ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
Ứ
Ủ
Ề
Ể
CHUYÊN Đ : TÌM GTLN, GTNN C A BI U TH C
Ụ
Ụ
M C L C
I.LÝ THUY TẾ 2 ..................................................................................................................................
Ộ Ố ƯƠ Ơ Ả II.M T S PH 3 NG PHÁP C B N .........................................................................................
ổ ồ ể
ứ ề
ừ
ươ ươ ươ ươ ươ ươ ươ ử ụ ươ ử ụ ử ụ ươ ươ ươ Ph Ph Ph Ph Ph Ph Ph ế ấ ng pháp 1. S d ng phép bi n đ i đ ng nh t 3 .................................................................... ơ ọ ng pháp 2. Ph 49 ng pháp ch n đi m r i ............................................................................ ế ươ ụ ặ ng pháp 3.S d ng ph 55 ng pháp đ t bi n ph ............................................................... ụ ể ng pháp 4.S d ng bi u th c ph 58 ..................................................................................... ị ................................................................................. ng pháp mi n giá tr ng pháp 5.Ph 61 ị ả ng pháp xét t ng kho ng giá tr ng pháp 6.Ph 63 .............................................................. ọ 66 ng pháp hình h c .................................................................................... ng pháp 7. Ph
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 1 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ủ ề ế ề ệ ọ ồ ị ờ c g i là GTLN c a f(x,y,...) trên mi n xác đ nh D n u 2 đi u ki n sau đ ng th i
I. LÝ THUY TẾ ị 1. Đ nh nghĩa M. đ ả
(cid:0) M (x,y,..) (cid:0) D
D sao cho f(x0, y0...) = M. ượ tho mãn : 1. f(x,y,...) (cid:0) 2. (cid:0)
max v i (x,y,...)
(cid:0) ớ (x0, y0,...) (cid:0) ệ Ký hi u : M = Max f(x,y,..) = f D
ủ ề ế ề ệ ả ồ ờ M. đ c g i là GTNN c a f(x,y,...) trên mi n D đ n 2 đi u ki n sau đ ng th i tho mãn :
(cid:0) M (x,y,..) (cid:0) D
ượ ọ 1. f(x,y,...) (cid:0) 2. (cid:0) D sao cho f(x0, y0...) = M.
min v i (x,y,...)
(cid:0) (x0, y0,...) (cid:0) ệ ớ D
Ký hi u : M = Min f(x,y,..) = f ườ ứ ng dùng ế 2. Các ki n th c th
0 (cid:0) x (cid:0) 0 ỹ ừ : 2.1. Lu th a 0 (cid:0) x (cid:0)
R (cid:0) (cid:0) f (x)(cid:0) 2k (cid:0) x2k (cid:0) 0 (cid:0) x (cid:0) R, k (cid:0) z (cid:0) 0 a) x2 (cid:0) ổ T ng quát :
ừ R, k (cid:0) m z (cid:0) - (cid:0) x (cid:0) - x2k (cid:0) (cid:0) f (x)(cid:0) 2k (cid:0) R, k (cid:0) z T đó suy ra :
0 (cid:0) x (cid:0) 0 ; k (cid:0) z M - 0 (cid:0) x (cid:0)
(cid:0) ứ ể M ( x )2k (cid:0) A (cid:0)
0 (A là 1 bi u th c) ị b) x (cid:0) ổ T ng quát : ( ấ ẳ 0 ứ ấ ệ ố : 2.2 B t đ ng th c ch a d u giá tr tuy t đ i
(cid:0) ả ế
(cid:0) ả ế ; n u "=" x y ra x.y (cid:0) |y| ; n u "=" x y ra x.y (cid:0) 0 0 và |x| (cid:0) |y|
(cid:0) f (x)(cid:0) 2k + m (cid:0) (cid:0) f (x)(cid:0) 2k (cid:0) 0 (cid:0) A )2k (cid:0) ứ x(cid:0) R |x| + |y| |x| - ứ :
a
a
....
n
2
n
a .....
n
aa . 1
2
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) a) |x| (cid:0) b) |x + y| (cid:0) c) |x - y| (cid:0) ấ ẳ 2.3. B t đ ng th c côsi a 1 (cid:0) 0 ; i = n,1 : (cid:0) ai (cid:0) (cid:0) n(cid:0) N, n (cid:0) 2.
(cid:0) ả a1 = a2 = ... = an
ấ ẳ : ấ d u "=" x y ra ứ 2.4. B t đ ng th c Bunhiacôpxki
ớ
a
b
a
a
b
....
....
)
2 n
2 n
2 b ).( 1
2 2
2 2
2
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ố ấ ỳ 1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có : 2 1 V i n c p s b t k a (a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2 (cid:0) (
2
n
= = = = (cid:0) ... Const ấ ả D u "=" x y ra = Const a b a b a 1 b 1
ư ế N u bi = 0 xem nh ai = 0
ấ ẳ ứ 2.5. B t đ ng th c Bernonlly :
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 2 tdhoangclassic@gmail.com
ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
(cid:0) ề ồ ưỡ (cid:0) n (cid:0) N. V i a ớ 0 : (1 + a)n (cid:0) 1 + na
(cid:0) ấ ả D u "=" x y ra a = 0.
Ộ Ố ƯƠ Ơ Ả II. M T S PH NG PHÁP C B N
ươ ế ổ ồ ử ụ Ph ng pháp 1. ấ S d ng phép bi n đ i đ ng nh t
ằ ạ ớ ứ ể ợ ổ
ứ ể ữ ừ ố ế m t cách h p lý, ta bi n đ i bi u th c đã cho ằ ng) và nh ng h ng s . T đó :
ử ộ B ng cách nhóm, thêm, b t, tách các h ng t ươ ề ổ v t ng các bi u th c không âm (ho c không d ỉ ặ ề ể Đ tìm Max f(x,y,...) trên mi n D ta ch ra : 1.
0
(cid:0) (cid:0) f (x, y...) M (cid:0) sao cho f(x0,y0,...) = M $ (cid:0) ﾡ (cid:0) (x , y ....) 0
ể ề ỉ Đ tìm Min f(x,y,...) trên mi n D ta ch ra : 2.
0
(cid:0) (cid:0) f (x, y...) m (cid:0) sao cho f(x0,y0,...) = m $ (cid:0) ﾡ (cid:0) (x , y ....) 0
ươ ả ộ ể ấ ủ ị ớ ỏ ấ Ph ng pháp gi ứ ạ i các bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a m t bi u th c đ i
(cid:0) ư ề ạ - ể 0 } ầ ị ể Đ tìm giá tr nh nh t c a m t bi u th c A(x) ta c n:
(cid:0)
(cid:0) 0 { ho c A(x) ặ ứ ằ
ỏ ằ ố ằ s b ng cách đ a v d ng A(x) ộ ớ ố k v i k là h ng s .
ứ ỉ - ể ể ầ Đ tìm giá tr l n nh t c a m t bi u th c A(x) ta c n: (cid:0) ớ ứ ằ ố k v i k là h ng s .
ứ ỉ ấ ủ + Ch ng minh r ng A(x) ể ả ấ + Ch ra d u "=" có th x y ra. ộ ấ ủ ị ớ ằ + Ch ng minh r ng A(x) ể ả ấ + Ch ra d u "=" có th x y ra.
ạ ứ ậ ủ ơ ả D ng 1. Tìm GTNN và GTLN c a đa th c b c hai đ n gi n
ươ ụ ứ ằ ươ ủ ệ ộ ổ ng c a m t t ng và hi u Ph ng pháp: ẳ Áp d ng h ng đ ng th c bình ph
c)
+ +
ứ ị ỏ ấ ủ Bài 1. Tìm giá tr nh nh t c a các đa th c sau:
2 – 5x + 3
x 1
2
2
a) A = x2 + 4x + 7
2M x = =
2
2
b) R = 3x = + - - d) A = x2 + 2x + y2 + 1 e) f) x B(x) 2x + 8x 1
=
+
) + - 2
i)
3x 2
x 11
2 = + - P 2 x x
2
2
+ - - - 4x 24 ( g) h) A(x) ( ) A 2x 1 = C(x) 3x x 1
j)
k)
l)
+ +
2 = -
+
= Q 4x
4x 11
N x
4x
1
= D 3x
+ 6x 1
2
2
2
+
m)
= Q 4x
+ 3x 2
-
2 = -
+
K x
2x
2 + - y
4y
6
+ y
+ 2xy + 4
2
o)
- + 6x 4 3x 1 6
2
2
2
+
+
- - n) B = x = A 9x q)
2 – |6x – 1| – 1 (
)
)
+ x 2
r)
3
( + 4 x 3
- p) M = 5x ) ( = B 2 x 1
2
2
2
= 2
+ =
ﾡ
ﾡ
- = 3x 1
t
t
9x
+ 6x 1
= A t
+ (cid:0) 4t 5 (t 2)
1 1
HD: - - - q) Đ t ặ
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 3 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ﾡ
(cid:0) = x 1 (cid:0) ﾡ - = 3x 1 2 ấ ả D u “=” x y ra khi t = 2 . (cid:0) = - x (cid:0) 1 3
ấ ủ ị ớ ứ Bài 2. Tìm giá tr l n nh t c a các đa th c sau
2
a) A = – x2 + 6x – 15 b) B = - 5x2 - 4x + 1 c) C = – x2 + 4x – 5 < 0
2 = + - E 2 x x
2
= -
= -
+ 2
= - - d) D = 4x – 10 – x2 e) f) F 5x + 4x 1
H
x
4x 7
K
5x
7x 3
2
= -
= -
- - - = - + + 2 g) h) i) G 3x x 1
= -
L
x 1
M
2x 5
N
x
x 1
l)
21 x 2
21 + x 3
- - - - - j) k)
2
2
2
2
ị ỏ ấ ủ ứ ể Bài 3. Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau:
2
2
2
2
+
+
+
+
+ 2 + 2 = + + + + + - - b) a) = B 2x 2y 5y 5 D(x) 2x 3y 4z 2(x y z) 2
= A x
4y
+ 4x 32y 2018
= A 3x
y
4x y
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
= A x
+ + 2x 3 4y
4y
= B 4x
y
12x 4y 15
- - d) c)
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
= C 5x
y
z
+ 4xy 2xz
= D x
+ 17 4y
+ 8x 4y
f) e)
2
2
2
2
+ +
+
+
+
h) g)
= E 16x
5 8x 4y y
= F x
y
2x 6y 2
2
2
2
2
=
+
- - - j) i)
x
+ 4xy 5y
I
+ 6y 11
= M x
+ 2xy 2y
+ 2y 1
2
2
2
2
+
+
+
- - - l) k)
= R x
2y
2xy 2y
= A 4x
5y
+ 4xy 16y 32
2
2
2
2
2
+
+
+
- - - m) n)
= B x
5y
5z
4xy 4yz 4z 12
= C 5x
+ 12xy 9y
+ 4x 4
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
- - - - - p) o)
= E x
5y
4xy 2y 3
= Q x
4y
z
+ 2x 8y 6z 15 0
2
2
2
2
+
+
+
- - - - r) q)
= A 2x
y
+ 2xy 2x 3
= B 2x
y
+ 2xy 8x 2028
- - - t) s)
2
2
2
2
ấ ủ ị ớ ứ ể Bài 4. Tìm giá tr l n nh t c a các bi u th c sau:
= - B 2 5x
y
+ 4xy 2x
2
2
= - + - - - b) a) A 4x + 5y + 8xy 10y 12
= -
2 4z )
B
3x
16y
+ + 8xy 5x 2
2
2
= -
= -
+ 2 + 2 - - c) d) = + + - A x y z (x 2y
N
x
+ 2 4y
+ 6x 8y 3
P
+ 2 5y
2
2
= -
- - - - e)
+ f) 2x 7y 23 3x x2 - y2 - z2 h) Q = xy + yz + zx -
R
7x
4y
+ + 8xy 18x 9
- - g)
HD:
1 2 [(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] (cid:0)
(2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz) x2 - y2 - z2 = - h) Ta có : Q = xy + yz + zx -
1 2
0 (cid:0) x,y,z Q = -
(cid:0) (cid:0) ậ MaxQ = 0 (cid:0) x = y = z V y: MaxQ = 0 x = y = z
2
2
ư ề ứ ể ằ Bài 1. Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau b ng cách đ a v HĐT
)
(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ỏ ấ ủ ) ( a b ; a b c
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 4 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
+ 2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
= A x
+ 2xy 2y
+ 2x 10y 17
= B x
+ xy y
2x 2y
2
2
2
2
+
+
- - - - - a) b)
= C x
+ xy y
3x 3y
= D x
+ 2xy 6y
+ 12x 2y 45
2
2
2
2
+
+
+
+
+
- - - - c) d)
= E x
xy 3y
+ 2x 10y 20
= K x
y
xy 3x 3y 20
2
2
2
2
- - - - e) f)
= N x
+ 2xy 2y
x
= A x
+ 2xy 3y
2
2
2
2
+
- - - - g) h)
+
+
+ 2x 1997 ) +
= G x
+ xy y
( + 3 x y
3
= Q x
2y
2xy 2x 10y
2
2
2
2
- - - i) j)
+
= D 2x
+ 2xy 5y
8x 22y
2
2
2
2
+
= + - + + - - - k) l) H(x) x y xy x y 1
+
= Q a
+ ab b
+ 3a 3b 3
= E 2x
9y
+ 6xy 6x 12y 2004
2
2
2
2
2
- - - - - n) m)
+
+
+
= A x
6y
14z
8yz 6zx 4xy
2
2
2
2
= + - - - - p) o) B(x) x + xy y 3x 3y
= + + + = + - - - - 2x 4xy 8x 2y 18 2x + 8xy 11y + 4x 2y 6
2
2 + 4xy + 2x – 4y + 26 2
2 + ab + b 2 + 2y
2 + 2xy + 2x – 4y + 2013
3y 2 – 3x – 3b + 1989
2
2
2
+
+
+
r) E(x) t) A = 3x + 4y v) A = 5x + 9y – 12xy + 24x – 48y + 82
2xy 2xz 2x 2y 8z 2000
2
2
=
+ 2
- - - - w)
2y )
+ )
G
3z ( + 6 x ay
x ay
+ x
16y
+ + 8ay 2x 8y 10
2
- - - - q) C(x) s) C = a u) A = x = B x ( x)
2 + 6y
2 + 5z
y) F = 2x – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + 2
2 + 3y
2 2 + z
2
2
z) B = 3x + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + 3
2 + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y
2
+ 2
aa) B = 2x + 2y + z
= A x
+ 2x 10y 17
2
2
2
2
2
2
=
+
- - HD: a)
=
+
(
(
) ( - + x 2x y 1
) + y 1
) � 2y 10y 17 y 1 � �
� � �
2
2
2
2 +
- - - - - - - -
(
(
+ 2xy 2y ) ( + A x 2x y 1 2y 10y 17 (
( ) - + + x y 1
) y 4
) = + y 8y 16
) - + x y 1
2
2
= - - A
= B x
+ xy y
2x 2y
+
2 y 2 y 4y 4
2
2
+ +
+
- - - b)
y 2y
y 1
= 2 B x
) ( = + x y 2 y 2y
+ + 2
2 y 4
� 2 x 2.x. � �
� � �
2
2
2
2
- = 2
=
- - - - - - -
2
2
2
2
+
=
- - - - - - - - -
(
( (
4 ( ) + x y 2 ) x y 2
3y 12y 3 ) ( 3 y 2
15
15
4y 8y y 4y 4 ) ( - = 3 y 4y 3
) + 4B x y 2 ) + x y 2
- - - - - - - (cid:0) -
ﾡ
B
15 4
2
2
+
(cid:0) -
= C x
+ xy y
3x 3y
2
+
+
- - c)
2
2
+
2 y 3 y 6y 9 +
= 2 C x
) ( = + x y 3 y 3y
y 3y
+ 2
4
y 6y 9 4
� + 2 x 2.x. � �
� � �
- - - - - - -
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 5 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
) 2 ( + 4C x y 3
2
2
+
+ - = - - - + � 4y 12y y 6y 9 � � �
2
= D x =
+ 12x 2y 45 +
- - d)
2
2
+ 2 -
+ 2xy 6y + + D x 2x(y 6) 6y 2y 45 + + 2 x 2x.(y 6)
2
2
2
+ 2 + = + + + + - - (y 6) 6y 2y 45 (y 12y 36)
2
2
= + 2 + = + (cid:0) + - - - - - - (x y 6) 5y 10y 9 (x y 6) 5(y 1) 4 4
= E x
+ 2x 10y 20
+
+
- - - e)
)
= 2 E x
+ xy 3y ( 2 x y 2 3y 10y 20
2
+
- - -
2
2
2 y 2 y 4y 4 +
+
=
+ 3y 10y 20
x 2x.
4
2
2
2 +
- - - - - -
2 +
(
+ y 4y 4 4 (
(
(
(
2 ) - + x y 2
) 12y 40y 80
) y 4y 4
) - + x y 2
) + 11y 36y 76
2
2
+
+
+
+
= = + + 2 - - - - 4E
= K x
y
xy 3x 3y 20
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
=
+
+
- f)
(
(
= 4K 4x 4y 4xy 12x 12y 80
) + y 3
) 4y 12y 80 y 3
) ( � 4x 4x y 3 � �
� � + � � � �
� � �
=
+ 2
+
(
) 2 + - + 2x y 3
4K
3y 18y 71
2
2
- - - - - -
= N x
+ 2xy 2y
x
2
(
(
) + 2y 1
2
) 2 + 2y 1 +
- - g)
= 2 N x
) ( = + + 2 x 2y 1 2y
x 2x.
2 2y
+ 2y 1 + 2
4
4
2
2
- - -
(
(
) + 4N x 2y 1
2 8y
) + + 4y 4y 1
2
2
= - - -
= A x
+ 2x 1997
2
2
2
2
- - h)
( - +
(
+ 2xy 3y ) ( + +
) + 2 A x 2x y 1 3y 1997 x 2x y 1
) + y 1
) ( 3y 1997 y 2y 1
2
2
+
+
= = + 2 + + - - - -
= Q x
2y
2xy 2x 10y
2
2
2
2
2
- - i)
( - +
)
(
( +
(
) 2 Q x 2x y 1 2y 10y x 2x y 1
) y 1
) y 2y 1
2
2
+
- + = = - - - - - - - + 2y 10y
) +
= G x
+ xy y
( + 3 x y
3
2
2
+
=
+
+
- j)
2
2
- -
(
(
(
(
4G 4x 4xy 4y 12x 12y 12 ) + + 4G 4x 4x y 3
) 2 + y 3
2
2
2
+ -
=
2 +
+ =
+ -
= - - - - -
(
) + 4y 12y 12 (
) 4G 2x y 3
) + 3y 6y 3 2x y 3
) + 2 y 6y 9 ) ( 3 y 1
0
2
2
- - (cid:0)
2
2
= + - + + - H(x) x y xy x y 1 k)
2
= + - H(x) x y
= - + + xy x y 1 + 2 2 - - � 4H(x) (2x) + 2.2x.y y 3y + + 4x 4y 4
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 6 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
=
+
+
+ 2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
(2x y)
+ + 2(2x y) 3y
+ + = 2y 3 1 (2x y 1)
3(y
y 1)
2 3
2
=
- - - - -
+ (2x y 1)
+ 3(y
1 + (cid:0) 2 ) 2
8 3
8 3
- -
=
=
=
=
�
�
�
Min4H(x)
x
; y
MinH(x)
1 3
2 3
2 3 2
2
8 3 +
-
8x 22y
2
2
2
= D 2x =
+ 2xy 5y +
+
+ 2
+
- - l)
(
)
2
2
2
+
=
- - - -
(
(
= 2D 4x 4xy 10y 16x 44y 4x 4x y 4 10y 44y ) 2 + y 4
) + + 2D 4x 2.2x y 4
10y 44y y 8y 16
2
2
+
- - - - -
+ 6xy 6x 12y 2004
2
2
= E 2x =
9y +
+
- - - m)
2
2
2
- - -
2 +
2E 4x 18y 12xy 12x 24y 4008 ) + +
(
( +
) 18y 24y 4008 9 y 2y 1
2
=
+
= + + + - - -
(
) ( 2E 4x 12x y 1 9 y 1 ) 2 + 2x y 1
9y 42y 3999
2E
2
+
+
+
=
- - -
2 Q a ab b 3a 3b 3
2
2
+ 2
+ 2
=
- - n)
=
2 +
(
) + +
(
+ 2 4Q a 2ab b 3 a b
4 2ab 4a 4b
) a b
) ( + - 3 a b 2
0
2
2
2
+
+
+
- - - - (cid:0)
8yz 6zx 4xy
6y
2
2
= A x =
- - o)
2
2
2
2 +
- -
14z + 2 A x 2x 2y 3z 6y 14z )
) + ) +
( (
(
(
)
2 6y 14z
2
=
+ + = - - - A x 2x 2y 3z 2y 3z + + 2 4y 12yz 9z
(
A
) 2 + x 2y 3z
2 2y 12yz 23z
2
2
- - - -
2
2
2
+ = - - B(x) x + xy y 3x 3y p)
= + + 2 - - - - - - - - - - B(x) (x + + 2x 1) (y + + 2y 1) x(y 1) - = (y 1) 3 (x 1) (y 1) (x 1)(y 1) 3
2
2
2
=
+ 2
(x 1)
2(x 1).
- + .(y 1)
(
(
)
(y 1)
3
y 1 ) 2
y 1 + 2
1 2 2
- - - - - - -
y
2
=
y
+ - 2y 1 3
+ 2y 1 + 4
� - + x 1 � �
2 � � �
2
2
- - - -
y 1 2 +
2
2
2
2
2
=
+
+
+
=
= + + - - C(x) 2x 3y 4xy 8x 2y 18 q)
C(x)
2x
+ 4xy 2y
y
8x 2y 18 2 (x y)
+ + + 2(x y)2 4
+ (y
+ + 6y 9) 1
� �
+ � �
- - -
2
2
= = + 2 + 2 � = - y = 3; x 5 1 1 min A 1
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+ - 2(x y 2) + = - - 2x + (y 3) + 8xy 11y E(x) �� + 4x 2y 6 r)
E(x)
2(x
4xy 4y ) 3y
+ = 4x 2y 6
+ + + 4(x 2y) 2
+ 3y
+ 6y 4
+ � 2(x 2y) �
� �
- - -
2
+ - = x 2y 1 0 = + + 2 - 2(x 2y 1) + 3(y 1) 3 = - + = y 1 0 1 � + ���� 1 1 � = x � � y �
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 7 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
+
+
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
= C a
+ ab b
3x 3b 1989
2
- - s)
(
)
(
2
2
2
2
+
=
+
) +
= C a
( a b 3
b
+ + 3b 1989 a
2.a.
b
3b 1989
b 3 + 2
) 2 b 3 + 4
b 3 4
2
2
+
- - - - - - -
2
2
2
= 4C 4a + =
- -
(
)
(
)
+ 4ab 4b ) ( + 4a b 3
+ 12a 12b 7956 + 12b 7956
2
=
+ 2 - - - - - 4b b 3 b 3 � �
) 2 +
+ - 2a b 3
3b
+ 6b 7947
2
+
+ 2
+
- � 4a � (
(
) +
= A 4y
2x 26
2
2
2
- t)
(
3x (
) x 1
4xy 4y ) ( - + 2.2y. x 1
) x 1
2
2
=
+ -
+
+ 2
+ 2
= + + 2 - - - + 3x + 2x 26
) + + x 2y 1
( + 2 x
) + + 2x 1
23 23
2
2
- (cid:0) � 4y � (
2
2
) A 2y x 1 + + + +
2x + +
2
- u) � � ( = 4x 25 + + - 2y 2y
= A x = A x = 2 + 2xy 2x 4y 2013 2xy 2x 4y 2013 + + + + 2 - (cid:0) + (y 1) (y 3) 2003 2003
2
= -
2
2
+ + + - - 2x(y 1) = 4; y 3 2 9y 12xy 24x 48y 82 v)
2
+ + + - - 9y
=
+
=
x � x = A 5x = A 5x = 2 12xy 24x 48y 82 + + + + - - + 12y(x 4) 4(x 4) + 2 4(x 4) + 2 5x 24x 82
] 2 +
��
�
3y 2(x 4)
+ 2 (x 4)
2 2 x, y R
x
= 4; y
16 3
2
2
2
+
+
+
+
- - " 9y [
2y
2
2
+
3z - +
- - - - w)
2
2
2
2
=
- +
+
+
- - -
)
( + - + 2 2y 3z 2y 2z 2000 y
2 z 1 2yz 2z 2y
2
2
2
- - - - - = B x + = 2 B x 2x y z 1 2y 3z 2y 8z 2000 ) ( + - + y z 1
(
2
=
- + -
+
+
+
+
+ = - + - -
(
) + z 2
) + 2 z 4z 4 1999
� � �
2
2
- - + (
+ ) + y 2z 4y 2yz 1999 ) ( � + 2 y 2y z 2 � � ( ) ( y z 2
2 2z ) + 2 z 4z 1995
2
2
=
- + - + = - - -
2xy 2xz 2x 2y 8z 2000 ) ( + ) ( + x 2x y z 1 ( ( ( (
)
+ x
G
+ + 8ay 2x 8y 10
2
2
2 +
- - - - x)
)
16y (
)
+ 2 ) x ay
2
2
2
2 +
=
+
2 +
= + + - - - - G � � �
(
2
2 +
+
=
2 +
2 +
- - -
x ay ( � � � ( (
( (
+ (
) + x y z 1 ) 2 + x y z 1 ) + x y z 1 ( ) + 6 x ay ( + + 6 x ay 9 ) + x 1 ) + x 1
) G x ay 3 ) G x ay 3
2
2
2
- - - - (cid:0)
2
2
2
2
=
+
+
+ 2
+ 2
+ 2
- - y) = = + + + + - - + x 2x 1 16y 8ay 8y ) ) ( ) ( + + + a 1 a 1 16y 8y a 1 ) ) ( ) ( 2 - + a 1 a 1 4y a 1 + + + + 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2 + + + + 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2 F(x) F(x) 2x 2x 6y 6y 5z 5z
F(x)
2x
2x(3y z) 2(
)
6y
5z
8yz
+ + 2y 4z 2
(
+ 3y z 2
+ 3y z + 2 ) 2
- -
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 8 tdhoangclassic@gmail.com
+ 2
+ 2
+
+
=
+ 2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
(y
+ yz
+ 2 z )
z
2y 4z 2
2(x
)
25 9
1 3
=
+ 2
+ 2
+ 2
-
2(x
)
+ (y
z)
+ 2(y
+ z)
+ z
+ ) 1
+ 3y z 2 + 3y z 2
10 3 5 3
5 3
2 3
1 3
2 3
3 2 3 � � 2 �
� + � �
-
1 ( z 3 + 3y z = 2
2
2
(cid:0) - 0 x (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
+ + = + + + + + = = �� � � z 2(...) (y z ) + (x 1) 1 1 0 min A 1 1 3 2 3 3 2 5 3 2 3 � y � � (cid:0) = x 1 � = y 1 � � = - z 1 (cid:0) 5 3 + = z 1 0 (cid:0) (cid:0)
=
+
+ + + + - - - - = B 3x 3y z 5xy 3yz 3xz 2x 2y 3 z)
(x
+ (cid:0) 2 (y 2)
1 1
B
(x y)
y + - 3
4 + 2 ) 3
2 3
3 2
2
2
� z � � =
2 � + � � + 2
3 4 +
- -
2
2
2
=
+ - - - - G(x) 2x aa)
G(x)
2x
z
=
2y + 2
2y + z + 2xy 2xz 2yz 2x 4y + - - - -
+ - (x y z)
5
5
2xy 2xz 2yz 2x 4y + 2 2 (y 2) = =
�
2; z
3
(x 1) = x 1; y
- - - (cid:0) -
2
2
ư ề ứ ể ằ Bài 2. Tìm giá tr l n nh t c a các bi u th c sau b ng cách đ a v HĐT
)
(
2
2
= -
+ 2
+
= -
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ớ ấ ủ ) ( a b ; a b c
H
x
xy y
+ 2x 4y 11
D
x
+ 2 y
+ + xy 2x 2y
2
2
2
2
- - - a) b)
= - A 5 2x
+ 4y
4xy 8x 12y
= - A 5 2x
+ 4y
4xy 8x 12y
2
2
- - - - - - d)
2 + 2xy – 4y
2 + 2x + 10y – 3
= - - f) E x + y + + xy 2x 2y c) e) F = – x
2
= -
+ 2
+
HD:
H
x
+ 2x 4y 11
=
- - a)
)
= 2 H x
xy y + + 2 2 xy y 2x 4y 11 x
- - - - - - - -
( + 2 x y 2 y 4y 11 (
+
) 2 y 2
2
- =
2 y 2 y 4y 4 +
2 H x 2x.
y 4y 11
+ 2
4
2
2
- - - - - - -
( +
) ( 2 + - + 4H x y 2
4 ) 4y 16y 44 y 4y 4
2
= -
= - - - - - ﾡ
x
+ 2 y
+ + xy 2x 2y
2
D - =
+
+
- b)
+ 2 D x
2 y
) ( x y 2 y 2y
2
= 2 xy 2x 2y x (
+
+
2
- =
) 2 + y 2 +
- - - - -
2 D x 2x.
y 2y
4
y 4y 4 4
2
- - -
+ y 2 + 2 + 2 4y
2
2
2
= - A 5 2x + 2
4xy 8x 12y - = +
+
+
- - - c)
)
= A 2x
4y
4xy 8x 12y 5
2x
( + 4x y 2
4y
12y 5
- - - - -
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 9 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
=
ề ồ ưỡ ọ ỏ i toán 8
(
) + 2 x 2x y 2
� � �
2
2
� 2 � � = -
- - - - - - Chuyên đ b i d ) ( + y 2 ng h c sinh gi ) ( + 4y 12y 5 2 y 2
x
A
+ + xy 2x 2y
+ y
2
2
- =
- d)
(
)
(
)
2 y
+ 2 A x
+ = 2 xy 2x 2y x
+ xy 2x
+ = 2 y 2y x
) ( + x y 2
y 2y
2
2
2
+
+
y
2
2
=
- - - - - - -
y
2y
3y 1
2x.
