Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8ề ồ ưỡ ọ ỏ
CHUYÊN Đ: TÌM GTLN, GTNN C A BI U TH CỀ Ủ Ể Ứ
M C L CỤ Ụ
I.LÝ THUY TẾ .................................................................................................................................. 2
II.M T S PH NG PHÁP C B NỘ Ố ƯƠ Ơ Ả ......................................................................................... 3
Ph ng pháp 1. S d ng phép bi n đi đng nh tươ ử ụ ế ổ ồ ấ .................................................................... 3
Ph ng pháp 2. Ph ng pháp ch n đi m r iươ ươ ọ ể ơ ............................................................................ 49
Ph ng pháp 3.S d ng ph ng pháp đt bi n ph ươ ử ụ ươ ặ ế ụ ............................................................... 55
Ph ng pháp 4.S d ng bi u th c phươ ử ụ ể ứ ụ ..................................................................................... 58
Ph ng pháp 5.Ph ng pháp mi n giá trươ ươ ề ị ................................................................................. 61
Ph ng pháp 6.Ph ng pháp xét t ng kho ng giá tr ươ ươ ừ ả ị .............................................................. 63
Ph ng pháp 7. Ph ng pháp hình h c ươ ươ ọ .................................................................................... 66
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng
tdhoangclassic@gmail.com 1
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8ề ồ ưỡ ọ ỏ
I. LÝ THUY TẾ
1. Đnh nghĩaị
M. đc g i là GTLN c a f(x,y,...) trên mi n xác đnh D n u 2 đi u ki n sau đng th iượ ọ ủ ề ị ế ề ệ ồ ờ
tho mãn :ả
1. f(x,y,...) M (x,y,..) D
2. (x0, y0,...) D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hi u : M = Max f(x,y,..) = fệmax v i (x,y,...) ớ D
M. đc g i là GTNN c a f(x,y,...) trên mi n D đn 2 đi u ki n sau đng th i tho mãn :ượ ọ ủ ề ế ề ệ ồ ờ ả
1. f(x,y,...) M (x,y,..) D
2. (x0, y0,...) D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hi u : M = Min f(x,y,..) = fệmin v i (x,y,...) ớ D
2. Các ki n th c th ng dùngế ứ ườ
2.1. Lu th aỹ ừ :
a) x2 0 x R x2k 0 x R, k z
−
x2k 0
T ng quát : ổf (x)2k 0 x R, k z
−
f (x)2k 0
T đó suy ra : ừf (x)2k + m m x R, k z
M
−
f (x)2k M
b)
x
0 x 0 (
x
)2k 0 x 0 ; k z
T ng quát : (ổ
A
)2k 0 A 0 (A là 1 bi u th c)ể ứ
2.2 B t đng th c ch a d u giá tr tuy t điấ ẳ ứ ứ ấ ị ệ ố :
a) |x| 0 xR
b) |x + y| |x| + |y| ; n u "=" x y ra ế ả x.y 0
c) |x
−
y| |x|
−
|y| ; n u "=" x y ra ế ả x.y 0 và |x| |y|
2.3. B t đng th c côsiấ ẳ ứ :
ai 0 ; i =
n,1
:
nn
n
aaa
n
aaa ......
....
21
21
nN, n 2.
d u "=" x y ra ấ ả a1 = a2 = ... = an
2.4. B t đng th c Bunhiacôpxki ấ ẳ ứ :
V i n c p s b t k aớ ặ ố ấ ỳ 1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2 (
)....).(.... 22
2
2
1
22
2
2
1nn bbbaaa
D u "=" x y ra ấ ả
1 2 n
1 2 n
a a a
... Const
b b b
= = = =
= Const
N u bi = 0 xem nh ai = 0ế ư
2.5. B t đng th c Bernonlly : ấ ẳ ứ
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng
tdhoangclassic@gmail.com 2
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8ề ồ ưỡ ọ ỏ
V i a ớ 0 : (1 + a)n 1 + na n N.
D u "=" x y ra ấ ả a = 0.
II. M T S PH NG PHÁP C B NỘ Ố ƯƠ Ơ Ả
Ph ng pháp 1.ươ S d ng phép bi n đi đng nh tử ụ ế ổ ồ ấ
B ng cách nhóm, thêm, b t, tách các h ng t m t cách h p lý, ta bi n đi bi u th c đã choằ ớ ạ ử ộ ợ ế ổ ể ứ
v t ng các bi u th c không âm (ho c không d ng) và nh ng h ng s . T đó :ề ổ ể ứ ặ ươ ữ ằ ố ừ
1. Đ tìm Max f(x,y,...) trên mi n D ta ch ra :ể ề ỉ
0 0
f (x, y...) M
(x , y ....)
∃
ﾡ
sao cho f(x0,y0,...) = M
2. Đ tìm Min f(x,y,...) trên mi n D ta ch ra :ể ề ỉ
0 0
f (x, y...) m
(x , y ....)
