 2
x y y z z x+ +
) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4(
2 2 2 2 2 2
x y y z z x+ +
) + 4 (xy + yz + zx)2
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 8 8 8 8 ( )x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz xyz x y z− − − + + + + + + = + +