A
+ y 2 + 2
+ 4y 4 4
+ 4y 4 = 4
3y 4
+� y 2 + x � 2 �
2 � � �
� + � �
� y � �
� � �
� � �
� � �
- - - - - -
2
=
A
+ - 4y 4
4
4 3
� � �
� x � � -� 2x y 1 � 2 � + 2
= -
- - -
x
2
2
2
F - =
2 3 � � + y � � 4 � � + + 2 2x 10y 3 2xy 4y + =
+
- - e)
F x
2x 10y 3 x
+ 2 4y
10y 3
2
2
2
2
- =
- - - - -
( ) + + 2x y 1 (
F x
2xy 4y ( ) + + 2x y 1
) ( + + y 1
4y
+ + - 10y 3
) y 1
2
2
- -
2
2
2
2
= - - + + xy 2x 2y x + y E f)
2
2
= - + + - - � x + y = - 4E 4y + 4xy 8x 8y
2
2
E + 2 = - - - 4x E + 4x(y 2) + + xy 2x 2y + (y 2) + + 2 (y 2) 4x + 4y 8y
= - + = - 2 - - - - - - - - (cid:0) (2x y 2) + 2 (2x y 2) 3(y 2) 16 16
- 3(y - = 2x y 2 0 2 (cid:0)�� E 4 - = y 2 0 2 � � � 4y) 4 = x � � = y �
ứ ậ ố ơ ủ ả ạ Tìm GTNN và GTLN c a đa th c b c b n đ n gi n
D ng 2. ươ Ph ng pháp:
a)
ể ồ
b)
2
+ +
ử ụ ứ ươ ợ ươ ử ể ặ ẩ Phân tích thành các bi u th c t S d ng ph ụ đ đ t n ph .
(
c)
a b , a b c .
(cid:0) ụ ng đ ng đ đ t n ph . ng pháp nhóm h p lý làm xu t hi n nhân t ) 2 ể ặ ẩ ệ ấ ) ử ụ ẳ ứ ( ằ S d ng các h ng đ ng th c
ạ ứ ể ạ D ng 2.1 Bi u th c có d ng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
4
2
4
=
+ 3
+
=
+ 3
+ 2
ứ ể ủ Bài 1. Tìm GTNN c a các bi u th c sau:
C(x)
x
4x
9x
20x 22
D(x)
x
6x
11x
+ 12x 20
4
2
4
2
- - - a) b)
4
3
4
2
=
= + 3 = + 3 + - - - - d) c) A(x) x 6x 10x + 6x 9 B(x) x 10x 26x 10x 30
A(x)
a
2a
+ 4a 5
4
- - = + 3 - - f) e) C(x) x 2x 3x + 4x 2017
2 + 2x + 7
g) D(x) = x – x
2
HD:
) a b
2
2
2
4
2
=
(cid:0) ế
)
) + =
C(x)
4x
4x
x
+ 4x 4
( + 2 2 x x 2
) ( + (cid:0) 5 x 2
2
2
- - - - ổ ( ứ ề ạ ( ể a) Bi n đ i bi u th c v d ng ( ) + + 3 5 x
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 10 tdhoangclassic@gmail.com
4
2
2
2
=
+ 3
+
ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
)
D(x)
x
6x
11x
= 12x 20
+ + 6x 9
2x
+ 12x 20
b)
2
2
2
2
2
- - - - ề ồ ưỡ ( 2 x x
4
2
= + 2 + - - - - 2(x + = + 6x 9) 2 x (x 3) + (cid:0) 2(x 3) 2 2
c)
2
4
4
3
2
= x (x 3) + 3 - - A(x) 6x x 10x + 6x 9
2
2
= + 3 + - - - - A(x) x 6x + = 6x 9 (x + 6x + 2 9x ) (x 6x 9)
= 10x + 2 - - (cid:0) " (x 3x) (x 3) 0 x
= 3x
0
=
=
�
�
�
M in A(x)
0
x
3
2x - = x 3 0
4
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0)
d)
2
= + 3 + - - B(x) x 10x 26x 10x 30
= 5x
0
4
2
2
2
2
=
+ 3
+
=
���(cid:0)
B(x)
x
10x
26x
= 10x 30 (x
+ 5x)
+ (x 5)
5 5
x
5
x - = x 5 0
4
2
(cid:0) - - - - - (cid:0)
e)
2
= + 3 - - C(x) x 3x
2 x (x
4
3
= 2x + + 2 = + 2 - - �� + 4x 2017 + + 2 2) (x + 2) 2015 (x + 2 2)(x 1) 2015 2015 = x 1
2a
f)
2
2
2
2
+
+ 2
+ 2
+
- - C(x) = A a
) (
(
)
) +
(
) +
a
a
2
) + + (cid:0) a 1
2
3 3
= A a
a
2
2
a
2
3
4
g)
4
2
- - ằ ấ d u b ng khi a = 1 2) 2x(x + 4a 5 ( 2a a = ( = + 2 - D(x) x x
4
4
= + 2x 7 + 2 + + 2 - - �� D(x) x 2x 1 x + 2 1) + + 2 (x 1) 5 5 = - x 1
)
4
4
4
4
=
+
+
= -
+
+ + + + = 2x 1 5 (x ( ) ( ạ ể ạ ... D ng 2.2 ứ Bi u th c có d ng + x a + x b
)
(
)
(
)
( D x 8
+ x 6
) F 2 3 x 1
( 3 x 5
4
4
4
4
= -
+
=
+
- - b) a)
(
)
(
)
(
)
) F 2 3 x 1
( 3 x 5
G
+ x 3
x 7
- - - d) c)
4
+ =
=
+
+
4 =
+ 4
+ (cid:0) 2
HD:
(
ﾡ
x 7
y
) ( D y 1
) y 1
2y
12y
2 2
+ =
y
4
4
- a) Đ t: ặ
) F 2 3 x 1
4
4
- - b) Đ t: ặ x 3 ( + = - c)
ﾡ
) ( 3 t 3
2
2
4
4
- =
2 +
+
+
=
+
- - Đ t ặ
- = x 2 t (
-
( +
)
+ 2 2 6t 324t 484 6 t 54t
484
= -
2 +
) ( 3 x 5 ) ( = - + F 2 3 t 3 ) ( ) 2 + - = + 2 F 3 t 6t 9 3 t 6t 9 ) ( + 2 6 t 27
3890 3890
F
4
4
=
+
(cid:0)
(
)
(
)
G
+ x 3
x 7
2
- =
4 +
+
=
+
- d)
(
(
- -
(
(
ﾡ
) 4 = t 5
2
4
2
2
4
=
=
+
+
+
+
Đ t ặ
- - (cid:0) -
) 2 + + + 2 t 10t 25 )
) x 2 t G t 5 ( = 4 G 2t 300t 1250 2 t 2.75t 5625 10
) 2 t 10t 25 ) ( + 2 2 t 75
4 10
4 10
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 11 tdhoangclassic@gmail.com
ọ ỏ ng h c sinh gi
) (
)
+ + + + + i toán 8 ) ( ... ạ ứ ể ạ ề ồ ưỡ Chuyên đ b i d ) ( ) ( ( x x a x b x c x d + x e D ng 2.3 Bi u th c có d ng
2
ứ
+
+
+
=
) (
(
)
=
(
)
B
B
2
=
+
+
+
) ( x 1 x 2 x 3 x 4 (
) (
=
ủ Bài 1. Tìm GTNN c a các bi u th c sau + ể ) ( - - - a) b)
) ( A x x 2 x 4 x 6
8
2
=
+
+
- c) d)
( (
) ( ) ( + D x 1 x ) (
2014 )
C
+
+
=
=
+
+
+
+
+
- f) e)
( = A x (
) (
) (
(
)
) D 2x 1 x 2 x 3 2x 1
C
2011
+ ) ( + - x 6 x ) ( + +
) ) x 2 ) ( +
+ + 2 ) ( +
=
- g) h)
=
) ( + x 1 x 3 x 4x 5 ) ( ) + + 4 x 5 ) ( ) ( + x 1 x 2 x 3 x 6 ) ( x 1 x 2 x 3 x 4 (
) (
)
) ( A x x 7 x 3 x 4
- - - - - i) G (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006 j)
=
+
+
+
+
B
HD:
2
2
=
+
+
+
+
+
( (
) ( ) (
) ( ) (
(
)
) ) ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) ) ( x 1 x 4 x 2 x 3
B
x
+ 5x 6
2
+
=
a)
= (
+
B
) ( + + 5x 4 x ) ) ( = t 1 t 1
t
1
1
+ = , Khi đó:
2x
5x 5
t
- - (cid:0) - Đ t ặ
2
2
2
=
- (cid:0) 5 5 = + = ấ ﾡ ﾡ D u “ = “ khi t 0 x x 2
) (
B
2
2
+
=
- - - + = 5x 5 0 ) b)
+ 4x 5 )
+ 4x 5
x
B
2x
+ = 4x 4 0
2
2
2
=
- - - , Đ t ặ . Khi đó:
=
( ( (
ﾡ
ﾡ
B
t
0
x
+ = 4x 4 0
= t
2
1 +
=
+
1 , D u “ = “ khi +
8
- - (cid:0) - - ấ
2
2
=
+
+
+
+
+
) ( x 1 x 3 x ) ( 4x 5 x ) ) ( = t 1 t 1 ( + (
t ) ( ) (
) )
(
)
+ ) ( A x x 2 x 4 x 6 ) ( A x x 6 x 2 x 4
+ = 8
+ 6x 8
8
2
2
=
+
c)
x (
) ( 6x x ) (
+
+ ) + = 8
A t 4 t 4
t
+ = 16 8
t
8
8
+ = . Khi đó:
2x
6x 4
t
- - - (cid:0) - Đ t ặ
= - + 3
x
5
2
2
=
+
ﾡ
ﾡ
t
0
x
+ = 6x 4 0
= -
3
x
5
2
=
(cid:0) (cid:0) ấ D u “ = “ Khi đó: - (cid:0) (cid:0)
(
) +
2
=
+
+
- d)
) ( + D x 1 x ) (
(
) ( + 4 x 5 ) ( ) (
2014 ) +
(
)
+ D x 1 x 2 x 2 x 5
x
) ( + 3x 10 x
+ + 3x 2
2014
+
=
+ 2
- -
= 2014 ) (
(
+ 2 ) +
+
D t 6 t 6
= 2014
1978
2x
- = 3x 4
t
- Đ t ặ . Khi đó:
2
2
=
+
ﾡ
ﾡ
t
0
x
- = 3x 4 0
t = x 1 = - x
4
2
+ -
+ + 2
)
( = A x
) ( x 6 x
x 2
(cid:0) ấ (cid:0) ả D u “= “ x y ra khi: (cid:0)
2
+
=
e)
) (
) =
(
A t 4 t 4
t
16
16
2x
+ - = x 2
t
- - (cid:0) - Đ t ặ . Khi đó:
2
=
+ - =
ﾡ
ﾡ
t
0
x
x 2 0
= x 1 = -
x
2
=
+
+
+
(cid:0) ấ ả (cid:0) D u “ = “ x y ra khi: (cid:0)
(
) (
) (
)
) ( x 1 x 2 x 3 x 6
C
- f)
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 12 tdhoangclassic@gmail.com
2
=
+
+
+
ỏ Chuyên đ b i d
(
) (
) (
C
+ 5x 6
2
=
+
- - ề ồ ưỡ ( ) = i toán 8 ) ọ ng h c sinh gi ) ( + 5x 6 x
) ( x 1 x 6 x 2 x 3 (
) =
+
C
+ 2 x ) ( t 6 t 6
t
36
36
= . Khi đó:
5x
t
2x
- - (cid:0) - Đ t ặ
0
2
=
+
=
ﾡ
ﾡ
t
0
x
5x
0
= = -
x x
5
=
+
+
+
(cid:0) ấ (cid:0) D u “ = “ khi (cid:0)
=
+
+
+
+ 2
- g)
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
( (
(
)
) D 2x 1 x 2 x 3 2x 1 ) = D 2x 1 x 3 x 2 2x 1
2x
) ( + 2 5x 3 2x
+ 5x 2
- -
2
+
=
- =
) (
(
) =
+
= , Khi đó:
D t 3 t 2
t
t 6
22x
5x
t
25 4
25 4
2 1 � � (cid:0)� � t 2 � �
- - - - - Đ t ặ
2
=
+
+
+
+
+
C
- (cid:0) 5 29 = + = = ấ ﾡ ﾡ D u “ = “ khi: t 2x 5x x 1 2 4
2
2
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
( (
) ( ) (
) ( ) (
) )
(
)
) ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) ( x 1 x 4 x 2 x 3
C
2011
x
) ( + 5x 4 x
+ 5x 6
2011
1 2 2011 h)
+
(
+ = . Khi đó:
) ( ) + + t 1 t 1
2x
5x 5
t
=
+
+
+
(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006
- (cid:0) 5 5 = + 2 - ﾡ ﾡ Đ t ặ C 2011 x + = 5x 5 0 = x 2 - - i) G(x)
2
2
2
=
= (cid:0) x = + + 2 + - - - (cid:0) - (cid:0) G(x) (x 5x 6)(x = 5x 6) 2006 + 2 (x 5x) 2042 2042 (cid:0) 0 = - (cid:0) x 5
) (
(
)
(
)
) ( = A x x 7 x 3 x 4
7x 12
2
=
- - - - - , j)
x (
) ( + 2 7x x ) ( 6
) = 6
36
36
A
t
+ t
t
+ = Đ t ặ 2 7 6 x x
t
- - (cid:0) - - Khi đó:
2
2
=
ﾡ
ﾡ
t
0
x
+ = 7x 6
0
= x 1 = 6 x
(cid:0) - ấ D u “ = ” khi (cid:0) (cid:0)
= + -
+
+
+
ậ ặ V y Min A =
) (
) (
)
E 5
) ( 1 x x 2 x 3 x 6
- 36 khi x = 1 ho c x = 6 ( ứ ể ủ Bài 2. Tìm GTLN c a bi u th c sau
2
2
+
HD:
(
) ( +
) ( +
)
= - E 5
) ) ( = - + x 1 x 6 x 2 x 3
( + x
) ( + 5x 6 x
+ 5x 6
5
+
- -
2x
2
2
5x = -
Đ t ặ
= . t (
(
E
) ( + t 6 t 6
) + = - 5
t
) + = - + 5
36
t
41 41
- - (cid:0) Khi đó:
0
2
2
=
+
=
ﾡ
ﾡ
t
0
x
5x
0
= = -
x x
5
(cid:0) ấ (cid:0) D u “ = “ Khi (cid:0)
ứ
ị ỏ ấ ủ Bài 3. Tìm giá tr nh nh t c a các đa th c sau C = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(x - 8) + 2002
Gi iả :
Ta có: C = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(x - 8) + 2002
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 13 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
9x + 20) + 2002
9x + 8) (x2 - 9x + 14) - 6].[(x2 - 9x + 14) + 6] + 2002
36 + 2002
= (x - 1)(x - 8)(x - 4)(x - 5) + 2002 = (x2 - = [(x2 - = (x2 - 9x + 14)2 - = (x2 - 9x + 14)2 + 1966 (cid:0) 1966 vì (x2 - 9x + 14)2 (cid:0) 0 (cid:0) x
x
x
2
2
x
x
7
7
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ MinC = 1966 (cid:0) x2 - 9x + 14 = 0 (cid:0) V y MinC = 1966 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
+
+
+
ớ ố ấ ớ ọ Bài 4. Tìm s nguyên m l n nh t sao cho BĐT luôn đúng v i m i x:
(
)
(
) ( x 1 x 2
) x 3 m
(cid:0)
2
2
2
HD:
(
) (
) (
)
(
)
) ( + 4x 3 x
+
= + + = + + VT + x 1 x 3 x 2 x + 4x 4
= , Khi đó:
2x
4x
t
Đ t ặ
2
2
=
+
=
+
=
+
+
+
(
)
VT
) ( + t 3 t 4
t
+ 7t 12
t
2.t.
12
7 2
49 4
49 = 4
1 4
1 4
2 7 � � + t � � 2 � �
- - - (cid:0)
A B
=
ạ ứ ạ ủ ể D ng 3. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c d ng
A
2
+
m + bc
c
ax
ạ ứ ạ ể ớ ằ ị ượ D ng 3.1 Bi u th c d ng ố ặ v i m là h ng s ho c m đã xác đ nh đ c âm
ặ ươ ng:
2
2
=
+
+
�
�
A
A
(ax
+ bc c)
A
(ax
+ bc c)
ho c d ươ ả Ph ng pháp gi i:
max
min
min
max
2
+ khi đó
ứ ạ ể 1. Bi u th c d ng ho cặ
m + ax bc c ổ ề ổ
ệ ạ ươ ử ụ ấ ả ị 2. Bên c nh vi c bi n đ i v t ng các bình ph ng, ta s d ng thêm tính ch t ngh ch đ o:
ﾡ
a b
(cid:0) N u ế ế (cid:0)1 1 a b
ứ ế ớ ổ ớ
+
ả ể ứ ử ụ ế ặ ộ ồ ứ ể ủ ể ổ 3. S d ng c bi u th c Denta đ tìm GTNN ho c GTLN r i m i bi n đ i thêm b t. ộ ố ớ 4. Vi t bi u th c A thành t ng c a m t s v i m t phân th c không âm.