∃
ﾡ
sao cho f(x0,y0,...) = m
Ph ng pháp gi i các bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a m t bi u th c điươ ả ị ớ ấ ỏ ấ ủ ộ ể ứ ạ
s b ng cách đa v d ng A(x) ố ằ ư ề ạ
0 { ho c A(x) ặ
0 }
−
Đ tìm giá tr nh nh t c a m t bi u th c A(x) ta c n:ể ị ỏ ấ ủ ộ ể ứ ầ
+ Ch ng minh r ng A(x) ứ ằ
k v i k là h ng s .ớ ằ ố
+ Ch ra d u "=" có th x y ra.ỉ ấ ể ả
−
Đ tìm giá tr l n nh t c a m t bi u th c A(x) ta c n:ể ị ớ ấ ủ ộ ể ứ ầ
+ Ch ng minh r ng A(x) ứ ằ
k v i k là h ng s .ớ ằ ố
+ Ch ra d u "=" có th x y ra.ỉ ấ ể ả
D ng 1.ạ Tìm GTNN và GTLN c a đa th c b c hai đn gi nủ ứ ậ ơ ả
Ph ng pháp: ươ Áp d ng h ng đng th c bình ph ng c a m t t ng và hi uụ ằ ẳ ứ ươ ủ ộ ổ ệ
Bài 1. Tìm giá tr nh nh t c a các đa th c sau:ị ỏ ấ ủ ứ
a) A = x2 + 4x + 7 b) R = 3x2 – 5x + 3 c)
d) A = x2 + 2x + y2 + 1 e)
2
A(x) x 4x 24
= − +
f)
2
B(x) 2x 8x 1
= − +
g)
2
C(x) 3x x 1
= + −
h)
( ) ( )
2 2
A 2x 1 3x 2 x 11
= + − − + −
i)
= + −
2
P 2 x x
j)
2
Q 4x 4x 11= + +
k)
2
N x 4x 1= - +
l)
2
D 3x 6x 1
= − +
m)
2 2
K x 2x y 4y 6= - + - +
n) B = x2 + y2 + 2xy + 4 o)
2
Q 4x 3x 2= + +
p) M = 5x
2
– |6x – 1| – 1 q)
2
A 9x 6x 4 3x 1 6
= − − − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
B 2 x 1 3r) x 2 4 x 3
= + + + − +
HD:
q) Đt ặ
2 2 2 2
3x 1 t t 9x 6x 1 A t 4t 5 (t 2) 1 1− = = − + = − + = − + ﾡ ﾡ
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng
tdhoangclassic@gmail.com 3
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8ề ồ ưỡ ọ ỏ
D u “=” x y ra khi t = 2 ấ ả ﾡ
x 1
3x 1 2 1
x3
=
− = = −
ﾡ
.
Bài 2. Tìm giá tr l n nh t c a các đa th c sauị ớ ấ ủ ứ
a) A = – x2 + 6x – 15 b) B =
−
5x2
−
4x + 1 c) C = – x2 + 4x – 5 < 0
d) D = 4x – 10 – x2 e)
= + −
2
E 2 x x
f)
2
F 5x 4x 1
= − − +
g)
2
G 3x x 1
= − + +
h)
2
H x 4x 7= − − −
i)
2
K 5x 7x 3= − + −
j)
2
1
L x x 1
2
= − − −
k)
2
1
M x 2x 5
3
= − + −
l)
2
N x x 1= − − −
Bài 3. Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
2 2 2
B 2x 2y 5y 5
= − + +
b)
2 2 2
D(x) 2x 3y 4z 2(x y z) 2
= + + − + + +
c)
2 2
A x 4y 4x 32y 2018
= + − + +
d)
2 2
A 3x y 4x y
= + + −
e)
2 2
A x 2x 3 4y 4y= + + + +
f)
2 2
B 4x y 12x 4y 15= + + + +
g)
2 2 2
C 5x y z 4xy 2xz= + + + +
h)
2 2
D x 17 4y 8x 4y= + + + +
i)
2 2
E 16x 5 8x 4y y= + + − +
j)
2 2
F x y 2x 6y 2= + + − −
k)
2 2
I x 4xy 5y 6y 11
= + + − +
l)
2 2
M x 2xy 2y 2y 1
= − + − +
m)
2 2
R x 2y 2xy 2y
= + + −
n)
2 2
A 4x 5y 4xy 16y 32
= + − − +
o)
2 2 2
B x 5y 5z 4xy 4yz 4z 12
= + + − − − +
p)
2 2
C 5x 12xy 9y 4x 4
= − + − +
q)
2 2
E x 5y 4xy 2y 3
= + − + −
r)
2 2 2
Q x 4y z 2x 8y 6z 15 0
= + + − + − + =
s)
2 2
A 2x y 2xy 2x 3
= + − − +
t)
2 2
B 2x y 2xy 8x 2028
= + + − +
Bài 4. Tìm giá tr l n nh t c a các bi u th c sau:ị ớ ấ ủ ể ứ
a)
2 2
B 2 5x y 4xy 2x
= − − − +
b)
2 2
A 4x 5y 8xy 10y 12
= − − + + +
c)
2 2 2
A x y z (x 2y 4z )
