Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN
I. Mục tiêu
Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết.
2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh
3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.
II. Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8
- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8
- Bồi dưỡng toán 8
- Nâng cao và phát triển toán 8
- …
III. Nội dung
1. Kiến thức cần nhớ
1. Chứng minh quan hệ chia hết
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m
+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k
b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia m cho n
* Ví dụ1:
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807
C/minh rằng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Giải:
Ta có 5040 = 24. 32.5.7
A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6]
= n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)
Ta lại có n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)
Tương tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:
5 )
7 ) 9 )
16) - Tồn tại một bội số của 5 (nên A - Tồn tại một bội của 7 (nên A - Tồn tại hai bội của 3 (nên A - Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau A 5.7.9.16= 5040
Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì :
a/ a3 –a chia hết cho 3
b/ a5-a chia hết cho 5
Giải:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
Cách 1: Ta xết mọi trường hợp về số dư khi chia a cho 5
- Nếu a= 5 k (k Z) thì A 5 (1) - Nếu a= 5k 1 thì a2-1 = (5k2 1) 2 -1 = 25k2 10k 5 A 5 (2) - Nếu a= 5k 2 thì a2+1 = (5k 2)2 + 1 = 25 k2 20k +5 A 5 (3) Từ (1),(2),(3) A 5, n Z
Cách 2:
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :
+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807
+ Một số hạng chứa thừa số 5
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1)
= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp )
5a (a2-1) 5
Do đó a5-a 5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
Ta có:
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1)
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(Tính chất chia hết của một hiệu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng đẳng thức:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (HĐT 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9)
Sử dụng tam giác Paxcan: 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…..
Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.
Do đó: Với a, b Z, n N:
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807
an – bn chia hết cho a – b( a b)
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a -b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số của a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì:
A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn)
Mà 162 – 1 = 255 17. Vậy A 17
- Nếu n lẻ thì : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mà n lẻ thì 16n + 1 16+1=17 (HĐT 9)
A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn)
- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17 - Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17 Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, n N
d/ Ngoài ra còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết.
VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004….2004 Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004
a2 = 2004 2004
a3 = 2004 2004 2004
……………………….
a2004 = 2004 2004…2004
2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807
Gọi hai số đó là am và an ( 1 n * VD1:Tìm số dư khi chia 2100 a/ cho 9 b/ cho 25 Giải: a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1 Ta có : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn) = BS9 – 2 = BS9 + 7 Vậy 2100 chia cho 9 dư 7 b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1 Ta có: 2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn) Vậy 2100 chia cho 25 dư 1 * VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân Giải: - Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 = 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng
bằng 0625 Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (…0625)= …5625 - Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16 Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 và 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hết cho 16 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625 51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 dư 15625 Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625 3. Tìm điều kiện chia hết * VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Giải: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n
2 Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B n2 – n Ư(2) 2 chia hết cho n(n – 1) 2 chia hết cho n Ta có bảng: n
n – 1
n(n – 1) 1
0
0
Loại -1
-2
2
T/m 2
1
2
T/m -2
-3
6
Loại Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Giải: n5 + 1 n3 + 1 n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1 (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 n – 1 n2 – n + 1 n(n – 1) n2 – n + 1 Hay n2 – n n2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1 1 n2 – n + 1 Xét hai trường hợp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7
Giải: Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1 - Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k 8 – 1 = 7
Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1 2n - 1 không chia hết cho 7 - Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1
= 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 2n - 1 không chia hết cho 7 Vậy 2n - 1 7 n = 3k (k N) 2. Bài tập Bài 1: Chứng minh rằng: a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ Giải a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Với n chẵn, n = 2k ta có: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Với n lẻ, n = 2k +1, ta có: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bài 2: Chứng minh rằng a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n Giải: Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1 Xét các trường hợp: + Với n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 Tương tự xét các trường hợp n = 3a, n= 3a 1 để chứng minh A 9 Vậy A 8.9 hay A 72 Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 – 1 chia hết cho 24 Giải: Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻ a2 là số chính phương lẻ a2 chia cho 8 dư 1 a2 – 1 chia hết cho 8 (1) Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3 a2 là số chính phương không chia hết cho 3 a2 chia cho 3 dư 1 a2 – 1 chia hết cho 3 (2) Mà (3,8) = 1 (3) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Từ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hết cho 24 Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 -1 chia hết cho 7 Giải: Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma: - Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p - Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hết cho p Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) a3 - 1 7 1)3 = BS7
2)3 = BS7
3)3 = BS7 1
23 = BS7
33 = BS7 a3 + 1 7 - Nếu a = 7k 1 (k N) thì a3 = ( 7k
a3 - 1 7
- Nếu a = 7k 2 (k N) thì a3 = ( 7k
8
- Nếu a = 7k 3 (k N) thì a3 = ( 7k
27
Ta luôn có a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7 Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Giải: Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3 Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504 Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8 Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp (a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8 Vậy A 8 , n N (1) + Nếu a 7 a3 7 A 7 Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 1 7 (a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma) Vậy A 7 , n N (2) + Nếu a 3 a3 9 A 9 Nếu a không chia hấe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS9 1 a3 – 1 = BS9+1 – 1 9 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9 Vậy A 9 , n N (3) Từ (1), (2), (3) A 9 , n N Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 c/ Giải: a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố và 4n +5 > 0 nên 3n – 5 > 0. 0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngưyên tố thì thừa số nhỏ Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n
phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2 Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố. Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) Biến đổi tương tự ta được n = 0. Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố 3 c/ A = . Do A là số tự nhiên nên n(n + 3) 4. Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4 - Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố - Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố -Nếu n = 4k với k Z, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số - Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố - Nếu n + 3 = 4k với k Z, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là
hợp số. W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vậy với n = 4 thì là số nguyên tố 7 Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhườ khách đến thăm trường gặp hai
học sinh. Người khách hỏi: - Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?
Bạn Mai trả lời: - Không, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều
là số chẵn.
- Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không?
Người khách đã suy luận thế nào? Giải: Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng
các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn. W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Gọi năm sinh của Mai là
thì 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a {1; 3; 5;
7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của
Mai sinh năm 1980. - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng. - H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học. - H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội. - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con. - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên. - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn. - Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập. - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia. - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn. - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9. - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất. - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra độc lập. - Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà. W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Ta có: am - an = 2004 2004……2004 000…00
m-n nhóm 2004 4n
hay am - an = 2004 2004……2004 . 104n
m-n nhóm 2004
mà am - an 2003 và (104n , 2003) =1
nên 2004 2004……2004 2003
m-n nhóm 2004
2. Tìm số dư
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Bài 4: Chứng minh rằng:
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.
I. Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
II. Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
Các chương trình VCLASS:
III. Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