= A m
0
(cid:0) Ta đ a v d ng:
C C D D
� � � � � �
(cid:0) ư ề ạ
ứ ủ ể Bài 1. Tìm Min c a các bi u th c sau:
2
2
2
- = = = a) A b) B c) C - - - - 1 + 4x 9 x x
=
f ) A
2
2
9x
=
=
=
g) B
h) A
i) B
2
2
2
= = d) D e) K - + 2 2 + - - 3 + 5x 1 1 + 12x 10 2 6x 5 9x 6 2x 3 x x 8
2 + + x 4
x
5 2x 5
x
x
1 + 4x 11
- - -
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 14 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
y
=
=
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
k) A
(x
0)
l) C
(x
0)
2
2
2
+ 2
3y 20xy 5y
25x
9x
+ 12xy 5y
2
(cid:0) (cid:0) - - -
(
(
) 6 1 4
) 3 1 x
+ 2 = - - - - - (cid:0) - 4 4 9 x - = - 5 6 x + + 2 x 9 x HD: a) Ta có:
2
=
=
ﾡ
ﾡ
A
2
2 4
1 2
1 2
2 2 6x 5 9x
(
) 3x 1
4
2
y
=
- - (cid:0) (cid:0) ấ , D u “ = ” - - - - - - khi = 1 x 3
C
(x
0)
2
2
9x
+ 12xy 5y
1
=
� �
y
0 A
2
t
(cid:0) Ta có: y = 0 ﾡ A = 0 k) -
12
9
5
= x y
2
x + y
x y
Đ t ặ -
2
= = = = � A �� 1 t x y - - 9t 1 + 12t 5 1 + 2 (3t 2) 1 2 3 2 3
3
=
� �
y
0 A
l) Ta có: y = 0 ﾡ A = 0
25
20
5
2 + 2
x y
x y
) - - (Đ t ặ = x t y
2
- 3 = (cid:0) A 1 A 3 t x y Vì = - � � � + 2 - - - = = 20t 5 25t 3 + (5t 2) 1 2 5 2 5
2
ạ ươ ả ỏ ấ ủ ộ ể ị ớ ấ D ng 3.2 Ph ng pháp gi i các bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a m t bi u
+ +
+ bx c + b x c '
'
ứ ạ ố ạ th c đ i s d ng
ax 2 a x ' ng pháp gi
+
m
ả ươ i: Ph
2
+
n + b ' x c '
a ' x
ự ử ứ ứ ể ư ứ ề ạ ể ẫ th c cho m u th c đ đ a bi u th c v d ng ệ 1. Th c hi n phép chia t
+
+
m
(cid:0) 0 ứ ề ạ ặ ư ể ớ ọ ho c đ a bi u th c v d ng v i m i x + v i ớ c A(x) B(x) A(x) B(x)
2
n + ax b
p + (ax b)
ề ạ ứ ế ổ ồ ặ ẩ ứ ụ ố ớ r i đ t n ph đ i v i phân th c có ể 2. Bi n đ i bi u th c v d ng
+
ứ ẫ ươ ứ ậ ủ ộ m u th c là bình ph ấ ng c a m t đa th c b c nh t
m
2
+
+
n b x c
'
'
a x '
2
ạ ứ ề ạ ự ệ D ng 3.2.1 ế ổ ư Th c hi n phép bi n đ i đ a phân th c v d ng
2
= ấ ủ ị ớ ể A(x) ứ ạ ố Bài 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c đ i s + + 3x x + 6x 10 + 2x 3
2
HD:
2
= T ừ A(x) + + 3x x + 6x 10 + 2x 3
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 15 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
2
2
+ = = A(x) = + 3 Ta có A(x) = + 3x x 3(x x 1 + (x 1) 2
Vì (x + 1)2 (cid:0)
2
2
3
= + (cid:0) (cid:0) A(x) 3 3 3 V y ậ Do đó: + + + + + + + 2x 3) 1 6x 9 1 + + + + 2x 3 2x 3 0 v i ớ " x nên (x + 1)2 + 2 (cid:0) 2 v i ớ " x. 1 1 + + (x 1) (x 1) 1 2 2 1 + = 2 1 2
1 2
Max A(x) = x = –1 2 khi (x + 1)2 = 0 (cid:0)
2
2
ứ ặ Bài 2. Tìm Min ho c Max c a ể ủ các bi u th c sau:
=
Q
2
2
3x x
+ 6x 17 + 2x 5
- - = B(x) a) v i ớ x R(cid:0) b) + - - 2x x + 16x 41 8x 22
2
2
2
2
2
HD: - - - = = ừ = - 2 B(x) + - - - + 8x 22) 3 + 8x 22 3 + (x 4) 6 + 16x 41 8x 22
2(x x 6. 0 v i ớ
(cid:0) Nên + 2 - a) T B(x) = Vì (x - 4)2 (cid:0) 3 (x 4) 6 nên (x - 4)2 + 6 (cid:0) 1 = 2
3 2
2
� B(x) = - 2 Min B(x) = khi (x - 4)2 = 0 (cid:0) x = 4 + 2 - 2x x x" 3 6 3 (x 4) 1 - = � 2 2 3 2 6
(
ﾡ
) 2 + (cid:0) + = x 2x 5 x 1
4 4
2
2
+
+
2 1 = 4 2
2 x 2x 5
2 x 2x 5
- - (cid:0) , mà b) Ta có : = + Q 3 - -
2
2
ủ ứ ể ặ Bài 3. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
2
2
=
= - 3
F
= - 3
- = - 3 5
2
2
2
2
3x x
+ 12x 10 + 4x 5
5 + 4x 5
5 + (x 2)
1
x
- = = a) b) F A - 3x x 6x 3x + + 2x 19 + + x 7 + 12x 10 + 4x 5 2 - (cid:0) HD: a) Ta có: - - -
2
2
- (cid:0) +-� � = - 2 (x 2) 1 1 5 x 2 Do - 1 5 + 2 (x 2)
2
2
2
+ = = A = + 2 b) Ta có: 6x 3x + + 2x 19 + + x 7 5 + + x 7
2
+ + =
+
+
=
= M 3x
x 7 3(x
x
83 12
- Đ t ặ 2(3x 3x 21 ) 6 + + x 7) 5 + + x 7 83 �� 12 3x 1 6
max
min
max
- = = = � � � A M A = + 2 2 x 60 83 1 6
2
2
ứ ủ ặ 5 83 12 ể Bài 4. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau:
=
=
I
N
+
+ +
2x 2 x
+ 16x 71 8x 22
2x 2 x
+ 4x 9 + 2x 4
- a) b) -
HD:
(
= + 2x 8x 22
) 2 + (cid:0) x 4
6 6
2
= + - - ạ I 2 ượ : c , mà a) H phép chia ta đ - 27 + x 8x 22
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 16 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
+ =
+
+ (cid:0)
(
2x 2x 4
) 2 + x 1
3 3
2
= + ạ N 2 ượ : c , mà b) H phép chia ta đ + + 1 x 2x 4
2
2
ứ ủ ể ặ Bài 5. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau:
=
=
A
C
2
2
x x
3x x
+ 12x 10 + 4x 5
2
2
- - a) b) - -
=
=
G
D
2
4
2
+
4x 2x
+ 6x 23 + 6x 10 + 6x 3 + 3x 2
x + x
x
1
- b) c) -
= +
A 1
= + 1
HD:
2
13 + x 6x 10
13 + 2 (x 3) 1
a) Ta có : - -
= +
C 3
= + 3
2
5 + x 4x 5
5 + 2 (x 2) 1
- - b) Ta có : - -
= +
G 2
2
1 + 2x 3x 2
2
2
=
=
+
+ (cid:0)
ﾡ
- c) Ta có : -
D
x
1 3
2
4
+
x + x
1
x
1 D
1 2 x
ụ (Áp d ng Côsi ) d) Ta có :
ạ ứ ẫ ươ ủ D ng 3.2.2 Phân th c có m u là bình ph ị ứ ộ ng c a m t nh th c
2
2
ứ ủ ể ặ Bài 1. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
=
Q
2
2x 2 x
+ 6x 5 + 2x 1
- - - = (cid:0) a) b) M (x 1) - - 2x x 10x 1 + 2x 1
HD:
= +
Q 2
= + 2
= + 2
= - 2
2
2 + x 1
+ 2x 3 + x 2x 1
+ 2x 3 2 (x 1)
- + 2(x 1) 1 2 (x 1)
1 2 (x 1)
2
- - - a) Ta có: - - - - -
+ = -
+ (cid:0) 2
Q t 2t 2 (t 1) 1 1
2
2
= - t Đ t ặ , khi đó ta có: = - 1 x 1
2
2
= -
- - - - - 2(x 6 9 = - = - 2 b) Ta có: M = + - 2x 1) 6(x 1) 9 2 - - - - 2x 2 x 10x 1 + 2x 1 (x 1) x 1 (x 1)
M
+ = - 9t 6t 2
+ + (cid:0) 2 (3t 1) 3 3
- = t Đ t ặ , khi đó ta có: - 1 x 1
4
2
2
+
+
ủ ứ ể ặ Bài 2. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
2x
x
=
H
=
=
2
A
B
x 2
+
(
x
1 ) 1
+ 4x 4 2 x
+ 4x 1 2 x
- a) c) b)
2
2
=
+ (cid:0)
+
=
+
ﾡ
A 2
+ = t A 4t 4t 2 (2t 1) 1 1
HD:
1 x
4 4 2 x x
2
, Đ t ặ a) Ta có : = + +
= - +
=
=
( + = -
ﾡ
K 1
t
) 2 K t 4t 1 t 2
3
3
1 x
4 1 2 x x
, đ t ặ - - (cid:0) - b) Ta có:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 17 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
= -
=
ﾡ
ﾡ
+ = x 1 t
2 x
t 1
= 4 x
+ 2 t 2t 1
H
+ + 2 t 2t 1 1 2 t
2 2 = - + 1 2 t t
2
=
- - , khi đó c) Đ t ặ
ﾡ
a
= H 2a
+ 2a 1
1 t
- Đ t ặ
2
ủ ứ ể ặ Bài 3. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
x
=
=
=
B
C
A
+
(
) 2
(
) 2
4x (
x + x 10
x 2016
+ 6x 1 ) + 2 2x 1
- a) c)
2
2
+
+
b)
x
x
2x 2000
x
=
=
=
F
D
E
2
+
(
) 2
x 2000
x
2x 2015 2 2015x
- - e) f) d)
HD:
=
=
ﾡ
ﾡ
+ = 2x 1 t
x
2 x
t 1 2
+ 2 t 2t 1 4
2
2
- - , Khi đó : a) Đ t ặ
( - +
2
) + - 2t 1 3 t 1 2 t
- - t 1 t = = - + = = ﾡ a A 1 5a 5a , Đ t ặ A 1 t + 5t 5 2 t
=
= -
=
= -
+ 2
ﾡ
ﾡ
ﾡ
+ x 10
t
t 10
x
= B
a
B
10a
a
1 t
t 10 2 t
- , Đ t ặ b) Đ t ặ
+
=
= -
ﾡ
ﾡ
x 2016
t
t 2016
x
= C
2
1 2016 = - t
t
2
=
= -
ﾡ
a
C a 2016a
- , c) Đ t ặ 5 5 = - + 1 2 t t 1 10 = - 2 t t t 2016 2 t
1 t
2
Đ t ặ
2
+
= = - ﾡ D 1 a + D 1 2a 2000a , Đ t ặ d) Ta có : 2 = - + x 2000 2 x 1 x
x
2x 2015
=
2015E
= - 1
2
x
2015 2 x
2 + x
2
2
=
= -
+
- , e) Ta có :
ﾡ
ﾡ
a
2015E 1 2a 2015a
= E a
+ .a
1 x
1 2015
- Đ t ặ
2
2
2 2015 1 t
- = = - + = = ﾡ ﾡ a F a 2000a x 2000 t F , Đ t ặ f) Đ t ặ t 2000 2 t
2
2
ủ ể 1 2000 = - t ứ t Bài 4. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau
=
=
B
E
x 1 + 2x 1
x 2 x
3x 2 x
+ 8x 6 + 2x 1
- b) a) ặ - + + -
2
2
HD:
= -
ﾡ
ﾡ
+ = x 1 t
t 1
x
x
+ 2t 1
2
= - B , Đ t ặ a) Ta có: x ( - + x 1 ) + 2 x 1
t
2
=
ﾡ
B
+ 3t 3 2 t
3 = - + 1 t
3 2 t
- = - ﾡ a = B 3a + 3a 1 , Đ t ặ 1 t
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 18 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
3x
=
=
= 2
+ 2
ﾡ
ﾡ
E
- = x 1 t
= + x
t 1
x
t
+ 2t 1
+ 8x 6 2
3x 2 x
(x 1)
2
2
+
- - Đ t ặ b) Ta có : - -
( 3 t
+ 8x 6 + 2x 1 ) ( + + 8 t 1
6
3t
=
=
E
2
+ 2t 1 2
) + - 2t 1 t
2 = - + 3 t
1 2 t
2
- ,
(
t ) 2 + (cid:0) a 1
4
2
= - - ﾡ a = E a + = 2a 3 2 2 Đ tặ : 1 t
2
2
- - 1 = E ủ ặ Bài 5. Tìm Min ho c Max c a: 4x (x x + 1)
4
2
+ - 2
+ + 2
HD: Ta có:
1
+ 4 4(x
2x
1) 4
=
=
E
= - 4
2
2
2
2
2
+
9 + 2
4 +
4x (x
x + 1)
1) 9(x 2 1)
(x
x
+ 1 (x
1)
- -
E 4
2t
4
9 = - + t
4 = 2 t
9 4
81 + 16
2 � � � � � �
= - - t Đ t ặ c ượ x
2x
Ta có: 1 + , ta đ 2 1 ﾡ + (cid:0) t 1(cid:0) 1 1
=
=-
2
2t
E
1
t 1
x
0
9 = - =- � � 2t 4
1 4
9 4
1 16
1 17 16 16
2 9 � � �� � �� � 4 � �
- (cid:0) - -
2
= -
ả ờ L i gi i khác
E 1
0 A
1
x
0
2
+ 4 5x x = + � � + 2 (x 1)
4
2
=
(cid:0) Ta có:
�
= �
E
- = - 0 1
1
x
0
2
2
4x + 2
+ +
1)
(x
x 2 (x
1 1)
- Cách khác:
2
+
2x
ứ ủ ể ặ Bài 6. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau
=
A
+ 4x 4 2 x
= E a) b) + 2x 1 2 x
2
HD:
2
=
+
ﾡ
E
a
= E a
2a
, Đ t ặ = + + = + ﾡ A 2 a = A 4a + 4a 2 a) Ta có: 4 x 4 2 x 1 x
1 x
2 1 2 x x
, Đ t ặ b) Ta có : = +
+ - 2 - = ủ ặ B Bài 7. Tìm Min ho c Max c a: - x 2 x x 11 + 2x 1
2
2
+ - 2
HD: Ta có:
+ x
(x 1)
(x 1) 11
1
11
=
=
=
= -
B
1
- + - 2x 1 x 1 11 2
2
2
x 2 x
x 11 + 2x 1
(x 1)
(x 1)
x 1 (x 1)
2
2
= -
- - - - - - - - - - - - - - -
�
A
= - 1 y 11y
+ + = - 2 (11y
y 1)
+ 2.y.
2
1 22
1 + 2 22
1 22
1 11
� + 11(y � �
� � �
- - - = y Đ t ặ - 1 x 1
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 19 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
= -
+ 2
�
)
+ 11(y
)
= y
= - x
21
1 22
43 44
43 44
1 22
43 �� 44
1 22
� + 11(y � �
� = � �
- - - -
2
x = (cid:0) - ủ ặ C (x 5) Bài 8. Tìm Min ho c Max c a: + x + 10x 25
HD: Ta có:
2
2
2
2
- x = = = = - C + x + 10x 25 x + (x 5) + (x 5) 5 + (x 5) 1 + x 5 5 + (x 5)
- =
�
�
A 5t
- = 2 t
5 t
1 20
1 20
2 1 � � � � 10 � �
- = - - t Đ t ặ 1 + x 5
2
= = (cid:0) t x 5 1 = � � � A 20 1 10 1 + x 5 1 10 2 + - = (cid:0) ủ ặ (x 1) D Bài 9. Tìm Min ho c Max c a: - x x 4x 14 + 2x 1
2
2
HD: Ta có:
2
2
+ - - - - (x + + 2x 1) 6 9 = = - D = + 1 (6x 6) 9 2 - - - - x x 4x 14 + 2x 1 x 1 (x 1) (x 1)
= = + = - 2 - - ﾡ t D 1 6t 9t + (cid:0) 2 (3t 1) 2 2 Đ t ặ - 1 x 1
2
2
2
+
+
+ 2
+ -
= ﾡ t x 1 Cách khác: Đ t ặ - 1 x 1 1 = + t
�
= A t
4 1
14
(t 1)
= - 2 4t(t 1) 14t
+ (3t 1)
� 2 2
1 t
1 t
� � � � � + 1 � � � � � � � � � � �
� = + � � � 2
=
- -
(
A
x
) 1
+ + x 1 x + 2 (x 1)
(cid:0) - ặ ủ Bài 10. Tìm Min ho c Max c a:
2
2
+
(x
=
=
+
A
= - 1
+ + (x 1) 1 2
2
1 +
1 +
+ + x 1 x + 2 (x 1)
+ - 2x 1) + (x 1)
x 1 (x 1)
HD: Ta có:
= 2
ﾡ
�
= - + A 1 y y
A
= � y
= x 1
y
= min
3 4
3 �� 4
3 4
1 2
= - y Đ t ặ 1 + x 1
2 1 � � + � � 2 � � ứ ể
2
2
2
+
ủ Bài 11. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
=
(
) x 1
A
2
2
x +
y + 2xy y
x
- x = (cid:0) B a) b) ặ + 3x 3 2 - (x 1)
2
2
- +
HD:
x
(x
+ - 2x 1)
1
1
=
=
+
B
= - 1
+ 3x 3 2
(x 1) 1 2
2
(x 1)
x 1 (x 1)
(x 1)
2
- - a) Ta có: - - - -
2 1 � � + � � 2 � �
= = - ﾡ B � Đ t ặ y y - + = y 1 = y = x 3 y - 1 x 1 3 4 3 �� 4 1 2
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 20 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
)
)
(
2
2
( � �
2
2
2
2
)
( (
) )
+ - x y - + � � 1 2 = = = = b) � A . minA x y x + + x y ( y + 2xy y x 1 = + 2 1 2 1 �� 2 1 2 + x y x y + x y
2
2
ứ ủ ể ặ Bài 12. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau
x
=
=
C
B
4x (
+ 6x 1 ) 2
x 2
+ 4x 1 2 x
2
2
- - a) - b)
=
=
E
F
2
2
-
+ +
4x x
+ 22x 19 + 4x 4
9x 9x
+ 30x 7 + + 6x 1
c) d)
2
2
=
+ =
=
HD:
(
ﾡ
) t B t 4t 1 t 2
3
3
B 1
1 x
4 = - + x
1 2 x
2
+
4t
= 2
+ 2
=
+
ﾡ
- - - (cid:0) - , đ t ặ a)
- = x 2
t
x
t
+ 4t 4
C
= + 4
+ 10t 5 2 t
10 t
5 2 t
2
, khi đó : , b) Đ t ặ
= = + ﾡ a + C 5a 10a 4 Đ t ặ 1 t
) ( + 6 t 2 3
= +
E 4
(
+ 6x 3 ) 2 + x 2
2 t
- = + , Đ t ặ c) ﾡ + = x 2 t E 4 6 9 = + - 4 2 t t
= = - + + 2 ﾡ a I 9a 6a 4 Đ t ặ 1 t
= + F 1
ﾡ
ﾡ
+ = 3x 1 t
= - 3x t 1
= + F 1
(
3t 3 8 2 t
3 11 = + - 1 2 t t
24x 8 ) + 2 3x 1
- - - , đ t ặ d)
= = - + 2 + ﾡ a K 11a 3a 1 Đ t ặ 1 t
-
2 x
2x 2011
=
(cid:0) ạ ế ổ ư ứ ề ạ ự ệ c 0 D ng 3.2.3 Th c hi n bi n đ i đ a phân th c v d ng + (v i ớ ) A x ( B x ( ) ) A x ( ) B x ( )
A
+ 2 x
ể ể ứ ớ ạ ị ủ Bài 1. Tìm giá tr c a x đ bi u th c ị ỏ ấ (v i x > 0) đ t giá tr nh nh t
-
-
+
-
2 x
2 2x 2011 2011x
2 (x 2011)
=
=
=
A
HD:
+ 2 x
2 2.2011x 2011 2 2011x
2 + 2010x 2 2011x
-
2 (x 2011)
=
=
+
A
2010 2010 ﾡ 2011 2011
2 + 2010x 2 2011x
Ta có:
2 - (x 2011) 2 2011x ứ ể
2
2
+ +
( 2 x
x
Bài 2. Tìm Min và Max c a các bi u th c sau:
=
=
N
C
2
2
+ + x 1 + 1
x
1
x
a) b) ủ ) x 1 +
HD:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 21 tdhoangclassic@gmail.com
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ ng h c sinh gi i toán 8
( 2 2 x
2
+ +
+ + + + 2 (x 1) = + (cid:0) = = a) Ta có : 1 1 C + + (x 2x 1) + 2 x 1 + 2 (x 1) + 2 x 1
+ 2
+
2 (3x 3)
=
=
=
+ (cid:0)
C
3 3
) x 1 + 2 x 1
) ( x 1 + 2 x 1
+
2 x
- + ( x 2x 1) + 2 x 1 + 2 (x 1)
=
=
=
+
- - Chuyên đ b i d ) x 1 + 2 x 1 ( 2 2 x - ặ M t khác :
N
+ + + + 2 x 1 (x 2x 1) + + 2 x 1
2 2(x 1)
2
(cid:0) b) Ta có:
+ 2
+ 2
2 x
=
+ (cid:0)
=
=
N
- + +
1 1 2 2 ) x 1 +
3 3 2 2
+ + x 1 ( x 2x 1) 3x 3 + 2 x 1
2 2(x 1)
+ 2 (x 1) + 2 2(x 1) ( ) ( 2 2 x 1
- - - ặ M t khác :
ứ ủ ể ả Bài 3. Tìm c Min và Max c a các bi u th c sau
- - = = b) a) M K 27 12x + 2 9 x 3 4x + 2 1 x
HD:
ế ể ẩ : a) Nháp đ nh m GTLN và GTNN n u có
1
2
2
D =
ﾡ
+ 16 4a
= 12a
0
= - =
4
a a
(cid:0) - - = = + 2 + - = ﾡ (cid:0) a ax + = - a 3 4x a.x 4x a 3 0 , Xét (cid:0) 3 4x + 2 1 x
2
x = -
2
+ 2 - x = - (cid:0) - K - = 1 1 1 Khi đó ta có : , D u «ấ = » khi + 4x 4 + 2 1 x 3 4x � � + 1 �+ � 2 x 1 � �
=
x
2
1 2
- - - - - = + (cid:0) - K 4 4 4 ặ M t khác : , D u «ấ = » khi 4x x 4x 1 + 1 3 4x � � + 2 x 1 � � + = 4 � �
2
- + = + 2 + = - - ﾡ ﾡ a.x 9a 27 12x a.x = 12x 9a 27 0 a b) Nháp : 27 12x + 2 9 x
4
D =
=
)
ﾡ
( ' 36 a 9a 27
0
= = -
a a
1
2
(cid:0) - - (cid:0) Có (cid:0)
(
) 2 + (cid:0)
2
2
- - - - - - 4x = - Khi đó ta có : M 4 + = 4 4 4 27 12x + 2 9 x 12x 9 + 9 x 2x 3 + 2 9 x � � � � + = 4 � �
(
) 2
- - - x = + - (cid:0) - ặ M t khác : M 1 - = 1 - = 1 1 1 + + 27 12x + 2 9 x 12x 36 2 9 x x 6 + 2 9 x � � � � � �
= ả P ủ Bài 4. Tìm c Min và Max c a: + 8x 3 + 2 1 4x
2
2
HD:
D =
=
= + - = - ﾡ ﾡ a 4a.x + = a + 8x 3 4a.x 8x a 3 0 Nháp :
)
ﾡ
a
= - 4; a
1
- - + 8x 3 + 2 4x 1 ( ' 16 4a a 3 Có
(
2
) 2 4x 1 + (cid:0) + 2 1 4x
- - + 2 - - = - Khi đó : P 4 + = 4 4 4 + 8x 3 + 2 1 4x 16x 4x 8x 1 + 1 � � � � + = 4 � �
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 22 tdhoangclassic@gmail.com
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi
+ 4x = - (cid:0) - ặ M t khác : - = 1 P - = 1 1 1 + 8x 4 + 2 1 4x i toán 8 ) 2 ( + 4 x 1 + 2 1 4x + 8x 3 � + 1 �+ 2 1 4x �
+
+
=
=
=
>
A
B
C
(x
0)
ứ ể � � � ủ Bài 5. Tìm GTNN c a các bi u th c sau:
+ 8x 12 + 2 4 x
+ 4x 2 + 2 2 x
(x 2)(x 8) x
a) b) c)
2
2
2
HD:
2
2
+ + - - x 4 = = - A = - + 1 � � 1 = - x 4 a) 8x 16 x + 2 + 8x 12 + 2 4 x 4 + (x 4) + 2 4 x
2
+ + 2 + - (x (x 2) = = = - - B 1 � � 1 = - x 2 b) + 4x 2 + 2 2 x x + 4x 4) + 2 x 2 (x 2) + 2 2 x
+ + - = > = + = C (x 0) �� 18 18 4 x c) (x 2)(x 8) x
=
=
B
C
(x 4) x ể ủ ứ Bài 6. Tìm GTNN, GTLN c a các bi u th c sau:
+ 2x 1 + 2 2 x
+ 4x 3 + 2 1 x
a) b)
2
2
+
+ 2
HD:
(x
2)
=
=
=
=
�
B
B
= - x
2
= min
2
2
+ 4x 2 + 2
2(x
2)
+ 4x 4) + 2(x
(x 2)
+ (x 2) + 2 2(x
2)
1 2
1 �� 2
1 2
2
+ 2
- - - - a)
x
=
=
=
+
=
+
=
�
B
�� 1 1 A
1
= x 1
max
2
2
2
+ 4x 2 + 2
+
+ 2x 1 + 2 x + 2x 1 + 2 2 x
x
2x 1 + 2
+ 2 x x
2 2
(x 1) + 2 x
2
2
2
2(x +
- - - -
2) + - 4x 4 x + 2
2
- x 1 = = = - - C 1 � � 1 = - x 2 b) + + 4x 3 + 2 1 x x + (x 2) 2 1 x
2
+ 2 - - - 4x 4 = = = + = �� C 4 4 x + 4x 3 + 2 1 x 1 + - + 2 4x 1 4x + 1 x (2x 1) + 2 1 x 1 2
ủ ứ ể Bài 7. Tìm GTNN, GTLN c a các bi u th c sau:
- - = = a) A B 2x 1 + 2 2 x 6x 8 + 2 1 x b)
HD:
2
2
2
- = + = + - ﾡ a a.x 2x 2a 1 0 , a) Nháp :
) = = - ﾡ ' 1 a 2a 1 1 2a a
+ D = - - 2x 1 + x 2 ( a ;a 1 có 1 = - 2
=
+
A
2
+
) x 2 +
1 = 2
1 1 2 2
2x 1 1 + 2 x 2
+ 2 x 4x 4 1 = ) ( 2 2 2 x 2
( 2 + ) ( 2 2 x 2
� � �
� + � �
- - - - - - (cid:0) Khi đó :