= + + − + +
d)
2 2
B 3x 16y 8xy 5x 2
= − − − + +
e)
2 2
N x 4y 6x 8y 3
= − − + − +
f)
2 2
P 3x 5y 2x 7y 23
= − − + + −
g)
2 2
R 7x 4y 8xy 18x 9
= − − − + +
h) Q = xy + yz + zx
−
x2
−
y2
−
z2
HD:
h) Ta có : Q = xy + yz + zx
−
x2
−
y2
−
z2 =
−
2
1
(2x2 + 2y2 + 2z2
−
2xy
−
2yz
−
2xz)
Q =
−
2
1
[(x
−
y)2 + (y
−
z)2 + (z
−
x)2] 0 x,y,z
MaxQ = 0 x = y = z V y: MaxQ = 0 ậ x = y = z
Bài 1. Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau b ng cách đa v HĐTị ỏ ấ ủ ể ứ ằ ư ề
( ) ( )
2 2
a b ; a b c
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng
tdhoangclassic@gmail.com 4
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán 8ề ồ ưỡ ọ ỏ
a)
2 2
A x 2xy 2y 2x 10y 17
= − + + − +
b)
2 2
B x xy y 2x 2y
= − + − −
c)
2 2
C x xy y 3x 3y
= + + − −
d)
2 2
D x 2xy 6y 12x 2y 45
= − + − + +
e)
2 2
E x xy 3y 2x 10y 20
= − + − − +
f)
2 2
K x y xy 3x 3y 20
= + − + + +
g)
2 2
N x 2xy 2y x
= − + −
h)
2 2
A x 2xy 3y 2x 1997
= − + − +
i)
2 2
Q x 2y 2xy 2x 10y
= + − + −
j)
( )
2 2
G x xy y 3 x y 3= + + − + +
k)
2 2
H(x) x y xy x y 1
= + − − + +
l)
2 2
D 2x 2xy 5y 8x 22y
= + + − −
m)
2 2
E 2x 9y 6xy 6x 12y 2004
= + − − − +
n)
2 2
Q a ab b 3a 3b 3= + + − − +
o)
2 2 2
A x 6y 14z 8yz 6zx 4xy
= + + − + −
p)
2 2
B(x) x xy y 3x 3y
= + + − −
q)
2 2
C(x) 2x 3y 4xy 8x 2y 18
= + + − − +
r)
2 2
E(x) 2x 8xy 11y 4x 2y 6
= + + − − +
s) C = a
2
+ ab + b
2
– 3x – 3b + 1989 t) A = 3x + 4y
2
+ 4xy + 2x – 4y + 26
u) A = x
2
+ 2y
2
+ 2xy + 2x – 4y + 2013 v) A = 5x
2
+ 9y
2
– 12xy + 24x – 48y + 82
w)
2 2 2
B x 2y 3z 2xy 2xz 2x 2y 8z 2000
= + + − + − − − +
x)
( ) ( )
22 2
G x ay 6 x ay x 16y 8ay 2x 8y 10
= − + − + + − + − +
y) F = 2x
2
+ 6y
2
+ 5z
2
– 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + 2
z) B = 3x
2
+ 3y
2
+ z
2
+ 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + 3
aa) B = 2x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y
HD:
a)
2 2
A x 2xy 2y 2x 10y 17
= − + + − +
( )
2 2
A x 2x y 1 2y 10y 17
= − − + − +
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
x 2x y 1 y 1 2y 10y 17 y 1
� �
= − − + − + − + − −
� �
� �
( )
( )
( ) ( )
= − + + − + = − + + −
2 2 2
2
A x y 1 y 8y 16 x y 1 y 4
b)
2 2
B x xy y 2x 2y
= − + − −
( )
2 2
2 2 2 2
y 2 y 4y 4 y
B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1
2 4 4
� �
+ + +
= − + + − = − + + − − − −
� �
� �
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
= − − + − − − − = − − + − −
= − − + − − = − − + − − −
−
ﾡ
2 2
2 2 2
2 2 2
2
4B x y 2 4y 8y y 4y 4 x y 2 3y 12y 3
x y 2 3 y 4y 3 x y 2 3 y 2 15 15
15
B4
c)
2 2
C x xy y 3x 3y
= + + − −
( )
2 2
2 2 2 2
y 3 y 6y 9 y 6y 9
C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y
2 4 4
� �
− − + − +
= + − + − = + + + − −
� �
� �
Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng
tdhoangclassic@gmail.com 5