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 23 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d
2
2
2
ng h c sinh gi ( + + 2 - = + - = - (cid:0) - ặ M t khác : A 1 1 1 2x 1 + x 2 x 2x 1 + x 2 i toán 8 ) 2 + x 1 + x 2 � � � � - = 1 1 � �
2
D = -
- = + + = - ﾡ a a.x 6x a 8 0 , có: b) Nháp :
= ﾡ
+ = 2 a 8a 9 0
= - a 1; a
2
- 6x 8 + 2 x 1 ) ( = - + ' 9 a a 8
9 ) 2 ( x 3 + (cid:0) + 2 x 1 (
- - - - - = - Khi đó : B + = 1 1 1 6x 8 + 2 x 1 + x 6x 9 + 2 x 1 � � � � + = 1 1 � �
) 2 + 3x 1 + 2 x 1
+ + 2 - = + - (cid:0) - ặ M t khác : B - = 9 9 9 6x 8 + 2 x 1 9x 6x 1 + 2 x 1 � � � � - = 9 9 � �
ứ ủ ể Bài 8. Tìm GTNN, GTLN c a các bi u th c sau:
= = a) b) M P + + 4x 1 + 2 3 x + 12x 13 + 2 2x 3 x
2
HD:
)
( ' 4 a 3a 1 0
2
2
- = D = - = = + = - - = - ﾡ ﾡ a.x 4x 3a 1 0 a 1;a a , có a) Nháp : 4 3
2
= + + = - - ﾡ a a.x 2a.x 3a 12x 13 0 , b) Nháp :
(
)
2
+
3x
=
= = - - - = - ﾡ D = ' + 4x 1 + x 3 + 12x 13 + 2 x 2x 3 ( a 3a 13 0 + ) a 6 a 4;a Có 9 2
N
2
+ 4x 8 + 3
x
ả ủ Bài 9. Tìm c Min và Max c a:
2
HD:
3x
2
+
+ =
=
=
ﾡ
a
a.x
4x 3a 1 0
N
= + 3
+ + +
4x 1 + 2 3 x
4x 1 + 2 3 x
- - - - Ta có: , Nháp :
D = -
=
=
9 4x 1 2 3 x )
ﾡ
( + ' 4 a 3a 1 0
= a 1; a
2
- Có
4 3 (
x
=
) + (cid:0)
N
1
4 4
2
+ 4x 4 +
x
3
-� 4x 1 � + 2 x 3 �
� + + = 1 3 � �
)
(
- - - Khi đó ta có :
4x
=
+
N
+
4 3
4 - + = 3 3
5 + = 3
2 5 + (cid:0) ) 3
5 3
+ 2 ( 3 x
+ 12x 9 ) 2 3
+ 2x 3 ( + 2 3 3 x
4x 1 � � + 2 x 3 �
� � �
- ặ M t khác :
2
2
- +
ứ ể ủ Bài 10. Tìm GTNN c a các bi u th c sau:
7y
=
=
B
(x 1)
A
x 1 2
2
2
x (x 1)
4xy + 2xy 2y
x
- (cid:0) a) - - b)
HD: a) Ta có:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 24 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
2
- +
+
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
4x
+ 2x 1 3x
=
=
=
+
=
+
= -
B
x
1
x 1 2
+ 4x 4 2
2
+ 6x 3 2
2
- -
x (x 1)
+ 2 x 4(x 1)
4(x 1)
(x 1) 4(x 1)
3 4
3 �� 4
4(x 1)
- - - - -
(0,0)
2
2
2
(cid:0) ề b) Đi u ki n
A 1
0 A
1
x
3y
0
2
(x 3y) + 2 (x y)
y
2
- - (cid:0) - - ệ (x, y) + 6xy 9y = = + + 2 2 y
= = A 4
0 A 4
x 1; y
2
2
2
+ 2
x = - � � � (x y) + 2 (y (cid:0) = =- � � (x y)
2 4xy 4x ) y
(2x y) + 2 y (x y)
- - - - (cid:0) - -
=
=
ứ ủ ể Bài 11. Tìm GTNN, GTLN c a các bi u th c sau
f ) A
E
3
+ 3(x 1) + + + 2
4x + 2
x
x 1
x
4x
1
b) a)
2
2
HD:
2
+ - - 4x 1 4x = = E = - 1 =�� x 1 a) 4x + 2 4x 1 1 (2x 1) + 2 1 4x 1 2
=
=
=
=
=
�
A
�� 3
x
� 0 A
3
x
0
+ 2 - - - + 2 1 4x + 2 4x + + 2 1) (4x + 4x 1) = = - E = - + 1 =� � x 1 4x + 2 4x (4x + 2 1 + (2x 1) + 2 1 4x 1 2
max
3
x
x
x 1
b) 1 + 3(x 1) + + + 2 4x 3 + 2
x ể
1 ứ
ủ Bài 12. Tìm GTNN c a các bi u th c sau:
+
2x
=
(
)
D
(x R)
+ 2010x 2680 + 2
1
x
+ a) (cid:0) = (cid:0) b) A x R + 15x 16 3x
2
2
HD:
2
2
+ + - 335(x 1) = = = D a) Ta có: + 2010x 2680 + 2 335(6x 8) + 2 x x 1 + - 6x 9 x + 1 x 1 2 = - - 335 � � 335 = - x 3 335(x 3) 2 + + x 1
(
) 2
+
(
)
- + x = = + = = � A � x R minA x 4 b) Ta có: + 15x 16 3x x 4 3x 23 3 23 �� 3 23 3
2
2
2
+
ứ ủ Bài 13. Tìm GTLN c a các bi u th c sau:
1
=
(
)
A
x, y R
4
2
4
x 2
+
( 2 y y + 4 2y
xy 2 x y
x
2
- = a) b) (cid:0) A + ể ) + + x + x x 1
2
2
4
HD:
4
4
) + +
(
)
( 2 y y + 4 2y
+ - 1 = = A x 2 + + a) Ta có: xy 2 x y x 2 + y 1 ) ( + 2 1 x y 2
=
A
4y
4y
2
1 +
x
2
+ (cid:0) " ả ử ượ 1 0 x Vì nên chia c t ẫ và m u cho c: 1+ ta đ
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 25 tdhoangclassic@gmail.com
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
x
� � 0 x
+ 2 x
= � � 2 x A
2
x
� 0; y R
2
1 +
x
2
1 = � � 2
=
� �
" " Vì
=� 0 A 0
0 A 0>
0(cid:0)
P
= �� A
ấ ủ ị ớ ả ị ớ x giá tr này không ph i giá tr l n nh t c a A vì v i b) Xét x
max
P min
Xét x đ t ặ
2
2
4 x =
+ Ta có P 1 = + (cid:0) x 2 P 2 1 3 3 x 1 P min 1 + + + = = 1 ; x 2 x
1 A + 2 x = � � � � 2 x ặ
2
2
2
ủ 1 2 x ứ ể Bài 14. Tìm GTNN ho c GTLN c a các bi u th c sau:
2
2
+ + - - x x 2x 2016 x = = = (cid:0) a) b) c) A (x 0) D C + 2x 3 2 x x + 2x 3 + 2 x
2
2
2
HD:
min
2
2
2(x
=
=
+
= -
C
x
2
2
2
+ 2x 3) + 2)
x 2(x
+ 2 + 2)
2)
1 �� 2
1 = + 2
2
2
2
2
2(x +
+ 2
- - - x 3(x = = + = = = = � A x � 3 A x 3 a) + 2x 3) 2 2 3 2 �� 3 2 3 (x 3) 2 3x 2 + 2x 3 2 x + 3x + 2 b)
x
2x
2(x
+ 2x 3
=
=
=
=��
C
= - 2
2
x 1
2
x 2(x + 2 +
x
x 2 x
(x 1) + 2 2 x
2
+ 4x 4 + 2 2) + 2x 3 2 2
+ (x 2) + 2 2(x + 2) 4 x + 2 2 x 2
2
+ 2x 3 + 2 +
- - - -
x
2x 2016
2016x
=
=
=
+
=
��
D
x
2016
2
x
+ 2x.2016 2016 2 2016x
(x 2016) 2 2016x
2015 2016
2015 2016
2
- - - c)
2
= ủ ứ ể A Bài 15. Tìm GTLN c a các bi u th c: 6x 3x + + 2x 19 + + x 7
2
2
HD:
2
2
2
+ = = A = + 2 6x 3x + + 2x 19 + + x 7 2(3x 3x 3x
2
- + + = + + = = M 3x x 7 3(x x Đ t ặ + + x 7) 5 + + x 7 21 ) 6 83 12 83 �� 12 5 + + x 7 1 6
max
min
max
- = = = � � � A M A = + 2 2 x 60 83 1 6
2
2
2
5 83 12 ể ủ ứ Bài 16. Tìm GTLN, GTNN c a các bi u th c sau:
2
2
2
+ - - 3x = = = a) b) c) A B C + + + 2x 3 + 1 x x x 2x 2 + + x 1 3x x + 6x 10 + 2x 3
2
2
2
2
2
2
2
HD: + 3x = = + = - A = + 2 �� 2 x 1 a)
2
2
2
2
2
2
2
x + - - (x 3x = = - A = - 4 =�� 4 x 1 + + + + x x + (x 1) + 2 1 x (x 1) + 2 1 x - - - 2(x 2 x 2 4x 2 x 2 3x = = = - - B =� � x 2 2 0 b) + (x 1) + 2 1 x + 2 2x 1) + 1 + 2x 2) + + 3x + + + 2x 3 + 1 + 2x 3 + 1 2x 2 + + x 1 1) 1 4 1 + (2x 2 x x 1 x x x 1 x
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 26 tdhoangclassic@gmail.com
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
- =
=- = � � 0 A
x
�� 2
2 A
2
2
x
2
3x + +
x 1
- =- = 2 x
1 2
1 x
1
3 3 4
1 2 x
- (cid:0) V i ớ
max
2
2
2
2
2
= + �� A [ A 3 = + 3 ] max + + + c) Ta có: 1 + (x 1) 2
3 1 + + x 1 + (x 1) + = 2 2
= - + � 1 + 2x 3 � � 1 x 2] + (x 1)
max
- = (cid:0) x 1 x 1 A + 2 x 7 2 2
2
+ [(x 1) 1 = - = � � � + 2 (x 1) ặ
min 1 2 ủ Bài 17. Tìm min ho c max c a: + 6
x
=
=
D
D
2
2
512 + 8
x
6
4
3
2
+
+ +
+
x x 4x
1 1 16x
+ 80x 356
=
=
- a) b)
E
F
27 2
4
2
x + 3
56x +
6x
x
3x
+ 9x 9
x
+ + 2x 5
c) d) - -
2
4
+ 2
=
=
HD:
- - (cid:0)
(
ạ ượ : c
) 2 + B x 8x 64 x 4
48 48
2
=
H
= - 1
c) H phép chia ta đ
+
d) Ta có:
+ - x 1 2 + 2 x 1 ượ : c e) H phép chia ta đ
2 + 2 x 1 + = 2 E x 3x 3
=
+
+
(
ạ
) + 2 F 4 x 2x 5
2
+
256 + x 2x 5
+ =
+
+
=
ạ ượ c: , f) H phép chia ta đ
ﾡ
x 2x 5 t
= F 4t
��
2 4t
18 (Cauchy)
256 t
256 t
Đ t ặ 2
2
2
ủ ứ ể ặ Bài 18. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau:
=
=
B
C
2
2
x +
x
2x 2010
+ 2 x + + 2 x 2
x
2
+ (cid:0)
=
=
- a) b) c) = A 8 + - 3x 2 HD:
ﾡ
3x 2 2 A
4
8 2
8 + 2 3x 2
(cid:0) a) Ta có :
2
2
=
+
=
+
ﾡ
a
a.x 2a.x 2010a 2x 2010 0
2
2
=
+
- = + ạ B 1 ượ : c , b) H phép chia ta đ - 2x 2010 + x 2x 2010 - - - Nháp : -
)
(
ﾡ
D = '
2x 2010 + x 2x 2010 ( ) + a 1 a 2010a 2010 0
= - a
= 1; a
1 2009
=
+ +
- Có
ﾡ
a
2 a.x
- = 2 2a x 2 0
- , c) Nháp :
2
D =
(
(
=ﾡ
+ 2 x 2 + + 2 x 2 x ) ) a 4 a 1 .2 a 1
a
8 2 2 7
(cid:0) - - - ươ ự ư có Làm t ng t nh các bài trên
2
2
2
+
ặ ứ ủ ể
3x
=
=
=
A
B
C
2
2
+ 2x 3 + 2x 3
3x 2 x
x x
4 4
+ 2x 3 + 1
x
- b) a) Bài 19. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau: + + - c)
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 27 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
+
+
2
2
=
- =
+
HD:
ﾡ
a
a.x 2a.x 3a x 2x 3 0
2
2
+
- = 2
- - - , a) Nháp : -
= (cid:0) ﾡ
x 2x 3 x 2x 3 ) + a 1
+ ) ) ( ( - = - 3 a 1 a 1
D = '
2a 8a 2 0 a 2
3
( ư Làm nh các bài trên.
2
+
- - có
B =
1
= - 3
2
- (cid:0) b) Ta có:
=
C
= + 3
- c) Ta có:
8 + x 4 2x + 2 x 1 ứ ể
2
2
2
1
=
=
H
G
2
4
y 2
ặ : Bài 20. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau 2 - - a) b) -
3x 12 8 + 2 x 4 + - 2 3x 3 2x + 2 x 1 ủ ) + +
+
3x x
+ 6x 17 + 3x 5
( + x y x x + 4 2 x y
2x
2
y
4
2
2
=
=
=
G
4
2
2
4
4
1 +
+ 4 +
+
+
+ x y x + 4 x y 2x
+ x y 1 + + 2 2 y
y
2
x ) 1
1 ( 2 y x
) 1
( 2 x
HD: - a) Ta có :
2
D = -
= 2 ' 1 a
= (cid:0) ﾡ 0 a
1
2
- = + = + ﾡ a a.x 2x a 0 Nháp: , có
2
- - = + (cid:0) C - + = 1 1 3 2 2 Khi đó: + x 2x 1 + 2 x 1 2x + 2 x 1 � � � � 2x + �+ 2 x 1 �
) 2 ( + x 1 + (cid:0) + 2 x 1
= +
- - - - - = - ặ M t khác: C + = 4 4 4 x 2x 1 + 2 x 1 � � � � 2x + + = 1 1 3 �+ 2 x 1 �
H 3
+ 3x 2 + 2 x 3x 5
2
ạ ượ : c b) H phép chia ta đ -
= - = - - ﾡ a + a.x 3a.x 3x 5a 2 0 Nháp : , -
2
2
) = - 4a 5a 2
(cid:0) D = - - Có , + 3x 2 + 2 x 3x 5 ( ) ( + 9 x 1 =ﾡ + = + 11a 26a 9 0 a 13 2 67 11
2
2
ủ ứ ể ặ Bài 21. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau
=
=
I
P
x 4
+
+
2x 2 x
+ 16x 71 8x 22
x
1
- a) b) -
= +
HD:
(
I 2
= + 2x 8x 22
) 2 + (cid:0) x 4
6 6
2
27 + x 8x 22
- - ạ ượ : c , mà a) H phép chia ta đ -
2 at
2
4
= = - + = ﾡ ﾡ ﾡ t a t a 0 = (cid:0) a b) Nháp : Đ t ặ 2 x t + 2 t 1 1 2 2
(
=
+
P
+
+
1 2
1 1 2 2
2 x + 4 x 1
- - (cid:0) Khi đó : ,
) + 2 x 1 ) ( 4 2 x 1
� � �
� � � ﾡ
+ + 1 x 2x 1 1 - = - = ) ( 2 2 4 2 x 1 ấ ị ko có giá tr nh nh t
ỏ ấ ằ ả Không x y ra d u b ng
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 28 tdhoangclassic@gmail.com
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi
+ (cid:0)
=
+
P
+
+
1 1 2 2
2 x + 4 x 1
1 2
1 = 2
+ 4 2 x 2x 1 1 = ) ( 4 2 2 x 1
� � �
� + � �
- - - - - ặ M t khác : i toán 8 ) ( 2 x 1 ) ( 4 2 x 1
2
2
3
ủ ứ ể ặ Bài 22. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau:
x
2
=
=
Q
:
F
2
2
2
+
x
x
x
+ x 3
1999 + x 2
x + 2 x 3
2
x x
+ 2x 2 + 2x 2
2
- - a) - - b) HD:
=
Q
= - 1
2 1999 + x
+ x 2x 1999 2 x
2 x
2
- ự ệ ượ : c a) Th c hi n phép tính ta đ
2
= +
=
+
+
=
ﾡ
a
+ a.x 2a.x 4a 2a 0
2
2
+
+
+
+
4x x 2x 2
= + = - ﾡ t Q 1999t 2t 1 Đ t ặ 1 x - - Nháp : , b) Ta có:
F 1 (
ﾡ
D = '
4x x 2x 2 ) 2 = + a 2
a.2a 0
= (cid:0) a 2 2 2
- có
2
2
ủ ứ ể Bài 23. Tìm min ho c max c a các bi u th c sau:
3x
=
=
N
A
+ 6x 14 + 2 5
2x
x
- b) a) ặ + 1 x - + 2 x 1 HD:
=
- + =
D =
=
=
(
ﾡ
ﾡ
a
2 a.x
a.x x a 0
) 2 + a 1
= a 1;a
1 3
2 x x - + x 1
2 x
= + A 1 a) Ta có : x - + x 1 - - - Nháp : , có
= +
A 1
2
2
x - + x 1
+ 2 x 2x 1 - + 2 x
4a.a 0 ) 2 x 1 x 1
( - + 2 x
� � 2 x �
2
x 1 +
+
- - - - (cid:0) Khi đó :
= + A 1
x - + x 1
� + = + 1 1 2 � � 1 3
� � � 1 2 - = + 3 3
2 3
� = - � � + x 2x 1 ) ( - + 2 x 1 3 x
� � 2 x �
� � �
2
(cid:0) ặ M t khác :
2
=
+
=
ﾡ
a
+ 2 2a.x 5a 3x 6x 14 0
- - - b) Nháp :
+ 3x 6x 14 + 2 2x 5 ) (
(
) ' 9 2a 3 5a 14
= D = - = - - = ﾡ 0 a 1;a Có 33 10
= + - - x y N ấ ủ ị ớ ớ Bài 24. Tìm giá tr l n nh t c a v i x, y > 0 x y y x
y
xx
yy
yx
xy
x
x
y
y
x
y
(
)
(
)
x
y
y
x
xy
xy
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HD: Ta có: x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) N = =
x
y
x
y
x
y
x
y
(
).(
)
(
)
.(
)
xy
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 0 (cid:0) x,y > 0 N =
x
y
xy Nmin = 0 (cid:0) ậ V y : Nmin = 0
(cid:0) (cid:0) x = y (cid:0) (cid:0) 0(cid:0) x = y > 0
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 29 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
2
2
2
2
ứ ủ ể ặ Bài 25. Tìm min ho c max c a bi u th c:
2
2
2
2
- - - 5y x = = = a) b) c) H Q R + - - 2x 2 x + 2xy 9y + 2 2xy 5y 3xy + 3xy 4y x 4y + 4xy 5y 3x
HD:
2.
9 :
2.
5
2y ta đ
x + y
x + y
2 x 2 y
2 �� x + �� 2 y ��
� � �
2
- ử ượ ẫ và m u cho c: a) Chia cá t
=
=
ﾡ
t H
= - 2
+ +
+
x y
� = H 2. � � + 6t 1 + + 2 t 2t 5
= -
+ 2
+ =
+
ﾡ
a
+ at 2at 5a 6t 1 0
- Đ t ặ
2
Nháp : ,
(
2t 2t 9 2 t 2t 5 + 6t 1 + + 2 t 2t 5 ) ( ) = + a 5a 1 0 a 3
+ - ﾡ ố D = ' = - a = 1;a Có : , làm gi ng các bài trên 9 4
=
=
ﾡ
t Q
2y ta đ
x y
5 3t + 2 t 3t 4
2 x 2 y
- 5 3. - = Q ả ử ượ ẫ và m u cho c: , đ t ặ b) Chia c t - - 3. 4 x y x + y
2
=
- =
+
ﾡ
a
+ at 3at 4a 3t 5 0
2
- - Nháp : , -
D =
=
(
)
5 3t + 2 t 3t 4 ) ( 9 a 1
4a 4a 5 0
= - - - - ﾡ a = 1;a có : 9 7
4
=
R
2y ta đ
2 t 4 + 2 3t 4t 5
3.
4.
5
x + y
2 x 2 y 2 x 2 y
- - = = ﾡ ả ử ượ t R ẫ và m u cho c: , Đ t ặ c) Chia c t - x y -
2
=
+ = 2
+
ﾡ
a
3at 4at 5a t 4 0
- - - Nháp : , -
(
2 ' 4a
2 t 4 + 2 3t 4t 5 ) ) ( + 3a 1 5a 4
D = = = - - = - ﾡ 0 a 1;a Có 4 11
2
2
2
ứ ủ ể
2
2
2
2
- ặ Bài 26. Tìm min ho c max c a bi u th c: 2 y = = = D B H b) a) c) + 2 - - - - 9x + 12xy 5y 3y 20xy 5y 25x 3x 2 9x + 2xy y + 6xy 2y
1
=
B
=
=
ﾡ
t
B
HD:
2y ta đ
2
+
9
12
5
x y
1 9t 12t 5
x + y
2 x 2 y
3
=
D
ả ử ượ ẫ và m u cho c: , Đ t ặ a) Chia c t - -
25
20
5
x y
2 x + 2 y
= = ươ ự ượ ﾡ t D ng t câu a) ta đ c , Đ t ặ b) T - - + 2 - - x t 3 25t 20t 5
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 30 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
3
2.
1
2
=
=
=
H
ﾡ t H
2y ta đ
2
+ +
x y
3t 2t 1 9t 6t 2
9
6
2
x + y x + y
2 x 2 y 2 x 2 y
2
- - ả ử ượ ẫ và m u cho c: , Đ t ặ c) Chia c t - -
2
=
+ 2
- =
+
ﾡ
a
9at 6at 2a 3t 2t 1 0
2
+ +
3t 2t 1 9t 6t 2
- =
- - - Nháp : , -
ﾡ
D = '
2 (3a 1)
= (9a 3)(2a 1) 0
= a
;a
1 3
2 3
- - - có :
2
2
2
2
ứ ủ ể ặ Bài 27. Tìm min ho c max c a bi u th c:
2
2
2
2
+ - = = a) M R - - x 2x + 5xy 2y + 10xy 7y x x + xy y + xy y b) HD:
5
2
x + y
=
M
2y ta đ
2
10
7
x + y
2 x 2 y 2 x 2 y
- - = = ả ử ượ ﾡ t M ẫ và m u cho c: , Đ t ặ a) Chia c t - x y + 2 t 5t 2 + 2 2t 10t 7 -
2
=
+ 2
+
ﾡ
a
2at 10at 7a t 5t 2
2
- - - - Nháp -
D =
+ 2 t 5t 2 + 2 2t 10t 7 ) ( 25 2a 1
) ) ( ( 4 2a 1 7a 2
=
1
1 :
R
D = - - - - ﾡ 0 = ; a = a có : , 17 22
2y ta đ
x - + y
x + + y
� � �
2 � x � 2 y �
2
=
=
=
+ -
=
ả ử ượ ẫ và m u cho c: b) Chia c t 1 2 2 �� x �� 2 y ��
ﾡ t R
= + 1
ﾡ
a
at at a 2t 0
+ + - +
x y
2 t 2 t
t 1 t 1
- + 2 t
2t - + t 1
2 t
- Đ t ặ Nháp : ,
D =
=
=
(
ﾡ
) 2 + a 2
4a.a 0
= a 2;a
2t t 1 2 3
- - có
2
2
2
ứ ủ ể ặ Bài 28. Tìm min ho c max c a bi u th c:
=
=
P
N
2
2
2
+ +
8x x
6xy 2 y
22x x
+ 58xy 73y + 4xy 4y
- b) a) -
HD:
22
58
73
x + y
=
N
-
2y ta đ
4
4
x + y
2 x 2 y 2 x 2 y
2
+
ả ử ượ , ấ và m u cho c: a) Chia c t -
=
=
=
+
ﾡ t N
22
- -
x y
30t 15 ) ( 2 t 2
Đ t ặ - -
22t 58t 73 + 2 t 4t 4 (
) + 30 a 2 15
+
=
+
=
+
ﾡ
= N 22
22
22
+ 30a 45 2 a
30 45 + 2 a a
2 a
=
=
+
ﾡ
+ 2 b N 22 30b 45b
- ặ Đ t a = t – 2
1 a
Đ t ặ
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 31 tdhoangclassic@gmail.com
+
8
6
x y
=
P
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2y ta đ
+
1
2 x 2 y 2 x 2 y
2
ả ử ượ ẫ và m u cho c: , Đ tặ b) Chia c t
=
=
ﾡ
t
P
= + 8
x y
+ 8t 6t + 2 t 1
6t 8 + 2 t 1
-
D = -
=
=
+ -
)
ﾡ
( + ' 9 a a 8 0
= - = a 1; a
9
ﾡ
a
2 at
+ = a 6t 8 0
6t 8 + 2 t 1
- Nháp: , có
ạ ệ ủ ứ ủ ế ề ể D ng 4. Tìm Min, Max c a bi u th c có đi u ki n c a bi n
ươ gi
i:ả ế ừ ề ề ồ ứ ể đi u ki n r i thay vào bi u th c.
ứ ứ ể ệ ề ể ầ ổ
ộ ố ấ ẳ ử ụ ng pháp Ph D n bi n t ồ Bi n đ i bi u th c thành các thành ph n có ch a đi u ki n đ thay th . ế ế S d ng thêm m t s b t đ ng th c ph : ụ ứ
2
+ (cid:0) a b
ab
2
(cid:0) ấ ớ ( D u = khi a = b, v i a, b không âm)
+
2 2
a
b
ab
(cid:0) (cid:0) ấ ( D u = khi a = b)
2
a
1 + (cid:0) a
(cid:0) ấ ( D u = khi a = 1)
(cid:0) M t s B t đ ng th c đ n gi n th
2 (cid:0)
ộ ố ấ ẳ ứ ơ ả ườ ặ ượ ừ ấ ẳ ứ ng g p đ c suy ra t b t đ ng th c (A + B)
2
0.
4 +
a b + (cid:0) b a
1 1 b) + (cid:0) b a a b
a) c) 2( a2 + b2 ) (cid:0) (a + b)2 d) (a + b)2 (cid:0) 4ab
(cid:0) ứ
ấ ẳ ớ
b
a
a
a
b
....
....
)
2 n
2 n
2 b ).( 1
2 2
2 2
2
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B t đ ng th c Bunhiacopxki V i n c p s b t k a (a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2 (cid:0) ( ặ ố ấ ỳ 1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có : 2 1
2
n
= = = = (cid:0) ... Const ấ ả D u "=" x y ra a b a b a 1 b 1
ư ế N u bi = 0 xem nh ai = 0
ạ ế ừ ề ề ồ ứ ồ ể D ng 4.1 D n bi n t đi u ki n r i thay vào bi u th c.
2
2
+ =
+ =
+
ủ ứ ể ặ Bài 1. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
y 1
y
3
3
a) bi bi t ế 3x t ế 3x
y 1 = + t: ế 3a 5b 12
= A 3x = A a
b
ab
- - ế c) bi t: a – b = 1 bi b) B xy= d) B a.b=
2
= -
HD:
ﾡ
ﾡ
+ = 3x y 1
) 2 = 1 3x
+ 12x 6x 1
2
- a) T ừ
ﾡ
= - y 1 3x
( = + - 2 y 1 3x A 3x ) ( = - = A x 1 3x
x
3
3
= +
=
+
- b) Ta có:
ﾡ
b 1
a
( ) A b 1
b
+ 2 2b
+ 2b 1
+ 3x ) ( = + b 1 b
- - c) Ta có:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 32 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
+
= B b
b
b
5 3
12 3
12 5b � � 3 �
� = � �
- - - = ừ ả ế thi t ta có: a , thay vào d) T gi 12 5b 3
3
3
2
2
ủ ứ ặ Bài 2. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
=
+
+
+
+ t: ế x 2y 1
xy
2y
2
2
2
2
ể + = a) bi b) bi t: ế x y 1
y +
+
7
= t: ế 4x 3y
= A x = C 2x
5y
= B x = D x
2y
- c) bi d) bi tế x + 2y = 3
3
2
= -
HD:
( + -
) 3 +
1 x
= xy
2x
+ 2x 1
2
= -
= 2
- ừ ả ế ﾡ y 1 x thi t c: a) T gi
= A x ) 2 +
2y
6y
+ 4y 1
- ừ ả ế ﾡ x 1 2y thi t thay vào ượ thay vào A ta đ ( = - B 1 2y b) T gi
2
2
2
+
=
= C 2x
5y
2x
-� 4x 7 + � 5 3 �
2 � � �
2
= -
=
= 2
+
- = ừ ả ượ thi ế ﾡ t y thay vào C ta đ c: c) T gi 4x 7 3
) 2 +
3 2y
( D 3 2y
2y
6y
12y 9
- - ừ ả ế ﾡ x thi t thay vào D ta đ cượ d) T gi
3
3
+
=
+
+ =
+
zx
4
ủ ứ ể ặ Bài 3. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
y
= A x =
+
+ + = y z
6
zx
+ a) 2xy + + c) A xy 2yz 3zx
, bi tế x + y = 2
+ t ế 2x 2y z + + = t ế x y z 3
, bi , mãn: x b) A 2xy yz + = d) A xy yz , bi
3
= -
+
3 +
HD:
(
)
)
2 x
y
= A x
2 x
( 2x 2 x
= -
- - ừ thay vào A ta đ cượ : a) T gt ta có:
z
2
2
- thay vào A ta đ b) T gi
= -
)
4 2x 2y ( ) x 4 2x 2y
+ 2xy 4x 4y
= -
ừ ả = thi + - - - - - - ế ﾡ t ( + A 2xy y 4 2x 2y
2x +
=
)
(
)
6 x y
3x 6 x y
- - - - - cượ : + 2y ( + A xy 2y 6 x y ừ ả z thi thay vào c) T gi
2
2
- z d) T gi
)
= - 3 x y ( ) x 3 x y
+ y
x
ừ ả = thi + thay vào A ta đ = - - - - - - ế ﾡ t ế ﾡ t ( + A xy y 3 x y c:ượ + xy 3x 3y
= -
+
+
= -
ủ ể
zx
4
3
3
=
ặ + xy 3yz 4zx Bài 4. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: a) A , bi
+
)
4
+ xy yz ( = D 2 x
y
- = + t:ế 2x 3y z , bi + 15xy 7
+ = -
x y
2
- - - ứ tế : x + y + z = 3 b) B - = + t: ế 2x 3y z d) c) C 12xy 3yz 4zx , bi t:ế , bi
= -
HD:
= -
+
+
)
(
)
B
( xy 3y 3 x y
- - - - - ừ ﾡ a) T gt ta có
+
= -
4x 3 x y )
(
)
z
2x 3y 4
A
( x 2x 3y 4
=
+
: z 3 x y + = - - - ừ ả thi ế ﾡ t thay vào b) T gi
=
+
)
)
+ ( +
z
2x 3y 4
4x 2x 3y 4
3
3
3
+ = -
+
=
- - - - - ừ ả thi ế ﾡ t c) T gi
)
+ + xy y 2x 3y 4 ( B 12xy 3y 2x 3y 4 ) = - +
2
x
y
+ x y
( + 3xy x y
8 6xy
- thay vào ( ượ thay vào A ta đ c:
= -
(
(
)
8 6xy
+ = - 15xy 7
3xy 9
A
3x
2 x
9
= - - - - - - - , ta có : ) 2 x d) T ừ x y - + = A 2 và y thay vào
=
+
+
ủ ứ ể ặ Bài 5. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
ố ỏ ủ A 2xy 3yz 4zx a) Cho các s x, y, z th a mãn: x + y + z = 1, Tìm max c a:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 33 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
2
+
ỏ
y
2
2
2
b) Cho x, y (cid:0) c) Cho x,y (cid:0) ủ = A x
+
+
x
+ + y
z
3
2
1
= P x
y
z
R, th a mãn: x + 2y = 1, Tìm max c a: P = x.y 0, x + y = 1, Tìm min, max c a: ủ = ỏ ố d) Cho các s x, y, z th a mãn: . Tìm min max c a: ủ
= -
HD:
+
=
(
)
(
)
ﾡ
+ A 2xy 3y 1 x y
4x 1 x y
2
=
- - - - - z 1 x y thay vào A ta đ c:ượ a) T gt ừ
+ 2 A 3y 5xy 3y
4x 4x
= -
=
- - -
)
ﾡ
x 1 2y
( P y 1 2y
2
ﾡ
( + -
) 2
= - y 1 x
- ượ thay vào P ta đ c: b) T gt ừ
= A x
1 x
2
2
2
= -
ượ thay vào A ta đ c: c) T gt ừ
= +
+
+
y 1 3x 2z
ﾡ
y
1 9x
4z
6x 12xz 4z
2
2
+
+
+
= P 10x
5z
12xz 6x 4z 1
- - - ừ d) T gt ta có: khi đó: - -
=
+
ủ ể ặ
+
+
) =
11x 6y 2015 x y 3
0
3
3
- Bài 6. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ( - + ứ ) ( ỏ a) Cho x, y th a mãn: , Tìm min c a: ủ P xy 5x 2016
+ + ứ ủ ể ế ề ỏ b) Tìm GTNN c a bi u th c , bi t x, y th a mãn đi u ki n ệ x + y = 1 = A x y xy
+
- + =
HD:
+ : 11x 6y 2015 0
ừ a) T gt ta có
= ho c ặ x y 3 0 + 11x 2015 6
- + =
ﾡ
= + y
x 3
+ = = ﾡ + 11x 6y 2015 0 y TH1: Ta có : thay vào P
TH2: ta có: x y 3 0 thay vào P
2
2
x = y – 1
2
2
2
+ 2
= 2
ừ + + + 2 - b) Ta có x + y = 1 ﾡ = c) T gt ta có + A (x y)(x = 2 xy y ) xy x y
= - A (1 y)
y
2y
+ = 2y 1 2(y
) 1 2(y
)
1 + - y.2 2
1 1 + = 4 4
1 + (cid:0) 2
1 2
1 2
=
=
- - -
x
; y
ả D uấ ‘ = ’’ x y ra
1 2 ủ
1 2 ể
2
2
ứ ặ Bài 7. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
2
2
+ = + ủ ứ ể ế ề ỏ a) Tìm GTNN c a bi u th c bi t x, y th a mãn đi u ki n: y
ệ x y 1 = + ủ ứ ể ế ề ỏ + ệ x 2y 1 b) Tìm GTNN c a bi u th c , bi t x, y th a mãn đi u ki n: = B 5x = C x 2y
2
2
2
+ -
= 2
HD: + = ﾡ = - y 1 x ừ ả ế x y 1 thi t a) T gi
�
= B 5x
(1 x)
6x
+ = 2x 1 6(x
x
)
1 + 3
1 6
=
+ 2
- -
6(x
)
= x
= ; y
5 6
1 6
1 6
5 6
2
2
2
-
5 �� 6 + ﾡ ế x 2y 1
= + = - = - x 1 2y ﾡ ừ ả t thi = C x 2y 6y + 4y 1 b) T gi
2
2
ủ ứ ể ặ Bài 8. Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau:
- + 7 ủ ứ ể ế ề ỏ = ệ 4x 3y a) Tìm GTNN c a bi u th c , bi t x, y th a mãn đi u ki n: = D 2x 5y
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 34 tdhoangclassic@gmail.com
3
3
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
+ + ố ự ỏ b) Cho các s th c x, y th a mãn: x + y = 2. Tìm GTNN c a ủ = A x y 2xy
HD:
- - ừ ả ế thi t = 4x 3y =� y 7 a) T gi 4x 7 3
2
2
2
+
�
�
= D 2x
5(
)
= 9D 98x
= + 280x 245
+ 2 2(7x 10)
� 45 45
4x 7 3
- - -
=
=
=
�
�
min D 5
x
; y
10 7
3
3
3
-
+ = + + - = A x 3xy(x y) 2xy b) Ta có:
2
2
3 7 + (x y) = - y =
2
2
+ + = � 2xy 2 2 x ả t thi 3 y ế x y + + = + - - - - - " � Theo gi = A 2 6x(2 x) 2x(2 x) = = � � � R 4 4 x y 1
8x 8 4(x 1) + + - 4x = A a a a ( b b ( b 2 ) ) Bài 9. Cho a + b = 1. Tìm GTNN c a ủ
HD:
2
2
3
b = 1 – a
3
3
+ 3 - -
2
ab 2 Có a + b = 1 ﾡ + = � A a(a + = + 2b) b(b = + 3 = a) + - a + 3 - - b a ab a (1 a) + 2ab b = a(1 a) 2a + 2a 1
+
+
= A xy
yz
xz
2
3
= - " � � a = = a - + a 2(a 2(a = ) b 1 2 1 2 1 2 1 2
ố ự ủ 1 + 2 ) 2 ỏ Bài 10. Cho các s th c x, y, z th a mãn: x + y + z = 6. Tìm GTLN c a
2
HD: = - - � T gi thi t
2
2
2
2
ừ ả = ế + z + 6 x y + = + + 2 + - - - - � A xy z(2y 3x) = - xy (6 x y)(2y 3x) 2y 4xy 18x 12y
2
= - + = - - - - - - � 3A 9x 6y 9x 3x + 6x(2y 9) 6y 36y + 12xy 54x 36y 2 = - + - - (cid:0) (3x 2y 9) + 2y
+ - = 3 = (cid:0) z 3 = = 0 0 3x 2y 9 0 � ��� � A 27 y � 81 81 = x � � y �
ạ ế ổ ể ệ ể ứ ứ ề ầ D ng 4.2 ế Bi n đ i bi u th c thành các thành ph n có ch a đi u ki n đ thay th .
= - - P Bài 1. Cho a, b > 0 và a + b = 4, tìm GTLN c a ủ 1 b 1 a � �� � 1 1 � �� � � �� �
HD:
= - = - P 1 1 1 1 Ta có: 1 ab + a b 1 + = - ab ab 1 4 = - + ab ab 3 ab � � 1 1 + + � � a b � �
+ = (cid:0) = (cid:0) (cid:0) ﾡ ﾡ ﾡ > a,b 0 a b 4 2 ab ab 2 ab 4 Do 4 2
ﾡ
= = a b 2
ﾡ
1
- = 1
+ = a b 4 = a b
3 3 ab 4
3 ab
3 1 4 4
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ấ ả Khi đó: , D u = x y ra khi (cid:0)
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 35 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
=
+
+
ứ ủ Bài 2. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ể 2
1
F
1 b
1 a
2 � � � � + 1 � � � � � � � �
2
2
+
+
+
)
ế , bi a) Tìm min c a: ủ
3x
25xy
t: a + b = 1 và a, b > 0 ) ( ( = A 4x 3y 4y ỏ ủ b) Cho x,y > 0 th a mãn: x + y = 1, Tìm Min c a:
2
2
+
+
+
+
=
+
+
= +
HD:
2
2
18
2
2
+ a b a
a b
b a
� 1 � �
� � �
3
2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � 2
3
2 � � + 1 � � � � + 2
+ a b b +
=
a b +
+
12x
b a + 9xy 25xy
A 16(xy)
� b a � � + + � � � b a � � � ) + 3 3 34xy
y
12y
(cid:0) a) Ta có:
3
3
2
2
+
= -
+
b) Ta có :
8 4 ( 12 x ) 2
2 6x y (
(
= ) =
x
y
+ xy y
3xy 1 3xy
+ x y
2
2
2
=
+
- - Vì x + y = 1 nên , thay vào A
+ ) ( x y x ) +
= (
34xy
= A 6t
+ 2t 12
- - ặ Ta đ c ượ , Đ t xy = t khi đó :
12 1 3xy ể
ứ
A 6x y ủ Bài 3. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau:
2
2
+ =
=
+
+
+
(
)
) ( C x 4y y 4x 8xy
x y 1Tìm Min c a ủ
3
3
2
2
+
+
+
+
)
)
ỏ
+ + = x y 4 0
y
y
10xy
ế b) Tìm max c a: ủ ỏ t x,y th a mãn: a) Cho x, y là các s th c th a mãn: ( 3 x ố ự ( = A 2 x bi
2 2
2 2
2
2
3
3
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
) (
(
)
)
( + 3 C x 4y y 4x 8xy x y 4x 4y 16xy 8xy x y 4 x
3 y
24xy
HD:
3
+
=
+
a) Ta có :
(
)
(
3 x
+ x y
) = - 3xy x y 1 3xy
2
2 2
+ =
+ 2 2
+ 2 2
+
=
+
=
=
+
- Thay vào C ta đ Do
+ = ﾡ x y 1 (
3 y ) +
(
)
) C x y 4 1 3xy 24xy x y 12xy 4 x y 2xy.6 36 32 xy 6
32
32
- - - (cid:0) - cượ : (
2
ﾡ
+ = x y 1 = - 6 xy
= - x = y 3
� � �
= � x 3 � = - y �
3
3
3
+
=
(cid:0) (cid:0) ấ ả ỉ D u = x y ra khi và ch khi ho c ặ (cid:0)
(
)
) = -
x y
x
y
+ x y
2 ( + 3xy x y
2
2
+
- ,
(
)
+
=
=
(
4, nên ) 2
= A 2
+ 64 12xy ) ( + + 3 16 2xy
64 12xy
10xy
x
y
2xy 16 2xy
- - - - thay vào b) Ta có : + = - + x y
4
4
3
3
2
+ = -
+
ứ ể ủ Bài 4. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau:
)
x y
2
= B x
y
x
+ y
+ 2 2 2x y
( + 2xy x
+ 2 y
13xy
3
3
2
+ 2
+
- - ế a) Tìm min c aủ bi
x
y 5
y
y
+ xy 2
+ = , Tìm max c a: ủ
- = A x ỏ t x,y th a mãn: ) ( + 8 x ố ự ỏ b) Cho hai s th c x, y th a mãn:
2
2
4
4
2
+
=
HD:
)
(
)
x
y
+ x y
2xy
= 2 2 2x y
4 2xy
2 2x y
( � �
2 � �
3
3
2
2
+
=
+
= -
- - - - ừ a) T x + y = – 2, ta có:
x
y
6xy 8
x
y
4
4
3
3
2
2
+
- , cượ :
y
x
+ y
+ 2 y
2
2
2
+
= -
=
- -
)
13xy (
+ 2 2x y (
)
= B x (
4 2xy
2 2x y
+ 2 2x y
+ 6xy 8
2xy 4 2xy
+ 13xy
xy 24
= -
- - - - - , Thay vào B ta đ 4 2xy ( ) + 2xy x )
2x
3
3
2
2
+ = 2 B x = +
+
=
- Thay
ﾡ y 2 x + = nên 5
y
x
y
25 2xy
- - thay vào A ta đ c:ượ
+
x (
A 125 15xy 8 25 2xy
73 2xy
125 15xy ) + = - xy 2
b) Vì x y = và + - - -
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 36 tdhoangclassic@gmail.com
2
+ =
= -
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ﾡ
ﾡ
x
y 5
5 x
y
= - B
+ 2x
10x 73
- ặ M t khác
4
4
3
2
2
2
ể
+
)
( 4 x
y
y
( + 20 x
y
+ 2 2x y
xy
2
2
2
2
+
+
ứ + 3 - - - ủ Bài 5. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ) = B x ế a) Tìm max c a: ủ , bi t x + y = 5.
x
y
= xy
4
= A x
y
- ố ự ỏ b) Cho x,y là hai s th c th a mãn: , Tìm min và max c a: ủ
2
4
4
3
3
2
2
+
=
HD:
+
=
+
=
(
2 2x y
x
x
y
125 15xy
x
y
25 2xy
4
4
3
2
2
2
+
+ 3
- - - - , ,
y )
) 2 )
y
y
y
+ 2 2x y
xy
2
2
2
=
- - -
= B x (
)
(
) +
25 2xy
2 2x y
25 2xy ( + 20 x ( 4 125 15xy
20 25 2xy
xy
2
2
2
2
2
+
+ 2
=
- - - - - - - a) Vì x + y = 5 nên ( 4 x )
2 2x y ) 2
(
ﾡ
ﾡ
x
y
= xy
4
2x
2y
+ x
= y
8
+ x y
2
2
+
- - - b) Ta có :
ﾡ
x
y
8
2
2
2
(cid:0)
2xy 8 hay A 8(cid:0) 2xy 8 2y
2
2
2
2
2
2
+ + 2 = - - ﾡ ặ x y = xy 4 2x M t khác :
+
= +
+
(
) 2
ﾡ
ﾡ
2x
2y
8 2xy
3x
3y
= + 8
+ x y
8
2
2
+
+
=
+ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ﾡ x y hay A 8 3 8 3
a
ố ự Bài 6. Cho hai s th c a,b
(cid:0) 0, th a mãn: ỏ
2
4
1 2 a
b 4
=
+
ab
2017
S HD:
2
2
2
2
, Tìm min, max c a:ủ
2
2 +
+ + = + + 2 - - ﾡ 2a 4 2 + ab + = ab 2 4 ừ T gt ta có : b 4 1 2 a 1 2 a b 4 � a � � � � + a � � � � � � �
ﾡ
ﾡ
a
+ = ab 2
4
a
ab
2
b 2
1 a
b + 2
1 + a
2 � � � � + a � � � � � � � �
2 � � � � = a � � � � � � � �
+
- - - -
ﾡ
ﾡ
ﾡ
ab
2
ab 2017
2019
S 2019
2
2
2
+
+
=
+
+ 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ﾡ
a
ab
+ = ab
2
4
2
2 4
1 2 a
1 2 a
b 4
2 b + 4
� a � �
� � + a � � � �
� � �
2
2 +
- - ặ M t khác :
+ = - - - - - - ﾡ ﾡ a a ab 2 4 a a ab 2 1 a b 2 1 + a b = 2
ﾡ
ﾡ
ﾡ
2 � � � � � � � � � � � � ﾡ 2
ab
ab
2
+ ab 2017
2 � � � � � � � � � � � � S 2015 2015
=
+
- (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
S
ab
2009
2
2
+
+
=
a
2
4
1 2 a
b 4
ố ự ớ , v i a, b, là hai s th c khác 0 và Bài 7. Tìm GTLN, GTNN c a ủ
2
2
2
HD:
+ - + + 2 + - - - Ta có: = 4 a 2 a - = + ab ab 2 (a ) + (a + (cid:0) 2 ) + ab a ab 2 1 2 a b 4 1 a b 2
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 37 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
a
0
2
(cid:0)� ab
2
S 2011
= - 1; b =
= - a = a 1; b
2
a
0
1 - = a b - = 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 � � � � (cid:0) +- +- + +- =�� � � � a � � � �
(cid:0) - ạ Ta l i có: 4 a ab 2 ab 2 ab 2 S 2007 b 2 1 a
0
=
�
�
�
(a, b)
� � ( 1; 2)
= - = a 1 ; b � = - = 1; b a
2 2
+
=
a � a
0
1 - = a b 2
2
2
+
+
+
= A xy
2024
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ủ V y GTNN c a S = 2007 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
8
8 2 x
=y 8
ố ỏ Bài 8. Cho hai s x,y khác 0 th a mãn: , Tìm min, max c a: ủ
2
2
2
2
2
+
=
+
+
+
=
+
+ 2
HD:
ﾡ
ﾡ
x
8
2x
16
8
xy
+ = xy 8 16
8 2 x
y 8
16 2 x
y 4
16 2 x
2 y + 4
� x � �
� � + x � � � �
� � �
2 +
+
- - Ta có:
ﾡ
ﾡ
ﾡ
= ﾡ
+ x
x
+ = xy 8 16
+ (cid:0) xy 8 16
xy
8 A xy 2024
2016
4 x
y 2
2 � � � � � � � � � � � �
2
2
2
+
+ 2
- =
- - - (cid:0) - (cid:0)
ﾡ
8
+ = xy 8 16
x
x
xy 8 16
16 2 x
y 4
y + 2
4 + x
� x � �
2 � � � � � � � � � � � �
� + xy � � +
- - - - ặ M t khác :
� + � � ﾡ
ﾡ
ﾡ
� x � � xy 8
xy 8 16
= S xy 2024 2032
- (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
ứ ể
2
2
2
+
+
+ + ạ ạ 8x y 4 a) Cho x, y (cid:0) R khác 0 bi t: ế = , Tìm x, y đ ể B x.y= đ t min và đ t max. ủ Bài 9. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: 1 4x
= , Tìm max c a: A = x.y
2x
4
1 2 x
y 4
ỏ ủ b) Cho x, y th a mãn:
2
2
2
2
+
+
=
+
+ 2
HD:
(
)
ﾡ
8x
y
4
4x
2
4x
y
+ 4xy
+ = 4xy 2
4
2
2
1 4x
� � �
� + � �
+ (cid:0)
- - a) Ta có:
(
ﾡ
ﾡ
ﾡ
) 2 + 2x y
+ = 4xy 2
4
4xy 2 4
= B xy
2x
1 2
1 2x
1 4x 2 � + � �
� � �
- - (cid:0)
2
+
=
=
(
)
ﾡ
ﾡ
+ 2x y
4xy 2
+ (cid:0) 4xy 2 4
B xy
4
2x
1 2
1 2x
� � �
2 � + � �
2
2
2
+ 2
+
=
- - - - (cid:0) ặ M t khác:
ﾡ
2
+ xy
+ xy 2
= 4
x
x
xy 2
4
y 4
y + 2
1 + x
� + � �
2 � � � � + � � � � � � � �
� x � �
� x � �
� � �
- - - - ừ b) T gt ta có:
ﾡ
ﾡ
4
1 2 x 2
+ (cid:0) xy 2
(cid:0)
xy ủ
2
2
+
+
+
+
x
2y
10 0
a) Cho x, y (cid:0)
= , Tìm min và max c a: ủ S x y 3 = + +
ứ ể Bài 10. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ) ( + 2xy 7 x y ỏ R th a mãn:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 38 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
=
+ +
+
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
n
+ np p
= - 1
3m 2
ố ự ỏ b) Cho các s th c m, n, p th a mãn: , Tìm min, max c a: ủ A m n p
2
2
+
+
+
+
HD:
x
+ 2xy 7x 7y 2y
= 10 0
(
) 2
2
2
2
+
+
+
+
2 =
ừ : a) T gt ta có
ﾡ
ﾡ
+ + y
y
0
x
2x
2y
+ 7y 10
0
7 2
9 - = 4
� x � �
2 � � �
+ 2y 7 4
+ (2y 7) 4
� � �
-
ﾡ
ﾡ
ﾡ
2
+ + (cid:0) x
y 3 1
+ (cid:0) x
y
5
2
+ 2y 7 2 7 + + (cid:0) y x 2
� + � � 3 2
3 2
2
2
2
- (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) -
2
2
2
2
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+ + 2 + 2 ả ế � thi t có: n + np p = - 1 2n + 2np 2p = 2 3m 2 b) Theo gi 3m 2
�
+ 2 m n
= 2 2mn 2np 2mp m 2mn n m 2np p
2
p 2
+ 2
+
- -
�
2
(m n)
2
- -
�
�
�
� �
+ + (m n p) + + (m n p)
= 2 (m p) + + 2 m n p
2 hay
2 A
2
� � 2
- -
0
2
= -
�
�
- = m n - = m p
0
A
2
= = = m n p
3
+ + = -
m n p
2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
0
=
�
�
- = m n - = m p
0
A
2
= = = m n p
2 3
+ + =
m n p
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
= + +
+
y 2z
ứ
= , Tìm min, max c a: ủ P x
z
3
2
2
ủ ố ự ể ỏ
y +
=
9y
12xy 4x 6y 15 0
+
2
2
2
+
+
+
+
Bài 11. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: + a) Cho x, y, z là các s th c th a mãn: x + - - - ố ự b) Cho các s th c x,y th a mãn: . ỏ =
7x + Tìm min, max c a: ủ A 2x 3y 1 c) Cho các s th c x, y, z th a mãn:
3x
2y
5z
= 4xy 2xz 2yz
5
y
- . ỏ = + ố ự Tìm min max c a: ủ P x
2
2
2
2
=
=
+
+
+
+
(
) 2
HD:
P
x
y
4z
2xy 4yz 4xz
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
, nên ta nhân 6 vào gt : a) Ta có :
)
+ + x y 2z (
+ )
(
= 18 6x
6y
x
y
4z
2xy 4yz 4zx
5x
5y
2z
2xy 4yz 4zx
6z
2
2
=
+
2 +
- - -
(
)
(
)
(
)
(
) 2
(
ﾡ
18
+ + x y 2z
x y
) 2 + 2x z
2y z
+ + x y 2z
18
- - - (cid:0)
18
18
2
2
2
+
+
+ +
+
+
+
=
- (cid:0) (cid:0)
+ + x y 2z ( ) (
)
(
ﾡ
ﾡ
3y
16
) 2 2x 3y 1
3x
16
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
- - b) T gt ừ
2x (
= 2 2.2x.3y 2.2x 2.3y 1 3x )
(
2x
5z
y
y
2xy
5
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
- ừ
x (
2xy 2xz 2yz (
)
) = ) =
ﾡ
+ x y
x
y
z
2xy 2yz 2zx
+ 4xz x
4z
5
-
) ) 2
ﾡ
ﾡ
+ x y
5
5
5
(cid:0) - (cid:0) c) T gt ta có: ( (
ứ ủ
+ (cid:0) x y ể
Bài 12. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 39 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
= + + , bi
23 x 2
2
2
= +
+
+
+
=
+ + y z = - yz 1 a) Tìm min max c a: ủ P x y z t: ế
x
3y
2xy 10x 14y 18 0
- - b) Cho , Tìm min, max c a: ủ S x y
2
2
2
+
+
= -
+ 2
+ 2
+ 2
ﾡ
2y
2z
2yz
2 3x
2y
2z
= 2yz
2
HD:
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
a) T gt ừ
(
3x (
)
)
ﾡ
x
y
z
2x
y
z
= 2xy 2zx
2
2
2
+
2 +
- -
(
)
(
2xy 2yz 2zx ) ( 2 =
)
)
ﾡ
ﾡ
+ + x y z
2
( + + x y z
2
2
2
2
+
+
=
- - (cid:0)
x y ) +
(
ﾡ
x
10y 25 0
2
2
+ -
- - - - - b) T gt ừ
2 +
(
)
+ 14y 18 y )
ﾡ
3 x y 5 3
ﾡ
ﾡ
( 2x y 5 ( 2 y
x z ) 2 + y 5 ) = + 2y 1
+ - x y 5
3y ( + - x y 5
9
9
- (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
ủ ứ ể Bài 13. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau:
ủ ỏ
=
2
2
=
+
)
( A ab a
b
+ E 2a 3b 4c + = ,Tìm max c a: ủ
ố ỏ a) Cho a, b, c không âm th a mãn: 3a + 2c = 51 và c + 5b = 21, Tìm max c a A = a + b + c ủ b) Cho a,b,c là các s không âm th a mãn: 2a + b = 6 – 3c và 3a + 4b = 3c + 4, Tìm min c a -
2
c) Cho a b
+
+
=
=
HD:
)
ﾡ
3a 3c 5b
72
( + + 3 a b c
72 2b 72
- (cid:0) ế ả ộ ế thi t ta đ ượ : c a) C ng theo v gi
= (cid:0) ﾡ b 0 + + (cid:0) a b c 24 Do 72 3
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 3c a 0 + = (cid:0) ﾡ ﾡ a b 2 ế ộ ượ : c do a � b) C ng theo v ta đ = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) b 3c 2 b 0 (cid:0) (cid:0) c � c (cid:0) (cid:0) 4 3 2 3
) +
)
( E 2 4 3c
( 3 3c 2
= - 4c
2 c
2
2
2
+ =
+
= -
- - - Khi đó:
(
ﾡ
ﾡ
a b
2
a
b
) = - = 4 2ab A ab 4 2ab
+ 2 2a b
4ab
2
= -
-
A
2 a b
) + + (cid:0) 2ab 1
2 2
- c) Ta có: ( , Max A 2=
ể
=
= + +
3031
Bài 14. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: = ứ + ủ + (cid:0)
3
zx
2014,3x 5z : x y z
+ + = , Tìm GTLN c aủ : B xy yz
ứ : A x y z , Tìm GTLN c a bi u th c + ủ = ể + ỏ a) Cho x, y, z 0, 2x 7y ố b) Cho 3 s x, y, z th a mãn
+
=
5045 2y 5045
+ +
+ + + (cid:0)
HD: - (cid:0) ế ủ do y 0(cid:0) nên (cid:0)
ﾡ +
=
(
)
)
5045 ( + B xy z x y
5x 5y 5z x y z 1009 ) + + x y
xy
+ x y
� 3 �
( � �
ộ a) C ng theo v c a gt ta có: ( ) 5 x y z = - b) Ta có :
2
=
+
+ 2
+
= -
(
)
(
) 2 = -
(
+ B xy 3 x y
+ x y
x
y
xy 3x 3y
) 2 + (cid:0) y 1
3 3
y 3 2
3 4
� + x � �
2 � + � �
- - - - - -
2
3
Bài 15. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: 2 + + ế a) Tìm GTLN c a ủ , bi ỏ t x, y th a mãn : x + y + 4 = 0. ủ = A 2(x ể ứ + 3 y ) 3(x + y ) 10xy
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 40 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
+ + - ố ự ỏ b) Cho các s th c x, y th a mãn: . Tìm GTLN, GTNN c a ủ x y = xy 4 = P x y
3
3
2
2
3
2
HD: + + = + + + - - + y ) 3(x + 6xy(x y) 3(x y) 6xy 10xy a) Ta có :
= A 2(x = + y ) 10xy = - - - - - + 2(x y) + + 2 28(x 28x( 4 x) 80
2
2
= 28xy 80 = - + 2 � 2 = - x 2 A 2 � + - - y + 28(x 2) = = � 8 xy 4 � � 32 32 + + + 2 2 2 y x x x b) Ta có:
2
2
(cid:0) + - + + = 2 2 � �� � (x y) x y
= = 2 x
y
P 8
x
y
2
2
= xy
4
x
y
(cid:0) + 4x 4) 32 = - y 2xy 0 (cid:0) y - = x y + 2 - (cid:0)
2
2
2
(cid:0) x = - (cid:0) P 2 (cid:0) ủ ậ V y GTLN c a (cid:0) = = 2 y = = - y x 2
2 y )
2 y )
- + =- + = 2 2 ặ (cid:0) + - � 8 2(x y ) 2xy 3(x (x y) 3(x P M t khác:
=
=
= - = y
x
x
; y
+ =
0
�
�
P
2
x y + 2
8 = (cid:0) 3
� x
y
= xy
4
=
=
� x
= - = y
x
; y
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ậ V y GTNN c a - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
2 3 2 3 + xy
2 3 2 3 + = z
A
yz
x
y
2=
2
2
4
zx , bi
8 3 2 3 2 3 + ủ ể ế ỏ t x, y, z th a mãn: .
+ =
= -
�
4
z
+ ế 2x 2y z
2
2
ứ Bài 16. Tìm GTLN c a bi u th c HD: - thi
4 2x 2y = -
2
2
2
2
2
2
ừ ả = t: + + - - - - - - T gi � A 2xy y(4 2x 2y) x(4 2x 2y) 2x + + 2xy 4x 4y
2
- +- =
= - = - + 2y + - - - - - - - � 2A 4x 4y + + 4xy 8x 8y 4x 4x(y 2) (y 2) + (y 2) 4y 8y
�
y
4
(2x y 2) 3 y
A
4 3
16 3
16 3
16 3
� - +- = +- +- (2x y 2) 3 y � �
� � �
2 2 � � � � 3 � �
(cid:0) - -
=
x
=
�
�
z
4 3
=
y
2 3 2 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
= + + A x y 3
2
2
2
= + +
ủ ể Bài 17. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: + + + + ố ự ỏ a) Cho các s th c x, y th a mãn: = . Tìm GTNN + 2xy 7(x y) 2y 10 0 ứ 2 x
+ + ố ự ỏ b) Cho x, y, z là các s th c th a mãn : = . Tìm GTLN, GTNN A x y 2z x y z 3
2
2
2
2
HD:
2
2
2
+ + + + + + + + + ừ ả ế � 4x + 8xy 28x 28y 8y = 40 0 a) T gi
+
thi + t x + 2xy 7(x y) 2y + + = = 10 0 + � 4y 9 (2x 2y 7) � 9 (2x 2y 7)
+
+
� � �
�
3 2x 2y 7 3
+ � � � 5 x y
� � � � 2 A 1
2
�
0
x �
2x 2y 7 = A 1 = - A
= - = - x
2
3 = 2; y = 5; y
0
� + - - - -
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 41 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
2
+ + = + + = � y z 3 6x 18 b) T ừ 2 x
+ +
+ 2 6z + - - - � (x y) + 2 (2x z) = (2y z) 18 6y + + (x y 2z)
�
x y 2z 18
-
2
� � 3 2 A 3 2 0 0
= = y
= -
=
A
3 2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0)
�
2
= A 3 2
x
= = y
; z
2
0
2 2
� ��� �
V y ậ
x � � � = - z
2
=
� � - = x y - = 2x z - = 2y z + + x y 2z
0
2
2
2
+
+
+
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
n
p
np
2
2
+ 4
+ mn mp 3
2
(1)
3 2
ố ự ỏ Bài 18. Cho các s th c m, n, p th a mãn:
ứ ủ ể Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c: A = m + n + p
2
2
2
2
HD: + + + =
2
+ 2
+ + = 2 + + 6mn 2mp 4np 3 + + + - - � � + 2 (m 4mp 4p ) (n 2np p ) 3
- - (1) � 8p + 2 p + (m 2p) 2mn 2np 2pm) 3
�
� � �
= 2 (n p) + + � 1 m n p 1
- + 2 4m 4n + 2 2 3(m n + + 3(m n p) + + 2 3(m n p)
0
= -
�
�
A
1
= m
= = ; n p
1 2
1 4
3 = m 2p - = 0 n p + + = - m n p
1
- (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
0
�
�
= A 1
= m
= = p
;n
1 2
1 4
= m 2p - = 0 n p + + = m n p 1
2
2
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 ;
+ + + + = A x y z = B xy yz zx
b) Tìm GTLN c a Bủ
ủ Bài 19. Cho x + y + z = 3; a) Tìm GTNN c a Aủ c) Tìm GTNN c a A + B
2
2
2
2
HD:
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
+ + = = + + + + + = ﾡ ﾡ x y z 3 + + (x y z) 9 x y z 2xy 2yz 2xz 9 ừ a) T gt:
�
9
x
y
z
+ 2(xy yz
� zx) 3(x
y
2 z )
+ + + (cid:0)
2
2
2
Ta có: = = = (cid:0)
+
+
+
+
y
z ) 2(xy yz
zx) 3(xy yz
= zx) 3B
+ xy yz y x + zx z 1 + y z A 3 + (cid:0)
z 1
A 2B 9
+ = -
�
� �
A B 9 B 6
= = = x y
z 1
B 3
x (cid:0)� 9 3A = b) Ta có: 9 (x (cid:0)� = = = x B 3 + y = (cid:0) (cid:0) c) Ta có: (cid:0) (cid:0)
ạ ứ ơ ả ử ụ D ng 5. ấ ẳ S d ng các b t đ ng th c c b n:
ể ờ Ta bi
ừ ộ ấ ẳ ế ế ằ ứ ơ ả ề ộ ế ươ ố ằ ứ t r ng : T m t b t đ ng th c, b ng cách chuy n v bao gi ằ ổ ươ ẳ đ ng th c c b n và các phép bi n đ i t ng đ ư ấ ề ta cũng đ a v 1 b t ử ụ ậ ng mà m t v là h ng s . Vì v y : S d ng
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 42 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ổ ươ ươ ể ượ ự ị ủ ứ ơ ả ế ng đ ng ta có th tìm đ c c c tr c a 1
ể
2 + y2.
ấ ủ ớ ị ỏ ấ 0 và x + y = 1 . Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a P = x
ấ ẳ các b t đ ng th c c b n và các phép bi n đ i t ứ bi u th c nào đó. Bài 1. Cho x, y (cid:0) HD:
Do x; y (cid:0) 0 và x + y = 1 (cid:0) 0 (cid:0) x; y (cid:0) 1 (cid:0) x, y2 (cid:0) y
x
0
1
y
1
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x2 (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = x2 + y2 (cid:0) x + y = 1 (cid:0) MaxP = 1 (cid:0) ho c ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(
) 2
0 (
) (
)
ﾡ
y ( 1 x.1
) y.1
2 1
2 1
2
2
= + + + (cid:0) + = + = ﾡ ặ x y M t khác : x y 1 x y 1
ﾡ
2 y )
2 y )
1 khi x = y = 2
1 2
+ + (cid:0) (cid:0) (cid:0) MinP = (BĐT Bunhiacopxki) ﾡ 1 2(x (x
x
0
1
;
y
y
1
0
1 2
1 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 x (cid:0) (cid:0) V y : ậ MaxP = 1 (cid:0) MinP = x = y = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
= + a Bài 2. Cho a > b > 0. Tìm GTNN c a ủ B 1 - 1 b a b ( )
HD:
3
- = + = + - (cid:0) + b (a b) 3. (theo Côsi cho 3 số). Ta có: B a 1 - - - 1 b(a b) 1 b(a b)
b(a b) b(a b) = (cid:0) a 2 (cid:0) = - = a b b (cid:0) B1 (cid:0) 3 (cid:0) B1 min = 3 (cid:0) - (cid:0) = b 1 1 b(a b)
1 min = 3 (cid:0)
= (cid:0) 2 a (cid:0) V y : Bậ (cid:0) = b 1
2
2
= + B Bài 3. Cho a,b > 0 và a + b = 1. Tìm GTNN c a ủ 1 + 1 ab a b
HD:
2 2 � � ﾡ � � +� � a b
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ﾡ ﾡ ừ T BĐT do a + b = 1 và a, b > 0 4 1 1 + (cid:0) b a 4 + a b + a b ab 4 + a b 1 ab 1 ab
ụ ứ ế ấ ẳ Áp d ng b t đ ng th c 1 1 + (cid:0) b a 4 ả + và k t qu trên ta có : a b
2
2
2
2
2
2
2
2
+ = + = + + + (cid:0) B = 1 + 1 + 1 + + + 1 ab a b 2 2ab a b 1 2ab 1 2ab a b 4 2 4 2ab a b � � � � � �
6
2
4 (cid:0) b
a
)
(
1 2
(cid:0) B (cid:0) 2 + do a + b = 1 (cid:0) Bmin = 6 (cid:0) a = b =
1 2
(cid:0) ậ V y : Bmin = 6 a = b =
Bài 4. Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN c a Bủ 3 = x4 + y4 + z4 HD:
Do xy + xz + yz = 4 (cid:0) (Theo Bunhiacôpxki) (cid:0) 16 = (xy + xz + yz)2 (cid:0) (x2 + y2 + z2)2 (cid:0) 16 (cid:0) (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 + z2) (x4 + y4 + z4) (12 + 12 + 12)
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 43 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
16 3
16 3
32 3
(cid:0) B3 = x4 + y4 + z4 (cid:0) B3min = x = y = z = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3min =
16 3
32 3
V y : Bậ x = y = z = (cid:0) (cid:0)
ị ỏ ấ ủ
Bài 5. Tìm giá tr nh nh t c a B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 v i xớ 2y + xy2 (cid:0) 0
HD:
(cid:0) Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x2y + xy2)2001 (cid:0) 2001 xy (x + y) + 2001 (cid:0) B (1 + x2y + xy2)2001 - 2001xy(x + y) + 2001.
x
y
0
x
y
(cid:0) (cid:0) 1 + 2001 (x2y + xy2) 1 + 2001.xy(x + y) - 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B (cid:0) 2002 (cid:0) B min = 2002 (cid:0) xy(x+y) = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
0
y
0
x
y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ V y : B min = 2002 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Bài 6. Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN c a Bủ 8 = x16 + y16 + z16 HD:
Cách 1 :
Ta có : (a - c)2 + (c - a)2 (cid:0) 0 (cid:0) a, b, c
(cid:0) ab + ac + bc (1)
b)2 + (b - a2 + b2 + c2 (cid:0) ứ ụ ấ ẳ
Áp d ng b t đ ng th c (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 (cid:0) x8y8 + y8z8 + z8x8
(cid:0)
(cid:0) x8y8 + y8z8 + z8x8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 (cid:0) x4y4. y4z4+ x4y4. z4x4 + y4z4. z4x4
(cid:0)
(cid:0) x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6
(cid:0) x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 (cid:0) (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 (cid:0) x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6
(cid:0) (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3 (do xyz = 1 và x + y + z = 3)
(cid:0) B8 (cid:0) B8 (cid:0) B8 (cid:0) B8 (cid:0) B8 (cid:0) B8 (cid:0) B8min = 3 (cid:0) x = y = z = 1
ử ụ ả ế thi t xyz = 1) Cách 2: (Không s d ng gi
ấ ẳ ề ầ
ụ Áp d ng b t đ ng th c bunhiacôpxki nhi u l n ta có : 3 = x + y + z (cid:0) (x2 + y2 + z2).3
(cid:0)
ứ 9 = (x+ y + z)2 (cid:0) 9 (cid:0) 9 (cid:0) 9 (cid:0) 3 (cid:0) 3 (cid:0) 3 (cid:0) (x2 + y2 + z2) (cid:0) x4 + y4 + z4 (cid:0) x8 + y8 + z8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (x2 + y2 + z2)2 (cid:0) (x4 + y4 + z4)2 (cid:0) (x8 + y8 + z8)2 (cid:0) (x4 + y4 + z4).3 (x8 + y8 + z8).3 (x16 + y16 + z16).3
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 44 tdhoangclassic@gmail.com
ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ề ồ ưỡ B8min = 3 (cid:0) x = y = z = 1
2
2
(cid:0) V y : Bậ B8 = x16 + y16 + z16 (cid:0) 8min = 3 (cid:0) 3 . (cid:0) x = y = z = 1
a
b
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
Bài 7. Cho |a| (cid:0) 1; |b| (cid:0) 1 và |a + b| = 3 . Tìm GTLN c a Bủ 4 = HD:
a
b
a
b
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : (a - b)2 (cid:0) 0 (cid:0) a; b (cid:0) (1) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ụ Áp d ng (1) ta có :
a
b
a
b
a
b
a
b
(2
)
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
b
a
b
2
2
3 2
3 4
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Do (do | a + b| = 3 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
b
1
1
2
2
a
b
1
1
1
3 4
1 4
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 - = (cid:0) ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
b
1
1
1
3 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B4 = (cid:0) B4Max = 1 (cid:0) a = b =
4Max = 1 (cid:0)
3 2
V y : Bậ a = b =
ộ ố ề ậ ị : III. M t s bài t p đ ngh
1 b
1 c
1 a 3
ủ ) (1+ ) (1+ ) Bài 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN c a A = (1+
2
2
2 ab
a
b
(cid:0) ủ Bài 2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1. Tìm GTNN c a B = (cid:0)
a
b
c
Bài 3. Cho a, b, c > 0
b
c
a
c
a
b
(cid:0) (cid:0) ủ a) Tìm GTNN c a C = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
b
c
b
c
c
a
a
b
b
c
a
c
a
b
a
b
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ b) Tìm GTNN c a D = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
y
z
4
3
4
3
4
3
3(cid:0) 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và x + y + z = 1. Tìm GTLN E = Bài 4. Cho x,y,z (cid:0)
a
b
a
c
b
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN c a F = Bài 5. Cho a, b, c (cid:0)
2 – 3x3
4 3 3 ; Cho 0 (cid:0)
ủ x (cid:0) . Tìm GTLN c a G = 4x Bài 6. Cho 0 (cid:0)
2y2z2.t
x (cid:0) y (cid:0) 4. Tìm GTLN H = (3 – x).(4 – y).(2x + 3y)
ủ ủ 0 và 2x + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN c a I = x 0 và xt + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN c a K = xyzt Bài 7. Cho 0 (cid:0) Bài 8. Cho x, y, z, t (cid:0) Bài 9. Cho x, y, z, t (cid:0)
ạ ứ ấ ử ụ ứ ằ ị D ng 6. ệ ố ấ ẳ Tìm Min, Max b ng cách s d ng b t đ ng th c có ch a d u giá tr tuy t đ i
ươ ả Ph ng pháp gi i:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 45 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
A
0
=� ۳ A A = -
A
A
A
0
(cid:0) (cid:0) ị Đ nh nghĩa: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Tính ch tấ
"� � A R
A
A A
0;
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
x
y
xy
+ �� � ۳ x y R x ,
0
" (cid:0)
x
y
x
y
-�� � ۳ x y R ,
x y .
0
" - (cid:0)
ứ ể
= - + - + -
x 2
x 3
=
+ + + + - + -
x 7 = - + - + - + - x 3 x 2
x 4
x 2
x 7
x 8
ủ Bài 1. Tìm GTNN c a các bi u th c sau = - + - a) A x 3 b) B x 1
= + + + + + + + + + + +
x 3
x 4
x 2
x 5
x 6
c) C x 1 d) D x 5
e) E x 1
HD:
- + - (cid:0) - + - = x 7 - + - x 3 7 x = = x 3 7 x 4 4
(x 3)(7 x) 0
3 x
7
- + - + -
x 2
(cid:0) - - (cid:0)
(1)
= a) A x 3 (cid:0)� �� A 4 = b) B x 1
3 x
2
(x 1)(3 x) 0
1 x
3
= -+ -= -+ - B x 1
x 3 (cid:0)�� � � x 1
x 3
(2)
- - (cid:0) Ta có :
2
= x 2
C 2
x
2
x 4
- Mà :
-+ -= -+ -
c) C x 1
x 1
x 1
3 x
2
1 x
3;
(cid:0)
-+ -= -+ -
(cid:0) = � �� 0 x = - + - + - + - x 3 x 2 (cid:0) � � x 3 (cid:0) � � x 4
x 2
4 x
2
x
4
2
Ta có : (cid:0)
4
x
x 2 (cid:0) = � � C 4 min C 4 = + + + + - + - x 2
x 7
2 x 8
(cid:0)
d) D x 5
(cid:0) " (cid:0) ụ ứ M M M R
+ + + + - + -
x 2
7 x
8 x
+ + + + - + - = x 5 x 2 7 x 8 x
22
x R
ấ ẳ Áp d ng b t đ ng th c = (cid:0) " (cid:0) Ta có : D x 5
(cid:0) -
+ (cid:0) x 5 0 + (cid:0) x 2 0
5 2
=
�
�
�
min D 22
� � � 7 2
x
7 x
0
7
(cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)
8
� � � � � � 8 x �
x � � x � � x � � x �
0 + + + + + + + + + + +
- (cid:0) (cid:0)
- + + + + + +
- + -
= -
x 4
x 6
x 5
x 2 x 3 " = + + + + + +-
x 2 x 4 x 6 x 5 x 3
E
x R min E 9
4
x
3
- - - - - - - (cid:0) = e) E x 1 - + - x 1 = �� � �� x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 9
6 = | x + 7| + | x -
ị ỏ ấ ủ Bài 2. Tìm giá tr nh nh t c a B 1995|
HD:
(cid:0) | x + y| d u "=" x y ra
6 = | x + 7| + | x -
Ta có : |x| + |y| (cid:0) Do v y : Bậ x, y (cid:0) ấ ả 1995| = | x + 7| + | 1995 - 0 x | (cid:0) |x + 7 + 1995 - x| = 2002
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 46 tdhoangclassic@gmail.com
ỏ i toán 8
(cid:0) B6Min = 2002 (cid:0) ọ ng h c sinh gi - 7 (cid:0) x (cid:0) 0 (cid:0) 1995
6Min = 2002 (cid:0)
V y : Bậ Chuyên đ b i d (x + 7).(1995 - - 7 (cid:0) ề ồ ưỡ x) (cid:0) 1995 x (cid:0)
7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y -
ứ ể 6|
ị ỏ ấ ủ Bài 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c. B HD:
Ta có : 6|
(2x + y)|
y| = 2010
(cid:0) B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - B7 (cid:0) (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - B7min = 2010 (cid:0) 2x - 2x + y) cùng d u ấ
7min = 2010
V y : Bậ
ứ ủ ể Bài 4. Cho s th c x. Tìm GTNN c a các bi u th c sau :
x 2
x 5
= - + - + - + - + - x 5
x 4
x 3
x 6
ố ự = + + - + - a) A x 3 b) B x 2
+ + - = "
HD:
= + + - + - = x 5
x 2
+ + - + - x 3 x 2
x 5
+ + - x 3
5 x
x 3 5 x
8 x R
(cid:0) (cid:0) (cid:0) a) A x 3
3
�
�
�
= x
2
(cid:0) -
2 5
+ (cid:0) x 3 0 � � - = x 2 0 � � 5 x 0 �
x � � = x � � x �
- + - + - + - + - = - + - + - + - + - x 4
x 2
x 4
x 6
x 5
x 3
x 3
5 x
6 x
- + - + - + - = "
=
�
� �
- + - + - + - 5 x x 3
6 x
x 2 x 3 5 x 6 x
6 x R
x
4
= b) B x 2 � B x 2
ấ D u ‘ = ’ - (cid:0) (cid:0)
=
ủ ứ ể Bài 5. Cho s th c x. Tìm GTLN c a các bi u th c sau :
x 2
3 x 5
x 4
- - - - - - b) B x 2 ố ự = + - a) A x 5
HD:
x 2
= + - a) A x 5
-
�
��
y
x y
x, y R
� y(x y) 0
- - " - ấ ẳ ứ : x
x 2
7 x R
�۳
(x 2)(x 5 x 2) 0
x
2
- (cid:0) - (cid:0) Áp d ng b t đ ng th c = " + - x 5 (x 2)
x 4
- - - - ụ = + - A x 5 -+ -+ = � � max A 7 = - b) B x 2
3 x 5 -� � 0
- - - - (cid:0) - B x 2 x 4 x 2 x 4 2
5
=
�
�
�
x
5
= +- Vì x 5 - = x 5 0
- + (x 4)(x 2 x 4) 0
4
� � �
= x � � x �
- - (cid:0) (cid:0)
ố ự ủ ứ ể Bài 6. Cho s th c x. Tìm GTLN c a các bi u th c sau
= + + - + x 2
2012
x 1
x 4
3
- a) A x 3 : + + - + - = b) A x 3
= + + - + x 2
2012
= + + - + 2 x
x 3
2012
HD:
+
+ -� ۳
x 3
3
a) Ta có A x 3
L i cóạ
x + + -+ = � x
2 A x 3
2 x
2012
x 3 2 x 2012
2017
- - : x 3 (cid:0) = + + -+ � � 2 x Mà 2 x
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 47 tdhoangclassic@gmail.com
=
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ ng h c sinh gi i toán 8
+ + - + -
- = + + - + - x 1 x 3
3
4 x
3
V y ậ MinA 2017 = - Chuyên đ b i d -� �� 3 x x 4 x 1 b) Ta có A x 3
= x 1;
x
x 3
3;
-
4
x
ạ L i có - -
�� 0 x 1 + -� ۳ + x 3 (cid:0)� 4 x = - A x 3 0 4 x 3 4 =
(cid:0)
ứ V y ậ MinA 4 ủ Bài 7. Tìm GTNN c a các bi u th c sau:
4 x - + + + =� x 1 ể - +
+ +
+ +
x 1
= a) A 5x 3
2x 3
- + 5x 7
2x 9 15
=
- +
- - -
= - + - + - + - x 3 x 2
x 4
= c) C 4x 3 ( ) 2 D 2x 1
3 2x 1 2
- - b) B x 1 d)
+ +
=
- + =
HD:
A 5x 3
2x 3
+ x 1 2 x
+ 3 x
- + 2x 3
x 1
3 + 5
3 + 5
- - a) Ta có
+
+
2 x
x
;3 x
3 x
x
3 3 = + �� � ۳ 0 5 5
3 5
3 5
3 � � � � 5 � �
= +- + + + (cid:0)
- - ặ M t khác
- �
3 2x
3 2x
x
B 0 3 x
3 2x 1
3 2
29 5
3 � � � � 5 � �
2 x
3
= (cid:0)� b) MinB 4
(cid:0) - ạ L i có
=
MinC
=� x
- c) Ta có
=
=
MinD
=� x
x
1 5 1 4
7 5 5 4
1 4
- - hay d) Ta có
=
+ +
+
- + C x 5 6
x 2 1 2x 2017
ể
x 2
x 1998
+ +
=
- + x 5 7
x 11 9
ứ ủ Bài 8. Tìm GTNN c a các bi u th c sau: = - + - + - + + - x 3 ... a) A x 1 c) - b) B x 3 2
HD:
2
=
x
= (cid:0)� Min.A 999
999
1 4
- hay a) Ta có
=
- = -
(
x 1000 )
x
1 4
MinB 11 + 5 3 =� x hay b) Ta có 9 11 9 11
=
x
1 4
+ - - - 2018 2 5 2 = Min.A =� x hay c) Ta có 1 2
=
- +
ứ ủ Bài 9. Tìm GTNN c a các bi u th c sau:
x 1 2 x 2
+ x 7 6 x 2
=
- +
2 ể + - - - a) A
- + x 4 2 x 5
x 1 4 x 5 (x
5)
=
- +
+ -
- +
+ -
- - - (cid:0) b) B
x 2 x 1 5 x 3 4 x 1
x 8 6 x 1(x 1)
- - (cid:0) c) C
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 48 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
=
= - 2
HD:
t
x 2 (t
�� 0)
t
x 2
= � x
t
2
2
2
2
2
- - a) Đ t ặ
= - - - - � A t + + 2t 1 t + = 6t 9 + (t 1) (t 3)
t 1 0
= -+ -
-+ -= �
� �� �
t 1
3 t
t 1 3 t
2
1 t
3
1
x 2
3
3 x 11
3 t
0
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
2
=
+
= + 2 - t x 5 (t �� 0) = x t 5 b) Đ t ặ
�
+ + - = �
B
+ (t 1)
(2 t)
= + + - = + + - 2 2 t
t 1
t 1 2 t
t 1 2 t
3
-
2
- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) = B 3 � � �� � 2 t 0 t x 5 2 5 x 9
=
+ 2
= - + 2
= - - c) Đ t ặ t x 1(t �� 0) t 1 2 = x
�
C
(t 1)
+ 2 5 (t 2)
(t 3)
- + - t 1 5 t 2
3 t
- - -
- + -
- + - = �
= �
- = �
�
t 1 0 = �
� C t 1
3 t
t 1 3 t
2
2
x 1
= 2
x
5
2
t
t
t
3
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ươ ươ ể Ph ng pháp 2. Ph ơ ọ ng pháp ch n đi m r i
ể ế ề ươ ơ ọ ng pháp ch n đi m r i:
ằ ả
ọ ế ị ủ ườ ề
ế i các giá tr c a bi n. ạ ạ ị ng đ t t ằ ườ ể ế ấ ằ ả ớ i v trí biên.
+
+
=
P
1. Lý thuy t v ph ấ ể ạ ệ ự Ch n đi m r i chính là vi c d đoán d u b ng x y ra t ặ ộ ệ ể N u bi u th c có đi u ki n ràng bu c thì GTNN ho c GTLN th ứ ố ứ Thông th ể ơ ứ ng v i các bi u th c đ i x ng thì d u b ng x y ra khi các bi n b ng nhau. ế ứ ố ứ ơ ủ ớ ể 2. Đi m r i c a bi u th c đ i x ng v i các bi n
+
+
1 x 2y z
1 + + x y 2z
ứ ể Cho bi u th c
1 + + 2x y z ủ ứ ố ứ
ổ ể ổ
ứ ẳ ớ
ế ứ ậ ể ơ ạ ượ ứ ế c khi các bi n có gí tr b ng nhau, t c là t i x = y = z
ể N u ta hoán đ i vai trò c a x, y, z cho nhau thì bi u th c P không thay đ i nên ta nói bi u ế th c P là bi u th c đ i x ng v i vai trò các bi n bình đ ng nhau. ạ ị ằ V y đi m r i đ t đ ả ể ươ i
ậ ề ự ọ ơ ượ ọ ỹ ố ỉ c g i k thu t đi u ch nh và l a ch n tham s .
ườ ọ
ị ng là các giá tr trung gian đ ờ ả ứ ồ ị ụ ư ượ ố ẳ ộ ợ ặ c xác đ nh theo cách ch n đ c t c các d u đ ng th c đ ng th i x y ra. Tham s ph đ a vào m t cách h p lý
ệ ị xác đ nh chúng có nghi m ấ ả ng trình
ứ ứ ể ọ ơ ạ ế ồ ị ằ i giá tr các bi n b ng nhau r i ghép
ẳ ụ ặ ng pháp gi 3. Ph ể ọ ậ ỹ K thu t ch n đi m r i hay còn đ ủ ế ở ậ ỹ đây th K thu t ch y u ấ t đệ ể t bi ể ươ đ ph ả ự Ta d đoán đ ng th c x y ra (t c ch n đi m r i) t ừ t ng c p áp d ng BĐT Cauchy.
ệ ứ ớ 2 a 2 . Khi đó ta có h th c v i a > 0 thì VD1: Cho a, b > 0. Ta có a b 1 + (cid:0) a
ứ ớ
(cid:0) ế ệ ở ả ư ế i gi i bài toán trên nh th nào?
b + (cid:0) a ả ủ ấ ẳ ế Rõ ràng v i bài toán trên là k t qu c a b t đ ng th c Cauchy 1 hay a (cid:0) 2 hay a (cid:0) 9... thì l ờ ề N u thay đi u ki n a > 0 b i a Ta xét các bài toán sau đây:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 49 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
= + ứ ủ ể P a Bài 1. Cho a (cid:0) 3. Tìm GTNN c a bi u th c 1 a
ầ ườ ế ờ ế ẫ ộ ả Phân tích ặ N u v i vàng, ta d n đ n l i gi ư i sai nh sau: + Sai l m th ng g p:
ử ụ ố ươ S d ng BĐT Cauchy cho hai s d ng a và ta đ c:ượ 1 a
P a 2 a. = . 2 1 = + (cid:0) a 1 a
(cid:0) 3 nên l ờ
= ﾡ ấ ằ ả ớ ả ế ả a = < a 1 3 D u b ng x y ra khi ẩ . Mâu thu n v i gi thi t a i gi i sai. 1 a
ể ả ọ ơ ọ
ư ế ấ i đúng là nh th nào? i gi
ừ ứ T đó vi c d đoán d u “=” x y ra (t c ch n đi m r i) là vô cùng quan tr ng. ậ ờ V y l ị ệ ự ả ể ơ
ử ậ ạ ị ươ ứ ủ ư ầ + Xác đ nh đi m r i: ị ủ ả Ta th l p b ng giá tr c a P t ng ng c a a tăng d n nh sau:
a
= + P a 3 4 5 6 7 8 1 a 3 1 3 i các giá tr t 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 1 7 8 1 8
ự ế ậ ậ ấ ớ ẫ Ta nh n th y khi a tăng thì P càng l n nên d n đ n d đoán khi a = 3 thì P nh n GTNN Do
ơ ọ ể đó ta ch n đi m r i là a = 3
(cid:0) ớ ể ử ụ ấ ẳ ệ ố ứ ả a V i a = 3 thì nên đ s d ng b t đ ng th c Cauchy ta ph i thêm h s k > 0 sao cho 1 a
ặ ố ể ơ ả ằ ạ t i đi m r i a = 3 thì c p s ka và ph i b ng nhau: 1 a
(
)
= + = + - P a ka a ka ứ ư ế ể ổ Khi đó ta bi n đ i bi u th c P nh sau: 1 a 1 � � a � � + � �
(cid:0) = (cid:0) ka = = ﾡ (cid:0) ﾡ ﾡ 3k k ự ấ ả Tìm k d a trên d u “=” x y ra 1 3 1 9 (cid:0) = (cid:0) 1 a a 3
ớ ướ ờ ả ế V i h ng phân tích trên, ta có l i gi i chi ti ư t nh sau:
= + = + = (cid:0) P a 2 ﾡ MinP = khi a = 3 1 a 1 a 8a 9 1 a . a 9 10 3 a � � + + � � 9 � �
ư ư 8.3 10 3 9 ề ướ Ngoài cách phân tích trên, ta còn có nhi u h ng t duy khác nh sau:
ướ H ng 2:
= + = - (cid:0) P a a 2 a. 6 Ta có: ﾡ MinP = khi a = 3 1 a 8 a 9 8 - = - = 3 a 8 3 10 3 10 3 9 � � + � � a � �
2
ướ ự ả ả ế D a vào k t qu đã bi ế ở t cách gi i sau: H ng 3:
- - - 3a + 2 3(a 3) 8(a 3) - (cid:0) Xét hi u: ệ P 0 1 10 10 = = + - a 3 a 3 ả i trên ta có cách gi + 10a 3 = 3a 3a
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 50 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
(cid:0) ﾡ ứ ả ậ ẳ ấ P . D u đ ng th c x y ra khi a = 3. V y MinP = khi a = 3
(cid:0) 4, a (cid:0) 5 hay a (cid:0) 9 .... thì ta có có l ờ
10 3 ư ớ ươ ả T ng t , v i a i gi 10 3 ư i nh trên.
= + ị ỏ ấ ủ ứ ể Q a Bài 2. Cho a (cid:0) 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 2 a
ể ị + Xác đ nh đi m r i:
= + + = - Phân tích ơ Ta ch n đi m r i t ơ ạ i a = 2 ) ể ( Q a a ka Ta có: 1 2 a � ka � � � + � �
(cid:0) = (cid:0) ka = = (cid:0) ﾡ ﾡ ﾡ 2k k ấ ả D u “=” x y ra ọ 1 2 a 1 2 a 1 4 1 8 (cid:0) = (cid:0) 2 a
ớ ạ ẫ ư
= + + = + = + + = � Q a �� 2 Tuy nhiên v i cách phân tích sau đây l a 1 1 2 2 8 a a 7a 8 1 2 a 7.a 8 7.2 8 9 4 ế sai l m ầ nh sau: i d n đ n 2 7.a 8 8a 2 8.2 � + � � a � � 8 �
ậ ớ V y v i a = 2 thì MinQ = 9 4
ờ ả ầ ở ệ ẫ ố ắ i trên m c sai l m vi c đánh giá m u s : “N u ế a 2(cid:0) thì + Nguyên nhân: L i gi
(cid:0) ể ử ụ ở ượ ả = là đánh giá sai”. B i vì đ s d ng đ c BĐT Cauchy thì ta ph i làm sao kh ử 2 4 2 8.2
ế ố ở ử ẫ t và m u.
2 8a ế h t bi n s a ờ ả + L i gi i đúng:
= + = + = ��� 3 Q a 3 Ta có: 1 2 a a + + 8 1 2 a 6a 8 a a 1 2 8 8 a 3a 4 3 = + 4 3.2 4 9 4 a � � 8 � � + � �
ậ ạ V y MinQ = t i a = 2 9 4
ả ề ướ ả ư Ngoài cách gi i trên ta còn có nhi u h ng gi i khác nh sau:
ướ H ng 2:
= + = - - ��� 3 Q a 3 3 Ta có: 1 2 a a + + 2 4 2 a 3 2 a a a 4 2 2 2 a 3 = - = 2 a 3 4 9 4 a � � 2 � � � �
ậ ạ V y MinQ = i a = 2 t
3
2
ự ả ướ ả 9 4 ế D a vào k t qu đã bi ế ở t i trên ta có cách gi i sau: H ng 3:
2
ả cách gi + 2 - - - - 4a a 2) 4 = (cid:0) Xét hi u ệ Q 0 9 - = + a 4 9 1 - = 2 4 a 9a 2 4a
ﾡ
2
(cid:0) ứ ả ẳ ạ ạ Q . Đ ng th c x y ra t ậ i a = 2. V y MinQ = t i a = 2 9 4 (a 2)(4a 4a 9 4
+ ị ỏ ấ ủ ứ ể = A a Bài 3. Cho a (cid:0) 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 a
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 51 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
2
2
2
ọ ể ị ơ Ta ch n đi m r i t + Xác đ nh đi m r i:
+ - Phân tích ơ ạ i a = 2 ) ể ( = A a ka a Ta có: 1 + = a 1 a � ka � � � + � �
2
(cid:0) = (cid:0) ka = = (cid:0) ﾡ ﾡ ﾡ 4k k ấ ả D u “=” x y ra 1 a 1 2 1 8 (cid:0) = (cid:0) 2 a
2
2
2
2
2
2
ế ờ ẫ ớ ư V i cách phân tích này d n đ n l i gi i ả sai l m ầ nh sau:
+ + = + = = A a 2 1 + = a 1 a 7a 8 a 1 �� 2 8 a 7a 8 2 8 7.2 8 9 2
ậ � a � 8 � ạ V y MinA = t � + � � i a = 2
ư ờ ả ể ử ụ ở ờ ả i trên là l i gi i sai. B i vì đ s d ng đ ượ c + Nguyên nhân: Cũng nh bài toán 2.1,
ả ẫ i gi l ế ố ở ử BĐT Cauchy thì ta ph i làm sao kh h t bi n s a và m u. t
2
2
2
3
ử ế ể Tuy nhiên chúng ta cũng ko th phân tích:
2 ��� 3
2 1 - = a
2 7.2 - = 8
- = A a 3 3 1 + = a 1 + + a 1 a 7a 8 1 a 1 1 a + 8 a a 7a 8 1 + 8 1 2 9 2 � a � 8 � � + � �
ờ ả ề ướ ớ ả V i bài toán này ta cũng có nhi u h ng gi i khác nhau: + L i gi i đúng:
ướ H ng 1:
ơ ạ ạ ễ ấ ể ể ị k ơ Ta d th y đi m r i đ t t i a = 2 cho c p s + Xác đ nh đi m r i: ặ ố 2a và 1 a
2
(cid:0) = (cid:0) k. a = = (cid:0) ﾡ ﾡ ﾡ k 4 8 k ấ ả Ta có: D u “=” x y ra 1 2 (cid:0) 1 a = (cid:0) a 2
2
2
ứ ư ế ể ổ Khi đó ta bi n đ i bi u th c M nh sau:
2 ��� 3 a 3
- - - = A a 3.4 1 + = a 8 + + a 8 a 15 a 8 8 a a 15 = a 15 = 2 9 2 � a � � � � �
ạ Vây MinA = t i a = 2 9 2
2
2
2
2
ướ H ng 2: Ta có:
4
+ + - - - = A a a 3 = 2 a 3 � 4 1 + = a 1 2a a 16 15 16 1 1 a ��� 3 2a 2a 16 15 16 1 64 15 = 16 9 2 � 1 � 2a � � � �
ạ Vây MinA = i a = 2 t
2
ự ả ướ ế ả t ta có cách gi i sau 9 2 ế : D a vào k t qu đã bi H ng 3
- - - 2a 4a 1) - (cid:0) " (cid:0) Xét hi u: ệ A a 0 ( a 2) 9 - = 2 + 9a 2 2a + 2 (a 2)(2a 2a
ứ ả ẳ 9 1 + - = 2 2 a Đ ng th c x y ra khi a = 2
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 52 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
ướ ể ế ứ ư ổ H ng 4: ể Ta có th bi n đ i bi u th c đã cho nh sau:
+ 2 - - - = A a (a 2) 4 1 + = a 16 a 15 a � + 4a � � � � �
4a và
2
ố ươ ụ ể ớ ượ Áp d ng BDDT Cauchy cho hai s d ng ơ v i đi m r i là a = 2 ta đ c 16 a
+ 2 + - - - (cid:0) - - = A a (a 2) 4 0 2 4a. 4 - = 2 64 4 16 a 15 a 16 a 15 - = a 15 2 9 2 � + 4a � � � � �
1 + = a ứ ả ẳ Đ ng th c x y ra khi a = 2
(cid:0) ba
1(cid:0)
+ ố ươ ỏ = S ab Bài 4. Cho hai s d ng a và b th a mãn ị ỏ ấ ủ . Tìm giá tr nh nh t c a 1 ab
ư ề ế ế ế ẫ Phân tích ệ ủ + Sai l m: ầ N u không chú ý đ n đi u ki n c a a và b thì d n đ n sai làm nh sau
+ = (cid:0) ﾡ = S ab 2 Min S 2 1 ab
= = (cid:0) (cid:0) (cid:0) ﾡ ﾡ ﾡ ab 1 ab 1 (Vô lí) + Nguyên nhân: Min = 2 1 ab + a b 2 1 2 1 2
ờ ả + L i gi i đúng
2
= (cid:0) (cid:0) t 4 1 ab ặ Đ t t = ﾡ 1 ab
ế Đ n đây ta quay v “ 1 +� � a b � � 2 � � ề Bài toán 1”
= + ấ ủ ứ ể ỏ S t Cho t (cid:0) 4, Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị 1 t
ơ ạ ạ ấ ể + Ta th y Đi m r i đ t t i t = 4
(cid:0) = (cid:0) = = (cid:0) ﾡ ﾡ ﾡ 4k k ấ ả Ta có: D u “=” x y ra 1 t 1 4 1 16 4 kt (cid:0) =(cid:0) t
= + = + = S t �� 2 Ta có: 1 t 1 t 15t 16 t 1 15.4 + 16 16 t 1 15 = + 2 4 17 4 t � � 16 � � + � �
ớ a b V i t = 4 hay = = thì MinS = 17 4
ả ư ể Ta có th trình bày l i cho bài toán trên nh sau: 1 2 ờ i gi
Do t = 4 ﾡ a = b = nên ta có: 1 2
2
+ = + + (cid:0) (cid:0) = S ab 2 ab. 1 ab 1 16ab 15 16ab 1 16ab 17 4 � ab � � � + � � 16 15 +� � a b � � 2 � �
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 53 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ẳ ứ ả Đ ng th c x y ra khi a = b = 1 2
= + ủ ể P ứ Bài 5. Cho a, b > 0. Tìm GTNN c a bi u th c ab + a b + a b ab
ấ ể ị ả ủ ứ ậ Ta nh n th y và là hai bi u th c ngh ch d o c a nhau ậ + Nh n xét:
ề ạ ả + a b ab ằ ễ ab a b+ ư i bài toán trên b ng cách đ a bài toán v d ng nh “ D dàng gi ư Bài toán 1”
ờ ả + L i gi i
= = (cid:0) t ụ ố 2 t = (Áp d ng BĐT Cauchy cho hai s a và b) Đ t ặ . Ta có: + a b ab + a b ab 2 ab ab
P t Khi đó ta có: = + v i t ớ (cid:0) 2
ể ị ơ ạ ể ọ ơ Ta ch n đi m r i t i t = 2 1 t + Xác đ nh đi m r i:
( + -
)
= P kt t kt Ta có: 1 t � � + � � � �
(cid:0) = (cid:0) = = (cid:0) ﾡ ﾡ 2k k ấ ả 1 t D u “=” x y ra ﾡ 1 2 1 4 kt (cid:0) =(cid:0) t 2
= + = + = P t �� 2 2. Ta có: t 4 3t 4 t 1 4 t 3.2 4 1 2 3 + = 2 5 2 1 t 1 � � + + � � t � �
ậ ạ V y MinP = t i t = 2 ﾡ a = b > 0 5 2
ị ỏ ấ ủ ứ ể Bài 6. Cho a (cid:0) 10; b (cid:0) 100; c (cid:0) 1000. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P = a + b + c + 1 a 1 + + b 1 c
ể ả ệ ấ ả ả ộ ở Phân tích ề C ba bi n a, b, c không ràng bu c nhau b i đi u ki n nào, do đó có th x y ra b n ch t
ế ủ c a bài toán là:
ỏ ị + Tìm giá tr nh nh t c a P ấ ủ 1 = a + v i a ớ (cid:0) 10
ỏ ị + Tìm giá tr nh nh t c a P ấ ủ 2 = b + v i b ớ (cid:0) 100
ỏ ị + Tìm giá tr nh nh t c a P ấ ủ 3 = c + v i c ớ (cid:0) 1000 1 a 1 b 1 c
1 =
+ + = + (cid:0) ụ a + .10 2 10 Áp d ng BĐT Cô si ta có P 1 a 99 100 99 100 1 100 1 10 a � � 100 � � � �
ạ ượ Suy ra minP1 = 10 + , đ t đ ỉ c khi và ch khi a = 10. 1 10
2 = 100 +
ươ ự ạ ượ T ng t minP , đ t đ ỉ c khi và ch khi b = 100 1 100
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 54 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ạ ượ minP3 = 1000 + , đ t đ ỉ c khi và ch khi c = 1000 1 1000
+
+
=
ạ ựơ Do đó Min P = min P1 + min P2 + min P3 = 1110 , đ t đ ỉ c khi và ch khi a = 10, 111 1000 b = 100, c = 1000
A
x 4x 5 + x
2
(cid:0) ủ ứ ể Bài 7. Tìm GTNN c a bi u th c v i x ớ 0
6(cid:0)a
2 18 + a
ố ự ứ ể = A a ủ . Tìm GTNN c a bi u th c Bài 8. Cho s th c
2
+
+
+
+
+ 4) 1
( x
1
=
=
=
=
A
+ + 2
x
Phân tích
x 4 x 5 + x
2
+ + (x 4 x + x 2
2) + x 2
1 + x
2
Ta có:
+ Sai l m:ầ
=
+
=
�
�
A
+ + 2
x
2 ( x
2)
2
1 + x
2
1 + x
2
ẽ ẫ ế ế ế ộ Phân tích đ n đây n u ta v i vàng s d n đ n sai làm sau:
2
+
=
+ =
= -
ﾡ
ﾡ
ﾡ
+ = 2
x
( x
2)
1
2 1
x
x
1
+ Nguyên nhân
1 + x
2
ấ ả D u “=” x y ra khi (vô lý)
ờ ả
ﾡ
A t
+ L i gi ặ Đ t t = t (cid:0) 2
= + (Nh v y ta đã bi n đ i A v d ng nh ế
ư ậ ề ạ ổ ư Bài toán 1) i đúng: 2+ ﾡ x 1 t
1 t
ạ ạ ễ ậ ặ ố Lúc này ta d dàng nh n th y ơ đ t t i t = 2 cho c p s kt và ể ấ đi m r i
=
=
=
ﾡ
ﾡ
2k
k
1 t
1 2
1 4
kt (cid:0) =(cid:0) t
2
= + =
A t
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ấ D u “=” x y ra ﾡ
1 t
t 4
3t 4
1 �� 2 2
3 + = 2
5 2
1 � � + + � � t � �
ư ậ Nh v y
5 2
2
+
= B x
ậ V y MinA = khi t = 2 ﾡ x = 0
2
1 +
x
2
ủ ứ ể Bài 9. Tìm GTNN c a bi u th c
ươ ươ ặ ế Ph ng pháp 3. ử ụ S d ng ph ụ ng pháp đ t bi n ph
ươ I. Ph ng pháp
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 55 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ặ ế ố ươ ươ ụ
ế ề ể ng đ ứ ơ ử ụ ơ ử ụ ế ứ ể ả
ấ ẳ ằ ng. S d ng các b t đ ng B ng cách đ t bi n ph và s d ng các phép bi n đ i t ự ị ễ ể ứ ơ ả th c c b n ta có th chuy n bi n th c đã cho v bi u th c đ n gi n h n, d xác đ nh c c ị ơ tr h n.
ậ ậ ụ II. Bài t p v n d ng
1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12
Bài 1. Tìm GTNN c a Củ
HD:
6 (x2 + 3x + 5) + 17
6 (x2 + 3x + 5) + 17
C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - C1 = (x2 + 3x + 5)2 - 2 + 3x + 5 = a Đ t : xặ C1 = a2 - C1 = (a - 6a + 17 = a2 + 6a + 9 + 8 3)2 (cid:0) 3)2 + 8 (cid:0) 8 do (a - 0 (cid:0) a.
x
1
y
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C1min = 8 (cid:0) a – 3 = 0 (cid:0) a = 3 (cid:0) x2 + 3x + 2 = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1min = 8 (cid:0)
x y
1 2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V y : Cậ (cid:0) (cid:0) (cid:0)
6(cid:0)
2 = 2.
2
2
x y
y x
x y
y x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 2. Tìm GTNN c a Củ - 5 v i x, y > 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
HD:
2
2
(cid:0) Đ t : ặ = a (cid:0) 2 (cid:0) = a2 - 2
y x (cid:0) x y C2 = 2.( a2 -
y x y x 5a + 6 = 2a2 -
(cid:0) 5a + 2
(cid:0) ấ Ta th y : a 2) - 2 (cid:0) C2 = 2a2 - 5a + 2 (cid:0) 0
(cid:0) C2min = 0 (cid:0) a = 2 (cid:0) x = y > 0
2min = 0 (cid:0)
V y : Cậ
3
3
3 =
y x
x y
y x
(cid:0) Bài 3. Tìm GTNN c a Củ - ớ + 2004 v i x, y > 0 x = y > 0 x (cid:0) y
HD:
x (cid:0) y
y x
Đ t : ặ = a (cid:0) 2
x (cid:0) y
y x
(cid:0) = a2 - 2
Khi đó :
3a + 2 + 2002
a - Do ta có : a (cid:0) 0 (cid:0) (a - 1) (a - 2) (cid:0) 0
(cid:0) 2) - C3 = (a2 - 3a + 2004 C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - C3 = (a - 1)(a - 2) + 2000 1 > 0 ; a - 2 (cid:0) 2 (cid:0) C3 = (a - 1) (a - 2) + 2000 (cid:0) 2000
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 56 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ ng h c sinh gi i toán 8
(cid:0) C3 min = 2000 (cid:0) Chuyên đ b i d a = 2 (cid:0) x = y ; xy > 0
3 min = 2000 (cid:0)
y
x
z
V y Cậ x = y và xy > 0
y
z
x
z
x
y
(cid:0) (cid:0) Bài 4. Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN c a Củ 4 = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y (cid:0)
z
x (cid:0)
y
HD:
x (cid:0)
z
ặ Đ t : a = b = ; c = ;
a
c
z
x
y
b 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) =
a
c
a
a
c
x
y
z
b 2
b 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ;
a
c
a
c
a
b 2
cb 2 cb 2
b 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Khi đó : C4 =
(
)
3)
(
)
(
a b
b a
a c
c a
c b
b c
1 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C4 = (cid:0) (cid:0)
;2
;2
2
a b
b a
a c
c a
b c
c b
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ Theo Côsi v i a,b,c >0 ta có :
2(
2
)32
1 2
3 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C4 (cid:0)
4min =
3 2
3 2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) C4min = a = b = c (cid:0) x = y = z > 0. V y Cậ x = y = z > 0. (cid:0)
(
)
2
y 2 x
x 1(
1)( 2 1()
2 yx 2 y )
(cid:0) (cid:0) Bài 5. Tìm GTLN, GTNN c a Củ 5 = (cid:0) (cid:0)
2
HD:
a (cid:0)
a
b
(
(
)
ab
4
2b ) 4 2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : a.b (1) (cid:0) a, b và (2) (cid:0) a, b (cid:0)
a
b
2
2
2
2
x x
y
1 x
y
y 1)(
)
1(
2 yx 1)(
)
a (cid:0)
a (cid:0)
(
(
1( Khi đó : C5 = a.b Theo (1) và (2) ta có : -
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t : ặ và (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2b ) 4
2
2
2
2
2
2
2
2b ) 4 2
(cid:0) C5 = ab (cid:0)
x
x
C
5
2
2
y x
y x
1 4
1 4
1 1)(
2 yx 2 y )
1(
1 1)(
1(
2
2 yx 2 y ) 2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
C
5
2
2
1 4
1 4
y y
x
x
y y
) )
1)(1 2 1)(
) )
x ( 1(
x ( 1( 2
1)(1 2 1)( 2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
.
.
2
2
1 4
1 4
x x
y y
1 1
1 1
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C5 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
x x
y y
1 1
1 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : 0 (cid:0) 1 ; 0 (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 57 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
2
2
1 4
1 4
1 4
1 4
y y
1 1
1 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Do đó : C5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) C5min = (cid:0) (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2 (cid:0) x = 0
x x 1(cid:0) 4 (cid:0)
C5max = (1 - y2)2 = (1 + y2)2 (cid:0) y = 0
5min =
V y : Cậ (cid:0) x = 0
C5max = y = 0
ậ ự
1 4 1(cid:0) 4 1 (cid:0) 4 ệ luy n
III. Bài t p t
2 + 4 x +
2
1 (cid:0) x
x
1
ủ 1. Tìm GTNN c a A = x (cid:0)
;
a
a
1
2
3
50
a 3
3 2
50 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ (cid:0) (cid:0) 2. Tìm GTLN c a B = v i aớ (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 2
3. Cho a (cid:0) ; b (cid:0) ; c (cid:0) và a+ b + c = 1
a
c
1 2 Tìm GTLN c a C =
2
1 2 1
b 2
1
2
1
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ
3
4
2
x y
y x
x y
y 2 x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ (cid:0) (cid:0) 4. Cho x,y > 0. Tìm GTNN c a D = (cid:0) (cid:0)
ươ ử ụ ứ ể ụ Ph ng pháp 4. S d ng bi u th c ph
ươ
I. Ph ể ườ ứ ị ủ ứ ể ự i ta xét c c tr c a 1 bi u th c khác có th ể
ng pháp ự ị ủ ượ ớ ể Đ tìm c c tr c a 1 bi u th c nào đó, đôi khi ng ế ụ ễ ứ ể ự ị ơ . c v i nó, n u bi u th c ph d tìm c c tr h n so sánh đ
1 A
ị ủ ị ủ ứ ự ụ ứ ự ể ể ể ể ớ Ví d : Đ tìm c c tr c a bi u th c A v i A > 0, ta có th xét c c tr c a bi u th c : , -
ằ ố
2
ậ ậ ụ A, kA, k + A, |A| , A2 (k là h ng s ). II. Bài t p v n d ng
2
4
x (cid:0) x
x
1
ủ Bài 1. Tìm GTLN c a A = (cid:0)
HD:
(cid:0) ủ ớ ị a) Xét x = 0 (cid:0) ả A = 0 giá tr này không ph i là GTLN c a A vì v i x 0 ta có A > 0.
1 A
4
2
b) Xét x (cid:0) ặ 0 đ t P = khi đó Amax (cid:0) Pmin
x
1
2
x
1
x 2 x
1 2 x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ớ v i cách đ t trên ta có : P =
x
2
.
2
(cid:0) (cid:0) ta có : x2 + (theo côsi)
1 2 x Pmin = 3 (cid:0)
(cid:0) x = 1 P (cid:0)
1 2 x 2 + 1 = 3 (cid:0) 1 3
(cid:0) Do đó : Amax = x = 1
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 58 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
x
x 2002
2)
(
(cid:0) ủ ớ Bài 2. Tìm GTNN c a B = v i x > 0 (cid:0)
HD:
1max (cid:0)
ư ậ Đ t Pặ 1 = - Mmin
(cid:0)x
2)
(
(cid:0) ớ Ta có : P1 = v i x > 0 P > 0 B nh v y P x 2002
2 Min (cid:0)
1 P 1
2
2
2
ớ Đ t Pặ 2 = > 0 v i x > 0 khi đó P P1 Max
x
x
(
)
x ..2
2002
2002 x
2002 x
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P2 =
x
x ..2
2002
x ..4
2002
2002 x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) P2 =
x
(
)
.4
2002
.4
2002
8008
2002 x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P2 =
x
2)
(
(cid:0) (do (cid:0) 0 (cid:0) x > 0)
2002 x P2 Min = 8008 (cid:0)
(cid:0) x = 2002
(cid:0) P1 Max = x = 2002 (cid:0)
Min = -
1 8008
(cid:0) (cid:0) BMin = - x = 2002. V y Bậ (cid:0) x = 2002
1 8008 1 8008 ươ
Bài 3. Cho a,b, c d ng và a + b + c = 3
a
a
5
b 4
b 5
c 4
c 5
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ Tìm GTLN c a C =
HD:
Do a, b, c > 0 (cid:0) C > 0
2 khi đó
MaxP
ặ Đ t : P = C (cid:0) CMax
a
c
a
5
b 4
b 5
4
c 5
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : P = ( )2
(cid:0) (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki
3.9(a + b + c) = 81 do a + b + c = 3 P (cid:0) P (cid:0)
2
a = b = c = 1
a = b = c = 1
a = b = c = 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) V y Cậ PMax = 81 (cid:0) MaxC = 81 (cid:0) CMax = 9 (cid:0) Max = 9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) a = b = c = 1
y
t
y
x
y
x
t
x
t
y
t
x
t
x
y
x
y
t
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ Bài 4. Cho x, y, z, t > 0. Tìm GTNN c a D = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
HD:
ặ Đ t P = 2D ta có :
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 59 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
x
x
y
t
x
t (2
)
(2
)
)
(2
2
t 2
2 y
t
y x
y x
t
y
x
y
t
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
t
y
x
y
t
x
t
t
x
x
t
2
t 2
2 y
t
x
y x
t
x y
x
y
x
y
t
y 2
2
t 2
3 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
t
x
y
x
t
2
t 2
2 y
t
x
y x
t
x y
x
y
y x
t x
t y
x y
x t
y t
y 2
2
t 2
3 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3 6
2 + 2 + 2 + .6 (theo côsi) P (cid:0)
x = y = t > 0 P (cid:0) 15 (cid:0)
Min =
(cid:0) x = y = t. DMin = (cid:0) V y Dậ x = y = t (cid:0)
15 2 ủ
PMin = 15 (cid:0) 15 2 Bài 5. Cho x, y > 0 và 7x + 9y = 63 Tìm GTLN c a E = x.y
HD:
2
Đ t : ặ P = 63.E ta có :
x
y
7
9
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = 63xy = 7x.9y (cid:0) (theo côsi) (cid:0) (cid:0)
3969 4
3969 PMax = 4
63 (cid:0) 2
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P (cid:0) = (cid:0) (cid:0)
x
4,5
= y 3,5
63 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ả D u "=" x y ra 7x = 9y = (cid:0) (cid:0)
x
5,4
y
5,3
63 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) EMax = : 63 = (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3969 4 Bài 6. Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN c a F = 2x + 3y HD:
ủ
2P khi đó P2 = (2x + 3y)2
Xét : P1 = |F| khi đó P1 = |2x + 3y|
1
P2 =
x y
4 6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P2 Max = 13.13.4 (cid:0) ho c ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t :ặ Theo Bunhiacôpxky : P2 (cid:0) x y (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4 4 6
x
4
y
6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P1 Max = 26. Do F (cid:0) |F| = P (cid:0) FMax = 26 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
Max = 26 (cid:0)
y
4 6
4
2
4
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) V y Fậ (cid:0) (cid:0)
4
4
2
2
x y
y x
x y
y x
x y
y x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ Bài 7. Cho x, y > 0. Tìm GTNN c a G =
4
2
4
2
HD:
4
4
2
2
x y
y x
x y
y x
x y
y x
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ Đ t : P = G 2 ta có : P = 2
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 60 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
4
2
4
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
.2
1
.2
.
2
.2
1
2
2
4
2
4
2
x y
y x
x y
y x
y x
y x
x y
x y
y x
x y
2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
)
(
1
1
0
2
2
x y
y xy
y x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x y PMin = 0 (cid:0)
y x Min = 2 (cid:0)
(cid:0) x = y > 0. V y Gậ x = y > 0
ậ ậ ụ III. Bài t p v n d ng
xy z
yz x
zx y
4
8
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ 1. Cho x,y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTNN c a A
x
1
x 4 x
8
(cid:0) (cid:0) ủ 2. Cho x (cid:0) 0. Tìm GTNN c a B =
8
16
x (cid:0) x
1
x ủ
ủ 3. Cho x (cid:0) 0. Tìm GTLN c a C = (cid:0)
1
1
4 2 b
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ 5. Cho a,b > 0 và a + b = 2. Tìm GTNN c a E = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4. Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN c a D = a + 2b + 3c 4 2 a
a
b
b
c
c
d
d
a
b
c
d
c
d
a
b
a
b
c
d
a
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ 6. Cho a, b, c, d > 0. Tìm GTNN c a F = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
b
b
a
1(
)
1(
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ 7. Cho a,b (cid:0) |R. Tìm GTNN c a G =
ươ ươ ề Ph ng pháp 5. Ph ị ng pháp mi n giá tr
ợ ặ ứ ạ ố ể ặ ộ ng h p đ c bi
ể ứ ề ể ử ụ ề ế
ố ể ả ấ ấ ệ ệ ế ỉ t, bi u th c đ i s đã cho ch có th có m t ho c hai bi n ứ ậ ị ủ c v d ng tam th c b c 2 thì ta có th s d ng ki n th c v mi n già tr c a ả i và th y r t hi u qu .
ươ ng pháp I. Ph ộ ố ườ Trong m t s tr ư ượ ề ạ ố s và đ a đ hàm s đ gi ố
ườ Đ ng l ả i chung là : ự ị ủ ả ử ề ố ọ ộ ị ị Gi ủ i s ta ph i tìm c c tr c a hàm s f(x) có mi n giá tr D. G i y là m t giá tr nào đó c a
(cid:0) ề ệ ể ươ ệ
ề ệ ả ng trình f(x) = y có nghi m. Sau đó ế ố f(x) v i x ớ gi ề D. Đi u này có nghĩa là đi u ki n đ ph ể ươ ệ i đi u ki n đ ph ng trình f(x) = y có nghi m (x là bi n, coi y là tham s ).
(cid:0) ườ ư ế ứ Th ể ng đ a đ n bi u th c sau : m y (cid:0) M
(cid:0) (cid:0) T đó ừ Min f(x) = m v i x ớ D.
(cid:0) (cid:0) Max f(x) = M v i x ớ D.
ậ ậ ụ II. Bài t p v n d ng
2 + 4x + 5
ủ Bài 1. Tìm GTNN c a f(x) = x
HD:
ộ
ị ủ ọ G i y là m t giá tr c a f(x) . y = x2 + 4x + 5 Ta có :
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 61 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
(cid:0) y = 0 (có nghi m)ệ
(cid:0) (cid:0) 5 + y (cid:0) 0
(cid:0)
ậ x2 + 4x + 5 - ' = 4 - y (cid:0) 1 x = - 2 Min = 1 (cid:0) V y f(x)
- x2 + 2x -
ủ Bài 2. Tìm GTLN c a f(x) = 7
HD:
ộ
ọ G i y là m t giá tr c a f(x) . Ta có : 7
(cid:0) (có nghi m)ệ
(cid:0) (cid:0) 0
(cid:0)
2
ậ ị ủ y = - x2 + 2x - x2 - 2x + y + 7 ' = 1 - y - 1 (cid:0) - y (cid:0) 6 Max = - 6 (cid:0) x = 1 V y f(x)
2
x x
x x
4 2
6 3
(cid:0) (cid:0) ủ Bài 3. Tìm GTLN, GTNN c a f(x) = (cid:0) (cid:0)
HD:
2
4 2
ọ ị ủ ộ G i y là m t giá tr c a f(x) . 2 (cid:0) (cid:0) Ta có : y = (cid:0) yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (y - 6 = 0 (có nghi m)ệ
x x x x 1)x2 + 2 (y - x = -
6 3 2).x + 3y - 3 2
(cid:0) ế * N u y = 1
(cid:0) ế * N u y (cid:0) 6)(1 - y) (cid:0)
1 2
(cid:0) 1 (cid:0) y2 - 4y + 4 - ' = (y - 2)2 + (3y - 3y2 + 3y + 6y - 6 (cid:0) 0 (cid:0) 0 - 2y2 + 5y + 2 (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) y (cid:0) 2
1 2
Ta th y : ấ < 1 < 2
Do v y : ậ (cid:0) f(x) Min = x = 3
2
x = 0
2
1 2 f(x) Max = 2 (cid:0) x x
x 2 x 2
6 1
(cid:0) (cid:0) ủ Bài 4. Tìm GTNN c a f(x) = (cid:0) (cid:0)
HD:
2
ị ủ ộ ọ G i y là m t giá tr c a f(x) .
2
(cid:0) (cid:0) Ta có : y = (cid:0) (cid:0)
(cid:0) 6 = 0
(cid:0) yx2 + 2yx + y - 1)x2 - (y - 6 = 0 (có nghi m)ệ
x x 6 2 x x 1 2 2x - x2 - 2(y + 1)x + y - 5 x = - 4
(cid:0) ế * N u y = 1
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 62 tdhoangclassic@gmail.com
ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
(cid:0) ế * N u y (cid:0) ề ồ ưỡ 1)(y - (y - ọ 6) (cid:0) 0
5 9
(cid:0) 1 (cid:0) y2 + 2y + 1 - ' = (y + 1)2 - y2 + 6y + y - 6 (cid:0) 0 (cid:0) 9y - 5 (cid:0) 0 (cid:0) y (cid:0)
Min =
5 9
5 9
7 2
7 2
5 9
2
ậ Do < 1 nên ta có YMin = . V y f(x) x = (cid:0) x = - (cid:0)
2
x x
2 1
(cid:0) ủ Bài 5. Tìm GTLN c a f(x) = (cid:0)
HD:
2
x x
ọ ị ủ ộ G i y là m t giá tr c a f(x). 2 (cid:0) Ta có : y = yx2 + y - x2 - 1 = 0 (cid:0) (y - 1)x2 + y - 2 = 0 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) y (có nghi m)ệ
2 1 (y - 1)x2 = 2 - Ph
y 1
(cid:0) ươ ế ệ * N u y = 1 (cid:0) (cid:0) ế * N u y 1 (cid:0) x2 = (1) (cid:0) ng trình vô nghi m 2 y
2 y
y 1
(cid:0) (1) có nghi m ệ (cid:0) 0 (cid:0) 1 < y < 2 (cid:0) (cid:0)
Max = 2 (cid:0)
(cid:0) ậ x = 0. V y f(x) x = 0
YMin = 2 (cid:0) ậ ự III. Bài t p t ệ luy n
x
3
2
2
x
x
x
x
4
4
7
25 4
4
1. Tìm GTNN c a : ủ (cid:0) a) A = 5x2 + x + 7 ; b) B = ; c) C = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2. Tìm GTLN c a :ủ
x
2
x
11 x 4
18
x 7 2 x
74 x
10
196 25
(cid:0) (cid:0) (cid:0) a) A = x2 + x + 2 ; b) B = ; c) C = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
3. Tìm GTLN và GTNN c a :ủ
8
x
x
1
2
xy 2
2
x 2 (cid:0)
x x
6 y
4 x
3 1
x
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) A = ; b) B = ; c) C = (cid:0) (cid:0)
ươ ươ ừ ả Ph ng pháp 6. Ph ị ng pháp xét t ng kho ng giá tr
ng pháp
ổ ươ
ế ổ ỉ ử ụ ể ươ ng đ ả ế ậ ử ụ ứ ế
ự ệ
ị ẫ ả ừ ế ề ự ự có s d đoán ấ ẳ ng, các b t đ ng th c c ươ ụ ng pháp đ i bi n hay bi u th c ph , th m chí ngay c khi s d ng ph ể ặ ấ ị ố ượ ự ợ c c c tr tr t cách xét t ng kho ng h p lý ( ứ ơ ng pháp ượ c. ị ở ệ ) thì vi c tìm đ
ả ươ I. Ph ề Có nhi u bài toán n u ta ch s d ng các phép bi n đ i t ươ ả b n ph ề mi n giá tr hàm s , vi c tìm c c tr v n g p r t nhi u khó khăn có khi không th tìm đ ữ Nh ng khi ta bi ơ nên đ n gi n.
ậ ậ ụ II. Bài t p v n d ng
m -
ủ 5m|
Bài 1. Cho m, n (cid:0) N*. Tìm GTNN c a A = |36 HD:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 63 tdhoangclassic@gmail.com
ỏ ề ồ ưỡ i toán 8 ng h c sinh gi
Do m (cid:0) n (cid:0) Vì v y : ậ
m > 5m thì A có ch s t n cùng là 1 m > 36m thì A có ch s t n cùng là 9 ) vì (36m - ) vì (5m -
ế N u 36 N u 5ế
1) : 7 còn 5m :7 36m) : 9 còn 9 : 9
ẳ ạ
2
ọ Chuyên đ b i d N* (cid:0) 36m có ch s t n cùng là 6 ữ ố ậ N* (cid:0) 5m có ch s t n cùng là 5 ữ ố ậ ữ ố ậ ữ ố ậ a) Xét A = 1 ta có : 36m - 5m = 1 (không x y raả b) Xét A = 9 ta có : 5m - 36m = 9 (không x y raả c) Xét A = 11 , x y ra , ch ng h n m = 1, n = 2 V y Aậ ả Min = 11 (cid:0) m = 1; n = 2
n
n 2
ấ ủ ị ớ Bài 2. Cho m (cid:0) N*. Tìm giá tr l n nh t c a B =
HD:
1 2
ớ V i n = 1 ta có : B = < 1
ớ V i n = 2
ớ V i n = 3 ta có : B = > 1
ớ V i n = 4 ta có : B = 1 9 8 ta có : B = 1
ớ V i n = 5 ta có : B = < 1
9 16
25 32 36 (cid:0) 64
ớ V i n = 6 ta có : B = < 1
.................................................................................
(cid:0) ằ ớ
2
ự ậ ậ 5, n (cid:0) ự ứ ươ ạ N thì B < 1 Ta d đoán r ng v i n ằ Th t v y : Ta ch ng minh d đoán b ng ph ng pháp quy n p.
n
n 2 ứ
a) Gi ả ử (cid:0) s n 5, n (cid:0) N ta có B = < 1 (*)
2
ứ ứ ả ầ ả ớ Ta c n ph i ch ng minh công th c (*) đúng v i (n+1) nghĩa là ph i ch ng minh :
(
1
(cid:0)n
)1 1
2 < 2n (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (n + 1)2 < 2n+1 (1)
T (*) ta có : n Đ ch ng minh (1) ta ch ng minh (n + 1)
2
(cid:0) 2n2 < 2n+1 ứ n2 - 2n - (2) 2 < 2n2 (n - 1 > 0 (cid:0) 1)2 - 2 > 0 (đúng vì (cid:0) 5)
n
n 2 ừ ể ứ n2 + 2n + 1 < 2n2 (cid:0) n 2
(cid:0) ế < 1 n (cid:0) 5, n (cid:0) N* ậ b) K t lu n : B =
max =
9 8
ab
V y Bậ n = 3 (cid:0)
ac
bd
ủ Bài 3. Cho a, b, c, d (cid:0) N* và a + b = c + d = 20. Tìm GTNN và GTLN c a T = (cid:0)
HD:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 64 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
c b
1 T
(cid:0) (cid:0) ặ Do T (cid:0) 0 nên đ t P =
PMax
ư ậ Nh v y : Do a, b, c, d (cid:0) a, b, c, d (cid:0) 19
d a TMin (cid:0) TMax (cid:0) N* và a + b = c + d = 20 (cid:0) c
2
c 10
20 10
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Xét a = b = 10 lúc đó P = PMin 1 (cid:0) d 10
ợ ự ng t )
b 10 ươ a (cid:0)
ườ * Xét b < a (tr b < 10 < a hay 1 (cid:0) ng h p b > a t b (cid:0) 19 ; 11 (cid:0)
Min = PMax = 19 +
ướ ế a) Tr c h t ta tìm T 19 1 19
ườ Ta xét 3 tr
19 a1)
1
11
10 b
c b
10 a
10 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Khi đó : P = ợ ng h p sau : 1 (cid:0) b < 10 = c = d < a (cid:0) d a
1
3
c b
19 11
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d (cid:0) 1 (cid:0) c (cid:0) b < 10 < a (cid:0) 19. Khi đó : P = a2)
1
11
d a 19 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế a3) 1 (cid:0) d (cid:0) b < 10 < a (cid:0) c (cid:0) 19N u b > 1 thì P
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 19 ế N u b = 1 thì P 19 1 1 19 1 19
19
Max =
1 19
172 19
(cid:0) (cid:0) ườ ấ ợ ế ợ ả K t h p c 3 tr ng h p ta th y P
19 172
Do đó TMin = a =19, b = 1 , c = 19 , d = 1 (cid:0)
Max = PMin v i 1 ớ
(cid:0) ờ b) Bây gi ta tìm T a (cid:0) 19 b (cid:0)
c
c
1 a
c b
d a
c b
20 a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P = (cid:0) (cid:0) 9 ; 11 (cid:0) 20 a
0
1 b
1 a
1 b 1 (cid:0) b
1 a
(cid:0) (cid:0) ặ Ta có : ; đ t A =
20 a ớ
19
Ta có : P = A.C +
1 b
1 a
19 a
b
1 b
20
20 a 19
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Xét P = (cid:0) Vì A > 0 nên PMin v i C = 1 1 b
(cid:0) Pb = (cid:0)
1 b 20 Pb : 1 (cid:0)
Đ t ặ (cid:0) * Xét Pb+1 - 9 ; b (cid:0) N
b b (cid:0) 18 2 b 19)(1
(cid:0) (cid:0) 380 Pb+1 - Pb = (cid:0) (cid:0) (cid:0) b 58 b b 20)( )
(cid:0) bb ( b)(20 - Ta có : b(1 + 1)(19 - b) > 0 1 (cid:0) b (cid:0) 9 , b (cid:0) N
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 65 tdhoangclassic@gmail.com
ọ ỏ ề ồ ưỡ ng h c sinh gi i toán 8
ậ Chuyên đ b i d 2 + 58b - Do v y : Xét t = 18b
7681
o c a (*) là t =
18
(cid:0) 380 (*) 29 (cid:0) ươ ủ ệ Nghi m d ng t
ả ấ Ta có b ng xét d u :
29 (cid:0)
7681
29 (cid:0)
7681
(cid:0) (cid:0) - + b
18 0
18 0
- t + +
V i ớ Pb+1 < Pb
o < 4
ứ ượ Pb+1 > Pb c 3 < b
1
(cid:0) (cid:0) Xét P3 = (cid:0) P3 > P4
1
1
19 7 7 16
(cid:0) (cid:0) P4 = 0 < b < bo thì t < 0 (cid:0) b > bo thì t > 0 (cid:0) Luôn luôn ch ng minh đ 1 23 3 51 7 16
T
max
23 16
16 23
(cid:0) (cid:0) Nên : a = 16 , b = 4, c = 1, d = 19 thì PMin =
Max =
16 23
19 172
ậ V y : T ; TMin =
ậ ậ ụ III. Bài t p v n d ng
m 5m| v i m,n ớ
(cid:0) ủ 1. Tìm GTNN c a A = |11 N*
a (cid:0) c
b d
ủ 2. Cho a, b, c, d (cid:0) N* và a + b = c + d = 1000. Tìm GTLN c a B =
m ; n (cid:0) 1981 và (n2 mn m2)2 = 1
2 + n2
N và 1 (cid:0) ủ 3. Cho m, n (cid:0) Tìm GTLN c a C = m
ươ ươ ọ Ph ng pháp 7. Ph ng pháp hình h c
ị ủ ứ ạ ố ế ứ ở ạ ể Trong các bài toán xét c c tr c a bi u th c đ i s n u bi u th c
ổ ứ ạ ố ự ể
ể ể ư ệ ị ủ ạ ộ ự ứ ẳ ủ ủ ứ ể ằ ạ ọ ợ
ẳ
2
2
ệ ủ d ng là t ng hi u c a ậ căn b c hai c a các tam th c thì ta có th đ a bài toán xét c c tr c a các bi u th c đ i s sang ạ ộ xét đ dài c a các đo n th ng b ng vi c ch n các đi m có to đ thích h p ch a các đo n th ng đó. ế ầ ậ ụ
x
y
y
(
)
(
)
x 1
2
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) AB = ế + N u A(x
Lý thuy t c n v n d ng. 1, y1); B (x2, y2) (cid:0) ể ấ ỳ ớ + V i 3 đi m M, A, B b t k ta có :
AB (cid:0) MA + MB
2
2
|MA – MB| (cid:0) ậ ậ ụ Bài t p v n d ng
x
x
x
x
4
5
10
50
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ Bài 1. Cho f(x) = ị ớ . Hãy tìm giá tr l n nh t c a f(x) .
HD:
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 66 tdhoangclassic@gmail.com
2
2
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
x
x
(
)2
1
(
)5
25
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : f(x) =
2
2
2
2
2
2
ạ ộ ể ặ ẳ ọ Ch n trong m t ph ng to đ 3 đi m : A (2,1); B(5, 5); M (x, 0)
(cid:0)x
(cid:0)x
(
)2
1
(
)5
5
3
4
5
25
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : MA = ; MB = ; AB =
(cid:0)x
(cid:0)x
(
)2
1
(
)5
5
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ M t khác ta có : |MA MB| AB hay | | (cid:0) 5
(cid:0)x
ấ ủ ị ớ ể ẳ ậ ỉ V y giá tr l n nh t c a f(x) = 5 khi và ch khi 3 đi m M, A, B th ng hàng.
4 3
5 3
ạ ươ ủ ườ ẳ Ta l i có ph ng trình c a đ ng th ng qua A và B là : d =
5 4
5 4
2
2
2
2
ạ ấ ủ ị ớ ạ ạ ậ ắ d c t ox t i M ( ; 0). V y giá tr l n nh t c a f(x) = 5 đ t t i x =
x
x
x
x
x
x
5
32
64
5
40
100
5
8
16
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 2. Cho f(x) =
x 5 ỏ
20 ấ ủ
ị Tìm giá tr nh nh t c a f(x) (1)
2
2
2
HD:
x
x
x
5
20
(
)4
2(
)2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có :
x
x
x
x
5
40
100
2(
)10
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
2
ọ Ch n A (4 , 2) ; B(x , 2x) ; C (0, 10)
x
x
x
x
(
2(
)2
2(
)10
4
10
)4 Ta có : AB + BC (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AB = ; BC = ; AC =
AC
4
10
x
5 2 (cid:0)x
20
5 2 x
40
100
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + (2)
x
x
x
x
5
32
64
2(
)8
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ạ Ta l i có :
x
x
x
5
8
16
(
)4
x )2(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
2
ọ ch n D (x, 8); E (0, 2x) ; F (x4, 0)
x
2(
)8
(
)4
x )2(
54
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; EF = ; DF =
2
2
2
2
DE = x x ta có : DE + EF (cid:0) DF
x
x
x
2(
)8
(
)4
x )2(
54
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (3)
4( 5 + 10 )
ỉ ộ C ng (2) và (3) ta có : VT (cid:0) VT = 4( 5 + 10 ) khi và ch khi
ườ ệ ẳ PT đ ậ ng th ng đi qua AB nh n C (0, 10) là nghi m (cid:0)
ườ ệ ẳ ẳ A,B,C th ng hàng ẳ D,E,F th ng hàng PT đ ậ ng th ng đi qua DE nh n F (x4, 0) là nghi m
(cid:0) ả ề ượ Gi ệ i đi u ki n ta tìm đ c x = 2.
5 + 10 ) t
ấ ủ ậ ỏ ị ạ V y giá tr nh nh t c a f(x) = 4 ( i x = 2.
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 67 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
ậ ậ ị ủ ứ ể ể ỏ ườ Nh n xét ụ : V n d ng ph ng pháp này đ tìm c c tr c a bi u th c, đòi h i ng i gi ả i
ữ ể ươ ể ả ự ầ ả ấ ế khi ch n đi m đ th o mãn nh ng yêu c u bài toán.
2
2
ph i r t tinh t ậ ọ ả : Bài t p tham kh o
x
x
x
x
2
5
2
10
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ ỏ ị Bài 1 : Tìm giá tr nh nh t c a f(x) =
x
x
x
x
4
2
1
4
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ ị ớ Bài 2 : Tìm giá tr l n nh t c a f(x) =
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 68 tdhoangclassic@gmail.com
ề ồ ưỡ ọ ỏ Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng 3 tdhoangclassic@gmail.com
